Entrez les coefficients a et b de l’expression a sin θ + b cos θ. La formule ci-dessous est reliée aux champs de saisie : vous pouvez aussi y modifier directement les coefficients.
Décimaux, nombres négatifs, fractions comme 3/4 et valeurs avec racine carrée comme √3, √3/2 ou 2√3 sont acceptés (dans la formule ci-dessous, tapez sqrt pour obtenir √). Un coefficient vide compte pour 1 (sin θ veut dire 1 sin θ).
Résultat et graphique
Saisissez les coefficients de sin θ et de cos θ dans les champs à gauche et appuyez sur « Calculer ». Le résultat et un graphique s’affichent ici.
Table des matières
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Ce que vous pouvez faire sur cette page
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À quoi sert ce calcul ?
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Mode d'emploi
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Formules et graphiques
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Symboles et termes
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Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
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Calculer avec Excel
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Calculer avec Google Sheets
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Calculer avec Python
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Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
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Faire faire le calcul par ChatGPT
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Les atouts de DataChef
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Fonctions connexes
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Liste des calculatrices NumberChef
Ce que vous pouvez faire sur cette page
- Écrit une expression de la forme \(a\sin\theta + b\cos\theta\) comme une seule sinusoïde \(R\sin(\theta + \alpha)\) (regroupement en une sinusoïde)
- L’amplitude \(R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\) s’affiche en valeur exacte simplifiée, comme \(\sqrt{2}\), et en décimal. L’angle \(\alpha\) est donné en fraction exacte de π quand c’est un angle remarquable comme \(\dfrac{\pi}{4}\). Sinon, il est donné par les valeurs exactes de \(\cos\alpha\) et \(\sin\alpha\), avec des valeurs approchées en radians et en degrés
- La forme avec un cosinus, \(R\cos(\theta - \beta)\), s’affiche aussi (le choix entre les deux formes est expliqué plus bas)
- Trouve aussi le maximum \(R\), le minimum \(-R\) et les valeurs de \(\theta\) où ils sont atteints (une question classique d’examen)
- Les coefficients peuvent être des entiers, des décimaux, des fractions ou des valeurs avec racine carrée comme √3 ou √3/2. Un graphique montre les deux ondes de départ, l’onde obtenue et son amplitude
Cela s’applique à \(\sin\theta\) et \(\cos\theta\) d’un même angle \(\theta\), chacun à la puissance 1 (\(a\sin\theta + b\cos\theta\)). Des termes d’angles différents, comme \(\sin 2\theta\) et \(\cos\theta\), ou des carrés comme \(\sin^{2}\theta\), ne se regroupent pas ainsi.
À quoi sert ce calcul ?
Regrouper les ondes de tension et de courant en courant alternatif (électricité)
En France, le courant alternatif d’une prise domestique est une tension de 230 V qui oscille comme une sinusoïde, 50 fois par seconde. Dans les calculs de circuits, les bobines et les condensateurs décalent les ondes, et leur somme prend la forme \(a\sin\theta + b\cos\theta\). La regrouper indique quelle onde unique on a vraiment : son amplitude (la tension crête) et son déphasage.
Ce calcul est un classique des cours d’électrotechnique (BTS, IUT, écoles d’ingénieurs), où l’on écrit les grandeurs sous la forme \(U\sqrt{2}\cos(\omega t + \varphi)\).
Additionner des sons de même hauteur (son et acoustique)
Le son est une onde de vibration de l’air. Quand deux sons de même hauteur (même fréquence) se superposent, la somme de leurs équations se regroupe en une seule onde. Plus l’amplitude \(R\) obtenue est grande, plus le son est fort. Quand les ondes sont en phase, elles se renforcent ; quand elles sont en opposition, elles s’annulent.
Les casques à réduction de bruit atténuent le bruit en émettant une onde opposée : ils reposent sur cette idée d’addition des ondes.
Analyser les vibrations des bâtiments et des machines (séismes et vibrations)
Pour analyser un séisme ou les vibrations d’une machine, les ingénieurs séparent souvent le mouvement en une partie en sinus et une partie en cosinus, calculent chacune, puis les regroupent à la fin pour trouver la taille réelle de l’oscillation (l’amplitude). Quand le mouvement peut être traité comme une vibration simple d’une seule période, le plus grand déplacement est estimé par l’amplitude \(R\) obtenue.
Les vraies ondes sismiques mélangent de nombreuses périodes, mais leur analyse repose sur cette addition de sinusoïdes.
Pourquoi le réseau mobile change d’un endroit à l’autre (télécommunications)
Un smartphone reçoit l’onde radio qui vient directement de l’antenne relais, superposée aux ondes réfléchies par les bâtiments et d’autres objets. Les ondes de même fréquence se regroupent en une seule onde et, selon la différence de trajet, se renforcent ou s’affaiblissent (c’est ce qu’on appelle l’évanouissement, ou fading).
Il suffit de bouger un peu pour que le nombre de barres change, car cette amplitude obtenue varie d’un endroit à l’autre.
Formules et graphiques
Regroupement en une sinusoïde (forme avec un sinus)
Graphique
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(a\sin\theta\)
\(+\)
\(b\cos\theta\)
\(=\)
\(R\sin(\theta + \alpha)\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
①
\(a\sin\theta\) : le terme en \(\sin\theta\), de coefficient \(a\)
\(+\)
②
\(b\cos\theta\) : le terme en \(\cos\theta\), de coefficient \(b\)
\(=\)
③
\(R\sin(\theta + \alpha)\) : une seule sinusoïde d’amplitude \(R\) et d’angle \(\alpha\)
La formule en mots
①
La somme du
terme en \(\sin\theta\) de coefficient \(a\)
②
et du
terme en \(\cos\theta\) de coefficient \(b\)
③
s’écrit comme
une seule sinusoïde d’amplitude \(R\) et d’angle \(\alpha\)
Exemple simple
Regroupons \(\sin\theta + \cos\theta\) (\(a = 1\), \(b = 1\)) :
terme en \(\sin\theta\) (coefficient 1)
\(+\)
terme en \(\cos\theta\) (coefficient 1)
\(=\)
sinusoïde d’amplitude \(\sqrt{2}\) et d’angle \(\dfrac{\pi}{4}\)
\(R = \sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2}\)
\(\cos\alpha = \dfrac{1}{\sqrt{2}},\ \ \sin\alpha = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \ \Rightarrow\ \alpha = \dfrac{\pi}{4}\)
\(\sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2}\,\sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{4}\right)\)
L’idée clé
Quand sin et cos sont mélangés dans une même expression, on ne voit pas facilement quand elle est la plus grande ni quelles valeurs elle prend. Le regroupement en une sinusoïde réécrit les deux ondes en une seule sinusoïde d’amplitude \(R\), décalée de l’angle \(\alpha\) : on voit alors ce qu’est vraiment l’expression.
Cela marche grâce à la formule d’addition \(\sin(\theta + \alpha) = \sin\theta\cos\alpha + \cos\theta\sin\alpha\), lue à l’envers, de droite à gauche. Si l’on voit le \(a\) de \(a\sin\theta + b\cos\theta\) comme \(R\cos\alpha\) et le \(b\) comme \(R\sin\alpha\), toute l’expression se replie en \(R\sin(\theta + \alpha)\).
On peut aussi l’écrire avec un cosinus, \(R\cos(\theta - \beta)\). Les deux sont justes. En France, la physique et l’électricité préfèrent la forme avec un cosinus (\(A\cos(\omega t + \varphi)\)). Si un énoncé demande « la forme \(R\sin(\theta + \alpha)\) » ou « la forme \(R\cos(\theta - \beta)\) », utilisez celle-là.
Trouver l’amplitude \(R\) et l’angle \(\alpha\)
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(R\)
\(=\)
\(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\)
\(\cos\alpha\)
\(=\)
\(\dfrac{a}{R}\)
\(\sin\alpha\)
\(=\)
\(\dfrac{b}{R}\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
②
\(R\) : amplitude (la hauteur de l’onde obtenue)
\(=\)
①
\(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\) : racine carrée de la somme des carrés de \(a\) et \(b\)
\(\cos\alpha\) : cosinus de l’angle \(\alpha\)
\(=\)
③
\(\dfrac{a}{R}\) : coefficient \(a\) de \(\sin\theta\) divisé par l’amplitude \(R\)
\(\sin\alpha\) : sinus de l’angle \(\alpha\)
\(=\)
④
\(\dfrac{b}{R}\) : coefficient \(b\) de \(\cos\theta\) divisé par l’amplitude \(R\)
La formule en mots
①
On élève les coefficients \(a\) et \(b\) au carré, on les additionne et on prend la racine carrée. Cette valeur
\(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\)
②
est l’
amplitude \(R\)
③
Puis on choisit l’angle \(\alpha\) de sorte que le
coefficient \(a\) divisé par l’amplitude \(R\)
soit son cosinus
④
et que le
coefficient \(b\) divisé par l’amplitude \(R\)
soit son sinus
Exemple simple
Pour \(\sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta\) (\(a = \sqrt{3}\), \(b = 1\)) :
amplitude \(R = 2\)
\(=\)
racine carrée de la somme des carrés de \(\sqrt{3}\) et \(1\), \(\sqrt{4}\)
\(R = \sqrt{\left(\sqrt{3}\right)^{2} + 1^{2}} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2\)
\(\cos\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2},\ \ \sin\alpha = \dfrac{1}{2} \ \Rightarrow\ \alpha = \dfrac{\pi}{6}\)
\(\sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta = 2\sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{6}\right)\)
L’idée clé
L’amplitude \(R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\) est la distance entre l’origine et le point \((a\,;\,b)\) du plan : c’est le théorème de Pythagore lui-même. Si l’on place le point \((a\,;\,b)\), \(\alpha\) est l’angle entre l’axe des abscisses et la flèche qui va de l’origine à \((a\,;\,b)\). En cas de doute, placez le point \((a\,;\,b)\) et lisez la distance et l’angle.
Il est important de vérifier à la fois \(\cos\alpha\) et \(\sin\alpha\). L’un des deux seul ne fixe pas l’angle (par exemple, \(\cos\alpha = \dfrac{1}{2}\) seul laisse deux choix, \(\alpha = \dfrac{\pi}{3}\) et \(-\dfrac{\pi}{3}\)).
\(\alpha\) n’est un angle remarquable comme \(\dfrac{\pi}{6}\) ou \(\dfrac{\pi}{4}\) que si le couple de coefficients a une forme particulière, comme \((1\,;\,1)\) ou \((\sqrt{3}\,;\,1)\). Sinon, on le décrit par une condition, comme « l’angle \(\alpha\) tel que \(\cos\alpha = \dfrac{3}{5}\) et \(\sin\alpha = \dfrac{4}{5}\) » (ce calculateur l’affiche de la même façon).
Maximum et minimum de l’expression regroupée
Graphique
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(-R\)
\(\leqslant\)
\(a\sin\theta + b\cos\theta\)
\(\leqslant\)
\(R\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
②
\(-R\) : minimum
\(\leqslant\)
①
\(a\sin\theta + b\cos\theta\) : l’expression (\(= R\sin(\theta + \alpha)\))
\(\leqslant\)
③
\(R\) : maximum
La formule en mots
①
La valeur de l’
expression \(a\sin\theta + b\cos\theta\)
②
varie entre le
minimum \(-R\)
③
et le
maximum \(R\)
(quand \(\theta\) parcourt tous les réels)
Exemple simple
Pour \(3\sin\theta + 4\cos\theta\) (\(R = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5\)) :
minimum \(-5\)
\(\leqslant\)
\(3\sin\theta + 4\cos\theta\)
\(\leqslant\)
maximum \(5\)
\(R = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5\)
\(-5 \leqslant 3\sin\theta + 4\cos\theta \leqslant 5\)
L’idée clé
Une fois regroupée, \(a\sin\theta + b\cos\theta = R\sin(\theta + \alpha)\). Un sinus reste toujours entre \(-1\) et \(1\), donc l’expression ne prend que des valeurs entre \(-R\) et \(R\). La question classique « trouver le maximum et le minimum d’une expression qui mélange sin et cos » se règle ainsi en une ligne.
Le maximum est atteint quand \(\sin(\theta + \alpha) = 1\), c’est-à-dire \(\theta + \alpha = \dfrac{\pi}{2} + 2n\pi\) (\(n\) entier), donc \(\theta = \dfrac{\pi}{2} - \alpha + 2n\pi\). Le minimum est atteint là où le sinus vaut \(-1\), en \(\theta = -\dfrac{\pi}{2} - \alpha + 2n\pi\).
Si \(\theta\) est restreint (par exemple \(0 \leqslant \theta < 2\pi\)), cherchez d’abord l’intervalle parcouru par \(\theta + \alpha\), puis les angles de cet intervalle où le sinus est le plus grand et le plus petit. Attention : le maximum ou le minimum peut aussi être atteint à une borne de l’intervalle.
Le regroupement en une sinusoïde réécrit \(a\sin\theta + b\cos\theta\) comme une seule sinusoïde \(R\sin(\theta + \alpha)\), d’amplitude \(R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\) et d’angle \(\alpha\) (\(\cos\alpha = \dfrac{a}{R}\), \(\sin\alpha = \dfrac{b}{R}\)). Une fois regroupée, on lit directement le maximum \(R\) et le minimum \(-R\).
Symboles et termes
Symboles
| \(a,\ b\) | a, b | Les coefficients de l’expression. \(a\) est le nombre devant \(\sin\theta\), et \(b\) le nombre devant \(\cos\theta\). Par habitude, les premières lettres de l’alphabet, \(a,\ b,\ c\), désignent des nombres fixés. |
| \(\theta\) | thêta | Une lettre grecque souvent utilisée pour les angles. Ce n’est pas le mot grec pour « angle » : l’habitude s’est simplement installée. Sur cette page, c’est l’angle qui varie dans l’expression. |
| \(R\) | R | L’amplitude (la hauteur) de la sinusoïde obtenue. La lettre viendrait de « rayon » (radius en latin). Elle vaut \(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\), la distance de l’origine au point \((a\,;\,b)\), et c’est le maximum de l’expression. |
| \(\alpha\) | alpha | L’angle du décalage dans la forme avec un sinus. C’est la première lettre de l’alphabet grec, selon l’habitude de nommer les angles supplémentaires par des lettres grecques. Il est égal à l’angle entre l’axe des abscisses et la flèche qui va de l’origine au point \((a\,;\,b)\). |
| \(\beta\) | bêta | L’angle du décalage dans la forme avec un cosinus, deuxième lettre de l’alphabet grec. \(\beta = \dfrac{\pi}{2} - \alpha\) (des angles qui diffèrent de \(2\pi\), un tour complet, sont à la même position ; on peut donc ajouter ou retirer \(2\pi\) pour avoir \(-\pi < \beta \leqslant \pi\)). |
| \(\sin\) | sinus | L’une des fonctions trigonométriques, abréviation de sinus. Sur le cercle trigonométrique, \(\sin\theta\) est l’ordonnée du point associé à l’angle \(\theta\). |
| \(\cos\) | cosinus | L’une des fonctions trigonométriques, abréviation de cosinus. Sur le cercle trigonométrique, \(\cos\theta\) est l’abscisse du point associé à l’angle \(\theta\). |
| \(\pi\) | pi | Le nombre π (environ 3,14). En radians, \(\pi\) vaut exactement 180°, donc \(\dfrac{\pi}{4}\) fait 45° et \(\dfrac{\pi}{6}\) fait 30°. |
| \(2n\pi\) | deux n pi | Une façon d’écrire « un multiple entier de \(2\pi\) (un tour complet) ». \(n\) est un entier. Un angle revient à la même position à chaque tour (\(2\pi\)), donc il y a une infinité de \(\theta\) qui donnent le maximum ou le minimum, espacés de \(2\pi\). |
| \(\sqrt{\phantom{2}}\) | racine carrée | Le symbole de la racine carrée (le radical). \(\sqrt{2}\) est le nombre positif dont le carré vaut 2. Il apparaît dans l’amplitude \(R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\). |
| \(\leqslant\) | inférieur ou égal à | Le symbole « inférieur ou égal à ». \(-R \leqslant f(\theta) \leqslant R\) veut dire que \(f(\theta)\) est compris entre \(-R\) et \(R\), bornes incluses. Les manuels français l’écrivent avec un trait incliné, ⩽. |
Termes
| regroupement en une sinusoïde | Réécrire une expression de la forme \(a\sin\theta + b\cos\theta\) comme une seule sinusoïde \(R\sin(\theta + \alpha)\), en lisant la formule d’addition à l’envers. En France, cette opération n’a pas de nom officiel : on dit « mettre sous la forme \(R\cos(\theta - \varphi)\) » ; elle apparaît au lycée (spécialité maths) et surtout en physique. |
| sinusoïde | Une onde qui monte et descend régulièrement, sans cesse, comme la courbe de \(y = \sin\theta\). Beaucoup d’ondes qui nous entourent, comme le son, la lumière ou le courant alternatif, ont cette forme. |
| amplitude | La « hauteur » d’une onde : la distance entre le milieu de l’onde (0 sur cette page) et son point le plus haut. L’amplitude de \(y = R\sin(\theta + \alpha)\) est \(R\), et l’onde oscille entre \(-R\) et \(R\). |
| période | La longueur nécessaire à une onde pour faire un cycle complet et recommencer. La période de \(\sin\theta\) est \(2\pi\) (360°), et le regroupement ne la change pas. |
| déphasage | Le décalage d’une onde sur l’axe horizontal. \(R\sin(\theta + \alpha)\) est l’onde \(R\sin\theta\) décalée de \(\alpha\) vers la gauche, et ce décalage s’appelle le déphasage. |
| formule d’addition | Une formule comme \(\sin(\theta + \alpha) = \sin\theta\cos\alpha + \cos\theta\sin\alpha\), qui exprime une fonction trigonométrique d’une somme d’angles à l’aide de celles de chaque angle. On l’étudie en 1re (spécialité maths, 16-17 ans). Le regroupement en une sinusoïde l’utilise à l’envers, de droite à gauche. |
| angle remarquable | Un angle comme \(30°\) (\(\dfrac{\pi}{6}\)), \(45°\) (\(\dfrac{\pi}{4}\)) ou \(60°\) (\(\dfrac{\pi}{3}\)) dont les valeurs trigonométriques sont des valeurs exactes simples, comme \(\dfrac{1}{2}\) ou \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\). Les exercices sur ce thème sont presque toujours construits pour que \(\alpha\) soit un angle remarquable. |
| radian | L’unité qui mesure un angle par la longueur de l’arc sur un cercle de rayon 1. \(180° = \pi\) radians, donc \(45°\) correspond à \(\dfrac{\pi}{4}\). Pour les fonctions trigonométriques au lycée, les radians sont la norme plutôt que les degrés. |
| cercle trigonométrique | Le cercle de rayon 1 centré à l’origine. Le point du cercle associé à l’angle \(\theta\) a pour coordonnées \((\cos\theta\,;\,\sin\theta)\), ce qui en fait un outil pour visualiser les valeurs trigonométriques. |
| maximum | La plus grande valeur qu’une fonction peut prendre. Dans \(R\sin(\theta + \alpha)\), le sinus ne dépasse pas \(1\), donc le maximum \(R\) se voit tout de suite. |
| minimum | La plus petite valeur qu’une fonction peut prendre. Dans \(R\sin(\theta + \alpha)\), le sinus ne descend pas sous \(-1\), donc le minimum \(-R\) se voit tout de suite. |
| quadrant | L’une des quatre zones du plan délimitées par l’axe des abscisses et l’axe des ordonnées. En haut à droite, c’est le premier quadrant, puis viennent les deuxième, troisième et quatrième dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. Le quadrant du point associé à l’angle sur le cercle trigonométrique fixe les signes de \(\cos\) et \(\sin\). |
Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
Voici ce qu’il est utile de savoir pour utiliser les calculs de cette page en comprenant ce qu’ils font, et pas seulement en appuyant sur le bouton.
En cas de difficulté, revoir ces notions est le chemin le plus court.
| Calculer avec les racines carrées (4e-3e, 13-15 ans) |
|
| Le théorème de Pythagore (4e, 13-14 ans) |
|
| La trigonométrie dans le triangle rectangle (3e, 14-15 ans) |
|
| Le cercle trigonométrique et les radians (1re, 16-17 ans) |
|
| Les courbes des fonctions trigonométriques (1re-terminale, 16-18 ans) |
|
| Les formules d’addition (1re, 16-17 ans) |
|
Calculer avec Excel
Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 d’Excel. Il fonctionne tel quel.
Tableau pour trouver l’amplitude R et l’angle α
| Coefficient a de sin θ | 1 |
| Coefficient b de cos θ | 1 |
| Amplitude R | =RACINE(B1^2+B2^2) |
| Angle α (radians) | =ATAN2(B1;B2) |
| Angle α (degrés) | =DEGRES(B4) |
Tableau pour la forme avec un cosinus (angle β)
| Coefficient a de sin θ | 1 |
| Coefficient b de cos θ | 1 |
| Amplitude R | =RACINE(B1^2+B2^2) |
| Angle β (radians) | =ATAN2(B2;B1) |
| Angle β (degrés) | =DEGRES(B4) |
Tableau pour trouver le maximum, le minimum et le θ du maximum
| Coefficient a de sin θ | 3 |
| Coefficient b de cos θ | 4 |
| Amplitude R | =RACINE(B1^2+B2^2) |
| Maximum | =B3 |
| Minimum | =-B3 |
| θ du maximum (radians) | =PI()/2-ATAN2(B1;B2) |
Une fois collé, les lignes du haut (les coefficients) sont vos données et les lignes du dessous se calculent automatiquement.
« ^ » est la puissance, RACINE la racine carrée, et ATAN2(x;y) donne l’angle de la direction du point (x ; y). α est la direction du point (a ; b), d’où =ATAN2(B1;B2), tandis que β est la direction du point (b ; a), d’où =ATAN2(B2;B1). Attention à l’ordre inversé des arguments.
Le premier tableau traite sin θ + cos θ : R vaut 1,41421… (= √2) et α vaut 0,78539… (= π/4) = 45°.
Le troisième tableau traite 3 sin θ + 4 cos θ : le maximum vaut 5, le minimum −5, et le maximum est atteint en θ = 0,64350… (radian).
« ^ » est la puissance, RACINE la racine carrée, et ATAN2(x;y) donne l’angle de la direction du point (x ; y). α est la direction du point (a ; b), d’où =ATAN2(B1;B2), tandis que β est la direction du point (b ; a), d’où =ATAN2(B2;B1). Attention à l’ordre inversé des arguments.
Le premier tableau traite sin θ + cos θ : R vaut 1,41421… (= √2) et α vaut 0,78539… (= π/4) = 45°.
Le troisième tableau traite 3 sin θ + 4 cos θ : le maximum vaut 5, le minimum −5, et le maximum est atteint en θ = 0,64350… (radian).
Calculer avec Google Sheets
Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 de Google Sheets. Il fonctionne tel quel.
Tableau pour trouver l’amplitude R et l’angle α
| Coefficient a de sin θ | 1 |
| Coefficient b de cos θ | 1 |
| Amplitude R | =RACINE(B1^2+B2^2) |
| Angle α (radians) | =ATAN2(B1;B2) |
| Angle α (degrés) | =DEGRES(B4) |
Tableau pour la forme avec un cosinus (angle β)
| Coefficient a de sin θ | 1 |
| Coefficient b de cos θ | 1 |
| Amplitude R | =RACINE(B1^2+B2^2) |
| Angle β (radians) | =ATAN2(B2;B1) |
| Angle β (degrés) | =DEGRES(B4) |
Tableau pour trouver le maximum, le minimum et le θ du maximum
| Coefficient a de sin θ | 3 |
| Coefficient b de cos θ | 4 |
| Amplitude R | =RACINE(B1^2+B2^2) |
| Maximum | =B3 |
| Minimum | =-B3 |
| θ du maximum (radians) | =PI()/2-ATAN2(B1;B2) |
Les mêmes formules qu’Excel fonctionnent telles quelles. Copiez tout le tableau, collez-le dans la cellule A1 et remplacez les coefficients par vos propres nombres.
Calculer avec Python
import math
sin_coefficient = 1 # a (coefficient de sin θ)
cos_coefficient = 1 # b (coefficient de cos θ)
# Amplitude R = √(a² + b²) (hypot renvoie la racine carrée de la somme des carrés)
amplitude = math.hypot(sin_coefficient, cos_coefficient)
# Angle α (la direction du point (a ; b), en radians)
alpha = math.atan2(cos_coefficient, sin_coefficient)
print(f"Amplitude R = {amplitude}")
print(f"Angle α = {alpha} radians = {math.degrees(alpha)} degrés")
print(f"Maximum = {amplitude}, minimum = {-amplitude}")
print(f"θ du maximum = {math.pi / 2 - alpha} radians (+ 2nπ)")
Fonctionne avec le seul module math de la bibliothèque standard. Cet exemple regroupe sin θ + cos θ. Il affiche l’amplitude ≈ 1,4142 (= √2) et l’angle ≈ 0,7854 radian (= π/4 = 45 degrés), Python écrivant les décimaux avec un point. Il ne donne pas les valeurs exactes comme √2 elles-mêmes : utilisez le calculateur de cette page pour la forme exacte. Modifiez les coefficients et relancez.
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
Regroupement en une sinusoïde (forme avec un sinus)
a·sinθ + b·cosθ = R·sin(θ + α)
a\sin\theta + b\cos\theta = R\sin(\theta + \alpha)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>a</mi><mo>⁢</mo><mi>sin</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi>
<mo>+</mo>
<mi>b</mi><mo>⁢</mo><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi>
<mo>=</mo>
<mi>R</mi><mo>⁢</mo><mi>sin</mi><mo>⁡</mo>
<mo>(</mo><mi>θ</mi><mo>+</mo><mi>α</mi><mo>)</mo>
</mrow>
</math>
a sin(theta) + b cos(theta) = R sin(theta + alpha)
a Sin[t] + b Cos[t] == Sqrt[a^2 + b^2] Sin[t + ArcTan[a, b]]
a*sin(theta) + b*cos(theta) = sqrt(a^2 + b^2)*sin(theta + arctan(b, a));
R = sqrt(a^2 + b^2); alpha = atan2(b, a); f = R*sin(theta + alpha);
a sin(θ) + b cos(θ) = R sin(θ + α)
Trouver l’amplitude \(R\) et l’angle \(\alpha\)
R = √(a² + b²), cosα = a/R, sinα = b/R
R = \sqrt{a^{2} + b^{2}},\quad \cos\alpha = \frac{a}{R},\quad \sin\alpha = \frac{b}{R}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>R</mi><mo>=</mo>
<msqrt><mrow><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup></mrow></msqrt>
<mo>,</mo>
<mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>α</mi><mo>=</mo>
<mfrac><mi>a</mi><mi>R</mi></mfrac>
<mo>,</mo>
<mi>sin</mi><mo>⁡</mo><mi>α</mi><mo>=</mo>
<mfrac><mi>b</mi><mi>R</mi></mfrac>
</mrow>
</math>
R = sqrt(a^2 + b^2), cos(alpha) = a/R, sin(alpha) = b/R
R = Sqrt[a^2 + b^2]; alpha = ArcTan[a, b]
R := sqrt(a^2 + b^2); alpha := arctan(b, a);
R = sqrt(a^2 + b^2); alpha = atan2(b, a);
R = √(a^2 + b^2), cos(α) = a/R, sin(α) = b/R
Maximum et minimum de l’expression regroupée
−R ⩽ a·sinθ + b·cosθ ⩽ R
-R \leqslant a\sin\theta + b\cos\theta \leqslant R
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mo>−</mo><mi>R</mi>
<mo>⩽</mo>
<mi>a</mi><mo>⁢</mo><mi>sin</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi>
<mo>+</mo>
<mi>b</mi><mo>⁢</mo><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi>
<mo>⩽</mo>
<mi>R</mi>
</mrow>
</math>
-R <= a sin(theta) + b cos(theta) <= R
MaxValue[a Sin[t] + b Cos[t], t]
maximize(a*sin(theta) + b*cos(theta), theta = 0 .. 2*Pi);
[tmin, fneg] = fminbnd(@(t) -(a*sin(t) + b*cos(t)), 0, 2*pi); fmax = -fneg;
−R ⩽ a sin(θ) + b cos(θ) ⩽ R
Faire faire le calcul par ChatGPT
Tu es un assistant de calcul pour les fonctions trigonométriques. Fais le calcul suivant en exécutant réellement du code Python, et appuie ta réponse uniquement sur les nombres obtenus à l’exécution (ne réponds pas de tête ni par estimation). Écris 3 sin θ + 4 cos θ sous la forme R sin(θ + α). Donne : 1. L’amplitude R (aussi en valeur exacte avec une racine carrée, si c’est possible) 2. Les valeurs de cos α et sin α (en fractions), et des valeurs approchées de α (en radians et en degrés) 3. Le maximum et le minimum de cette expression, et le θ où elle est maximale (en radians) En Python, utilise math.hypot et math.atan2. Indique les formules utilisées et les nombres obtenus à l’exécution.
Mode d'emploi
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