Choisissez l’opération et la taille des matrices (nombre de lignes et de colonnes), puis saisissez les coefficients dans les grilles. La transposée Aᵀ et la puissance Aⁿ n’utilisent que la matrice A.
Entrez les coefficients sous forme de nombres (décimaux et négatifs acceptés). La somme et la différence demandent que A et B aient la même taille ; le produit AB demande « colonnes de A = lignes de B ».
Résultat
Choisissez l’opération et la taille des matrices à gauche, saisissez les coefficients et appuyez sur « Calculer ». La matrice obtenue et les étapes s’affichent ici.
Table des matières
-
Ce que vous pouvez faire sur cette page
-
À quoi sert ce calcul ?
-
Mode d'emploi
-
Formule
-
Symboles et termes
-
Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
-
Calculer avec Excel
-
Calculer avec Google Sheets
-
Calculer avec Python
-
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
-
Faire faire le calcul par ChatGPT
-
Les atouts de DataChef
-
Fonctions connexes
-
Liste des calculatrices NumberChef
Ce que vous pouvez faire sur cette page
- Calculez tout de suite la somme \(A+B\), la différence \(A-B\) et le produit \(AB\) de matrices de 2×2 à 4×4 (les formats rectangulaires comme 2×3 fonctionnent aussi)
- Vous pouvez aussi obtenir la transposée \(A^{T}\), qui échange lignes et colonnes, et les puissances \(A^{n}\) d’une matrice carrée (\(n\) de 1 à 10)
- Voyez comment se fait chaque calcul, comme le produit scalaire « ligne × colonne » de la multiplication, avec des étapes sur vos propres nombres
- Une explication simple des formules et des formules à copier-coller pour Excel, Google Sheets (PRODUITMAT, TRANSPOSE) et Python se trouvent aussi sur cette page
En France, les matrices apparaissent en Terminale dans l’option « mathématiques expertes », puis sont étudiées en détail en algèbre linéaire après le bac (classes préparatoires, licence). Le déterminant et la matrice inverse ne sont pas traités sur cette page.
À quoi sert ce calcul ?
Faire bouger des personnages dans les jeux et en 3D
En infographie 3D, les transformations comme faire tourner ou agrandir un personnage se calculent en « multipliant les coordonnées par une matrice ». On peut regrouper plusieurs transformations en une seule matrice en multipliant d’abord les matrices entre elles.
Le GPU (processeur graphique) d’une console ou d’un ordinateur est un calculateur spécialisé, conçu pour faire des quantités énormes de ces produits de matrices.
Retoucher des photos et des images (une image est une matrice de nombres)
Une image numérique est elle-même une matrice : la luminosité de chaque pixel rangée en lignes et en colonnes. Les filtres des applications photo, comme le flou ou la netteté, se calculent comme des opérations sur cette matrice.
Voir « une image comme une matrice » est aussi le point de départ des techniques d’IA comme la reconnaissance d’images.
Résoudre d’un coup des systèmes d’équations (structures et circuits)
Un système d’équations à beaucoup d’inconnues peut s’écrire sous la forme d’une seule équation, \(A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}\), en rangeant les coefficients dans une matrice.
En calcul de structures des bâtiments et en analyse des circuits électriques, des milliers voire des dizaines de milliers d’équations sont mises sous cette forme et résolues d’un coup par des calculs matriciels sur ordinateur.
Compter les trajets d’un plan de métro ou les liens d’un réseau social (matrice d’adjacence et puissances)
Écrivez les liaisons entre stations, ou entre personnes, dans une matrice avec « 1 si elles sont reliées, 0 sinon » (une matrice d’adjacence). Le coefficient de la ligne \(i\), colonne \(j\) de la puissance \(A^{n}\) donne alors « le nombre de façons d’aller de \(i\) à \(j\) en suivant exactement \(n\) liaisons ».
Cette idée est l’une des bases des calculateurs d’itinéraires et de l’analyse des « amis d’amis » dans les réseaux sociaux.
Estimer les effets d’entraînement dans l’économie (tableau entrées-sorties)
Les statistiques économiques nationales et régionales (en France, celles de l’INSEE) utilisent une grande matrice, le tableau entrées-sorties, qui montre combien chaque branche achète aux autres. L’effet d’entraînement, « si la demande augmente dans une branche, de combien la production augmente-t-elle dans les autres », s’estime par des calculs matriciels sur ce tableau (une méthode mise au point par Wassily Leontief, prix Nobel d’économie pour ce travail).
Au cœur de l’IA (apprentissage automatique), des produits de matrices
L’essentiel des calculs des IA qui traitent des textes et des images (les réseaux de neurones) consiste à répéter « multiplier une liste de nombres d’entrée par une matrice apprise ».
Comme une grande partie du calcul nécessaire pour entraîner et faire fonctionner une IA est faite de produits de matrices, les GPU, très efficaces pour les calculs matriciels, sont devenus indispensables au développement de l’IA.
Formule
Somme et différence (coefficient par coefficient, à la même place)
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\((A+B)_{ij}\)
\(=\)
\(a_{ij}\)
\(+\)
\(b_{ij}\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
③
coefficient de la ligne \(i\), colonne \(j\) de la somme \(A+B\)
\(=\)
①
\(a_{ij}\) : coefficient de la ligne \(i\), colonne \(j\) de A
\(+\)
②
\(b_{ij}\) : coefficient de la ligne \(i\), colonne \(j\) de B
La formule en mots
①
En additionnant le
\(a_{ij}\) : coefficient de la ligne \(i\), colonne \(j\) de A
et le
②
\(b_{ij}\) : coefficient de la ligne \(i\), colonne \(j\) de B
, on obtient le
③
coefficient de la ligne \(i\), colonne \(j\) de la somme \(A+B\)
(pour la différence, il suffit de remplacer « + » par « − »)
Exemple simple
Pour additionner deux matrices 2×2, on additionne les coefficients situés à la même place
\(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+5 & 2+6 \\ 3+7 & 4+8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{pmatrix}\)
L’idée clé
On ne peut additionner ou soustraire que si A et B ont la même taille (le même nombre de lignes et de colonnes). La somme donne le même résultat dans les deux ordres (\(A+B=B+A\)), mais pour la différence, comme avec les nombres ordinaires, l’ordre change le résultat.
Produit (produit scalaire d’une ligne de A et d’une colonne de B)
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
\(c_{ij}\)
\(=\)
\(a_{i1}\)
\(\times\)
\(b_{1j}\)
\(+ \cdots +\)
\(a_{in}\)
\(\times\)
\(b_{nj}\)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
③
\(c_{ij}\) : coefficient de la ligne \(i\), colonne \(j\) du produit \(AB\)
\(=\)
①
\(a_{i1}\) : 1er coefficient de la ligne \(i\) de A
\(\times\)
②
\(b_{1j}\) : 1er coefficient de la colonne \(j\) de B
\(+ \cdots +\)
\(a_{in}\) : \(n\)-ième coefficient de la ligne \(i\) de A
\(\times\)
\(b_{nj}\) : \(n\)-ième coefficient de la colonne \(j\) de B
La formule en mots
①
On associe les
\(a_{i1}, \dots, a_{in}\) : coefficients de la ligne \(i\) de A
aux
②
\(b_{1j}, \dots, b_{nj}\) : coefficients de la colonne \(j\) de B
dans l’ordre depuis le début, on multiplie chaque paire et on additionne tout : on obtient le
③
\(c_{ij}\) : coefficient de la ligne \(i\), colonne \(j\) du produit \(AB\)
Exemple simple
Le coefficient (1, 1) de AB est le produit scalaire de « la ligne 1 de A » et de « la colonne 1 de B ». Par exemple,
\(c_{11} = 1 \times 2 + 2 \times 1 = 4\)
\(\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \times 2 + 2 \times 1 & 1 \times 0 + 2 \times 2 \\ 3 \times 2 + 4 \times 1 & 3 \times 0 + 4 \times 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 10 & 8 \end{pmatrix}\)
L’idée clé
Le produit \(AB\) ne se calcule (n’est défini) que si « colonnes de A = lignes de B ». Le produit d’une matrice \(m \times n\) par une matrice \(n \times p\) est une matrice \(m \times p\).
De plus, contrairement aux nombres ordinaires, on ne peut pas échanger l’ordre (\(AB\) et \(BA\) sont en général différents, et parfois un seul des deux est défini).
Transposée (échanger lignes et colonnes)
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
\((A^{T})_{ij}\)
\(=\)
\(a_{ji}\)
②
coefficient de la ligne \(i\), colonne \(j\) de la transposée \(A^{T}\)
\(=\)
①
\(a_{ji}\) : coefficient de la ligne \(j\), colonne \(i\) de A
La formule en mots
①
Le
\(a_{ji}\) : coefficient de la ligne \(j\), colonne \(i\) de A
devient, une fois lignes et colonnes échangées, le
②
coefficient de la ligne \(i\), colonne \(j\) de la transposée \(A^{T}\)
Exemple simple
En transposant une matrice 2×3, la ligne 1 devient la colonne 1 et la ligne 2 la colonne 2 : on obtient une matrice 3×2
\(A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} \quad \Longrightarrow \quad A^{T} = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}\)
L’idée clé
En plus de \(A^{T}\), la transposée s’écrit aussi \({}^{t}A\) (notation très utilisée dans les ouvrages français) ou \(A^{\top}\). Transposer deux fois ramène à la matrice de départ (\((A^{T})^{T} = A\)).
Puissances (multiplier plusieurs fois la même matrice carrée)
Notation mathématique
(l’écriture habituelle)
En mots
(les symboles remplacés par des mots)
\(A^{n}\)
\(=\)
\(\underbrace{A\,A\,\cdots\,A}_{n}\)
②
\(A^{n}\) : matrice \(A\) à la puissance \(n\)
\(=\)
①
produit de \(n\) exemplaires de la matrice carrée \(A\)
La formule en mots
①
Le
produit de \(n\) exemplaires de la matrice carrée \(A\)
donne la
②
\(A^{n}\) : matrice \(A\) à la puissance \(n\)
(on calcule dans l’ordre, de gauche à droite : \(A^{2}=AA\), \(A^{3}=A^{2}A\), et ainsi de suite)
Exemple simple
Le cube de \(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) demande deux multiplications :
\(A^{2} = AA = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)
\(A^{3} = A^{2}A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\)
L’idée clé
Les puissances n’existent que pour les matrices carrées (lignes = colonnes). Si la matrice n’est pas carrée, la condition du produit \(AA\), « colonnes de A = lignes de A », ne peut pas être remplie.
Attention aussi : on n’élève pas chaque coefficient à la puissance \(n\) ; on répète le produit matriciel \(n-1\) fois.
La somme et la différence de matrices se font « coefficient par coefficient, à la même place », et le produit repose sur « le produit scalaire d’une ligne de A et d’une colonne de B ». Le produit n’est défini que si « colonnes de A = lignes de B », et la grande différence avec les nombres ordinaires, c’est qu’échanger l’ordre change en général le résultat.
Symboles et termes
Symboles
| \(A,\ B\) | A, B | Les noms donnés aux matrices. Par convention, on les note avec des lettres majuscules. |
| \(a_{ij}\) | a indice i j | Le coefficient de la matrice \(A\) situé ligne \(i\), colonne \(j\) (le nombre de la \(i\)-ième ligne en partant du haut et de la \(j\)-ième colonne en partant de la gauche). Les petites lettres en bas à droite (les indices) donnent sa place. |
| \(b_{ij}\) | b indice i j | Le coefficient de la matrice \(B\) situé ligne \(i\), colonne \(j\). Il se lit comme \(a_{ij}\) ; seul le nom de la matrice change. |
| \(m \times n\) | m fois n (m lignes, n colonnes) | La taille (le format) d’une matrice : \(m\) lignes (horizontales) et \(n\) colonnes (verticales). (Exemple : une matrice 2×3 a 2 nombres en hauteur et 3 en largeur, soit 6 nombres en tout.) |
| \(c_{ij}\) | c indice i j | Si l’on note \(C\) le produit \(AB\), le coefficient de \(C\) situé ligne \(i\), colonne \(j\). |
| \(A^{T}\) | transposée de A | La transposée de \(A\) : la matrice dont les lignes et les colonnes sont échangées. On l’écrit aussi \({}^{t}A\) ou \(A^{\top}\). |
| \(A^{n}\) | A puissance n | La matrice obtenue en multipliant \(n\) exemplaires de \(A\). Elle n’est définie que pour les matrices carrées. |
| \(\sum\) | sigma (somme) | Le symbole qui veut dire « additionner le tout ». \(\sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj}\) demande d’additionner \(a_{ik} b_{kj}\) pour chaque \(k\) de 1 à \(n\). |
Termes
| matrice | Des nombres rangés en rectangle (en lignes et en colonnes). Chaque nombre s’appelle un coefficient. Comme dans un tableur, une place se repère par « quelle ligne et quelle colonne ». |
| ligne | Une rangée horizontale de nombres dans une matrice. Les lignes se comptent à partir du haut : ligne 1, ligne 2, etc. Pensez aux lignes d’un cahier, qui vont de gauche à droite. |
| colonne | Une rangée verticale de nombres dans une matrice. Les colonnes se comptent à partir de la gauche : colonne 1, colonne 2, etc. Pensez aux colonnes d’un temple, qui se dressent de bas en haut. |
| coefficient | Chacun des nombres d’une matrice (on dit aussi terme ou élément). Le coefficient de la ligne \(i\), colonne \(j\) s’écrit avec des indices, comme \(a_{ij}\). |
| matrice carrée | Une matrice qui a autant de lignes que de colonnes (en forme de carré). Les puissances, ainsi que le déterminant et l’inverse (non traités sur cette page), n’existent que pour les matrices carrées. |
| transposée | La matrice dont les lignes et les colonnes sont échangées. La transposée d’une matrice \(m \times n\) est une matrice \(n \times m\). |
| produit scalaire | La valeur obtenue en associant deux listes de nombres terme à terme depuis le début, en multipliant chaque paire et en additionnant le tout. Dans le produit de matrices, le produit scalaire d’une ligne de A et d’une colonne de B donne un coefficient du produit. |
| algèbre linéaire | La branche des mathématiques qui étudie les matrices et les vecteurs. On l’étudie en première année après le bac (classes préparatoires, licence), et elle est à la base de l’infographie, des statistiques, de l’IA et de bien d’autres applications. |
Ce qu’il est utile de savoir avant de commencer
Voici ce qu’il est utile de savoir pour utiliser les calculs de cette page en comprenant ce qu’ils font.
| Opérations avec les nombres relatifs (5e-4e, 12-14 ans) |
|
| Calcul littéral et indices (de la 5e au lycée, 12-18 ans) |
|
| Puissances (4e, 13-14 ans) |
|
| Lignes et colonnes d’un tableau (dès l’école élémentaire) |
|
Calculer avec Excel
Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 d’Excel. Il fonctionne tel quel.
Tableau pour trouver la somme A + B
| Ligne 1 de la matrice A | 1 | 2 |
| Ligne 2 de la matrice A | 3 | 4 |
| Ligne 1 de la matrice B | 5 | 6 |
| Ligne 2 de la matrice B | 7 | 8 |
| Ligne 1 de A + B | =B1+B3 | =C1+C3 |
| Ligne 2 de A + B | =B2+B4 | =C2+C4 |
Tableau pour trouver la différence A − B
| Ligne 1 de la matrice A | 9 | 8 |
| Ligne 2 de la matrice A | 7 | 6 |
| Ligne 1 de la matrice B | 1 | 2 |
| Ligne 2 de la matrice B | 3 | 4 |
| Ligne 1 de A − B | =B1-B3 | =C1-C3 |
| Ligne 2 de A − B | =B2-B4 | =C2-C4 |
Tableau pour trouver le produit AB
| Ligne 1 de la matrice A | 1 | 2 |
| Ligne 2 de la matrice A | 3 | 4 |
| Ligne 1 de la matrice B | 2 | 0 |
| Ligne 2 de la matrice B | 1 | 2 |
| AB (s’étend automatiquement depuis la ligne 1) | =PRODUITMAT(B1:C2;B3:C4) |
Tableau pour trouver la transposée Aᵀ
| Ligne 1 de la matrice A | 1 | 2 | 3 |
| Ligne 2 de la matrice A | 4 | 5 | 6 |
| Aᵀ (s’étend automatiquement depuis la ligne 1) | =TRANSPOSE(B1:D2) |
Tableau pour trouver la puissance A³
| Ligne 1 de la matrice A | 1 | 1 |
| Ligne 2 de la matrice A | 0 | 1 |
| A³ (s’étend automatiquement depuis la ligne 1) | =PRODUITMAT(PRODUITMAT(B1:C2;B1:C2);B1:C2) |
Pour la somme et la différence, il suffit de combiner les cellules situées à la même place, comme « =B1+B3 » (dans le premier tableau, A + B donne 6, 8, 10, 12).
Utilisez la fonction PRODUITMAT pour le produit et la fonction TRANSPOSE pour la transposée. Dans les versions récentes d’Excel (comme Microsoft 365), le résultat s’étend automatiquement dans les cellules voisines (propagation). Dans le troisième tableau, AB vaut 4, 4, 10, 8, et dans le cinquième tableau, A³ vaut 1, 3, 0, 1.
Dans les anciennes versions d’Excel, sélectionnez d’abord une plage de la même taille que le résultat, tapez la formule, puis validez avec Ctrl+Maj+Entrée.
Utilisez la fonction PRODUITMAT pour le produit et la fonction TRANSPOSE pour la transposée. Dans les versions récentes d’Excel (comme Microsoft 365), le résultat s’étend automatiquement dans les cellules voisines (propagation). Dans le troisième tableau, AB vaut 4, 4, 10, 8, et dans le cinquième tableau, A³ vaut 1, 3, 0, 1.
Dans les anciennes versions d’Excel, sélectionnez d’abord une plage de la même taille que le résultat, tapez la formule, puis validez avec Ctrl+Maj+Entrée.
Calculer avec Google Sheets
Copiez tout le tableau ci-dessous et collez-le dans la cellule A1 de Google Sheets. Il fonctionne tel quel.
Tableau pour trouver la somme A + B
| Ligne 1 de la matrice A | 1 | 2 |
| Ligne 2 de la matrice A | 3 | 4 |
| Ligne 1 de la matrice B | 5 | 6 |
| Ligne 2 de la matrice B | 7 | 8 |
| Ligne 1 de A + B | =B1+B3 | =C1+C3 |
| Ligne 2 de A + B | =B2+B4 | =C2+C4 |
Tableau pour trouver le produit AB
| Ligne 1 de la matrice A | 1 | 2 |
| Ligne 2 de la matrice A | 3 | 4 |
| Ligne 1 de la matrice B | 2 | 0 |
| Ligne 2 de la matrice B | 1 | 2 |
| AB (s’étend automatiquement depuis la ligne 1) | =PRODUITMAT(B1:C2;B3:C4) |
Tableau pour trouver la transposée Aᵀ
| Ligne 1 de la matrice A | 1 | 2 | 3 |
| Ligne 2 de la matrice A | 4 | 5 | 6 |
| Aᵀ (s’étend automatiquement depuis la ligne 1) | =TRANSPOSE(B1:D2) |
Tableau pour trouver la puissance A³
| Ligne 1 de la matrice A | 1 | 1 |
| Ligne 2 de la matrice A | 0 | 1 |
| A³ (s’étend automatiquement depuis la ligne 1) | =PRODUITMAT(PRODUITMAT(B1:C2;B1:C2);B1:C2) |
Les mêmes fonctions PRODUITMAT et TRANSPOSE qu’Excel fonctionnent telles quelles dans Google Sheets en français. Copiez tout le tableau et collez-le en cellule A1.
Dans Google Sheets, les résultats de PRODUITMAT et de TRANSPOSE s’étendent automatiquement dans les cellules voisines (pas besoin de Ctrl+Maj+Entrée).
Dans Google Sheets, les résultats de PRODUITMAT et de TRANSPOSE s’étendent automatiquement dans les cellules voisines (pas besoin de Ctrl+Maj+Entrée).
Calculer avec Python
A = [[1, 2], [3, 4]]
B = [[2, 0], [1, 2]]
def matrix_add(x, y): # somme (on additionne les coefficients situés à la même place)
return [[x[i][j] + y[i][j] for j in range(len(x[0]))] for i in range(len(x))]
def matrix_multiply(x, y): # produit (produit scalaire d’une ligne de A et d’une colonne de B)
return [[sum(x[i][k] * y[k][j] for k in range(len(y))) for j in range(len(y[0]))] for i in range(len(x))]
def matrix_transpose(x): # transposée (on échange lignes et colonnes)
return [[x[i][j] for i in range(len(x))] for j in range(len(x[0]))]
def matrix_power(x, n): # puissance (on multiplie n fois, dans l’ordre)
result = x
for _ in range(n - 1):
result = matrix_multiply(result, x)
return result
print("A + B =", matrix_add(A, B))
print("AB =", matrix_multiply(A, B))
print("Transposée de A =", matrix_transpose(A))
print("A au cube =", matrix_power(A, 3))
Fonctionne avec la bibliothèque standard seule. Remplacez A et B au début par vos propres matrices et lancez le programme (pour la différence, il suffit de remplacer le « + » de matrix_add par « - »). Pour du calcul numérique sérieux, on utilise en général NumPy, une bibliothèque faite pour les matrices (le produit s’y écrit « A @ B »).
Écrire la formule en LaTeX et autres langages mathématiques (à copier-coller)
Somme et différence (coefficient par coefficient, à la même place)
(A + B)ᵢⱼ = aᵢⱼ + bᵢⱼ
(A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub>
<mrow><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>+</mo><mi>B</mi><mo>)</mo></mrow>
<mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow>
</msub>
<mo>=</mo>
<msub><mi>a</mi><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub>
<mo>+</mo>
<msub><mi>b</mi><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub>
</mrow>
</math>
(A + B)_(ij) = a_(ij) + b_(ij)
A + B
C := A + B;
C = A + B;
(A + B)_ij = a_ij + b_ij
Produit (produit scalaire d’une ligne de A et d’une colonne de B)
cᵢⱼ = aᵢ₁b₁ⱼ + aᵢ₂b₂ⱼ + ⋯ + aᵢₙbₙⱼ
c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} b_{kj}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>c</mi><mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow></msub>
<mo>=</mo>
<munderover>
<mo>∑</mo>
<mrow><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow>
<mi>n</mi>
</munderover>
<msub><mi>a</mi><mrow><mi>i</mi><mi>k</mi></mrow></msub>
<msub><mi>b</mi><mrow><mi>k</mi><mi>j</mi></mrow></msub>
</mrow>
</math>
c_(ij) = sum_(k=1)^(n) a_(ik) b_(kj)
A . B
C := A . B;
C = A * B;
c_ij = ∑_(k=1)^n a_ik b_kj
Transposée (échanger lignes et colonnes)
(Aᵀ)ᵢⱼ = aⱼᵢ
(A^{T})_{ij} = a_{ji}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub>
<mrow><mo>(</mo><msup><mi>A</mi><mi>T</mi></msup><mo>)</mo></mrow>
<mrow><mi>i</mi><mi>j</mi></mrow>
</msub>
<mo>=</mo>
<msub><mi>a</mi><mrow><mi>j</mi><mi>i</mi></mrow></msub>
</mrow>
</math>
(A^T)_(ij) = a_(ji)
Transpose[A]
C := LinearAlgebra:-Transpose(A);
C = A.';
(A^T)_ij = a_ji
Puissances (multiplier plusieurs fois la même matrice carrée)
Aⁿ = AA⋯A
A^{n} = \underbrace{AA\cdots A}_{n}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup><mi>A</mi><mi>n</mi></msup>
<mo>=</mo>
<mi>A</mi><mi>A</mi><mo>⋯</mo><mi>A</mi>
</mrow>
</math>
A^n
MatrixPower[A, n]
C := A^n;
C = A^n;
A^n
Faire faire le calcul par ChatGPT
Tu es un assistant de calcul matriciel. Fais le calcul suivant en exécutant réellement du code Python, et appuie ta réponse uniquement sur les nombres obtenus à l’exécution (ne réponds pas de tête ni au jugé). Pour les matrices A = [[1, 2], [3, 4]] et B = [[2, 0], [1, 2]] (écrites ligne par ligne), trouve chacune des matrices suivantes : 1. La somme A + B 2. La différence A − B 3. Le produit AB 4. La transposée de A 5. A au cube (A puissance 3) Pour chacune, montre la formule utilisée (quels coefficients tu as combinés et comment) et la matrice obtenue à l’exécution.
Mode d'emploi
-
1Saisissez vos nombresTapez les nombres à calculer dans les champs de saisie
-
2CalculezAppuyez sur le bouton « Calculer »
-
3Lisez le résultatLe résultat s’affiche aussitôt. La même page explique aussi le raisonnement et la formule
Les atouts de DataChef
Simple et gratuit
Conversions gratuites et illimitées
Aucune compétence requise – simple et intuitif
Aucune compétence requise – simple et intuitif
Aucune inscription requise
Utilisable dès l'ouverture de la page
Aucune donnée personnelle nécessaire
Aucune donnée personnelle nécessaire
Sûr et fiable
Connexion fortement chiffrée (SSL)
Le fichier est supprimé automatiquement après le téléchargement
Le fichier est supprimé automatiquement après le téléchargement
Rapide
Affichage et conversion rapides, sans attente
Sans filigrane
Aucun filigrane
Aucune mention de crédit nécessaire
Aucune mention de crédit nécessaire
Usage commercial autorisé
Usage commercial gratuit
Aucune autorisation préalable nécessaire
Aucune autorisation préalable nécessaire
Fonctions connexes
Calcul de la matrice inverse (2×2, 3×3, 4×4)
La matrice inverse A⁻¹, celle qui donne la matrice identité quand on la multiplie. Indique aussi si l’inverse existe
Calcul de déterminant (2×2, 3×3, 4×4)
Le déterminant det(A) d’une matrice carrée, avec les étapes de la règle de Sarrus et du développement par cofacteurs
Calcul de puissance (a puissance n, exposant)
Les puissances de nombres ordinaires (comme 2 puissance 10), et non de matrices
Calculer en écriture scientifique (addition, soustraction, multiplication, division, puissance)
Une page sœur pour apprendre, étape par étape, les calculs avec les règles sur les puissances
