Geben Sie die Koeffizienten und die rechten Seiten der Gleichungen (I) und (II) ein. Das Gleichungssystem darunter ist mit den Eingabefeldern verknüpft, Sie können die Zahlen also auch direkt darin ändern.
Sie können Dezimalzahlen, negative Zahlen und Brüche wie 3/4 verwenden. Ein leerer Koeffizient von x oder y gilt als 1 (x bedeutet 1x), eine leere rechte Seite als 0. Geben Sie für ein Glied, das Sie nicht brauchen, eine 0 ein.
Ergebnis und Diagramm
Geben Sie links die Koeffizienten der beiden Gleichungen ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Hier erscheinen dann der Rechenweg und ein Graph.
Inhaltsverzeichnis
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Was Sie auf dieser Seite tun können
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Wofür ist diese Berechnung nützlich?
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Anleitung
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Formeln und Graphen
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Ein Gleichungssystem aus zwei linearen Gleichungen und seine Lösung
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Additionsverfahren (Koeffizienten angleichen und die Gleichungen subtrahieren)
-
Einsetzungsverfahren (nach \(y = \) umstellen und einsetzen)
-
Eine Formel für die Lösung in einem Schritt und wie Sie keine oder unendlich viele Lösungen erkennen
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Symbole und Begriffe
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Was Sie vorab wissen sollten
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Mit Excel berechnen
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Mit Google Tabellen berechnen
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Mit Python berechnen
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Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
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Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
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Die Vorteile von DataChef
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Verwandte Funktionen
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Alle NumberChef-Rechner
Was Sie auf dieser Seite tun können
- Lösen Sie ein Gleichungssystem aus zwei linearen Gleichungen, \(ax + by = c,\ dx + ey = f\), sofort, indem Sie nur die Koeffizienten und die rechten Seiten eingeben. Der Rechner zeigt das Gleichungssystem so, wie Sie es von Hand schreiben würden, und Sie können die Zahlen direkt darin ändern
- Wählen Sie das Additionsverfahren (Koeffizienten angleichen, dann die Gleichungen addieren oder subtrahieren) oder das Einsetzungsverfahren (eine Gleichung nach \(y = \) umstellen und einsetzen). Der Rechenweg folgt demselben Ablauf wie im Schulbuch
- Koeffizienten dürfen Dezimalzahlen, negative Zahlen oder Brüche wie 3/4 sein (bei Brüchen und Dezimalzahlen multipliziert der Rechenweg zuerst beide Seiten, damit die Koeffizienten ganze Zahlen werden)
- Neben einer einzigen Lösung erkennt der Rechner auch „keine Lösung“ (parallele Geraden) und unendlich viele Lösungen (dieselbe Gerade) und erklärt, warum. Die Antworten erscheinen als gekürzte Brüche (exakte Werte), bei Brüchen zusätzlich als Dezimalzahlen. Dazu gibt es einen Graphen der beiden Geraden (der Schnittpunkt ist die Lösung) und eine Probe, bei der die Lösung in beide Gleichungen eingesetzt wird
- Eine leicht verständliche Erklärung der Formeln sowie Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python finden Sie ebenfalls auf dieser Seite
Diese Seite löst ein Gleichungssystem aus zwei linearen Gleichungen mit zwei Variablen (x und y). Systeme mit drei oder mehr Variablen oder mit quadratischen Gliedern werden nicht unterstützt.
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
Die Preise zweier Artikel finden (Einkauf und Buchhaltung)
Sie haben zwei Kassenbons, die nur Summen zeigen: „1 Kaffee und 1 Croissant für 4,50 €“ und „2 Kaffee und 1 Croissant für 7,00 €“. Ein Kaffee kostet \(x\) Euro und ein Croissant \(y\) Euro. Das Gleichungssystem \(x + y = 4{,}5\), \(2x + y = 7\) ergibt 2,50 € für den Kaffee und 2,00 € für das Croissant.
„Die Einzelpreise stehen nicht da, aber die Summen von Kombinationen“ ist der klassischste Einsatz eines Gleichungssystems und kommt auch beim Aufschlüsseln von Rechnungen und Angeboten in der Buchhaltung vor.
Den Kreuzungspunkt zweier Tarife finden (Handy, Strom, Abos)
Tarif A kostet 15 € im Monat plus 5 € pro GB, Tarif B kostet 30 € im Monat plus 2 € pro GB. Mit der Monatsrechnung \(y\) Euro und dem Datenvolumen \(x\) GB lauten die Gleichungen \(y = 5x + 15\) und \(y = 2x + 30\). Das System ergibt \(x = 5\) GB, bei denen beide Rechnungen gleich sind, nämlich 40 €.
Also gilt: „Wer mehr als 5 GB nutzt, fährt mit Tarif B günstiger.“ Den Schnittpunkt zweier Geraden zu finden, funktioniert genauso beim Vergleich von Stromtarifen oder Abos (vorausgesetzt, der Preis wächst im gleichen Verhältnis wie die Nutzung).
Die Strecke zu Fuß und die Strecke im Laufschritt finden (Schulweg und Arbeitsweg)
Von zu Hause bis zum Bahnhof sind es 1.500 m. Sie gehen mit 60 Metern pro Minute, laufen ab einer Stelle mit 150 Metern pro Minute und kommen nach 15 Minuten an. Mit \(x\) Metern zu Fuß und \(y\) Metern im Laufschritt lautet die Gleichung für die Strecke \(x + y = 1500\) und die für die Zeit \(\dfrac{x}{60} + \dfrac{y}{150} = 15\). Die Lösung sind 500 m zu Fuß und 1.000 m im Laufschritt.
Gibt es eine „Summe“ und eine zweite Größe, die davon abhängt, wie sich die Summe aufteilt (Zeit, Kosten und so weiter), ergibt sich ein Gleichungssystem. Dieses Muster ist weit über Geschwindigkeitsaufgaben hinaus nützlich.
Lösungen unterschiedlicher Konzentration mischen (Kochen, Herstellung, Landwirtschaft)
Um 300 g einer 8-prozentigen Salzlösung aus einer 5-prozentigen und einer 10-prozentigen Salzlösung zu mischen, sei \(x\) g die 5-prozentige und \(y\) g die 10-prozentige Lösung. Die Gesamtmenge ergibt \(x + y = 300\), die Menge des gelösten Salzes ergibt \(0{,}05x + 0{,}1y = 24\) (8 % von 300 g sind 24 g). Die Lösung sind 120 g der 5-prozentigen und 180 g der 10-prozentigen Lösung.
Konzentrat verdünnen, Dünger anmischen, Metalllegierungen herstellen: Diese Rechnung wird überall verwendet, wo zwei Zutaten zu einer Zielkonzentration gemischt werden.
Den Break-even-Punkt finden (Geschäft und Unternehmen)
Ein Produkt wird für 8 € verkauft, das Material kostet 5 € pro Stück, und die Fixkosten wie Miete betragen 900 € im Monat. Bei \(x\) verkauften Stück im Monat und \(y\) Euro lautet die Gleichung für den Umsatz \(y = 8x\) und die für die Kosten \(y = 5x + 900\). Ihr Schnittpunkt ist \(x = 300\) Stück und \(y = 2.400\) Euro, also sind 300 Stück im Monat die Grenze zwischen Gewinn und Verlust (der Break-even-Punkt).
Es ist eine der ersten Zahlen, die man in einem Geschäftsplan oder bei der Preisfestlegung prüft, und im Kern ein Gleichungssystem (vorausgesetzt, Preis und Stückkosten hängen nicht von der Menge ab).
Formeln und Graphen
Ein Gleichungssystem aus zwei linearen Gleichungen und seine Lösung
Graph
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(ax + by\)
\(=\)
\(c\)
\(dx + ey\)
\(=\)
\(f\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
①
\(ax + by\): linke Seite von (I) (x-Glied plus y-Glied)
\(=\)
②
\(c\): rechte Seite von (I)
③
\(dx + ey\): linke Seite von (II) (x-Glied plus y-Glied)
\(=\)
④
\(f\): rechte Seite von (II)
Die Formel in Worten
①
In der ersten Gleichung ist
\(ax + by\): linke Seite von (I) (x-Glied plus y-Glied)
②
gleich
\(c\): rechte Seite von (I)
und in der zweiten Gleichung ist
③
\(dx + ey\): linke Seite von (II) (x-Glied plus y-Glied)
④
gleich
\(f\): rechte Seite von (II)
– beide Gleichungen müssen gleichzeitig wahr sein. Ein Paar \(x \mid y\), das beide erfüllt, heißt „Lösung“
Einfaches Beispiel
Bei (I) \(x + y = 5\) und (II) \(2x - y = 1\) ist das einzige Paar, das beide erfüllt, \(x = 2,\ y = 3\)
linke Seite von (I), \(x + y\)
\(=\)
rechte Seite von (I), \(5\)
linke Seite von (II), \(2x - y\)
\(=\)
rechte Seite von (II), \(1\)
\(x = 2,\ y = 3\)
\(2 + 3 = 5\)
\(2 \times 2 - 3 = 1\)
Der Kerngedanke
Bei der einzelnen Gleichung \(x + y = 5\) gibt es unendlich viele Paare, die passen: \((1 \mid 4)\), \((2 \mid 3)\), \((0{,}5 \mid 4{,}5)\) und so weiter. Kommt die Bedingung hinzu, dass auch eine zweite Gleichung wahr sein muss, bleibt nur ein Paar übrig.
Im Graphen bilden die Punkte, die eine Gleichung erfüllen, eine Gerade, und die Lösung des Systems ist der Punkt, in dem sich die beiden Geraden kreuzen (der Schnittpunkt). Sind die beiden Geraden parallel, gibt es also keine Lösung, und liegen sie genau aufeinander, gibt es unendlich viele Lösungen.
Additionsverfahren (Koeffizienten angleichen und die Gleichungen subtrahieren)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\((ax + by)\)
\(-\)
\((ax + ey)\)
\(=\)
\(c - f\)
\((b - e)y\)
\(=\)
\(c - f\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
①
\((ax + by)\): linke Seite von (I)
\(-\)
②
\((ax + ey)\): linke Seite von (II) (\(x\)-Koeffizient an (I) angeglichen)
\(=\)
③
\(c - f\): Differenz der rechten Seiten
④
\((b - e)y\): \(x\) ist weg, nur \(y\) bleibt
\(=\)
\(c - f\): Differenz der rechten Seiten
Die Formel in Worten
①
Gleichen Sie zuerst die \(x\)-Koeffizienten der beiden Gleichungen an. Ziehen Sie von
\((ax + by)\): linke Seite von (I)
②
ab
\((ax + ey)\): linke Seite von (II), mit an (I) angeglichenem \(x\)-Koeffizienten
(die rechten Seiten ziehen Sie genauso ab)
③
Die rechte Seite wird zu
\(c - f\): Differenz der rechten Seiten
④
und auf der linken Seite heben sich die \(ax\)-Glieder auf, es bleibt
\((b - e)y\): \(x\) ist weg, nur \(y\) bleibt
(teilen Sie dann beide Seiten durch den Koeffizienten von \(y\), um \(y\) zu finden)
Einfaches Beispiel
Eliminieren Sie \(y\) aus (I) \(x + y = 5\) und (II) \(2x - y = 1\). Die Koeffizienten von \(y\) sind \(+1\) und \(-1\) (gleicher Betrag, entgegengesetzte Vorzeichen), also können Sie die Gleichungen direkt addieren
linke Seite von (I), \(x + y\)
\(+\)
linke Seite von (II), \(2x - y\)
\(=\)
Summe der rechten Seiten, \(5 + 1\)
\((x + y) + (2x - y) = 5 + 1\)
\(3x = 6\)
\(x = 2\)
\(y = 5 - 2 = 3\)
Der Kerngedanke
Ob Sie subtrahieren oder addieren, hängt von den Vorzeichen der angeglichenen Koeffizienten ab. Haben sie dasselbe Vorzeichen (etwa \(+2\) und \(+2\)), subtrahieren Sie die Gleichungen, haben sie entgegengesetzte Vorzeichen (etwa \(+2\) und \(-2\)), addieren Sie sie. In beiden Fällen fällt diese Variable weg.
Stimmen die Koeffizienten noch nicht überein, multiplizieren Sie beide Seiten der Gleichungen so, dass sie übereinstimmen. Sind die \(x\)-Koeffizienten zum Beispiel 2 und 3, gleichen Sie sie auf das kleinste gemeinsame Vielfache 6 an, indem Sie (I) · 3 und (II) · 2 rechnen. „Beide Seiten mit derselben Zahl multiplizieren“ und „linke und rechte Seiten jeweils addieren oder subtrahieren“ beruhen beide auf der Äquivalenzumformung (auf beiden Seiten dasselbe tun, damit sie gleich bleiben), also ändert sich die Lösung nicht.
Sie können wahlweise \(x\) oder \(y\) eliminieren. Ein guter Tipp ist, die Variable zu wählen, deren Koeffizienten sich leichter angleichen lassen.
Einsetzungsverfahren (nach \(y = \) umstellen und einsetzen)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(y\)
\(=\)
\(px + q\)
\(dx + e(px + q)\)
\(=\)
\(f\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
①
\(y\): aus dem Umstellen von (I)
\(=\)
②
\(px + q\): ein Term nur in \(x\)
③
\(dx + e(px + q)\): linke Seite von (II), mit \(px + q\) für \(y\) eingesetzt, jetzt nur noch in \(x\)
\(=\)
④
\(f\): rechte Seite von (II)
Die Formel in Worten
①
Stellen Sie (I) so um, dass
\(y\): aus dem Umstellen von (I)
geschrieben wird als
②
\(px + q\): ein Term nur in \(x\)
③
Setzen Sie ihn in (II) für \(y\) ein (einsetzen), dann wird die linke Seite von (II) zu
\(dx + e(px + q)\): linke Seite von (II), nur in \(x\)
④
Setzen Sie sie gleich
\(f\): rechte Seite von (II)
und lösen Sie diese lineare Gleichung mit einer Variablen, um \(x\) zu finden. Setzen Sie dann \(x\) in \(px + q\) ein, um \(y\) zu finden
Einfaches Beispiel
Bei (I) \(x + y = 5\) und (II) \(2x - y = 1\) ergibt das Umstellen von (I) nach \(y\): \(y = 5 - x\). Setzen Sie das in (II) für \(y\) ein
linke Seite von (II) mit \(5 - x\) für \(y\), \(2x - (5 - x)\)
\(=\)
rechte Seite von (II), \(1\)
\(2x - (5 - x) = 1\)
\(3x - 5 = 1\)
\(3x = 6\)
\(x = 2\)
\(y = 5 - 2 = 3\)
Der Kerngedanke
Sie dürfen frei wählen, welche Gleichung Sie nach welcher Variablen auflösen. Wählen Sie eine Variable mit dem Koeffizienten 1 oder \(-1\), vermeiden Sie Brüche und rechnen einfacher (dieser Rechner wählt genauso).
Setzen Sie beim Einsetzen den ganzen Term in Klammern. Bei \(2x - (5 - x)\) die Vorzeichen beim Auflösen der Klammer falsch zu setzen, ist der häufigste Fehler beim Einsetzungsverfahren.
Additions- und Einsetzungsverfahren sind zwei Wege mit demselben Plan: „eine Variable loswerden, um eine Gleichung mit einer Variablen zu bekommen“. Deshalb führen sie immer zur selben Lösung. Ist eine Gleichung schon in der Form \(y = \) gegeben, etwa \(y = 2x + 1\), ist das Einsetzungsverfahren die bessere Wahl.
Eine Formel für die Lösung in einem Schritt und wie Sie keine oder unendlich viele Lösungen erkennen
Graph
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(x\)
\(=\)
\(\dfrac{ce - bf}{ae - bd}\)
\(y\)
\(=\)
\(\dfrac{af - cd}{ae - bd}\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
②
\(x\): Lösung für \(x\)
\(=\)
①
\(\dfrac{ce - bf}{ae - bd}\): Bruch aus den Koeffizienten
④
\(y\): Lösung für \(y\)
\(=\)
③
\(\dfrac{af - cd}{ae - bd}\): Bruch aus den Koeffizienten
Die Formel in Worten
①
Für den Nenner multiplizieren Sie \(a\) mit \(e\) und \(b\) mit \(d\) über Kreuz und subtrahieren. Für den Zähler tun Sie dasselbe mit \(c\) und \(e\), \(b\) und \(f\). Wenn Sie
\(\dfrac{ce - bf}{ae - bd}\): Bruch aus den Koeffizienten
ausrechnen, erhalten Sie
②
\(x\): Lösung für \(x\)
③
Behalten Sie denselben Nenner und ändern Sie nur den Zähler zu \(af - cd\). Wenn Sie
\(\dfrac{af - cd}{ae - bd}\): Bruch aus den Koeffizienten
ausrechnen, erhalten Sie
④
\(y\): Lösung für \(y\)
Einfaches Beispiel
Für (I) \(x + y = 5\) und (II) \(2x - y = 1\) (\(a = 1,\ b = 1,\ c = 5,\ d = 2,\ e = -1,\ f = 1\))
\(x\): Lösung für \(x\)
\(=\)
Bruch aus den Koeffizienten \(\dfrac{5 \times (-1) - 1 \times 1}{1 \times (-1) - 1 \times 2}\)
\(ae - bd = 1 \times (-1) - 1 \times 2 = -3\)
\(x = \dfrac{ce - bf}{ae - bd} = \dfrac{5 \times (-1) - 1 \times 1}{-3} = \dfrac{-6}{-3} = 2\)
\(y = \dfrac{af - cd}{ae - bd} = \dfrac{1 \times 1 - 5 \times 2}{-3} = \dfrac{-9}{-3} = 3\)
Der Kerngedanke
Ist der Nenner \(ae - bd\) nicht 0, gibt es genau eine Lösung. Diese Formel heißt Cramersche Regel. Sie ist das Ergebnis des Additionsverfahrens, geschrieben mit den Buchstaben der Koeffizienten statt mit Zahlen.
Ist der Nenner \(ae - bd = 0\), können Sie nicht teilen, und es gibt keine eindeutige Lösung. Das passiert, wenn die linken Seiten der beiden Gleichungen proportional sind (die beiden Geraden haben dieselbe Steigung). Stehen die rechten Seiten im selben Verhältnis, sind die Geraden gleich (unendlich viele Lösungen), stimmen nur die rechten Seiten nicht, sind die Geraden parallel (keine Lösung). In Formeln: Sind auch die Zähler \(ce - bf\) und \(af - cd\) beide 0, gibt es unendlich viele Lösungen, sonst keine Lösung.
Die Formel ist praktisch, um Ergebnisse zu prüfen und um viele Systeme auf einmal in einer Tabellenkalkulation zu lösen. In einer Klassenarbeit wird aber meist erwartet, dass Sie den Rechenweg mit Additions- oder Einsetzungsverfahren zeigen.
Der Grundgedanke beim Lösen eines Gleichungssystems ist, „eine Variable loszuwerden, um eine Gleichung mit einer Variablen zu bekommen“. Das Additionsverfahren gleicht die Koeffizienten an und addiert oder subtrahiert die Gleichungen, das Einsetzungsverfahren stellt eine Gleichung nach \(y = \) um und setzt sie ein. Beide führen zum selben Ergebnis. Gibt es keine eindeutige Lösung, sind die beiden Geraden entweder parallel (keine Lösung) oder dieselbe Gerade (unendlich viele Lösungen).
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(x,\ y\) | x, ypsilon | Die Buchstaben für die beiden Zahlen, die Sie finden wollen (die Unbekannten). Üblicherweise stehen Buchstaben vom Ende des Alphabets, \(x,\ y,\ z\), für Zahlen, die wir noch nicht kennen. |
| \(a,\ b,\ c,\ d,\ e,\ f\) | a, b, c, d, e, f | Buchstaben für die Koeffizienten und die Zahlen auf den rechten Seiten (die bekannten Zahlen). Üblicherweise stehen Buchstaben vom Anfang des Alphabets für feste Zahlen. Auf dieser Seite ist (I) \(ax + by = c\) und (II) \(dx + ey = f\). |
| (I), (II) | Gleichung eins, Gleichung zwei | Nummern, die den Gleichungen gegeben werden. Damit schreibt man kurz auf, welche Rechnung mit welcher Gleichung gemacht wurde, etwa „(I) · 2“ oder „(I) + (II)“. In Schulbüchern und Musterlösungen werden sie ebenso verwendet. |
| \(\{\) | Klammer | Die große Klammer links von zwei Gleichungen. Sie zeigt: Beide Gleichungen müssen zugleich wahr sein. |
| \(ae - bd\) | a mal e minus b mal d | Der Wert im Nenner der Ein-Schritt-Formel, den man über Kreuz multipliziert und subtrahiert erhält. Ob er 0 ist, entscheidet darüber, ob es genau eine Lösung gibt. In der Sprache der Matrizen ist er die Determinante der Matrix der Koeffizienten. |
| \((x \mid y)\) | das Paar x, y | Eine Schreibweise für zwei Werte als Paar. Die Lösung eines Systems ist ein Paar aus \(x\) und \(y\) und wird als geordnetes Paar wie \((2 \mid 3)\) geschrieben, genau wie die Koordinaten eines Punktes im Graphen. |
Begriffe
| Gleichungssystem | Zwei oder mehr Gleichungen als Satz, bei dem man die Werte der Variablen sucht, die alle gleichzeitig wahr machen. Wird in Klasse 8 (13–14 Jahre) behandelt. |
| lineare Gleichung mit zwei Variablen | Eine Gleichung mit zwei Variablen, in der jedes Glied vom ersten Grad ist (keine Quadrate und keine miteinander multiplizierten Variablen). \(x + y = 5\) ist eine lineare Gleichung mit zwei Variablen. Ihr Graph ist eine Gerade. |
| Lösung | Die Werte der Variablen, die die Gleichungen wahr machen. Bei einem System ist die Lösung ein Paar aus einem Wert für \(x\) und einem für \(y\), im Graphen der Schnittpunkt der beiden Geraden. |
| Additionsverfahren | Ein Lösungsweg, bei dem man die Koeffizienten der beiden Gleichungen angleicht und die Gleichungen dann addiert oder subtrahiert (linke Seite mit linker Seite, rechte Seite mit rechter Seite), um eine Variable zu eliminieren. Es wird auch Eliminationsverfahren genannt. |
| Gleichungen addieren | Die linken Seiten miteinander und die rechten Seiten miteinander addieren und die beiden Summen mit „=“ zu einer neuen Gleichung verbinden. Das Subtrahieren der Gleichungen funktioniert genauso. |
| Einsetzungsverfahren | Ein Lösungsweg, bei dem man eine Gleichung in die Form „\(y = \) (ein Term in \(x\))“ bringt und sie in der anderen Gleichung für \(y\) einsetzt, um eine Variable zu eliminieren. |
| einsetzen | Einen Wert oder einen Term anstelle eines Buchstabens schreiben. Setzt man \(y = 5 - x\) in \(2x - y = 1\) ein, erhält man \(2x - (5 - x) = 1\). |
| eliminieren | Eine der beiden Variablen aus den Gleichungen entfernen, sodass eine Gleichung mit nur einer Variablen bleibt. Das Additions- und das Einsetzungsverfahren sind beides Wege dazu. |
| Umstellen | Ein Glied einer Gleichung mit umgekehrtem Vorzeichen auf die andere Seite bringen. Bringt man die \(3\) in \(x + 3 = 7\) auf die andere Seite, erhält man \(x = 7 - 3\). Es ist eine Kurzschreibweise für „auf beiden Seiten dieselbe Zahl subtrahieren“. |
| Koeffizient | Die Zahl vor einem Buchstaben. In \(2x\) ist der Koeffizient 2. Steht keine Zahl da, wie in \(x\), ist der Koeffizient 1, und der Koeffizient von \(-y\) ist \(-1\). |
| Äquivalenzumformung | Eine Gleichung bleibt wahr, wenn Sie auf beiden Seiten dieselbe Zahl addieren, subtrahieren oder multiplizieren oder beide Seiten durch dieselbe Zahl ungleich 0 teilen. Wie eine Waage im Gleichgewicht bleibt, wenn auf beide Schalen dasselbe Gewicht gelegt wird. Jeder Schritt im Additions- und im Einsetzungsverfahren beruht auf dieser Regel. |
| kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) | Die kleinste Zahl, die ein Vielfaches beider Zahlen ist. Beim Additionsverfahren ist sie das Ziel beim Angleichen der Koeffizienten (bei den Koeffizienten 2 und 3 gleichen Sie auf 6 an). |
| parallel | Zwei Geraden, die sich nie treffen, egal wie weit sie verlaufen. Sind bei einem Gleichungssystem die beiden Graphen parallel, gibt es keinen Schnittpunkt und damit „keine Lösung“. |
| unendlich viele Lösungen | Wenn es nicht eine einzige Lösung gibt, sondern unendlich viele. Das passiert, wenn die beiden Gleichungen dieselbe Gerade beschreiben, sodass jeder Punkt der Geraden eine Lösung ist. Ein solches System nennt man abhängig. |
| Schnittpunkt | Der Punkt, in dem sich zwei Graphen kreuzen. Die Lösung eines Gleichungssystems sind die Koordinaten des Punktes, in dem sich die Graphen der beiden Gleichungen (zwei Geraden) kreuzen. |
| Probe | Die Lösung in beide ursprüngliche Gleichungen einsetzen und prüfen, ob linke und rechte Seite wirklich gleich sind. Bei einem System genügt dazu das Einsetzen, und wer sich die Probe angewöhnt, entdeckt eigene Fehler. |
| Cramersche Regel | Eine Formel, die die Lösung direkt aus den Koeffizienten berechnet: \(x = \dfrac{ce - bf}{ae - bd},\ y = \dfrac{af - cd}{ae - bd}\). Sie ist nach dem Schweizer Mathematiker Gabriel Cramer benannt. Meist lernt man sie mit Matrizen in der Oberstufe oder in der Linearen Algebra an der Hochschule, bei zwei Variablen können Sie sie aber mit einfacher Algebra überprüfen. |
| Determinante | Ein Wert, der aus einer quadratischen Zahlentabelle (einer Matrix) berechnet wird. Bei zwei Variablen ist es \(ae - bd\). |
Was Sie vorab wissen sollten
Hier steht, was Ihnen hilft, die Berechnung auf dieser Seite wirklich zu verstehen und nicht nur den Knopf zu drücken.
Wenn Sie nicht weiterkommen, ist es der schnellste Weg, diese Themen zu wiederholen.
| Terme mit Variablen (Klasse 6–7, 11–13 Jahre) |
|
| Rechnen mit negativen Zahlen (Klasse 6–7, 11–13 Jahre) |
|
| Lineare Gleichungen (Klasse 7–8, 12–14 Jahre) |
|
| Koordinaten und Graphen (Klasse 6–8, 11–14 Jahre) |
|
| Bruchrechnung (Klasse 5–7, 10–13 Jahre) |
|
Mit Excel berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle zur Lösung des Systems
| (I) Koeffizient von x, a | 1 |
| (I) Koeffizient von y, b | 1 |
| (I) rechte Seite, c | 5 |
| (II) Koeffizient von x, d | 2 |
| (II) Koeffizient von y, e | -1 |
| (II) rechte Seite, f | 1 |
| Nenner ae−bd | =B1*B5-B2*B4 |
| Lösung x ((ce−bf)÷(ae−bd)) | =(B3*B5-B2*B6)/B7 |
| Lösung y ((af−cd)÷(ae−bd)) | =(B1*B6-B3*B4)/B7 |
Tabelle zur Prüfung auf keine Lösung oder unendlich viele Lösungen
| (I) Koeffizient von x, a | 1 |
| (I) Koeffizient von y, b | 1 |
| (I) rechte Seite, c | 3 |
| (II) Koeffizient von x, d | 2 |
| (II) Koeffizient von y, e | 2 |
| (II) rechte Seite, f | 6 |
| Nenner ae−bd | =B1*B5-B2*B4 |
| Zähler ce−bf | =B3*B5-B2*B6 |
| Zähler af−cd | =B1*B6-B3*B4 |
| Ergebnis | =WENN(B7<>0;"Eine Lösung";WENN(UND(B8=0;B9=0);"Unendlich viele Lösungen";"Keine Lösung (parallel)")) |
Tabelle zur Probe der Lösung (in beide Gleichungen einsetzen)
| (I) Koeffizient von x, a | 1 |
| (I) Koeffizient von y, b | 1 |
| (I) rechte Seite, c | 5 |
| (II) Koeffizient von x, d | 2 |
| (II) Koeffizient von y, e | -1 |
| (II) rechte Seite, f | 1 |
| Lösung x | 2 |
| Lösung y | 3 |
| Linke Seite von (I) ax+by (richtig, wenn gleich c) | =B1*B7+B2*B8 |
| Linke Seite von (II) dx+ey (richtig, wenn gleich f) | =B4*B7+B5*B8 |
Nach dem Einfügen sind die oberen Zeilen (die Koeffizienten und rechten Seiten) Ihre Eingaben, und die unteren Zeilen werden automatisch berechnet.
Die erste Tabelle löst x + y = 5, 2x − y = 1. Der Nenner ae−bd ist −3, und die Lösung ist x = 2, y = 3. Ist der Nenner 0, ergibt die Division einen Fehler (#DIV/0!), und das ist das Zeichen dafür, dass es keine eindeutige Lösung gibt.
Die zweite Tabelle gehört zu x + y = 3, 2x + 2y = 6, und das Ergebnis lautet „Unendlich viele Lösungen“. Ändern Sie die rechte Seite f von (II) auf 10, wird daraus „Keine Lösung (parallel)“.
Die dritte Tabelle macht die Probe, indem sie die Lösung in beide Gleichungen einsetzt. Die linke Seite von (I) ist 5 und die linke Seite von (II) ist 1, das passt zu den rechten Seiten.
Die erste Tabelle löst x + y = 5, 2x − y = 1. Der Nenner ae−bd ist −3, und die Lösung ist x = 2, y = 3. Ist der Nenner 0, ergibt die Division einen Fehler (#DIV/0!), und das ist das Zeichen dafür, dass es keine eindeutige Lösung gibt.
Die zweite Tabelle gehört zu x + y = 3, 2x + 2y = 6, und das Ergebnis lautet „Unendlich viele Lösungen“. Ändern Sie die rechte Seite f von (II) auf 10, wird daraus „Keine Lösung (parallel)“.
Die dritte Tabelle macht die Probe, indem sie die Lösung in beide Gleichungen einsetzt. Die linke Seite von (I) ist 5 und die linke Seite von (II) ist 1, das passt zu den rechten Seiten.
Mit Google Tabellen berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle zur Lösung des Systems
| (I) Koeffizient von x, a | 1 |
| (I) Koeffizient von y, b | 1 |
| (I) rechte Seite, c | 5 |
| (II) Koeffizient von x, d | 2 |
| (II) Koeffizient von y, e | -1 |
| (II) rechte Seite, f | 1 |
| Nenner ae−bd | =B1*B5-B2*B4 |
| Lösung x ((ce−bf)÷(ae−bd)) | =(B3*B5-B2*B6)/B7 |
| Lösung y ((af−cd)÷(ae−bd)) | =(B1*B6-B3*B4)/B7 |
Tabelle zur Prüfung auf keine Lösung oder unendlich viele Lösungen
| (I) Koeffizient von x, a | 1 |
| (I) Koeffizient von y, b | 1 |
| (I) rechte Seite, c | 3 |
| (II) Koeffizient von x, d | 2 |
| (II) Koeffizient von y, e | 2 |
| (II) rechte Seite, f | 6 |
| Nenner ae−bd | =B1*B5-B2*B4 |
| Zähler ce−bf | =B3*B5-B2*B6 |
| Zähler af−cd | =B1*B6-B3*B4 |
| Ergebnis | =WENN(B7<>0;"Eine Lösung";WENN(UND(B8=0;B9=0);"Unendlich viele Lösungen";"Keine Lösung (parallel)")) |
Tabelle zur Probe der Lösung (in beide Gleichungen einsetzen)
| (I) Koeffizient von x, a | 1 |
| (I) Koeffizient von y, b | 1 |
| (I) rechte Seite, c | 5 |
| (II) Koeffizient von x, d | 2 |
| (II) Koeffizient von y, e | -1 |
| (II) rechte Seite, f | 1 |
| Lösung x | 2 |
| Lösung y | 3 |
| Linke Seite von (I) ax+by (richtig, wenn gleich c) | =B1*B7+B2*B8 |
| Linke Seite von (II) dx+ey (richtig, wenn gleich f) | =B4*B7+B5*B8 |
Die Formeln funktionieren wie in Excel (bei deutschen Spracheinstellungen von Google Tabellen). Kopieren Sie die gesamte Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Koeffizienten und rechten Seiten durch Ihre eigenen Zahlen.
Mit Python berechnen
from fractions import Fraction
# (I): a1*x + b1*y = c1
# (II): a2*x + b2*y = c2 (ein Bruch wie 3/4 wird als Fraction(3, 4) geschrieben)
a1, b1, c1 = Fraction(1), Fraction(1), Fraction(5)
a2, b2, c2 = Fraction(2), Fraction(-1), Fraction(1)
denominator = a1 * b2 - a2 * b1 # Nenner der Formel, ae − bd
if denominator != 0:
x = (c1 * b2 - c2 * b1) / denominator
y = (a1 * c2 - a2 * c1) / denominator
print(f"Lösung: x = {x}, y = {y}")
print(f"Als Dezimalzahlen: x = {float(x)}, y = {float(y)}")
elif c1 * b2 - c2 * b1 == 0 and a1 * c2 - a2 * c1 == 0:
print("Unendlich viele Lösungen (beide Gleichungen beschreiben dieselbe Gerade)")
else:
print("Keine Lösung (die beiden Geraden sind parallel und schneiden sich nie)")
Mit dem Modul fractions aus der Standardbibliothek rechnen Sie mit exakten Brüchen, ohne Rundungsfehler bei Dezimalzahlen. Dieses Beispiel löst x + y = 5, 2x − y = 1, und beim Ausführen erscheint „Lösung: x = 2, y = 3“. Ändern Sie die Koeffizienten und rechten Seiten und führen Sie den Code aus.
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
Ein Gleichungssystem aus zwei linearen Gleichungen und seine Lösung
ax + by = c, dx + ey = f
\begin{cases} ax + by = c \\ dx + ey = f \end{cases}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mo>{</mo>
<mtable columnalign="left">
<mtr><mtd>
<mi>a</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mi>y</mi><mo>=</mo><mi>c</mi>
</mtd></mtr>
<mtr><mtd>
<mi>d</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>e</mi><mi>y</mi><mo>=</mo><mi>f</mi>
</mtd></mtr>
</mtable>
</mrow>
</math>
{(ax + by = c),(dx + ey = f):}
Solve[{a*x + b*y == c, d*x + e*y == f}, {x, y}]
solve({a*x + b*y = c, d*x + e*y = f}, {x, y});
S = solve(a*x + b*y == c, d*x + e*y == f, [x, y])
ax + by = c, dx + ey = f
Additionsverfahren (Koeffizienten angleichen und die Gleichungen subtrahieren)
(ax + by) − (ax + ey) = c − f
(ax + by) - (ax + ey) = c - f
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mo>(</mo><mi>a</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mi>y</mi><mo>)</mo>
<mo>−</mo>
<mo>(</mo><mi>a</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>e</mi><mi>y</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mi>c</mi><mo>−</mo><mi>f</mi>
</mrow>
</math>
(ax + by) - (ax + ey) = c - f
Simplify[(a*x + b*y) - (a*x + e*y) == c - f]
(a*x + b*y) - (a*x + e*y) = c - f;
simplify((a*x + b*y) - (a*x + e*y) == c - f)
(ax + by) − (ax + ey) = c − f
Einsetzungsverfahren (nach \(y = \) umstellen und einsetzen)
y = px + q, dx + e(px + q) = f
y = px + q,\quad dx + e(px + q) = f
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>y</mi><mo>=</mo><mi>p</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>q</mi>
<mo>,</mo>
<mi>d</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>e</mi>
<mo>(</mo><mi>p</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>q</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo><mi>f</mi>
</mrow>
</math>
y = px + q, dx + e(px + q) = f
Solve[{y == p*x + q, d*x + e*y == f}, {x, y}]
subs(y = p*x + q, d*x + e*y = f);
subs(d*x + e*y == f, y, p*x + q)
y = px + q, dx + e(px + q) = f
Eine Formel für die Lösung in einem Schritt und wie Sie keine oder unendlich viele Lösungen erkennen
x = (ce − bf)/(ae − bd), y = (af − cd)/(ae − bd)
x = \frac{ce - bf}{ae - bd},\quad y = \frac{af - cd}{ae - bd}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>x</mi><mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>c</mi><mi>e</mi><mo>−</mo><mi>b</mi><mi>f</mi></mrow>
<mrow><mi>a</mi><mi>e</mi><mo>−</mo><mi>b</mi><mi>d</mi></mrow>
</mfrac>
<mo>,</mo>
<mi>y</mi><mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>a</mi><mi>f</mi><mo>−</mo><mi>c</mi><mi>d</mi></mrow>
<mrow><mi>a</mi><mi>e</mi><mo>−</mo><mi>b</mi><mi>d</mi></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
x = (ce - bf)/(ae - bd), y = (af - cd)/(ae - bd)
{x, y} = {(c*e - b*f)/(a*e - b*d), (a*f - c*d)/(a*e - b*d)}
x := (c*e - b*f)/(a*e - b*d); y := (a*f - c*d)/(a*e - b*d);
x = (c*e - b*f)/(a*e - b*d); y = (a*f - c*d)/(a*e - b*d);
x = (ce − bf)/(ae − bd), y = (af − cd)/(ae − bd)
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
Sie sind ein Rechenassistent für Mathematik (Gleichungssysteme). Führen Sie die folgende Berechnung durch, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ergebnis der Ausführung (antworten Sie nicht durch Kopfrechnen oder Raten). Lösen Sie das Gleichungssystem x + y = 5, 2x − y = 1. Zeigen Sie jeweils: 1. Die Lösung x, y (sind es Brüche, geben Sie sowohl gekürzte Brüche als auch Dezimalzahlen an) 2. Den Rechenweg mit dem Additionsverfahren (die Koeffizienten einer Variablen angleichen, dann die Gleichungen addieren oder subtrahieren) 3. Eine Probe, bei der die Lösung in beide Gleichungen eingesetzt wird Rechnen Sie in Python exakt mit dem Modul fractions aus der Standardbibliothek und zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ergebnis der Ausführung. Gibt es keine Lösung oder unendlich viele, erklären Sie auch, warum.
Anleitung
-
1Zahlen eingebenGeben Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
-
2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
-
3Ergebnis ablesenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
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