Geben Sie die Koeffizienten und die rechten Seiten der Gleichungen I und II ein. Das Gleichungssystem darunter ist mit den Eingabefeldern verbunden – Sie können die Zahlen auch direkt darin ändern.
Möglich sind Dezimalzahlen, negative Zahlen und Brüche wie 3/4. Ein leerer Koeffizient von x oder y zählt als 1 (x bedeutet 1x), eine leere rechte Seite als 0. Geben Sie für einen Term, den Sie nicht brauchen, 0 ein.
Ergebnis und Graph
Geben Sie links die Koeffizienten der beiden Gleichungen ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Der Rechenweg und der Graph erscheinen dann hier.
Inhaltsverzeichnis
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Das können Sie auf dieser Seite
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Wofür braucht man diese Berechnung?
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Anleitung
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Formeln und Graphen
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Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen und seine Lösung
-
Additionsverfahren (Koeffizienten angleichen und die Gleichungen subtrahieren)
-
Einsetzungsverfahren (nach \(y\) auflösen und einsetzen)
-
Eine Formel für die Lösung in einem Schritt – und wie man „keine Lösung“ oder „unendlich viele“ erkennt
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-
Symbole und Begriffe
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Das sollten Sie vorher wissen
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So berechnen Sie es in Excel
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So berechnen Sie es in Google Tabellen
-
So berechnen Sie es in Python
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So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
-
So lassen Sie ChatGPT rechnen
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Die Vorteile von DataChef
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Verwandte Funktionen
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Alle Rechner von NumberChef
Das können Sie auf dieser Seite
- Sie lösen ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen \(ax + by = c\) und \(dx + ey = f\) sofort, indem Sie nur die Koeffizienten und die rechten Seiten eingeben. Der Rechner zeigt das System so, wie Sie es von Hand schreiben, und Sie können die Zahlen direkt darin ändern
- Wählen Sie das Additionsverfahren (Koeffizienten angleichen, dann die Gleichungen addieren oder subtrahieren) oder das Einsetzungsverfahren (eine Gleichung nach \(y\) auflösen und einsetzen). Der Rechenweg folgt dem Ablauf im Schulbuch
- Als Koeffizienten sind Dezimalzahlen, negative Zahlen und Brüche wie 3/4 möglich (bei Brüchen und Dezimalzahlen beginnt der Rechenweg damit, beide Seiten so zu multiplizieren, dass ganze Zahlen entstehen)
- Neben genau einer Lösung erkennt der Rechner auch „keine Lösung“ (parallele Geraden) und unendlich viele Lösungen (dieselbe Gerade) und erklärt, warum. Die Ergebnisse stehen als gekürzte Brüche (exakte Werte) da, bei Brüchen zusätzlich als Dezimalzahl. Dazu sehen Sie den Graphen der beiden Geraden (der Schnittpunkt ist die Lösung) und die Probe, bei der die Lösung in beide Gleichungen eingesetzt wird
- Außerdem auf dieser Seite: eine leicht verständliche Erklärung der Formeln und Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python
Diese Seite löst lineare Gleichungssysteme aus zwei linearen Gleichungen mit zwei Variablen (x und y). Systeme mit drei oder mehr Variablen oder mit quadratischen Termen werden nicht unterstützt.
Wofür braucht man diese Berechnung?
Die Preise zweier Artikel herausfinden (Einkauf und Buchhaltung)
Angenommen, Sie haben zwei Kassenbons, auf denen nur die Summen stehen: „1 Kaffee und 1 Brezel für 5,50 €“ und „2 Kaffee und 1 Brezel für 9,00 €“. Kostet ein Kaffee \(x\) Euro und eine Brezel \(y\) Euro, ergibt sich das System \(x + y = 5{,}5\) und \(2x + y = 9\): ein Kaffee kostet 3,50 €, eine Brezel 2,00 €.
„Einzelpreise stehen nicht da, aber die Summen von Kombinationen“ – das ist die klassische Anwendung eines Gleichungssystems und kommt auch beim Aufschlüsseln von Rechnungen und Angeboten in der Buchhaltung vor.
Ab wann lohnt sich welcher Tarif? (Verleih, Strom, Abos)
Ein Fahrradverleih bietet Tarif A für 15 € Grundgebühr plus 5 € pro Stunde und Tarif B für 30 € Grundgebühr plus 2 € pro Stunde. Mit dem Preis \(y\) in Euro und der Mietdauer \(x\) in Stunden gilt \(y = 5x + 15\) und \(y = 2x + 30\). Das System hat die Lösung \(x = 5\) Stunden, dann kosten beide Tarife 40 €.
Wer länger als 5 Stunden fährt, ist also mit Tarif B günstiger. Den Schnittpunkt zweier Geraden zu bestimmen, hilft genauso beim Vergleich von Strom- oder Handytarifen und Abos (wenn der Preis gleichmäßig mit der Nutzung steigt).
Wie weit bin ich gegangen und wie weit gelaufen? (Schul- und Arbeitsweg)
Von zu Hause bis zum Bahnhof sind es 1.500 m. Sie gehen mit 60 m pro Minute, laufen dann mit 150 m pro Minute und kommen nach 15 Minuten an. Mit \(x\) m gegangen und \(y\) m gelaufen gilt für die Strecke \(x + y = 1500\) und für die Zeit \(\dfrac{x}{60} + \dfrac{y}{150} = 15\). Die Lösung: 500 m gegangen und 1.000 m gelaufen.
Immer wenn eine Gesamtmenge und eine zweite Größe gegeben sind, die von der Aufteilung abhängt (Zeit, Kosten usw.), entsteht ein Gleichungssystem. Das Muster hilft weit über Bewegungsaufgaben hinaus.
Lösungen unterschiedlicher Konzentration mischen (Küche, Produktion, Landwirtschaft)
Sie möchten aus einer 5-prozentigen und einer 10-prozentigen Salzlösung 300 g einer 8-prozentigen Lösung mischen. Mit \(x\) g der 5-%-Lösung und \(y\) g der 10-%-Lösung gilt für die Gesamtmenge \(x + y = 300\) und für die Salzmenge \(0{,}05x + 0{,}1y = 24\) (8 % von 300 g sind 24 g). Die Lösung: 120 g der 5-%-Lösung und 180 g der 10-%-Lösung.
Reinigungskonzentrat verdünnen, Dünger ansetzen, Legierungen herstellen – überall, wo zwei Zutaten auf eine Zielkonzentration gemischt werden, kommt diese Rechnung vor.
Die Gewinnschwelle berechnen (Laden und Betrieb)
Ein Produkt kostet 8 €, das Material pro Stück 5 €, die Fixkosten wie Miete betragen 900 € im Monat. Mit \(x\) verkauften Stück pro Monat und \(y\) Euro gilt für den Erlös \(y = 8x\) und für die Kosten \(y = 5x + 900\). Der Schnittpunkt liegt bei \(x = 300\) Stück und \(y = 2.400\) Euro – 300 Stück im Monat sind die Grenze zwischen Gewinn und Verlust (die Gewinnschwelle).
Das ist eine der ersten Zahlen, die man in einem Geschäftsplan oder bei der Preisfindung prüft, und im Kern ein Gleichungssystem (vorausgesetzt, Preis und Stückkosten hängen nicht von der Menge ab).
Formeln und Graphen
Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen und seine Lösung
Graph
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(ax + by\)
\(=\)
\(c\)
\(dx + ey\)
\(=\)
\(f\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
①
\(ax + by\): linke Seite von I (Term mit \(x\) plus Term mit \(y\))
\(=\)
②
\(c\): rechte Seite von I
③
\(dx + ey\): linke Seite von II (Term mit \(x\) plus Term mit \(y\))
\(=\)
④
\(f\): rechte Seite von II
Die Formel in Worten
①
Die Gleichung, in der
\(ax + by\): linke Seite von I (Term mit \(x\) plus Term mit \(y\))
②
gleich
\(c\): rechte Seite von I
ist, und die Gleichung, in der
③
\(dx + ey\): linke Seite von II (Term mit \(x\) plus Term mit \(y\))
④
gleich
\(f\): rechte Seite von II
ist, müssen gleichzeitig gelten. Ein Paar \((x \mid y)\), das beide erfüllt, heißt „Lösung“
Einfaches Beispiel
Bei I: \(x + y = 5\) und II: \(2x - y = 1\) erfüllt nur das Paar \(x = 2;\ y = 3\) beide Gleichungen
linke Seite von I, \(x + y\)
\(=\)
rechte Seite von I, \(5\)
linke Seite von II, \(2x - y\)
\(=\)
rechte Seite von II, \(1\)
\(x = 2;\ y = 3\)
\(2 + 3 = 5\)
\(2 \times 2 - 3 = 1\)
Der Grundgedanke
Für die einzelne Gleichung \(x + y = 5\) gibt es unendlich viele passende Paare: \((1 \mid 4)\), \((2 \mid 3)\), \((0{,}5 \mid 4{,}5)\) und so weiter. Erst die Bedingung, dass auch die zweite Gleichung gelten muss, grenzt die Antwort auf ein Paar ein.
Im Graphen bilden die Punkte, die eine Gleichung erfüllen, eine Gerade. Die Lösung des Systems ist der Punkt, in dem sich die beiden Geraden schneiden (der Schnittpunkt). Sind die Geraden parallel, gibt es keine Lösung; liegen sie genau aufeinander, gibt es unendlich viele Lösungen.
Additionsverfahren (Koeffizienten angleichen und die Gleichungen subtrahieren)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\((ax + by)\)
\(-\)
\((ax + ey)\)
\(=\)
\(c - f\)
\((b - e)y\)
\(=\)
\(c - f\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
①
\((ax + by)\): linke Seite von I
\(-\)
②
\((ax + ey)\): linke Seite von II (Koeffizient von \(x\) an I angeglichen)
\(=\)
③
\(c - f\): Differenz der rechten Seiten
④
\((b - e)y\): \(x\) ist weg, nur \(y\) bleibt
\(=\)
\(c - f\): Differenz der rechten Seiten
Die Formel in Worten
①
Zuerst gleicht man die Koeffizienten von \(x\) in beiden Gleichungen an. Von
\((ax + by)\): linke Seite von I
②
zieht man
\((ax + ey)\): linke Seite von II mit an I angeglichenem Koeffizienten von \(x\)
ab (die rechten Seiten genauso).
③
Rechts entsteht
\(c - f\): Differenz der rechten Seiten
④
und links fallen die Terme \(ax\) weg, es bleibt
\((b - e)y\): \(x\) ist weg, nur \(y\) bleibt
(dann beide Seiten durch den Koeffizienten von \(y\) teilen und \(y\) bestimmen)
Einfaches Beispiel
Bei I: \(x + y = 5\) und II: \(2x - y = 1\) wird \(y\) eliminiert. Die Koeffizienten von \(y\) sind \(+1\) und \(-1\) (gleicher Betrag, entgegengesetzte Vorzeichen), also kann man die Gleichungen direkt addieren
linke Seite von I, \(x + y\)
\(+\)
linke Seite von II, \(2x - y\)
\(=\)
Summe der rechten Seiten, \(5 + 1\)
\((x + y) + (2x - y) = 5 + 1\)
\(3x = 6\)
\(x = 2\)
\(y = 5 - 2 = 3\)
Der Grundgedanke
Ob man subtrahiert oder addiert, hängt von den Vorzeichen der angeglichenen Koeffizienten ab. Haben sie dasselbe Vorzeichen (etwa \(+2\) und \(+2\)), subtrahiert man die Gleichungen, haben sie entgegengesetzte Vorzeichen (etwa \(+2\) und \(-2\)), addiert man sie. In beiden Fällen fällt die Variable weg.
Sind die Koeffizienten noch nicht gleich, multipliziert man die Gleichungen so, dass sie es werden. Sind die Koeffizienten von \(x\) zum Beispiel 2 und 3, gleicht man sie auf das kgV 6 an: I · 3 und II · 2. „Beide Seiten mit derselben Zahl multiplizieren“ und „linke mit linker, rechte mit rechter Seite addieren oder subtrahieren“ sind Äquivalenzumformungen (dasselbe auf beiden Seiten tun hält die Gleichheit), die Lösung ändert sich also nicht.
Sie können \(x\) oder \(y\) eliminieren. Am besten nimmt man die Variable, deren Koeffizienten sich leichter angleichen lassen.
Einsetzungsverfahren (nach \(y\) auflösen und einsetzen)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(y\)
\(=\)
\(px + q\)
\(dx + e(px + q)\)
\(=\)
\(f\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
①
\(y\): aus I umgeformt
\(=\)
②
\(px + q\): Term nur mit \(x\)
③
\(dx + e(px + q)\): linke Seite von II, \(px + q\) für \(y\) eingesetzt, jetzt nur mit \(x\)
\(=\)
④
\(f\): rechte Seite von II
Die Formel in Worten
①
Man formt I durch Seitenwechsel und Teilen so um, dass
\(y\): aus I umgeformt
geschrieben wird als
②
\(px + q\): Term nur mit \(x\)
③
Setzt man das in II für \(y\) ein, wird die linke Seite von II zu
\(dx + e(px + q)\): linke Seite von II nur mit \(x\)
④
Gleichsetzen mit
\(f\): rechte Seite von II
und diese lineare Gleichung mit einer Variablen lösen ergibt \(x\). Dann \(x\) in \(px + q\) einsetzen und \(y\) bestimmen
Einfaches Beispiel
Bei I: \(x + y = 5\) und II: \(2x - y = 1\) ergibt I nach \(y\) aufgelöst \(y = 5 - x\). Das wird in II für \(y\) eingesetzt
linke Seite von II mit \(5 - x\) für \(y\), \(2x - (5 - x)\)
\(=\)
rechte Seite von II, \(1\)
\(2x - (5 - x) = 1\)
\(3x - 5 = 1\)
\(3x = 6\)
\(x = 2\)
\(y = 5 - 2 = 3\)
Der Grundgedanke
Welche Gleichung Sie nach welcher Variablen auflösen, ist frei. Wählen Sie eine Variable mit dem Koeffizienten 1 oder \(-1\), entstehen beim Umformen keine Brüche und die Rechnung wird einfacher (dieser Rechner wählt genauso).
Beim Einsetzen setzt man den ganzen Term in Klammern. Vorzeichenfehler beim Auflösen der Klammer in \(2x - (5 - x)\) sind der häufigste Fehler beim Einsetzungsverfahren.
Additions- und Einsetzungsverfahren sind zwei Wege mit demselben Plan: „eine Variable loswerden, damit eine Gleichung mit einer Variablen entsteht“. Deshalb liefern sie immer dieselbe Lösung. Steht eine Gleichung schon in der Form \(y = \), etwa \(y = 2x + 1\), ist das Einsetzungsverfahren die bessere Wahl. Stehen beide Gleichungen in dieser Form, kann man auch die rechten Seiten gleichsetzen – das ist das Gleichsetzungsverfahren, das in der Schule als drittes Verfahren vorkommt.
Eine Formel für die Lösung in einem Schritt – und wie man „keine Lösung“ oder „unendlich viele“ erkennt
Graph
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(x\)
\(=\)
\(\dfrac{ce - bf}{ae - bd}\)
\(y\)
\(=\)
\(\dfrac{af - cd}{ae - bd}\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
②
\(x\): Lösung für \(x\)
\(=\)
①
\(\dfrac{ce - bf}{ae - bd}\): Bruch aus den Koeffizienten
④
\(y\): Lösung für \(y\)
\(=\)
③
\(\dfrac{af - cd}{ae - bd}\): Bruch aus den Koeffizienten
Die Formel in Worten
①
Für den Nenner multipliziert man über Kreuz \(a\) mit \(e\) und \(b\) mit \(d\) und subtrahiert. Für den Zähler macht man dasselbe mit \(c\) und \(e\) sowie \(b\) und \(f\). Rechnet man
\(\dfrac{ce - bf}{ae - bd}\): Bruch aus den Koeffizienten
aus, erhält man
②
\(x\): Lösung für \(x\)
③
Mit demselben Nenner und dem Zähler \(af - cd\) ergibt
\(\dfrac{af - cd}{ae - bd}\): Bruch aus den Koeffizienten
die
④
\(y\): Lösung für \(y\)
Einfaches Beispiel
Bei I: \(x + y = 5\) und II: \(2x - y = 1\) (\(a = 1;\ b = 1;\ c = 5;\ d = 2;\ e = -1;\ f = 1\))
\(x\): Lösung für \(x\)
\(=\)
Bruch aus den Koeffizienten \(\dfrac{5 \times (-1) - 1 \times 1}{1 \times (-1) - 1 \times 2}\)
\(ae - bd = 1 \times (-1) - 1 \times 2 = -3\)
\(x = \dfrac{ce - bf}{ae - bd} = \dfrac{5 \times (-1) - 1 \times 1}{-3} = \dfrac{-6}{-3} = 2\)
\(y = \dfrac{af - cd}{ae - bd} = \dfrac{1 \times 1 - 5 \times 2}{-3} = \dfrac{-9}{-3} = 3\)
Der Grundgedanke
Ist der Nenner \(ae - bd\) nicht 0, gibt es genau eine Lösung. Diese Formel heißt cramersche Regel. Sie ist das Ergebnis des Additionsverfahrens, nur mit den Buchstaben der Koeffizienten statt mit Zahlen geschrieben.
Ist der Nenner \(ae - bd = 0\), kann man nicht teilen, und es gibt keine eindeutige Lösung. Das passiert, wenn die linken Seiten der beiden Gleichungen proportional sind (die Geraden haben dieselbe Steigung). Stehen auch die rechten Seiten im selben Verhältnis, ist es dieselbe Gerade (unendlich viele Lösungen); passen nur die rechten Seiten nicht, sind die Geraden parallel (keine Lösung). Als Formel: Sind auch die Zähler \(ce - bf\) und \(af - cd\) beide 0, gibt es unendlich viele Lösungen, sonst keine.
Die Formel ist praktisch für die Kontrolle und um viele Systeme auf einmal in einer Tabellenkalkulation zu lösen. In einer Klassenarbeit wird aber meist der Rechenweg mit Additions- oder Einsetzungsverfahren erwartet.
Der Grundplan beim Lösen eines linearen Gleichungssystems: „eine Variable loswerden, damit eine Gleichung mit einer Variablen entsteht“. Beim Additionsverfahren gleicht man die Koeffizienten an und addiert oder subtrahiert die Gleichungen, beim Einsetzungsverfahren löst man eine Gleichung nach \(y\) auf und setzt sie ein. Beide liefern dieselbe Lösung. Gibt es keine eindeutige Lösung, sind die Geraden entweder parallel (keine Lösung) oder identisch (unendlich viele Lösungen).
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(x,\ y\) | x, y | Die Buchstaben für die beiden gesuchten Zahlen (die Variablen). Für noch unbekannte Zahlen nimmt man üblicherweise Buchstaben vom Ende des Alphabets: \(x,\ y,\ z\). |
| \(a,\ b,\ c,\ d,\ e,\ f\) | a, b, c, d, e, f | Buchstaben für die Koeffizienten und die Zahlen auf der rechten Seite (die bekannten Zahlen). Für feste Zahlen nimmt man üblicherweise Buchstaben vom Anfang des Alphabets. Auf dieser Seite ist I: \(ax + by = c\) und II: \(dx + ey = f\). |
| I, II | Gleichung eins, Gleichung zwei | Nummern für die Gleichungen, in deutschen Schulbüchern mit römischen Zahlen. Mit ihnen schreibt man kurz, was mit welcher Gleichung gemacht wird, etwa „I · 2“ oder „I + II“. |
| \(\{\) | geschweifte Klammer | Die große Klammer links vor einem Gleichungssystem. Sie bedeutet „diese beiden Gleichungen müssen gleichzeitig gelten“ und zeigt, dass sie zusammengehören. |
| \(ae - bd\) | a e minus b d | Der Wert im Nenner der Formel für die Lösung in einem Schritt, entstanden durch Multiplizieren über Kreuz und Subtrahieren. Ob er 0 ist, entscheidet, ob es genau eine Lösung gibt. In der Sprache der Matrizen ist er die Determinante der Koeffizientenmatrix. |
| \((x \mid y)\) | das Paar x, y | So schreibt man zwei Werte als Paar. Die Lösung eines Gleichungssystems ist ein Paar aus \(x\) und \(y\), etwa \((2 \mid 3)\) – genauso wie die Koordinaten eines Punktes im Koordinatensystem. Die Lösungsmenge schreibt man \(L = \{(2 \mid 3)\}\). |
Begriffe
| lineares Gleichungssystem | Zwei oder mehr Gleichungen, die zusammen betrachtet werden. Gesucht sind die Werte der Variablen, die alle Gleichungen gleichzeitig erfüllen (kurz LGS). Man lernt es in Klasse 8–9 (13–15 Jahre). |
| lineare Gleichung mit zwei Variablen | Eine Gleichung mit zwei Variablen, in der jeder Term höchstens ersten Grades ist (keine Quadrate, keine Produkte von Variablen). \(x + y = 5\) ist so eine Gleichung. Ihr Graph ist eine Gerade. |
| Lösung | Die Werte der Variablen, die die Gleichungen erfüllen. Bei einem Gleichungssystem ist die Lösung ein Paar aus \(x\) und \(y\), im Graphen der Schnittpunkt der beiden Geraden. |
| Additionsverfahren | Lösungsverfahren, bei dem man die Koeffizienten der beiden Gleichungen angleicht und sie dann addiert oder subtrahiert (linke mit linker, rechte mit rechter Seite), um eine Variable zu eliminieren. Manche Bücher nennen es auch Eliminationsverfahren. |
| Gleichungen addieren | Die linken Seiten addieren, die rechten Seiten addieren und beide Summen mit „=“ zu einer neuen Gleichung verbinden. Das Subtrahieren zweier Gleichungen funktioniert genauso. |
| Einsetzungsverfahren | Lösungsverfahren, bei dem man eine Gleichung in die Form „\(y = \) (Term mit \(x\))“ bringt und das in der anderen Gleichung für \(y\) einsetzt, um eine Variable zu eliminieren. |
| einsetzen | Für einen Buchstaben einen Wert oder Term einsetzen. Setzt man \(y = 5 - x\) in \(2x - y = 1\) ein, erhält man \(2x - (5 - x) = 1\). |
| eliminieren | Eine der beiden Variablen aus den Gleichungen entfernen, sodass eine Gleichung mit nur einer Variablen bleibt. Additions- und Einsetzungsverfahren sind beides Wege dazu. |
| Seitenwechsel | Einen Term einer Gleichung mit umgekehrtem Vorzeichen auf die andere Seite bringen. Bringt man bei \(x + 3 = 7\) die \(3\) auf die andere Seite, erhält man \(x = 7 - 3\). Das ist die Kurzform von „auf beiden Seiten dieselbe Zahl subtrahieren“. |
| Koeffizient | Die Zahl vor einer Variablen. In \(2x\) ist 2 der Koeffizient. Steht keine Zahl davor wie bei \(x\), ist der Koeffizient 1; der Koeffizient von \(-y\) ist \(-1\). |
| Äquivalenzumformung | Eine Umformung, bei der die Gleichung wahr bleibt – auf beiden Seiten dieselbe Zahl addieren, subtrahieren, damit multiplizieren oder durch dieselbe Zahl ungleich 0 teilen. Wie bei einer Balkenwaage, die im Gleichgewicht bleibt, wenn man auf beide Schalen dasselbe Gewicht legt. Jeder Schritt im Additions- und Einsetzungsverfahren beruht darauf. |
| kgV (kleinstes gemeinsames Vielfaches) | Die kleinste Zahl, die ein Vielfaches beider Zahlen ist. Beim Additionsverfahren ist sie das Ziel beim Angleichen der Koeffizienten (bei 2 und 3 gleicht man auf 6 an). |
| parallel | Zwei Geraden, die sich nie schneiden, egal wie weit sie verlaufen. Sind die Graphen eines Gleichungssystems parallel, gibt es keinen Schnittpunkt und damit keine Lösung. |
| unendlich viele Lösungen | Es gibt nicht genau eine Lösung, sondern unendlich viele. Das passiert, wenn beide Gleichungen dieselbe Gerade beschreiben – jeder Punkt der Geraden ist dann eine Lösung. |
| Schnittpunkt | Der Punkt, in dem sich zwei Graphen schneiden. Die Lösung eines Gleichungssystems sind die Koordinaten des Schnittpunkts der beiden Geraden. |
| Probe | Die gefundene Lösung in beide ursprünglichen Gleichungen einsetzen und prüfen, ob linke und rechte Seite wirklich gleich sind. Bei Gleichungssystemen geht das durch bloßes Einsetzen – wer die Probe zur Gewohnheit macht, findet eigene Rechenfehler. |
| cramersche Regel | Formel, die die Lösung direkt aus den Koeffizienten berechnet: \(x = \dfrac{ce - bf}{ae - bd};\ y = \dfrac{af - cd}{ae - bd}\). Sie ist nach dem Schweizer Mathematiker Gabriel Cramer benannt. Meist lernt man sie mit Determinanten in der Oberstufe oder im Studium, bei zwei Variablen lässt sie sich aber mit Mittelstufenwissen nachrechnen. |
Das sollten Sie vorher wissen
Damit Sie die Rechnung auf dieser Seite nicht nur per Knopfdruck, sondern mit echtem Verständnis nutzen, hilft Ihnen dieses Vorwissen.
Wenn Sie irgendwo hängen bleiben, ist es am schnellsten, diese Themen noch einmal zu wiederholen.
| Terme mit Variablen (Klasse 7, 12–13 Jahre) |
|
| Rechnen mit negativen Zahlen (Klasse 6–7, 11–13 Jahre) |
|
| Äquivalenzumformungen und lineare Gleichungen (Klasse 7–8, 12–14 Jahre) |
|
| Koordinatensystem und Graphen (Klasse 7–8, 12–14 Jahre) |
|
| Bruchrechnung (Klasse 5–7, 10–13 Jahre) |
|
So berechnen Sie es in Excel
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle zum Lösen des Gleichungssystems
| I: Koeffizient von x, a | 1 |
| I: Koeffizient von y, b | 1 |
| I: rechte Seite, c | 5 |
| II: Koeffizient von x, d | 2 |
| II: Koeffizient von y, e | -1 |
| II: rechte Seite, f | 1 |
| Nenner ae−bd | =B1*B5-B2*B4 |
| Lösung x ((ce−bf) : (ae−bd)) | =(B3*B5-B2*B6)/B7 |
| Lösung y ((af−cd) : (ae−bd)) | =(B1*B6-B3*B4)/B7 |
Tabelle, die „keine Lösung“ oder „unendlich viele Lösungen“ erkennt
| I: Koeffizient von x, a | 1 |
| I: Koeffizient von y, b | 1 |
| I: rechte Seite, c | 3 |
| II: Koeffizient von x, d | 2 |
| II: Koeffizient von y, e | 2 |
| II: rechte Seite, f | 6 |
| Nenner ae−bd | =B1*B5-B2*B4 |
| Zähler ce−bf | =B3*B5-B2*B6 |
| Zähler af−cd | =B1*B6-B3*B4 |
| Ergebnis | =WENN(B7<>0;"Genau eine Lösung";WENN(UND(B8=0;B9=0);"Unendlich viele Lösungen";"Keine Lösung (parallel)")) |
Tabelle für die Probe (Lösung in beide Gleichungen einsetzen)
| I: Koeffizient von x, a | 1 |
| I: Koeffizient von y, b | 1 |
| I: rechte Seite, c | 5 |
| II: Koeffizient von x, d | 2 |
| II: Koeffizient von y, e | -1 |
| II: rechte Seite, f | 1 |
| Lösung x | 2 |
| Lösung y | 3 |
| Linke Seite von I ax+by (richtig, wenn gleich c) | =B1*B7+B2*B8 |
| Linke Seite von II dx+ey (richtig, wenn gleich f) | =B4*B7+B5*B8 |
Nach dem Einfügen sind die oberen Zeilen (Koeffizienten und rechte Seiten) Ihre Eingaben, die unteren Zeilen rechnen automatisch.
Die erste Tabelle löst x + y = 5 und 2x − y = 1. Der Nenner ae−bd ist −3, die Lösung ist x = 2 und y = 3. Ist der Nenner 0, liefert die Division einen Fehler (#DIV/0!) – das Zeichen dafür, dass es keine eindeutige Lösung gibt.
Die zweite Tabelle gehört zu x + y = 3 und 2x + 2y = 6, das Ergebnis lautet „Unendlich viele Lösungen“. Ändern Sie die rechte Seite f von II auf 10, wird daraus „Keine Lösung (parallel)“.
Die dritte Tabelle macht die Probe, indem sie die Lösung in beide Gleichungen einsetzt. Die linke Seite von I ist 5, die von II ist 1 – genau wie die rechten Seiten.
Die erste Tabelle löst x + y = 5 und 2x − y = 1. Der Nenner ae−bd ist −3, die Lösung ist x = 2 und y = 3. Ist der Nenner 0, liefert die Division einen Fehler (#DIV/0!) – das Zeichen dafür, dass es keine eindeutige Lösung gibt.
Die zweite Tabelle gehört zu x + y = 3 und 2x + 2y = 6, das Ergebnis lautet „Unendlich viele Lösungen“. Ändern Sie die rechte Seite f von II auf 10, wird daraus „Keine Lösung (parallel)“.
Die dritte Tabelle macht die Probe, indem sie die Lösung in beide Gleichungen einsetzt. Die linke Seite von I ist 5, die von II ist 1 – genau wie die rechten Seiten.
So berechnen Sie es in Google Tabellen
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle zum Lösen des Gleichungssystems
| I: Koeffizient von x, a | 1 |
| I: Koeffizient von y, b | 1 |
| I: rechte Seite, c | 5 |
| II: Koeffizient von x, d | 2 |
| II: Koeffizient von y, e | -1 |
| II: rechte Seite, f | 1 |
| Nenner ae−bd | =B1*B5-B2*B4 |
| Lösung x ((ce−bf) : (ae−bd)) | =(B3*B5-B2*B6)/B7 |
| Lösung y ((af−cd) : (ae−bd)) | =(B1*B6-B3*B4)/B7 |
Tabelle, die „keine Lösung“ oder „unendlich viele Lösungen“ erkennt
| I: Koeffizient von x, a | 1 |
| I: Koeffizient von y, b | 1 |
| I: rechte Seite, c | 3 |
| II: Koeffizient von x, d | 2 |
| II: Koeffizient von y, e | 2 |
| II: rechte Seite, f | 6 |
| Nenner ae−bd | =B1*B5-B2*B4 |
| Zähler ce−bf | =B3*B5-B2*B6 |
| Zähler af−cd | =B1*B6-B3*B4 |
| Ergebnis | =WENN(B7<>0;"Genau eine Lösung";WENN(UND(B8=0;B9=0);"Unendlich viele Lösungen";"Keine Lösung (parallel)")) |
Tabelle für die Probe (Lösung in beide Gleichungen einsetzen)
| I: Koeffizient von x, a | 1 |
| I: Koeffizient von y, b | 1 |
| I: rechte Seite, c | 5 |
| II: Koeffizient von x, d | 2 |
| II: Koeffizient von y, e | -1 |
| II: rechte Seite, f | 1 |
| Lösung x | 2 |
| Lösung y | 3 |
| Linke Seite von I ax+by (richtig, wenn gleich c) | =B1*B7+B2*B8 |
| Linke Seite von II dx+ey (richtig, wenn gleich f) | =B4*B7+B5*B8 |
Die Formeln aus Excel funktionieren unverändert (Google Tabellen auf Deutsch kennt WENN und UND unter denselben Namen). Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie Koeffizienten und rechte Seiten durch Ihre eigenen Zahlen.
So berechnen Sie es in Python
from fractions import Fraction
# I: a1*x + b1*y = c1
# II: a2*x + b2*y = c2 (ein Bruch wie 3/4 wird als Fraction(3, 4) geschrieben)
a1, b1, c1 = Fraction(1), Fraction(1), Fraction(5)
a2, b2, c2 = Fraction(2), Fraction(-1), Fraction(1)
denominator = a1 * b2 - a2 * b1 # Nenner der Formel, ae − bd
if denominator != 0:
x = (c1 * b2 - c2 * b1) / denominator
y = (a1 * c2 - a2 * c1) / denominator
print(f"Lösung: x = {x}; y = {y}")
print(f"Als Dezimalzahlen: x = {float(x)}; y = {float(y)}")
elif c1 * b2 - c2 * b1 == 0 and a1 * c2 - a2 * c1 == 0:
print("Unendlich viele Lösungen (beide Gleichungen beschreiben dieselbe Gerade)")
else:
print("Keine Lösung (die beiden Geraden sind parallel und schneiden sich nicht)")
Mit dem Modul fractions der Standardbibliothek rechnen Sie mit exakten Brüchen, ohne Rundungsfehler. Das Beispiel löst x + y = 5 und 2x − y = 1 und gibt „Lösung: x = 2; y = 3“ aus. Ändern Sie Koeffizienten und rechte Seiten und führen Sie den Code aus.
So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
Ein lineares Gleichungssystem mit zwei Variablen und seine Lösung
ax + by = c, dx + ey = f
\begin{cases} ax + by = c \\ dx + ey = f \end{cases}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mo>{</mo>
<mtable columnalign="left">
<mtr><mtd>
<mi>a</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mi>y</mi><mo>=</mo><mi>c</mi>
</mtd></mtr>
<mtr><mtd>
<mi>d</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>e</mi><mi>y</mi><mo>=</mo><mi>f</mi>
</mtd></mtr>
</mtable>
</mrow>
</math>
{(ax + by = c),(dx + ey = f):}
Solve[{a*x + b*y == c, d*x + e*y == f}, {x, y}]
solve({a*x + b*y = c, d*x + e*y = f}, {x, y});
S = solve(a*x + b*y == c, d*x + e*y == f, [x, y])
ax + by = c, dx + ey = f
Additionsverfahren (Koeffizienten angleichen und die Gleichungen subtrahieren)
(ax + by) − (ax + ey) = c − f
(ax + by) - (ax + ey) = c - f
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mo>(</mo><mi>a</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mi>y</mi><mo>)</mo>
<mo>−</mo>
<mo>(</mo><mi>a</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>e</mi><mi>y</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mi>c</mi><mo>−</mo><mi>f</mi>
</mrow>
</math>
(ax + by) - (ax + ey) = c - f
Simplify[(a*x + b*y) - (a*x + e*y) == c - f]
(a*x + b*y) - (a*x + e*y) = c - f;
simplify((a*x + b*y) - (a*x + e*y) == c - f)
(ax + by) − (ax + ey) = c − f
Einsetzungsverfahren (nach \(y\) auflösen und einsetzen)
y = px + q, dx + e(px + q) = f
y = px + q,\quad dx + e(px + q) = f
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>y</mi><mo>=</mo><mi>p</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>q</mi>
<mo>,</mo>
<mi>d</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>e</mi>
<mo>(</mo><mi>p</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>q</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo><mi>f</mi>
</mrow>
</math>
y = px + q, dx + e(px + q) = f
Solve[{y == p*x + q, d*x + e*y == f}, {x, y}]
subs(y = p*x + q, d*x + e*y = f);
subs(d*x + e*y == f, y, p*x + q)
y = px + q, dx + e(px + q) = f
Eine Formel für die Lösung in einem Schritt – und wie man „keine Lösung“ oder „unendlich viele“ erkennt
x = (ce − bf)/(ae − bd), y = (af − cd)/(ae − bd)
x = \frac{ce - bf}{ae - bd},\quad y = \frac{af - cd}{ae - bd}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>x</mi><mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>c</mi><mi>e</mi><mo>−</mo><mi>b</mi><mi>f</mi></mrow>
<mrow><mi>a</mi><mi>e</mi><mo>−</mo><mi>b</mi><mi>d</mi></mrow>
</mfrac>
<mo>,</mo>
<mi>y</mi><mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>a</mi><mi>f</mi><mo>−</mo><mi>c</mi><mi>d</mi></mrow>
<mrow><mi>a</mi><mi>e</mi><mo>−</mo><mi>b</mi><mi>d</mi></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
x = (ce - bf)/(ae - bd), y = (af - cd)/(ae - bd)
{x, y} = {(c*e - b*f)/(a*e - b*d), (a*f - c*d)/(a*e - b*d)}
x := (c*e - b*f)/(a*e - b*d); y := (a*f - c*d)/(a*e - b*d);
x = (c*e - b*f)/(a*e - b*d); y = (a*f - c*d)/(a*e - b*d);
x = (ce − bf)/(ae − bd), y = (af − cd)/(ae − bd)
So lassen Sie ChatGPT rechnen
Sie sind ein Rechenassistent für Mathematik (lineare Gleichungssysteme). Führen Sie die folgende Berechnung unbedingt aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (nicht im Kopf rechnen und nicht schätzen). Lösen Sie das lineare Gleichungssystem I: x + y = 5 und II: 2x − y = 1. Geben Sie jeweils an: 1. Die Lösung x, y (bei Brüchen als gekürzten Bruch und als Dezimalzahl) 2. Den Rechenweg mit dem Additionsverfahren (Koeffizienten einer Variablen angleichen, dann die Gleichungen addieren oder subtrahieren) 3. Die Probe, bei der die Lösung in beide Gleichungen eingesetzt wird Rechnen Sie in Python exakt mit dem Modul fractions der Standardbibliothek und geben Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis an. Gibt es keine oder unendlich viele Lösungen, erklären Sie auch, warum.
Anleitung
-
1Werte eingebenTragen Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
-
2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
-
3Ergebnis ansehenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
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