Geben Sie die große Halbachse (den größten Abstand vom Mittelpunkt zum Rand) und die kleine Halbachse (den kleinsten) ein. Sie erhalten den Flächeninhalt (π × große Halbachse × kleine Halbachse) und die exakte Form mit π.
Verwenden Sie für beide dieselbe Einheit und geben Sie nur Zahlen größer als 0 ein (ohne Einheit; bei 30 cm geben Sie „30“ ein). Kennen Sie nur die ganzen Längen von Ende zu Ende (Hauptachse und Nebenachse), geben Sie jeweils die Hälfte ein.
Ergebnis und Figur
Geben Sie die große und die kleine Halbachse in die Felder links ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis erscheint hier.
Inhaltsverzeichnis
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Was Sie auf dieser Seite tun können
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Wofür ist diese Berechnung nützlich?
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Anleitung
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Formeln und Zeichnungen
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Symbole und Begriffe
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Was Sie vorab wissen sollten
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Mit Excel berechnen
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Mit Google Tabellen berechnen
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Mit Python berechnen
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Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
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Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
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Die Vorteile von DataChef
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Verwandte Funktionen
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Was Sie auf dieser Seite tun können
- Geben Sie die große Halbachse (den längeren „Radius“) und die kleine Halbachse (den kürzeren „Radius“) ein, und Sie erhalten sofort den Flächeninhalt der Ellipse (Flächeninhalt = Kreiszahl \(\pi\) × große Halbachse × kleine Halbachse)
- Neben dem Ergebnis als Dezimalzahl wird auch die exakte Form mit \(\pi\) angezeigt (bei einer großen Halbachse von 30 und einer kleinen Halbachse von 20: Flächeninhalt \(= 600\pi\))
- Geben Sie für beide denselben Wert ein, dann rechnet der Rechner auch den Flächeninhalt eines Kreises
- Eine leicht verständliche Erklärung der Formeln sowie Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python finden Sie ebenfalls auf dieser Seite
Sie geben die Halbachsen ein, also die Längen vom Mittelpunkt bis zum Rand (sie entsprechen dem Radius eines Kreises). Kennen Sie nur die ganzen Längen von Ende zu Ende (die Hauptachse und die Nebenachse), teilen Sie sie zuerst durch 2. Verwenden Sie für beide dieselbe Einheit (cm mit cm, m mit m).
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
Tischdecke oder Glasplatte für einen ovalen Tisch anpassen (Wohnen und Einrichten)
Ovale Esstische werden mit ihren Maßen von Ende zu Ende verkauft, etwa „180 cm × 100 cm“. Dann ist die große Halbachse 90 cm und die kleine Halbachse 50 cm, und der Flächeninhalt der Tischplatte beträgt \(\pi \times 90 \times 50 = 4.500\pi \approx 14.137\,\mathrm{cm^2}\) (etwa 1,41 m²).
Glasplatten und Tischschoner werden oft nach der Fläche berechnet. Den Flächeninhalt vor der Bestellung zu bestimmen, hilft deshalb, das Angebot zu prüfen.
Erde und Material für ein ovales Beet oder einen Teich abschätzen (Garten und Landschaftsbau)
Ein ovales Beet, das an der längsten Stelle 3 m und an der kürzesten 2 m breit ist, hat eine große Halbachse von 1,5 m und eine kleine Halbachse von 1 m, also einen Flächeninhalt von \(\pi \times 1{,}5 \times 1 = 1{,}5\pi \approx 4{,}71\,\mathrm{m^2}\).
Auf Säcken mit Blumenerde oder Dünger und auf Rollen mit Rollrasen oder Unkrautvlies steht, für wie viel Fläche sie reichen (etwa „pro m² so und so viele Liter“). Kennen Sie den Flächeninhalt, können Sie die benötigte Menge deshalb abschätzen, bevor Sie einkaufen gehen.
Den Rasen eines ovalen Sportplatzes pflegen (Sport und Anlagenverwaltung)
Der Innenraum einer Laufbahn und manche Spielfelder haben eine Form, die einer Ellipse nahekommt. Behandeln Sie ein solches Feld als Ellipse mit einer großen Halbachse von 90 m und einer kleinen Halbachse von 60 m, ergibt sich ein grober Flächeninhalt von \(\pi \times 90 \times 60 = 5.400\pi \approx 16.965\,\mathrm{m^2}\) (etwa 1,7 Hektar).
Kosten für neuen Rasen, Dünger und Bewässerung werden alle nach der Fläche geplant, die Flächenformel der Ellipse ist also der Ausgangspunkt für Kalkulationen (echte Felder sind nicht immer exakte Ellipsen, das Ergebnis ist also nur ein grober Wert).
Umlaufbahnen von Planeten und Satelliten berechnen (Astronomie und Raumfahrt)
Die Umlaufbahnen von Planeten und Kometen sind Ellipsen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht (erstes Keplersches Gesetz). Die Fläche, die eine Bahn bei einem Umlauf einschließt, ist genau \(\pi a b\). Zusammen mit dem zweiten Keplerschen Gesetz, „die Verbindungslinie von der Sonne zu einem Planeten überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen“, führt das zur Zeit für einen vollen Umlauf (der Umlaufzeit).
Diese Formel wird in Astronomie-Lehrbüchern und beim Entwurf von Satellitenbahnen bis heute verwendet.
Den Querschnitt eines Organs oder einer Läsion im Ultraschall ausmessen (Medizin)
Ultraschallgeräte haben ein Werkzeug, das die Fläche eines Organs oder einer Läsion auf dem Bildschirm misst, indem man eine Ellipse um den Querschnitt zeichnet, und rechnet intern mit dieser Formel (\(\pi a b\)). Querschnitte sind nicht immer perfekte Ellipsen, es ist also eine Näherung, aber Ärztinnen, Ärzte und Sonografie-Fachkräfte nutzen sie täglich, um die Größe im Verlauf in Zahlen zu vergleichen.
Formeln und Zeichnungen
Flächeninhalt einer Ellipse
Zeichnung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(S\)
\(=\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(a\)
\(\times\)
\(b\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
④
\(S\): Flächeninhalt der Ellipse
\(=\)
①
\(\pi\): Kreiszahl (etwa 3,14)
\(\times\)
②
\(a\): große Halbachse
\(\times\)
③
\(b\): kleine Halbachse
Die Formel in Worten
①
Multiplizieren Sie die
\(\pi\): Kreiszahl (etwa 3,14)
②
mit der
\(a\): große Halbachse (der längere „Radius“)
③
und der
\(b\): kleine Halbachse (der kürzere „Radius“)
④
und Sie erhalten den
\(S\): Flächeninhalt der Ellipse
Einfaches Beispiel
Der Flächeninhalt einer Ellipse mit einer großen Halbachse von 5 cm und einer kleinen Halbachse von 3 cm beträgt
\(S\): Flächeninhalt der Ellipse
\(=\)
\(\pi\): Kreiszahl
\(\times\)
große Halbachse (5 cm)
\(\times\)
kleine Halbachse (3 cm)
\(\pi \times 5 \times 3 = 15\pi \approx 47{,}12\,\mathrm{cm^2}\)
Der Kerngedanke
Die Flächenformel der Ellipse ist die Flächenformel des Kreises \(S = \pi \times r \times r\), bei der die „zwei \(r\)“ durch die große Halbachse \(a\) und die kleine Halbachse \(b\) ersetzt sind. Eine Ellipse ist ein Kreis, der in einer Richtung gedehnt (oder gestaucht) wurde. Ihr „Radius“ hat deshalb je nach Richtung zwei Längen, eine längere (\(a\)) und eine kürzere (\(b\)), und Sie multiplizieren beide.
Der häufigste Fehler ist, die ganzen Längen von Ende zu Ende (die Hauptachse und die Nebenachse) einzugeben. Die Formel verwendet die Halbachsen vom Mittelpunkt zum Rand. Kennen Sie nur die ganzen Längen, teilen Sie sie vor der Rechnung durch 2.
Zusammenhang mit dem Flächeninhalt des Kreises (ein Kreis ist eine besondere Ellipse)
Zeichnung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(S\)
\(=\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(r\)
\(2\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
④
\(S\): Flächeninhalt des Kreises
\(=\)
③
\(\pi\): Kreiszahl (etwa 3,14)
\(\times\)
①
\(r\): Radius
②
zum Quadrat (Radius × Radius)
Die Formel in Worten
①
Nehmen Sie den
\(r\): Radius
②
und
quadrieren Sie ihn (Radius × Radius)
③
multiplizieren Sie dann mit der
\(\pi\): Kreiszahl (etwa 3,14)
④
und Sie erhalten den
\(S\): Flächeninhalt des Kreises
Einfaches Beispiel
Der Flächeninhalt einer Ellipse, deren große und kleine Halbachse beide 4 cm lang sind (ein Kreis mit 4 cm Radius), beträgt
\(S\): Flächeninhalt des Kreises
\(=\)
\(\pi\): Kreiszahl
\(\times\)
Radius (4 cm)
zum Quadrat
\(\pi \times 4 \times 4 = 16\pi \approx 50{,}27\,\mathrm{cm^2}\)
Der Kerngedanke
Eine Ellipse, deren Halbachsen gleich lang sind (\(a = b\)), ist einfach ein Kreis. Dann werden \(a\) und \(b\) in der Ellipsenformel \(S = \pi a b\) beide zum Radius \(r\), und sie stimmt genau mit der Flächenformel des Kreises \(S = \pi r^2\) überein. Mit anderen Worten: Die Flächenformel des Kreises ist ein Spezialfall der Flächenformel der Ellipse.
Auch in diesem Rechner erhalten Sie den Flächeninhalt eines Kreises, wenn Sie für beide Halbachsen denselben Wert eingeben.
Der Flächeninhalt einer Ellipse ist „Kreiszahl π × große Halbachse × kleine Halbachse“. Die Formel verwendet die Halbachsen vom Mittelpunkt zum Rand (die Hälfte der Haupt- und der Nebenachse), und das Ergebnis hat die eingegebene Einheit zum Quadrat (cm² bei cm). Sind beide Halbachsen gleich lang, stimmt die Formel mit der Flächenformel des Kreises πr² überein.
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(S\) | Es | Ein Buchstabe, der oft für den Flächeninhalt steht (von „Surface“). Auf dieser Seite ist es der Flächeninhalt der Ellipse. (Deutsche Schulbücher schreiben meist \(A\).) |
| \(\pi\) | Pi | Die Kreiszahl Pi, die angibt, wievielmal so lang der Umfang eines Kreises wie sein Durchmesser ist, etwa 3,14159. Das in der Schule verwendete „3,14“ ist ein gerundeter Wert davon. |
| \(a\) | a | Die große Halbachse, der größte Abstand vom Mittelpunkt der Ellipse zu ihrem Rand (die Hälfte der Hauptachse). |
| \(b\) | be | Die kleine Halbachse, der kleinste Abstand vom Mittelpunkt der Ellipse zu ihrem Rand (die Hälfte der Nebenachse). |
| \(r\) | er | Der Radius eines Kreises, nach dem Anfangsbuchstaben von „Radius“. Bei einer Ellipse mit zwei gleich langen Halbachsen (einem Kreis) gilt \(a = b = r\). |
| \(r^2\) | er zum Quadrat | Die Zahl \(r\), mit sich selbst multipliziert (\(r \times r\)). Die kleine 2 oben rechts ist ein Exponent und bedeutet, dass die Zahl mit sich selbst multipliziert wird. |
| \(\mathrm{cm^2}\) | Quadratzentimeter | Eine Einheit für den Flächeninhalt. Ein Quadrat mit 1 cm Seitenlänge hat einen Flächeninhalt von 1 cm². Geben Sie die Halbachsen in cm ein, ist der Flächeninhalt in cm² (bei m in m²). |
Begriffe
| Ellipse | Eine Kurve, die aussieht wie ein Kreis, der nur in einer Richtung gedehnt (oder gestaucht) wurde, im Alltag oft Oval genannt. Genau ist sie die Menge aller Punkte, deren Abstände zu zwei Brennpunkten zusammen immer dieselbe Summe ergeben. Viele Dinge um uns herum sind nahezu eine Ellipse, etwa der Querschnitt eines Eis oder ein Sportplatz (manche Formen sehen wie Ellipsen aus, sind aber keine exakten, zum Beispiel die Kurven einer Laufbahn). |
| Hauptachse | Die längste Strecke von Ende zu Ende durch den Mittelpunkt einer Ellipse. Sie ist die „Breite“ der Ellipse (die längere Ausdehnung) und doppelt so lang wie die große Halbachse. |
| Nebenachse | Die kürzeste Strecke von Ende zu Ende durch den Mittelpunkt einer Ellipse. Sie steht senkrecht auf der Hauptachse und ist doppelt so lang wie die kleine Halbachse. |
| große Halbachse | Die Hälfte der Hauptachse, also der größte Abstand vom Mittelpunkt der Ellipse zum Rand. Sie entspricht dem Radius eines Kreises, und die Flächenformel schreibt sie als \(a\). |
| kleine Halbachse | Die Hälfte der Nebenachse, also der kleinste Abstand vom Mittelpunkt der Ellipse zum Rand. Die Flächenformel schreibt sie als \(b\). |
| Brennpunkt | Einer von zwei besonderen Punkten im Inneren einer Ellipse (Mehrzahl Brennpunkte). Von jedem Punkt am Rand der Ellipse aus ergeben die Abstände zu den beiden Brennpunkten zusammen dieselbe Summe. Fallen die beiden Brennpunkte in einem Punkt zusammen, wird die Ellipse zum Kreis. |
| Flächeninhalt | Die Größe der Fläche einer Figur, angegeben als Zahl. Man misst sie, indem man zählt, wie viele Quadrate mit 1 cm Seitenlänge (1 cm²) hineinpassen. |
| Kreiszahl | Die Zahl, die angibt, wievielmal so lang der Umfang (die Länge einmal um den Kreis herum) wie der Durchmesser ist. Sie beträgt etwa 3,14159 und wird mit dem Symbol \(\pi\) (Pi) geschrieben. Sie erscheint in der Flächenformel der Ellipse genauso wie in der Flächenformel des Kreises. |
Was Sie vorab wissen sollten
Hier steht, was hilfreich ist, damit Sie die Berechnung dieser Seite wirklich verstehen und nicht nur den Knopf drücken.
| Multiplikation und Rechnen mit Dezimalzahlen (Klasse 3–6, 8–12 Jahre) |
|
| Kreiszahl und Flächeninhalt des Kreises (Klasse 7, 12–13 Jahre) |
|
| Terme mit Variablen und das Symbol π (Klasse 7, 12–13 Jahre) |
|
| Die Ellipse als Figur (Kegelschnitte in der Oberstufe, Klasse 11–12, 16–18 Jahre) |
|
Mit Excel berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle zur Berechnung des Flächeninhalts einer Ellipse
| Große Halbachse | 30 |
| Kleine Halbachse | 20 |
| Flächeninhalt der Ellipse | =PI()*B1*B2 |
Tabelle zur Berechnung des Flächeninhalts eines Kreises (wenn beide Halbachsen gleich lang sind)
| Radius | 4 |
| Flächeninhalt des Kreises | =PI()*B1^2 |
Nach dem Einfügen enthält Spalte A die Bezeichnungen und Spalte B die Zahlen. Die oberen Zeilen sind Ihre Eingaben, und die Formel in der letzten Zeile rechnet daraus automatisch.
„B1“ und „B2“ in einer Formel stehen für „die Zahl in dieser Zelle“. „*“ ist die Multiplikation und „^“ die Potenz (wie oft multipliziert wird). „PI()“ ist eine Excel-Funktion, die die Kreiszahl (3,14159…) liefert.
In der ersten Tabelle zeigt B3 zum Beispiel π × 30 × 20 ≈ 1884,96 (in cm², weil Sie cm eingegeben haben). Die zweite Tabelle zeigt in B2 etwa 50,27. Ersetzen Sie einfach die Eingaben durch Ihre eigenen Längen.
„B1“ und „B2“ in einer Formel stehen für „die Zahl in dieser Zelle“. „*“ ist die Multiplikation und „^“ die Potenz (wie oft multipliziert wird). „PI()“ ist eine Excel-Funktion, die die Kreiszahl (3,14159…) liefert.
In der ersten Tabelle zeigt B3 zum Beispiel π × 30 × 20 ≈ 1884,96 (in cm², weil Sie cm eingegeben haben). Die zweite Tabelle zeigt in B2 etwa 50,27. Ersetzen Sie einfach die Eingaben durch Ihre eigenen Längen.
Mit Google Tabellen berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle zur Berechnung des Flächeninhalts einer Ellipse
| Große Halbachse | 30 |
| Kleine Halbachse | 20 |
| Flächeninhalt der Ellipse | =PI()*B1*B2 |
Tabelle zur Berechnung des Flächeninhalts eines Kreises (wenn beide Halbachsen gleich lang sind)
| Radius | 4 |
| Flächeninhalt des Kreises | =PI()*B1^2 |
Es funktionieren dieselben Formeln wie in Excel (auch die Funktion PI()). Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Eingaben durch Ihre eigenen Längen.
Mit Python berechnen
import math
semi_major = 30 # große Halbachse (der längere „Radius“; in diesem Beispiel in cm)
semi_minor = 20 # kleine Halbachse (der kürzere „Radius“; dieselbe Einheit wie semi_major)
area = math.pi * semi_major * semi_minor # Flächeninhalt der Ellipse (eingegebene Einheit zum Quadrat; hier cm2)
print(f"Flächeninhalt der Ellipse: {area} cm2")
Der Code verwendet die Kreiszahl aus dem Modul math der Standardbibliothek (math.pi = 3,14159…). „*“ ist das Malzeichen. Ändern Sie oben die große und die kleine Halbachse und starten Sie den Code (das Ergebnis dieses Beispiels beträgt etwa 1884,96 cm²).
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
Flächeninhalt einer Ellipse
S = π × a × b
S = \pi a b
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>S</mi>
<mo>=</mo>
<mi>π</mi>
<mo>⁢</mo>
<mi>a</mi>
<mo>⁢</mo>
<mi>b</mi>
</mrow>
</math>
S = pi a b
Pi*a*b
S := Pi*a*b;
S = pi*a*b;
S = πab
Zusammenhang mit dem Flächeninhalt des Kreises (ein Kreis ist eine besondere Ellipse)
S = πr²
S = \pi r^{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>S</mi>
<mo>=</mo>
<mi>π</mi>
<mo>⁢</mo>
<msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</math>
S = pi r^2
Pi*r^2
S := Pi*r^2;
S = pi*r^2;
S = πr^2
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
Sie sind ein Assistent für Rechenaufgaben in der Mathematik. Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort ausschließlich auf die Zahlen aus dem Ergebnis der Ausführung (rechnen Sie nicht im Kopf und schätzen Sie nicht). Eine Ellipse hat eine große Halbachse von 30 cm und eine kleine Halbachse von 20 cm. Bestimmen Sie den Flächeninhalt dieser Ellipse in cm² (verwenden Sie math.pi für Pi). Zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ergebnis der Ausführung.
Anleitung
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1Zahlen eingebenGeben Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
-
2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
-
3Ergebnis ablesenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
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Keine Wasserzeichen
Kein Wasserzeichen
Keine Quellenangabe nötig
Keine Quellenangabe nötig
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Keine vorherige Genehmigung erforderlich
Keine vorherige Genehmigung erforderlich
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