Geben Sie die große Halbachse (der längste Abstand vom Mittelpunkt zum Rand) und die kleine Halbachse (der kürzeste) ein. Angezeigt werden der Flächeninhalt (π × große Halbachse × kleine Halbachse) und der exakte Wert mit π.
Beide Halbachsen in derselben Einheit und nur Zahlen größer als 0 eingeben (ohne Einheit – für 30 cm also „30“). Kennen Sie nur die Längen von Rand zu Rand (Haupt- und Nebenachse), geben Sie jeweils die Hälfte ein.
Ergebnis und Figur
Geben Sie links die große und die kleine Halbachse ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis erscheint dann hier.
Inhaltsverzeichnis
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Das können Sie auf dieser Seite
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Wofür braucht man diese Berechnung?
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Anleitung
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Formeln und Abbildungen
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Symbole und Begriffe
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Das sollten Sie vorher wissen
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So berechnen Sie es in Excel
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So berechnen Sie es in Google Tabellen
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So berechnen Sie es in Python
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So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
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So lassen Sie ChatGPT rechnen
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Die Vorteile von DataChef
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Das können Sie auf dieser Seite
- Große Halbachse (der längere „Radius“) und kleine Halbachse (der kürzere „Radius“) eingeben – und Sie kennen sofort den Flächeninhalt der Ellipse (Fläche = Kreiszahl \(\pi\) × große Halbachse × kleine Halbachse)
- Neben dem Dezimalergebnis sehen Sie auch den exakten Wert mit \(\pi\) (bei den Halbachsen 30 und 20 ist die Fläche \(600\pi\))
- Geben Sie für beide Halbachsen denselben Wert ein, erhalten Sie die Fläche eines Kreises
- Dazu: verständliche Erklärung der Formeln und Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python
Einzugeben sind die Halbachsen, also die Längen vom Mittelpunkt bis zum Rand (wie der Radius beim Kreis). Kennen Sie nur die ganzen Längen von Rand zu Rand (Haupt- und Nebenachse), teilen Sie sie zuerst durch 2. Beide in derselben Einheit eingeben (beide in cm oder beide in m).
Wofür braucht man diese Berechnung?
Tischdecke oder Glasplatte für einen ovalen Tisch (Wohnen und Einrichtung)
Ovale Esstische werden mit ihren Außenmaßen verkauft, etwa „180 × 100 cm“. Die große Halbachse ist dann 90 cm, die kleine Halbachse 50 cm, und die Tischplatte hat \(\pi \times 90 \times 50 = 4500\pi \approx 14137\,\mathrm{cm^2}\) (etwa 1,41 m²).
Schutzglas und Tischauflagen werden oft nach Fläche berechnet. Wenn Sie die Fläche vor der Bestellung kennen, können Sie das Angebot leichter prüfen.
Erde und Material für ein ovales Beet oder einen Teich (Garten und Landschaftsbau)
Ein ovales Beet mit 3 m Länge und 2 m Breite hat die Halbachsen 1,5 m und 1 m, also die Fläche \(\pi \times 1{,}5 \times 1 = 1{,}5\pi \approx 4{,}71\,\mathrm{m^2}\).
Auf Pflanzerde und Dünger steht „… Liter pro m²“, bei Rollrasen und Unkrautvlies die Fläche pro Rolle. Mit der Fläche schätzen Sie die Menge schon vor dem Einkauf ab.
Rasenpflege auf einem ovalen Sportfeld (Sport und Anlagenbetrieb)
Das Innenfeld einer Laufbahn und manche Spielfelder sind annähernd elliptisch. Betrachtet man ein solches Feld als Ellipse mit den Halbachsen 90 m und 60 m, ergibt sich grob \(\pi \times 90 \times 60 = 5400\pi \approx 16965\,\mathrm{m^2}\) (etwa 1,7 Hektar).
Kosten für neuen Rasen, Dünger und Bewässerung werden nach Fläche geplant – die Ellipsenformel ist also der Ausgangspunkt jeder Kalkulation (echte Felder sind nicht immer exakte Ellipsen, es bleibt eine Schätzung).
Bahnen von Planeten und Satelliten berechnen (Astronomie und Raumfahrt)
Die Bahnen von Planeten und Kometen sind Ellipsen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht (erstes Keplersches Gesetz). Die Fläche, die eine Bahn umschließt, ist genau \(\pi a b\). Zusammen mit dem zweiten Keplerschen Gesetz – „die Verbindungslinie Sonne–Planet überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen“ – erhält man daraus die Umlaufzeit.
Die Formel ist in der Astronomie und bei der Planung von Satellitenbahnen bis heute im Einsatz.
Querschnitt von Organen im Ultraschall messen (Medizin)
Ultraschallgeräte haben eine Funktion, mit der man den Querschnitt eines Organs oder einer Veränderung auf dem Bild mit einer Ellipse umfährt und so die Fläche misst – intern mit genau dieser Formel (\(\pi a b\)). Querschnitte sind nie perfekte Ellipsen, es ist also eine Näherung, aber Ärztinnen, Ärzte und medizinisches Fachpersonal vergleichen damit täglich Größenveränderungen in Zahlen.
Formeln und Abbildungen
Flächeninhalt einer Ellipse
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(S\)
\(=\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(a\)
\(\times\)
\(b\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
④
\(S\): Flächeninhalt der Ellipse
\(=\)
①
\(\pi\): Kreiszahl (etwa 3,14)
\(\times\)
②
\(a\): große Halbachse
\(\times\)
③
\(b\): kleine Halbachse
Die Formel in Worten
①
Multipliziert man die
\(\pi\): Kreiszahl (etwa 3,14)
②
mit der
\(a\): große Halbachse (der längere „Radius“)
③
und der
\(b\): kleine Halbachse (der kürzere „Radius“)
④
erhält man den
\(S\): Flächeninhalt der Ellipse
Einfaches Beispiel
Eine Ellipse mit den Halbachsen 5 cm und 3 cm hat den Flächeninhalt
\(S\): Flächeninhalt der Ellipse
\(=\)
\(\pi\): Kreiszahl
\(\times\)
große Halbachse (5 cm)
\(\times\)
kleine Halbachse (3 cm)
\(\pi \times 5 \times 3 = 15\pi \approx 47{,}12\,\mathrm{cm^2}\)
Der Grundgedanke
Die Ellipsenformel ist die Kreisformel \(S = \pi \times r \times r\), bei der die „zwei \(r\)“ durch die große Halbachse \(a\) und die kleine Halbachse \(b\) ersetzt sind. Eine Ellipse ist ein in eine Richtung gestreckter (oder gestauchter) Kreis. Ihr „Radius“ hat je nach Richtung zwei Längen – eine längere (\(a\)) und eine kürzere (\(b\)) –, und die beiden werden miteinander multipliziert.
Der häufigste Fehler: die ganzen Längen von Rand zu Rand (Haupt- und Nebenachse) einsetzen. Die Formel braucht die Halbachsen vom Mittelpunkt bis zum Rand – kennen Sie nur die ganzen Längen, teilen Sie sie vorher durch 2.
Zusammenhang mit der Kreisfläche (der Kreis ist eine besondere Ellipse)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(S\)
\(=\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(r\)
\(2\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
④
\(S\): Flächeninhalt des Kreises
\(=\)
③
\(\pi\): Kreiszahl (etwa 3,14)
\(\times\)
①
\(r\): Radius
②
zum Quadrat (Radius × Radius)
Die Formel in Worten
①
Nimmt man den
\(r\): Radius
②
zum Quadrat (Radius × Radius)
③
und mal die
\(\pi\): Kreiszahl (etwa 3,14)
④
erhält man den
\(S\): Flächeninhalt des Kreises
Einfaches Beispiel
Eine Ellipse, deren Halbachsen beide 4 cm lang sind (also ein Kreis mit 4 cm Radius), hat den Flächeninhalt
\(S\): Flächeninhalt des Kreises
\(=\)
\(\pi\): Kreiszahl
\(\times\)
Radius (4 cm)
zum Quadrat
\(\pi \times 4 \times 4 = 16\pi \approx 50{,}27\,\mathrm{cm^2}\)
Der Grundgedanke
Eine Ellipse mit gleich langen Halbachsen (\(a = b\)) ist einfach ein Kreis. Dann werden \(a\) und \(b\) in der Ellipsenformel \(S = \pi a b\) beide zum Radius \(r\), und es entsteht genau die Kreisformel \(S = \pi r^2\). Die Formel für die Kreisfläche ist also ein Sonderfall der Formel für die Ellipsenfläche.
Auch dieser Rechner liefert die Fläche eines Kreises, wenn Sie für beide Halbachsen denselben Wert eingeben.
Den Flächeninhalt einer Ellipse berechnen Sie mit „Kreiszahl π × große Halbachse × kleine Halbachse“. Die Formel verwendet die Halbachsen vom Mittelpunkt bis zum Rand (die Hälfte von Haupt- und Nebenachse), das Ergebnis steht in der Eingabeeinheit zum Quadrat (bei cm also cm²). Sind beide Halbachsen gleich, ergibt sich die Kreisformel πr².
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(S\) | S | Ein häufiges Zeichen für eine Fläche. Hier steht es für den Flächeninhalt der Ellipse. In deutschen Schulbüchern steht meist \(A = \pi a b\); gemeint ist dasselbe. |
| \(\pi\) | pi | Die Kreiszahl – sie gibt an, wievielmal der Umfang eines Kreises so lang ist wie sein Durchmesser, etwa 3,14159. Das „3,14“ aus der Schule ist ein gerundeter Wert davon. |
| \(a\) | a | Die große Halbachse – der längste Abstand vom Mittelpunkt der Ellipse zum Rand (die Hälfte der Hauptachse). |
| \(b\) | b | Die kleine Halbachse – der kürzeste Abstand vom Mittelpunkt der Ellipse zum Rand (die Hälfte der Nebenachse). |
| \(r\) | r | Der Radius eines Kreises. Bei einer Ellipse mit gleich langen Halbachsen (also einem Kreis) gilt \(a = b = r\). |
| \(r^2\) | r Quadrat (r hoch 2) | Die Zahl \(r\) mit sich selbst multipliziert (\(r \times r\)). Die kleine 2 oben rechts ist der Exponent und bedeutet „zweimal als Faktor“. |
| \(\mathrm{cm^2}\) | Quadratzentimeter | Eine Flächeneinheit. Ein Quadrat mit 1 cm Seitenlänge hat die Fläche 1 cm². Geben Sie die Halbachsen in cm ein, steht die Fläche in cm² (bei m in m²). |
Begriffe
| Ellipse | Eine Kurve wie ein in eine Richtung gestreckter (oder gestauchter) Kreis, im Alltag oft „Oval“ genannt. Genau ist sie die Menge aller Punkte, deren Abstände zu zwei Brennpunkten zusammen immer gleich groß sind. Vieles um uns ist fast eine Ellipse, etwa der Querschnitt eines Eis oder ein Sportplatz (manche Formen sehen nur so aus, etwa die Kurven einer Laufbahn). |
| Hauptachse | Die längste Strecke von Rand zu Rand durch den Mittelpunkt einer Ellipse – ihre „Breite“ in der längeren Richtung, doppelt so lang wie die große Halbachse. |
| Nebenachse | Die kürzeste Strecke von Rand zu Rand durch den Mittelpunkt einer Ellipse. Sie steht senkrecht auf der Hauptachse und ist doppelt so lang wie die kleine Halbachse. |
| große Halbachse | Die Hälfte der Hauptachse – der längste Abstand vom Mittelpunkt der Ellipse zum Rand. Sie entspricht dem Radius beim Kreis; in der Formel heißt sie \(a\). |
| kleine Halbachse | Die Hälfte der Nebenachse – der kürzeste Abstand vom Mittelpunkt der Ellipse zum Rand. In der Formel heißt sie \(b\). |
| Brennpunkt | Einer von zwei besonderen Punkten im Inneren einer Ellipse. Von jedem Punkt des Rands aus ist die Summe der Abstände zu den beiden Brennpunkten gleich. Fallen beide Brennpunkte zusammen, wird die Ellipse zum Kreis. |
| Flächeninhalt | Gibt als Zahl an, wie groß eine Figur ist. Man misst ihn daran, wie viele Einheitsquadrate (z. B. 1 cm²) hineinpassen. |
| Kreiszahl | Gibt an, wievielmal der Umfang eines Kreises so lang ist wie sein Durchmesser – etwa 3,14159, Zeichen \(\pi\) (pi). Sie steckt in der Formel für die Ellipsenfläche genauso wie in der für die Kreisfläche. |
Das sollten Sie vorher wissen
Damit Sie die Berechnung auf dieser Seite nicht nur ausführen, sondern auch verstehen, hilft Ihnen dieses Vorwissen.
| Malnehmen und Dezimalzahlen (Klasse 3–6, 8–12 Jahre) |
|
| Kreiszahl und Kreisfläche (Klasse 8–9, 13–15 Jahre) |
|
| Terme mit Variablen und das Zeichen π (Klasse 7–9, 12–15 Jahre) |
|
| Die Ellipse als Figur (Oberstufe, Kegelschnitte; 16–18 Jahre) |
|
So berechnen Sie es in Excel
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle für den Flächeninhalt einer Ellipse
| Große Halbachse | 30 |
| Kleine Halbachse | 20 |
| Flächeninhalt der Ellipse | =PI()*B1*B2 |
Tabelle für die Kreisfläche (wenn beide Halbachsen gleich sind)
| Radius | 4 |
| Flächeninhalt des Kreises | =PI()*B1^2 |
Nach dem Einfügen stehen in Spalte A die Bezeichnungen und in Spalte B die Zahlen. Die oberen Zeilen sind die Eingaben, die Formel in der letzten Zeile rechnet damit automatisch.
„B1“ und „B2“ in der Formel bedeuten „nimm die Zahl aus dieser Zelle“. „*“ steht für Malnehmen und „^“ für Potenzieren. „PI()“ ist eine Excel-Funktion, die die Kreiszahl liefert (3,14159…).
In der ersten Tabelle erscheint in B3 zum Beispiel π × 30 × 20 ≈ 1.884,96 (in cm², weil in cm eingegeben), in der zweiten Tabelle in B2 etwa 50,27. Ersetzen Sie einfach die Eingaben durch Ihre eigenen Längen.
„B1“ und „B2“ in der Formel bedeuten „nimm die Zahl aus dieser Zelle“. „*“ steht für Malnehmen und „^“ für Potenzieren. „PI()“ ist eine Excel-Funktion, die die Kreiszahl liefert (3,14159…).
In der ersten Tabelle erscheint in B3 zum Beispiel π × 30 × 20 ≈ 1.884,96 (in cm², weil in cm eingegeben), in der zweiten Tabelle in B2 etwa 50,27. Ersetzen Sie einfach die Eingaben durch Ihre eigenen Längen.
So berechnen Sie es in Google Tabellen
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle für den Flächeninhalt einer Ellipse
| Große Halbachse | 30 |
| Kleine Halbachse | 20 |
| Flächeninhalt der Ellipse | =PI()*B1*B2 |
Tabelle für die Kreisfläche (wenn beide Halbachsen gleich sind)
| Radius | 4 |
| Flächeninhalt des Kreises | =PI()*B1^2 |
Dieselben Formeln wie in Excel (auch die Funktion PI()) funktionieren unverändert. Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Eingaben durch Ihre eigenen Längen.
So berechnen Sie es in Python
import math
semi_major = 30 # große Halbachse (der längere „Radius“; in diesem Beispiel in cm)
semi_minor = 20 # kleine Halbachse (der kürzere „Radius“; dieselbe Einheit wie semi_major)
area = math.pi * semi_major * semi_minor # Flächeninhalt der Ellipse (Eingabeeinheit zum Quadrat, hier cm2)
print(f"Flächeninhalt der Ellipse: {area} cm2")
Verwendet wird die Kreiszahl aus dem Modul math der Standardbibliothek (math.pi = 3,14159…). „*“ steht für Malnehmen. Ändern Sie oben die beiden Halbachsen und führen Sie den Code aus (für dieses Beispiel ergeben sich etwa 1.884,96 cm²).
So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
Flächeninhalt einer Ellipse
S = π × a × b
S = \pi a b
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>S</mi>
<mo>=</mo>
<mi>π</mi>
<mo>⁢</mo>
<mi>a</mi>
<mo>⁢</mo>
<mi>b</mi>
</mrow>
</math>
S = pi a b
Pi*a*b
S := Pi*a*b;
S = pi*a*b;
S = πab
Zusammenhang mit der Kreisfläche (der Kreis ist eine besondere Ellipse)
S = πr²
S = \pi r^{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>S</mi>
<mo>=</mo>
<mi>π</mi>
<mo>⁢</mo>
<msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</math>
S = pi r^2
Pi*r^2
S := Pi*r^2;
S = pi*r^2;
S = πr^2
So lassen Sie ChatGPT rechnen
Sie sind ein Rechenassistent für Mathematik. Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (antworten Sie nicht durch Kopfrechnen oder Schätzen). Eine Ellipse hat die große Halbachse 30 cm und die kleine Halbachse 20 cm. Berechnen Sie den Flächeninhalt dieser Ellipse in cm² (verwenden Sie math.pi für die Kreiszahl). Zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis.
Anleitung
-
1Werte eingebenTragen Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
-
2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
-
3Ergebnis ansehenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
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Die Datei wird nach dem Download automatisch gelöscht
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Keine Wasserzeichen
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Keine Quellenangabe nötig
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Kommerzielle Nutzung möglich
Kostenlos auch für die kommerzielle Nutzung
Keine vorherige Genehmigung erforderlich
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