Dieser Rechner lässt sich auf drei Arten verwenden. 1) Den z-Wert aus einem Wert, dem Mittelwert und der Standardabweichung bestimmen. 2) Zwischen einem z-Wert und einer Wahrscheinlichkeit umrechnen (nur ein Feld ausfüllen). 3) Die Wahrscheinlichkeit zwischen zwei z-Werten bestimmen. Füllen Sie nur die Felder der Gruppe aus, die Sie verwenden möchten.
Füllen Sie nur die Felder einer Verwendung aus und lassen Sie die übrigen Felder leer. Geben Sie Wahrscheinlichkeiten als Zahlen von 0 bis 1 ein (zum Beispiel 0,975 für 97,5 %).
Ergebnis und Diagramm
Geben Sie in den Feldern links Zahlen ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis und ein Diagramm erscheinen hier.
Inhaltsverzeichnis
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Was Sie auf dieser Seite tun können
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Wofür ist diese Berechnung nützlich?
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Anleitung
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Formeln und Diagramm
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Symbole und Begriffe
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Was Sie vorab wissen sollten
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Mit Excel berechnen
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Mit Google Tabellen berechnen
-
Mit Python berechnen
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Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
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Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
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Die Vorteile von DataChef
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Verwandte Funktionen
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Alle NumberChef-Rechner
Was Sie auf dieser Seite tun können
- Geben Sie einen Wert \(x\), den Mittelwert \(\mu\) und die Standardabweichung \(\sigma\) ein, und Sie erhalten den z-Wert (Standardwert) und die Wahrscheinlichkeit für einen kleineren Wert in einem Schritt
- Statt in einer z-Tabelle (Tabelle der Standardnormalverteilung) nachzuschlagen, rechnen Sie z-Werte und Wahrscheinlichkeiten in beide Richtungen um (vom z-Wert zur Wahrscheinlichkeit oder von der Wahrscheinlichkeit zurück zum z-Wert)
- Auch die Wahrscheinlichkeit zwischen zwei z-Werten (zum Beispiel zwischen −1,96 und 1,96) berechnen Sie sofort
- Eine verständliche Erklärung der Formeln sowie Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python finden Sie ebenfalls auf dieser Seite
Dieser Rechner setzt voraus, dass die Daten einer Normalverteilung folgen (eine symmetrische Glockenform um den Mittelwert). Für Daten mit stark schiefer Verteilung ist er nicht geeignet.
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
Wissen, wo man steht: Testergebnisse und Prozentränge (Schule und Prüfungen)
In einem Test mit dem Mittelwert 65 und der Standardabweichung 5 ergibt die Punktzahl 75 den Wert \(z = 2\). Folgen die Punktzahlen einer Normalverteilung, gehören Sie damit zu den obersten etwa 2,3 % (\(1 - \Phi(2) \approx 0{,}0228\)), das ist ungefähr der 97,7. Prozentrang. IQ-Werte werden direkt aus z-Werten gebildet (IQ \(= 100 + 15 \times z\)), ein IQ von 130 ist also dieselbe Position. Ähnlich sind T-Werte aufgebaut (Mittelwert 50, eine Standardabweichung entspricht 10).
Das ist die vertrauteste Anwendung von z-Werten: eine Rohpunktzahl in einen Prozentrang umzurechnen und abzulesen, wie groß ein Abstand von einigen Punkten wirklich ist, auch zwischen Tests mit verschiedenen Höchstpunktzahlen und Durchschnitten.
Ergebnisse aus verschiedenen Fächern oder Tests mit demselben Maßstab vergleichen
„80 Punkte in Deutsch (Mittelwert 70, Standardabweichung 10)“ und „65 Punkte in Mathematik (Mittelwert 50, Standardabweichung 15)“ sehen bei den Rohpunkten so aus, als wäre Deutsch besser, aber als z-Werte sind beide \(z = 1\), also dieselbe Position.
Auch wenn Einheiten, Höchstpunktzahlen oder die Strenge der Bewertung verschieden sind, lassen sich Ergebnisse mit z-Werten fair danach vergleichen, „wie weit über der Gruppe“ sie liegen. Dieselbe Idee wird eingesetzt, um Punktzahlen verschiedener Testformen aufeinander abzustimmen und um Beurteilungen in der Personalbewertung zu normieren.
Die Wachstumskurven von Kindern lesen (Familie und Gesundheit)
Bei den Vorsorgeuntersuchungen (U-Untersuchungen) beurteilen Kinderärztinnen und Kinderärzte Größe und Gewicht eines Kindes mit Perzentilkurven und mit dem SDS (Standardabweichungs-Score). Der SDS ist ein z-Wert und gibt an, um wie viele Standardabweichungen (SD) ein Kind vom Durchschnitt der gleichaltrigen Kinder entfernt ist.
Etwa 2,3 % der Kinder liegen außerhalb jeder der Linien bei ±2 SDS (\(z = \pm 2\)). Diese Linien, die dem 2,3. und dem 97,7. Perzentil entsprechen, sind ein Anhaltspunkt dafür, ob man das Wachstum im Auge behalten sollte (in Deutschland gilt oft der Bereich zwischen dem 3. und dem 97. Perzentil als Normbereich; Kinder wachsen unterschiedlich schnell, und die Entscheidung trifft die Ärztin oder der Arzt, nachdem der Verlauf beobachtet wurde). Wenn Sie wissen, wofür die Linie „−2 SDS“ steht, sind die Erklärungen bei den Untersuchungen leichter zu verstehen.
Qualitätssicherung in der Fabrik: Wie viele Produkte verfehlen die Vorgabe? (Fertigung)
Größe und Gewicht von Produkten streuen oft annähernd normalverteilt. Rechnet man die obere und die untere Toleranzgrenze in z-Werte um, lässt sich die Ausschussquote schätzen. Liegen die Grenzen beim Mittelwert \(\pm 3\sigma\), liegen etwa 0,3 % außerhalb (\(2 \times (1 - \Phi(3)) \approx 0{,}0027\)).
Auch der Name der Methode zur Qualitätsverbesserung „Six Sigma“ kommt von dieser Idee des z-Werts (wie viele σ entfernt).
Risikomanagement im Finanzwesen: „Mit 99 % Wahrscheinlichkeit bleibt der Verlust darunter“ (Banken und Geldanlage)
Banken und Vermögensverwalter messen das Verlustrisiko ihrer Bestände mit einer Kennzahl namens Value at Risk (VaR). Nimmt man an, dass die Renditen einer Normalverteilung folgen, ist die Grenze, bis zu der „der Verlust mit 99 % Wahrscheinlichkeit in diesem Bereich bleibt“, der z-Wert \(\Phi^{-1}(0{,}99) \approx 2{,}33\), also 2,33 Standardabweichungen vom Mittelwert entfernt.
Diese Umrechnung „von der Wahrscheinlichkeit zum z-Wert“ liegt den Risikoberechnungen von Finanzinstituten auf der ganzen Welt zugrunde.
Formeln und Diagramm
Definition des z-Werts (um wie viele Standardabweichungen er vom Mittelwert entfernt ist)
Diagramm
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(z\)
\(=\)
\((\)
\(x\)
\(-\)
\(\mu\)
\()\)
\(\div\)
\(\sigma\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
④
\(z\): z-Wert
\(=\)
\((\)
①
\(x\): Wert
\(-\)
②
\(\mu\): Mittelwert
\()\)
\(\div\)
③
\(\sigma\): Standardabweichung
Die Formel in Worten
①
Nehmen Sie den
\(x\): Wert
②
ziehen Sie den
\(\mu\): Mittelwert
ab,
③
teilen Sie durch die
\(\sigma\): Standardabweichung
,
④
und Sie erhalten den
\(z\): z-Wert
Einfaches Beispiel
Für jemanden, der in einem Test mit dem Mittelwert 65 Punkte und der Standardabweichung 5 Punkte die Punktzahl 75 erreicht hat, ist der z-Wert
\(z\): z-Wert
\(=\)
\((\)
Punktzahl (75)
\(-\)
Mittelwert (65)
\()\)
\(\div\)
Standardabweichung (5)
\((75 - 65) \div 5 = 10 \div 5 = 2\)
Der Kerngedanke
Der z-Wert (Standardwert) gibt an, um wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt ist. Ein positiver z-Wert liegt über dem Mittelwert, ein negativer darunter, und 0 ist genau der Mittelwert.
Diese Umrechnung heißt Standardisierung. Auch Daten mit verschiedenen Einheiten oder verschiedenen Höchstpunktzahlen lassen sich mit demselben Maßstab vergleichen, sobald sie in z-Werte umgerechnet sind. IQ-Werte beruhen auf dieser Idee: IQ \(= 100 + 15 \times z\) (das \(z = 2\) im Beispiel entspricht einem IQ von 130).
Vom z-Wert zur „Wahrscheinlichkeit für einen Wert unter \(Z\)“
Diagramm
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(P(x<Z)\)
\(=\)
\(\Phi(Z)\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
②
Wahrscheinlichkeit für einen Wert unter \(Z\)
\(=\)
①
Fläche links, \(\Phi(Z)\)
Die Formel in Worten
①
Setzen Sie den z-Wert \(Z\) in die Verteilungsfunktion \(\Phi\) (Phi) ein, um den
Wert \(\Phi(Z)\)
zu erhalten (\(\Phi(Z)\) ist die Fläche unter der Kurve der Standardnormalverteilung links von \(Z\))
②
und das ist die
Wahrscheinlichkeit für einen Wert unter \(Z\), \(P(x<Z)\)
Einfaches Beispiel
Ist der z-Wert 2, so ist die Wahrscheinlichkeit für einen Wert unter 2
Wahrscheinlichkeit für einen Wert unter 2
\(=\)
Wert der Verteilungsfunktion, \(\Phi(2)\)
\(\Phi(2) \approx 0{,}97725\ \ (97{,}7\,\%)\)
Der Kerngedanke
Werte von \(\Phi\) schlug man früher in der „z-Tabelle“ (der Tabelle der Standardnormalverteilung) am Ende eines Lehrbuchs nach. Dieser Rechner ersetzt diese z-Tabelle.
Die Gegenseite, „die Wahrscheinlichkeit für einen Wert über \(Z\)“, ist die Gesamtwahrscheinlichkeit 1 minus diesen Wert: \(1 - \Phi(Z)\). Um von einer Wahrscheinlichkeit zurück zu einem z-Wert zu kommen, verwendet man die Umkehrfunktion \(\Phi^{-1}\) (Beispiel: \(\Phi^{-1}(0{,}975) \approx 1{,}96\)). Dieser Rechner rechnet in beide Richtungen um.
Wahrscheinlichkeit zwischen \(-Z\) und \(Z\) (beide Seiten zusammen)
Diagramm
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(P(-Z<x<Z)\)
\(=\)
\(2\)
\(\times\)
\(\Phi(Z)\)
\(-\)
\(1\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
④
Wahrscheinlichkeit zwischen \(-Z\) und \(Z\)
\(=\)
②
mal 2 (beide Seiten)
\(\times\)
①
Fläche links, \(\Phi(Z)\)
\(-\)
③
Gesamtwahrscheinlichkeit \(1\)
Die Formel in Worten
①
Nehmen Sie den
Wert \(\Phi(Z)\) (die Fläche links von \(Z\))
②
nehmen Sie ihn
mal 2 (die Kurve ist symmetrisch, es sind also zwei davon)
,
③
ziehen Sie die
Gesamtwahrscheinlichkeit \(1\)
ab,
④
und Sie erhalten die
Wahrscheinlichkeit zwischen \(-Z\) und \(Z\)
Einfaches Beispiel
Ist der z-Wert 1,96 (\(\Phi(1{,}96) \approx 0{,}975\)), so ist die Wahrscheinlichkeit zwischen −1,96 und 1,96
Wahrscheinlichkeit zwischen −1,96 und 1,96
\(=\)
mal 2
\(\times\)
Wert der Verteilungsfunktion (0,975)
\(-\)
Gesamtwahrscheinlichkeit (1)
\(2 \times 0{,}975 - 1 = 1{,}95 - 1 = 0{,}95\ \ (95\,\%)\)
Der Kerngedanke
Diese Formel gilt, wenn \(Z\) mindestens 0 ist. Die Standardnormalverteilung ist symmetrisch um 0, deshalb ist die Fläche „von \(-Z\) bis \(Z\)“ die Fläche links von \(Z\), \(\Phi(Z)\), verdoppelt und um das doppelt gezählte Ganze (1) vermindert.
Die Wahrscheinlichkeit, außerhalb zu landen (in den beiden Rändern), ist das Gegenereignis, \(1 - (2\Phi(Z) - 1)\). Mit \(Z = 1{,}96\) wie im Beispiel liegen 95 % innen und 5 % außen. Dieser z-Wert ist die Grenze für das „Signifikanzniveau von 5 %“, das bei statistischen Tests so oft vorkommt.
Wahrscheinlichkeit zwischen zwei z-Werten \(Z_1\) und \(Z_2\)
Diagramm
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(P(Z_1<x<Z_2)\)
\(=\)
\(\Phi(Z_2)\)
\(-\)
\(\Phi(Z_1)\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
③
Wahrscheinlichkeit zwischen \(Z_1\) und \(Z_2\)
\(=\)
①
Fläche links, \(\Phi(Z_2)\)
\(-\)
②
Fläche links, \(\Phi(Z_1)\)
Die Formel in Worten
①
Nehmen Sie die
Fläche links von der oberen Grenze \(Z_2\), \(\Phi(Z_2)\)
②
ziehen Sie die
Fläche links von der unteren Grenze \(Z_1\), \(\Phi(Z_1)\)
ab,
③
und Sie erhalten die
Wahrscheinlichkeit zwischen \(Z_1\) und \(Z_2\)
Einfaches Beispiel
Für \(Z_1 = -1\) und \(Z_2 = 0\) (\(\Phi(0) = 0{,}5\), \(\Phi(-1) \approx 0{,}15866\)) ist die Wahrscheinlichkeit zwischen −1 und 0
Wahrscheinlichkeit zwischen −1 und 0
\(=\)
Fläche links von der oberen Grenze, \(\Phi(0)\)
\(-\)
Fläche links von der unteren Grenze, \(\Phi(-1)\)
\(0{,}5 - 0{,}15866 = 0{,}34134\ \ (34{,}1\,\%)\)
Der Kerngedanke
Die Formel rechnet nur „die Fläche bis zum größeren Wert minus die Fläche bis zum kleineren Wert“ und gilt daher für beliebige \(Z_1\) und \(Z_2\) (auch wenn beide negativ sind).
Geben Sie \(Z_1 = -1\) und \(Z_2 = 1\) ein, erhalten Sie etwa 0,683 (68,3 %). Damit können Sie die bekannte Faustregel der Normalverteilung überprüfen, „etwa 68 % liegen innerhalb einer Standardabweichung um den Mittelwert“ (die 68-95-99,7-Regel).
Der z-Wert ist ein gemeinsamer Maßstab dafür, wo ein Wert in den Daten liegt: um wie viele Standardabweichungen er vom Mittelwert entfernt ist. Sind Werte einmal z-Werte, können Sie Daten mit verschiedenen Einheiten vergleichen, und die Verteilungsfunktion \(\Phi\) macht aus einem z-Wert „die Wahrscheinlichkeit (Fläche) bis zu diesem Wert“.
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(z\) | z (z-Wert) | Eine Zahl, die angibt, um wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt ist, bestimmt mit \(z = (x - \mu) \div \sigma\). Ein positiver Wert liegt über dem Mittelwert, ein negativer darunter. Auf dieser Seite wird ein z-Wert, den Sie wie in 2) und 3) selbst vorgeben, mit einem großen \(Z\) geschrieben. |
| \(x\) | x | Der gemessene Wert, etwa eine Testpunktzahl oder eine Körpergröße. Es ist der ursprüngliche Wert, den Sie in einen z-Wert umrechnen möchten. |
| \(\mu\) | My | Der Mittelwert. Er gibt an, wo die Mitte des Gipfels der Verteilung liegt. Ein griechischer Buchstabe, der dem deutschen m entspricht. |
| \(\sigma\) | Sigma | Die Standardabweichung, das Maß für die Streuung der Daten. Je größer sie ist, desto niedriger und breiter wird der Gipfel. Ein griechischer Buchstabe, der dem deutschen s entspricht. |
| \(\Phi(Z)\) | Phi von Z | Die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung (Mittelwert 0, Standardabweichung 1). Sie liefert die Wahrscheinlichkeit für einen Wert unter \(Z\), also die Fläche unter der Kurve links von \(Z\). |
| \(\Phi^{-1}\) | Phi hoch minus 1 (Umkehrfunktion von Φ) | Die Umkehrfunktion von \(\Phi\). Sie nimmt eine Wahrscheinlichkeit (Fläche) und liefert den z-Wert, der sie ergibt. (Beispiel: \(\Phi^{-1}(0{,}975) \approx 1{,}96\)) |
| \(Z_1,\ Z_2\) | Z Index 1, Z Index 2 | Die zwei z-Werte, die Sie bei 3) eingeben. \(Z_1\) ist die linke (kleinere) Grenze und \(Z_2\) die rechte (größere) Grenze. |
Begriffe
| z-Wert (Standardwert) | Eine Zahl ohne Einheit, die angibt, um wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt ist. Sie wird auch Standardwert genannt (englisch „z-score“ oder „standard score“). Ihre größte Stärke ist, dass Daten mit verschiedenen Einheiten oder verschiedenen Höchstpunktzahlen mit demselben Maßstab verglichen werden können. |
| Standardisierung | Einen ursprünglichen Wert in einen z-Wert umrechnen (auch z-Transformation genannt). Nach der Standardisierung lassen sich Daten jeder Normalverteilung mit der einen Standardnormalverteilung mit dem Mittelwert 0 und der Standardabweichung 1 behandeln. |
| Standardnormalverteilung | Die Normalverteilung mit dem Mittelwert 0 und der Standardabweichung 1. Sie ist die Verteilung der z-Werte und dient als gemeinsamer Maßstab für Wahrscheinlichkeitsrechnungen mit jeder Normalverteilung. |
| Normalverteilung | Eine Verteilung, die glockenförmig und symmetrisch um den Mittelwert streut. Viele Daten aus der Praxis, etwa Testpunkte, Körpergrößen und die Gewichte von Produkten, kommen dieser Form nahe. |
| Verteilungsfunktion | Eine Funktion, die die Wahrscheinlichkeit angibt, diesen Wert oder weniger zu erhalten. Die der Standardnormalverteilung schreibt man \(\Phi\) (Phi). Sie heißt so, weil sie die Fläche links der Kurve aufaddiert (kumuliert). |
| z-Tabelle (Tabelle der Standardnormalverteilung) | Eine Tabelle, die z-Werte und die zugehörigen Werte (Flächen) von \(\Phi\) zusammenstellt. Sie steht am Ende von Statistik-Lehrbüchern und Formelsammlungen. Verwendung 2) auf dieser Seite können Sie anstelle einer z-Tabelle nutzen. |
| T-Wert | Ein z-Wert, der so umgerechnet ist, dass der Mittelwert 50 beträgt und eine Standardabweichung 10 entspricht (T-Wert \(= 50 + 10 \times z\)). Er wird in manchen psychologischen und pädagogischen Tests verwendet. IQ-Werte funktionieren genauso, mit dem Mittelwert 100 und 15 pro Standardabweichung. |
Was Sie vorab wissen sollten
Hier finden Sie zusammengestellt, was Ihnen hilft, die Berechnung auf dieser Seite mit echtem Verständnis zu nutzen und nicht nur den Knopf zu drücken.
| Der Mittelwert (Klasse 5–6, 10–12 Jahre) |
|
| Rechnen mit negativen Zahlen (Klasse 6–7, 11–13 Jahre) |
|
| Datenanalyse und Standardabweichung (Oberstufe, ab 16 Jahren) |
|
| Die Normalverteilung und das Lesen von Flächen (Oberstufe, ab 16 Jahren) |
|
Mit Excel berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle zur Berechnung des z-Werts
| Wert x | 75 |
| Mittelwert μ | 65 |
| Standardabw. σ | 5 |
| z-Wert | =(B1-B2)/B3 |
Tabelle zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit für einen Wert unter dem z-Wert, P(x<Z)
| z-Wert Z | 2 |
| P(x<Z) | =NORM.S.VERT(B1;WAHR) |
Tabelle zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit zwischen −Z und Z
| z-Wert Z | 1,96 |
| Φ(Z) | =NORM.S.VERT(B1;WAHR) |
| Wahrscheinlichkeit zwischen −Z und Z | =2*B2-1 |
Tabelle zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit zwischen zwei z-Werten Z1 und Z2
| Links Z1 | -1 |
| Rechts Z2 | 0 |
| Φ(Z1) | =NORM.S.VERT(B1;WAHR) |
| Φ(Z2) | =NORM.S.VERT(B2;WAHR) |
| Wahrscheinlichkeit zwischen Z1 und Z2 | =B4-B3 |
Nach dem Einfügen der Tabelle dienen die Zahlen in Spalte B als Eingabefelder. „NORM.S.VERT(Wert; WAHR)“ ist die Funktion für die Verteilungsfunktion \(\Phi\), und WAHR bedeutet „den kumulierten Wert (die Fläche links) zurückgeben“.
In der ersten Tabelle ändern Sie Wert, Mittelwert und Standardabweichung (B1 bis B3), und B4 zeigt den z-Wert (mit den Beispielwerten ist B4 gleich 2). Die zweite Tabelle bestimmt die Wahrscheinlichkeit (B2) aus dem z-Wert (B1); mit dem Beispielwert ist B2 etwa 0,97725 (97,7 %).
In der dritten Tabelle geben Sie den z-Wert 1,96 ein und erhalten die Wahrscheinlichkeit zwischen −1,96 und 1,96 (B3) von etwa 0,95 (95 %). Die vierte Tabelle ist die Wahrscheinlichkeit zwischen zwei z-Werten; mit den Beispielwerten (−1 und 0) ist B5 etwa 0,34134 (34,1 %).
Für die andere Richtung, „von einer Wahrscheinlichkeit zu einem z-Wert“, verwenden Sie „=NORM.S.INV(Wahrscheinlichkeit)“ (Beispiel: `=NORM.S.INV(0,975)` ergibt etwa 1,95996).
In der ersten Tabelle ändern Sie Wert, Mittelwert und Standardabweichung (B1 bis B3), und B4 zeigt den z-Wert (mit den Beispielwerten ist B4 gleich 2). Die zweite Tabelle bestimmt die Wahrscheinlichkeit (B2) aus dem z-Wert (B1); mit dem Beispielwert ist B2 etwa 0,97725 (97,7 %).
In der dritten Tabelle geben Sie den z-Wert 1,96 ein und erhalten die Wahrscheinlichkeit zwischen −1,96 und 1,96 (B3) von etwa 0,95 (95 %). Die vierte Tabelle ist die Wahrscheinlichkeit zwischen zwei z-Werten; mit den Beispielwerten (−1 und 0) ist B5 etwa 0,34134 (34,1 %).
Für die andere Richtung, „von einer Wahrscheinlichkeit zu einem z-Wert“, verwenden Sie „=NORM.S.INV(Wahrscheinlichkeit)“ (Beispiel: `=NORM.S.INV(0,975)` ergibt etwa 1,95996).
Mit Google Tabellen berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle zur Berechnung des z-Werts
| Wert x | 75 |
| Mittelwert μ | 65 |
| Standardabw. σ | 5 |
| z-Wert | =(B1-B2)/B3 |
Tabelle zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit für einen Wert unter dem z-Wert, P(x<Z)
| z-Wert Z | 2 |
| P(x<Z) | =STANDNORMVERT(B1) |
Tabelle zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit zwischen −Z und Z
| z-Wert Z | 1,96 |
| Φ(Z) | =STANDNORMVERT(B1) |
| Wahrscheinlichkeit zwischen −Z und Z | =2*B2-1 |
Tabelle zur Berechnung der Wahrscheinlichkeit zwischen zwei z-Werten Z1 und Z2
| Links Z1 | -1 |
| Rechts Z2 | 0 |
| Φ(Z1) | =STANDNORMVERT(B1) |
| Φ(Z2) | =STANDNORMVERT(B2) |
| Wahrscheinlichkeit zwischen Z1 und Z2 | =B4-B3 |
In Google Tabellen berechnen Sie die Verteilungsfunktion \(\Phi\) mit „STANDNORMVERT(Wert)“ (sie arbeitet wie „NORM.S.VERT(Wert; WAHR)“ in Excel, WAHR ist aber nicht nötig). Kopieren Sie die gesamte Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ändern Sie die Zahlen in Spalte B.
Die Ergebnisse sind dieselben wie in der Excel-Version: Die erste Tabelle liefert aus 75, 65 und 5 den z-Wert 2, und die zweite liefert aus dem z-Wert 2 eine Wahrscheinlichkeit von etwa 0,97725.
Um aus einer Wahrscheinlichkeit einen z-Wert zu bestimmen, verwenden Sie „=STANDNORMINV(Wahrscheinlichkeit)“ (Beispiel: `=STANDNORMINV(0,975)` ergibt etwa 1,95996).
Die Ergebnisse sind dieselben wie in der Excel-Version: Die erste Tabelle liefert aus 75, 65 und 5 den z-Wert 2, und die zweite liefert aus dem z-Wert 2 eine Wahrscheinlichkeit von etwa 0,97725.
Um aus einer Wahrscheinlichkeit einen z-Wert zu bestimmen, verwenden Sie „=STANDNORMINV(Wahrscheinlichkeit)“ (Beispiel: `=STANDNORMINV(0,975)` ergibt etwa 1,95996).
Mit Python berechnen
import math
def phi(z):
# Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung, Φ(z) (berechnet mit der Fehlerfunktion erf)
return 0.5 * (1 + math.erf(z / math.sqrt(2)))
x = 75 # Wert
mean = 65 # Mittelwert
sd = 5 # Standardabweichung
z_score = (x - mean) / sd # z-Wert
p_less_than_z = phi(z_score) # Wahrscheinlichkeit für einen Wert unter dem z-Wert, P(x<Z)
z = 1.96
p_between_minus_z_and_z = 2 * phi(z) - 1 # Wahrscheinlichkeit zwischen -z und z
z1, z2 = -1, 0
p_between_z1_z2 = phi(z2) - phi(z1) # Wahrscheinlichkeit zwischen z1 und z2
print(f"z-Wert: {z_score}")
print(f"P(x<Z): {p_less_than_z}")
print(f"Wahrscheinlichkeit zwischen -z und z: {p_between_minus_z_and_z}")
print(f"Wahrscheinlichkeit zwischen z1 und z2: {p_between_z1_z2}")
Mit math.erf (der Fehlerfunktion) aus der Standardbibliothek können Sie die Verteilungsfunktion \(\Phi\) berechnen. Für die andere Richtung (von der Wahrscheinlichkeit zum z-Wert) verwenden Sie NormalDist().inv_cdf() aus dem Modul statistics der Standardbibliothek (Beispiel: `statistics.NormalDist().inv_cdf(0.975)` ergibt etwa 1,95996; die Python-Ausgabe verwendet Punkte statt Kommas).
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
Definition des z-Werts (um wie viele Standardabweichungen er vom Mittelwert entfernt ist)
z = (x − μ) ÷ σ
z = \dfrac{x - \mu}{\sigma}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>z</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>μ</mi></mrow>
<mi>σ</mi>
</mfrac>
</mrow>
</math>
z = (x - mu)/sigma
(x - mu)/sigma
z := (x - mu)/sigma;
z = (x - mu)/sigma;
z = (x-μ)/σ
Vom z-Wert zur „Wahrscheinlichkeit für einen Wert unter \(Z\)“
P(x<Z) = Φ(Z)
P(x<Z) = \Phi(Z)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo><</mo><mi>Z</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mi>Φ</mi><mo>(</mo><mi>Z</mi><mo>)</mo>
</mrow>
</math>
P(x<Z) = Phi(Z)
CDF[NormalDistribution[0, 1], Z]
with(Statistics): CDF(RandomVariable(Normal(0, 1)), Z);
p = normcdf(Z);
P(x<Z) = Φ(Z)
Wahrscheinlichkeit zwischen \(-Z\) und \(Z\) (beide Seiten zusammen)
P(−Z<x<Z) = 2Φ(Z) − 1
P(-Z<x<Z) = 2\Phi(Z) - 1
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mo>−</mo><mi>Z</mi><mo><</mo><mi>x</mi><mo><</mo><mi>Z</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mn>2</mn><mi>Φ</mi><mo>(</mo><mi>Z</mi><mo>)</mo><mo>−</mo><mn>1</mn>
</mrow>
</math>
P(-Z<x<Z) = 2 Phi(Z) - 1
2 CDF[NormalDistribution[0, 1], Z] - 1
with(Statistics): 2*CDF(RandomVariable(Normal(0, 1)), Z) - 1;
p = 2*normcdf(Z) - 1;
P(-Z<x<Z) = 2Φ(Z) - 1
Wahrscheinlichkeit zwischen zwei z-Werten \(Z_1\) und \(Z_2\)
P(Z₁<x<Z₂) = Φ(Z₂) − Φ(Z₁)
P(Z_1<x<Z_2) = \Phi(Z_2) - \Phi(Z_1)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>P</mi><mo>(</mo><msub><mi>Z</mi><mn>1</mn></msub><mo><</mo><mi>x</mi><mo><</mo><msub><mi>Z</mi><mn>2</mn></msub><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mi>Φ</mi><mo>(</mo><msub><mi>Z</mi><mn>2</mn></msub><mo>)</mo>
<mo>−</mo>
<mi>Φ</mi><mo>(</mo><msub><mi>Z</mi><mn>1</mn></msub><mo>)</mo>
</mrow>
</math>
P(Z_1<x<Z_2) = Phi(Z_2) - Phi(Z_1)
CDF[NormalDistribution[0, 1], Z2] - CDF[NormalDistribution[0, 1], Z1]
with(Statistics): CDF(RandomVariable(Normal(0, 1)), Z2) - CDF(RandomVariable(Normal(0, 1)), Z1);
p = normcdf(Z2) - normcdf(Z1);
P(Z1<x<Z2) = Φ(Z2) - Φ(Z1)
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
Sie sind ein Assistent für statistische Berechnungen. Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort ausschließlich auf die Zahlen aus dem Ergebnis der Ausführung (antworten Sie nicht durch Kopfrechnen oder Raten). Jemand hat in einem Test mit dem Mittelwert 65 Punkte und der Standardabweichung 5 Punkte die Punktzahl 75 erreicht. 1. Bestimmen Sie den z-Wert dieser Person. 2. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, unter diesem Wert zu liegen, P(x<Z) (verwenden Sie die Verteilungsfunktion Φ der Standardnormalverteilung; Sie können die Standardbibliothek von Python verwenden, etwa math.erf oder statistics.NormalDist). 3. Bestimmen Sie außerdem die Wahrscheinlichkeit, dass ein z-Wert zwischen −1,96 und 1,96 liegt. Zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ergebnis der Ausführung.
Anleitung
-
1Zahlen eingebenGeben Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
-
2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
-
3Ergebnis ablesenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
Die Vorteile von DataChef
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