Der Rechner kann dreierlei: ① den z-Wert aus Messwert, Mittelwert und Standardabweichung berechnen, ② zwischen z-Wert und Wahrscheinlichkeit umrechnen (nur ein Feld ausfüllen), ③ die Wahrscheinlichkeit zwischen zwei z-Werten berechnen. Füllen Sie nur die Felder der gewünschten Gruppe aus.
Füllen Sie nur die Felder einer Gruppe aus und lassen Sie die übrigen leer. Wahrscheinlichkeiten geben Sie als Zahl zwischen 0 und 1 ein (z. B. 0,975 für 97,5 %).
Ergebnis und Graph
Geben Sie links Ihre Zahlen ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Ergebnis und Graph erscheinen dann hier.
Inhaltsverzeichnis
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Das können Sie auf dieser Seite
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Wofür braucht man diese Berechnung?
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Anleitung
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Formeln und Graphen
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Symbole und Begriffe
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Das sollten Sie vorher wissen
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So berechnen Sie es in Excel
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So berechnen Sie es in Google Tabellen
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So berechnen Sie es in Python
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So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
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So lassen Sie ChatGPT rechnen
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Die Vorteile von DataChef
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Verwandte Funktionen
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Alle Rechner von NumberChef
Das können Sie auf dieser Seite
- Messwert \(x\), Mittelwert \(\mu\) und Standardabweichung \(\sigma\) eingeben – und Sie erhalten den z-Wert (Standardwert) und die Wahrscheinlichkeit für einen kleineren Wert auf einmal
- Statt in der z-Tabelle (Tabelle der Standardnormalverteilung) nachzuschlagen, rechnen Sie z-Werte und Wahrscheinlichkeiten in beide Richtungen um (vom z-Wert zur Wahrscheinlichkeit und zurück)
- Auch die Wahrscheinlichkeit zwischen zwei z-Werten (z. B. zwischen −1,96 und 1,96) berechnen Sie sofort
- Dazu eine verständliche Erklärung der Formeln sowie fertige Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python
Der Rechner setzt voraus, dass die Daten einer Normalverteilung folgen (symmetrische Glockenkurve um den Mittelwert). Für Daten mit stark schiefer Verteilung ist er nicht geeignet.
Wofür braucht man diese Berechnung?
Wo stehe ich? – Prozentrang, IQ und T-Wert (Schule, Tests und Diagnostik)
In einem Test mit dem Mittelwert 65 und der Standardabweichung 5 entsprechen 75 Punkte \(z = 2\). Sind die Ergebnisse normalverteilt, gehören Sie damit etwa zu den besten 2,3 % (\(1 - \Phi(2) \approx 0{,}0228\)) – das ist ein Prozentrang von rund 97,7. Intelligenztests und viele psychologische Tests rechnen genau so: IQ \(= 100 + 15 \times z\) und T-Wert \(= 50 + 10 \times z\). Dieselbe Position entspricht also einem IQ von 130 bzw. einem T-Wert von 70.
Das ist die bekannteste Anwendung von z-Werten: aus einer Rohpunktzahl einen Prozentrang machen und erkennen, wie groß ein Unterschied von ein paar Punkten wirklich ist – auch zwischen Tests mit verschiedenen Höchstpunktzahlen und Durchschnitten.
Ergebnisse aus verschiedenen Fächern oder Tests auf einer Skala vergleichen
„80 Punkte in Englisch (Mittelwert 70, Standardabweichung 10)“ und „65 Punkte in Mathe (Mittelwert 50, Standardabweichung 15)“ – nach Rohpunkten wirkt Englisch besser, als z-Werte liegen aber beide bei \(z = 1\), also an derselben Stelle.
Auch wenn Einheiten, Höchstpunktzahlen oder die Strenge der Bewertung verschieden sind, lassen sich Ergebnisse mit z-Werten fair danach vergleichen, wie weit sie über der Gruppe liegen. Dieselbe Idee steckt hinter der Normierung von Testergebnissen und der Vereinheitlichung von Bewertungen in Personalbeurteilungen.
Wachstumskurven von Kindern lesen (Familie und Gesundheit)
In der Kinderheilkunde werden Größe und Gewicht oft als SDS (Standard Deviation Score) angegeben. Das ist nichts anderes als ein z-Wert: Er sagt, wie viele Standardabweichungen (SD) ein Kind vom Durchschnitt gleichaltriger Kinder entfernt ist. Die Perzentilkurven im Kinderuntersuchungsheft zeigen dasselbe in anderer Form; die 3. und die 97. Perzentile liegen bei etwa \(z = \pm 1{,}88\).
Außerhalb von ±2 SDS (\(z = \pm 2\)) liegen jeweils nur etwa 2,3 % der Kinder. Werte dort sind ein Anlass, genauer hinzusehen – ob Handlungsbedarf besteht, entscheidet die Ärztin oder der Arzt aber erst nach dem Verlauf über mehrere Untersuchungen, denn Kinder wachsen unterschiedlich schnell. Wer weiß, was eine SDS-Angabe oder eine Perzentile bedeutet, versteht die Erklärungen bei der U-Untersuchung leichter.
Qualitätssicherung in der Fertigung – wie viele Teile liegen außerhalb der Toleranz?
Maße und Gewichte von Produkten streuen oft ähnlich einer Normalverteilung. Rechnet man die obere und die untere Toleranzgrenze in z-Werte um, lässt sich der Ausschussanteil abschätzen. Liegen die Grenzen bei Mittelwert \(\pm 3\sigma\), fallen etwa 0,3 % heraus (\(2 \times (1 - \Phi(3)) \approx 0{,}0027\)).
Auch der Name der Qualitätsmethode „Six Sigma“ stammt von dieser Idee (wie viele σ entfernt).
Risikomanagement im Finanzwesen – „mit 99 % Wahrscheinlichkeit bleibt der Verlust darunter“ (Banken und Geldanlage)
Banken und Vermögensverwalter messen das Verlustrisiko ihrer Bestände mit der Kennzahl Value at Risk (VaR). Nimmt man an, dass die Renditen einer Normalverteilung folgen, liegt die Grenze „mit 99 % Wahrscheinlichkeit bleibt der Verlust darunter“ beim z-Wert \(\Phi^{-1}(0{,}99) \approx 2{,}33\), also 2,33 Standardabweichungen vom Mittelwert entfernt.
Diese Umrechnung von der Wahrscheinlichkeit zum z-Wert steckt in den Risikoberechnungen von Finanzinstituten auf der ganzen Welt.
Formeln und Graphen
Definition des z-Werts (wie viele Standardabweichungen vom Mittelwert entfernt)
Graph
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(z\)
\(=\)
\((\)
\(x\)
\(-\)
\(\mu\)
\()\)
\(\div\)
\(\sigma\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
④
\(z\): z-Wert
\(=\)
\((\)
①
\(x\): Messwert
\(-\)
②
\(\mu\): Mittelwert
\()\)
\(\div\)
③
\(\sigma\): Standardabweichung
Die Formel in Worten
①
Vom
\(x\): Messwert
②
zieht man den
\(\mu\): Mittelwert
ab,
③
teilt durch die
\(\sigma\): Standardabweichung
④
und erhält den
\(z\): z-Wert
Einfaches Beispiel
Wer in einem Test mit dem Mittelwert 65 und der Standardabweichung 5 Punkte 75 Punkte erreicht, hat den z-Wert
\(z\): z-Wert
\(=\)
\((\)
Punktzahl (75)
\(-\)
Mittelwert (65)
\()\)
\(\div\)
Standardabweichung (5)
\((75 - 65) \div 5 = 10 \div 5 = 2\)
Der Grundgedanke
Der z-Wert (Standardwert) gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt ist. Ein positiver z-Wert liegt über dem Mittelwert, ein negativer darunter, und 0 ist genau der Mittelwert.
Rechnet man Werte in z-Werte um (z-Transformation), lassen sich auch Daten mit unterschiedlichen Einheiten oder Höchstpunktzahlen auf derselben Skala vergleichen. Psychologische Tests nutzen genau diese Idee: Der IQ ist \(100 + 15 \times z\), der T-Wert \(50 + 10 \times z\). Das \(z = 2\) aus dem Beispiel entspricht also einem IQ von 130 bzw. einem T-Wert von 70.
Vom z-Wert zur Wahrscheinlichkeit für einen Wert unter \(Z\)
Graph
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(P(x<Z)\)
\(=\)
\(\Phi(Z)\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
②
Wahrscheinlichkeit unter \(Z\)
\(=\)
①
Fläche links, \(\Phi(Z)\)
Die Formel in Worten
①
Setzt man den z-Wert \(Z\) in die Verteilungsfunktion \(\Phi\) (Phi) ein, erhält man den
Wert \(\Phi(Z)\)
(\(\Phi(Z)\) ist die Fläche unter der Kurve der Standardnormalverteilung links von \(Z\))
②
und das ist die
Wahrscheinlichkeit für einen Wert unter \(Z\), \(P(x<Z)\)
Einfaches Beispiel
Beim z-Wert 2 ist die Wahrscheinlichkeit für einen Wert unter 2
Wahrscheinlichkeit für einen Wert unter 2
\(=\)
Wert der Verteilungsfunktion, \(\Phi(2)\)
\(\Phi(2) \approx 0{,}97725\ \ (97{,}7\,\%)\)
Der Grundgedanke
Die Werte von \(\Phi\) schlug man früher in der Tabelle der Standardnormalverteilung (z-Tabelle) im Anhang des Lehrbuchs oder der Formelsammlung nach. Dieser Rechner ersetzt die z-Tabelle.
Die Gegenseite, die Wahrscheinlichkeit für einen Wert über \(Z\), ist die Gesamtwahrscheinlichkeit 1 minus diesen Wert: \(1 - \Phi(Z)\). Um von einer Wahrscheinlichkeit zum z-Wert zurückzukommen, nimmt man die Umkehrfunktion \(\Phi^{-1}\) (Beispiel: \(\Phi^{-1}(0{,}975) \approx 1{,}96\)). Der Rechner rechnet in beide Richtungen.
Wahrscheinlichkeit zwischen \(-Z\) und \(Z\) (beide Seiten zusammen)
Graph
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(P(-Z<x<Z)\)
\(=\)
\(2\)
\(\times\)
\(\Phi(Z)\)
\(-\)
\(1\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
④
Wahrscheinlichkeit zwischen \(-Z\) und \(Z\)
\(=\)
②
mal 2 (beide Seiten)
\(\times\)
①
Fläche links, \(\Phi(Z)\)
\(-\)
③
Gesamtwahrscheinlichkeit \(1\)
Die Formel in Worten
①
Man nimmt den
Wert \(\Phi(Z)\) (die Fläche links von \(Z\))
②
und nimmt ihn
mal 2 (die Kurve ist symmetrisch, also zweimal)
③
zieht die
Gesamtwahrscheinlichkeit \(1\)
ab
④
und erhält die
Wahrscheinlichkeit zwischen \(-Z\) und \(Z\)
Einfaches Beispiel
Beim z-Wert 1,96 (\(\Phi(1{,}96) \approx 0{,}975\)) ist die Wahrscheinlichkeit zwischen −1,96 und 1,96
Wahrscheinlichkeit zwischen −1,96 und 1,96
\(=\)
mal 2
\(\times\)
Wert der Verteilungsfunktion (0,975)
\(-\)
Gesamtwahrscheinlichkeit (1)
\(2 \times 0{,}975 - 1 = 1{,}95 - 1 = 0{,}95\ \ (95\,\%)\)
Der Grundgedanke
Die Formel gilt für \(Z\) ab 0. Die Standardnormalverteilung ist symmetrisch um 0. Die Fläche von \(-Z\) bis \(Z\) ist deshalb die Fläche links von \(Z\), \(\Phi(Z)\), verdoppelt, minus das Ganze (1), das dabei doppelt gezählt wurde.
Die Wahrscheinlichkeit, außerhalb zu landen (an den beiden Rändern), ist das Gegenereignis: \(1 - (2\Phi(Z) - 1)\). Mit \(Z = 1{,}96\) wie im Beispiel liegen 95 % innen und 5 % außen. Dieser z-Wert ist die Grenze für das „Signifikanzniveau 5 %“, das bei statistischen Tests so oft vorkommt.
Wahrscheinlichkeit zwischen zwei z-Werten \(Z_1\) und \(Z_2\)
Graph
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(P(Z_1<x<Z_2)\)
\(=\)
\(\Phi(Z_2)\)
\(-\)
\(\Phi(Z_1)\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
③
Wahrscheinlichkeit zwischen \(Z_1\) und \(Z_2\)
\(=\)
①
Fläche links, \(\Phi(Z_2)\)
\(-\)
②
Fläche links, \(\Phi(Z_1)\)
Die Formel in Worten
①
Von der
Fläche links der oberen Grenze \(Z_2\), \(\Phi(Z_2)\)
②
zieht man die
Fläche links der unteren Grenze \(Z_1\), \(\Phi(Z_1)\)
ab
③
und erhält die
Wahrscheinlichkeit zwischen \(Z_1\) und \(Z_2\)
Einfaches Beispiel
Bei \(Z_1 = -1\) und \(Z_2 = 0\) (\(\Phi(0) = 0{,}5\), \(\Phi(-1) \approx 0{,}15866\)) ist die Wahrscheinlichkeit zwischen −1 und 0
Wahrscheinlichkeit zwischen −1 und 0
\(=\)
Fläche links der oberen Grenze, \(\Phi(0)\)
\(-\)
Fläche links der unteren Grenze, \(\Phi(-1)\)
\(0{,}5 - 0{,}15866 = 0{,}34134\ \ (34{,}1\,\%)\)
Der Grundgedanke
Man rechnet nur „Fläche bis zum größeren Wert minus Fläche bis zum kleineren Wert“. Das funktioniert für beliebige \(Z_1\) und \(Z_2\) (auch wenn beide negativ sind).
Mit \(Z_1 = -1\) und \(Z_2 = 1\) erhalten Sie etwa 0,683 (68,3 %). So lässt sich die bekannte Faustregel der Normalverteilung nachprüfen: Im Bereich Mittelwert ± eine Standardabweichung liegen etwa 68 % der Werte (68-95-99,7-Regel, auch Sigma-Regeln genannt).
Der z-Wert ist ein gemeinsamer Maßstab dafür, wo ein Wert in den Daten liegt: wie viele Standardabweichungen er vom Mittelwert entfernt ist. In z-Werte umgerechnet lassen sich Daten mit verschiedenen Einheiten vergleichen, und die Verteilungsfunktion \(\Phi\) macht aus einem z-Wert die Wahrscheinlichkeit (Fläche) bis zu diesem Wert.
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(z\) | z (z-Wert) | Zahl, die angibt, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt ist; berechnet mit \(z = (x - \mu) \div \sigma\). Positive Werte liegen über dem Mittelwert, negative darunter. Einen z-Wert, den Sie selbst vorgeben (wie bei ② und ③), schreibt diese Seite mit großem \(Z\). |
| \(x\) | x | Der gemessene Wert, etwa eine Punktzahl oder eine Körpergröße – der Ausgangswert, den Sie in einen z-Wert umrechnen möchten. |
| \(\mu\) | My | Der Mittelwert, also die Lage der Mitte des Gipfels der Verteilung. Ein griechischer Buchstabe, der unserem m entspricht. |
| \(\sigma\) | Sigma | Die Standardabweichung, also wie stark die Daten streuen. Je größer sie ist, desto flacher und breiter der Gipfel. Ein griechischer Buchstabe, der unserem s entspricht. |
| \(\Phi(Z)\) | Phi von Z | Die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung (Mittelwert 0, Standardabweichung 1). Sie liefert die Wahrscheinlichkeit für einen Wert unter \(Z\), also die Fläche unter der Kurve links von \(Z\). |
| \(\Phi^{-1}\) | Phi hoch minus eins (Umkehrfunktion von Φ) | Die Umkehrfunktion von \(\Phi\). Sie nimmt eine Wahrscheinlichkeit (Fläche) und liefert den passenden z-Wert (Beispiel: \(\Phi^{-1}(0{,}975) \approx 1{,}96\)). |
| \(Z_1,\ Z_2\) | Z eins, Z zwei | Die beiden z-Werte, die Sie bei ③ eingeben. \(Z_1\) ist die linke (kleinere), \(Z_2\) die rechte (größere) Grenze. |
Begriffe
| z-Wert (Standardwert) | Zahl ohne Einheit, die angibt, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt ist. Auch Standardwert oder (englisch) z-Score genannt. Ihr größter Vorteil – Daten mit unterschiedlichen Einheiten oder Höchstpunktzahlen lassen sich auf derselben Skala vergleichen. |
| z-Transformation (Standardisierung) | Das Umrechnen eines Ausgangswerts in einen z-Wert. Nach der Standardisierung lassen sich Daten aus jeder Normalverteilung mit einer einzigen Standardnormalverteilung (Mittelwert 0, Standardabweichung 1) behandeln. |
| Standardnormalverteilung | Die Normalverteilung mit Mittelwert 0 und Standardabweichung 1. Sie ist die Verteilung der z-Werte und dient als gemeinsamer Maßstab für Wahrscheinlichkeiten bei jeder Normalverteilung. |
| Normalverteilung | Verteilung, die symmetrisch um den Mittelwert in Form einer Glocke streut (Gaußsche Glockenkurve). Viele reale Daten wie Testergebnisse, Körpergrößen oder das Gewicht von Produkten kommen dieser Form nahe. |
| Verteilungsfunktion | Funktion, die die Wahrscheinlichkeit für diesen Wert oder einen kleineren angibt (auch kumulative Verteilungsfunktion). Bei der Standardnormalverteilung schreibt man sie \(\Phi\) (Phi). Sie summiert die Fläche links unter der Kurve auf (kumuliert sie). |
| Tabelle der Standardnormalverteilung (z-Tabelle) | Tabelle, die zu jedem z-Wert den Wert (die Fläche) von \(\Phi\) angibt. Sie steht in Formelsammlungen und im Anhang von Statistikbüchern. Teil ② dieses Rechners ersetzt die z-Tabelle. |
| T-Wert | Ein z-Wert, umgerechnet auf Mittelwert 50 und 10 Punkte je Standardabweichung (T-Wert \(= 50 + 10 \times z\)). Er wird in psychologischen und pädagogischen Tests verwendet. Der IQ funktioniert genauso, mit Mittelwert 100 und 15 Punkten je Standardabweichung. |
Das sollten Sie vorher wissen
Hier steht, was Ihnen hilft, die Berechnung auf dieser Seite wirklich zu verstehen – nicht nur auf den Knopf zu drücken.
| Der Mittelwert (Klasse 5–6, 10–12 Jahre) |
|
| Rechnen mit negativen Zahlen (Klasse 6–7, 11–13 Jahre) |
|
| Streuung und Standardabweichung (Klasse 9 bis Oberstufe, 14–18 Jahre) |
|
| Die Normalverteilung und Flächen unter der Kurve (Oberstufe, Stochastik, 16–18 Jahre) |
|
So berechnen Sie es in Excel
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle für den z-Wert
| Messwert x | 75 |
| Mittelwert μ | 65 |
| Standardabw. σ | 5 |
| z-Wert | =(B1-B2)/B3 |
Tabelle für die Wahrscheinlichkeit eines Werts unter dem z-Wert, P(x<Z)
| z-Wert Z | 2 |
| P(x<Z) | =NORM.S.VERT(B1;WAHR) |
Tabelle für die Wahrscheinlichkeit zwischen −Z und Z
| z-Wert Z | 1,96 |
| Φ(Z) | =NORM.S.VERT(B1;WAHR) |
| Wahrscheinlichkeit zwischen −Z und Z | =2*B2-1 |
Tabelle für die Wahrscheinlichkeit zwischen zwei z-Werten Z1 und Z2
| Linke Grenze Z1 | -1 |
| Rechte Grenze Z2 | 0 |
| Φ(Z1) | =NORM.S.VERT(B1;WAHR) |
| Φ(Z2) | =NORM.S.VERT(B2;WAHR) |
| Wahrscheinlichkeit zwischen Z1 und Z2 | =B4-B3 |
Nach dem Einfügen dienen die Zahlen in Spalte B als Eingabefelder. „NORM.S.VERT(Wert;WAHR)“ ist die Funktion für die Verteilungsfunktion \(\Phi\); WAHR bedeutet „kumulierten Wert (Fläche links) zurückgeben“.
In der ersten Tabelle ändern Sie Messwert, Mittelwert und Standardabweichung (B1 bis B3), und B4 zeigt den z-Wert (mit den Beispielwerten 2). Die zweite Tabelle berechnet aus dem z-Wert (B1) die Wahrscheinlichkeit (B2); mit dem Beispielwert ist B2 etwa 0,97725 (97,7 %).
Geben Sie in der dritten Tabelle den z-Wert 1,96 ein, erhalten Sie die Wahrscheinlichkeit zwischen −1,96 und 1,96 (B3) von etwa 0,95 (95 %). Die vierte Tabelle liefert die Wahrscheinlichkeit zwischen zwei z-Werten; mit den Beispielwerten (−1 und 0) ist B5 etwa 0,34134 (34,1 %).
Für den umgekehrten Weg, von einer Wahrscheinlichkeit zum z-Wert, nehmen Sie „=NORM.S.INV(Wahrscheinlichkeit)“ (Beispiel: `=NORM.S.INV(0,975)` ergibt etwa 1,95996).
In der ersten Tabelle ändern Sie Messwert, Mittelwert und Standardabweichung (B1 bis B3), und B4 zeigt den z-Wert (mit den Beispielwerten 2). Die zweite Tabelle berechnet aus dem z-Wert (B1) die Wahrscheinlichkeit (B2); mit dem Beispielwert ist B2 etwa 0,97725 (97,7 %).
Geben Sie in der dritten Tabelle den z-Wert 1,96 ein, erhalten Sie die Wahrscheinlichkeit zwischen −1,96 und 1,96 (B3) von etwa 0,95 (95 %). Die vierte Tabelle liefert die Wahrscheinlichkeit zwischen zwei z-Werten; mit den Beispielwerten (−1 und 0) ist B5 etwa 0,34134 (34,1 %).
Für den umgekehrten Weg, von einer Wahrscheinlichkeit zum z-Wert, nehmen Sie „=NORM.S.INV(Wahrscheinlichkeit)“ (Beispiel: `=NORM.S.INV(0,975)` ergibt etwa 1,95996).
So berechnen Sie es in Google Tabellen
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle für den z-Wert
| Messwert x | 75 |
| Mittelwert μ | 65 |
| Standardabw. σ | 5 |
| z-Wert | =(B1-B2)/B3 |
Tabelle für die Wahrscheinlichkeit eines Werts unter dem z-Wert, P(x<Z)
| z-Wert Z | 2 |
| P(x<Z) | =STANDNORMVERT(B1) |
Tabelle für die Wahrscheinlichkeit zwischen −Z und Z
| z-Wert Z | 1,96 |
| Φ(Z) | =STANDNORMVERT(B1) |
| Wahrscheinlichkeit zwischen −Z und Z | =2*B2-1 |
Tabelle für die Wahrscheinlichkeit zwischen zwei z-Werten Z1 und Z2
| Linke Grenze Z1 | -1 |
| Rechte Grenze Z2 | 0 |
| Φ(Z1) | =STANDNORMVERT(B1) |
| Φ(Z2) | =STANDNORMVERT(B2) |
| Wahrscheinlichkeit zwischen Z1 und Z2 | =B4-B3 |
In Google Tabellen berechnen Sie die Verteilungsfunktion \(\Phi\) mit „STANDNORMVERT(Wert)“ (wie „NORM.S.VERT(Wert;WAHR)“ in Excel, nur ohne WAHR). Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ändern Sie die Zahlen in Spalte B.
Die Ergebnisse sind dieselben wie in Excel: Die erste Tabelle ergibt aus 75, 65 und 5 den z-Wert 2, die zweite aus dem z-Wert 2 die Wahrscheinlichkeit von etwa 0,97725.
Um aus einer Wahrscheinlichkeit den z-Wert zu bestimmen, nehmen Sie „=STANDNORMINV(Wahrscheinlichkeit)“ (Beispiel: `=STANDNORMINV(0,975)` ergibt etwa 1,95996).
Die Ergebnisse sind dieselben wie in Excel: Die erste Tabelle ergibt aus 75, 65 und 5 den z-Wert 2, die zweite aus dem z-Wert 2 die Wahrscheinlichkeit von etwa 0,97725.
Um aus einer Wahrscheinlichkeit den z-Wert zu bestimmen, nehmen Sie „=STANDNORMINV(Wahrscheinlichkeit)“ (Beispiel: `=STANDNORMINV(0,975)` ergibt etwa 1,95996).
So berechnen Sie es in Python
import math
def phi(z):
# Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung Φ(z) (berechnet mit der Fehlerfunktion erf)
return 0.5 * (1 + math.erf(z / math.sqrt(2)))
x = 75 # Messwert
mean = 65 # Mittelwert
sd = 5 # Standardabweichung
z_score = (x - mean) / sd # z-Wert
p_less_than_z = phi(z_score) # Wahrscheinlichkeit für einen Wert unter dem z-Wert, P(x<Z)
z = 1.96
p_between_minus_z_and_z = 2 * phi(z) - 1 # Wahrscheinlichkeit zwischen -z und z
z1, z2 = -1, 0
p_between_z1_z2 = phi(z2) - phi(z1) # Wahrscheinlichkeit zwischen z1 und z2
print(f"z-Wert: {z_score}")
print(f"P(x<Z): {p_less_than_z}")
print(f"Wahrscheinlichkeit zwischen -z und z: {p_between_minus_z_and_z}")
print(f"Wahrscheinlichkeit zwischen z1 und z2: {p_between_z1_z2}")
Für die Verteilungsfunktion \(\Phi\) genügt math.erf (die Fehlerfunktion) aus der Standardbibliothek. Für die umgekehrte Richtung (Wahrscheinlichkeit zum z-Wert) nehmen Sie NormalDist().inv_cdf() aus dem Modul statistics (Beispiel: `statistics.NormalDist().inv_cdf(0.975)` ergibt etwa 1,95996; Python selbst schreibt Dezimalzahlen mit Punkt).
So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
Definition des z-Werts (wie viele Standardabweichungen vom Mittelwert entfernt)
z = (x − μ) ÷ σ
z = \dfrac{x - \mu}{\sigma}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>z</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>μ</mi></mrow>
<mi>σ</mi>
</mfrac>
</mrow>
</math>
z = (x - mu)/sigma
(x - mu)/sigma
z := (x - mu)/sigma;
z = (x - mu)/sigma;
z = (x-μ)/σ
Vom z-Wert zur Wahrscheinlichkeit für einen Wert unter \(Z\)
P(x<Z) = Φ(Z)
P(x<Z) = \Phi(Z)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo><</mo><mi>Z</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mi>Φ</mi><mo>(</mo><mi>Z</mi><mo>)</mo>
</mrow>
</math>
P(x<Z) = Phi(Z)
CDF[NormalDistribution[0, 1], Z]
with(Statistics): CDF(RandomVariable(Normal(0, 1)), Z);
p = normcdf(Z);
P(x<Z) = Φ(Z)
Wahrscheinlichkeit zwischen \(-Z\) und \(Z\) (beide Seiten zusammen)
P(−Z<x<Z) = 2Φ(Z) − 1
P(-Z<x<Z) = 2\Phi(Z) - 1
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mo>−</mo><mi>Z</mi><mo><</mo><mi>x</mi><mo><</mo><mi>Z</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mn>2</mn><mi>Φ</mi><mo>(</mo><mi>Z</mi><mo>)</mo><mo>−</mo><mn>1</mn>
</mrow>
</math>
P(-Z<x<Z) = 2 Phi(Z) - 1
2 CDF[NormalDistribution[0, 1], Z] - 1
with(Statistics): 2*CDF(RandomVariable(Normal(0, 1)), Z) - 1;
p = 2*normcdf(Z) - 1;
P(-Z<x<Z) = 2Φ(Z) - 1
Wahrscheinlichkeit zwischen zwei z-Werten \(Z_1\) und \(Z_2\)
P(Z₁<x<Z₂) = Φ(Z₂) − Φ(Z₁)
P(Z_1<x<Z_2) = \Phi(Z_2) - \Phi(Z_1)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>P</mi><mo>(</mo><msub><mi>Z</mi><mn>1</mn></msub><mo><</mo><mi>x</mi><mo><</mo><msub><mi>Z</mi><mn>2</mn></msub><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mi>Φ</mi><mo>(</mo><msub><mi>Z</mi><mn>2</mn></msub><mo>)</mo>
<mo>−</mo>
<mi>Φ</mi><mo>(</mo><msub><mi>Z</mi><mn>1</mn></msub><mo>)</mo>
</mrow>
</math>
P(Z_1<x<Z_2) = Phi(Z_2) - Phi(Z_1)
CDF[NormalDistribution[0, 1], Z2] - CDF[NormalDistribution[0, 1], Z1]
with(Statistics): CDF(RandomVariable(Normal(0, 1)), Z2) - CDF(RandomVariable(Normal(0, 1)), Z1);
p = normcdf(Z2) - normcdf(Z1);
P(Z1<x<Z2) = Φ(Z2) - Φ(Z1)
So lassen Sie ChatGPT rechnen
Sie sind ein Assistent für statistische Berechnungen. Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort ausschließlich auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (nicht im Kopf rechnen und nicht schätzen). Jemand hat in einem Test mit dem Mittelwert 65 Punkte und der Standardabweichung 5 Punkte 75 Punkte erreicht. 1. Berechnen Sie den z-Wert dieser Person. 2. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis unter diesem Wert, P(x<Z) (mit der Verteilungsfunktion Φ der Standardnormalverteilung; die Python-Standardbibliothek, etwa math.erf oder statistics.NormalDist, darf verwendet werden). 3. Berechnen Sie außerdem die Wahrscheinlichkeit, dass ein z-Wert zwischen −1,96 und 1,96 liegt. Zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis.
Anleitung
-
1Werte eingebenTragen Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
-
2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
-
3Ergebnis ansehenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
Die Vorteile von DataChef
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Keine vorherige Genehmigung erforderlich
Verwandte Funktionen
Normalverteilung berechnen – Wahrscheinlichkeit für einen Bereich
Berechnet aus Mittelwert und Standardabweichung die Wahrscheinlichkeit für einen Bereich oder den Anteil der obersten Prozent
Standardabweichung berechnen für Grundgesamtheit und Stichprobe
Berechnet aus einer Liste von Zahlen die Standardabweichung von Grundgesamtheit und Stichprobe, die Varianz und den Mittelwert
Wahrscheinlichkeit zweier unabhängiger Ereignisse berechnen
Berechnet aus zwei Wahrscheinlichkeiten, wie wahrscheinlich beide eintreten, mindestens eines eintritt und mehr
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