Fang-Wiederfang-Methode und Hochrechnung aus einer Stichprobe

Wählen Sie, was Sie schätzen möchten, und geben Sie die Ergebnisse Ihrer Erhebung ein. Die Fang-Wiederfang-Methode schätzt eine Gesamtzahl, etwa die Fische in einem Teich. „Anzahl in der Grundgesamtheit“ schätzt, wie viele im Ganzen ein Merkmal haben (etwa die Gesamtzahl fehlerhafter Teile).

Was schätzen?

Zuerst markiert

2. Fang

Davon markiert

Grundgesamtheit

Stichprobenumfang

Mit Merkmal in Stichprobe

Geben Sie Anzahlen als ganze Zahlen ein. Ein Ergebnis aus einer Stichprobe ist ein Schätzwert; deshalb erscheinen der exakte Bruch und ein gerundeter Wert „etwa …“.

Ergebnis und Graph

Geben Sie links die Ergebnisse Ihrer Erhebung ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Schätzwert und Streifendiagramm erscheinen dann hier.

Inhaltsverzeichnis

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Das können Sie auf dieser Seite
Wofür braucht man diese Berechnung?
Anleitung
Formeln und Diagramme
Symbole und Begriffe
- Symbole
- Begriffe
Das sollten Sie vorher wissen
So berechnen Sie es in Excel
So berechnen Sie es in Google Tabellen
So berechnen Sie es in Python
So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
So lassen Sie ChatGPT rechnen
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Das können Sie auf dieser Seite

Schätzen Sie die Gesamtzahl einer Gruppe, die sich nicht einzeln zählen lässt – etwa der Fische in einem Teich – mit der Fang-Wiederfang-Methode (einige markieren, freilassen, eine zweite Gruppe fangen und den Anteil der markierten Tiere bestimmen)
Kennen Sie die Größe der ganzen Grundgesamtheit (z. B. 3.000 Produkte), rechnen Sie aus einer Zufallsstichprobe (z. B. 2 fehlerhafte von 100) hoch, wie viele in der Grundgesamtheit ein Merkmal haben (die Gesamtzahl fehlerhafter Teile)
Mit Rechenweg über eine Verhältnisgleichung wie im Schulbuch (Produkt der Innenglieder = Produkt der Außenglieder). Das Ergebnis erscheint als exakter Bruch und als gerundeter Wert „etwa …“
Ein Streifendiagramm zeigt, dass der Anteil in der Stichprobe und der Anteil in der Grundgesamtheit gleich sind

Die Schätzung aus einer Stichprobe setzt voraus, dass die Stichprobe ohne Verzerrung ausgewählt wurde, wie bei einer Auslosung (Zufallsstichprobe). Das Ergebnis ist nur ein Schätzwert und weicht etwas von der tatsächlichen Zahl ab.

Wofür braucht man diese Berechnung?

Bestände von Fischen und Wildtieren erfassen (Ökologie und Naturschutz)

Um Tiere zu zählen, die sich nicht alle zählen lassen – Fische in einem Teich, Rehe im Wald oder eingeschleppte Fischarten in einem See –, wird die Fang-Wiederfang-Methode dieser Seite tatsächlich eingesetzt. In der Fischerei und bei der Bekämpfung invasiver Arten ist die geschätzte Bestandsgröße die Grundlage für Fangmengen und für den Umfang von Maßnahmen.
Die Methode setzt voraus, dass Markierungen nicht verloren gehen, dass während der Untersuchung kaum Tiere hinzukommen oder wegfallen (Geburt, Tod, Wanderung) und dass sich die markierten Tiere gut mit den übrigen mischen. Echte Untersuchungen wählen Zeitpunkt und Vorgehen so, dass diese Bedingungen möglichst erfüllt sind.

Stichprobenprüfung in der Fabrik (Qualitätssicherung)

Prüfungen, bei denen das Produkt zerstört oder unverkäuflich wird – etwa Lebensdauertests von Batterien oder die Kontrolle des Inhalts von Konserven –, lassen sich nicht an jedem Stück durchführen – eine Vollerhebung ist unmöglich. Stattdessen prüft man eine Zufallsstichprobe und rechnet aus dem Anteil fehlerhafter Teile in der Stichprobe auf die Gesamtzahl hoch.
Aus 2 fehlerhaften in einer Stichprobe von 100 auf „etwa 60 insgesamt“ zu schließen, ist eines der grundlegendsten Werkzeuge der Qualitätssicherung.

Umfragen und Einschaltquoten (Sozialforschung)

Umfragen wie das ZDF-Politbarometer befragen nicht alle Wahlberechtigten, sondern circa 1.300 zufällig ausgewählte Personen, und schätzen daraus den Anteil für das Ganze. Auch Einschaltquoten sind Anteile am gesamten Publikum, geschätzt aus einer Stichprobe von Haushalten.
Die Stärke der Stichprobe: Solange sie zufällig gezogen wird, kann schon eine kleine Stichprobe das Ganze recht genau schätzen (wie groß der Fehler ist, hängt vom Stichprobenumfang ab). Echte Umfragen gleichen zusätzlich Verzerrungen nach Region oder Altersgruppe aus, etwa durch Gewichtung – die Grundlage bleibt aber der Schluss vom Anteil in der Stichprobe auf das Ganze.

Prognose und Hochrechnung am Wahlabend

Um 18 Uhr, wenn die Wahllokale schließen, senden ARD und ZDF bereits eine Prognose – gestützt auf Nachwahlbefragungen (Interviews mit Menschen, die gerade gewählt haben). Danach folgen Hochrechnungen aus den ersten ausgezählten Stimmbezirken. Beide schätzen den Stimmenanteil jeder Partei aus einer Stichprobe; für die ARD rechnet infratest dimap, für das ZDF die Forschungsgruppe Wahlen.
Den Anteil in der Stichprobe auf das Ganze zu übertragen, ist derselbe Gedanke wie die Verhältnisgleichung dieser Seite. Die Institute kombinieren dabei zusätzlich Daten früherer Wahlen und statistische Verfahren.

Formeln und Diagramme

Fang-Wiederfang-Methode (Gesamtzahl schätzen)

Streifendiagramm

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(x\) \(=\) \(m\) \(\times\) \(n\) \(\div\) \(k\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

④ \(x\): Gesamtzahl im Teich \(=\) ① \(m\): Zahl der markierten Tiere \(\times\) ② \(n\): Zahl im 2. Fang \(\div\) ③ \(k\): davon markiert

Die Formel in Worten

① Man multipliziert die \(m\): Zahl der zuerst gefangenen und markierten Tiere

② mit der \(n\): Zahl im 2. Fang ,

③ teilt durch die \(k\): Zahl der Markierten im 2. Fang

④ und erhält den Schätzwert für die \(x\): Gesamtzahl im Teich

Einfaches Beispiel

Markiert man 50 Fische, setzt sie zurück in den Teich und fängt später 30 Fische, von denen 6 markiert sind, so beträgt die Gesamtzahl im Teich

\(x\): Gesamtzahl im Teich \(=\) markierte Tiere (50 Fische) \(\times\) Zahl im 2. Fang (30 Fische) \(\div\) davon markiert (6 Fische)

\(x = \dfrac{50 \times 30}{6} = \dfrac{1500}{6} = 250\)

Der Grundgedanke

Die Formel gilt, weil man annehmen darf, dass „der Anteil markierter Fische im ganzen Teich“ und „der Anteil markierter Fische im zweiten Fang“ ungefähr gleich sind. Verteilen sich die markierten Fische gleichmäßig im Teich, ist die Mischung überall etwa gleich, wo man auch fängt. Man nennt die Gesamtzahl im Teich \(x\), stellt die Verhältnisgleichung \(x : m = n : k\) auf (Gesamtzahl : Markierte) und löst sie mit „Produkt der Innenglieder = Produkt der Außenglieder“ aus der nächsten Karte. Heraus kommt diese Formel. Das Ergebnis ist nur ein Schätzwert. Würde man alle Fische zählen, könnte eine andere Zahl herauskommen – aber der Wert der Methode liegt darin, dass man die Gesamtzahl gut abschätzen kann, ohne den Teich abzulassen.

Eigenschaft der Verhältnisgleichung (Produkt der Innenglieder = Produkt der Außenglieder)

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(a\) \(:\) \(b\) \(=\) \(c\) \(:\) \(d\)

\(b \times c\) \(=\) \(a \times d\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

Außenglied \(a\) \(:\) Innenglied \(b\) \(=\) Innenglied \(c\) \(:\) Außenglied \(d\)

① Produkt der Innenglieder \(b \times c\) \(=\) ② Produkt der Außenglieder \(a \times d\)

Die Formel in Worten

① Gilt eine Verhältnisgleichung, so sind das aus den beiden inneren Gliedern (\(b\) und \(c\)) gebildete Produkt der Innenglieder \(b \times c\)

② und das aus den beiden äußeren Gliedern (\(a\) und \(d\)) gebildete Produkt der Außenglieder \(a \times d\) immer gleich

Einfaches Beispiel

Löst man die Verhältnisgleichung \(x : 50 = 30 : 6\) aus dem Teich-Beispiel, ergibt sich

Produkt der Innenglieder \(50 \times 30\) \(=\) Produkt der Außenglieder \(x \times 6\)

\(50 \times 30 = x \times 6\)

\(6x = 1500\)

\(x = \dfrac{1500}{6} = 250\)

Der Grundgedanke

Die Verhältnisgleichung \(a : b = c : d\) bedeutet „das Verhältnis von \(a\) zu \(b\) ist gleich dem Verhältnis von \(c\) zu \(d\)“. Als Brüche geschrieben ist das dasselbe wie \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\). Multipliziert man beide Seiten mit \(b \times d\), fallen die Nenner weg und es bleibt \(a \times d = b \times c\): Das Produkt der Außenglieder ist gleich dem Produkt der Innenglieder. In Bruchform ist das das bekannte „Über-Kreuz-Multiplizieren“ (Produktgleichung). Enthält eine Verhältnisgleichung nur eine unbekannte Zahl \(x\), macht diese Eigenschaft daraus eine Gleichung für \(x\), die man lösen kann. Das Schätzen aus einer Stichprobe ist eine Anwendung davon – wer lieber mit dem Dreisatz rechnet, kommt zum selben Ergebnis.

Anzahl mit einem Merkmal in der Grundgesamtheit schätzen

Streifendiagramm

Mathematische Schreibweise (die übliche Formel)

\(x\) \(=\) \(N\) \(\times\) \(k\) \(\div\) \(n\)

In Worten (Symbole durch Wörter ersetzt)

④ \(x\): Anzahl mit Merkmal in der Grundgesamtheit \(=\) ① \(N\): Größe der Grundgesamtheit \(\times\) ② \(k\): mit Merkmal in der Stichprobe \(\div\) ③ \(n\): Stichprobenumfang

Die Formel in Worten

① Man multipliziert die \(N\): Größe der Grundgesamtheit

② mit der \(k\): Anzahl mit Merkmal in der Stichprobe ,

③ teilt durch den \(n\): Umfang der entnommenen Stichprobe

④ und erhält den Schätzwert für die \(x\): Anzahl mit Merkmal in der Grundgesamtheit

Einfaches Beispiel

Entnimmt man 3.000 Produkten zufällig 100, prüft sie und findet 2 fehlerhafte, so beträgt die Gesamtzahl fehlerhafter Teile

\(x\): fehlerhafte Teile insgesamt \(=\) Größe der Grundgesamtheit (3.000) \(\times\) fehlerhaft in der Stichprobe (2) \(\div\) Stichprobenumfang (100)

\(x = \dfrac{3000 \times 2}{100} = \dfrac{6000}{100} = 60\)

Der Grundgedanke

Der Gedanke ist derselbe wie bei der Fang-Wiederfang-Methode: Man nimmt an, dass „der Anteil mit dem Merkmal in der Grundgesamtheit“ und „der Anteil mit dem Merkmal in der Stichprobe“ ungefähr gleich sind. Man kann es auch so lesen: Die ganze Grundgesamtheit \(N\) wird mit \(\dfrac{k}{n}\) (dem Anteil in der Stichprobe) multipliziert. Nennt man die gesuchte Anzahl \(x\), stellt die Verhältnisgleichung \(N : x = n : k\) auf (Gesamtzahl : mit Merkmal) und löst sie mit „Produkt der Innenglieder = Produkt der Außenglieder“, kommt diese Formel heraus. Die Schätzung funktioniert nur, wenn die Stichprobe ohne Verzerrung ausgewählt wird, wie bei einer Auslosung (Zufallsstichprobe). Prüft eine Fabrik zum Beispiel nur „die ersten 100 Teile des Tages“, schlägt jede Eigenheit der Maschine an diesem Tag voll durch, und die Schätzung liegt daneben.

Beide Varianten beruhen auf demselben Gedanken: „Der Anteil in der Grundgesamtheit und der Anteil in einer Zufallsstichprobe sind ungefähr gleich.“ Allein durch das Lösen einer Verhältnisgleichung (Produkt der Innenglieder = Produkt der Außenglieder) lässt sich das Ganze schätzen, ohne alles zu zählen. Das Ergebnis ist nur ein Schätzwert, deshalb gibt man üblicherweise einen gerundeten Wert „etwa …“ an. Wie man eine Erhebung plant – also wie groß die Stichprobe sein muss, damit der Fehler unter einer Grenze bleibt –, zeigt der Rechner „Stichprobengröße berechnen“ bei den verwandten Seiten.

Symbole und Begriffe

Symbole

\(x\)	x	Der Buchstabe für eine Zahl, die man noch nicht kennt (eine Unbekannte). Auf dieser Seite heißt der gesuchte Schätzwert, etwa „die Gesamtzahl im Teich“ oder „die Anzahl mit Merkmal in der Grundgesamtheit“, \(x\), um die Verhältnisgleichung aufzustellen. Der Brauch, Unbekannte \(x\) zu nennen, geht auf Mathematikbücher des 17. Jahrhunderts zurück.
\(m\)	m	Auf dieser Seite „die Zahl der zuerst gefangenen und markierten Tiere“ – m wie „markiert“. Als Zeichen für eine Anzahl wird es auch oft zusammen mit \(n\) verwendet.
\(n\)	n	Die Zahl in der Stichprobe (der zweite Fang bzw. die Zahl der entnommenen und geprüften Teile). Das n kommt vom englischen „number“ und ist das übliche Zeichen für eine Anzahl. In der Statistik schreibt man den Stichprobenumfang üblicherweise \(n\).
\(k\)	k	Die Zahl der Teile in der Stichprobe, die das Merkmal haben (die markierten, die fehlerhaften usw.). Neben \(n\) und \(m\) ein gängiger Buchstabe für Anzahlen und Nummern.
\(N\)	großes N	Die Größe der ganzen Grundgesamtheit. In der Statistik schreibt man die größere Gruppe üblicherweise mit Großbuchstaben, um sie vom Stichprobenumfang \(n\) (klein) zu unterscheiden.
\(a : b\)	a zu b	So schreibt man ein Verhältnis. Das „:“ ist das Verhältniszeichen und wird „zu“ gelesen. Eine Gleichung, die zwei Verhältnisse mit einem Gleichheitszeichen verbindet, etwa \(a : b = c : d\), ist eine Verhältnisgleichung.
\(\approx\)	ungefähr gleich	Das Zeichen für „ungefähr gleich“, auch „etwa“ gelesen. Ein Ergebnis aus einer Stichprobe ist ein Schätzwert, deshalb schreibt man es mit diesem Zeichen oder mit „etwa“ statt mit einem Gleichheitszeichen.

Begriffe

Stichprobenerhebung	Eine Erhebung, die nur einen Teil der Grundgesamtheit (eine Stichprobe) untersucht und daraus auf das Ganze schließt. Man nutzt sie für Dinge, die sich nicht vollständig zählen lassen oder die beim Prüfen zerstört werden. In der Schule kommt sie meist in Klasse 9–10 (14–16 Jahre) vor.
Vollerhebung	Eine Erhebung, die alle Mitglieder der Grundgesamtheit erfasst, etwa die Volkszählung von 1987 (die Zensus-Erhebungen von 2011 und 2022 kombinierten dagegen Melderegister mit einer Stichprobe). Alles zu prüfen ist genau, aber wenn es zu viel Zeit oder Geld kostet oder das Produkt beim Prüfen zerstört wird, nimmt man stattdessen eine Stichprobenerhebung.
Grundgesamtheit	Die ganze Gruppe, die man untersuchen will, etwa alle Fische in einem Teich, alle Produkte einer Fabrik oder alle Wahlberechtigten in Deutschland.
Stichprobe	Der Teil, den man der Grundgesamtheit entnimmt und tatsächlich untersucht.
Stichprobenumfang	Wie viele Teile die Stichprobe enthält (die Stichprobengröße). Je größer der Stichprobenumfang, desto kleiner wird der Fehler der Schätzung.
Zufallsstichprobe	Eine Stichprobe, bei der jedes Mitglied dieselbe Chance hat, ausgewählt zu werden – wie bei einer Auslosung. Niemand wählt absichtlich aus. Das ist die Grundvoraussetzung, damit die Schätzung aus einer Stichprobe funktioniert.
Fang-Wiederfang-Methode	Ein Verfahren, bei dem man gefangene Tiere markiert, freilässt, nach einiger Zeit eine zweite Gruppe fängt und aus dem Anteil der markierten Tiere die Gesamtzahl schätzt (auch Rückfangmethode oder Lincoln-Petersen-Methode). Es wird tatsächlich genutzt, um Fische und Wildtiere zu zählen.
Verhältnisgleichung	Eine Gleichung, die sagt, dass zwei Verhältnisse gleich sind, etwa \(a : b = c : d\) (auch Proportion). Das Produkt der Innenglieder ist gleich dem Produkt der Außenglieder; mit dieser Eigenschaft findet man eine unbekannte Zahl.
Innenglieder	In der Verhältnisgleichung \(a : b = c : d\) die inneren Glieder \(b\) und \(c\). Das Produkt der Innenglieder ist gleich dem Produkt der Außenglieder.
Außenglieder	In der Verhältnisgleichung \(a : b = c : d\) die äußeren Glieder \(a\) und \(d\). Das Produkt der Innenglieder ist gleich dem Produkt der Außenglieder.
Anteil	Wie viel vom Ganzen ein Teil ausmacht, berechnet als Teil ÷ Ganzes (Prozentwert ÷ Grundwert). Die Stichprobenerhebung beruht auf dem Gedanken, dass der Anteil in der Grundgesamtheit und in der Stichprobe gleich ist.
gerundeter Wert	Eine ungefähre Zahl, durch Runden auf eine passende Stelle gebracht (Näherungswert). Ein Ergebnis aus einer Stichprobe ist ein Schätzwert, deshalb gibt man üblicherweise einen gerundeten Wert wie „etwa 250“ an.
Runden	Beim Runden auf eine Stelle schaut man auf die Ziffer rechts daneben. Ist sie 4 oder kleiner, wird abgerundet, ist sie 5 oder größer, wird aufgerundet.
Schätzung	Aus dem bekannten Teil der Informationen auf das Ganze schließen. Ein Ergebnis aus einer Stichprobe heißt in diesem Sinn Schätzwert.
Fehler	Die Abweichung zwischen Schätzwert und tatsächlichem Wert. Ergebnisse aus einer Stichprobe haben immer einen Fehler; je größer der Stichprobenumfang, desto kleiner wird er.

Das sollten Sie vorher wissen

Damit Sie die Rechnung auf dieser Seite nicht nur per Knopfdruck, sondern mit Verständnis nutzen, ist hier zusammengefasst, was Sie vorher wissen sollten.
Wenn Sie nicht weiterkommen, ist es am schnellsten, die Themen dieser Tabelle zu wiederholen.

Anteile und Prozent (Klasse 6–7, 11–13 Jahre)	Wissen, dass ein Anteil angibt, wie viel vom Ganzen ein Teil ausmacht, und dass man ihn als Prozentwert ÷ Grundwert berechnet „20 %“ als Dezimalzahl wie 0,2 schreiben können
Verhältnisse, Verhältnisgleichungen und Dreisatz (Klasse 6–7, 11–13 Jahre)	Das Verhältnis \(a : b\) verstehen und wissen, dass es sich nicht ändert, wenn man beide Teile mit derselben Zahl multipliziert (oder durch sie teilt) In einer Verhältnisgleichung wie \(x : 4 = 6 : 8\) das \(x\) bestimmen können (Produkt der Innenglieder = Produkt der Außenglieder)
Terme und lineare Gleichungen (Klasse 7–8, 12–14 Jahre)	Eine unbekannte Zahl \(x\) nennen und aus einer Textaufgabe eine Gleichung aufstellen können Eine Gleichung wie \(6x = 1200\) lösen können, indem man beide Seiten durch dieselbe Zahl teilt
Runden (Klasse 3–4, 8–10 Jahre)	Auf eine vorgegebene Stelle runden können (z. B. 166,6 auf Zehner gerundet ergibt 170) Das Ergebnis einer Division, die nicht aufgeht, als Bruch oder als gerundeten Wert angeben können

So berechnen Sie es in Excel

Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein – dann funktioniert sie direkt.

Tabelle für die Fang-Wiederfang-Methode (Gesamtzahl schätzen)

Zuerst markiert m	50
2. Fang n	30
Davon markiert k	6
Geschätzte Gesamtzahl x = m×n÷k	=B1*B2/B3
Auf ganze Zahl gerundet	=RUNDEN(B4;0)

Tabelle zur Eigenschaft der Verhältnisgleichung (Produkt der Innenglieder = Produkt der Außenglieder)

Außenglied a (Gesamtzahl; Ergebnis des Teich-Beispiels)	250
Innenglied b (markierte Tiere)	50
Innenglied c (2. Fang)	30
Außenglied d (davon markiert)	6
Produkt der Innenglieder b×c	=B2*B3
Produkt der Außenglieder a×d	=B1*B4

Tabelle zum Schätzen der Anzahl mit Merkmal in der Grundgesamtheit

Größe der Grundgesamtheit N	3000
Stichprobenumfang n	100
Mit Merkmal in der Stichprobe k	2
Geschätzte Anzahl x = N×k÷n	=B1*B3/B2
Auf ganze Zahl gerundet	=RUNDEN(B4;0)

Nach dem Einfügen sind die oberen Zeilen (Ihre Erhebungsergebnisse) die Eingabefelder, und die unteren Zeilen werden automatisch berechnet.
Die erste Tabelle ist das Teich-Beispiel (50 markiert, im zweiten Fang 6 von 30 markiert); das Ergebnis ist 250. Geht die Division nicht auf, zeigt B4 eine Dezimalzahl – lesen Sie dann B5 (mit der Funktion RUNDEN) als Ergebnis „etwa …“.
Die zweite Tabelle setzt das Ergebnis 250 für x in die Verhältnisgleichung x : 50 = 30 : 6 ein und prüft, dass das Produkt der Innenglieder (B5) und das Produkt der Außenglieder (B6) beide 1500 und damit gleich sind.
Die dritte Tabelle ist das Beispiel mit 3.000 Produkten und 2 fehlerhaften in einer Stichprobe von 100; das Ergebnis ist 60.

So berechnen Sie es in Google Tabellen

Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein – dann funktioniert sie direkt.

Tabelle für die Fang-Wiederfang-Methode (Gesamtzahl schätzen)

Zuerst markiert m	50
2. Fang n	30
Davon markiert k	6
Geschätzte Gesamtzahl x = m×n÷k	=B1*B2/B3
Auf ganze Zahl gerundet	=RUNDEN(B4;0)

Tabelle zur Eigenschaft der Verhältnisgleichung (Produkt der Innenglieder = Produkt der Außenglieder)

Außenglied a (Gesamtzahl; Ergebnis des Teich-Beispiels)	250
Innenglied b (markierte Tiere)	50
Innenglied c (2. Fang)	30
Außenglied d (davon markiert)	6
Produkt der Innenglieder b×c	=B2*B3
Produkt der Außenglieder a×d	=B1*B4

Tabelle zum Schätzen der Anzahl mit Merkmal in der Grundgesamtheit

Größe der Grundgesamtheit N	3000
Stichprobenumfang n	100
Mit Merkmal in der Stichprobe k	2
Geschätzte Anzahl x = N×k÷n	=B1*B3/B2
Auf ganze Zahl gerundet	=RUNDEN(B4;0)

Es funktionieren dieselben Formeln wie in Excel. Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Erhebungsergebnisse durch Ihre eigenen Zahlen.

So berechnen Sie es in Python

from fractions import Fraction

# Fang-Wiederfang-Methode: Gesamtzahl im Teich schätzen
marked_first = 50       # zuerst gefangen und markiert, m
caught_second = 30      # Zahl im zweiten Fang, n
marked_in_second = 6    # davon markiert, k

estimated_total = Fraction(marked_first * caught_second, marked_in_second)
# Fraction(1, 2) addieren und den Bruchteil abschneiden rundet 0,5 immer auf
approx_total = int(estimated_total + Fraction(1, 2))
print(f"Geschätzte Gesamtzahl (Bruch): {estimated_total}")
print(f"Geschätzte Gesamtzahl (gerundet): etwa {approx_total}")

# Anzahl mit Merkmal in der Grundgesamtheit schätzen
population = 3000       # Größe der Grundgesamtheit, N
sample_size = 100       # Umfang der entnommenen Stichprobe, n
sample_hits = 2         # mit Merkmal in der Stichprobe, k

estimated_count = Fraction(population * sample_hits, sample_size)
approx_count = int(estimated_count + Fraction(1, 2))
print(f"Geschätzte Anzahl (Bruch): {estimated_count}")
print(f"Geschätzte Anzahl (gerundet): etwa {approx_count}")

Mit dem Modul fractions aus der Standardbibliothek rechnen Sie mit exakten Brüchen, ganz ohne Rundungsfehler, auch wenn die Division nicht aufgeht. Der erste Teil ist das Teich-Beispiel (50 markiert, im zweiten Fang 6 von 30 markiert) und zeigt 250, der zweite Teil das Beispiel mit 3.000 Produkten und 2 fehlerhaften von 100 und zeigt 60. Ersetzen Sie die Erhebungsergebnisse und führen Sie den Code aus.

So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)

Fang-Wiederfang-Methode (Gesamtzahl schätzen)

x = m × n ÷ k

x = \dfrac{m \times n}{k}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>x</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>m</mi><mo>&#x00D7;</mo><mi>n</mi></mrow>
      <mi>k</mi>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

x = (m*n)/k

(m*n)/k

x := m*n/k;

x = m*n/k;

x = (m×n)/k

Eigenschaft der Verhältnisgleichung (Produkt der Innenglieder = Produkt der Außenglieder)

a : b = c : d ⇔ a × d = b × c

a : b = c : d \iff ad = bc

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>a</mi><mo>:</mo><mi>b</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>c</mi><mo>:</mo><mi>d</mi>
    <mo>&#x21D4;</mo>
    <mi>a</mi><mi>d</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>b</mi><mi>c</mi>
  </mrow>
</math>

a : b = c : d <=> a*d = b*c

a*d == b*c

a*d = b*c;

a*d == b*c

a : b = c : d ⇔ a×d = b×c

Anzahl mit einem Merkmal in der Grundgesamtheit schätzen

x = N × k ÷ n

x = \dfrac{N \times k}{n}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>x</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>N</mi><mo>&#x00D7;</mo><mi>k</mi></mrow>
      <mi>n</mi>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

x = (N*k)/n

(N*k)/n

x := N*k/n;

x = N*k/n;

x = (N×k)/n

So lassen Sie ChatGPT rechnen

Sie sind ein Rechenassistent für Mathematik (Stichprobenerhebung, Mittelstufe). Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (nicht im Kopf rechnen oder schätzen).

Schätzen Sie die Gesamtzahl der Fische in einem Teich mit der Fang-Wiederfang-Methode.
Zuerst wurden 50 Fische gefangen, markiert und in den Teich zurückgesetzt. Später wurden 30 Fische gefangen, von denen 6 markiert waren.
Zeigen Sie:
1. Die Verhältnisgleichung mit x als Gesamtzahl (x : Zahl der Markierten = Zahl im 2. Fang : davon markiert)
2. Den Rechenweg mit „Produkt der Innenglieder = Produkt der Außenglieder“
3. Die geschätzte Gesamtzahl im Teich (geht die Division nicht auf, sowohl den gekürzten Bruch als auch den auf eine ganze Zahl gerundeten Wert)

Rechnen Sie in Python exakt mit dem Modul fractions aus der Standardbibliothek und zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis.

Anleitung

1

Werte eingeben

Tragen Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
2

Berechnen

Klicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
3

Ergebnis ansehen

Das Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel