Bestand schätzen (Fang-Wiederfang-Methode und Stichprobe)

Wählen Sie je nach Ziel eine Art und geben Sie die Ergebnisse Ihrer Erhebung ein. „Fang-Wiederfang“ schätzt die Gesamtzahl, etwa der Fische in einem Teich. „Treffer in der Grundgesamtheit“ schätzt, wie viele im Ganzen eine Bedingung erfüllen (etwa die Gesamtzahl der fehlerhaften Stücke).

Was geschätzt werden soll

Zuerst markiert

2. Fang

Markierte im 2. Fang

Umfang der Grundgesamtheit

Stichprobenumfang

Treffer in der Stichprobe

Geben Sie die Anzahlen als ganze Zahlen ein. Die Antwort aus einer Stichprobe ist eine Schätzung, deshalb werden sowohl das exakte Ergebnis der Division (als Bruch) als auch eine gerundete Zahl „etwa …“ angezeigt.

Ergebnis und Diagramm

Geben Sie in den Feldern links die Ergebnisse Ihrer Erhebung ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Die Schätzung und ein Balkendiagramm erscheinen hier.

Inhaltsverzeichnis

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Was Sie auf dieser Seite tun können
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
Anleitung
Formeln und Diagramm
Symbole und Begriffe
- Symbole
- Begriffe
Was Sie vorab wissen sollten
Mit Excel berechnen
Mit Google Tabellen berechnen
Mit Python berechnen
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
Die Vorteile von DataChef
Verwandte Funktionen
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Was Sie auf dieser Seite tun können

Die Gesamtzahl einer Gruppe, die man nicht einzeln zählen kann, etwa der Fische in einem Teich, können Sie mit der Fang-Wiederfang-Methode schätzen (einige markieren, freilassen, eine zweite Gruppe fangen und den Anteil der Markierten prüfen)
Kennen Sie den Umfang der gesamten Grundgesamtheit (zum Beispiel 3.000 Produkte), können Sie aus einer zufällig gezogenen Stichprobe (zum Beispiel 2 fehlerhafte von 100) schätzen, wie viele in der Grundgesamtheit eine Bedingung erfüllen (die Gesamtzahl der fehlerhaften Stücke)
Der Rechenweg mit einer Verhältnisgleichung wird wie im Schulbuch gezeigt (das Produkt der Innenglieder ist gleich dem Produkt der Außenglieder). Die Antwort erscheint sowohl als exaktes Ergebnis der Division (als Bruch) als auch als gerundete Zahl „etwa …“
In einem Balkendiagramm können Sie den Anteil in der Stichprobe und den Anteil in der Grundgesamtheit vergleichen und sehen, dass sie gleich sind

Schätzungen aus einer Stichprobe setzen voraus, dass die Stichprobe ohne Verzerrung ausgewählt wurde, wie beim Ziehen von Losen (Zufallsstichprobe). Das Ergebnis ist nur eine Schätzung und weicht etwas von der tatsächlichen Zahl ab.

Wofür ist diese Berechnung nützlich?

Fisch- und Wildbestände zählen (Ökologie und Naturschutz)

Um Tiere zu zählen, die sich nicht alle zählen lassen, etwa Fische in einem Teich, Rehe im Wald oder eingeschleppte Fische in einem See, verwenden Forschende tatsächlich die Fang-Wiederfang-Methode dieser Seite. In der Fischerei und bei der Bekämpfung eingeschleppter Arten ist die Schätzung des Bestands die Grundlage dafür, Fangmengen festzulegen und zu entscheiden, wie groß eine Bekämpfung sein soll.
Das Verfahren nimmt an, dass sich Markierungen nicht lösen, dass während der Untersuchung nur wenige Tiere hinzukommen oder verschwinden (geboren werden, sterben oder abwandern) und dass sich die markierten Tiere gut mit den übrigen durchmischen. Tatsächliche Untersuchungen wählen Zeitpunkt und Methode sorgfältig, um diesen Bedingungen nahezukommen.

Stichprobenprüfung in der Fabrik (Qualitätssicherung)

Prüfungen, die das Produkt zerstören oder unverkäuflich machen, etwa Lebensdauertests von Batterien oder die Kontrolle des Inhalts von Konserven, lassen sich nicht an jedem Stück durchführen. Stattdessen prüft man eine zufällige Stichprobe und schätzt die Gesamtzahl der fehlerhaften Stücke aus dem Anteil fehlerhafter Stücke in der Stichprobe.
Aus 2 fehlerhaften Stücken in einer Stichprobe von 100 „insgesamt etwa 60“ zu schätzen, ist eines der grundlegendsten Werkzeuge der Qualitätssicherung.

Meinungsumfragen und Einschaltquoten (Sozialforschung)

Meinungsumfragen wie die Sonntagsfrage befragen nicht alle Wahlberechtigten des Landes. Sie schätzen den Anteil für das Ganze aus einer zufälligen Stichprobe von einigen tausend Personen. Auch Fernseh-Einschaltquoten sind Anteile am ganzen Publikum, die aus einer Stichprobe von Haushalten geschätzt werden.
Die Stärke der Stichprobe liegt darin, dass sich schon aus einer kleinen Stichprobe das Ganze recht genau schätzen lässt, solange sie zufällig gezogen wird (wie groß der Fehler ist, hängt vom Stichprobenumfang ab). Tatsächliche Umfragen fügen außerdem Schritte hinzu, um Verzerrungen nach Region oder Altersgruppe zu vermeiden, etwa eine Gewichtung, aber die Grundlage ist dieser Gedanke, das Ganze aus dem Anteil in einer Stichprobe zu schätzen.

Prognosen, Hochrechnungen und Nachwahlbefragungen am Wahlabend

Am Wahlabend können die Sender schon Prognosen und Hochrechnungen zeigen, wenn erst ein kleiner Teil der Stimmen ausgezählt ist, weil sie den Stimmenanteil jeder Partei am Gesamtergebnis aus Stichproben schätzen: aus Nachwahlbefragungen (Interviews mit Menschen, die gerade gewählt haben) und aus dem Teil der Stimmen, der schon ausgezählt ist.
Den Anteil in einer Stichprobe auf das Ganze zu übertragen, ist derselbe Gedanke wie die Verhältnisgleichung auf dieser Seite. Bei einer Prognose kombinieren die Sender außerdem Daten früherer Wahlen und statistische Theorie und entscheiden sorgfältig.

Formeln und Diagramm

Fang-Wiederfang-Methode (die Gesamtzahl schätzen)

Balkendiagramm

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(x\) \(=\) \(m\) \(\times\) \(n\) \(\div\) \(k\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

④ \(x\): Gesamtzahl im Teich \(=\) ① \(m\): Anzahl der Markierten \(\times\) ② \(n\): Anzahl im 2. Fang \(\div\) ③ \(k\): Markierte im 2. Fang

Die Formel in Worten

① Nehmen Sie die \(m\): Anzahl, die zuerst gefangen und markiert wurde

② multiplizieren Sie sie mit der \(n\): Anzahl im 2. Fang

③ und teilen Sie durch die \(k\): Anzahl der Markierten im 2. Fang

④ dann erhalten Sie die Schätzung für die \(x\): Gesamtzahl im Teich

Einfaches Beispiel

Markieren Sie 50 Fische, setzen Sie sie in den Teich zurück und fangen Sie später 30 Fische, von denen 6 markiert sind, dann ist die Gesamtzahl im Teich

\(x\): Gesamtzahl im Teich \(=\) Anzahl der Markierten (50 Fische) \(\times\) Anzahl im 2. Fang (30 Fische) \(\div\) Markierte darin (6 Fische)

\(x = \dfrac{50 \times 30}{6} = \dfrac{1500}{6} = 250\)

Der Kerngedanke

Diese Formel gilt, weil man annehmen kann, dass „der Anteil markierter Fische im ganzen Teich“ und „der Anteil markierter Fische im zweiten Fang“ etwa gleich sind. Verteilen sich die markierten Fische gleichmäßig im Teich, sollte die Mischung überall, wo Sie schöpfen, etwa dieselbe sein. Sei also \(x\) die Gesamtzahl im Teich, dann stellen Sie die Verhältnisgleichung \(x : m = n : k\) (Gesamtzahl : markiert) auf und lösen sie mit „das Produkt der Innenglieder ist gleich dem Produkt der Außenglieder“ in der nächsten Karte. So entsteht diese Formel. Die Antwort ist nur eine Schätzung. Würde man jeden Fisch zählen, könnte eine andere Zahl herauskommen, aber der Wert dieser Methode ist, dass Sie eine gute Vorstellung von der Gesamtzahl bekommen, ohne den Teich abzulassen.

Eigenschaft von Verhältnisgleichungen (Produkt der Innenglieder = Produkt der Außenglieder)

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(a\) \(:\) \(b\) \(=\) \(c\) \(:\) \(d\)

\(b \times c\) \(=\) \(a \times d\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

Außenglied \(a\) \(:\) Innenglied \(b\) \(=\) Innenglied \(c\) \(:\) Außenglied \(d\)

① Produkt der Innenglieder \(b \times c\) \(=\) ② Produkt der Außenglieder \(a \times d\)

Die Formel in Worten

① Gilt eine Verhältnisgleichung, dann sind die beiden inneren Glieder (\(b\) und \(c\)) miteinander multipliziert, das Produkt der Innenglieder \(b \times c\) ,

② und die beiden äußeren Glieder (\(a\) und \(d\)) miteinander multipliziert, das Produkt der Außenglieder \(a \times d\) , immer gleich

Einfaches Beispiel

Löst man die Verhältnisgleichung \(x : 50 = 30 : 6\) aus dem Teichbeispiel, ergibt sich

Produkt der Innenglieder \(50 \times 30\) \(=\) Produkt der Außenglieder \(x \times 6\)

\(50 \times 30 = x \times 6\)

\(6x = 1500\)

\(x = \dfrac{1500}{6} = 250\)

Der Kerngedanke

Die Verhältnisgleichung \(a : b = c : d\) sagt: „Das Verhältnis von \(a\) zu \(b\) ist gleich dem Verhältnis von \(c\) zu \(d\)“. Als Brüche geschrieben ist sie dasselbe wie \(\dfrac{a}{b} = \dfrac{c}{d}\). Multipliziert man beide Seiten mit \(b \times d\), kürzen sich die Nenner, und es ergibt sich \(a \times d = b \times c\): Das Produkt der Außenglieder ist gleich dem Produkt der Innenglieder. In der Bruchform ist das das bekannte „Über-Kreuz-Multiplizieren“ (die Kreuzprodukte sind gleich). Hat eine Verhältnisgleichung nur eine unbekannte Zahl \(x\), macht diese Eigenschaft daraus eine Gleichung in \(x\), die Sie lösen können. Das Schätzen aus einer Stichprobe ist eine Anwendung dieser Eigenschaft.

Die Trefferzahl in einer Grundgesamtheit schätzen

Balkendiagramm

Mathematische Schreibweise (die übliche Schreibweise)

\(x\) \(=\) \(N\) \(\times\) \(k\) \(\div\) \(n\)

In Worten (die Symbole durch Wörter ersetzt)

④ \(x\): Trefferzahl in der Grundgesamtheit \(=\) ① \(N\): Umfang der Grundgesamtheit \(\times\) ② \(k\): Treffer in der Stichprobe \(\div\) ③ \(n\): Stichprobenumfang

Die Formel in Worten

① Nehmen Sie den \(N\): Umfang der Grundgesamtheit

② multiplizieren Sie ihn mit der \(k\): Anzahl der Treffer in der Stichprobe

③ und teilen Sie durch den \(n\): Umfang der entnommenen Stichprobe

④ dann erhalten Sie die Schätzung für die \(x\): Trefferzahl in der Grundgesamtheit

Einfaches Beispiel

Entnehmen Sie 3.000 Produkten zufällig 100, prüfen sie und finden 2 fehlerhafte, dann ist die Gesamtzahl der fehlerhaften Stücke

\(x\): Gesamtzahl fehlerhafter Stücke \(=\) Umfang der Grundgesamtheit (3.000) \(\times\) fehlerhafte in der Stichprobe (2) \(\div\) Stichprobenumfang (100)

\(x = \dfrac{3000 \times 2}{100} = \dfrac{6000}{100} = 60\)

Der Kerngedanke

Der Gedanke ist derselbe wie bei der Fang-Wiederfang-Methode: Sie nehmen an, dass „der Anteil der Treffer in der Grundgesamtheit“ und „der Anteil der Treffer in der Stichprobe“ etwa gleich sind. Man kann es auch so lesen, dass man die gesamte Grundgesamtheit \(N\) mit \(\dfrac{k}{n}\) (dem Anteil in der Stichprobe) multipliziert. Sei \(x\) die Trefferzahl, dann stellen Sie die Verhältnisgleichung \(N : x = n : k\) (Gesamtzahl : Treffer) auf und lösen sie mit „das Produkt der Innenglieder ist gleich dem Produkt der Außenglieder“. So entsteht diese Formel. Diese Schätzung funktioniert nur, wenn die Stichprobe ohne Verzerrung ausgewählt wird, wie beim Ziehen von Losen (Zufallsstichprobe). Prüft eine Fabrik zum Beispiel nur „die ersten 100 gefertigten Stücke“, zeigt sich jede Eigenheit der Maschine an diesem Tag im Ergebnis, und die Schätzung wird ungenau.

Beide Arten beruhen auf demselben Gedanken: „Der Anteil in der Grundgesamtheit und der Anteil in einer Zufallsstichprobe sind etwa gleich.“ Allein durch das Lösen einer Verhältnisgleichung (Produkt der Innenglieder = Produkt der Außenglieder) können Sie das Ganze schätzen, ohne alles zu zählen. Die Antwort ist nur eine Schätzung, deshalb gibt man üblicherweise eine gerundete Zahl „etwa …“ an. Die Planung einer Erhebung, also wie groß die Stichprobe sein muss, um den Fehler innerhalb einer Grenze zu halten, behandelt der Rechner zum Stichprobenumfang in den verwandten Seiten.

Symbole und Begriffe

Symbole

\(x\)	x	Der Buchstabe für eine Zahl, die Sie noch nicht kennen (eine Unbekannte). Auf dieser Seite heißt die gesuchte Schätzung, etwa „die Gesamtzahl im Teich“ oder „die Trefferzahl in der Grundgesamtheit“, \(x\), damit man die Verhältnisgleichung aufstellen kann. Der Brauch, \(x\) für eine Unbekannte zu verwenden, geht auf Mathematikbücher des 17. Jahrhunderts zurück.
\(m\)	m	Auf dieser Seite „die Anzahl, die zuerst gefangen und markiert wurde“. Merken Sie es sich als m für „markiert“. Es wird auch oft zusammen mit \(n\) als Buchstabe für eine Anzahl verwendet.
\(n\)	n	Die Anzahl in der Stichprobe (der zweite Fang oder die Anzahl, die entnommen und geprüft wurde). Der Buchstabe steht für „Number“ (Anzahl) und ist der Standardbuchstabe für eine Anzahl. In der Statistik schreibt man den Stichprobenumfang üblicherweise \(n\).
\(k\)	k	Die Anzahl in der Stichprobe, die zutraf (die Markierten, die fehlerhaften Stücke und so weiter). Zusammen mit \(n\) und \(m\) ist es ein gängiger Buchstabe für Anzahlen und Positionen.
\(N\)	großes N	Der Umfang der gesamten Grundgesamtheit. In der Statistik schreibt man üblicherweise die größere Gruppe mit einem Großbuchstaben, um sie vom Stichprobenumfang \(n\) (Kleinbuchstabe) zu unterscheiden.
\(a : b\)	a zu b	Eine Schreibweise für ein Verhältnis. „:“ ist das Verhältniszeichen und wird „zu“ gelesen. Eine Gleichung, die zwei Verhältnisse mit einem Gleichheitszeichen verbindet, etwa \(a : b = c : d\), ist eine Verhältnisgleichung.
\(\approx\)	ungefähr gleich	Das Zeichen für „fast gleich“. Man kann es auch „etwa“ lesen. Die Antwort aus einer Stichprobe ist eine Schätzung, deshalb schreibt man sie mit diesem Zeichen oder dem Wort „etwa“ statt mit einem Gleichheitszeichen.

Begriffe

Stichprobenerhebung	Eine Erhebung, die nur einen Teil der Grundgesamtheit (eine Stichprobe) untersucht und daraus schätzt, wie das Ganze aussieht. Man verwendet sie statt einer Vollerhebung für Dinge, die man nicht vollständig zählen kann oder die beim Prüfen zerstört werden. In der Schule lernt man sie in den Klassen 9 bis 10 in der Stochastik kennen.
Vollerhebung	Eine Erhebung, die jedes Mitglied der Grundgesamtheit erfasst. Ein Beispiel ist der Zensus, der in Deutschland regelmäßig durchgeführt wird. Alles zu prüfen ist genau, aber wenn es zu viel Zeit oder Geld kostet oder wenn die Prüfung das Produkt zerstört, verwendet man stattdessen eine Stichprobenerhebung.
Grundgesamtheit	Die gesamte Gruppe, die Sie untersuchen möchten, etwa alle Fische in einem Teich, alle Produkte, die eine Fabrik hergestellt hat, oder alle Wahlberechtigten des Landes.
Stichprobe	Der Teil, der der Grundgesamtheit entnommen und tatsächlich untersucht wird.
Stichprobenumfang	Die Anzahl der Stücke in der Stichprobe. Je größer der Stichprobenumfang, desto kleiner wird der Fehler der Schätzung.
Zufallsstichprobe	Eine Stichprobe, bei der jedes Mitglied dieselbe Chance hat, ausgewählt zu werden, wie beim Ziehen von Losen (auch Zufallsauswahl genannt). Niemand wählt absichtlich aus. Sie ist die Grundbedingung dafür, dass Schätzungen aus einer Stichprobe funktionieren.
Fang-Wiederfang-Methode	Ein Verfahren, bei dem man gefangene Tiere markiert, freilässt, nach einiger Zeit eine zweite Gruppe fängt und aus dem Anteil der Markierten die Gesamtzahl schätzt. Es wird tatsächlich verwendet, um Fische und Wildtiere zu zählen.
Verhältnisgleichung	Eine Gleichung, die sagt, dass zwei Verhältnisse gleich sind, etwa \(a : b = c : d\) (auch Proportion genannt). Das Produkt der Innenglieder ist gleich dem Produkt der Außenglieder, und mit dieser Eigenschaft lässt sich eine unbekannte Zahl bestimmen.
Innenglieder	In der Verhältnisgleichung \(a : b = c : d\) die inneren Glieder \(b\) und \(c\). Das Produkt der Innenglieder ist gleich dem Produkt der Außenglieder.
Außenglieder	In der Verhältnisgleichung \(a : b = c : d\) die äußeren Glieder \(a\) und \(d\). Das Produkt der Innenglieder ist gleich dem Produkt der Außenglieder.
Anteil	Wie viel vom Ganzen ein Teil ausmacht, bestimmt durch Teilen des Teils durch das Ganze. Umfragen mit einer Stichprobe beruhen auf dem Gedanken, dass der Anteil in der Grundgesamtheit und in der Stichprobe gleich ist.
gerundete Zahl	Eine ungefähre Zahl, die durch Runden an einer günstigen Stelle abgeschnitten wurde. Die Antwort aus einer Stichprobe ist eine Schätzung, deshalb gibt man üblicherweise eine gerundete Zahl wie „etwa 250“ an.
Runden	Um an einer Stelle zu runden, betrachtet man die Ziffer unmittelbar rechts davon. Ist sie 4 oder kleiner, wird abgerundet, ist sie 5 oder größer, wird aufgerundet.
Schätzung	Aus dem Teil der Informationen, den man hat, darauf schließen, wie das Ganze aussieht. Eine aus einer Stichprobe bestimmte Antwort heißt in diesem Sinne Schätzwert.
Fehler	Die Abweichung zwischen der Schätzung und dem wirklichen Wert. Ergebnisse aus einer Stichprobe haben immer einen gewissen Fehler, und je größer der Stichprobenumfang, desto kleiner wird der Fehler.

Was Sie vorab wissen sollten

Hier finden Sie zusammengestellt, was Ihnen hilft, die Berechnung auf dieser Seite mit echtem Verständnis zu nutzen und nicht nur den Knopf zu drücken.
Wenn Sie nicht weiterkommen, ist es der schnellste Weg, die Themen in dieser Tabelle noch einmal durchzugehen.

Prozentrechnung und Anteile (Klasse 6–7, 11–13 Jahre)	Wissen, dass ein Anteil angibt, wie viel vom Ganzen ein Teil ausmacht, und sich ergibt, indem man den Teil durch das Ganze teilt Ein „20 %“ als Dezimalzahl wie 0,2 schreiben können
Verhältnisse und Verhältnisgleichungen (Klasse 6–7, 11–13 Jahre)	Das Verhältnis \(a : b\) verstehen und wissen, dass sich das Verhältnis nicht ändert, wenn man beide Teile mit derselben Zahl multipliziert (oder durch sie teilt) Mit der Eigenschaft von Verhältnisgleichungen (Produkt der Innenglieder = Produkt der Außenglieder) das \(x\) in einer Gleichung wie \(x : 4 = 6 : 8\) bestimmen können
Terme und einfache Gleichungen (Klasse 6–7, 11–13 Jahre)	Eine unbekannte Zahl \(x\) nennen und aus einer Textaufgabe eine Gleichung aufstellen können Eine Gleichung wie \(6x = 1200\) lösen können, indem man beide Seiten durch dieselbe Zahl teilt
Runden (Klasse 3–4, 8–10 Jahre)	Auf eine vorgegebene Stelle runden können (Beispiel: 166,6 auf Zehner gerundet ist 170) Das Ergebnis einer Division, die nicht aufgeht, als Bruch oder als gerundete Zahl schreiben können

Mit Excel berechnen

Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein. Sie funktioniert unverändert.

Tabelle zur Fang-Wiederfang-Methode (die Gesamtzahl schätzen)

Zuerst markiert m	50
2. Fang n	30
Markierte im 2. Fang k	6
Geschätzte Gesamtzahl x = m×n÷k	=B1*B2/B3
Auf eine ganze Zahl gerundet	=RUNDEN(B4;0)

Tabelle zur Prüfung der Eigenschaft von Verhältnisgleichungen (Produkt der Innenglieder = Produkt der Außenglieder)

Außenglied a (Gesamtzahl; die Antwort des Teichbeispiels)	250
Innenglied b (Anzahl der Markierten)	50
Innenglied c (2. Fang)	30
Außenglied d (Markierte im 2. Fang)	6
Produkt der Innenglieder b×c	=B2*B3
Produkt der Außenglieder a×d	=B1*B4

Tabelle zur Schätzung der Trefferzahl in einer Grundgesamtheit

Umfang N der Grundgesamtheit	3000
Stichprobenumfang n	100
Treffer in der Stichprobe k	2
Geschätzte Trefferzahl x = N×k÷n	=B1*B3/B2
Auf eine ganze Zahl gerundet	=RUNDEN(B4;0)

Nach dem Einfügen sind die oberen Zeilen (Ihre Erhebungsergebnisse) die Eingaben, und die unteren Zeilen werden automatisch berechnet.
Die erste Tabelle ist das Teichbeispiel (50 markiert, 6 markierte unter 30 im zweiten Fang), und die Antwort ist 250. Geht die Division nicht auf, zeigt B4 eine Dezimalzahl, lesen Sie dann B5, das über die Funktion RUNDEN läuft, als Antwort „etwa …“.
Die zweite Tabelle setzt die Antwort 250 für x in die Verhältnisgleichung x : 50 = 30 : 6 ein und prüft, dass das Produkt der Innenglieder (B5) und das Produkt der Außenglieder (B6) beide 1500 sind, also gleich.
Die dritte Tabelle ist das Beispiel mit 3.000 Produkten, von denen in einer Stichprobe von 100 genau 2 fehlerhaft sind, und die Antwort ist 60.

Mit Google Tabellen berechnen

Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein. Sie funktioniert unverändert.

Tabelle zur Fang-Wiederfang-Methode (die Gesamtzahl schätzen)

Zuerst markiert m	50
2. Fang n	30
Markierte im 2. Fang k	6
Geschätzte Gesamtzahl x = m×n÷k	=B1*B2/B3
Auf eine ganze Zahl gerundet	=RUNDEN(B4;0)

Tabelle zur Prüfung der Eigenschaft von Verhältnisgleichungen (Produkt der Innenglieder = Produkt der Außenglieder)

Außenglied a (Gesamtzahl; die Antwort des Teichbeispiels)	250
Innenglied b (Anzahl der Markierten)	50
Innenglied c (2. Fang)	30
Außenglied d (Markierte im 2. Fang)	6
Produkt der Innenglieder b×c	=B2*B3
Produkt der Außenglieder a×d	=B1*B4

Tabelle zur Schätzung der Trefferzahl in einer Grundgesamtheit

Umfang N der Grundgesamtheit	3000
Stichprobenumfang n	100
Treffer in der Stichprobe k	2
Geschätzte Trefferzahl x = N×k÷n	=B1*B3/B2
Auf eine ganze Zahl gerundet	=RUNDEN(B4;0)

Die gleichen Formeln wie in Excel funktionieren unverändert. Kopieren Sie die gesamte Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Erhebungsergebnisse durch Ihre eigenen Zahlen.

Mit Python berechnen

from fractions import Fraction

# Fang-Wiederfang: die Gesamtzahl im Teich schätzen
marked_first = 50       # Anzahl, die zuerst gefangen und markiert wurde, m
caught_second = 30      # Anzahl im zweiten Fang, n
marked_in_second = 6    # Anzahl der Markierten im zweiten Fang, k

estimated_total = Fraction(marked_first * caught_second, marked_in_second)
# Addiert man Fraction(1, 2) und lässt den Bruchteil weg, wird 0.5 immer aufgerundet
approx_total = int(estimated_total + Fraction(1, 2))
print(f"Geschätzte Gesamtzahl (Bruch): {estimated_total}")
print(f"Geschätzte Gesamtzahl (gerundet): etwa {approx_total}")

# Die Trefferzahl in einer Grundgesamtheit schätzen
population = 3000       # Umfang der Grundgesamtheit, N
sample_size = 100       # Umfang der entnommenen Stichprobe, n
sample_hits = 2         # Treffer in der Stichprobe, k

estimated_count = Fraction(population * sample_hits, sample_size)
approx_count = int(estimated_count + Fraction(1, 2))
print(f"Geschätzte Trefferzahl (Bruch): {estimated_count}")
print(f"Geschätzte Trefferzahl (gerundet): etwa {approx_count}")

Mit dem Modul fractions aus der Standardbibliothek können Sie auch dann mit exakten Brüchen rechnen, wenn die Division nicht aufgeht, ohne Rundungsfehler. Die erste Hälfte ist das Teichbeispiel (50 markiert, 6 markierte unter 30 im zweiten Fang) und zeigt 250. Die zweite Hälfte ist das Beispiel mit 3.000 Produkten, von denen 2 von 100 fehlerhaft sind, und zeigt 60. Ersetzen Sie die Erhebungsergebnisse und führen Sie den Code aus.

Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)

Fang-Wiederfang-Methode (die Gesamtzahl schätzen)

x = m × n ÷ k

x = \dfrac{m \times n}{k}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>x</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>m</mi><mo>&#x00D7;</mo><mi>n</mi></mrow>
      <mi>k</mi>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

x = (m*n)/k

(m*n)/k

x := m*n/k;

x = m*n/k;

x = (m×n)/k

Eigenschaft von Verhältnisgleichungen (Produkt der Innenglieder = Produkt der Außenglieder)

a : b = c : d ⇔ a × d = b × c

a : b = c : d \iff ad = bc

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>a</mi><mo>:</mo><mi>b</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>c</mi><mo>:</mo><mi>d</mi>
    <mo>&#x21D4;</mo>
    <mi>a</mi><mi>d</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>b</mi><mi>c</mi>
  </mrow>
</math>

a : b = c : d <=> a*d = b*c

a*d == b*c

a*d = b*c;

a*d == b*c

a : b = c : d ⇔ a×d = b×c

Die Trefferzahl in einer Grundgesamtheit schätzen

x = N × k ÷ n

x = \dfrac{N \times k}{n}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>x</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>N</mi><mo>&#x00D7;</mo><mi>k</mi></mrow>
      <mi>n</mi>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

x = (N*k)/n

(N*k)/n

x := N*k/n;

x = N*k/n;

x = (N×k)/n

Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen

Sie sind ein Assistent für Mathematikaufgaben (Stichproben in der Schule). Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort ausschließlich auf die Zahlen aus dem Ergebnis der Ausführung (antworten Sie nicht durch Kopfrechnen oder Raten).

Schätzen Sie die Gesamtzahl der Fische in einem Teich mit der Fang-Wiederfang-Methode.
Zuerst wurden 50 Fische gefangen, markiert und in den Teich zurückgesetzt. Später wurden 30 Fische gefangen, und 6 davon waren markiert.
Zeigen Sie jeweils:
1. Die Verhältnisgleichung mit x als Gesamtzahl (x : Anzahl der Markierten = Anzahl im 2. Fang : Markierte darin)
2. Die Schritte, sie mit „das Produkt der Innenglieder ist gleich dem Produkt der Außenglieder“ zu lösen
3. Die geschätzte Gesamtzahl im Teich (wenn die Division nicht aufgeht, sowohl den vollständig gekürzten Bruch als auch die auf eine ganze Zahl gerundete Zahl)

Rechnen Sie in Python exakt mit dem Modul fractions aus der Standardbibliothek und zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ergebnis der Ausführung.

Anleitung

1

Zahlen eingeben

Geben Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
2

Berechnen

Klicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
3

Ergebnis ablesen

Das Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel