Geben Sie das Anfangsglied (die erste Zahl der Folge), die Differenz (um wie viel jedes Glied größer wird) und die Anzahl der Glieder (bis zu welchem Glied gerechnet wird) ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Sie erhalten die ersten Glieder, das n-te Glied und die Summe der ersten n Glieder auf einmal. Die Formel unten ist mit den Eingabefeldern verknüpft, Sie können also auch direkt in der Formel das Anfangsglied, die Differenz und die Anzahl der Glieder ändern.
Das Anfangsglied und die Differenz dürfen Dezimalzahlen oder negative Zahlen sein. Geben Sie die Anzahl der Glieder n als positive ganze Zahl ein (1 bis 100000).
Ergebnis und Diagramm
Geben Sie links das Anfangsglied, die Differenz und die Anzahl der Glieder ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis und ein Diagramm erscheinen hier.
Inhaltsverzeichnis
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Was Sie auf dieser Seite tun können
-
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
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Anleitung
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Formeln und Diagramme
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Symbole und Begriffe
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Was Sie vorab wissen sollten
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Mit Excel berechnen
-
Mit Google Tabellen berechnen
-
Mit Python berechnen
-
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
-
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
-
Die Vorteile von DataChef
-
Verwandte Funktionen
-
Alle NumberChef-Rechner
Was Sie auf dieser Seite tun können
- Geben Sie nur drei Werte ein, das Anfangsglied, die Differenz (um wie viel jedes Glied größer wird) und die Anzahl der Glieder, und Sie erhalten das \(n\)-te Glied und die Summe der ersten \(n\) Glieder auf einmal
- Sie eignen sich direkt für Aufgaben wie „Die Folge 2 ; 7 ; 12 ; 17 ; … wächst jedes Mal um 5. Wie groß ist die 20. Zahl? Wie groß ist die Summe der ersten 20 Zahlen?“
- Das Anfangsglied und die Differenz dürfen Dezimalzahlen oder negative Zahlen sein (bei einer fallenden Folge ist die Differenz negativ)
- Zusammen mit dem Ergebnis zeigt ein Diagramm, wie die Glieder auf einer Geraden liegen (die Differenz gibt an, wie schnell sie steigen)
- Eine leicht verständliche Erklärung der Formeln sowie Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python finden Sie ebenfalls auf dieser Seite
Diese Seite gilt nur für arithmetische Folgen (Folgen, bei denen die Differenz benachbarter Glieder immer gleich ist). Für Folgen, die durch Multiplikation mit derselben Zahl wachsen, etwa 2 ; 6 ; 18 ; … (geometrische Folgen), ist sie nicht geeignet.
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
Die Gesamtsumme eines wachsenden Sparplans abschätzen (Geldplanung)
Ein Sparplan nach dem Muster „im ersten Monat 50 € sparen, danach jeden Monat 25 € mehr“ ist eine arithmetische Folge mit dem Anfangsglied 50 und der Differenz 25. Im 12. Monat sparen Sie \(50 + 11 \times 25 = 325\) Euro, und die Gesamtsumme für das Jahr beträgt \(12 \times (50 + 325) \div 2 = 2.250\) Euro. Mit zwei Formeln sehen Sie weit in die Zukunft.
Jeder Plan, der jedes Mal um denselben Betrag steigt (oder fällt), und die Fragen „Wie viel ist es beim k-ten Mal?“ und „Wie hoch ist die Summe?“ sind Berechnungen mit einer arithmetischen Folge.
Die Sitzplätze in einem Theater oder Stadion zählen (Planung und Veranstaltungen)
In Sälen mit fächerförmig angeordneten Sitzen gibt es oft Reihen nach dem Muster „20 Plätze in Reihe 1, in jeder weiteren Reihe 2 Plätze mehr“. Bei 30 Reihen hat die letzte Reihe \(20 + 29 \times 2 = 78\) Plätze, und der ganze Saal hat \(30 \times (20 + 78) \div 2 = 1.470\) Plätze.
Ohne Reihe für Reihe zu zählen, liefert die Summenformel schnell die Gesamtzahl der Plätze und die höchstmögliche Zahl verkaufter Karten.
Aufeinanderfolgende Zahlen im Nu addieren (die Geschichte vom kleinen Gauß)
„Was ergibt die Summe aller ganzen Zahlen von 1 bis 100?“ Der berühmten Geschichte nach antwortete der Mathematiker Gauß schon als Kind sofort: \(100 \times (1 + 100) \div 2 = 5050\). Das ist genau die Summe der arithmetischen Folge mit dem Anfangsglied 1, der Differenz 1 und 100 Gliedern.
Summen aufeinanderfolgender Zahlen, etwa die Nummern einer Reihe von Rechnungen zu addieren oder „1 am ersten Tag, 2 am zweiten Tag, …“ aufzuschichten, gelingen mit dieser Formel sofort.
Ein Training oder Lernpensum Schritt für Schritt steigern (Training)
Wenn Sie Ihre Läufe nach dem Muster „2 km in Woche 1, danach jede Woche 0,5 km mehr“ planen, laufen Sie in Woche 12 \(2 + 11 \times 0{,}5 = 7{,}5\) km, und die Gesamtstrecke über 12 Wochen beträgt \(12 \times (2 + 7{,}5) \div 2 = 57\) km.
Bevor Sie anfangen, können Sie in Zahlen prüfen, wohin ein Plan „jedes Mal ein bisschen mehr“ führt und wie viel er insgesamt ergibt.
Einfache Zinsen (Grundlagen der Finanzmathematik)
Bei einfachen Zinsen, bei denen nur das Anfangskapital verzinst wird, wächst das Guthaben jedes Jahr um denselben Betrag, bildet also eine arithmetische Folge. Bei 10.000 € mit 3 % einfachen Zinsen pro Jahr wächst es um 300 € im Jahr, und nach 5 Jahren beträgt das Guthaben \(10.000 + 5 \times 300 = 11.500\) Euro.
Beim Zinseszins, bei dem auch die Zinsen wieder verzinst werden, bildet das Guthaben eine geometrische Folge (eine Folge, die durch Multiplikation wächst). Der Unterschied zwischen einfachen Zinsen und Zinseszins ist „durch Addition wachsen oder durch Multiplikation wachsen“. Wer das in Folgen denkt, versteht Finanzprodukte viel leichter.
Formeln und Diagramme
Formel für das \(n\)-te Glied (explizite Darstellung)
Diagramm
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(a_n\)
\(=\)
\(a_1\)
\(+\)
\((n-1)\)
\(\times\)
\(d\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
④
\(a_n\): \(n\)-tes Glied
\(=\)
①
\(a_1\): Anfangsglied
\(+\)
②
\((n-1)\): Anzahl der Schritte
\(\times\)
③
\(d\): Differenz
Die Formel in Worten
①
Beginnen Sie mit dem
\(a_1\): Anfangsglied
, addieren Sie
②
\((n-1)\): Anzahl der Schritte
mal die
③
\(d\): Differenz
(also \(n-1\)-mal die Differenz)
④
und Sie erhalten das
\(a_n\): \(n\)-tes Glied
Einfaches Beispiel
Für die arithmetische Folge mit dem Anfangsglied 2 und der Differenz 5 (2 ; 7 ; 12 ; 17 ; …) ist das 20. Glied
\(a_{20}\): 20. Glied
\(=\)
Anfangsglied (2)
\(+\)
Schritte (20 − 1 = 19)
\(\times\)
Differenz (5)
\(2 + (20 - 1) \times 5 = 2 + 95 = 97\)
Der Kerngedanke
Der häufigste Fehler ist, mit \(n\) statt mit \(n-1\) zu multiplizieren. Vom 1. bis zum \(n\)-ten Glied addieren Sie die Differenz einmal pro Schritt, und es gibt \(n-1\) Schritte, einen weniger als \(n\). Vom 1. bis zum 3. Glied addieren Sie zum Beispiel nur zweimal (\(3-1\)-mal).
Die Formel gilt unverändert auch, wenn die Differenz \(d\) negativ ist. Dann werden die Werte mit jedem Schritt kleiner.
Formel für die Summe der ersten \(n\) Glieder
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(S_n\)
\(=\)
\(n\)
\(\times\)
\((\)
\(a_1\)
\(+\)
\(a_n\)
\()\)
\(\div\)
\(2\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
⑤
\(S_n\): Summe der ersten \(n\) Glieder
\(=\)
③
\(n\): Anzahl der Glieder
\(\times\)
\((\)
①
\(a_1\): Anfangsglied
\(+\)
②
\(a_n\): \(n\)-tes Glied (Endglied)
\()\)
\(\div\)
④
\(2\): Hälfte
Die Formel in Worten
①
Addieren Sie das
\(a_1\): Anfangsglied
und das
②
\(a_n\): \(n\)-tes Glied (Endglied)
,
③
multiplizieren Sie mit der
\(n\): Anzahl der Glieder
,
④
nehmen Sie davon die
\(2\): Hälfte
,
⑤
und Sie erhalten die
\(S_n\): Summe der ersten \(n\) Glieder
Einfaches Beispiel
Für die arithmetische Folge mit dem Anfangsglied 2 und der Differenz 5 ist die Summe der Glieder 1 bis 20 (das 20. Glied ist 97)
\(S_{20}\): Summe bis zum 20. Glied
\(=\)
Anzahl der Glieder (20)
\(\times\)
\((\)
Anfangsglied (2)
\(+\)
20. Glied (97)
\()\)
\(\div\)
Hälfte (2)
\(20 \times (2 + 97) = 20 \times 99 = 1980\)
\(1980 \div 2 = 990\)
Der Kerngedanke
\((a_1 + a_n) \div 2\) ist der Mittelwert aus dem Anfangsglied und dem Endglied. Eine arithmetische Folge wächst in jedem Schritt um denselben Betrag, deshalb ist der Mittelwert aller Glieder genau der Mittelwert aus erstem und letztem Glied. Darum ist die Summe „Mittelwert × Anzahl“. Das ist der ganze Gedanke hinter der Formel.
In Schulbüchern steht sie als Bruch, \(S_n = \dfrac{n(a_1 + a_n)}{2}\). Es ist dieselbe Formel wie oben.
„Wie groß ist die Summe aller ganzen Zahlen von 1 bis 100?“ ist die Summe einer arithmetischen Folge mit dem Anfangsglied 1, dem Endglied 100 und 100 Gliedern, also ist die Antwort schnell gefunden: \(100 \times (1 + 100) \div 2 = 5050\).
Formel für die Summe direkt aus Anfangsglied und Differenz
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(S_n\)
\(=\)
\(n\)
\(\times\)
\(\{\)
\(2a_1\)
\(+\)
\((n-1)\)
\(\times\)
\(d\)
\(\}\)
\(\div\)
\(2\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
⑥
\(S_n\): Summe der ersten \(n\) Glieder
\(=\)
④
\(n\): Anzahl der Glieder
\(\times\)
\(\{\)
①
\(2a_1\): doppeltes Anfangsglied
\(+\)
②
\((n-1)\): Anzahl der Schritte
\(\times\)
③
\(d\): Differenz
\(\}\)
\(\div\)
⑤
\(2\): Hälfte
Die Formel in Worten
①
Zum
\(2a_1\): doppeltes Anfangsglied
, addieren Sie
②
\((n-1)\): Anzahl der Schritte
mal die
③
\(d\): Differenz
(das ergibt Anfangsglied + Endglied),
④
multiplizieren Sie mit der
\(n\): Anzahl der Glieder
,
⑤
nehmen Sie davon die
\(2\): Hälfte
,
⑥
und Sie erhalten die
\(S_n\): Summe der ersten \(n\) Glieder
Einfaches Beispiel
Mit dem Anfangsglied 2, der Differenz 5 und 20 Gliedern ergibt sich die Summe direkt, ohne zuerst das 20. Glied zu berechnen
\(S_{20}\): Summe bis zum 20. Glied
\(=\)
Anzahl der Glieder (20)
\(\times\)
\(\{\)
doppeltes Anfangsglied (2 · 2 = 4)
\(+\)
Schritte (19)
\(\times\)
Differenz (5)
\(\}\)
\(\div\)
Hälfte (2)
\(2 \times 2 + (20 - 1) \times 5 = 4 + 95 = 99\)
\(20 \times 99 \div 2 = 990\)
Der Kerngedanke
Das ist die erste Formel (die explizite Darstellung), eingesetzt für \(a_n\) in die zweite Formel. Wegen \(a_1 + a_n = a_1 + a_1 + (n-1)d = 2a_1 + (n-1)d\) erhalten Sie die Summe direkt aus dem Anfangsglied und der Differenz, ohne zuerst das Endglied \(a_n\) zu berechnen.
In Schulbüchern steht sie als Bruch, \(S_n = \dfrac{n\{2a_1 + (n-1)d\}}{2}\). Beide Formeln liefern dasselbe Ergebnis. Verwenden Sie die zweite Formel, wenn Sie das Endglied kennen, und diese hier, wenn Sie nur das Anfangsglied und die Differenz kennen.
Eine arithmetische Folge addiert immer wieder dieselbe Zahl (die Differenz). Das \(n\)-te Glied ist „das Anfangsglied plus \(n-1\)-mal die Differenz“, und die Summe ist „(Anfangsglied + Endglied) × Anzahl der Glieder ÷ 2“, also der Mittelwert aus erstem und letztem Glied mal die Anzahl.
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(a_1\) | a Index 1 | Das Anfangsglied. Das allererste Glied (die erste Zahl) der Folge. Bei der Folge 2 ; 7 ; 12 ; 17 ; … ist es 2. |
| \(d\) | d | Die Differenz. Der Unterschied zwischen benachbarten Gliedern (um wie viel jedes Glied größer wird). Bei 2 ; 7 ; 12 ; 17 ; … ist sie 5. Der Buchstabe steht für „Differenz“, und sie kann auch eine negative Zahl sein. |
| \(n\) | n | Die Anzahl der Glieder. Eine positive ganze Zahl, die angibt, bis zu welchem Glied der Folge gerechnet wird. „Bis zum 20. Glied“ bedeutet \(n = 20\). |
| \(a_n\) | a Index n | Das \(n\)-te Glied. Die \(n\)-te Zahl der Folge. Der kleine Buchstabe unten rechts (der Index) sagt, das wievielte Glied gemeint ist. Das \(n\)-te Glied, als Formel in \(n\) geschrieben, heißt explizite Darstellung. |
| \(n-1\) | n minus 1 | Die Anzahl der Schritte vom 1. Glied bis zum \(n\)-ten Glied, also wie oft die Differenz addiert wird. Sie ist um 1 kleiner als die Anzahl der Glieder \(n\) (vom 1. zum 3. Glied sind es 2 Schritte). |
| \(S_n\) | S Index n | Die Summe der ersten \(n\) Glieder. Eine Kurzschreibweise für \(a_1 + a_2 + \cdots + a_n\). Der Buchstabe S steht für „Summe“. |
| \(\cdots\) | drei Punkte (Auslassungspunkte) | Ein Zeichen dafür, dass das Muster auf dieselbe Weise weitergeht. Die Schreibweise 2 ; 7 ; 12 ; 17 ; … bedeutet, dass die Zahlen immer weiter um 5 wachsen. |
Begriffe
| Zahlenfolge | Zahlen, die in einer festen Reihenfolge aufgelistet sind. Jede Zahl in der Liste heißt Glied. Man sagt kurz auch „Folge“. |
| arithmetische Folge | Eine Zahlenfolge, bei der die Differenz benachbarter Glieder immer gleich ist, etwa 2 ; 7 ; 12 ; 17 ; … (die Differenz ist immer 5). Ihre Summe nennt man arithmetische Reihe. |
| Glied | Jede einzelne Zahl in einer Zahlenfolge. Vom Anfang an heißen sie 1. Glied, 2. Glied und so weiter. |
| Anfangsglied | Das allererste Glied einer Zahlenfolge, also das 1. Glied. Es wird \(a_1\) geschrieben. |
| konstante Differenz | Bei einer arithmetischen Folge der Unterschied zwischen benachbarten Gliedern. Egal, welches benachbarte Paar Sie subtrahieren, es ergibt sich derselbe Wert. Sie darf negativ sein (bei einer fallenden Folge) oder eine Dezimalzahl. |
| Endglied | Das allerletzte Glied im betrachteten Bereich. Bei der Summe der ersten \(n\) Glieder ist das Endglied \(a_n\). |
| explizite Darstellung | Das \(n\)-te Glied, als Formel in \(n\) geschrieben (auch allgemeines Glied genannt). Bei einer arithmetischen Folge lautet sie \(a_n = a_1 + (n-1)d\). Setzen Sie für \(n\) die Nummer ein, und Sie erhalten sofort den Wert dieses Glieds. |
| geometrische Folge | Eine Zahlenfolge, bei der der Quotient benachbarter Glieder immer gleich ist, etwa 2 ; 6 ; 18 ; 54 ; … (jedes Mal mit 3 multiplizieren). Sie wächst anders als eine arithmetische Folge, die dieselbe Zahl addiert, deshalb gelten die Formeln dieser Seite nicht. |
Was Sie vorab wissen sollten
Hier finden Sie zusammengestellt, was Ihnen hilft, die Berechnung auf dieser Seite mit echtem Verständnis zu nutzen und nicht nur den Knopf zu drücken.
Wenn Sie nicht weiterkommen, ist es der schnellste Weg, diese Themen noch einmal zu wiederholen.
| Zahlenmuster (Klasse 5–6, 10–12 Jahre) |
|
| Negative Zahlen (Klasse 6–7, 11–13 Jahre) |
|
| Variablen und Terme (Klasse 5–6, 10–12 Jahre) |
|
| Rechenreihenfolge (Klasse 5, 10–11 Jahre) |
|
Mit Excel berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle zur Berechnung des n-ten Glieds (Anfangsglied 2, Differenz 5, 20 Glieder)
| Anfangsglied a1 | 2 |
| Differenz d | 5 |
| Anzahl der Glieder n | 20 |
| n-tes Glied | =B1+(B3-1)*B2 |
Tabelle zur Berechnung der Summe der ersten n Glieder (mit dem n-ten Glied)
| Anfangsglied a1 | 2 |
| Differenz d | 5 |
| Anzahl der Glieder n | 20 |
| n-tes Glied | =B1+(B3-1)*B2 |
| Summe der ersten n Glieder | =B3*(B1+B4)/2 |
Tabelle zur Berechnung der Summe direkt aus Anfangsglied und Differenz
| Anfangsglied a1 | 2 |
| Differenz d | 5 |
| Anzahl der Glieder n | 20 |
| Summe der ersten n Glieder | =B3*(2*B1+(B3-1)*B2)/2 |
Nach dem Einfügen sind die Zellen B1 bis B3 die Eingaben, und die unterste Zelle zeigt das automatisch berechnete Ergebnis.
In den Formeln bedeuten „B1“ und „B3“ „die Zahl in dieser Zelle verwenden“, „*“ ist die Multiplikation und „/“ die Division. „=B1+(B3-1)*B2“ ist die Formel selbst: „Anfangsglied plus (Anzahl der Glieder − 1) × Differenz“.
Die erste Tabelle zeigt zum Beispiel in B4 den Wert 97 (das 20. Glied), die zweite in B5 den Wert 990 (die Summe). Ersetzen Sie einfach B1 bis B3 durch Ihre eigenen Zahlen.
In den Formeln bedeuten „B1“ und „B3“ „die Zahl in dieser Zelle verwenden“, „*“ ist die Multiplikation und „/“ die Division. „=B1+(B3-1)*B2“ ist die Formel selbst: „Anfangsglied plus (Anzahl der Glieder − 1) × Differenz“.
Die erste Tabelle zeigt zum Beispiel in B4 den Wert 97 (das 20. Glied), die zweite in B5 den Wert 990 (die Summe). Ersetzen Sie einfach B1 bis B3 durch Ihre eigenen Zahlen.
Mit Google Tabellen berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle zur Berechnung des n-ten Glieds (Anfangsglied 2, Differenz 5, 20 Glieder)
| Anfangsglied a1 | 2 |
| Differenz d | 5 |
| Anzahl der Glieder n | 20 |
| n-tes Glied | =B1+(B3-1)*B2 |
Tabelle zur Berechnung der Summe der ersten n Glieder (mit dem n-ten Glied)
| Anfangsglied a1 | 2 |
| Differenz d | 5 |
| Anzahl der Glieder n | 20 |
| n-tes Glied | =B1+(B3-1)*B2 |
| Summe der ersten n Glieder | =B3*(B1+B4)/2 |
Tabelle zur Berechnung der Summe direkt aus Anfangsglied und Differenz
| Anfangsglied a1 | 2 |
| Differenz d | 5 |
| Anzahl der Glieder n | 20 |
| Summe der ersten n Glieder | =B3*(2*B1+(B3-1)*B2)/2 |
Dieselben Formeln wie in Excel funktionieren unverändert. Kopieren Sie die gesamte Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie B1 bis B3 durch Ihre eigenen Zahlen.
Mit Python berechnen
first_term = 2 # Anfangsglied
common_difference = 5 # Differenz
number_of_terms = 20 # Anzahl der Glieder
# n-tes Glied = Anfangsglied + (n - 1) * Differenz
nth_term = first_term + (number_of_terms - 1) * common_difference
# Summe der ersten n Glieder = n * (Anfangsglied + n-tes Glied) / 2
sum_of_terms = number_of_terms * (first_term + nth_term) / 2
# die ersten 10 Glieder der Folge (zur Kontrolle)
sequence = [first_term + k * common_difference for k in range(min(number_of_terms, 10))]
print(f"Erste Glieder: {sequence}")
print(f"{number_of_terms}. Glied: {nth_term}")
print(f"Summe der Glieder 1 bis {number_of_terms}: {sum_of_terms}")
Der Code läuft nur mit der Standardbibliothek. Ändern Sie die drei Zahlen am Anfang (Anfangsglied, Differenz, Anzahl der Glieder) und führen Sie ihn aus. In diesem Beispiel werden 97 für das 20. Glied und 990 (als Dezimalzahl mit Nachkommastelle) für die Summe ausgegeben. Wenn die Summe als ganze Zahl erscheinen soll, ändern Sie „/ 2“ in „// 2“ (ganzzahlige Division), sofern Anfangsglied und Differenz ganze Zahlen sind.
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
Formel für das \(n\)-te Glied (explizite Darstellung)
aₙ = a₁ + (n − 1)d
a_n = a_1 + (n-1)d
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub>
<mo>=</mo>
<msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>+</mo>
<mrow><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow>
<mi>d</mi>
</mrow>
</math>
a_n = a_1 + (n-1) d
a1 + (n - 1)*d
an := a1 + (n - 1)*d;
a_n = a1 + (n - 1)*d;
a_n = a_1 + (n - 1)d
Formel für die Summe der ersten \(n\) Glieder
Sₙ = n(a₁ + aₙ) ÷ 2
S_n = \dfrac{n(a_1 + a_n)}{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>S</mi><mi>n</mi></msub>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mi>n</mi>
<mo>(</mo>
<msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>+</mo>
<msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mn>2</mn>
</mfrac>
</mrow>
</math>
S_n = (n(a_1 + a_n))/2
n*(a1 + an)/2
Sn := n*(a1 + an)/2;
S_n = n*(a1 + a_n)/2;
S_n = n(a_1 + a_n)/2
Formel für die Summe direkt aus Anfangsglied und Differenz
Sₙ = n{2a₁ + (n − 1)d} ÷ 2
S_n = \dfrac{n\{2a_1 + (n-1)d\}}{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>S</mi><mi>n</mi></msub>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mi>n</mi>
<mo>{</mo>
<mn>2</mn>
<msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>+</mo>
<mrow><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow>
<mi>d</mi>
<mo>}</mo>
</mrow>
<mn>2</mn>
</mfrac>
</mrow>
</math>
S_n = (n(2 a_1 + (n-1) d))/2
n*(2*a1 + (n - 1)*d)/2
Sn := n*(2*a1 + (n - 1)*d)/2;
S_n = n*(2*a1 + (n - 1)*d)/2;
S_n = n(2a_1 + (n - 1)d)/2
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
Sie sind ein Assistent für Berechnungen mit arithmetischen Folgen. Führen Sie die folgenden Berechnungen aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort ausschließlich auf die Zahlen aus dem Ergebnis der Ausführung (antworten Sie nicht durch Kopfrechnen oder Raten). Berechnen Sie das n-te Glied mit a_n = a_1 + (n-1)d und die Summe mit S_n = n(a_1 + a_n)/2. 1. Das 20. Glied und die Summe der Glieder 1 bis 20 der arithmetischen Folge mit dem Anfangsglied 2 und der Differenz 5 2. Das 10. Glied und die Summe der Glieder 1 bis 10 der arithmetischen Folge mit dem Anfangsglied -3 und der Differenz 4 3. Das 15. Glied und die Summe der Glieder 1 bis 15 der arithmetischen Folge mit dem Anfangsglied 100 und der Differenz -7 Zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ergebnis der Ausführung.
Anleitung
-
1Zahlen eingebenGeben Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
-
2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
-
3Ergebnis ablesenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
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Die Datei wird nach dem Download automatisch gelöscht
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Keine Quellenangabe nötig
Keine Quellenangabe nötig
Kommerzielle Nutzung möglich
Kostenlos auch für die kommerzielle Nutzung
Keine vorherige Genehmigung erforderlich
Keine vorherige Genehmigung erforderlich
Verwandte Funktionen
Rechner für geometrische Folgen (n-tes Glied und Summe)
Berechnet das n-te Glied und die Summe aus Anfangsglied, Quotient und Anzahl der Glieder (eine Folge, die durch Multiplikation mit derselben Zahl wächst, das Gegenstück zur arithmetischen Folge, die durch Addition wächst)
Steigung berechnen (Steigung einer Geraden, Abstand und Winkel)
Berechnet Steigung, Abstand, Winkel und Geradengleichung aus zwei Punkten (im Diagramm entspricht die Differenz einer arithmetischen Folge der Steigung einer Geraden)
Mittelwert berechnen (arithmetisches Mittel)
Berechnet aus mehreren Zahlen das arithmetische Mittel, den Median und mehr (die Summe einer arithmetischen Folge ist der Mittelwert aus erstem und letztem Glied mal die Anzahl der Glieder)
Fibonacci-Folge berechnen (n-tes Glied und Summe)
Berechnet das n-te Glied und die Summe der Fibonacci-Folge (1 ; 1 ; 2 ; 3 ; 5 ; 8 ; …), einer Folge, die nicht eine feste Zahl, sondern die beiden vorherigen Glieder addiert
Rekursive Folge in explizite Darstellung umwandeln (Rechner mit Rechenweg)
Berechnet die explizite Darstellung der Rekursion a(n+1) = p·a(n) + q mit Rechenweg über den Fixpunkt (der Fall p = 1 ist eine arithmetische Folge)
Ad 
