Geben Sie die drei Halbachsen \(a\), \(b\), \(c\) des Ellipsoids ein (Abstand vom Mittelpunkt zur Oberfläche). Angezeigt werden das Volumen \(V = \dfrac{4}{3}\pi abc\) und bei Eingabe in cm die Umrechnung in Liter.
Geben Sie die drei Halbachsen in derselben Einheit als Zahlen ab 0 ein, ohne Einheit (für 10 cm also „10“).
Ergebnis und Figur
Geben Sie links die drei Halbachsen ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Ergebnis und 3D-Modell erscheinen dann hier.
Inhaltsverzeichnis
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Das können Sie auf dieser Seite
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Wofür braucht man diese Berechnung?
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Anleitung
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Formeln und Abbildungen
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Symbole und Begriffe
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Das sollten Sie vorher wissen
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So berechnen Sie es in Excel
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So berechnen Sie es in Google Tabellen
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So berechnen Sie es in Python
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So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
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So lassen Sie ChatGPT rechnen
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Die Vorteile von DataChef
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Das können Sie auf dieser Seite
- Die drei Halbachsen \(a\), \(b\), \(c\) eingeben (Abstand vom Mittelpunkt zur Oberfläche) – und Sie kennen sofort das Volumen des Ellipsoids (\(V = \dfrac{4}{3}\pi abc\))
- Das Ergebnis erscheint auch als 3D-Modell, das Sie mit der Maus drehen können – so sehen Sie auf einen Blick, welche Länge in welche Richtung zeigt
- Tragen Sie in alle drei Felder dieselbe Länge ein, erhalten Sie das Volumen einer Kugel (\(V = \dfrac{4}{3}\pi r^3\))
- Bei Eingabe in cm sehen Sie das Volumen gleich auch in Liter
- Dazu: verständliche Erklärung der Formeln und Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python
Geben Sie alle drei Halbachsen in derselben Einheit ein (alle in cm oder alle in m). Gemeint ist jeweils der Abstand vom Mittelpunkt zur Oberfläche – also die Hälfte der Länge von Rand zu Rand (der Achse).
Wofür braucht man diese Berechnung?
Das Volumen eines Rugby- oder Footballs abschätzen (Sport)
Ein Rugbyball hat fast die Form eines lang gestreckten Rotationsellipsoids. Bei etwa 30 cm Länge und 19 cm Breite sind die Halbachsen \(15 \times 9{,}5 \times 9{,}5\,\mathrm{cm}\), das Volumen also \(\dfrac{4}{3}\pi \times 15 \times 9{,}5 \times 9{,}5 \approx 5671\,\mathrm{cm^3}\), rund 5,7 Liter.
Ob Luftmenge, Auftrieb oder Stauraum – mit dieser Formel bestimmen Sie den Rauminhalt von runden Dingen, die keine Kugeln sind. Nähte und Ausbeulungen echter Bälle weichen etwas ab, es bleibt also eine Näherung.
Das Volumen von Organen oder Knoten im Ultraschall schätzen (Medizin)
Im Ultraschall schätzt man das Volumen von Organen, Zysten oder Knoten häufig, indem man sie als Ellipsoid betrachtet. Man misst drei senkrecht zueinander stehende Durchmesser (von Rand zu Rand), halbiert sie und setzt die Halbachsen in diese Formel ein. Die in der Praxis übliche Ellipsoidformel „Länge × Breite × Höhe × 0,52“ ist genau dasselbe (\(\dfrac{\pi}{6} \approx 0{,}52\)).
Bei Durchmessern von \(4 \times 3 \times 3\,\mathrm{cm}\) sind die Halbachsen \(2 \times 1{,}5 \times 1{,}5\,\mathrm{cm}\), das Volumen also \(\dfrac{4}{3}\pi \times 2 \times 1{,}5 \times 1{,}5 \approx 18{,}8\,\mathrm{ml}\) (1 cm³ = 1 ml). So werden etwa Prostata- oder Blasenvolumen im Klinikalltag bestimmt – als Schätzwert, denn Organe sind keine exakten Ellipsoide.
Das Gewicht einer Wasser- oder Honigmelone abschätzen (Landwirtschaft und Lebensmittel)
Wasser- und Honigmelonen sind annähernd Ellipsoide, deshalb kann man aus ihrer Größe Volumen und Gewicht abschätzen. Eine Wassermelone mit den Halbachsen \(12 \times 10 \times 10\,\mathrm{cm}\) hat \(\dfrac{4}{3}\pi \times 12 \times 10 \times 10 \approx 5027\,\mathrm{cm^3}\), also rund 5 Liter.
Da Melonen etwa so dicht sind wie Wasser (1 g pro cm³), wiegt sie ungefähr 5 kg. Die Überlegung hilft auch beim Planen von Kistengrößen und Handelsklassen.
Das Volumen der Erde berechnen (Geowissenschaften und Astronomie)
Durch die Fliehkraft der Erdrotation ist die Erde ein leicht abgeplattetes Rotationsellipsoid. Mit dem Äquatorradius von etwa 6.378 km und dem Polradius von etwa 6.357 km ergibt sich \(\dfrac{4}{3}\pi \times 6378 \times 6378 \times 6357 \approx 1{,}083 \times 10^{12}\,\mathrm{km^3}\), also rund 1,08 Billionen km³.
Das stimmt gut mit dem Erdvolumen in Tabellenwerken überein. In der Astronomie berechnet man so das Volumen von Himmelskörpern, die durch ihre Rotation abgeplattet und keine exakten Kugeln sind.
Den Rauminhalt von Eiern und ähnlichen Lebensmitteln abschätzen (Küche)
Ein Hühnerei ist annähernd ein Ellipsoid. Bei etwa 6 cm Länge und 4,5 cm Dicke sind die Halbachsen \(3 \times 2{,}25 \times 2{,}25\,\mathrm{cm}\) und das Volumen \(\dfrac{4}{3}\pi \times 3 \times 2{,}25 \times 2{,}25 \approx 64\,\mathrm{cm^3}\). Echte Eier sind etwas unsymmetrisch, gemessen ist es meist etwas weniger.
Auch bei Brötchen, Obst oder Knödeln, die ungefähr ellipsoidförmig sind, schätzen Sie so ohne Waage den Rauminhalt, die passende Dosengröße oder die Wassermenge fürs Wasserbad.
Formeln und Abbildungen
Volumen eines Ellipsoids
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(V\)
\(=\)
\(\dfrac{4}{3}\)
\(\times\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(a\)
\(\times\)
\(b\)
\(\times\)
\(c\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
⑥
\(V\): Volumen des Ellipsoids
\(=\)
⑤
\(\dfrac{4}{3}\): Konstante
\(\times\)
④
\(\pi\): Kreiszahl
\(\times\)
①
\(a\): Halbachse
\(\times\)
②
\(b\): Halbachse
\(\times\)
③
\(c\): Halbachse
Die Formel in Worten
①
Multipliziert man die
\(a\): Halbachse
②
, die
\(b\): Halbachse
③
und die
\(c\): Halbachse
miteinander,
④
dann mit der
\(\pi\): Kreiszahl (etwa 3,14)
⑤
und mit der
\(\dfrac{4}{3}\): Konstante
⑥
, erhält man das
\(V\): Volumen des Ellipsoids
Einfaches Beispiel
Ein Ellipsoid mit den Halbachsen 3 cm, 2 cm und 1 cm hat das Volumen
\(V\): Volumen des Ellipsoids
\(=\)
\(\dfrac{4}{3}\)
\(\times\)
\(\pi\): Kreiszahl
\(\times\)
Halbachse (3 cm)
\(\times\)
Halbachse (2 cm)
\(\times\)
Halbachse (1 cm)
\(V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 3 \times 2 \times 1 = 8\pi\)
\(8\pi = 8 \times 3{,}14159\ldots \approx 25{,}13\,\mathrm{cm^3}\)
Der Grundgedanke
Ein Ellipsoid ist eine Kugel, die in drei Richtungen unterschiedlich stark gestreckt oder gestaucht wurde. Streckt man eine Kugel mit Radius 1 (Volumen \(\dfrac{4}{3}\pi\)) in der Breite auf das \(a\)-Fache, in der Tiefe auf das \(b\)-Fache und in der Höhe auf das \(c\)-Fache, wächst auch das Volumen auf das \(a \times b \times c\)-Fache – daher \(V = \dfrac{4}{3}\pi abc\). Aus „Radius mal Radius mal Radius“ der Kugelformel wird also „das Produkt der drei Halbachsen“.
Eingegeben wird jeweils der Abstand vom Mittelpunkt zur Oberfläche (die Halbachse). Haben Sie von Rand zu Rand gemessen (die ganze Achse), teilen Sie den Wert vorher durch 2.
Volumen einer Kugel (Sonderfall des Ellipsoids)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(V\)
\(=\)
\(\dfrac{4}{3}\)
\(\times\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(r\)
\(3\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
⑤
\(V\): Volumen der Kugel
\(=\)
④
\(\dfrac{4}{3}\): Konstante
\(\times\)
③
\(\pi\): Kreiszahl
\(\times\)
①
\(r\): Radius
②
hoch 3 (dreimal mit sich selbst malnehmen)
Die Formel in Worten
①
Nimmt man den
\(r\): Radius
②
hoch 3 (dreimal mit sich selbst malnehmen)
③
, multipliziert mit der
\(\pi\): Kreiszahl (etwa 3,14)
④
und mit der
\(\dfrac{4}{3}\): Konstante
⑤
, erhält man das
\(V\): Volumen der Kugel
Einfaches Beispiel
Eine Kugel mit 3 cm Radius hat das Volumen
\(V\): Volumen der Kugel
\(=\)
\(\dfrac{4}{3}\)
\(\times\)
\(\pi\): Kreiszahl
\(\times\)
Radius (3 cm)
hoch 3
\(V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 3^3 = 36\pi\)
\(36\pi = 36 \times 3{,}14159\ldots \approx 113{,}10\,\mathrm{cm^3}\)
Der Grundgedanke
Eine Kugel ist ein besonderes Ellipsoid, bei dem alle drei Halbachsen gleich lang sind. Setzt man in \(V = \dfrac{4}{3}\pi abc\) einfach \(a = b = c = r\) ein, erhält man die Kugelformel aus der Schule: \(V = \dfrac{4}{3}\pi r^3\). Auch in diesem Rechner bekommen Sie das Kugelvolumen, wenn Sie in alle drei Felder dieselbe Zahl eintragen.
Umrechnung des Volumens (cm³ → l)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(V_{\mathrm{L}}\)
\(=\)
\(V_{\mathrm{cm^3}}\)
\(\div\)
\(1000\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(V_{\mathrm{L}}\): Volumen in Liter
\(=\)
①
\(V_{\mathrm{cm^3}}\): Volumen in cm³
\(\div\)
②
\(1000\): cm³ pro Liter
Die Formel in Worten
①
Teilt man das
\(V_{\mathrm{cm^3}}\): Volumen in cm³
②
durch die Zahl
\(1000\): cm³ pro Liter
③
, erhält man das
\(V_{\mathrm{L}}\): Volumen in Liter
Einfaches Beispiel
Ein ellipsoidförmiges Aquarium mit 2.000 cm³ Volumen fasst, in Liter umgerechnet
Volumen in Liter
\(=\)
Volumen in cm³ (2.000)
\(\div\)
cm³ pro Liter (1.000)
\(2000 \div 1000 = 2\,\mathrm{l}\)
Der Grundgedanke
\(1\,\mathrm{l}\) ist das Volumen eines Würfels mit 10 cm Kantenlänge: \(10 \times 10 \times 10 = 1000\,\mathrm{cm^3}\). Eine Milchtüte mit 1 Liter fasst genau 1.000 cm³.
Für die größere Einheit m³ gilt wegen \(1\,\mathrm{m} = 100\,\mathrm{cm}\): \(1\,\mathrm{m^3} = 100 \times 100 \times 100 = 1000000\,\mathrm{cm^3}\) (= 1.000 l). Leicht übersehen wird, dass der Umrechnungsfaktor beim Volumen der Längenfaktor hoch 3 ist.
Das Volumen eines Ellipsoids ist „4/3 × Kreiszahl π × Produkt der drei Halbachsen a, b, c“. Sind alle drei Halbachsen gleich, ist das Ellipsoid eine Kugel (V = 4/3 πr³). Geben Sie die Halbachsen in derselben Einheit ein; das Ergebnis steht in dieser Einheit hoch 3 (bei cm in cm³). Von cm³ in Liter teilen Sie einfach durch 1.000.
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(V\) | V | Das übliche Zeichen für das Volumen (lateinisch volumen). Hier steht es für das Volumen des Ellipsoids (bzw. der Kugel). |
| \(a,\ b,\ c\) | a, b, c | Die drei Halbachsen des Ellipsoids. Jede ist ein Abstand vom Mittelpunkt zur Oberfläche, wie der Radius bei der Kugel, und halb so lang wie die ganze Achse von Rand zu Rand. |
| \(\pi\) | Pi | Die Kreiszahl. Sie gibt an, wie oft der Durchmesser in den Kreisumfang passt, und ist mit \(3{,}14159265\ldots\) eine unendliche, nicht periodische Dezimalzahl (eine irrationale Zahl). Die „3,14“ aus dem Unterricht ist ein Näherungswert. |
| \(r\) | r | Der Radius der Kugel. Eine Kugel ist ein Ellipsoid, dessen drei Halbachsen alle \(r\) sind. |
| \(r^3\) | r hoch 3 | Die Zahl \(r\) dreimal mit sich selbst multipliziert (\(r \times r \times r\)). Die kleine 3 oben rechts ist der Exponent und bedeutet „dreimal als Faktor“. |
| \(\mathrm{cm^3}\) | Kubikzentimeter | Eine Volumeneinheit. Ein Würfel mit 1 cm Kantenlänge hat das Volumen 1 cm³. Nicht zu verwechseln mit cm² (Quadratzentimeter), der Einheit für Flächen. |
| \(\mathrm{l}\) | Liter | Eine Einheit für Volumen und Fassungsvermögen. \(1\,\mathrm{l} = 1000\,\mathrm{cm^3}\) – so viel passt in einen Würfel mit 10 cm Kantenlänge. |
Begriffe
| Ellipsoid | Die dreidimensionale Form der Ellipse – ein glatter, eiförmiger Körper. Jeder ebene Schnitt ist eine Ellipse (oder ein Kreis). Ein Rugbyball oder eine Wassermelone kommt dieser Form nahe. |
| Halbachse | Der Abstand vom Mittelpunkt des Ellipsoids zur Oberfläche, gemessen in einer der drei Symmetrierichtungen (die senkrecht zueinander stehen). Größe und Form des Ellipsoids sind durch diese drei Längen festgelegt. Jede ist halb so lang wie die ganze Achse von Rand zu Rand. |
| Ellipse | Ein Kreis, der in einer Richtung gestreckt (oder gestaucht) wurde – eine runde, längliche Kurve, wie der Schatten eines schräg beleuchteten Balls. |
| Kugel | Ein besonderes Ellipsoid mit drei gleich langen Halbachsen. Von jeder Seite sieht sie wie ein gleich großer Kreis aus; ihr Volumen ist \(V = \dfrac{4}{3}\pi r^3\). |
| Rotationsellipsoid | Der Körper, der entsteht, wenn sich eine Ellipse um eine ihrer Achsen dreht – ein Ellipsoid mit zwei gleich langen Halbachsen. Ein Rugbyball (lang gestreckt) oder eine Mandarine (abgeplattet) gehören dazu, und auch die Erde ist ein leicht abgeplattetes Rotationsellipsoid. |
| Volumen | Gibt als Zahl an, wie viel Raum ein Körper einnimmt (auch Rauminhalt). Man misst es daran, wie viele Einheitswürfel (z. B. 1 cm³) hineinpassen. |
Das sollten Sie vorher wissen
Damit Sie die Berechnung auf dieser Seite nicht nur ausführen, sondern auch verstehen, hilft Ihnen dieses Vorwissen.
| Multiplizieren und Dezimalzahlen multiplizieren (Klasse 3–6, 8–12 Jahre) |
|
| Volumen und Volumeneinheiten (Klasse 5–6, 10–12 Jahre) |
|
| Die Kreiszahl π (Klasse 8, 13–14 Jahre) |
|
| Brüche multiplizieren (Klasse 6, 11–12 Jahre) |
|
| Das Kugelvolumen (Klasse 9–10, 14–16 Jahre) |
|
So berechnen Sie es in Excel
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle für das Volumen eines Ellipsoids
| Halbachse a (cm) | 10 |
| Halbachse b (cm) | 5 |
| Halbachse c (cm) | 8 |
| Volumen des Ellipsoids (cm³) | =4/3*PI()*B1*B2*B3 |
Tabelle für das Volumen einer Kugel
| Radius (cm) | 3 |
| Volumen der Kugel (cm³) | =4/3*PI()*B1^3 |
Tabelle für die Umrechnung von cm³ in Liter
| Volumen in cm³ | 2000 |
| Volumen in Liter | =B1/1000 |
Nach dem Einfügen stehen in Spalte A die Bezeichnungen und in Spalte B die Zahlen. Die oberen Zeilen sind die Eingaben, die Formel in der letzten Zeile rechnet damit automatisch.
„B1“, „B2“ in der Formel bedeuten „nimm die Zahl aus dieser Zelle“. „*“ steht für Malnehmen, „/“ für Teilen, „^“ für Potenzieren (wie oft multipliziert wird), und „PI()“ liefert die Kreiszahl π.
In der ersten Tabelle erscheint in B4 zum Beispiel 4/3 × π × 10 × 5 × 8 ≈ 1.675,52 (in cm³, weil in cm eingegeben). Die zweite Tabelle zeigt in B2 etwa 113,10, die dritte in B2 die 2. Ersetzen Sie einfach die Eingaben durch Ihre eigenen Längen.
„B1“, „B2“ in der Formel bedeuten „nimm die Zahl aus dieser Zelle“. „*“ steht für Malnehmen, „/“ für Teilen, „^“ für Potenzieren (wie oft multipliziert wird), und „PI()“ liefert die Kreiszahl π.
In der ersten Tabelle erscheint in B4 zum Beispiel 4/3 × π × 10 × 5 × 8 ≈ 1.675,52 (in cm³, weil in cm eingegeben). Die zweite Tabelle zeigt in B2 etwa 113,10, die dritte in B2 die 2. Ersetzen Sie einfach die Eingaben durch Ihre eigenen Längen.
So berechnen Sie es in Google Tabellen
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle für das Volumen eines Ellipsoids
| Halbachse a (cm) | 10 |
| Halbachse b (cm) | 5 |
| Halbachse c (cm) | 8 |
| Volumen des Ellipsoids (cm³) | =4/3*PI()*B1*B2*B3 |
Tabelle für das Volumen einer Kugel
| Radius (cm) | 3 |
| Volumen der Kugel (cm³) | =4/3*PI()*B1^3 |
Tabelle für die Umrechnung von cm³ in Liter
| Volumen in cm³ | 2000 |
| Volumen in Liter | =B1/1000 |
Dieselben Formeln wie in Excel (auch die Funktion PI()) funktionieren unverändert. Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Eingaben durch Ihre eigenen Längen.
So berechnen Sie es in Python
import math
a = 10 # Halbachse a (in diesem Beispiel in cm, Abstand vom Mittelpunkt zur Oberfläche)
b = 5 # Halbachse b (in derselben Einheit wie a)
c = 8 # Halbachse c (in derselben Einheit wie a und b)
volume = 4 / 3 * math.pi * a * b * c # Volumen des Ellipsoids (Eingabeeinheit hoch 3, hier cm3)
volume_l = volume / 1000 # bei Eingabe in cm: Volumen in Liter
print(f"Volumen des Ellipsoids: {volume} cm3")
print(f"Umgerechnet in Liter: {volume_l} l")
Läuft nur mit der Standardbibliothek. „math.pi“ ist die Kreiszahl π, „*“ steht für Malnehmen und „/“ für Teilen. Ersetzen Sie oben die drei Halbachsen durch Ihre Werte und führen Sie den Code aus. Mit drei gleichen Werten erhalten Sie das Kugelvolumen (die Umrechnung in Liter gilt für Eingaben in cm).
So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
Volumen eines Ellipsoids
V = (4/3)πabc
V = \dfrac{4}{3}\pi abc
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>V</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac><mn>4</mn><mn>3</mn></mfrac>
<mi>π</mi>
<mi>a</mi>
<mi>b</mi>
<mi>c</mi>
</mrow>
</math>
V = 4/3 pi a b c
(4/3) Pi a b c
V := (4/3)*Pi*a*b*c;
V = 4/3*pi*a*b*c;
V = (4/3)πabc
Volumen einer Kugel (Sonderfall des Ellipsoids)
V = (4/3)πr³
V = \dfrac{4}{3}\pi r^{3}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>V</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac><mn>4</mn><mn>3</mn></mfrac>
<mi>π</mi>
<msup><mi>r</mi><mn>3</mn></msup>
</mrow>
</math>
V = 4/3 pi r^3
(4/3) Pi r^3
V := (4/3)*Pi*r^3;
V = 4/3*pi*r^3;
V = (4/3)πr^3
Umrechnung des Volumens (cm³ → l)
V[L] = V[cm³] ÷ 1000
V_{\mathrm{L}} = V_{\mathrm{cm^3}} \div 1000
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>V</mi><mi mathvariant="normal">L</mi></msub>
<mo>=</mo>
<msub><mi>V</mi><mrow><msup><mi mathvariant="normal">cm</mi><mn>3</mn></msup></mrow></msub>
<mo>÷</mo>
<mn>1000</mn>
</mrow>
</math>
V_L = V_(cm^3) -: 1000
vCm3/1000
vL := vCm3/1000;
v_l = v_cm3/1000;
V(L) = V(cm³)/1000
So lassen Sie ChatGPT rechnen
Sie sind ein Rechenassistent für Mathematik. Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (antworten Sie nicht durch Kopfrechnen oder Schätzen). Ein Ellipsoid hat die Halbachsen a = 10 cm, b = 5 cm und c = 8 cm (Halbachse = Abstand vom Mittelpunkt zur Oberfläche). Berechnen Sie: 1. das Volumen des Ellipsoids in cm³ (V = 4/3 × π × a × b × c) 2. dieses Volumen umgerechnet in Liter Zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis.
Anleitung
-
1Werte eingebenTragen Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
-
2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
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3Ergebnis ansehenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
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