Geben Sie ein, welche Wurzel Sie möchten (den Wurzelexponenten n), und die Zahl unter der Wurzel (a). Der mathematische Ausdruck darunter ist mit den Eingabefeldern verknüpft, Sie können den kleinen Wurzelexponenten oder die Zahl unter der Wurzel also auch direkt darin ändern. Der Wurzelexponent 2 ergibt die Quadratwurzel (√a) und 3 die Kubikwurzel (∛a).
Der Wurzelexponent n darf jede Zahl außer 0 sein (Dezimalzahlen wie 2,5 und negative Zahlen funktionieren ebenfalls). Die Zahl unter der Wurzel a darf nur dann negativ sein, wenn der Wurzelexponent n eine positive ungerade ganze Zahl ist (1, 3, 5, ...).
Ergebnis
Geben Sie links ein, welche Wurzel Sie möchten (den Wurzelexponenten) und die Zahl, und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis erscheint hier.
Inhaltsverzeichnis
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Was Sie auf dieser Seite tun können
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Wofür ist diese Berechnung nützlich?
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Anleitung
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Formel
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Definition der \(n\)-ten Wurzel (die Zahl, die mit der Potenz \(n\) den Wert \(a\) ergibt)
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Eine Wurzel als Exponent schreiben (\(\sqrt[n]{a} = a^{1/n}\))
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Wurzeln aus negativen Zahlen (nur wenn der Wurzelexponent ungerade ist)
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Eine Quadratwurzel von Hand bestimmen (immer wieder den Mittelwert bilden)
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Symbole und Begriffe
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Was Sie vorab wissen sollten
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Mit Excel berechnen
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Mit Google Tabellen berechnen
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Mit Python berechnen
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Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
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Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
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Die Vorteile von DataChef
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Verwandte Funktionen
-
Alle NumberChef-Rechner
Was Sie auf dieser Seite tun können
- Geben Sie ein, welche Wurzel Sie möchten (den Wurzelexponenten \(n\)) und die Zahl unter der Wurzel (den Radikanden \(a\)). Quadratwurzeln wie \(\sqrt{27}\), Kubikwurzeln und jede \(n\)-te Wurzel finden Sie auf dieser einen Seite
- Der Wurzelexponent 2 ergibt die Quadratwurzel (\(\sqrt{a}\)) und 3 die Kubikwurzel (\(\sqrt[3]{a}\)). Auch Dezimalzahlen wie 2,5 und negative Zahlen als Wurzelexponent funktionieren
- Ungerade Wurzeln aus negativen Zahlen, wie \(\sqrt[3]{-8} = -2\), werden so berechnet, wie sie sind
- Eine leicht verständliche Erklärung der Formeln sowie Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python finden Sie ebenfalls auf dieser Seite
Eine positive Zahl hat zwei Quadratwurzeln, \(+\sqrt{a}\) und \(-\sqrt{a}\). Dieser Rechner zeigt den Wert des Wurzelzeichens, also den positiven (die Wurzel im engeren Sinn). Gerade Wurzeln aus negativen Zahlen, etwa die Quadratwurzel einer negativen Zahl, gibt es unter den reellen Zahlen nicht, sie lassen sich also nicht berechnen.
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
Aus Fläche oder Volumen die Seitenlänge zurückrechnen (Wohnen und Heimwerken)
Soll ein quadratisches Beet 27 Quadratmeter groß werden, ist jede Seite \(\sqrt{27} \approx 5{,}2\) Meter lang. Bei einem würfelförmigen Aquarium mit 64 Litern Inhalt (\(= 64.000\) Kubikzentimeter) ist jede Kante \(\sqrt[3]{64000} = 40\) Zentimeter lang.
Der Weg zurück vom „Ergebnis der Multiplikation“ zur „ursprünglichen Länge“ ist immer eine Wurzel. Sie kommt bei der Gartenplanung, beim Lagern und bei der Wahl eines Beckens vor, immer wenn Fläche oder Volumen zuerst feststehen.
Die durchschnittliche jährliche Wachstumsrate von Vermögen oder Umsatz bestimmen (Geld)
Verdoppelt sich ein Vermögen in 10 Jahren, um wie viel Prozent ist es dann jedes Jahr gewachsen? Die Antwort ist eine 10. Wurzel: \(\sqrt[10]{2} \approx 1{,}0718\), also im Schnitt etwa 7,2 % pro Jahr.
Fondsberichte und das Umsatzwachstum von Unternehmen (CAGR, die durchschnittliche jährliche Wachstumsrate) werden genau so berechnet, als „die \(n\)-te Wurzel des Wachstums über \(n\) Jahre“. So können Sie das Wachstum mit Zinseszins selbst nachprüfen, und es hängt unmittelbar mit Geldentscheidungen zusammen.
Warum A4 und A3 „dieselbe Form“ haben, dank \(\sqrt{2}\) (Alltagsdesign)
Papier der A-Reihe (DIN A3, A4, A5, …; DIN 476 beziehungsweise ISO 216) ist so gestaltet, dass das Verhältnis von Höhe zu Breite \(\sqrt{2} : 1\) beträgt (etwa 1,414). Bei diesem Verhältnis bleibt die Form auch beim Halbieren genau erhalten (A3 → A4 → A5 …), sodass vergrößerte oder verkleinerte Kopien genau passen.
Die Eigenschaft der Quadratwurzel „die Zahl, deren Quadrat 2 ist“ bestimmt hier die Maße eines Alltagsgegenstands aus der Schreibwarenwelt.
Die Klaviertonleiter beruht auf der „12. Wurzel aus 2“ (Musik)
Ein Ton eine Oktave höher hat genau die doppelte Frequenz. Moderne Instrumente teilen diese Oktave in 12 gleich große Halbtonschritte, sodass jeder Halbton aufwärts die Frequenz mit \(\sqrt[12]{2} \approx 1{,}0595\) multipliziert (die zwölfstufige gleichstufige Stimmung).
Sowohl das Stimmen eines Klaviers als auch das Klangdesign bei Synthesizern gehen von dieser „12. Wurzel aus 2“ aus. Ein Schritt der Tonart-Taste einer Karaokeanlage ist als Frequenz genau dieses Verhältnis.
Der letzte Schritt der Standardabweichung (Statistik und Qualitätssicherung)
Die Standardabweichung, die man bei der Auswertung von Prüfungsergebnissen und in der Qualitätssicherung von Fabriken nutzt, wird berechnet als „die Quadratwurzel aus der Varianz (dem Mittelwert der quadrierten Abweichungen)“. Beträgt die Varianz 9 Punkte², ist die Standardabweichung \(\sqrt{9} = 3\) Punkte.
Eine Quadratwurzel ist nötig, um eine quadrierte Größe wieder in die ursprüngliche Einheit zu bringen. Diese Rechnung läuft überall, wo Statistik verwendet wird, von der Fehlermarge bei Umfragen bis zur Toleranz eines Produkts.
Formel
Definition der \(n\)-ten Wurzel (die Zahl, die mit der Potenz \(n\) den Wert \(a\) ergibt)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(b\)
\(n\)
\(=\)
\(a\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
①
\(b\): die \(n\)-te Wurzel aus \(a\)
②
\(n\): Wurzelexponent
\(=\)
③
\(a\): Zahl unter der Wurzel
Die Formel in Worten
①
Multiplizieren Sie
\(b\): die \(n\)-te Wurzel aus \(a\)
mit sich selbst
②
\(n\): Wurzelexponent
mal,
③
und Sie erhalten genau wieder
\(a\): Zahl unter der Wurzel
Einfaches Beispiel
Die Kubikwurzel aus 27 ist 3. Zur Kontrolle, dass „3 dreimal mit sich selbst multipliziert wieder 27 ergibt“
Kubikwurzel aus 27 (3)
Wurzelexponent (Potenz 3)
\(=\)
Zahl unter der Wurzel (27)
\(3 \times 3 \times 3 = 27\)
Der Kerngedanke
„Die \(n\)-te Wurzel aus \(a\)“ ist die Zahl, die mit der Potenz \(n\) den Wert \(a\) ergibt. Sie wird \(\sqrt[n]{a}\) geschrieben. Sie ist genau die Umkehrung des Potenzierens (eines Exponenten), denken Sie also an „eine Potenz rückgängig machen“.
Die kleine Zahl links oben am Wurzelzeichen ist der Wurzelexponent \(n\). Nur bei \(n = 2\) (der Quadratwurzel) lässt man ihn üblicherweise weg und schreibt \(\sqrt{a}\). Die Wurzel mit \(n = 3\), \(\sqrt[3]{a}\), heißt Kubikwurzel.
Eine Wurzel als Exponent schreiben (\(\sqrt[n]{a} = a^{1/n}\))
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(\sqrt[n]{a}\)
\(=\)
\(a\)
\(1/n\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(\sqrt[n]{a}\): die \(n\)-te Wurzel aus \(a\)
\(=\)
①
\(a\): Zahl unter der Wurzel
②
\(\frac{1}{n}\): Exponent
Die Formel in Worten
①
Potenzieren Sie
\(a\): Zahl unter der Wurzel
②
mit dem Exponenten
\(\frac{1}{n}\): Exponent (1 durch \(n\))
③
und Sie erhalten
\(\sqrt[n]{a}\): die \(n\)-te Wurzel aus \(a\)
Einfaches Beispiel
Die Wurzel \(\sqrt{27}\) (die Quadratwurzel aus 27) als Exponent geschrieben und berechnet
Quadratwurzel aus 27, \(\sqrt{27}\)
\(=\)
Zahl unter der Wurzel (27)
Exponent (1/2)
\(27^{1/2} = \sqrt{27} \approx 5{,}196\)
Der Kerngedanke
Taschenrechner, Excel und Programmiersprachen haben oft keine Möglichkeit, ein Wurzelzeichen einzutippen, also werden Wurzeln in dieser Form „Potenz \(\frac{1}{n}\)“ berechnet (zum Beispiel \(\sqrt[3]{10} = 10^{1/3}\)). Auch dieser Rechner nutzt intern diese Formel.
Einen Bruch wie \(\frac{1}{n}\) als Exponenten zu verwenden, ist erlaubt, weil das Potenzgesetz \((a^{1/n})^n = a^{n \times (1/n)} = a^1 = a\) ergibt. Das ist genau die Definition der \(n\)-ten Wurzel: Potenziert man sie mit \(n\), erhält man wieder \(a\). Der Wurzelexponent \(n\) muss nicht 2 oder 3 sein. Auch Dezimalzahlen wie 2,5 und negative Zahlen ergeben als „Potenz \(\frac{1}{n}\)“ einen Sinn (dann nur für \(a > 0\)).
Wurzeln aus negativen Zahlen (nur wenn der Wurzelexponent ungerade ist)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(\sqrt[n]{-a}\)
\(=\)
\(-\sqrt[n]{a}\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
②
\(\sqrt[n]{-a}\): die \(n\)-te Wurzel aus der negativen Zahl \(-a\)
\(=\)
①
\(-\sqrt[n]{a}\): die Wurzel mit einem Minuszeichen
Die Formel in Worten
①
Ist der Wurzelexponent \(n\) ungerade, ist
\(-\sqrt[n]{a}\): die \(n\)-te Wurzel aus der positiven Zahl \(a\) mit einem Minuszeichen
gleich
②
\(\sqrt[n]{-a}\): die \(n\)-te Wurzel aus der negativen Zahl \(-a\)
Einfaches Beispiel
Für die Kubikwurzel aus \(-8\) bestimmen Sie zuerst die Kubikwurzel aus \(8\), \(\sqrt[3]{8} = 2\), und setzen dann ein Minuszeichen davor
Kubikwurzel aus −8, \(\sqrt[3]{-8}\)
\(=\)
Kubikwurzel aus 8 (2) mit einem Minuszeichen
\(\sqrt[3]{-8} = -\sqrt[3]{8} = -2\)
\((-2) \times (-2) \times (-2) = -8\)
Der Kerngedanke
Eine negative Zahl, die ungerade oft mit sich selbst multipliziert wird, bleibt negativ (zum Beispiel \((-2)^3 = -8\)), also haben negative Zahlen durchaus ungerade Wurzeln.
Eine negative Zahl, die gerade oft mit sich selbst multipliziert wird, ist dagegen immer positiv (zum Beispiel \((-2)^2 = +4\)). Es gibt also keine reelle Zahl, deren Quadrat \(-4\) ist, und gerade Wurzeln aus negativen Zahlen (wie die Quadratwurzel einer negativen Zahl) lassen sich unter den reellen Zahlen nicht berechnen. Deshalb akzeptiert dieser Rechner unter der Wurzel nur dann eine negative Zahl, wenn der Wurzelexponent ungerade ist.
Eine Quadratwurzel von Hand bestimmen (immer wieder den Mittelwert bilden)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(b'\)
\(=\)
\((\)
\(b\)
\(+\)
\(a \div b\)
\()\)
\(\div\)
\(2\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
④
\(b'\): neue Schätzung
\(=\)
\((\)
①
\(b\): aktuelle Schätzung
\(+\)
②
\(a \div b\): Zahl unter der Wurzel ÷ aktuelle Schätzung
\()\)
\(\div\)
③
2 (den Mittelwert der beiden bilden)
Die Formel in Worten
①
Addieren Sie
\(b\): aktuelle Schätzung
②
und
\(a \div b\): Zahl unter der Wurzel ÷ aktuelle Schätzung
③
teilen Sie durch
2 (den Mittelwert der beiden bilden)
④
und Sie erhalten
\(b'\): neue Schätzung
(je öfter Sie das wiederholen, desto näher kommen Sie der wahren Quadratwurzel)
Einfaches Beispiel
Eine Schätzung von \(\sqrt{27}\) (das Ergebnis ist etwa 5,196) wird, ausgehend von \(b = 5\), einmal verbessert
neue Schätzung
\(=\)
\((\)
aktuelle Schätzung (5)
\(+\)
27 ÷ 5 (= 5,4)
\()\)
\(\div\)
2
\((5 + 27 \div 5) \div 2 = (5 + 5{,}4) \div 2 = 5{,}2\)
\(5{,}2 \times 5{,}2 = 27{,}04 \approx 27\)
Der Kerngedanke
Ist die Schätzung \(b\) kleiner als die wahre Quadratwurzel, ist \(a \div b\) größer als sie, und umgekehrt. Die wahre Quadratwurzel liegt immer zwischen diesen beiden Zahlen, also springt man mit ihrem Mittelwert viel näher heran. Das ist der Trick hinter diesem Verfahren, das man Heron-Verfahren (babylonisches Wurzelziehen) nennt. Wiederholen Sie das Beispiel oben noch einmal, und Sie erhalten \((5{,}2 + 27 \div 5{,}2) \div 2 = 5{,}19615\ldots\), auf 5 Dezimalstellen genau.
Auch Computer und Taschenrechner finden Quadratwurzeln nach demselben Gedanken (Newton-Verfahren). Bei einer \(n\)-ten Wurzel spielt ein anderer Mittelwert, \(b' = \{(n-1) \times b + a \div b^{n-1}\} \div n\), dieselbe Rolle.
Eine n-te Wurzel ist „die Zahl, die mit der Potenz n den Wert a ergibt“. Sie ist die Umkehrung des Potenzierens. Zum Berechnen schreibt man sie im Grunde als „a hoch 1/n“ um. Wurzeln aus negativen Zahlen gibt es unter den reellen Zahlen nur, wenn der Wurzelexponent ungerade ist.
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(\sqrt{a}\) | Wurzel aus a | Die Quadratwurzel aus \(a\) (die Zahl von 0 oder mehr, deren Quadrat \(a\) ist). Üblicherweise lässt man die kleine 2 links oben am Wurzelzeichen weg. (Beispiel: \(\sqrt{27} \approx 5{,}196\)) |
| \(\sqrt[3]{a}\) | dritte Wurzel aus a | Die Zahl, die in die dritte Potenz gesetzt \(a\) ergibt. (Beispiel: \(\sqrt[3]{27} = 3\), \(\sqrt[3]{-8} = -2\)) |
| \(\sqrt[n]{a}\) | n-te Wurzel aus a | Die Zahl, die mit der Potenz \(n\) den Wert \(a\) ergibt. Das kleine \(n\) links oben am Wurzelzeichen ist der Wurzelexponent (welche Wurzel es ist). |
| \(a^{1/n}\) | a hoch 1 durch n | Derselbe Wert wie \(\sqrt[n]{a}\), als Exponent geschrieben. Taschenrechner und Programmiersprachen benutzen diese Form. |
| \(b'\) | b Strich | Die „neue Schätzung“ beim Verfahren von Hand mit Wiederholung. Der Strich zeigt, dass es das um einen Schritt verbesserte \(b\) ist. |
Begriffe
| Potenz | Dieselbe Zahl mehrfach mit sich selbst multiplizieren. In \(2^3 = 2 \times 2 \times 2 = 8\) sagt die kleine Zahl rechts oben (der Exponent), wie oft. |
| n-te Wurzel | Die Zahl, die mit der Potenz \(n\) den Wert \(a\) ergibt (\(\sqrt[n]{a}\)). Der Oberbegriff für Quadratwurzeln, Kubikwurzeln und höhere Wurzeln, und genau die Umkehrung des Potenzierens. |
| Quadratwurzel | Eine Zahl, deren Quadrat \(a\) ist. Eine positive Zahl hat zwei solche Zahlen, \(+\sqrt{a}\) und \(-\sqrt{a}\), und das Wurzelzeichen \(\sqrt{a}\) bedeutet die positive. Wird in Klasse 9 (14–15 Jahre) behandelt. |
| Kubikwurzel | Eine Zahl, die in die dritte Potenz gesetzt \(a\) ergibt (\(\sqrt[3]{a}\)). Sie kommt vor, wenn man die Kantenlänge eines Würfels aus seinem Volumen bestimmt. |
| Wurzelexponent | Die Zahl \(n\), die sagt, welche Wurzel es ist. Sie steht klein links oben am Wurzelzeichen. Der Wurzelexponent 2 ist die Quadratwurzel und 3 die Kubikwurzel. |
| Exponent | Die kleine Zahl rechts oben an einer Zahl, die sagt, wie oft multipliziert wird. Erlaubt man den Bruch \(\frac{1}{n}\) als Exponenten, lässt sich eine Wurzel als Potenz schreiben (\(a^{1/n}\)). |
| Radikand | Die Zahl unter dem Wurzelzeichen, \(a\) in \(\sqrt[n]{a}\). Auf dieser Seite heißt sie „die Zahl unter der Wurzel“. |
| Wurzelzeichen | Das Zeichen √ für eine Wurzel. Das Zeichen \(\sqrt{a}\) bedeutet immer die positive Wurzel, also ist \(\sqrt{9} = 3\), nicht \(-3\). |
| irrationale Zahl | Eine Zahl, die sich nicht als Bruch schreiben lässt, wie \(\sqrt{2} = 1{,}41421356\ldots\) (ihre Dezimalzahl geht endlos weiter, ohne sich zu wiederholen). Eine Wurzel, die nicht glatt aufgeht, ist eine irrationale Zahl. |
| Newton-Verfahren | Ein Verfahren, das sich der Lösung einer Gleichung immer weiter annähert, indem eine Schätzung mit einer Formel immer wieder verbessert wird. Es ist die Grundlage dafür, wie Computer schnell Quadratwurzeln und andere Wurzeln finden. |
Was Sie vorab wissen sollten
Hier steht, was Ihnen hilft, die Berechnung auf dieser Seite wirklich zu verstehen und nicht nur den Knopf zu drücken.
| Potenzen und Exponenten (Klasse 5–8, 10–14 Jahre) |
|
| Quadratwurzeln (Klasse 9, 14–15 Jahre) |
|
| Multiplizieren negativer Zahlen (Klasse 6–7, 11–13 Jahre) |
|
| Multiplizieren von Dezimalzahlen (Klasse 5, 10–11 Jahre) |
|
Mit Excel berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle für die Quadratwurzel (√a)
| Zahl unter der Wurzel a | 27 |
| Quadratwurzel √a | =WURZEL(B1) |
Tabelle für die Kubikwurzel
| Zahl unter der Wurzel a | 27 |
| Kubikwurzel | =B1^(1/3) |
Tabelle für die n-te Wurzel
| Wurzelexponent n (welche Wurzel) | 8 |
| Zahl unter der Wurzel a | 15 |
| n-te Wurzel | =B2^(1/B1) |
Die erste Tabelle zeigt in B2 die Quadratwurzel aus 27 (etwa 5,196), die zweite in B2 die Kubikwurzel aus 27 (3), und die dritte in B3 die 8. Wurzel aus 15 (etwa 1,403).
WURZEL ist eine Funktion nur für Quadratwurzeln. Für Kubikwurzeln und andere Wurzeln nutzen Sie „^(1/n)“ (die Potenz 1/n). „^“ ist das Zeichen für das Potenzieren.
Achtung: Ist die Zahl unter der Wurzel negativ, meldet Excel auch bei „^(1/3)“ einen Fehler (#ZAHL!). Für eine ungerade Wurzel aus einer negativen Zahl nehmen Sie zuerst das Vorzeichen weg, wie in „=-((-B1)^(1/3))“. (Excel wendet das Minuszeichen vor der Potenz an, also erhalten Sie den Fehler weiterhin, wenn Sie die äußeren Klammern weglassen.)
WURZEL ist eine Funktion nur für Quadratwurzeln. Für Kubikwurzeln und andere Wurzeln nutzen Sie „^(1/n)“ (die Potenz 1/n). „^“ ist das Zeichen für das Potenzieren.
Achtung: Ist die Zahl unter der Wurzel negativ, meldet Excel auch bei „^(1/3)“ einen Fehler (#ZAHL!). Für eine ungerade Wurzel aus einer negativen Zahl nehmen Sie zuerst das Vorzeichen weg, wie in „=-((-B1)^(1/3))“. (Excel wendet das Minuszeichen vor der Potenz an, also erhalten Sie den Fehler weiterhin, wenn Sie die äußeren Klammern weglassen.)
Mit Google Tabellen berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle für die Quadratwurzel (√a)
| Zahl unter der Wurzel a | 27 |
| Quadratwurzel √a | =WURZEL(B1) |
Tabelle für die Kubikwurzel
| Zahl unter der Wurzel a | 27 |
| Kubikwurzel | =B1^(1/3) |
Tabelle für die n-te Wurzel
| Wurzelexponent n (welche Wurzel) | 8 |
| Zahl unter der Wurzel a | 15 |
| n-te Wurzel | =B2^(1/B1) |
Die Formeln funktionieren wie in Excel (bei deutschen Spracheinstellungen von Google Tabellen). Kopieren Sie die gesamte Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Eingabezahlen durch Ihre eigenen.
Auch Google Tabellen meldet einen Fehler, wenn die Zahl unter der Wurzel negativ ist. Für eine ungerade Wurzel aus einer negativen Zahl nehmen Sie zuerst das Vorzeichen weg, wie in „=-((-B1)^(1/3))“. (Das Minuszeichen wird vor der Potenz angewendet, also erhalten Sie den Fehler weiterhin, wenn Sie die äußeren Klammern weglassen.)
Auch Google Tabellen meldet einen Fehler, wenn die Zahl unter der Wurzel negativ ist. Für eine ungerade Wurzel aus einer negativen Zahl nehmen Sie zuerst das Vorzeichen weg, wie in „=-((-B1)^(1/3))“. (Das Minuszeichen wird vor der Potenz angewendet, also erhalten Sie den Fehler weiterhin, wenn Sie die äußeren Klammern weglassen.)
Mit Python berechnen
number = 27 # Zahl unter der Wurzel, a
degree = 3 # welche Wurzel (Wurzelexponent n)
root = number ** (1 / degree) # n-te Wurzel = a hoch (1/n)
print(f"Wurzel (Exponent {degree}) aus {number}: {root}")
# Bei einer ungeraden Wurzel aus einer negativen Zahl zuerst das Vorzeichen wegnehmen
# (potenziert man eine negative Zahl direkt mit (1/3), liefert Python eine komplexe Zahl)
negative_number = -8
odd_degree = 3
negative_root = -((-negative_number) ** (1 / odd_degree))
print(f"Wurzel (Exponent {odd_degree}) aus {negative_number}: {negative_root}")
Der Code läuft nur mit der Standardbibliothek. „**“ ist das Zeichen für das Potenzieren, und die Potenz (1/n) ist die n-te Wurzel. Ändern Sie oben die Zahl und den Wurzelexponenten und führen Sie den Code aus. Bei einer ungeraden Wurzel aus einer negativen Zahl nehmen Sie wie im Beispiel zuerst das Vorzeichen weg.
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
Definition der \(n\)-ten Wurzel (die Zahl, die mit der Potenz \(n\) den Wert \(a\) ergibt)
ⁿ√a = b ⟺ bⁿ = a
\sqrt[n]{a} = b \iff b^{n} = a
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mroot><mi>a</mi><mi>n</mi></mroot>
<mo>=</mo>
<mi>b</mi>
<mo>⟺</mo>
<msup><mi>b</mi><mi>n</mi></msup>
<mo>=</mo>
<mi>a</mi>
</mrow>
</math>
root(n)(a) = b iff b^n = a
Surd[a, n]
b := root(a, n);
b = nthroot(a, n);
√(n&a) = b ⟺ b^n = a
Eine Wurzel als Exponent schreiben (\(\sqrt[n]{a} = a^{1/n}\))
ⁿ√a = a^(1/n)
\sqrt[n]{a} = a^{1/n}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mroot><mi>a</mi><mi>n</mi></mroot>
<mo>=</mo>
<msup>
<mi>a</mi>
<mrow><mn>1</mn><mo>/</mo><mi>n</mi></mrow>
</msup>
</mrow>
</math>
root(n)(a) = a^(1/n)
a^(1/n)
b := a^(1/n);
b = a^(1/n);
√(n&a) = a^(1/n)
Wurzeln aus negativen Zahlen (nur wenn der Wurzelexponent ungerade ist)
ⁿ√(−a) = −(ⁿ√a)
\sqrt[n]{-a} = -\sqrt[n]{a}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mroot>
<mrow><mo>−</mo><mi>a</mi></mrow>
<mi>n</mi>
</mroot>
<mo>=</mo>
<mo>−</mo>
<mroot><mi>a</mi><mi>n</mi></mroot>
</mrow>
</math>
root(n)(-a) = -root(n)(a)
Surd[-a, n]
b := surd(-a, n);
b = nthroot(-a, n);
√(n&−a) = −√(n&a)
Eine Quadratwurzel von Hand bestimmen (immer wieder den Mittelwert bilden)
b′ = (b + a ÷ b) ÷ 2
b' = \dfrac{1}{2}\left( b + \dfrac{a}{b} \right)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup><mi>b</mi><mo>′</mo></msup>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mi>b</mi>
<mo>+</mo>
<mfrac><mi>a</mi><mi>b</mi></mfrac>
</mrow>
<mn>2</mn>
</mfrac>
</mrow>
</math>
b' = (b + a/b)/2
(b + a/b)/2
bnew := (b + a/b)/2;
b_new = (b + a/b)/2;
b′ = (b + a/b)/2
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
Sie sind ein Rechenassistent für Zahlen. Führen Sie die folgende Berechnung durch, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ergebnis der Ausführung (antworten Sie nicht durch Kopfrechnen oder Raten). Bestimmen Sie jede der folgenden Wurzeln. 1. Die Quadratwurzel aus 27 2. Die Kubikwurzel aus 10 3. Die 8. Wurzel aus 15 4. Die Kubikwurzel aus −8 (bei einer ungeraden Wurzel aus einer negativen Zahl zuerst das Vorzeichen wegnehmen) Zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ergebnis der Ausführung.
Anleitung
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1Zahlen eingebenGeben Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
-
2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
-
3Ergebnis ablesenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
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