Geben Sie den Wurzelexponenten n und die Zahl a unter der Wurzel ein. Der Ausdruck darunter ist mit den Eingabefeldern verknüpft; Sie können den kleinen Wurzelexponenten oder die Zahl unter der Wurzel auch direkt darin ändern. Mit 2 erhalten Sie die Quadratwurzel (√a), mit 3 die Kubikwurzel (∛a).
Der Wurzelexponent n darf jede Zahl außer 0 sein (auch Dezimalzahlen wie 2,5 und negative Zahlen). Eine negative Zahl a unter der Wurzel ist nur möglich, wenn n eine positive ungerade Zahl ist (1, 3, 5, …).
Ergebnis
Geben Sie links den Wurzelexponenten und die Zahl ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Hier erscheint dann das Ergebnis.
Inhaltsverzeichnis
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Das können Sie auf dieser Seite
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Wofür braucht man diese Berechnung?
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Anleitung
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Formel
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Symbole und Begriffe
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Das sollten Sie vorher wissen
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So berechnen Sie es in Excel
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So berechnen Sie es in Google Tabellen
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So berechnen Sie es in Python
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So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
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So lassen Sie ChatGPT rechnen
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Die Vorteile von DataChef
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Verwandte Funktionen
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Alle Rechner von NumberChef
Das können Sie auf dieser Seite
- Sie geben nur den Wurzelexponenten \(n\) und den Radikanden \(a\) (die Zahl unter der Wurzel) ein. Quadratwurzeln wie \(\sqrt{27}\), Kubikwurzeln und jede \(n\)-te Wurzel berechnen Sie auf dieser einen Seite
- Mit dem Wurzelexponenten 2 erhalten Sie die Quadratwurzel (\(\sqrt{a}\)), mit 3 die Kubikwurzel (\(\sqrt[3]{a}\)). Auch Dezimalzahlen wie 2,5 und negative Wurzelexponenten sind möglich
- Ungerade Wurzeln aus negativen Zahlen wie \(\sqrt[3]{-8} = -2\) werden direkt berechnet
- Außerdem finden Sie hier eine leicht verständliche Erklärung und Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python
Die Gleichung \(x^2 = a\) hat für positives \(a\) zwei Lösungen, \(+\sqrt{a}\) und \(-\sqrt{a}\). Dieser Rechner zeigt den Wert der Wurzel, also den Hauptwert (die positive Zahl). Gerade Wurzeln aus negativen Zahlen (etwa die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl) gibt es bei den reellen Zahlen nicht, sie lassen sich daher nicht berechnen.
Wofür braucht man diese Berechnung?
Aus Fläche oder Volumen die Seitenlänge bestimmen (Haushalt und Heimwerken)
Soll ein quadratisches Beet 27 m² groß werden, ist jede Seite \(\sqrt{27} \approx 5{,}2\) m lang. Ein würfelförmiges Aquarium mit 64 Litern (\(64.000\) cm³) hat die Kantenlänge \(\sqrt[3]{64000} = 40\) cm.
Vom „Ergebnis einer Multiplikation“ zurück zur „ursprünglichen Länge“ führt immer eine Wurzel. Sie kommt bei Gartenplanung, Stauraum oder Aquarienkauf ins Spiel, also immer dann, wenn Fläche oder Volumen zuerst feststehen.
Die durchschnittliche jährliche Wachstumsrate bestimmen (Geld)
Hat sich ein Vermögen in 10 Jahren verdoppelt – um wie viel Prozent ist es pro Jahr gewachsen? Die Antwort ist eine 10. Wurzel: \(\sqrt[10]{2} \approx 1{,}0718\), also im Durchschnitt etwa 7,2 % pro Jahr.
Fondsberichte und das Umsatzwachstum von Unternehmen (CAGR, durchschnittliche jährliche Wachstumsrate) werden genau so berechnet, als „\(n\)-te Wurzel aus dem Wachstumsfaktor über \(n\) Jahre“. So prüfen Sie den Zinseszinseffekt selbst nach – direkt nützlich für Geldentscheidungen.
Warum DIN A4 und A3 dieselbe Form haben – dank \(\sqrt{2}\) (Gestaltung im Alltag)
Papier im A- und B-Format nach DIN 476 (heute ISO 216) hat das Seitenverhältnis \(1 : \sqrt{2}\) (etwa 1,414). Mit diesem Verhältnis bleibt die Form beim Halbieren genau gleich (A3 → A4 → A5 …), deshalb passen vergrößerte und verkleinerte Kopien genau.
Die Eigenschaft der Quadratwurzel „die Zahl, deren Quadrat 2 ist“ bestimmt hier die Maße eines ganz alltäglichen Gegenstands.
Die Klaviertastatur beruht auf der „12. Wurzel aus 2“ (Musik)
Ein Ton eine Oktave höher hat genau die doppelte Frequenz. Heutige Instrumente teilen die Oktave gleichmäßig in 12 Halbtöne, sodass jeder Halbton die Frequenz mit \(\sqrt[12]{2} \approx 1{,}0595\) multipliziert (gleichstufige Stimmung). Vom Kammerton a′ mit 440 Hz kommt man so einen Halbton höher zum b′ mit etwa 466,16 Hz.
Klavierstimmen und Klangdesign am Synthesizer beruhen auf dieser „12. Wurzel aus 2“. Auch ein Schritt der Transponierfunktion am Keyboard entspricht genau diesem Frequenzverhältnis.
Der letzte Schritt der Standardabweichung (Statistik und Qualitätskontrolle)
Die Standardabweichung, die man bei der Auswertung von Klassenarbeiten oder in der Qualitätskontrolle braucht, ist „die Quadratwurzel aus der Varianz (dem Mittelwert der quadrierten Abweichungen)“. Ist die Varianz 9 Punkte², beträgt die Standardabweichung \(\sqrt{9} = 3\) Punkte.
Die Wurzel bringt eine quadrierte Größe zurück in die ursprüngliche Einheit. Diese Rechnung läuft überall, wo Statistik im Spiel ist, von der Fehlerspanne bei Umfragen bis zur Toleranz eines Produkts.
Formel
Definition der \(n\)-ten Wurzel (die Zahl, die hoch \(n\) wieder \(a\) ergibt)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(b\)
\(n\)
\(=\)
\(a\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
①
\(b\): \(n\)-te Wurzel aus \(a\)
②
\(n\): Wurzelexponent
\(=\)
③
\(a\): Zahl unter der Wurzel
Die Formel in Worten
①
Multipliziert man
\(b\): \(n\)-te Wurzel aus \(a\)
②
\(n\): Wurzelexponent
-mal mit sich selbst,
③
erhält man genau wieder
\(a\): Zahl unter der Wurzel
Einfaches Beispiel
Die Kubikwurzel aus 27 ist 3. Die Probe „3 dreimal mit sich multipliziert ergibt wieder 27“
Kubikwurzel aus 27 (3)
Wurzelexponent (hoch 3)
\(=\)
Zahl unter der Wurzel (27)
\(3 \times 3 \times 3 = 27\)
Der Grundgedanke
„Die \(n\)-te Wurzel aus \(a\)“ ist die Zahl, die hoch \(n\) genommen \(a\) ergibt. Man schreibt \(\sqrt[n]{a}\). Wurzelziehen ist genau die Umkehrung des Potenzierens – merken Sie es sich als „Potenz rückwärts“.
Die kleine Zahl links oben am Wurzelzeichen ist der Wurzelexponent \(n\). Nur bei \(n = 2\) (der Quadratwurzel) lässt man ihn üblicherweise weg und schreibt \(\sqrt{a}\). Die Wurzel mit \(n = 3\), \(\sqrt[3]{a}\), heißt Kubikwurzel oder dritte Wurzel.
Wurzel als Potenz schreiben (\(\sqrt[n]{a} = a^{1/n}\))
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(\sqrt[n]{a}\)
\(=\)
\(a\)
\(1/n\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(\sqrt[n]{a}\): \(n\)-te Wurzel aus \(a\)
\(=\)
①
\(a\): Zahl unter der Wurzel
②
\(\frac{1}{n}\): Exponent
Die Formel in Worten
①
Man nimmt
\(a\): Zahl unter der Wurzel
②
hoch
\(\frac{1}{n}\): Exponent (1 durch \(n\))
③
und erhält
\(\sqrt[n]{a}\): \(n\)-te Wurzel aus \(a\)
Einfaches Beispiel
Schreibt man \(\sqrt{27}\) (die Quadratwurzel aus 27) als Potenz, ergibt sich
Quadratwurzel aus 27, \(\sqrt{27}\)
\(=\)
Zahl unter der Wurzel (27)
Exponent (1/2)
\(27^{1/2} = \sqrt{27} \approx 5{,}196\)
Der Grundgedanke
Taschenrechner, Excel und Programmiersprachen haben oft kein Wurzelzeichen; dort rechnet man in dieser Form „hoch \(\frac{1}{n}\)“ (zum Beispiel \(\sqrt[3]{10} = 10^{1/3}\)). Auch dieser Rechner verwendet intern diese Formel.
Dass man den Bruch \(\frac{1}{n}\) als Exponenten verwenden darf, folgt aus dem Potenzgesetz \((a^{1/n})^n = a^{n \cdot (1/n)} = a^1 = a\) – genau die Definition der \(n\)-ten Wurzel: hoch \(n\) genommen ergibt sie wieder \(a\). Der Wurzelexponent \(n\) muss nicht 2 oder 3 sein; auch Dezimalzahlen wie 2,5 und negative Zahlen ergeben als „hoch \(\frac{1}{n}\)“ einen Sinn (dann nur für \(a > 0\)).
Wurzeln aus negativen Zahlen (nur bei ungeradem Wurzelexponenten)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(\sqrt[n]{-a}\)
\(=\)
\(-\sqrt[n]{a}\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
②
\(\sqrt[n]{-a}\): \(n\)-te Wurzel aus der negativen Zahl \(-a\)
\(=\)
①
\(-\sqrt[n]{a}\): die Wurzel mit Minuszeichen
Die Formel in Worten
①
Ist der Wurzelexponent \(n\) ungerade, ist
\(-\sqrt[n]{a}\): die \(n\)-te Wurzel aus der positiven Zahl \(a\) mit Minuszeichen
gleich
②
\(\sqrt[n]{-a}\): \(n\)-te Wurzel aus der negativen Zahl \(-a\)
Einfaches Beispiel
Für die Kubikwurzel aus \(-8\) bestimmt man zuerst die Kubikwurzel aus \(8\), \(\sqrt[3]{8} = 2\), und setzt ein Minus davor
Kubikwurzel aus −8, \(\sqrt[3]{-8}\)
\(=\)
Kubikwurzel aus 8 (2) mit Minus
\(\sqrt[3]{-8} = -\sqrt[3]{8} = -2\)
\((-2) \times (-2) \times (-2) = -8\)
Der Grundgedanke
Eine negative Zahl, ungerade oft mit sich selbst multipliziert, bleibt negativ (zum Beispiel \((-2)^3 = -8\)). Deshalb gibt es auch aus negativen Zahlen ungerade Wurzeln.
Gerade oft multipliziert ist eine negative Zahl dagegen immer positiv (zum Beispiel \((-2)^2 = +4\)). Es gibt also keine reelle Zahl, deren Quadrat \(-4\) ist, und gerade Wurzeln aus negativen Zahlen (etwa die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl) lassen sich bei den reellen Zahlen nicht berechnen. Deshalb akzeptiert dieser Rechner eine negative Zahl unter der Wurzel nur bei ungeradem Wurzelexponenten. (Manche Schulbücher definieren Wurzeln nur für \(a \ge 0\) und schreiben dann \(-\sqrt[3]{8}\) statt \(\sqrt[3]{-8}\); der Wert ist derselbe.)
Quadratwurzel von Hand annähern (Heron-Verfahren)
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(b'\)
\(=\)
\((\)
\(b\)
\(+\)
\(a \div b\)
\()\)
\(\div\)
\(2\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
④
\(b'\): neuer Schätzwert
\(=\)
\((\)
①
\(b\): aktueller Schätzwert
\(+\)
②
\(a \div b\): Zahl unter der Wurzel durch aktuellen Schätzwert
\()\)
\(\div\)
③
2 (Mittelwert der beiden)
Die Formel in Worten
①
Man addiert
\(b\): aktueller Schätzwert
②
und
\(a \div b\): Zahl unter der Wurzel durch aktuellen Schätzwert
③
teilt durch
2 (Mittelwert der beiden)
④
und erhält
\(b'\): neuer Schätzwert
(je öfter man das wiederholt, desto näher kommt man der wahren Quadratwurzel)
Einfaches Beispiel
Verbessert man für \(\sqrt{27}\) (Ergebnis etwa 5,196) den Schätzwert \(b = 5\) einmal, ergibt sich
neuer Schätzwert
\(=\)
\((\)
aktueller Schätzwert (5)
\(+\)
27 : 5 (= 5,4)
\()\)
\(\div\)
2
\((5 + 27 \div 5) \div 2 = (5 + 5{,}4) \div 2 = 5{,}2\)
\(5{,}2 \times 5{,}2 = 27{,}04 \approx 27\)
Der Grundgedanke
Ist der Schätzwert \(b\) kleiner als die wahre Quadratwurzel, ist \(a : b\) größer als sie, und umgekehrt. Die wahre Wurzel liegt immer zwischen diesen beiden Zahlen, deshalb kommt man mit ihrem Mittelwert schnell sehr nahe heran – das ist der Trick des Verfahrens, das schon Heron von Alexandria kannte. Wiederholt man das Beispiel noch einmal, ergibt sich \((5{,}2 + 27 : 5{,}2) : 2 = 5{,}19615\ldots\), auf 5 Nachkommastellen genau.
Auch Computer und Taschenrechner bestimmen Wurzeln nach dieser Idee (Newton-Verfahren). Für die \(n\)-te Wurzel übernimmt ein anders gebildeter Mittelwert, \(b' = \{(n-1) \cdot b + a : b^{n-1}\} : n\), dieselbe Rolle.
Beim Wurzelziehen sucht man „die Zahl, die hoch n wieder a ergibt“ – die Umkehrung des Potenzierens. Gerechnet wird meist in der Form „a hoch 1/n“. Wurzeln aus negativen Zahlen gibt es bei den reellen Zahlen nur bei ungeradem Wurzelexponenten.
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(\sqrt{a}\) | Wurzel aus a | Die Quadratwurzel aus \(a\) (die Zahl ≥ 0, deren Quadrat \(a\) ist). Die kleine 2 links oben am Wurzelzeichen lässt man üblicherweise weg. (Beispiel: \(\sqrt{27} \approx 5{,}196\)) |
| \(\sqrt[3]{a}\) | dritte Wurzel aus a (Kubikwurzel) | Die Zahl, die hoch 3 genommen \(a\) ergibt. (Beispiel: \(\sqrt[3]{27} = 3\), \(\sqrt[3]{-8} = -2\)) |
| \(\sqrt[n]{a}\) | n-te Wurzel aus a | Die Zahl, die hoch \(n\) genommen \(a\) ergibt. Das kleine \(n\) links oben am Wurzelzeichen ist der Wurzelexponent. |
| \(a^{1/n}\) | a hoch 1 durch n | Derselbe Wert wie \(\sqrt[n]{a}\), als Potenz geschrieben. Taschenrechner und Programmiersprachen rechnen in dieser Form. |
| \(b'\) | b Strich | Der „neue Schätzwert“ beim Heron-Verfahren. Der Strich zeigt, dass es \(b\) ist, um einen Schritt verbessert. |
Begriffe
| Potenz | Das mehrfache Multiplizieren einer Zahl mit sich selbst. In \(2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8\) gibt die kleine Zahl rechts oben (der Exponent) an, wie oft. |
| Wurzel | Die Zahl, die hoch \(n\) genommen \(a\) ergibt (\(\sqrt[n]{a}\)), genauer \(n\)-te Wurzel. Der Oberbegriff für Quadratwurzeln, Kubikwurzeln und höhere Wurzeln – genau die Umkehrung der Potenz. |
| Quadratwurzel | Die Zahl ≥ 0, deren Quadrat \(a\) ist, geschrieben \(\sqrt{a}\). Die Gleichung \(x^2 = a\) hat für positives \(a\) zwei Lösungen, \(+\sqrt{a}\) und \(-\sqrt{a}\); das Wurzelzeichen meint nur die positive. Meist in Klasse 8 oder 9 (13–15 Jahre). |
| Kubikwurzel | Die Zahl, die hoch 3 genommen \(a\) ergibt (\(\sqrt[3]{a}\)), auch dritte Wurzel. Man braucht sie, um aus dem Volumen eines Würfels die Kantenlänge zu bestimmen. |
| Wurzelexponent | Die Zahl \(n\), die angibt, um welche Wurzel es geht. Sie steht klein links oben am Wurzelzeichen. Wurzelexponent 2 ist die Quadratwurzel, 3 die Kubikwurzel. |
| Exponent | Die kleine Zahl rechts oben, die angibt, wie oft multipliziert wird (Hochzahl). Erlaubt man den Bruch \(\frac{1}{n}\) als Exponenten, lässt sich eine Wurzel als Potenz schreiben (\(a^{1/n}\)). |
| Radikand | Die Zahl unter dem Wurzelzeichen, \(a\) in \(\sqrt[n]{a}\). Auf dieser Seite heißt sie „Zahl unter der Wurzel“. |
| Hauptwert | Die Quadratwurzel, die 0 oder positiv ist. Das Wurzelzeichen \(\sqrt{a}\) meint immer diesen Hauptwert, also \(\sqrt{9} = 3\), nicht \(-3\). |
| irrationale Zahl | Eine Zahl, die sich nicht als Bruch schreiben lässt, wie \(\sqrt{2} = 1{,}41421356\ldots\) (ihre Nachkommastellen gehen endlos weiter, ohne sich zu wiederholen). Eine Wurzel, die nicht glatt aufgeht, ist irrational. |
| Newton-Verfahren | Ein Rechenverfahren, das sich der Lösung einer Gleichung nähert, indem es einen Schätzwert mit einer Formel immer wieder verbessert. Darauf beruht, wie Computer Quadratwurzeln und andere Wurzeln schnell bestimmen; das Heron-Verfahren ist ein Spezialfall davon. |
Das sollten Sie vorher wissen
Damit Sie die Berechnung auf dieser Seite nicht nur per Knopfdruck, sondern mit Verständnis nutzen, ist hier zusammengestellt, was Sie vorher wissen sollten.
| Potenzen und Exponenten (ab Klasse 5, 10–11 Jahre) |
|
| Quadratwurzeln (Klasse 8–9, 13–15 Jahre) |
|
| Multiplizieren mit negativen Zahlen (Klasse 6–7, 11–13 Jahre) |
|
| Multiplizieren von Dezimalzahlen (Klasse 5–6, 10–12 Jahre) |
|
So berechnen Sie es in Excel
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle für die Quadratwurzel (√a)
| Zahl unter der Wurzel a | 27 |
| Quadratwurzel √a | =WURZEL(B1) |
Tabelle für die Kubikwurzel
| Zahl unter der Wurzel a | 27 |
| Kubikwurzel | =B1^(1/3) |
Tabelle für die n-te Wurzel
| Wurzelexponent n | 8 |
| Zahl unter der Wurzel a | 15 |
| n-te Wurzel | =B2^(1/B1) |
Die erste Tabelle zeigt in B2 die Quadratwurzel aus 27 (etwa 5,196), die zweite in B2 die Kubikwurzel aus 27 (3) und die dritte in B3 die 8. Wurzel aus 15 (etwa 1,403).
WURZEL ist eine Funktion nur für Quadratwurzeln. Für Kubikwurzeln und andere Wurzeln verwenden Sie „^(1/n)“ (hoch 1/n). „^“ ist das Zeichen fürs Potenzieren.
Achtung: Ist die Zahl unter der Wurzel negativ, meldet Excel auch bei „^(1/3)“ einen Fehler (#ZAHL!). Für eine ungerade Wurzel aus einer negativen Zahl nehmen Sie das Vorzeichen zuerst heraus, etwa „=-((-B1)^(1/3))“. (Excel wendet das Minuszeichen vor dem Potenzieren an; ohne die äußeren Klammern bleibt der Fehler.)
WURZEL ist eine Funktion nur für Quadratwurzeln. Für Kubikwurzeln und andere Wurzeln verwenden Sie „^(1/n)“ (hoch 1/n). „^“ ist das Zeichen fürs Potenzieren.
Achtung: Ist die Zahl unter der Wurzel negativ, meldet Excel auch bei „^(1/3)“ einen Fehler (#ZAHL!). Für eine ungerade Wurzel aus einer negativen Zahl nehmen Sie das Vorzeichen zuerst heraus, etwa „=-((-B1)^(1/3))“. (Excel wendet das Minuszeichen vor dem Potenzieren an; ohne die äußeren Klammern bleibt der Fehler.)
So berechnen Sie es in Google Tabellen
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle für die Quadratwurzel (√a)
| Zahl unter der Wurzel a | 27 |
| Quadratwurzel √a | =WURZEL(B1) |
Tabelle für die Kubikwurzel
| Zahl unter der Wurzel a | 27 |
| Kubikwurzel | =B1^(1/3) |
Tabelle für die n-te Wurzel
| Wurzelexponent n | 8 |
| Zahl unter der Wurzel a | 15 |
| n-te Wurzel | =B2^(1/B1) |
Die Formeln aus Excel funktionieren unverändert. Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Eingaben durch Ihre eigenen Zahlen.
Auch Google Tabellen meldet einen Fehler, wenn die Zahl unter der Wurzel negativ ist. Für eine ungerade Wurzel aus einer negativen Zahl nehmen Sie das Vorzeichen zuerst heraus, etwa „=-((-B1)^(1/3))“. (Das Minuszeichen wird vor dem Potenzieren angewendet; ohne die äußeren Klammern bleibt der Fehler.)
Auch Google Tabellen meldet einen Fehler, wenn die Zahl unter der Wurzel negativ ist. Für eine ungerade Wurzel aus einer negativen Zahl nehmen Sie das Vorzeichen zuerst heraus, etwa „=-((-B1)^(1/3))“. (Das Minuszeichen wird vor dem Potenzieren angewendet; ohne die äußeren Klammern bleibt der Fehler.)
So berechnen Sie es in Python
number = 27 # Zahl unter der Wurzel, a
degree = 3 # Wurzelexponent n
root = number ** (1 / degree) # n-te Wurzel = a hoch (1/n)
print(f"Wurzel (Wurzelexponent {degree}) aus {number}: {root}")
# Bei einer ungeraden Wurzel aus einer negativen Zahl zuerst das Vorzeichen herausnehmen
# (eine negative Zahl direkt hoch (1/3) liefert in Python eine komplexe Zahl)
negative_number = -8
odd_degree = 3
negative_root = -((-negative_number) ** (1 / odd_degree))
print(f"Wurzel (Wurzelexponent {odd_degree}) aus {negative_number}: {negative_root}")
Läuft nur mit der Standardbibliothek. „**“ ist das Zeichen fürs Potenzieren, und hoch (1/n) ist die n-te Wurzel. Ändern Sie die Zahl und den Wurzelexponenten am Anfang und führen Sie das Programm aus. Bei einer ungeraden Wurzel aus einer negativen Zahl nehmen Sie wie im Beispiel zuerst das Vorzeichen heraus. Python gibt Dezimalzahlen mit Punkt aus.
So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
Definition der \(n\)-ten Wurzel (die Zahl, die hoch \(n\) wieder \(a\) ergibt)
ⁿ√a = b ⟺ bⁿ = a
\sqrt[n]{a} = b \iff b^{n} = a
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mroot><mi>a</mi><mi>n</mi></mroot>
<mo>=</mo>
<mi>b</mi>
<mo>⟺</mo>
<msup><mi>b</mi><mi>n</mi></msup>
<mo>=</mo>
<mi>a</mi>
</mrow>
</math>
root(n)(a) = b iff b^n = a
Surd[a, n]
b := root(a, n);
b = nthroot(a, n);
√(n&a) = b ⟺ b^n = a
Wurzel als Potenz schreiben (\(\sqrt[n]{a} = a^{1/n}\))
ⁿ√a = a^(1/n)
\sqrt[n]{a} = a^{1/n}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mroot><mi>a</mi><mi>n</mi></mroot>
<mo>=</mo>
<msup>
<mi>a</mi>
<mrow><mn>1</mn><mo>/</mo><mi>n</mi></mrow>
</msup>
</mrow>
</math>
root(n)(a) = a^(1/n)
a^(1/n)
b := a^(1/n);
b = a^(1/n);
√(n&a) = a^(1/n)
Wurzeln aus negativen Zahlen (nur bei ungeradem Wurzelexponenten)
ⁿ√(−a) = −(ⁿ√a)
\sqrt[n]{-a} = -\sqrt[n]{a}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mroot>
<mrow><mo>−</mo><mi>a</mi></mrow>
<mi>n</mi>
</mroot>
<mo>=</mo>
<mo>−</mo>
<mroot><mi>a</mi><mi>n</mi></mroot>
</mrow>
</math>
root(n)(-a) = -root(n)(a)
Surd[-a, n]
b := surd(-a, n);
b = nthroot(-a, n);
√(n&−a) = −√(n&a)
Quadratwurzel von Hand annähern (Heron-Verfahren)
b′ = (b + a ÷ b) ÷ 2
b' = \dfrac{1}{2}\left( b + \dfrac{a}{b} \right)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup><mi>b</mi><mo>′</mo></msup>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mi>b</mi>
<mo>+</mo>
<mfrac><mi>a</mi><mi>b</mi></mfrac>
</mrow>
<mn>2</mn>
</mfrac>
</mrow>
</math>
b' = (b + a/b)/2
(b + a/b)/2
bnew := (b + a/b)/2;
b_new = (b + a/b)/2;
b′ = (b + a/b)/2
So lassen Sie ChatGPT rechnen
Sie sind ein Rechenassistent für Zahlen. Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (nicht im Kopf rechnen und nicht schätzen). Bestimmen Sie jeweils die folgenden Wurzeln. 1. Die Quadratwurzel aus 27 2. Die Kubikwurzel (dritte Wurzel) aus 10 3. Die 8. Wurzel aus 15 4. Die Kubikwurzel aus −8 (bei einer ungeraden Wurzel aus einer negativen Zahl zuerst das Vorzeichen herausnehmen) Zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis.
Anleitung
-
1Werte eingebenTragen Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
-
2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
-
3Ergebnis ansehenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
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