Geben Sie den Radius der Kugel ein. Angezeigt werden die Oberfläche (4 × π × Radius zum Quadrat) sowie die Umrechnung in m².
Geben Sie für den Radius eine Zahl ab 0 ein, ohne Einheit (bei einem Radius von 12 cm geben Sie „12“ ein). Kennen Sie nur den Durchmesser, geben Sie ihn durch 2 geteilt ein (das ist der Radius).
Ergebnis und Figur
Geben Sie im Feld links den Radius der Kugel ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis erscheint hier.
Inhaltsverzeichnis
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Was Sie auf dieser Seite tun können
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Wofür ist diese Berechnung nützlich?
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Anleitung
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Formeln und Abbildungen
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Symbole und Begriffe
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Was Sie vorab wissen sollten
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Mit Excel berechnen
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Mit Google Tabellen berechnen
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Mit Python berechnen
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Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
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Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
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Die Vorteile von DataChef
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Verwandte Funktionen
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Alle NumberChef-Rechner
Was Sie auf dieser Seite tun können
- Geben Sie den Radius der Kugel ein, und Sie sehen sofort ihre Oberfläche (Oberfläche = \(4 \times \pi \times\) Radius zum Quadrat)
- Die berechnete Kugel wird auch in 3D dargestellt (Sie können sie durch Ziehen drehen)
- Die Umrechnung der Oberfläche wird gleich mit angezeigt (in m² bei Eingabe in cm)
- Wenn Sie nur den Durchmesser kennen, erklärt die Seite verständlich, wie es geht (Radius = Durchmesser ÷ 2, \(S = \pi d^2\))
- Eine verständliche Erklärung der Formeln sowie Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python finden Sie ebenfalls auf dieser Seite
Geben Sie den Radius in einer einzigen Einheit ein (zum Beispiel in cm). Die Oberfläche steht in dieser Einheit hoch 2 (cm² bei Eingabe in cm, m² bei Eingabe in m). Das Volumen der Kugel (wie viel hineinpasst) behandelt eine eigene Seite, „Kugelvolumen berechnen“.
Wofür ist diese Berechnung nützlich?
Die Anstrichfläche eines kugelförmigen Tanks abschätzen (Industrie)
Große kugelförmige Gasbehälter werden in regelmäßigen Abständen komplett neu gestrichen. Die Farbmenge schätzt man aus der Fläche, die gestrichen werden muss, also der Oberfläche der Kugel. Bei einem Behälter mit 20 m Durchmesser ist \(S = \pi d^2 = \pi \times 20^2 \approx 1.257\,\mathrm{m^2}\). Bei einer Farbe, die 10 m² pro Liter deckt, braucht man etwa 126 L: Die Rechnung führt direkt zu den Materialkosten und zur Dauer der Arbeiten.
Ein echter Behälter hat auch Rohrleitungen und Gerüste, Sie gehen also von diesem Wert aus und planen bei der Bestellung einen Zuschlag ein.
Die Oberfläche der Erde und ihre „70 % Ozeane“ (Geografie und Astronomie)
Die Erde ist fast eine Kugel (genau genommen ein ganz leicht abgeplattetes Ellipsoid): Mit einem Radius von etwa 6.371 km ist \(4\pi \times 6.371^2 \approx 5{,}1 \times 10^8\,\mathrm{km^2}\), also etwa 510 Millionen km². Die Angabe aus Geografie- und Naturwissenschaftsbüchern, „etwa 510 Millionen km², davon rund 70 % Ozeane“, beruht auf dieser Rechnung und auf Messungen.
Für den Mond (Radius etwa 1.737 km) ergeben sich etwa 38 Millionen km², kaum \(\dfrac{1}{13}\) der Erdoberfläche.
Das Material für die Hülle eines Balls abschätzen (Sport und Fertigung)
Ein Fußball (Größe 5) hat etwa 22 cm Durchmesser, seine Hülle also einen Flächeninhalt von \(\pi \times 22^2 \approx 1.521\,\mathrm{cm^2}\). Ballhersteller teilen diese Fläche in Panels auf (32 beim klassischen Ball aus Fünf- und Sechsecken) und berechnen so die Menge an Leder oder Kunststoff.
Bevor Nahtzugaben und Verschnitt hinzukommen, liefert die Formel für die Oberfläche den theoretischen Ausgangswert.
Verstehen, warum kleine Körper schnell auskühlen (Biologie)
Betrachtet man den Körper eines Tieres näherungsweise als Kugel, dann sinkt bei halbiertem Radius das Volumen (ein Maß für das Gewicht) auf \(\dfrac{1}{8}\), die Oberfläche (die Haut, über die Wärme entweicht) aber nur auf \(\dfrac{1}{4}\). Je kleiner ein Körper ist, desto mehr Oberfläche hat er im Verhältnis zum Volumen, und desto schneller verliert er Wärme.
Dieses Verhältnis von Oberfläche zu Volumen erklärt, warum Tiere in kalten Regionen tendenziell größer sind (die Bergmann’sche Regel) und ein Baby schneller auskühlt als ein Erwachsener (natürlich ist ein echter Körper keine Kugel: Es ist ein Modell zum Nachdenken).
Wissen, warum Tropfen und Seifenblasen rund sind (Natur und Chemie)
Unter allen Formen, die dasselbe Volumen umschließen, hat die Kugel die kleinste Oberfläche: Das ist mathematisch bewiesen. Wassertropfen und Seifenblasen sind rund, weil die Oberflächenspannung ihre Oberfläche möglichst klein halten will.
Umgekehrt werden Milchpulver oder Instantkaffee, die sich schnell auflösen sollen, und das Eisenpulver in Einweg-Wärmekissen, das schnell reagieren soll, zu feinen Teilchen zerkleinert, um die Oberfläche im Verhältnis zum Volumen zu vergrößern. Mit der Flächenformel lassen sich solche Alltagsphänomene in Zahlen überprüfen.
Formeln und Abbildungen
Oberfläche der Kugel (aus dem Radius)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(S\)
\(=\)
\(4\)
\(\times\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(r\)
\(2\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
⑤
\(S\): Oberfläche der Kugel
\(=\)
④
\(4\): Konstante
\(\times\)
③
\(\pi\): Kreiszahl Pi
\(\times\)
①
\(r\): Radius
②
zum Quadrat (die Zahl mit sich selbst multipliziert)
Die Formel in Worten
①
Nehmen Sie den
\(r\): Radius
②
und nehmen Sie ihn
zum Quadrat (die Zahl mit sich selbst multipliziert)
③
Multiplizieren Sie mit der
\(\pi\): Kreiszahl Pi
④
und dann mit der
\(4\): Konstante
⑤
und Sie erhalten die
\(S\): Oberfläche der Kugel
Einfaches Beispiel
Die Oberfläche einer Kugel mit 3 cm Radius beträgt
\(S\): Oberfläche der Kugel
\(=\)
\(4\): Konstante
\(\times\)
\(\pi\): Kreiszahl Pi
\(\times\)
Radius (3 cm)
zum Quadrat
\(4 \times \pi \times 3^{2} = 4 \times \pi \times 9 = 36\pi\)
\(36\pi \approx 36 \times 3{,}14 = 113{,}04 \approx 113\,\mathrm{cm^2}\)
Der Kerngedanke
Warum multipliziert man mit \(4\pi\)? Die Antwort liefert eine Beziehung, die der griechische Mathematiker Archimedes entdeckt hat. Schneiden Sie die Kugel durch ihren Mittelpunkt in zwei Hälften: Die Schnittfläche ist ein Kreis (begrenzt von einem Großkreis) mit dem Flächeninhalt \(\pi r^2\), und die Oberfläche der Kugel ist genau das Vierfache davon (\(\pi r^2 \times 4 = 4\pi r^2\)). Stellen Sie sich vor, dass man die „Haut von 4 Schnittkreisen“ braucht, um die Kugel einzuwickeln: So lässt es sich gut merken.
Man verwechselt sie leicht mit dem Volumen \(\dfrac{4}{3}\pi r^3\) (hoch 3). Denken Sie zur Erinnerung an die Einheiten: Eine Fläche ist Länge × Länge, also zum Quadrat, ein Volumen ist Länge × Länge × Länge, also hoch 3.
Oberfläche der Kugel (aus dem Durchmesser)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Schreibweise)
\(S\)
\(=\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(d\)
\(2\)
In Worten
(die Symbole durch Wörter ersetzt)
④
\(S\): Oberfläche der Kugel
\(=\)
①
\(\pi\): Kreiszahl Pi
\(\times\)
②
\(d\): Durchmesser
③
zum Quadrat (die Zahl mit sich selbst multipliziert)
Die Formel in Worten
①
Nehmen Sie die
\(\pi\): Kreiszahl Pi
②
mal den
\(d\): Durchmesser
③
und zwar
zum Quadrat (die Zahl mit sich selbst multipliziert)
④
und Sie erhalten die
\(S\): Oberfläche der Kugel
Einfaches Beispiel
Die Oberfläche eines Balls mit 6 cm Durchmesser (3 cm Radius) beträgt
\(S\): Oberfläche der Kugel
\(=\)
\(\pi\): Kreiszahl Pi
\(\times\)
Durchmesser (6 cm)
zum Quadrat
\(\pi \times 6^{2} = \pi \times 36 = 36\pi\)
\(36\pi \approx 113\,\mathrm{cm^2}\)
Der Kerngedanke
Diese Formel entsteht, wenn man in Formel 1 den Radius durch den halben Durchmesser ersetzt (\(r = d \div 2\)): \(4\pi \times \dfrac{d^2}{4} = \pi d^2\). Sie ist praktisch bei einem Ball, dessen Durchmesser sich leicht messen lässt, der Radius aber nicht direkt.
Man kann sie auch so lesen: „Die Oberfläche der Kugel ist π-mal (etwa 3,14-mal) so groß wie der Flächeninhalt des Quadrats mit dem Durchmesser als Seitenlänge (\(d^2\))“. Das Beispiel mit 6 cm Durchmesser ergibt dasselbe Ergebnis (\(36\pi\)) wie das Beispiel mit 3 cm Radius in Formel 1: Beide Formeln beschreiben dieselbe Kugel. In der Schule lernt man Formel 1 (mit dem Radius), prägen Sie sich also zuerst diese ein.
Die Oberfläche einer Kugel erhalten Sie, indem Sie den Radius quadrieren und dann mit π und 4 multiplizieren: Das ist genau das Vierfache des Flächeninhalts des Schnittkreises (begrenzt von einem Großkreis). Kennen Sie nur den Durchmesser, teilen Sie ihn durch 2 oder verwenden Sie S = πd². Das Ergebnis steht in der Eingabeeinheit hoch 2 (bei cm also in cm²), und cm² durch 10.000 geteilt ergibt m².
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(S\) | S | Der hier verwendete Buchstabe für die Oberfläche (deutsche Schulbücher schreiben dafür meist \(O\)). Auf dieser Seite ist es die Oberfläche der Kugel. |
| \(r\) | r | Der Radius der Kugel, dessen Anfangsbuchstabe er ist. Er ist der Abstand vom Mittelpunkt zur Oberfläche. |
| \(d\) | d | Der Durchmesser der Kugel, dessen Anfangsbuchstabe er ist. Er ist die Länge an der breitesten Stelle, das Doppelte des Radius (\(d = 2r\)). |
| \(\pi\) | Pi | Die Kreiszahl, die Konstante, die angibt, wie oft der Durchmesser in den Umfang eines Kreises passt. Ihre Nachkommastellen hören nie auf (3,14159…). In der Schule rechnet man mit 3,14. |
| \(r^2\) | r Quadrat | Die Zahl \(r\) mit sich selbst multipliziert (\(r \times r\)). Die kleine 2 oben rechts ist ein Exponent und bedeutet „zweimal als Faktor“ (zum Beispiel \(3^2 = 3 \times 3 = 9\)). |
| \(\mathrm{cm^2}\) | Quadratzentimeter | Eine Einheit für den Flächeninhalt. Ein Quadrat mit 1 cm Seitenlänge hat einen Flächeninhalt von 1 cm². Nicht zu verwechseln mit cm³ (Kubikzentimeter), der Einheit für das Volumen. |
| \(\mathrm{m^2}\) | Quadratmeter | Eine Einheit für den Flächeninhalt. Ein Quadrat mit 1 m Seitenlänge hat einen Flächeninhalt von 1 m², und \(1\,\mathrm{m^2} = 10.000\,\mathrm{cm^2}\) (der Umrechnungsfaktor der Länge, 100, zum Quadrat). |
Begriffe
| Kugel | Der vollkommen runde Körper aus allen Punkten, die von einem Mittelpunkt gleich weit entfernt sind. Ball, Murmel, Seifenblase: Von jeder Seite gesehen sieht sie aus wie ein Kreis. |
| Radius | Der Abstand vom Mittelpunkt einer Kugel (oder eines Kreises) zu ihrer Oberfläche. Das ist der Wert, den Sie in diesen Rechner eingeben, die Hälfte des Durchmessers. |
| Durchmesser | Die Länge einer Strecke, die durch den Mittelpunkt einer Kugel (oder eines Kreises) von einem Rand zum anderen führt. Sie ist das Doppelte des Radius. Die Größe eines Balls wird oft durch den Durchmesser angegeben. |
| Oberfläche | Der Flächeninhalt der gesamten Außenfläche eines Körpers. Bei einer Kugel ist es die Größe ihrer „Haut“, wenn man sie ausbreiten könnte. Sie ist eine andere Größe als das Volumen, das angibt, was in den Körper hineinpasst. |
| Großkreis | Der größte Kreis, den man erhält, wenn man eine Kugel mit einer Ebene durch ihren Mittelpunkt schneidet. Sein Radius ist der der Kugel, und die Kreisfläche hat den Flächeninhalt \(\pi r^2\). Die Oberfläche der Kugel ist genau das Vierfache davon. |
| Kreiszahl | Die Zahl, die angibt, wie oft der Durchmesser eines Kreises in seinen Umfang passt (etwa 3,14), geschrieben \(\pi\) (Pi). Sie taucht nicht nur beim Kreis auf, sondern auch in den Formeln für die Oberfläche und das Volumen der Kugel. |
| Potenz | Die Rechnung, bei der man dieselbe Zahl mehrmals mit sich selbst multipliziert. In \(3^2\) gibt die kleine Zahl oben rechts (der Exponent) an, wie oft multipliziert wird. In den Flächenformeln steckt die zweite Potenz, weil sich eine Fläche in 2 Richtungen ausdehnt: Länge und Breite. |
Was Sie vorab wissen sollten
Das hilft Ihnen, die Berechnung auf dieser Seite wirklich zu verstehen, statt nur die Schaltfläche zu drücken.
| Der Kreis und die Kreiszahl π – Klasse 7 (12–13 Jahre) |
|
| Der Flächeninhalt des Kreises – Klasse 7 (12–13 Jahre) |
|
| Der Flächeninhalt und seine Einheiten – Klasse 4–6 (9–12 Jahre) |
|
| Potenzen – Klasse 8–9 (13–15 Jahre) |
|
| Die Kugel und die Formel für ihre Oberfläche – Klasse 10 (15–16 Jahre) |
|
Mit Excel berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle zur Berechnung der Oberfläche einer Kugel aus dem Radius
| Radius der Kugel r (cm) | 5 |
| Oberfläche der Kugel (cm²) | =4*PI()*B1^2 |
Tabelle zur Berechnung der Oberfläche einer Kugel aus dem Durchmesser
| Durchmesser der Kugel d (cm) | 10 |
| Oberfläche der Kugel (cm²) | =PI()*B1^2 |
Tabelle zur Umrechnung von cm² in m²
| Oberfläche in cm² | 314,16 |
| Oberfläche in m² | =B1/10000 |
Nach dem Einfügen enthält Spalte A die Bezeichnungen und Spalte B die Zahlen. Die obere Zeile ist Ihre Eingabe, und die Formel in der letzten Zeile rechnet daraus automatisch.
„PI()“ ist die Excel-Funktion, die die Kreiszahl π (3,14159…) liefert, „*“ ist die Multiplikation, „/“ die Division und „^“ die Potenz (wie oft multipliziert wird). „=4*PI()*B1^2“ bedeutet „4 × π × B1 zum Quadrat“.
In der ersten Tabelle zeigt B2 zum Beispiel etwa 314,16 (in cm² bei einem Radius von 5 cm). Die zweite Tabelle betrifft dieselbe Kugel (10 cm Durchmesser) und zeigt deshalb ebenfalls etwa 314,16, die dritte zeigt in B2 den Wert 0,031416 (etwa 0,03 m²). Ersetzen Sie einfach die eingegebene Zahl durch Ihren eigenen Wert.
„PI()“ ist die Excel-Funktion, die die Kreiszahl π (3,14159…) liefert, „*“ ist die Multiplikation, „/“ die Division und „^“ die Potenz (wie oft multipliziert wird). „=4*PI()*B1^2“ bedeutet „4 × π × B1 zum Quadrat“.
In der ersten Tabelle zeigt B2 zum Beispiel etwa 314,16 (in cm² bei einem Radius von 5 cm). Die zweite Tabelle betrifft dieselbe Kugel (10 cm Durchmesser) und zeigt deshalb ebenfalls etwa 314,16, die dritte zeigt in B2 den Wert 0,031416 (etwa 0,03 m²). Ersetzen Sie einfach die eingegebene Zahl durch Ihren eigenen Wert.
Mit Google Tabellen berechnen
Kopieren Sie die gesamte Tabelle unten und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein. Sie funktioniert unverändert.
Tabelle zur Berechnung der Oberfläche einer Kugel aus dem Radius
| Radius der Kugel r (cm) | 5 |
| Oberfläche der Kugel (cm²) | =4*PI()*B1^2 |
Tabelle zur Berechnung der Oberfläche einer Kugel aus dem Durchmesser
| Durchmesser der Kugel d (cm) | 10 |
| Oberfläche der Kugel (cm²) | =PI()*B1^2 |
Tabelle zur Umrechnung von cm² in m²
| Oberfläche in cm² | 314,16 |
| Oberfläche in m² | =B1/10000 |
Dieselben Formeln wie in Excel (einschließlich der Funktion PI()) funktionieren unverändert. Kopieren Sie die gesamte Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die eingegebene Zahl durch Ihren eigenen Wert.
Mit Python berechnen
import math
radius = 5 # Radius der Kugel (in diesem Beispiel in cm)
surface_area = 4 * math.pi * radius ** 2 # Oberfläche der Kugel (Eingabeeinheit hoch 2; hier in cm2)
surface_area_m2 = surface_area / 10000 # bei Eingabe in cm: die Fläche in m2
print(f"Oberfläche der Kugel: {surface_area} cm2")
print(f"In m2: {surface_area_m2} m2")
Läuft nur mit der Standardbibliothek. „math.pi“ ist die Kreiszahl π, „**“ die Potenz (hier zum Quadrat), „*“ die Multiplikation und „/“ die Division. Ändern Sie am Anfang den Wert für den Radius und führen Sie den Code aus (das Beispiel rechnet in cm).
Die Formel in LaTeX und anderen mathematischen Schreibweisen (zum Kopieren)
Oberfläche der Kugel (aus dem Radius)
S = 4πr²
S = 4\pi r^{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>S</mi>
<mo>=</mo>
<mn>4</mn>
<mi>π</mi>
<msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</math>
S = 4 pi r^2
4*Pi*r^2
S := 4*Pi*r^2;
S = 4*pi*r^2;
S = 4πr^2
Oberfläche der Kugel (aus dem Durchmesser)
S = πd²
S = \pi d^{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>S</mi>
<mo>=</mo>
<mi>π</mi>
<msup><mi>d</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</math>
S = pi d^2
Pi*d^2
S := Pi*d^2;
S = pi*d^2;
S = πd^2
Die Berechnung von ChatGPT ausführen lassen
Sie sind ein Assistent für mathematische Berechnungen. Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort ausschließlich auf die Zahlen aus dem Ergebnis der Ausführung (antworten Sie nicht im Kopf oder nach Gefühl). Eine Kugel hat einen Radius von 5 cm. Berechnen Sie: 1. die Oberfläche dieser Kugel in cm² (S = 4 × π × r²) 2. diese Fläche umgerechnet in m² Zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ergebnis der Ausführung.
Anleitung
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1Zahlen eingebenGeben Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
-
2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
-
3Ergebnis ablesenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
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Die Datei wird nach dem Download automatisch gelöscht
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Keine Wasserzeichen
Kein Wasserzeichen
Keine Quellenangabe nötig
Keine Quellenangabe nötig
Kommerzielle Nutzung möglich
Kostenlos auch für die kommerzielle Nutzung
Keine vorherige Genehmigung erforderlich
Keine vorherige Genehmigung erforderlich
Verwandte Funktionen
Kugelvolumen berechnen (V = 4/3 × π × r³)
Berechnet, wie viel in dieselbe Kugel hineinpasst, also das Volumen. Am besten merken Sie sich beide Formeln zusammen
Kreisrechner (Radius, Durchmesser, Umfang und Flächeninhalt)
Berechnet Radius, Durchmesser, Umfang und Flächeninhalt des Kreises auf einmal, der Schnittfläche einer Kugel
Wurzel berechnen (Quadratwurzel, Kubikwurzel, n-te Wurzel)
Berechnet die Quadratwurzel, mit der Sie aus der Oberfläche den Radius zurückrechnen
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