Geben Sie den Radius der Kugel ein. Angezeigt werden die Oberfläche (4 × π × Radius hoch 2) und die Umrechnung in m².
Geben Sie nur eine Zahl ab 0 ohne Einheit ein (bei einem Radius von 12 cm also „12“). Kennen Sie nur den Durchmesser, teilen Sie ihn durch 2 und geben Sie das Ergebnis (den Radius) ein.
Ergebnis und Figur
Geben Sie links den Radius der Kugel ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Das Ergebnis erscheint dann hier.
Inhaltsverzeichnis
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Das können Sie auf dieser Seite
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Wofür braucht man diese Berechnung?
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Anleitung
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Formeln und Abbildungen
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Symbole und Begriffe
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Das sollten Sie vorher wissen
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So berechnen Sie es in Excel
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So berechnen Sie es in Google Tabellen
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So berechnen Sie es in Python
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So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
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So lassen Sie ChatGPT rechnen
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Die Vorteile von DataChef
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Verwandte Funktionen
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Das können Sie auf dieser Seite
- Radius eingeben – und Sie kennen sofort die Oberfläche der Kugel (Oberfläche = \(4 \times \pi \times\) Radius hoch 2)
- Die Kugel erscheint auch als 3D-Modell, das Sie mit der Maus drehen können
- Bei Eingabe in cm sehen Sie die Oberfläche gleich auch in m²
- Auch erklärt: So rechnen Sie, wenn Sie nur den Durchmesser kennen (Radius = Durchmesser : 2 oder \(S = \pi d^2\))
- Dazu: verständliche Erklärung der Formeln und Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python
Geben Sie den Radius in einer einzigen Einheit ein (z. B. in cm). Die Oberfläche steht dann in dieser Einheit hoch 2 (bei cm in cm², bei m in m²). Das Volumen der Kugel (ihren Rauminhalt) berechnen Sie auf einer eigenen Seite.
Wofür braucht man diese Berechnung?
Die Anstrichfläche eines Kugelbehälters abschätzen (Industrie und Infrastruktur)
Kugelförmige Gasbehälter bekommen regelmäßig einen neuen Anstrich. Wie viel Farbe nötig ist, hängt von der zu streichenden Fläche ab – der Oberfläche der Kugel. Bei 20 m Durchmesser sind es \(S = \pi d^2 = \pi \times 20^2 \approx 1257\,\mathrm{m^2}\). Reicht 1 Liter Farbe für 10 m², braucht man rund 126 Liter – so lassen sich Materialkosten und Arbeitszeit planen.
Echte Behälter haben zusätzlich Rohre und Gerüste. Dieser Wert ist daher die Grundlage, auf die man bei der Bestellung einen Zuschlag rechnet.
Die Oberfläche der Erde und den Meeresanteil von rund 70 % nachrechnen (Erdkunde und Astronomie)
Die Erde ist fast eine Kugel (genau genommen ein leicht abgeplattetes Rotationsellipsoid). Mit einem Radius von etwa 6.371 km ergibt sich \(4\pi \times 6371^2 \approx 5{,}1 \times 10^8\,\mathrm{km^2}\), also rund 510 Millionen km². Die Angabe aus dem Erdkundebuch „Oberfläche der Erde rund 510 Millionen km², davon etwa 70 % Meer“ beruht auf dieser Rechnung und auf Messungen.
Für den Mond (Radius etwa 1.737 km) ergeben sich rund 38 Millionen km² – nur etwa \(\dfrac{1}{13}\) der Oberfläche der Erde.
Material für die Hülle eines Balls abschätzen (Sport und Herstellung)
Ein Fußball der Größe 5 hat etwa 22 cm Durchmesser, seine Hülle also eine Fläche von \(\pi \times 22^2 \approx 1521\,\mathrm{cm^2}\). Hersteller teilen diese Oberfläche in Paneele auf (beim klassischen Ball aus Fünf- und Sechsecken sind es 32) und berechnen daraus, wie viel Leder oder Kunstleder zugeschnitten werden muss.
Bevor Nahtzugaben und Verschnitt dazukommen, ist die Oberflächenformel der Ausgangspunkt für diesen „theoretischen Wert“.
Körpergröße und Auskühlen verstehen (Biologie)
Betrachtet man einen Tierkörper grob als Kugel, wird bei halbem Radius das Volumen (ein Maß für das Körpergewicht) zu \(\dfrac{1}{8}\), die Oberfläche (die Haut, über die Wärme verloren geht) aber nur zu \(\dfrac{1}{4}\). Kleine Körper haben also im Verhältnis zu ihrem Volumen mehr Oberfläche und verlieren schneller Wärme.
Dass Tiere in kalten Gegenden tendenziell größer sind (Bergmannsche Regel) oder dass Babys schneller auskühlen als Erwachsene, erklärt man mit diesem Verhältnis von Oberfläche zu Volumen. Echte Körper sind natürlich keine Kugeln – es ist ein Denkmodell.
Verstehen, warum Tropfen und Seifenblasen rund sind (Natur und Chemie)
Unter allen Formen mit gleichem Volumen hat die Kugel nachweislich die kleinste Oberfläche. Wassertropfen und Seifenblasen werden rund, weil die Oberflächenspannung die Oberfläche so klein wie möglich machen will.
Umgekehrt macht man Stoffe, die sich schnell lösen sollen (Milchpulver, Instantkaffee) oder schnell reagieren sollen (das Eisenpulver in Einweg-Handwärmern), zu feinen Körnchen: So steigt die Oberfläche im Verhältnis zum Volumen. Mit der Oberflächenformel lassen sich solche Alltagsphänomene in Zahlen fassen.
Formeln und Abbildungen
Oberfläche einer Kugel (aus dem Radius)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(S\)
\(=\)
\(4\)
\(\times\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(r\)
\(2\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
⑤
\(S\): Oberfläche der Kugel
\(=\)
④
\(4\): Konstante
\(\times\)
③
\(\pi\): Kreiszahl
\(\times\)
①
\(r\): Radius
②
hoch 2 (zweimal mit sich selbst malnehmen)
Die Formel in Worten
①
Nimmt man den
\(r\): Radius
②
hoch 2 (zweimal mit sich selbst malnehmen)
③
, multipliziert mit der
\(\pi\): Kreiszahl
④
und mit der
\(4\): Konstante
⑤
, erhält man die
\(S\): Oberfläche der Kugel
Einfaches Beispiel
Eine Kugel mit 3 cm Radius hat die Oberfläche
\(S\): Oberfläche der Kugel
\(=\)
\(4\): Konstante
\(\times\)
\(\pi\): Kreiszahl
\(\times\)
Radius (3 cm)
hoch 2
\(4 \times \pi \times 3^{2} = 4 \times \pi \times 9 = 36\pi\)
\(36\pi \approx 36 \times 3{,}14 = 113{,}04 \approx 113\,\mathrm{cm^2}\)
Der Grundgedanke
Warum gerade \(4\pi\)? Auch das hat schon der griechische Mathematiker Archimedes herausgefunden. Schneidet man die Kugel genau durch den Mittelpunkt, ist die Schnittfläche ein Kreis, der Großkreis, mit dem Flächeninhalt \(\pi r^2\). Die Oberfläche der Kugel ist genau viermal so groß (\(\pi r^2 \times 4 = 4\pi r^2\)). Gut merken lässt sich das Bild: Mit der Fläche von vier Schnittkreisen kann man die Kugel genau einpacken.
Laut gelesen heißt die Formel „vier Pi r Quadrat“. Leicht verwechselt man sie mit dem Volumen \(\dfrac{4}{3}\pi r^3\). Denken Sie an die Einheiten: Eine Fläche ist Länge mal Länge, also hoch 2; ein Volumen ist Länge mal Länge mal Länge, also hoch 3.
Oberfläche einer Kugel (aus dem Durchmesser)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(S\)
\(=\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(d\)
\(2\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
④
\(S\): Oberfläche der Kugel
\(=\)
①
\(\pi\): Kreiszahl
\(\times\)
②
\(d\): Durchmesser
③
hoch 2 (zweimal mit sich selbst malnehmen)
Die Formel in Worten
①
Multipliziert man die
\(\pi\): Kreiszahl
②
mit dem
\(d\): Durchmesser
③
hoch 2 (zweimal mit sich selbst malnehmen)
④
, erhält man die
\(S\): Oberfläche der Kugel
Einfaches Beispiel
Ein Ball mit 6 cm Durchmesser (Radius 3 cm) hat die Oberfläche
\(S\): Oberfläche der Kugel
\(=\)
\(\pi\): Kreiszahl
\(\times\)
Durchmesser (6 cm)
hoch 2
\(\pi \times 6^{2} = \pi \times 36 = 36\pi\)
\(36\pi \approx 113\,\mathrm{cm^2}\)
Der Grundgedanke
Diese Formel entsteht, wenn man in Formel 1 „Radius = halber Durchmesser“ (\(r = d \div 2\)) einsetzt und vereinfacht: \(4\pi \times \dfrac{d^2}{4} = \pi d^2\). Praktisch ist sie bei Bällen und Kugeln, deren Durchmesser man messen kann, den Radius aber nicht direkt.
Man kann sie auch so lesen: Die Oberfläche der Kugel ist \(\pi\)-mal (rund 3,14-mal) so groß wie ein Quadrat mit dem Durchmesser als Seite (\(d^2\)). Das Beispiel mit 6 cm Durchmesser ergibt dasselbe wie das Beispiel mit 3 cm Radius in Formel 1 (\(36\pi\)) – beide Formeln beschreiben also dieselbe Kugel. In der Schule lernt man Formel 1 mit dem Radius, prägen Sie sich also zuerst diese ein.
Die Oberfläche einer Kugel berechnen Sie, indem Sie den Radius hoch 2 nehmen und mit der Kreiszahl π und mit 4 multiplizieren. Das ist genau das Vierfache der Fläche des Schnittkreises (Großkreis). Kennen Sie nur den Durchmesser, teilen Sie ihn durch 2 oder nehmen Sie S = πd². Das Ergebnis steht in der Eingabeeinheit hoch 2 (bei cm in cm²), und cm² geteilt durch 10.000 ergibt m².
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(S\) | S | Steht hier für die Oberfläche der Kugel (englisch surface). In deutschen Schulbüchern heißt die Oberfläche meist \(O\) – gemeint ist dasselbe, also \(O = 4\pi r^2\). |
| \(r\) | r | Der Radius der Kugel, also der Abstand vom Mittelpunkt bis zur Oberfläche. |
| \(d\) | d | Der Durchmesser der Kugel (von griechisch diámetros). Er misst die Kugel an der dicksten Stelle quer durch den Mittelpunkt und ist doppelt so lang wie der Radius (\(d = 2r\)). |
| \(\pi\) | Pi | Die Kreiszahl. Sie gibt an, wie oft der Durchmesser in den Kreisumfang passt, und geht als 3,14159… endlos weiter. In der Schule rechnet man oft mit 3,14. |
| \(r^2\) | r Quadrat (r hoch 2) | Die Zahl \(r\) mit sich selbst multipliziert (\(r \times r\)). Die kleine 2 oben rechts ist der Exponent und bedeutet „zweimal als Faktor“ (Beispiel: \(3^2 = 3 \times 3 = 9\)). |
| \(\mathrm{cm^2}\) | Quadratzentimeter | Eine Flächeneinheit. Ein Quadrat mit 1 cm Seitenlänge hat den Flächeninhalt 1 cm². Nicht zu verwechseln mit cm³ (Kubikzentimeter), der Einheit für Volumen. |
| \(\mathrm{m^2}\) | Quadratmeter | Eine Flächeneinheit. Ein Quadrat mit 1 m Seitenlänge hat den Flächeninhalt 1 m². Es gilt \(1\,\mathrm{m^2} = 10000\,\mathrm{cm^2}\) (der Längenfaktor 100 hoch 2). |
Begriffe
| Kugel | Ein vollkommen runder Körper aus allen Punkten, die vom Mittelpunkt gleich weit entfernt sind. Bälle, Murmeln und Seifenblasen sind Kugeln – von jeder Seite sieht man einen Kreis. |
| Radius | Der Abstand vom Mittelpunkt einer Kugel (oder eines Kreises) bis zum Rand. Diesen Wert geben Sie im Rechner ein. Er ist halb so groß wie der Durchmesser. |
| Durchmesser | Die Länge einer Strecke, die durch den Mittelpunkt einer Kugel (oder eines Kreises) von Rand zu Rand geht. Er ist doppelt so groß wie der Radius. Bälle werden meist mit ihrem Durchmesser angegeben. |
| Oberfläche | Der Flächeninhalt der gesamten Außenhaut eines Körpers (genau genommen Oberflächeninhalt). Bei einer Kugel ist es die Fläche der „Schale“, wenn man sie ganz ausbreiten könnte. Sie ist etwas anderes als das Volumen, das den Inhalt misst. |
| Großkreis | Der größte Kreis, der entsteht, wenn man eine Kugel durch ihren Mittelpunkt schneidet. Sein Radius ist der Kugelradius, sein Flächeninhalt \(\pi r^2\). Die Oberfläche der Kugel ist genau viermal so groß. |
| Kreiszahl | Die Zahl, die angibt, wie oft der Durchmesser in den Kreisumfang passt (etwa 3,14), geschrieben \(\pi\) (Pi). Sie steckt nicht nur in Kreisformeln, sondern auch in den Formeln für Oberfläche und Volumen einer Kugel. |
| Potenz | Eine Zahl mehrmals mit sich selbst malnehmen. Die kleine Zahl oben rechts (der Exponent) wie in \(3^2\) gibt an, wie oft. In Flächenformeln steht „hoch 2“, weil sich eine Fläche in zwei Richtungen ausdehnt: Länge und Breite. |
Das sollten Sie vorher wissen
Damit Sie die Berechnung auf dieser Seite nicht nur ausführen, sondern auch verstehen, hilft Ihnen dieses Vorwissen.
| Kreis und Kreiszahl π (Klasse 8, 13–14 Jahre) |
|
| Fläche des Kreises (Klasse 8, 13–14 Jahre) |
|
| Flächeninhalt und Flächeneinheiten (Klasse 4–5, 9–11 Jahre) |
|
| Potenzen (Klasse 5–6, 10–12 Jahre) |
|
| Die Kugel und ihre Oberflächenformel (Klasse 9–10, 14–16 Jahre) |
|
So berechnen Sie es in Excel
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle für die Oberfläche einer Kugel aus dem Radius
| Radius r (cm) | 5 |
| Oberfläche der Kugel (cm²) | =4*PI()*B1^2 |
Tabelle für die Oberfläche einer Kugel aus dem Durchmesser
| Durchmesser d (cm) | 10 |
| Oberfläche der Kugel (cm²) | =PI()*B1^2 |
Tabelle für die Umrechnung von cm² in m²
| Oberfläche in cm² | 314,16 |
| Oberfläche in m² | =B1/10000 |
Nach dem Einfügen stehen in Spalte A die Bezeichnungen und in Spalte B die Zahlen. Die obere Zeile ist die Eingabe, die Formel in der letzten Zeile rechnet damit automatisch.
„PI()“ ist die Excel-Funktion für die Kreiszahl π (3,14159…), „*“ steht für Malnehmen, „/“ für Teilen und „^“ für Potenzieren (wie oft multipliziert wird). „=4*PI()*B1^2“ bedeutet also „4 × π × B1 hoch 2“.
In der ersten Tabelle erscheint in B2 zum Beispiel etwa 314,16 (in cm² bei 5 cm Radius). Die zweite Tabelle beschreibt dieselbe Kugel (10 cm Durchmesser) und zeigt ebenfalls etwa 314,16, die dritte zeigt in B2 0,031416 (rund 0,03 m²). Ersetzen Sie einfach die Eingaben durch Ihre eigenen Werte.
„PI()“ ist die Excel-Funktion für die Kreiszahl π (3,14159…), „*“ steht für Malnehmen, „/“ für Teilen und „^“ für Potenzieren (wie oft multipliziert wird). „=4*PI()*B1^2“ bedeutet also „4 × π × B1 hoch 2“.
In der ersten Tabelle erscheint in B2 zum Beispiel etwa 314,16 (in cm² bei 5 cm Radius). Die zweite Tabelle beschreibt dieselbe Kugel (10 cm Durchmesser) und zeigt ebenfalls etwa 314,16, die dritte zeigt in B2 0,031416 (rund 0,03 m²). Ersetzen Sie einfach die Eingaben durch Ihre eigenen Werte.
So berechnen Sie es in Google Tabellen
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle für die Oberfläche einer Kugel aus dem Radius
| Radius r (cm) | 5 |
| Oberfläche der Kugel (cm²) | =4*PI()*B1^2 |
Tabelle für die Oberfläche einer Kugel aus dem Durchmesser
| Durchmesser d (cm) | 10 |
| Oberfläche der Kugel (cm²) | =PI()*B1^2 |
Tabelle für die Umrechnung von cm² in m²
| Oberfläche in cm² | 314,16 |
| Oberfläche in m² | =B1/10000 |
Dieselben Formeln wie in Excel (auch die Funktion PI()) funktionieren unverändert. Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Eingaben durch Ihre eigenen Werte.
So berechnen Sie es in Python
import math
radius = 5 # Radius der Kugel (in diesem Beispiel in cm)
surface_area = 4 * math.pi * radius ** 2 # Oberfläche der Kugel (Eingabeeinheit hoch 2, hier cm2)
surface_area_m2 = surface_area / 10000 # bei Eingabe in cm: Oberfläche in m2
print(f"Oberfläche der Kugel: {surface_area} cm2")
print(f"Umgerechnet in m2: {surface_area_m2} m2")
Läuft nur mit der Standardbibliothek. „math.pi“ ist die Kreiszahl π, „**“ steht für Potenzieren (hier hoch 2), „*“ für Malnehmen und „/“ für Teilen. Ersetzen Sie oben den Radius durch Ihren Wert und führen Sie den Code aus (das Beispiel rechnet in cm).
So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
Oberfläche einer Kugel (aus dem Radius)
S = 4πr²
S = 4\pi r^{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>S</mi>
<mo>=</mo>
<mn>4</mn>
<mi>π</mi>
<msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</math>
S = 4 pi r^2
4*Pi*r^2
S := 4*Pi*r^2;
S = 4*pi*r^2;
S = 4πr^2
Oberfläche einer Kugel (aus dem Durchmesser)
S = πd²
S = \pi d^{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>S</mi>
<mo>=</mo>
<mi>π</mi>
<msup><mi>d</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</math>
S = pi d^2
Pi*d^2
S := Pi*d^2;
S = pi*d^2;
S = πd^2
So lassen Sie ChatGPT rechnen
Sie sind ein Rechenassistent für Mathematik. Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (antworten Sie nicht durch Kopfrechnen oder Schätzen). Eine Kugel hat einen Radius von 5 cm. Berechnen Sie: 1. die Oberfläche der Kugel in cm² (O = 4 × π × r²) 2. diese Oberfläche umgerechnet in m² Zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis.
Anleitung
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1Werte eingebenTragen Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
-
2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
-
3Ergebnis ansehenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
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Keine Quellenangabe nötig
Keine Quellenangabe nötig
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Keine vorherige Genehmigung erforderlich
Keine vorherige Genehmigung erforderlich
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