Geben Sie den Radius des Grundkreises und die Höhe des Kegels ein. Angezeigt werden das Volumen (1/3 × π × Radius² × Höhe), das Volumen des Zylinders mit gleicher Grundfläche und Höhe und die Umrechnung in cm³, Liter und m³.
Geben Sie Radius und Höhe in derselben Einheit und nur als Zahl ab 0 ein (ohne Einheit – für 3 cm also „3“).
Ergebnis und Figur
Geben Sie links Radius und Höhe ein und klicken Sie auf „Berechnen“. Ergebnis und ein drehbarer 3D-Kegel erscheinen dann hier.
Inhaltsverzeichnis
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Das können Sie auf dieser Seite
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Wofür braucht man diese Berechnung?
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Anleitung
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Formeln und Abbildungen
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Symbole und Begriffe
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Das sollten Sie vorher wissen
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So berechnen Sie es in Excel
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So berechnen Sie es in Google Tabellen
-
So berechnen Sie es in Python
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So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
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So lassen Sie ChatGPT rechnen
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Die Vorteile von DataChef
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Verwandte Funktionen
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Alle Rechner von NumberChef
Das können Sie auf dieser Seite
- Radius des Grundkreises und Höhe eingeben – und Sie kennen sofort das Volumen des Kegels (Volumen = \(\dfrac{1}{3}\) × Kreiszahl × Radius² × Höhe)
- Das Ergebnis erscheint auch als 3D-Kegel. Drehen Sie ihn mit der Maus und sehen Sie, welche Länge wo liegt
- Zum Vergleich wird das Volumen des Zylinders mit gleicher Grundfläche und Höhe angezeigt (der Kegel ist genau ein Drittel davon) – so wird die Formel greifbar
- Dazu die Umrechnung des Volumens (bei Eingabe in cm in Liter und m³)
- Dazu: eine verständliche Erklärung, warum es ein Drittel ist, und Formeln zum Kopieren für Excel, Google Tabellen und Python
Geben Sie Radius und Höhe in derselben Einheit ein (beide in cm oder beide in m). Diese Seite behandelt den geraden Kreiskegel, dessen Spitze genau über dem Mittelpunkt des Grundkreises liegt. Das Volumen anderer Körper wie Zylinder, Kugel oder Pyramide berechnen Sie auf eigenen Seiten.
Wofür braucht man diese Berechnung?
Wie viel passt in eine Eiswaffel? (Essen)
Die Waffel einer Eistüte ist ein Kegel. Bei 3 cm Radius am Rand und 10 cm Tiefe passen randvoll \(\dfrac{1}{3} \times \pi \times 3^2 \times 10 \approx 94\,\mathrm{cm^3}\) hinein (etwa 94 ml).
Ohne die Kugel obendrauf ist in der Waffel also erstaunlich wenig Platz – das zeigt die Zahl schwarz auf weiß. Kegel gibt es beim Essen oft: Spitztüten mit gebrannten Mandeln, Schokoladenkegel, gerollte Crêpes.
Wasser im Spitzbecher am Wasserspender (Büro)
Die kegelförmigen Spitzbecher neben dem Wasserspender haben oft etwa 3,5 cm Radius am Rand und 9 cm Tiefe. Sie fassen \(\dfrac{1}{3} \times \pi \times 3{,}5^2 \times 9 \approx 115\,\mathrm{cm^3}\) (etwa 115 ml).
Wie viele Becher eine Flasche des Wasserspenders ergibt, schätzen Sie mit dieser einen Formel ab.
Wasser im Kaffee-Handfilter (Alltag)
Das Innere eines kegelförmigen Kaffee-Handfilters ist ungefähr ein Kegel mit 5 cm Radius am Rand und 8 cm Tiefe. Randvoll fasst er \(\dfrac{1}{3} \times \pi \times 5^2 \times 8 \approx 209\,\mathrm{cm^3}\) (etwa 210 ml).
So sehen Sie, wie viel heißes Wasser Sie auf einmal aufgießen können und ob zwei Tassen in einem Durchgang gehen.
Menge eines Sand- oder Kieshaufens schätzen (Bau und Garten)
Kippt ein Lkw Sand oder Kies ab, entsteht von selbst ein Haufen, der fast ein Kegel ist (ein Schüttkegel; der steilste Hang, der nicht abrutscht, heißt Schüttwinkel). Bei 1,5 m Radius am Fuß und 1 m Höhe sind das etwa \(\dfrac{1}{3} \times \pi \times 1{,}5^2 \times 1 \approx 2{,}4\,\mathrm{m^3}\).
Ein echter Haufen ist nie ein perfekter Kegel, es bleibt also eine Schätzung. Auf Baustellen und im Garten- und Landschaftsbau rechnet man so schnell aus, wie viele Fuhren nötig sind und ob der Lagerplatz reicht.
Die Größe eines Vulkans abschätzen (Erdkunde)
Schichtvulkane wie der Fuji in Japan sind fast kegelförmig. Nimmt man rund 20 km Radius am Fuß und rund 3,3 km Höhe über dem Umland an, ergibt sich als Kegel ein Volumen in der Größenordnung von \(\dfrac{1}{3} \times \pi \times 20^2 \times 3{,}3 \approx 1400\,\mathrm{km^3}\).
Ein echter Berg ist kein perfekter Kegel, es bleibt eine grobe Schätzung. Doch auch in der Vulkanforschung schätzt man das Volumen eines Vulkans mit solchen Körpermodellen ab.
Formeln und Abbildungen
Volumen des Kegels
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(V\)
\(=\)
\(\dfrac{1}{3}\)
\(\times\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(r\)
\(2\)
\(\times\)
\(h\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
⑥
\(V\): Volumen des Kegels
\(=\)
⑤
\(\dfrac{1}{3}\): ein Drittel
\(\times\)
①
\(\pi\): Kreiszahl (etwa 3,14)
\(\times\)
②
\(r\): Radius des Grundkreises
③
hoch 2 (mit sich selbst malnehmen)
\(\times\)
④
\(h\): Höhe
Die Formel in Worten
①
Man multipliziert die
\(\pi\): Kreiszahl (etwa 3,14)
②
mit dem
\(r\): Radius des Grundkreises
③
hoch 2 (mit sich selbst malnehmen)
④
und mit der
\(h\): Höhe
– das ist das Volumen des Zylinders mit gleicher Grundfläche und Höhe. Nimmt man davon
⑤
\(\dfrac{1}{3}\): ein Drittel
(teilt also durch 3), erhält man das
⑥
\(V\): Volumen des Kegels
Einfaches Beispiel
Eine Eiswaffel (ein Kegel mit 3 cm Radius und 10 cm Höhe) hat das Volumen
\(V\): Volumen des Kegels
\(=\)
\(\dfrac{1}{3}\): ein Drittel
\(\times\)
\(\pi\): Kreiszahl
\(\times\)
Radius (3 cm)
hoch 2
\(\times\)
Höhe (10 cm)
\(\dfrac{1}{3} \times \pi \times 3^{2} \times 10 = \dfrac{1}{3} \times \pi \times 90 = 30\pi\)
\(30\pi \approx 30 \times 3{,}14 = 94{,}2\,\mathrm{cm^3}\)
Der Grundgedanke
Warum ein Drittel? Nehmen Sie ein zylinderförmiges Gefäß und ein kegelförmiges Gefäß mit gleicher Grundfläche und Höhe. Füllen Sie den Kegel mit Wasser und gießen Sie es in den Zylinder: Nach genau drei Füllungen ist er voll (ein beliebter Versuch im Matheunterricht). Das Volumen des Kegels ist also genau \(\dfrac{1}{3}\) des Zylindervolumens \(\pi r^2 h\). Der exakte Beweis braucht die Integralrechnung der Oberstufe; in der Mittelstufe merkt man sich: „Spitzkörper sind ein Drittel des passenden Prismas bzw. Zylinders.“
Achten Sie außerdem darauf, wie die Höhe gemessen wird: \(h\) ist der senkrechte Abstand vom Grundkreis bis zur Spitze, nicht die schräge Länge an der Seite (die Mantellinie).
Zusammenhang mit dem Zylindervolumen (Merkregel)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(V\)
\(=\)
\(\pi r^{2} h\)
\(\div\)
\(3\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(V\): Volumen des Kegels
\(=\)
①
\(\pi r^2 h\): Volumen des Zylinders mit gleicher Grundfläche und Höhe
\(\div\)
②
\(3\): in drei gleiche Teile
Die Formel in Worten
①
Teilt man das
\(\pi r^2 h\): Volumen des Zylinders mit gleicher Grundfläche und Höhe
②
durch
\(3\): in drei gleiche Teile
③
, erhält man das
\(V\): Volumen des Kegels
Einfaches Beispiel
Bei 3 cm Radius und 10 cm Höhe ergibt sich das Volumen des Kegels aus dem Zylinder mit gleicher Grundfläche und Höhe so
\(V\): Volumen des Kegels
\(=\)
Volumen des Zylinders (90π ≈ 282,6 cm³)
\(\div\)
3
\(\pi \times 3^{2} \times 10 = 90\pi \approx 90 \times 3{,}14 = 282{,}6\,\mathrm{cm^3}\)
\(90\pi \div 3 = 30\pi \approx 94{,}2\,\mathrm{cm^3}\)
Der Grundgedanke
In Worten: „Volumen des Kegels = Grundfläche × Höhe : 3“. Die Grundfläche (die Kreisfläche \(\pi r^2\)) mal Höhe ist das Zylindervolumen, und ein Drittel davon ist der Kegel. Im Schulbuch steht das als \(V = \dfrac{1}{3} \cdot G \cdot h\). Genau dieselbe Form gilt auch für Pyramiden mit dreieckiger oder viereckiger Grundfläche.
Umrechnung des Volumens (cm³ → l)
Abbildung
Mathematische Schreibweise
(die übliche Formel)
\(V_{\mathrm{L}}\)
\(=\)
\(V_{\mathrm{cm^3}}\)
\(\div\)
\(1000\)
In Worten
(Symbole durch Wörter ersetzt)
③
\(V_{\mathrm{L}}\): Volumen in Liter
\(=\)
①
\(V_{\mathrm{cm^3}}\): Volumen in cm³
\(\div\)
②
\(1000\): cm³ pro Liter
Die Formel in Worten
①
Teilt man das
\(V_{\mathrm{cm^3}}\): Volumen in cm³
②
durch die Zahl
\(1000\): cm³ pro Liter
③
, erhält man das
\(V_{\mathrm{L}}\): Volumen in Liter
Einfaches Beispiel
Das Volumen der Eiswaffel, 94,2 cm³, in Liter umgerechnet
Volumen in Liter
\(=\)
Volumen in cm³ (94,2)
\(\div\)
cm³ pro Liter (1.000)
\(94{,}2 \div 1000 = 0{,}0942\,\mathrm{l}\ \ (94{,}2\,\mathrm{ml})\)
Der Grundgedanke
\(1\,\mathrm{l}\) ist das Volumen eines Würfels mit 10 cm Kantenlänge, also \(1\,\mathrm{l} = 10 \times 10 \times 10 = 1000\,\mathrm{cm^3}\). Beim Volumen ist der Umrechnungsfaktor der Längenfaktor hoch 3: Wegen \(1\,\mathrm{m} = 100\,\mathrm{cm}\) ist \(1\,\mathrm{m^3} = 100 \times 100 \times 100 = 1000000\,\mathrm{cm^3}\) (= 1.000 l). Nicht 100, nicht 10.000, sondern eine Million – hier passieren die meisten Fehler.
Das Volumen eines Kegels ist „\(\dfrac{1}{3}\) × Kreiszahl × Radius hoch 2 × Höhe“ = „Grundfläche × Höhe : 3“ – genau ein Drittel des Zylinders mit gleicher Grundfläche und Höhe. Geben Sie Radius und Höhe in derselben Einheit ein; das Ergebnis steht in dieser Einheit hoch 3 (bei cm also cm³). Von cm³ in Liter teilen Sie einfach durch 1.000.
Symbole und Begriffe
Symbole
| \(V\) | V | Das übliche Zeichen für das Volumen (lateinisch volumen). Hier steht es für das Volumen des Kegels. |
| \(r\) | r | Der Radius des Grundkreises (lateinisch radius) – der Abstand vom Mittelpunkt bis zum Rand, halb so lang wie der Durchmesser. |
| \(h\) | h | Die Höhe des Kegels (englisch height), senkrecht vom Grundkreis bis zur Spitze gemessen. Nicht verwechseln mit der schrägen Länge an der Seite (Mantellinie). |
| \(r^2\) | r Quadrat (r hoch 2) | Die Zahl \(r\) mit sich selbst multipliziert (\(r \times r\)). Die kleine 2 oben rechts ist der Exponent und bedeutet „zweimal als Faktor“. |
| \(\pi\) | pi | Die Kreiszahl: Sie gibt an, wie oft der Durchmesser in den Kreisumfang passt, und hat unendlich viele Nachkommastellen (3,14159 …). Oft rechnet man mit 3,14 oder lässt \(\pi\) als Zeichen im Ergebnis stehen. |
| \(\mathrm{cm^3}\) | Kubikzentimeter | Eine Volumeneinheit. Ein Würfel mit 1 cm Kantenlänge hat das Volumen 1 cm³. Nicht verwechseln mit cm² (Quadratzentimeter), der Einheit für Flächen. |
| \(\mathrm{m^3}\) | Kubikmeter | Eine Volumeneinheit. Ein Würfel mit 1 m Kantenlänge hat das Volumen 1 m³. Es gilt \(1\,\mathrm{m^3} = 1000000\,\mathrm{cm^3} = 1000\,\mathrm{l}\). |
| \(\mathrm{L}\) | Liter | Die bekannte Volumeneinheit für Getränke (in Deutschland meist klein „l“ geschrieben, international auch „L“). Ein Würfel mit 10 cm Kantenlänge fasst 1 l, also \(1\,\mathrm{l} = 1000\,\mathrm{cm^3} = 1000\,\mathrm{ml}\). |
Begriffe
| Kegel | Ein Körper mit einem Kreis als Grundfläche, der gleichmäßig zu einer Spitze zuläuft. Eiswaffel, Partyhut und Leitkegel (Pylone) haben diese Form. |
| gerader Kreiskegel | Ein Kegel, dessen Spitze genau über dem Mittelpunkt des Grundkreises liegt. Mit „Kegel“ ist in der Schule meist dieser gemeint, und auch dieser Rechner arbeitet damit. Liegt die Spitze nicht über dem Mittelpunkt, spricht man von einem schiefen Kegel. |
| Grundkreis | Der Kreis, auf dem der Kegel steht. Seine Fläche \(\pi r^2\) heißt Grundfläche (\(G\)). |
| Spitze | Der spitze Punkt oben am Kegel. Die Höhe misst man als senkrechten Abstand von der Spitze zum Grundkreis. |
| Mantellinie | Die gerade Strecke von der Spitze bis zum Rand des Grundkreises, an der Seite entlang (Zeichen \(s\)). Ihre Länge ist nach dem Satz des Pythagoras \(\sqrt{r^2 + h^2}\). Leicht mit der Höhe zu verwechseln! |
| Volumen | Gibt als Zahl an, wie viel Raum ein Körper einnimmt (auch Rauminhalt). Man misst es daran, wie viele Einheitswürfel (z. B. 1 cm³) hineinpassen. |
| Kreiszahl | Gibt an, wie oft der Durchmesser in den Kreisumfang passt (etwa 3,14). Sie kommt in jeder Rechnung mit Kreisen vor – beim Kreis selbst, beim Kegel und beim Zylinder. |
Das sollten Sie vorher wissen
Damit Sie die Berechnung auf dieser Seite nicht nur ausführen, sondern auch verstehen, hilft Ihnen dieses Vorwissen.
| Volumen und Volumeneinheiten (Klasse 5–6, 10–12 Jahre) |
|
| Kreisfläche (Klasse 8–9, 13–15 Jahre) |
|
| Terme und die Kreiszahl π (Klasse 7–8, 12–14 Jahre) |
|
| Körper im Raum (Klasse 9–10, 14–16 Jahre) |
|
| Dezimalzahlen multiplizieren und dividieren (Klasse 6, 11–12 Jahre) |
|
So berechnen Sie es in Excel
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Excel ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle für das Volumen eines Kegels
| Radius r (cm) | 3 |
| Höhe h (cm) | 10 |
| Volumen des Kegels (cm³) | =PI()*B1^2*B2/3 |
Tabelle zum Zusammenhang mit dem Zylindervolumen
| Radius r (cm) | 3 |
| Höhe h (cm) | 10 |
| Volumen des Zylinders mit gleicher Grundfläche und Höhe (cm³) | =PI()*B1^2*B2 |
| Volumen des Kegels (ein Drittel des Zylinders, cm³) | =B3/3 |
Tabelle für die Umrechnung von cm³ in Liter
| Volumen in cm³ | 94,25 |
| Volumen in Liter | =B1/1000 |
Nach dem Einfügen stehen in Spalte A die Bezeichnungen und in Spalte B die Zahlen. Die oberen Zeilen sind die Eingaben, die Formel in der letzten Zeile rechnet damit automatisch.
„B1“ und „B2“ bedeuten „nimm die Zahl aus dieser Zelle“. „PI()“ ist die Kreiszahl (3,14159 …), „^“ steht für Potenzieren, „*“ für Malnehmen und „/“ für Teilen.
In der ersten Tabelle erscheint in B3 zum Beispiel rund 94,25 (= 1/3 × π × 3² × 10, in cm³, weil in cm eingegeben). Die zweite Tabelle zeigt in B3 rund 282,74 und in B4 ein Drittel davon, rund 94,25 – so sehen Sie, dass der Kegel ein Drittel des Zylinders ist. Die dritte Tabelle zeigt in B2 die 0,09425. Ersetzen Sie einfach die Eingaben durch die Maße Ihres Kegels.
„B1“ und „B2“ bedeuten „nimm die Zahl aus dieser Zelle“. „PI()“ ist die Kreiszahl (3,14159 …), „^“ steht für Potenzieren, „*“ für Malnehmen und „/“ für Teilen.
In der ersten Tabelle erscheint in B3 zum Beispiel rund 94,25 (= 1/3 × π × 3² × 10, in cm³, weil in cm eingegeben). Die zweite Tabelle zeigt in B3 rund 282,74 und in B4 ein Drittel davon, rund 94,25 – so sehen Sie, dass der Kegel ein Drittel des Zylinders ist. Die dritte Tabelle zeigt in B2 die 0,09425. Ersetzen Sie einfach die Eingaben durch die Maße Ihres Kegels.
So berechnen Sie es in Google Tabellen
Kopieren Sie die ganze Tabelle und fügen Sie sie in Zelle A1 von Google Tabellen ein – dann funktioniert sie direkt.
Tabelle für das Volumen eines Kegels
| Radius r (cm) | 3 |
| Höhe h (cm) | 10 |
| Volumen des Kegels (cm³) | =PI()*B1^2*B2/3 |
Tabelle zum Zusammenhang mit dem Zylindervolumen
| Radius r (cm) | 3 |
| Höhe h (cm) | 10 |
| Volumen des Zylinders mit gleicher Grundfläche und Höhe (cm³) | =PI()*B1^2*B2 |
| Volumen des Kegels (ein Drittel des Zylinders, cm³) | =B3/3 |
Tabelle für die Umrechnung von cm³ in Liter
| Volumen in cm³ | 94,25 |
| Volumen in Liter | =B1/1000 |
Dieselben Formeln wie in Excel (auch die Funktion PI()) funktionieren unverändert. Kopieren Sie die ganze Tabelle, fügen Sie sie in Zelle A1 ein und ersetzen Sie die Eingaben durch die Maße Ihres Kegels.
So berechnen Sie es in Python
import math
radius = 3 # Radius des Grundkreises (in diesem Beispiel in cm)
height = 10 # Höhe (in derselben Einheit wie der Radius)
volume = math.pi * radius ** 2 * height / 3 # Volumen des Kegels (Eingabeeinheit hoch 3, hier cm3)
volume_l = volume / 1000 # bei Eingabe in cm: Volumen in Liter
print(f"Volumen des Kegels: {volume} cm3")
print(f"Umgerechnet in Liter: {volume_l} l")
Läuft nur mit der Standardbibliothek. „math.pi“ ist die Kreiszahl (3,14159 …), „**“ steht für Potenzieren (radius ** 2 ist der Radius hoch 2), „*“ für Malnehmen und „/“ für Teilen. Ersetzen Sie oben Radius und Höhe durch Ihre Werte und führen Sie den Code aus (das Beispiel rechnet in cm; geben Sie in m ein, erhalten Sie m³ und multiplizieren mit 1.000, um Liter zu erhalten).
So schreiben Sie die Formel in LaTeX und anderen Formelsprachen (zum Kopieren)
Volumen des Kegels
V = (1/3)πr²h
V = \frac{1}{3} \pi r^{2} h
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>V</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac>
<mi>π</mi>
<msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
<mi>h</mi>
</mrow>
</math>
V = 1/3 pi r^2 h
Pi*r^2*h/3
V := (1/3)*Pi*r^2*h;
V = (1/3)*pi*r^2*h;
V = (1/3)πr^2 h
Zusammenhang mit dem Zylindervolumen (Merkregel)
V = πr²h ÷ 3
V = \frac{\pi r^{2} h}{3}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>V</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>π</mi><msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup><mi>h</mi></mrow>
<mn>3</mn>
</mfrac>
</mrow>
</math>
V = (pi r^2 h)/3
Pi*r^2*h/3
V := Pi*r^2*h/3;
V = pi*r^2*h/3;
V = πr^2 h/3
Umrechnung des Volumens (cm³ → l)
V[L] = V[cm³] ÷ 1000
V_{\mathrm{L}} = V_{\mathrm{cm^3}} \div 1000
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>V</mi><mi mathvariant="normal">L</mi></msub>
<mo>=</mo>
<msub><mi>V</mi><mrow><msup><mi mathvariant="normal">cm</mi><mn>3</mn></msup></mrow></msub>
<mo>÷</mo>
<mn>1000</mn>
</mrow>
</math>
V_(L) = V_(cm^3) -: 1000
vCm3/1000
vL := vCm3/1000;
v_l = v_cm3/1000;
V(L) = V(cm³)/1000
So lassen Sie ChatGPT rechnen
Sie sind ein Rechenassistent für Mathematik. Führen Sie die folgende Berechnung aus, indem Sie tatsächlich Python-Code ausführen, und stützen Sie Ihre Antwort nur auf die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis (antworten Sie nicht durch Kopfrechnen oder Schätzen). Ein Kegel hat einen Grundkreis mit 3 cm Radius und ist 10 cm hoch. Berechnen Sie: 1. das Volumen des Kegels in cm³ (V = 1/3 × π × Radius² × Höhe) 2. dieses Volumen umgerechnet in Liter Zeigen Sie die verwendeten Formeln und die Zahlen aus dem Ausführungsergebnis.
Anleitung
-
1Werte eingebenTragen Sie die Zahlen, mit denen Sie rechnen möchten, in die Eingabefelder ein
-
2BerechnenKlicken Sie auf die Schaltfläche „Berechnen“
-
3Ergebnis ansehenDas Ergebnis erscheint sofort. Auf derselben Seite finden Sie auch den Rechenweg und die Erklärung der Formel
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