Escribe la latitud y la longitud de dos puntos para obtener la distancia entre ellos a lo largo de la superficie de la Tierra, en km y en millas. Puedes cambiar la entrada entre grados decimales y GMS.
Rellena todos los campos con números. En decimales, las latitudes sur y las longitudes oeste son negativas (por ejemplo, 3,7033° O → −3,7033). En GMS, elige N/S y E/O en los menús desplegables.
Resultado
Escribe la latitud y la longitud de los dos puntos en los campos de la izquierda y haz clic en «Calcular». El resultado aparecerá aquí.
Índice
-
Qué puedes hacer en esta página
-
¿Para qué sirve este cálculo?
-
Cómo usar
-
Fórmula
-
Símbolos y términos
-
Qué conviene saber de antemano
-
Cómo calcularlo con Excel
-
Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google
-
Cómo calcularlo con Python
-
La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)
-
Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo
-
Las ventajas de DataChef
-
Funciones relacionadas
-
Todas las calculadoras de NumberChef
Qué puedes hacer en esta página
- Escribe la latitud y la longitud de dos puntos y obtienes al instante la distancia entre ellos a lo largo de la superficie de la Tierra (en km y en millas)
- Puedes escribir grados decimales (por ejemplo, 40,4167) o grados, minutos y segundos (GMS, por ejemplo, 40°25′0,12″). Se cambia con los botones de opción
- La distancia se calcula con la fórmula de Lambert, que trata la Tierra como un elipsoide (una esfera ligeramente achatada). Se acerca más a la Tierra real que la fórmula del haversine, que la trata como una esfera perfecta
- En esta página también encontrarás una explicación clara de las fórmulas y fórmulas para copiar y pegar en Excel, Hojas de cálculo de Google y Python
El resultado es la longitud aproximada del camino más corto sobre la superficie de la Tierra (la geodésica), no la distancia recorrida por carretera o por ferrocarril. En decimales, escribe las latitudes sur y las longitudes oeste como números negativos (toda España peninsular tiene latitud norte, y las longitudes al oeste del meridiano de Greenwich son negativas).
¿Para qué sirve este cálculo?
Rutas de los aviones y distancias de vuelo (aviación)
Los aviones vuelan por un camino cercano al más corto sobre la curvatura de la Tierra (la ruta ortodrómica), así que la distancia de vuelo entre ciudades se estima como una distancia sobre la superficie de la Tierra, como la de esta página (de Madrid a Nueva York hay unos 5780 km, es decir, unas 3590 millas). Los kilómetros o las millas que cuentan los programas de las aerolíneas también se basan en este tipo de distancia.
En un mapa plano, los vuelos de larga distancia entre Europa y América o Asia parecen dar un rodeo hacia el norte. Calcular esta distancia muestra por qué ese camino es en realidad el más corto.
Servicios de ubicación del móvil (búsquedas de «cerca de mí»)
Cuando una aplicación de mapas o de reparto ordena los sitios por «más cercano primero», calcula la distancia entre tu ubicación y cada tienda a partir de sus latitudes y longitudes. En programación, la fórmula del haversine (modelo de esfera) es la herramienta habitual para esto, y las fórmulas de elipsoide como la fórmula de Lambert de esta página se usan cuando hace falta más precisión.
Detrás de las aplicaciones que usas cada día, este tipo de fórmulas se calcula una y otra vez.
Medida de distancias por GPS en aplicaciones de running y de montaña (deporte)
Un reloj GPS o una aplicación de running guarda tu posición cada pocos segundos, calcula con este tipo de fórmula la distancia entre cada par de puntos y lo suma todo. Cada tramo mide solo unas decenas de metros, pero la conversión de latitud y longitud en una distancia se repite miles de veces para mostrar «hoy has corrido 10,2 km».
Planificación de rutas y millas náuticas (transporte marítimo y logística)
En el mar, la distancia se mide en millas náuticas (1 milla náutica = 1,852 km, unas 1,15 millas, aproximadamente la longitud de 1 minuto de latitud). La ruta del puerto de salida al de destino se planifica como una distancia a lo largo de la curvatura de la Tierra, y las horas de llegada y las estimaciones de combustible parten de este cálculo de distancias.
El transporte marítimo mueve gran parte del comercio mundial, y las distancias calculadas con la latitud y la longitud son parte de lo que lo hace funcionar.
«A X km del epicentro» en los avisos de terremotos (seguridad)
Los avisos de terremotos del tipo «el epicentro se localizó a 12 km al suroeste de la ciudad» se basan en el mismo tipo de cálculo: la distancia entre la latitud y la longitud del epicentro (el punto de la superficie situado justo encima del terremoto) y las de cada localidad o estación de medida.
Saber en cifras a qué distancia está tu casa de las fallas activas y de epicentros pasados es un buen primer paso para prepararte ante los terremotos.
Fórmula
Ángulo central \(c\) entre los dos puntos (fórmula de Lambert, parte 1)
Notación matemática
(la notación habitual)
\(U\)
\(=\)
\(\arctan\bigl((1 - f)\tan \varphi\bigr)\)
\(c\)
\(=\)
\(2\arcsin\sqrt{\sin^2\!\frac{U_2 - U_1}{2} + \cos U_1 \cos U_2 \sin^2\!\frac{\lambda_2 - \lambda_1}{2}}\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
②
\(U\): latitud reducida
\(=\)
①
latitud \(\varphi\) reducida según el aplanamiento \(f\)
④
\(c\): ángulo central entre los dos puntos
\(=\)
③
ángulo que sale de las diferencias de latitud reducida y de longitud
La fórmula en palabras
①
Para cada uno de los dos puntos, calcula la
latitud \(\varphi\) reducida según el aplanamiento \(f\), \(\arctan((1-f)\tan\varphi)\)
②
para obtener la
latitud reducida \(U\)
(\(U_1\) y \(U_2\)). Después, calcula el
③
ángulo que sale de la diferencia de latitud reducida, \(U_2 - U_1\), y de la diferencia de longitud, \(\lambda_2 - \lambda_1\)
④
y obtienes el
ángulo central \(c\) entre los dos puntos
(el ángulo que forman los dos puntos vistos desde el centro de la Tierra)
Un ejemplo sencillo
El ángulo central entre Madrid (40,4167° N, 3,7033° O) y Barcelona (41,3870° N, 2,1700° E) es
ángulo central \(c\)
\(=\)
ángulo que sale de las diferencias de latitud reducida y de longitud de Madrid y Barcelona
\(U_1 = \arctan\bigl((1 - \tfrac{1}{298{,}257})\tan 40{,}4167^\circ\bigr) \approx 40{,}3217^\circ, \quad U_2 \approx 41{,}2916^\circ\)
\(c = 2\arcsin\sqrt{0{,}0015752} \approx 0{,}079398 \ \mathrm{rad} \ (\approx 4{,}5492^\circ)\)
La idea clave
La Tierra no es una esfera perfecta. Su radio ecuatorial es de unos 6378 km y su radio polar, de unos 6357 km, así que está achatada de norte a sur en aproximadamente 1/300. Esta forma se llama elipsoide de revolución. El aplanamiento \(f = \dfrac{1}{298{,}257}\) mide cuánto está achatada, y si pones la latitud directamente en una fórmula para una esfera, el resultado se desvía en esa cantidad. Por eso primero se convierte cada latitud en la latitud reducida \(U\), una latitud ajustada para poder tratar el elipsoide como una esfera. Después se usa la fórmula habitual del ángulo central entre dos puntos de una esfera (una fórmula del tipo haversine).
Al programarlo, escribir \(c = 2\,\mathrm{atan2}(\sqrt{a},\ \sqrt{1-a})\) (donde \(a\) es la expresión de dentro de la raíz) da el mismo valor que \(2\arcsin\sqrt{a}\), pero es numéricamente más estable. La calculadora de esta página usa esta forma.
Corrección por el elipsoide y distancia \(d\) (fórmula de Lambert, parte 2)
Notación matemática
(la notación habitual)
\(d\)
\(=\)
\(6378{,}1\)
\(\times\)
\(\bigl(\)
\(c\)
\(-\)
\(\frac{f(X + Y)}{2}\)
\(\bigr)\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
④
\(d\): distancia entre los dos puntos
\(=\)
③
radio ecuatorial, 6378,1 km
\(\times\)
\(\bigl(\)
①
\(c\): ángulo central
\(-\)
②
corrección por el aplanamiento \(f(X+Y) \div 2\)
\(\bigr)\)
La fórmula en palabras
①
Al
ángulo central \(c\) (en radianes)
②
réstale la
corrección por el aplanamiento \(f(X+Y) \div 2\) (\(X\) e \(Y\) son valores intermedios de la corrección)
③
multiplícalo por el
radio ecuatorial, 6378,1 km
④
y obtienes la
distancia \(d\) entre los dos puntos
(en km; para obtenerla en millas, usa 3963,15 mi como radio)
Un ejemplo sencillo
Para Madrid y Barcelona (ángulo central c ≈ 0,079398 rad)
distancia \(d\)
\(=\)
radio ecuatorial (6378,1 km)
\(\times\)
\(\bigl(\)
ángulo central (0,079398 rad)
\(-\)
corrección por el aplanamiento (unos 0,0000070)
\(\bigr)\)
\(X \approx 0{,}0000357, \quad Y \approx 0{,}004135, \quad \frac{f(X + Y)}{2} \approx 0{,}0000070\)
\(d = 6378{,}1 \times (0{,}079398 - 0{,}0000070) \approx 506{,}4 \ \mathrm{km} \quad (506{,}4 \div 1{,}60935 \approx 314{,}6 \ \mathrm{mi})\)
La idea clave
La base es la regla de la longitud de arco de un sector: longitud de arco = radio × ángulo central (en radianes). \(6378{,}1 \times c\) por sí solo es la longitud de arco en una esfera con el radio ecuatorial, que de Madrid a Barcelona da unos 506,41 km. El término \(\dfrac{f(X+Y)}{2}\) corrige después la forma achatada (aquí acorta la distancia unos 45 metros, hasta 506,37 km). Para obtener la respuesta en millas, usa el radio ecuatorial 3963,15 mi en lugar de 6378,1 km.
Las definiciones exactas de los valores intermedios \(X\) e \(Y\) son \(X = \dfrac{(c - \sin c)\sin^2 P \cos^2 Q}{\cos^2(c/2)}\) e \(Y = \dfrac{(c + \sin c)\sin^2 Q \cos^2 P}{\sin^2(c/2)}\), donde \(P = \dfrac{U_1 + U_2}{2}\) y \(Q = \dfrac{U_2 - U_1}{2}\). Parecen complicadas, pero todas se calculan paso a paso a partir de las latitudes reducidas y del ángulo central que se halló en la primera fórmula. Se dice que el error de la fórmula de Lambert es de unos 10 metros incluso en distancias de miles de kilómetros.
De GMS a grados decimales
Notación matemática
(la notación habitual)
\(D\)
\(=\)
\(d\)
\(+\)
\(\frac{m}{60}\)
\(+\)
\(\frac{s}{3600}\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
④
\(D\): ángulo en grados decimales
\(=\)
①
\(d\): grados
\(+\)
②
minutos \(m \div 60\)
\(+\)
③
segundos \(s \div 3600\)
La fórmula en palabras
①
A los
grados \(d\)
②
súmales los
minutos \(m\) divididos entre 60
③
y los
segundos \(s\) divididos entre 3600
④
y obtienes el
ángulo en grados decimales \(D\)
(para las latitudes sur y las longitudes oeste, pon al final un signo menos delante)
Un ejemplo sencillo
La latitud de la plaza de Cataluña de Barcelona, 41°23′13,2″ N, en grados decimales es
ángulo en grados decimales \(D\)
\(=\)
grados (41)
\(+\)
minutos (23) ÷ 60
\(+\)
segundos (13,2) ÷ 3600
\(41 + \frac{23}{60} + \frac{13{,}2}{3600} = 41 + 0{,}383333\ldots + 0{,}003666\ldots \approx 41{,}3870\)
La idea clave
Los grados, minutos y segundos cuentan en base 60, igual que las horas, los minutos y los segundos del tiempo. 1 grado = 60 minutos y 1 minuto = 60 segundos (así que 1 grado = 3600 segundos). Por eso, para pasar a grados, se divide los minutos entre 60 y los segundos entre 3600.
Para las latitudes sur y las longitudes oeste, pon un signo menos delante de todo el valor convertido (por ejemplo, 3°42′11,88″ O → −3,7033°). En decimales, escribe este valor negativo en la calculadora. En GMS, elegir «S» u «O» en el menú desplegable hace lo mismo.
La fórmula de Lambert halla la distancia entre dos puntos dados por su latitud y su longitud en tres pasos - tratar la Tierra como un elipsoide ligeramente achatado, hallar el ángulo central entre los dos puntos y aplicar «longitud de arco = radio × ángulo central» con una corrección por el aplanamiento. Los GMS cuentan en base 60 como el tiempo, así que minutos ÷ 60 y segundos ÷ 3600 los pasan a grados decimales.
Símbolos y términos
Símbolos
| \(\varphi\) | fi | Latitud: el ángulo que indica cuánto al norte o al sur del ecuador (0°) está un lugar. El norte es positivo y el sur es negativo (de −90° a 90°). |
| \(\lambda\) | lambda | Longitud: el ángulo que da la posición este-oeste, medido desde el meridiano de origen (0°), que pasa por el antiguo Observatorio Real de Greenwich, en Inglaterra. El este es positivo y el oeste es negativo (de −180° a 180°). |
| \(f\) | efe | El aplanamiento de la Tierra: cuánto está achatado el elipsoide, como razón. Este cálculo usa \(f = \dfrac{1}{298{,}257}\). |
| \(U\) | u | La latitud reducida: la latitud sobre el elipsoide convertida con \(U = \arctan((1-f)\tan\varphi)\) para poder usarla en fórmulas de una esfera. |
| \(c\) | ce | El ángulo central: el ángulo que forman los dos puntos vistos desde el centro de la Tierra (en radianes). Con «longitud de arco = radio × ángulo central», es la base de la distancia. |
| \(X\), \(Y\) | equis, i griega | Valores intermedios que sirven para corregir la forma achatada. Se calculan a partir del ángulo central \(c\), la media de las latitudes reducidas \(P = \dfrac{U_1+U_2}{2}\) y su semidiferencia \(Q = \dfrac{U_2-U_1}{2}\). |
| \(d\) | de | La distancia entre los dos puntos (\(d\) es la inicial de «distancia»). Esta página la muestra en km (kilómetros) y en millas. |
| ° ′ ″ | grado, minuto, segundo | Los símbolos de los grados, minutos y segundos de ángulo. 1° = 60′ y 1′ = 60″. Ejemplo - 40°25′0,12″ (40 grados, 25 minutos, 0,12 segundos). |
Términos
| latitud | El ángulo que da la posición norte-sur, con el ecuador en 0°. El polo norte está a 90° N y el polo sur a 90° S. Es una idea básica de los mapas y de los datos de ubicación, y se estudia en Ciencias Sociales y en Geografía. |
| longitud | El ángulo que da la posición este-oeste, con el meridiano de origen (la línea que pasa por Greenwich, en Inglaterra) en 0°. Llega hasta 180° este y 180° oeste. La España peninsular está entre unos 9° O y 3° E. |
| GMS | Una forma de escribir ángulos en base 60 con grados, minutos y segundos (GMS). 1 grado = 60 minutos y 1 minuto = 60 segundos. Es habitual en los mapas topográficos, en las cartas náuticas y en los aparatos GPS. |
| elipsoide | Aquí, un elipsoide de revolución - el sólido que resulta de girar una elipse alrededor de su eje. La rotación de la Tierra la hace abultarse en el ecuador, así que se modela como un elipsoide y no como una esfera. |
| aplanamiento | La razón que indica cuánto está achatado un elipsoide, definida como (radio ecuatorial − radio polar) ÷ radio ecuatorial. Para la Tierra es de aproximadamente 1/300. |
| latitud reducida | La latitud de un punto del elipsoide después de trasladarlo a la circunferencia auxiliar (la esfera) en la que se basa la elipse. Se halla con \(U = \arctan((1-f)\tan\varphi)\) y se usa en geodesia (la ciencia que mide la forma de la Tierra). También se llama latitud paramétrica. |
| ángulo central | El ángulo que forman dos puntos vistos desde el centro de una circunferencia o de una esfera. La regla del sector «longitud de arco = radio × ángulo central (en radianes)» es la base del cálculo de la distancia en esta página. |
| geodésica | El camino más corto entre dos puntos de una superficie curva. En la Tierra se parece a la ruta ortodrómica (o de círculo máximo), y las rutas de los aviones siguen aproximadamente esta forma. Esta página halla la longitud aproximada a lo largo de la geodésica. |
| fórmula del haversine | Una fórmula muy conocida (también llamada fórmula del semiverseno) para la distancia entre dos puntos que trata la Tierra como una esfera perfecta. La fórmula de Lambert de esta página es una versión mejorada para el elipsoide, y en su primer paso usa una fórmula del tipo haversine para el ángulo central. |
| fórmula de Lambert | Un método para la distancia entre dos puntos que modela la Tierra como un elipsoide. Se dice que su error es de unos 10 metros incluso en distancias de miles de kilómetros, lo que es más preciso que tratar la Tierra como una esfera. |
| milla | Una unidad de distancia que se usa sobre todo en Estados Unidos y en el Reino Unido (la milla terrestre). 1 milla = 5280 pies ≈ 1,609 km (exactamente 1,609344 km según la definición internacional). Esta calculadora convierte con 1 milla = 1,60935 km. Es una unidad distinta de la milla náutica de abajo. |
| milla náutica | Una unidad de distancia que se usa en el mar y en la aviación. 1 milla náutica = 1,852 km (unas 1,15 millas o 6076 pies). Se eligió para que fuera aproximadamente la longitud de 1 minuto (1/60 de grado) de latitud. |
Qué conviene saber de antemano
Esto es lo que te ayuda a usar el cálculo de esta página entendiendo lo que haces, y no solo pulsando el botón.
Para hallar solo una distancia basta con saber leer la latitud y la longitud. Para entender lo que hay dentro de las fórmulas, hay que volver hasta las razones trigonométricas y los radianes.
| Latitud y longitud (Ciencias Sociales, de 5.º de Primaria a 1.º de ESO, 10-13 años) |
|
| Ángulos y sistema sexagesimal (de 4.º de Primaria a 1.º de ESO, 9-13 años) |
|
| Longitud de un arco de circunferencia (2.º–3.º de ESO, 13-15 años) |
|
| Razones trigonométricas seno, coseno y tangente (4.º de ESO, 15-16 años) |
|
| Radianes (1.º de Bachillerato, 16-17 años) |
|
| La forma de la Tierra (Geografía y Ciencias de la naturaleza de la ESO) |
|
Cómo calcularlo con Excel
Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Excel. Funciona tal cual.
Tabla para pasar de GMS a grados decimales
| Grados | 41 |
| Minutos | 23 |
| Segundos | 13,2 |
| Grados decimales (pon − delante para S y O) | =B1+B2/60+B3/3600 |
Tabla para hallar la distancia con la fórmula de Lambert
| Punto 1: latitud (decimal; S es −) | 40,4167 |
| Punto 1: longitud (decimal; O es −) | -3,7033 |
| Punto 2: latitud | 41,387 |
| Punto 2: longitud | 2,17 |
| Aplanamiento f | =1/298,257 |
| Latitud reducida U1 | =ATAN((1-B5)*TAN(RADIANES(B1))) |
| Latitud reducida U2 | =ATAN((1-B5)*TAN(RADIANES(B3))) |
| Diferencia de longitud Δλ (radianes) | =RADIANES(B4-B2) |
| Término del tipo haversine a | =SENO((B7-B6)/2)^2+COS(B6)*COS(B7)*SENO(B8/2)^2 |
| Ángulo central c (radianes) | =2*ATAN2(RAIZ(1-B9);RAIZ(B9)) |
| Media P | =(B6+B7)/2 |
| Semidiferencia Q | =(B7-B6)/2 |
| Valor intermedio X | =(B10-SENO(B10))*SENO(B11)^2*COS(B12)^2/COS(B10/2)^2 |
| Valor intermedio Y | =(B10+SENO(B10))*SENO(B12)^2*COS(B11)^2/SENO(B10/2)^2 |
| Distancia (km) | =6378,1*(B10-B5*(B13+B14)/2) |
| Distancia (millas) | =B15/1,60935 |
La primera tabla pasa de GMS a grados decimales. B4 muestra 41,387.
La segunda tabla contiene todos los pasos de la fórmula de Lambert. B1 a B4 son los datos de entrada (en grados decimales), desde B6 vienen los valores intermedios de las fórmulas 1 y 2, B15 es la distancia en km (unos 506,37) y B16 es la distancia en millas (unas 314,64). La calculadora de esta página los redondea a 506,4 km y 314,6 mi.
RADIANES(…) pasa grados a radianes. En Excel, ATAN2(x; y) toma los argumentos en el orden (coordenada x; coordenada y), así que ten en cuenta que c se escribe como 2×ATAN2(√(1−a); √a).
La segunda tabla contiene todos los pasos de la fórmula de Lambert. B1 a B4 son los datos de entrada (en grados decimales), desde B6 vienen los valores intermedios de las fórmulas 1 y 2, B15 es la distancia en km (unos 506,37) y B16 es la distancia en millas (unas 314,64). La calculadora de esta página los redondea a 506,4 km y 314,6 mi.
RADIANES(…) pasa grados a radianes. En Excel, ATAN2(x; y) toma los argumentos en el orden (coordenada x; coordenada y), así que ten en cuenta que c se escribe como 2×ATAN2(√(1−a); √a).
Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google
Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Hojas de cálculo de Google. Funciona tal cual.
Tabla para pasar de GMS a grados decimales
| Grados | 41 |
| Minutos | 23 |
| Segundos | 13,2 |
| Grados decimales (pon − delante para S y O) | =B1+B2/60+B3/3600 |
Tabla para hallar la distancia con la fórmula de Lambert
| Punto 1: latitud (decimal; S es −) | 40,4167 |
| Punto 1: longitud (decimal; O es −) | -3,7033 |
| Punto 2: latitud | 41,387 |
| Punto 2: longitud | 2,17 |
| Aplanamiento f | =1/298,257 |
| Latitud reducida U1 | =ATAN((1-B5)*TAN(RADIANES(B1))) |
| Latitud reducida U2 | =ATAN((1-B5)*TAN(RADIANES(B3))) |
| Diferencia de longitud Δλ (radianes) | =RADIANES(B4-B2) |
| Término del tipo haversine a | =SENO((B7-B6)/2)^2+COS(B6)*COS(B7)*SENO(B8/2)^2 |
| Ángulo central c (radianes) | =2*ATAN2(RAIZ(1-B9);RAIZ(B9)) |
| Media P | =(B6+B7)/2 |
| Semidiferencia Q | =(B7-B6)/2 |
| Valor intermedio X | =(B10-SENO(B10))*SENO(B11)^2*COS(B12)^2/COS(B10/2)^2 |
| Valor intermedio Y | =(B10+SENO(B10))*SENO(B12)^2*COS(B11)^2/SENO(B10/2)^2 |
| Distancia (km) | =6378,1*(B10-B5*(B13+B14)/2) |
| Distancia (millas) | =B15/1,60935 |
Sirven las mismas fórmulas que en Excel (RADIANES, ATAN2, RAIZ, etc.) en Hojas de cálculo de Google. Copia toda la tabla, pégala en la celda A1 y sustituye B1 a B4 por tus propias latitudes y longitudes.
Cómo calcularlo con Python
import math
# Latitud y longitud de los dos puntos (grados decimales; sur y oeste son negativos)
lat1, lon1 = 35.6895, 139.6917 # punto 1 (cerca de la estación de Tokio)
lat2, lon2 = 34.6937, 135.5023 # punto 2 (cerca de la estación de Osaka)
flattening = 1 / 298.257 # aplanamiento de la Tierra, f
equator_radius_km = 6378.1 # radio ecuatorial en km
# Fórmula 1, primera mitad: latitud reducida (la latitud reducida según el aplanamiento)
u1 = math.atan((1 - flattening) * math.tan(math.radians(lat1)))
u2 = math.atan((1 - flattening) * math.tan(math.radians(lat2)))
delta_lon = math.radians(lon2 - lon1)
# Fórmula 1, segunda mitad: ángulo central c entre los dos puntos (fórmula del tipo haversine)
a = math.sin((u2 - u1) / 2) ** 2 + math.cos(u1) * math.cos(u2) * math.sin(delta_lon / 2) ** 2
central_angle = 2 * math.atan2(math.sqrt(a), math.sqrt(1 - a))
# Fórmula 2: corrección por el aplanamiento (X e Y) y después la distancia
p = (u1 + u2) / 2
q = (u2 - u1) / 2
x = (central_angle - math.sin(central_angle)) * math.sin(p) ** 2 * math.cos(q) ** 2 / math.cos(central_angle / 2) ** 2
y = (central_angle + math.sin(central_angle)) * math.sin(q) ** 2 * math.cos(p) ** 2 / math.sin(central_angle / 2) ** 2
distance_km = equator_radius_km * (central_angle - flattening * (x + y) / 2)
distance_mile = distance_km / 1.60935
print(f"Distancia entre los dos puntos: {distance_km:.1f} km ({distance_mile:.1f} millas)")
Funciona solo con la biblioteca estándar. El ejemplo usa dos puntos de Japón (las estaciones de Tokio y de Osaka) y muestra unos 397,2 km. Para Madrid y Barcelona, sustituye las coordenadas de arriba por las de la Puerta del Sol de Madrid y las de la plaza de Cataluña de Barcelona que aparecen en los ejemplos de la calculadora, escribiendo los decimales con punto en lugar de coma, como exige Python: obtendrás unos 506,4 km (314,6 millas). Cambia las latitudes y las longitudes y ejecuta el código (pasa antes los GMS a grados decimales con «grados + minutos ÷ 60 + segundos ÷ 3600»). Si escribes exactamente las mismas coordenadas para los dos puntos, se divide entre 0 y se produce un error.
La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)
Ángulo central \(c\) entre los dos puntos (fórmula de Lambert, parte 1)
U₁ = atan((1 − f)·tanφ₁), U₂ = atan((1 − f)·tanφ₂), c = 2·asin(√(sen²((U₂ − U₁)/2) + cosU₁·cosU₂·sen²((λ₂ − λ₁)/2)))
U_1 = \arctan\bigl((1-f)\tan\varphi_1\bigr),\ U_2 = \arctan\bigl((1-f)\tan\varphi_2\bigr),\quad c = 2\arcsin\sqrt{\sin^2\frac{U_2-U_1}{2} + \cos U_1 \cos U_2 \sin^2\frac{\lambda_2-\lambda_1}{2}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>U</mi><mi>i</mi></msub>
<mo>=</mo>
<mi>arctan</mi>
<mo>⁡</mo>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>−</mo><mi>f</mi><mo>)</mo></mrow>
<mi>tan</mi><mo>⁡</mo><msub><mi>φ</mi><mi>i</mi></msub>
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<mo>,</mo>
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<mo>⁡</mo>
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<mn>2</mn>
</mfrac>
<mo>+</mo>
<mi>cos</mi><mo>⁡</mo><msub><mi>U</mi><mn>1</mn></msub>
<mi>cos</mi><mo>⁡</mo><msub><mi>U</mi><mn>2</mn></msub>
<msup><mi>sin</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>⁡</mo>
<mfrac>
<mrow><msub><mi>λ</mi><mn>2</mn></msub><mo>−</mo><msub><mi>λ</mi><mn>1</mn></msub></mrow>
<mn>2</mn>
</mfrac>
</mrow>
</msqrt>
</mrow>
</math>
U_1 = arctan((1-f) tan(varphi_1)), U_2 = arctan((1-f) tan(varphi_2)), c = 2 arcsin(sqrt(sin^2((U_2-U_1)/2) + cos(U_1) cos(U_2) sin^2((lambda_2-lambda_1)/2)))
u1 = ArcTan[(1 - f) Tan[phi1]]; u2 = ArcTan[(1 - f) Tan[phi2]]; c = 2 ArcSin[Sqrt[Sin[(u2 - u1)/2]^2 + Cos[u1] Cos[u2] Sin[(lambda2 - lambda1)/2]^2]]
U1 := arctan((1 - f)*tan(phi1)); U2 := arctan((1 - f)*tan(phi2)); c := 2*arcsin(sqrt(sin((U2 - U1)/2)^2 + cos(U1)*cos(U2)*sin((lambda2 - lambda1)/2)^2));
u1 = atan((1 - f)*tan(phi1)); u2 = atan((1 - f)*tan(phi2)); c = 2*asin(sqrt(sin((u2 - u1)/2)^2 + cos(u1)*cos(u2)*sin((lambda2 - lambda1)/2)^2));
U_1 = atan((1 - f) tan(φ_1)), U_2 = atan((1 - f) tan(φ_2)), c = 2 asin(√(sin^2((U_2 - U_1)/2) + cos(U_1) cos(U_2) sin^2((λ_2 - λ_1)/2)))
Corrección por el elipsoide y distancia \(d\) (fórmula de Lambert, parte 2)
d = 6378,1·(c − f·(X + Y)/2), X = (c − sen c)·sen²P·cos²Q ÷ cos²(c/2), Y = (c + sen c)·sen²Q·cos²P ÷ sen²(c/2), P = (U₁ + U₂)/2, Q = (U₂ − U₁)/2
d = 6378{,}1\left(c - \frac{f(X + Y)}{2}\right),\quad X = \frac{(c - \sin c)\sin^2 P \cos^2 Q}{\cos^2(c/2)},\quad Y = \frac{(c + \sin c)\sin^2 Q \cos^2 P}{\sin^2(c/2)},\quad P = \frac{U_1 + U_2}{2},\ Q = \frac{U_2 - U_1}{2}
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d = 6378,1 (c - f(X + Y)/2), X = ((c - sin c) sin^2(P) cos^2(Q))/(cos^2(c/2)), Y = ((c + sin c) sin^2(Q) cos^2(P))/(sin^2(c/2)), P = (U_1 + U_2)/2, Q = (U_2 - U_1)/2
p = (u1 + u2)/2; q = (u2 - u1)/2; x = (c - Sin[c]) Sin[p]^2 Cos[q]^2/Cos[c/2]^2; y = (c + Sin[c]) Sin[q]^2 Cos[p]^2/Sin[c/2]^2; d = 6378.1 (c - f (x + y)/2)
P := (U1 + U2)/2; Q := (U2 - U1)/2; X := (c - sin(c))*sin(P)^2*cos(Q)^2/cos(c/2)^2; Y := (c + sin(c))*sin(Q)^2*cos(P)^2/sin(c/2)^2; d := 6378.1*(c - f*(X + Y)/2);
p = (u1 + u2)/2; q = (u2 - u1)/2; x = (c - sin(c))*sin(p)^2*cos(q)^2/cos(c/2)^2; y = (c + sin(c))*sin(q)^2*cos(p)^2/sin(c/2)^2; d = 6378.1*(c - f*(x + y)/2);
d = 6378,1(c - f(X + Y)/2), X = (c - sen c) sen^2(P) cos^2(Q)/cos^2(c/2), Y = (c + sen c) sen^2(Q) cos^2(P)/sen^2(c/2), P = (U_1 + U_2)/2, Q = (U_2 - U_1)/2
De GMS a grados decimales
D = d + m/60 + s/3600
D = d + \frac{m}{60} + \frac{s}{3600}
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D = d + m/60 + s/3600
d + m/60 + s/3600
deg := d + m/60 + s/3600; # D (el operador diferencial) es una palabra reservada de Maple, así que los grados decimales se llaman deg
D = d + m/60 + s/3600;
D = d + m/60 + s/3600
Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo
Eres un asistente de cálculos geográficos. Haz el siguiente cálculo ejecutando realmente código de Python y basa tu respuesta solo en los números del resultado de la ejecución (no respondas con cálculo mental ni a ojo). Halla la distancia entre dos puntos a partir de su latitud y su longitud con la fórmula de Lambert, que modela la Tierra como un elipsoide con aplanamiento f = 1/298,257. Pasos: convierte cada latitud en la latitud reducida U = atan((1-f)·tanφ); a = sen²((U2-U1)/2) + cosU1·cosU2·sen²((λ2-λ1)/2); ángulo central c = 2·atan2(√a, √(1-a)); P = (U1+U2)/2; Q = (U2-U1)/2; X = (c-sen c)·sen²P·cos²Q/cos²(c/2); Y = (c+sen c)·sen²Q·cos²P/sen²(c/2); distancia (km) = 6378,1·(c - f·(X+Y)/2). Punto 1: 40,4167° N, 3,7033° O (Puerta del Sol, Madrid) Punto 2: 41,3870° N, 2,1700° E (plaza de Cataluña, Barcelona) Da la distancia en km y en millas (1 milla = 1,60935 km) y muestra el código que has usado y los números del resultado de la ejecución.
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