Calculadora de números complejos (suma, resta, multiplicación y división con pasos, conjugado, módulo y plano complejo)

Introduce las partes reales y las partes imaginarias de los dos números complejos z₁ = a + bi y z₂ = c + di, y elige la operación (+ − × ÷). La expresión de abajo está vinculada a los campos, así que también puedes editar los números directamente en ella.

Parte real a de z₁

Parte imaginaria b de z₁

Operación

Parte real c de z₂

Parte imaginaria d de z₂

Se admiten decimales, números negativos y fracciones como 3/4. Una parte real o imaginaria en blanco se trata como 0 (por ejemplo, si solo la parte imaginaria de z₁ está en blanco, z₁ es el número real a).

Resultado y gráfico

Introduce las partes real e imaginaria en los campos de la izquierda, elige una operación (+ − × ÷) y haz clic en «Calcular». Aquí aparecerán el resultado y un gráfico en el plano complejo.

Índice

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Qué puedes hacer en esta página
¿Para qué sirve este cálculo?
Cómo usar
Fórmulas y figuras
Símbolos y términos
- Símbolos
- Términos
Qué conviene saber de antemano
Cómo calcularlo con Excel
Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google
Cómo calcularlo con Python
La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)
Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo
Las ventajas de DataChef
Funciones relacionadas
Todas las calculadoras de NumberChef

Qué puedes hacer en esta página

Suma, resta, multiplica o divide dos números complejos \(z_1 = a+bi\) y \(z_2 = c+di\) al instante. Solo tienes que introducir las partes reales y las partes imaginarias y elegir la operación
La respuesta aparece en la forma \(a+bi\) con las fracciones simplificadas (valores exactos), como \(\dfrac{11}{25} + \dfrac{2}{25}i\). En la división, los pasos muestran cómo multiplicar por el conjugado del denominador hace real el denominador. En la multiplicación, muestran el desarrollo y cómo se sustituye \(i^2\) por \(-1\)
De regalo, también se muestran el conjugado \(\overline{z}\) y el módulo \(|z|\) del resultado. El módulo se da como valor exacto con el radical simplificado, como \(|3+4i| = 5\) o \(|1+i| = \sqrt{2}\)
También puedes ver el resultado en el plano complejo (diagrama de Argand), que muestra de un vistazo dónde están \(z_1\), \(z_2\) y el resultado
Las partes reales y las partes imaginarias pueden ser decimales, números negativos o fracciones como 3/4

Esta página trata las cuatro operaciones básicas con números complejos (y el conjugado y el módulo), como se estudian en 1.º de Bachillerato (16-17 años). La forma polar (escribir un número con su módulo y su argumento) y la fórmula de De Moivre no se tratan aquí.

¿Para qué sirve este cálculo?

Cálculos de circuitos de corriente alterna (ingeniería eléctrica y electrónica)

La corriente alterna (CA) de un enchufe tiene una tensión y una intensidad que oscilan como ondas, y las distintas partes de un circuito desplazan el momento de la onda (la fase). En ingeniería eléctrica, el método habitual es reunir ese «tamaño» y ese «desfase» en un solo número complejo (la impedancia), de modo que un circuito entero se resuelve solo con aritmética compleja.
Los cálculos con complejos forman parte de cualquier asignatura de ingeniería eléctrica en la universidad. Allí donde circula corriente alterna, del cargador del móvil a una central eléctrica, el diseño se apoya en los números complejos.

Análisis de señales en comunicaciones y audio (transformada de Fourier)

Las ondas, como el sonido y la radio, se pueden descomponer con la transformada de Fourier, un cálculo que usa números complejos, para saber «cuánto hay de cada tono (frecuencia)». Las redes móviles (wifi, 5G), la compresión de música, la reducción de ruido y el reconocimiento de voz ejecutan por dentro enormes cantidades de estos cálculos complejos.
La fuerza de los números complejos es que un solo número contiene a la vez el tamaño y el desfase de una onda, así que en el procesamiento de señales se usan incluso más que los números reales. La transformada de Fourier en sí es de nivel universitario, pero lo que ocurre dentro es la multiplicación y la suma de complejos que se estudian en 1.º de Bachillerato.

Control de aviones y robots (comprobar la estabilidad)

Al diseñar máquinas que deben amortiguar las sacudidas y mantenerse estables, como pilotos automáticos, drones y robots, los ingenieros comprueban la estabilidad mirando dónde están en el plano complejo las soluciones (números complejos) de la ecuación del sistema. Si las partes reales de las soluciones son negativas, las sacudidas se amortiguan; si alguna es positiva, crecen.
En este campo, la posición de las soluciones en el plano complejo decide directamente si una máquina puede volar con seguridad. La ingeniería de control, que abarca esta prueba de estabilidad, se estudia en la universidad.

Rotaciones en videojuegos y gráficos por ordenador

Si piensas en un punto \((x\,;\,y)\) del plano como el número complejo \(x+yi\), multiplicar por un número complejo de módulo 1 gira el punto alrededor del origen. Por ejemplo, multiplicar por \(i\) lo gira 90 grados. Es justo lo que necesitan los juegos en 2D para hacer girar personajes o proyectiles.
Los cuaterniones, que se usan en los juegos en 3D y en los móviles para seguir su orientación, extienden esta idea de «rotación con números complejos» a tres dimensiones.

Resolver por completo ecuaciones de segundo y tercer grado (matemáticas)

Una ecuación de segundo grado no tiene solución real cuando su discriminante \(D = b^2 - 4ac\) es negativo. Pero si se amplía el sistema numérico a los números complejos, incluso \(x^2 = -1\) tiene las soluciones \(x = \pm i\), y toda ecuación de segundo o tercer grado tiene soluciones (teorema fundamental del álgebra).
Sin más excepciones de «no tiene solución», no solo las matemáticas sino también las teorías de la física y la ingeniería se construyen sobre los números complejos. La aritmética compleja de 1.º de Bachillerato es la puerta de entrada.

Fórmulas y figuras

Suma y resta de números complejos

Figura

Notación matemática (la notación habitual)

\((a+bi) + (c+di)\) \(=\) \((a+c)\) \(+\) \((b+d)i\)

En palabras (los símbolos sustituidos por palabras)

③ suma de \(z_1\) y \(z_2\) \(=\) ① partes reales sumadas \(+\) ② partes imaginarias sumadas, por \(i\)

La fórmula en palabras

① Las partes reales y las partes con \(i\) se pueden tratar por separado. Toma la suma de las partes reales, \(a+c\)

② suma la suma de las partes imaginarias, \(b+d\) con \(i\) al lado

③ y obtienes la suma de \(z_1\) y \(z_2\)

Un ejemplo sencillo

Al calcular \((2+3i) + (4-i)\) (la parte imaginaria de \(4-i\) es \(-1\)):

suma \((2+3i)+(4-i)\) \(=\) partes reales \(2+4\) \(+\) partes imaginarias \(3-1\), por \(i\)

\((2+3i) + (4-i) = (2+4) + (3-1)i = 6 + 2i\)

La idea clave

La resta funciona exactamente igual: se restan por separado las partes reales y las partes imaginarias, así que \((a+bi) - (c+di) = (a-c) + (b-d)i\). El truco es tratar \(i\) como una letra, como \(x\), y reducir los términos semejantes. Al sumar \(2x + 3\) y \(4x - 1\), se reducen por separado los términos con \(x\) y los números. Del mismo modo, reduce por separado los términos con \(i\) (la parte imaginaria) y los números (la parte real). En el plano complejo, la suma es «poner una flecha a continuación de la otra», y los cuatro puntos \(0\), \(z_1\), \(z_2\) y \(z_1+z_2\) forman un paralelogramo (mira la figura de arriba).

Multiplicación de números complejos y \(i^2 = -1\)

Notación matemática (la notación habitual)

\((a+bi)(c+di)\) \(=\) \((ac-bd)\) \(+\) \((ad+bc)i\)

En palabras (los símbolos sustituidos por palabras)

③ producto de \(z_1\) y \(z_2\) \(=\) ① parte real: \(ac\) menos \(bd\) \(+\) ② parte imaginaria: \(ad\) más \(bc\), por \(i\)

La fórmula en palabras

① Desarrolla los paréntesis como harías con letras y sustituye \(i^2\) por \(-1\). Obtienes la parte real \(ac - bd\)

② y la parte imaginaria \(ad + bc\) con \(i\) al lado.

③ Suma las dos y obtienes el producto de \(z_1\) y \(z_2\)

Un ejemplo sencillo

Al calcular \((1+2i)(3+4i)\):

producto \((1+2i)(3+4i)\) \(=\) parte real \(1 \times 3 - 2 \times 4\) \(+\) parte imaginaria \(1 \times 4 + 2 \times 3\), por \(i\)

\((1+2i)(3+4i) = 3 + 4i + 6i + 8i^{2}\)

\(= 3 + 10i - 8 = -5 + 10i\)

La idea clave

Se desarrolla exactamente igual que con letras: \((a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd\) (la propiedad distributiva). Solo hay una regla propia de los números complejos: cada vez que aparece \(i \times i = i^2\), se sustituye por \(-1\). Esto es así porque \(i\) se define como el número cuyo cuadrado es \(-1\) (la unidad imaginaria). Entre los números reales, todo cuadrado es 0 o mayor, así que \(x^2 = -1\) no tiene solución. Al añadir este \(i\) a los números se obtiene un sistema numérico más amplio, el de los números complejos, en el que toda ecuación de segundo grado tiene solución. No hace falta memorizar la fórmula. Basta con «desarrollar y convertir \(i^2\) en \(-1\)» cada vez, y llegas al mismo resultado.

División de números complejos (multiplicando por el conjugado)

Notación matemática (la notación habitual)

\(\dfrac{a+bi}{c+di}\) \(=\) \(\dfrac{ac+bd}{c^{2}+d^{2}}\) \(+\) \(\dfrac{bc-ad}{c^{2}+d^{2}}\,i\)

En palabras (los símbolos sustituidos por palabras)

③ cociente de \(z_1\) entre \(z_2\) \(=\) ① parte real: \(ac+bd\) entre \(c^2+d^2\) \(+\) ② parte imaginaria: \(bc-ad\) entre \(c^2+d^2\), por \(i\)

La fórmula en palabras

① Multiplica numerador y denominador por \(c-di\), el conjugado del denominador. El denominador pasa a ser el número real \(c^2+d^2\) y obtienes la parte real \(\dfrac{ac+bd}{c^2+d^2}\)

② y la parte imaginaria \(\dfrac{bc-ad}{c^2+d^2}\) con \(i\) al lado.

③ Suma las dos y obtienes el cociente de \(z_1\) entre \(z_2\)

Un ejemplo sencillo

Al calcular \(\dfrac{1+2i}{3+4i}\) (multiplica numerador y denominador por \(3-4i\), el conjugado del denominador):

cociente \(\dfrac{1+2i}{3+4i}\) \(=\) parte real \(\dfrac{11}{25}\) \(+\) parte imaginaria \(\dfrac{2}{25}\), por \(i\)

\(\dfrac{1+2i}{3+4i} = \dfrac{(1+2i)(3-4i)}{(3+4i)(3-4i)} = \dfrac{3 - 4i + 6i - 8i^{2}}{3^{2}+4^{2}}\)

\(= \dfrac{11 + 2i}{25} = \dfrac{11}{25} + \dfrac{2}{25}i\)

La idea clave

¿Por qué se multiplica por el conjugado? Porque \((c+di)(c-di) = c^2 - (di)^2 = c^2 + d^2\), así que \(i\) desaparece limpiamente. Se combina la suma por diferencia \((x+y)(x-y) = x^2 - y^2\) con \(i^2 = -1\). Mientras \(i\) siga en el denominador, no se puede leer la forma \(a+bi\) (la parte real y la parte imaginaria), así que lo primero es sacar \(i\) del denominador. Es la misma idea que racionalizar el denominador en ESO, donde multiplicas \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\) arriba y abajo por \(\sqrt{2}\) para quitar la raíz cuadrada del denominador. No se puede dividir entre \(z_2 = 0\) (parte real y parte imaginaria ambas 0). La regla «no se puede dividir entre 0» también vale para los números complejos.

Módulo de un número complejo \(|z|\)

Figura

Notación matemática (la notación habitual)

\(|z|\) \(=\) \(\sqrt{a^{2}+b^{2}}\)

En palabras (los símbolos sustituidos por palabras)

② módulo de \(z\) \(=\) ① raíz cuadrada de (parte real al cuadrado + parte imaginaria al cuadrado)

La fórmula en palabras

① Para un número complejo \(z = a+bi\), la raíz cuadrada de la parte real al cuadrado más la parte imaginaria al cuadrado, \(\sqrt{a^2+b^2}\)

② es el módulo de \(z\)

Un ejemplo sencillo

El módulo de \(z = 3+4i\) es

módulo de \(3+4i\) \(=\) \(\sqrt{3^2+4^2}\)

\(|3+4i| = \sqrt{3^{2}+4^{2}} = \sqrt{25} = 5\)

\(|1+i| = \sqrt{1^{2}+1^{2}} = \sqrt{2}\)

La idea clave

El módulo \(|z|\) (también llamado valor absoluto) es la distancia del origen a \(z\) en el plano complejo (mira la figura de arriba). El punto está \(a\) a la derecha y \(b\) arriba, así que la distancia es simplemente el teorema de Pitágoras. Puedes verlo como el valor absoluto de un número real (su distancia a 0 en la recta numérica) llevado al plano. Con el conjugado \(\overline{z} = a-bi\) se cumple \(z \times \overline{z} = a^2 + b^2 = |z|^2\). Por eso, en la división, multiplicar por el conjugado convierte el denominador en \(|z_2|^2\), un número real positivo. A veces la raíz cuadrada desaparece, como en \(\sqrt{25} = 5\), y a veces se queda, como en \(\sqrt{2}\). Esta calculadora también simplifica radicales, como \(\sqrt{48} = 4\sqrt{3}\), y responde con valores exactos.

La regla básica de los números complejos es tratar \(i\) como una letra y sustituir \(i^2\) por \(-1\) cada vez que aparece. Solo la división necesita un paso más: multiplica numerador y denominador por el conjugado del denominador para hacer real el denominador y luego separa el resultado en su parte real y su parte imaginaria.

Símbolos y términos

Símbolos

\(i\)	i	La unidad imaginaria. Se define como el número cuyo cuadrado es \(-1\) (\(i^2 = -1\)). La letra viene de «imaginario». (En ingeniería eléctrica se usa \(j\) en su lugar, porque \(i\) representa la intensidad de corriente.)
\(z\)	z	La letra que se usa normalmente para un número complejo. Por costumbre, \(z\) y \(w\) se usan para números complejos, para distinguirlos de las variables reales \(x\) e \(y\).
\(z_1,\ z_2\)	z sub uno, z sub dos	Los números complejos primero y segundo. El número pequeño de abajo a la derecha (el subíndice) es solo una etiqueta que indica cuál es. No es lo mismo que un exponente, que se escribe arriba a la derecha.
\(a,\ b,\ c,\ d\)	a, b, c, d	En esta página, \(a\) es la parte real y \(b\) la parte imaginaria de \(z_1 = a+bi\), y \(c\) es la parte real y \(d\) la parte imaginaria de \(z_2 = c+di\). Por costumbre, las letras del principio del alfabeto representan números fijos.
\(\overline{z}\)	z barra	El conjugado de \(z\). Para \(z = a+bi\), es \(a-bi\), con solo el signo de la parte imaginaria cambiado. La barra de arriba marca «la pareja». Algunos libros lo escriben \(z^*\).
\(\|z\|\)	módulo de z	El módulo (valor absoluto) de \(z\). Es la distancia del origen a \(z\) en el plano complejo, que se calcula como \(\|a+bi\| = \sqrt{a^2+b^2}\). Se escribe con dos barras verticales, igual que el valor absoluto de un número real.

Términos

número complejo	Un número de la forma \(a+bi\), donde \(a\) y \(b\) son números reales. Es un sistema numérico más amplio que incluye los números reales y los números imaginarios, y en él toda ecuación de segundo grado tiene solución.
número imaginario	Un número complejo que no es real, es decir, \(a+bi\) con parte imaginaria \(b\) distinta de 0. (Algunos libros usan «número imaginario» solo para los imaginarios puros, como \(2i\).) A pesar del nombre, estos números son muy útiles en cálculos reales de electricidad y física.
unidad imaginaria	El número \(i\). Se define por \(i^2 = -1\), y todo número imaginario se escribe con \(i\).
parte real	El \(a\) de \(a+bi\), la «parte de número real» de un número complejo. En el plano complejo, es la coordenada a lo largo del eje horizontal (el eje real).
parte imaginaria	El \(b\) de \(a+bi\) (sin la \(i\)). En el plano complejo, es la coordenada a lo largo del eje vertical (el eje imaginario). Por ejemplo, la parte imaginaria de \(3-2i\) es \(-2\).
número imaginario puro	Un número complejo cuya parte real es 0 y cuya parte imaginaria no es 0, como \(2i\) o \(-3i\). En el plano complejo, está sobre el eje imaginario.
conjugado	Para \(a+bi\), el número \(a-bi\). Se dice también «el conjugado». Su propiedad clave es que el producto \((a+bi)(a-bi) = a^2+b^2\) es un número real mayor o igual que 0, y por eso se usa para hacer real el denominador en la división.
módulo (valor absoluto)	La distancia \(\sqrt{a^2+b^2}\) desde el origen en el plano complejo. Extiende el valor absoluto de un número real (su distancia a 0 en la recta numérica) al plano. Se escribe \(\|z\|\).
plano complejo	Un plano con la parte real en el eje horizontal y la parte imaginaria en el eje vertical, donde \(a+bi\) se representa como el punto \((a\,;\,b)\). Su dibujo también se llama diagrama de Argand. Se estudia con detalle en 1.º de Bachillerato (16-17 años), pero esta página lo usa como herramienta para «ver» los números complejos.
eje real	El eje horizontal del plano complejo, donde están los números reales. Un número real es un número complejo con parte imaginaria 0, así que está sobre el eje real.
eje imaginario	El eje vertical del plano complejo, donde están los imaginarios puros (números complejos con parte real 0, como \(2i\)).
hacer real el denominador	En una fracción con denominador complejo, multiplicar numerador y denominador por el conjugado del denominador para que el denominador pase a ser real. Es la versión con números complejos de racionalizar el denominador (quitar una raíz cuadrada del denominador).
desarrollar	Quitar los paréntesis de una expresión y escribirla como suma o resta de términos. Como en \((a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd\), cada término de un paréntesis se multiplica por todos los términos del otro.
términos semejantes	Términos con la misma parte literal. Al sumar o restar números complejos, los términos con \(i\) (la parte imaginaria) y los términos sin \(i\) (la parte real) se reducen cada uno por separado como términos semejantes.
discriminante	La expresión \(D = b^2-4ac\), que indica qué tipo de soluciones tiene la ecuación de segundo grado \(ax^2+bx+c=0\). Cuando \(D < 0\) no hay solución real, pero hay soluciones complejas \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{-D}\,i}{2a}\). Suele ser aquí donde se conocen por primera vez los números complejos.

Qué conviene saber de antemano

Esto es lo que te ayuda a usar el cálculo de esta página comprendiéndolo de verdad y no solo pulsando el botón.
Si te atascas, repasar estos temas es el camino más rápido.

Desarrollar expresiones y términos semejantes (2.º–3.º de ESO, 13-15 años)	Saber desarrollar un producto de paréntesis, como en \((a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd\) Saber usar la suma por diferencia \((x+y)(x-y) = x^{2}-y^{2}\) (es exactamente por lo que multiplicar por el conjugado da un número real) Saber reducir términos semejantes, como en \(2x + 3x = 5x\)
Raíces cuadradas y radicales (3.º–4.º de ESO, 14-16 años)	Saber que la raíz cuadrada es el número positivo cuyo cuadrado es el número de dentro, como en \(\sqrt{25} = 5\) Saber simplificar un radical sacando factores cuadrados, como en \(\sqrt{48} = 4\sqrt{3}\)
Racionalización de denominadores (3.º–4.º de ESO, 14-16 años)	Saber quitar un radical del denominador multiplicando arriba y abajo por el mismo número, como en \(\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\) (hacer real el denominador es la versión con números complejos de esta idea)
El plano cartesiano y el teorema de Pitágoras (1.º–3.º de ESO, 12-15 años)	Saber representar el punto \((a\,;\,b)\) en el plano cartesiano (el plano complejo es un plano cartesiano con la parte real en horizontal y la parte imaginaria en vertical) Saber, por el teorema de Pitágoras, que la distancia entre el origen y \((a\,;\,b)\) es \(\sqrt{a^{2}+b^{2}}\) (eso es en realidad el módulo de un número complejo)
Ecuaciones de segundo grado y discriminante (3.º–4.º de ESO, 14-16 años)	Saber usar la fórmula de las ecuaciones de segundo grado \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\) Saber que, cuando el discriminante \(D = b^{2}-4ac\) es negativo, no hay solución real (aquí es donde aparecen los números imaginarios)
Operaciones con fracciones (5.º de Primaria–1.º de ESO, 10-13 años)	Saber simplificar fracciones y reducirlas a común denominador (los resultados se muestran como fracciones simplificadas, como \(\dfrac{11}{25}\)) Saber pasar una fracción a decimal (\(\dfrac{11}{25}\) a 0,44)

Cómo calcularlo con Excel

Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Excel. Funciona tal cual.

Tabla para las cuatro operaciones con números complejos

Parte real a de z₁	1
Parte imaginaria b de z₁	2
Parte real c de z₂	3
Parte imaginaria d de z₂	4
Número complejo z₁	=COMPLEJO(B1;B2)
Número complejo z₂	=COMPLEJO(B3;B4)
Suma z₁ + z₂	=IM.SUM(B5;B6)
Resta z₁ − z₂	=IM.SUSTR(B5;B6)
Producto z₁ × z₂	=IM.PRODUCT(B5;B6)
Cociente z₁ ÷ z₂	=IM.DIV(B5;B6)

Tabla para el conjugado y el módulo

Parte real a	3
Parte imaginaria b	4
Número complejo z	=COMPLEJO(B1;B2)
Conjugado	=IM.CONJUGADA(B3)
Módulo \|z\|	=IM.ABS(B3)

Tabla para comprobar la división (multiplicando por el conjugado)

Parte real a de z₁	1
Parte imaginaria b de z₁	2
Parte real c de z₂	3
Parte imaginaria d de z₂	4
Denominador c²+d²	=B3^2+B4^2
Parte real del cociente (ac+bd)÷(c²+d²)	=(B1B3+B2B4)/B5
Parte imaginaria del cociente (bc−ad)÷(c²+d²)	=(B2B3-B1B4)/B5

Excel tiene un conjunto completo de funciones para números complejos. COMPLEJO crea un número complejo (una cadena de texto como «1+2i») a partir de las partes real e imaginaria, y se lo pasas a IM.SUM (suma), IM.SUSTR (resta), IM.PRODUCT (producto) o IM.DIV (cociente).
La primera tabla usa z₁ = 1+2i y z₂ = 3+4i. La suma muestra «4+6i», la resta «-2-2i», el producto «-5+10i» y el cociente «0,44+0,08i» (estos resultados son texto, no números).
La segunda tabla usa z = 3+4i. El conjugado es «3-4i» y el módulo es 5 (solo IM.ABS devuelve un número normal).
La tercera tabla comprueba la división sin las funciones de números complejos, siguiendo directamente la fórmula del conjugado. La parte real del cociente es 0,44 (= 11/25) y la parte imaginaria es 0,08 (= 2/25), que coinciden con el resultado de IM.DIV. «^» es la potencia, «*» la multiplicación y «/» la división.

Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google

Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Hojas de cálculo de Google. Funciona tal cual.

Tabla para las cuatro operaciones con números complejos

Parte real a de z₁	1
Parte imaginaria b de z₁	2
Parte real c de z₂	3
Parte imaginaria d de z₂	4
Número complejo z₁	=COMPLEJO(B1;B2)
Número complejo z₂	=COMPLEJO(B3;B4)
Suma z₁ + z₂	=IM.SUM(B5;B6)
Resta z₁ − z₂	=IM.SUSTR(B5;B6)
Producto z₁ × z₂	=IM.PRODUCT(B5;B6)
Cociente z₁ ÷ z₂	=IM.DIV(B5;B6)

Tabla para el conjugado y el módulo

Parte real a	3
Parte imaginaria b	4
Número complejo z	=COMPLEJO(B1;B2)
Conjugado	=IM.CONJUGADA(B3)
Módulo \|z\|	=IM.ABS(B3)

Tabla para comprobar la división (multiplicando por el conjugado)

Parte real a de z₁	1
Parte imaginaria b de z₁	2
Parte real c de z₂	3
Parte imaginaria d de z₂	4
Denominador c²+d²	=B3^2+B4^2
Parte real del cociente (ac+bd)÷(c²+d²)	=(B1B3+B2B4)/B5
Parte imaginaria del cociente (bc−ad)÷(c²+d²)	=(B2B3-B1B4)/B5

Hojas de cálculo de Google tiene las mismas funciones de números complejos que Excel (COMPLEJO, IM.SUM, IM.SUSTR, IM.PRODUCT, IM.DIV, IM.CONJUGADA e IM.ABS), así que las mismas fórmulas funcionan tal cual. Copia la tabla entera, pégala en la celda A1 y sustituye las partes reales y las partes imaginarias por tus números.

Cómo calcularlo con Python

from fractions import Fraction
import math

# Partes real e imaginaria de z1 = a + bi y z2 = c + di (una fracción como 3/4 se puede escribir Fraction(3, 4))
z1_real, z1_imag = Fraction(1), Fraction(2)
z2_real, z2_imag = Fraction(3), Fraction(4)

# Suma y resta: se combinan por separado las partes reales y las partes imaginarias
add_real, add_imag = z1_real + z2_real, z1_imag + z2_imag
sub_real, sub_imag = z1_real - z2_real, z1_imag - z2_imag

# Producto: la fórmula (ac-bd) + (ad+bc)i, que sale de desarrollar y sustituir i^2 = -1
mul_real = z1_real * z2_real - z1_imag * z2_imag
mul_imag = z1_real * z2_imag + z1_imag * z2_real

# Cociente: se multiplica por el conjugado. El denominador pasa a ser el número real c^2 + d^2
denominator = z2_real ** 2 + z2_imag ** 2
div_real = (z1_real * z2_real + z1_imag * z2_imag) / denominator
div_imag = (z1_imag * z2_real - z1_real * z2_imag) / denominator

# Módulo del cociente: raíz cuadrada de (parte real al cuadrado + parte imaginaria al cuadrado)
abs_squared = div_real ** 2 + div_imag ** 2
abs_value = math.sqrt(abs_squared)

# Formato a+bi (si la parte imaginaria es negativa, se muestra como una resta, por ejemplo -2 - 2i)
def to_complex_str(real, imag):
    sign = "-" if imag < 0 else "+"
    return f"{real} {sign} {abs(imag)}i"

print(f"Suma: {to_complex_str(add_real, add_imag)}")
print(f"Resta: {to_complex_str(sub_real, sub_imag)}")
print(f"Producto: {to_complex_str(mul_real, mul_imag)}")
print(f"Cociente: {to_complex_str(div_real, div_imag)}")
print(f"Módulo del cociente al cuadrado (fracción): {abs_squared}")
print(f"Módulo del cociente (decimal): {abs_value}")

Con el módulo fractions de la biblioteca estándar puedes calcular con fracciones exactas y sin errores de redondeo decimal. Este ejemplo usa z₁ = 1+2i y z₂ = 3+4i. El cociente se imprime como «11/25 + 2/25i» y el cuadrado de su módulo como «1/5» (así que el módulo es √5/5 ≈ 0,447). Cambia las partes real e imaginaria y ejecútalo. Si no necesitas valores exactos, Python también tiene un tipo complejo integrado, así que puedes calcular directamente con j, como en (1+2j)/(3+4j).

La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)

Suma y resta de números complejos

(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i

(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mo>(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mi>i</mi><mo>)</mo>
    <mo>+</mo>
    <mo>(</mo><mi>c</mi><mo>+</mo><mi>d</mi><mi>i</mi><mo>)</mo>
    <mo>=</mo>
    <mo>(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>c</mi><mo>)</mo>
    <mo>+</mo>
    <mo>(</mo><mi>b</mi><mo>+</mo><mi>d</mi><mo>)</mo><mi>i</mi>
  </mrow>
</math>

(a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i

ComplexExpand[(a + b I) + (c + d I)]

evalc((a + b*I) + (c + d*I));

z = (a + b*1i) + (c + d*1i);

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i

Multiplicación de números complejos y \(i^2 = -1\)

(a+bi)(c+di) = (ac−bd) + (ad+bc)i

(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mo>(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mi>i</mi><mo>)</mo>
    <mo>(</mo><mi>c</mi><mo>+</mo><mi>d</mi><mi>i</mi><mo>)</mo>
    <mo>=</mo>
    <mo>(</mo><mi>a</mi><mi>c</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>b</mi><mi>d</mi><mo>)</mo>
    <mo>+</mo>
    <mo>(</mo><mi>a</mi><mi>d</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mi>c</mi><mo>)</mo><mi>i</mi>
  </mrow>
</math>

(a+bi)(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i

ComplexExpand[(a + b I) (c + d I)]

evalc((a + b*I) * (c + d*I));

z = (a + b*1i) * (c + d*1i);

(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i

División de números complejos (multiplicando por el conjugado)

(a+bi)/(c+di) = (ac+bd)/(c²+d²) + {(bc−ad)/(c²+d²)}i

\frac{a+bi}{c+di} = \frac{ac+bd}{c^{2}+d^{2}} + \frac{bc-ad}{c^{2}+d^{2}}\,i

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    <mfrac>
      <mrow><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mi>i</mi></mrow>
      <mrow><mi>c</mi><mo>+</mo><mi>d</mi><mi>i</mi></mrow>
    </mfrac>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>a</mi><mi>c</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mi>d</mi></mrow>
      <mrow><msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>d</mi><mn>2</mn></msup></mrow>
    </mfrac>
    <mo>+</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>b</mi><mi>c</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>a</mi><mi>d</mi></mrow>
      <mrow><msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>d</mi><mn>2</mn></msup></mrow>
    </mfrac>
    <mi>i</mi>
  </mrow>
</math>

(a+bi)/(c+di) = (ac+bd)/(c^2+d^2) + ((bc-ad)/(c^2+d^2))i

ComplexExpand[(a + b I)/(c + d I)]

evalc((a + b*I) / (c + d*I));

z = (a + b*1i) / (c + d*1i);

(a+bi)/(c+di)=(ac+bd)/(c^2+d^2)+((bc-ad)/(c^2+d^2))i

Módulo de un número complejo \(|z|\)

|a+bi| = √(a²+b²)

\lvert a+bi \rvert = \sqrt{a^{2}+b^{2}}

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    <mo>|</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mi>i</mi><mo>|</mo>
    <mo>=</mo>
    <msqrt>
      <mrow><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup></mrow>
    </msqrt>
  </mrow>
</math>

|a+bi| = sqrt(a^2+b^2)

ComplexExpand[Abs[a + b I]]

abs(a + b*I);

r = abs(a + b*1i);

|a+bi| = √(a^2+b^2)

Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo

Eres un asistente de cálculo de matemáticas para números complejos. Haz el cálculo siguiente ejecutando realmente código de Python y basa tu respuesta únicamente en los números del resultado de la ejecución (no respondas con cálculo mental ni con suposiciones).

Para los dos números complejos z1 = 1 + 2i y z2 = 3 + 4i, muestra cada uno de estos resultados:
1. La suma z1 + z2, la resta z1 − z2 y el producto z1 × z2 (en forma a+bi)
2. El cociente z1 ÷ z2 (en forma a+bi con las fracciones simplificadas, con los pasos de multiplicar por el conjugado del denominador)
3. El conjugado y el módulo del cociente (el módulo, tanto como valor exacto con el radical simplificado como en decimales)

En Python, usa el módulo fractions de la biblioteca estándar para calcular las partes real e imaginaria de forma exacta, y muestra las fórmulas que has usado y los números del resultado de la ejecución.

Cómo usar

1

Introduce los números

Escribe en los campos los números con los que quieres calcular
2

Calcula

Haz clic en el botón «Calcular»
3

Consulta el resultado

El resultado aparece al instante. En la misma página también encontrarás el desarrollo del cálculo y la explicación de la fórmula