Calculadora de producto vectorial (componentes, área del paralelogramo y vector normal)

Introduce las componentes de los dos vectores a y b. La fórmula de abajo está enlazada con los campos, así que también puedes calcular cambiando directamente los números apilados en ella. Con vectores 2D, deja en blanco (0) los campos de la componente z.

Componente x de a (a₁)

Componente y de a (a₂)

Componente z de a (a₃)

Componente x de b (b₁)

Componente y de b (b₂)

Componente z de b (b₃)

Escribe solo números. Se admiten decimales, negativos y fracciones como 3/4. Las componentes en blanco se toman como 0.

Resultado y figura

Introduce las componentes de los dos vectores en los campos de la izquierda y haz clic en «Calcular». Aquí aparecerán el resultado y una figura en 3D.

Índice

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Qué puedes hacer en esta página
¿Para qué sirve este cálculo?
Cómo usar
Fórmulas y figuras
Símbolos y términos
- Símbolos
- Términos
Qué conviene saber de antemano
Cómo calcularlo con Excel
Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google
Cómo calcularlo con Python
La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)
Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo
Las ventajas de DataChef
Funciones relacionadas
Todas las calculadoras de NumberChef

Qué puedes hacer en esta página

Introduce las componentes de dos vectores 3D \(\vec{a}\) y \(\vec{b}\) y obtén las componentes del producto vectorial \(\vec{a}\times\vec{b}\), con cada paso de la multiplicación en cruz
El módulo \(|\vec{a}\times\vec{b}|\) (el área del paralelogramo que forman los dos vectores) se muestra como valor exacto con raíz, como \(3\sqrt{6}\), y como decimal. El área del triángulo (la mitad) se calcula a la vez
También obtienes el vector normal unitario \(\vec{n}\), perpendicular a \(\vec{a}\) y a \(\vec{b}\), el ángulo \(\theta\) entre los dos vectores y la comprobación de que los productos escalares valen 0 (la prueba de la perpendicularidad)
El resultado se dibuja también en una figura 3D que puedes girar con el ratón, para que veas cómo el producto vectorial queda perpendicular al paralelogramo (regla de la mano derecha)
Las componentes pueden ser decimales, negativas o fracciones como 3/4. Deja en blanco las componentes z (0) para usarlo también con vectores 2D
En esta misma página también tienes una explicación sencilla de las fórmulas y fórmulas para copiar y pegar en Excel, Hojas de cálculo de Google y Python

El producto vectorial solo está definido para vectores del espacio (3D). Con vectores 2D, la componente z se toma como 0 y el producto vectorial solo tiene componente z. En España el producto vectorial se estudia en Matemáticas II de 2.º de Bachillerato (17-18 años) y en los primeros cursos de Física e Ingeniería en la universidad. En ingeniería, en física y en gráficos 3D es una de las primeras herramientas básicas que se aprenden.

¿Para qué sirve este cálculo?

Sombreado en gráficos 3D y videojuegos (hallar hacia dónde mira una superficie)

En las imágenes 3D de los videojuegos y del cine, la superficie de un objeto se divide en muchos triángulos pequeños. El vector normal que indica hacia dónde mira cada triángulo se calcula como el producto vectorial de dos de sus vectores de lado. La relación entre la dirección de la luz y este vector normal decide si la superficie se ve clara u oscura.
Las superficies curvas parecen iluminadas con suavidad porque el sombreado se calcula a partir de estos vectores normales, cara por cara.

Apretar un tornillo con una llave (momento de una fuerza)

El efecto de giro de una fuerza se llama momento de una fuerza (o par). Es el producto vectorial del vector que va del centro de giro al punto donde empujas por el vector de la fuerza. Su módulo, \(|\vec{r}||\vec{F}|\sin\theta\), concuerda con la experiencia diaria: «una llave más larga gira con más facilidad» y «empujar formando un ángulo recto con el mango es lo que mejor funciona».
Los mecánicos usan una llave dinamométrica para apretar los tornillos de un coche a un valor fijado porque esta es la magnitud que necesitan controlar.

Cómo gira un motor eléctrico (fuerza de un campo magnético)

Una corriente eléctrica dentro de un campo magnético sufre una fuerza perpendicular a la corriente y al campo. La dirección, el sentido y el valor de esta fuerza los da el producto vectorial del vector de la corriente por el vector del campo magnético (para una sola carga, como un electrón, es el producto vectorial de su velocidad por el campo, \(\vec{F} = q\vec{v}\times\vec{B}\)). Esta fuerza perpendicular es la que hace girar un motor y mueve el cono de un altavoz.
La regla de la mano derecha que se estudia en Física de Bachillerato es una manera de hallar con la mano la dirección y el sentido de este producto vectorial.

Topografía y superficie de parcelas (área a partir de coordenadas)

La superficie de una parcela se calcula a partir de las coordenadas medidas de los puntos de su contorno. Recorre los vértices del polígono en orden, calcula \(x_1y_2 - x_2y_1\) para cada pareja de puntos vecinos, súmalos todos y toma la mitad del valor absoluto del total. Obtienes el área sin medir cada lado. La clave es sumar los términos con su signo, sin tomar valores absolutos uno por uno. Así las partes sobrantes se cancelan solas y hasta una parcela con una entrada (cóncava) da el área correcta. Esto usa la componente \(z\) del producto vectorial (el área con signo) y se conoce como fórmula del área de Gauss, o «fórmula del cordón del zapatero».
La misma idea se usa para calcular la superficie de parcelas en las mediciones topográficas y en los programas de cartografía (los SIG, sistemas de información geográfica).

Orientar drones y robots (hallar el eje de giro)

Para girar un dron o un robot desde «la dirección a la que mira ahora» hasta «la dirección a la que debe mirar», hay que decidir alrededor de qué eje se gira y cuántos grados. El producto vectorial de los dos vectores de dirección da un vector perpendicular a los dos, que es justo el eje de giro. El ángulo se halla combinando el módulo del producto vectorial (la parte \(\sin\theta\)) y el producto escalar (la parte \(\cos\theta\)).
La misma idea se usa en el control de vuelo de los drones y para girar la cabeza o el brazo de un personaje hacia un objetivo en la animación 3D.

Fórmulas y figuras

Componentes del producto vectorial (multiplicación en cruz)

Figura

Notación matemática (la notación habitual)

\(\vec{a} \times \vec{b}\) \(=\) \((\) \(a_2 b_3 - a_3 b_2\) \(,\) \(a_3 b_1 - a_1 b_3\) \(,\) \(a_1 b_2 - a_2 b_1\) \()\)

En palabras (los símbolos sustituidos por palabras)

④ \(\vec{a}\times\vec{b}\): producto vectorial \(=\) \((\) ① componente \(x\) (en cruz con \(y\) y \(z\)) \(,\) ② componente \(y\) (en cruz con \(z\) y \(x\)) \(,\) ③ componente \(z\) (en cruz con \(x\) y \(y\)) \()\)

La fórmula en palabras

① Con \(\vec{a} = (a_1\,;\,a_2\,;\,a_3)\) y \(\vec{b} = (b_1\,;\,b_2\,;\,b_3)\), primero calcula la componente \(x\), que sale de multiplicar en cruz \(y\) y \(z\): \(a_2b_3 - a_3b_2\) ,

② después la componente \(y\), que sale de multiplicar en cruz \(z\) y \(x\): \(a_3b_1 - a_1b_3\) ,

③ y por último la componente \(z\), que sale de multiplicar en cruz \(x\) y \(y\): \(a_1b_2 - a_2b_1\) .

④ El vector que tiene estos tres números como componentes es el \(\vec{a}\times\vec{b}\): producto vectorial

Un ejemplo sencillo

El producto vectorial de \(\vec{a} = (1\,;\,2\,;\,3)\) y \(\vec{b} = (4\,;\,5\,;\,6)\) es

\(\vec{a}\times\vec{b}\): producto vectorial \(=\) \((\) componente \(x\) (\(2 \times 6 - 3 \times 5\)) \(,\) componente \(y\) (\(3 \times 4 - 1 \times 6\)) \(,\) componente \(z\) (\(1 \times 5 - 2 \times 4\)) \()\)

\(\vec{a} \times \vec{b} = (2 \times 6 - 3 \times 5\,;\ \ 3 \times 4 - 1 \times 6\,;\ \ 1 \times 5 - 2 \times 4)\)

\(= (12 - 15\,;\ \ 12 - 6\,;\ \ 5 - 8) = (-3\,;\,6\,;\,-3)\)

La idea clave

No hace falta memorizar las tres componentes una por una: la multiplicación en cruz las construye. Imagina el orden \(x \to y \to z \to x \to y \to z\), dando vueltas en círculo (se llama orden cíclico). Tapa la letra de la componente que quieres y lee las dos siguientes: para la componente \(x\) son \(y,\ z\), para la componente \(y\) son \(z,\ x\) y para la componente \(z\) son \(x,\ y\). Escribe solo esas dos columnas de \(\vec{a}\) y \(\vec{b}\) en dos filas y toma el producto de la diagonal que baja hacia la derecha menos el de la diagonal que sube hacia la derecha. La figura de arriba muestra estos pasos. Solo la componente \(y\), \(a_3b_1 - a_1b_3\), parece al revés respecto a las otras. Eso ocurre porque las letras se leen en el orden \(z,\ x\), no \(x,\ z\). Si te equivocas en este orden, solo la componente \(y\) sale con el signo cambiado. Muchos libros de texto escriben este mismo cálculo como un determinante 3×3 con los vectores unitarios \(\mathbf{i},\ \mathbf{j},\ \mathbf{k}\) en la primera fila y las componentes de \(\vec{a}\) y \(\vec{b}\) en las dos filas de debajo. Al desarrollarlo por la primera fila salen exactamente estas tres componentes (el signo menos delante de \(\mathbf{j}\) es la razón de que la componente \(y\) parezca al revés). Ten en cuenta también que \(\vec{b} \times \vec{a}\) tiene el signo contrario de \(\vec{a} \times \vec{b}\) (\(\vec{b} \times \vec{a} = -\left( \vec{a} \times \vec{b} \right)\)). Si cambias el orden, cambia la respuesta, así que, a diferencia del producto escalar, el orden importa.

Módulo del producto vectorial (\(|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta\))

Figura

Notación matemática (la notación habitual)

\(\left| \vec{a} \times \vec{b} \right|\) \(=\) \(\left| \vec{a} \right|\) \(\left| \vec{b} \right|\) \(\sin\theta\)

En palabras (los símbolos sustituidos por palabras)

④ \(|\vec{a}\times\vec{b}|\): módulo del producto vectorial \(=\) ① \(|\vec{a}|\): módulo de \(\vec{a}\) ② \(|\vec{b}|\): módulo de \(\vec{b}\) ③ \(\sin\theta\): seno del ángulo \(\theta\) que forman

La fórmula en palabras

① Multiplica el \(|\vec{a}|\): módulo de \(\vec{a}\)

② por el \(|\vec{b}|\): módulo de \(\vec{b}\) ,

③ después por el \(\sin\theta\): seno del ángulo \(\theta\) que forman los dos vectores ,

④ y obtienes el \(|\vec{a}\times\vec{b}|\): módulo del producto vectorial

Un ejemplo sencillo

Cuando un vector de módulo 4 y otro de módulo 3 forman un ángulo de 30°, el módulo del producto vectorial es

módulo del producto vectorial \(=\) módulo de \(\vec{a}\) (4) módulo de \(\vec{b}\) (3) \(\sin 30^\circ\)

\(\left| \vec{a} \times \vec{b} \right| = 4 \times 3 \times \sin 30^\circ = 4 \times 3 \times \dfrac{1}{2} = 6\)

La idea clave

El área de un paralelogramo es «base × altura». Si la base es \(|\vec{a}|\), la altura es \(|\vec{b}|\sin\theta\) (la línea discontinua de la figura de arriba). Por tanto, \(|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta\) es exactamente el área del paralelogramo. El ángulo \(\theta\) se toma entre 0° y 180°. En ese intervalo \(\sin\theta\) nunca es negativo, así que \(|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta\) tampoco lo es y sirve directamente como longitud o como área. (\(\cos\theta\) se hace negativo a partir de 90°, y por eso el producto escalar puede ser negativo.) El producto escalar es \(|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\), mientras que el módulo del producto vectorial usa \(\sin\theta\). Cuando los dos vectores tienen el mismo sentido (\(\theta = 0^\circ\)) o sentidos contrarios (\(\theta = 180^\circ\)), \(\sin\theta = 0\) y el producto vectorial es el vector nulo. En un ángulo recto (\(\theta = 90^\circ\)), \(\sin\theta = 1\), el valor máximo. «Cero si son paralelos y máximo si son perpendiculares» es justo lo contrario que en el producto escalar. Esta fórmula es útil cuando conoces el ángulo. Cuando conoces las componentes, es más rápido hallar las componentes con la multiplicación en cruz (fórmula 1) y calcular después el módulo, y así no se cuela ningún error de redondeo del ángulo. Esta calculadora también trabaja de forma exacta a partir de las componentes.

Área del paralelogramo y del triángulo

Figura

Notación matemática (la notación habitual)

\(S\) \(=\) \(\left| \vec{a} \times \vec{b} \right|\)

\(S_{\triangle}\) \(=\) \(\dfrac{1}{2} \left| \vec{a} \times \vec{b} \right|\)

En palabras (los símbolos sustituidos por palabras)

② \(S\): área del paralelogramo \(=\) ① \(|\vec{a}\times\vec{b}|\): módulo del producto vectorial

④ \(S_{\triangle}\): área del triángulo \(=\) ③ la mitad del módulo del producto vectorial

La fórmula en palabras

① Piensa en el paralelogramo que tiene los dos vectores como dos de sus lados. El \(|\vec{a}\times\vec{b}|\): módulo del producto vectorial es justo el

② \(S\): área del paralelogramo ,

③ y la mitad del módulo del producto vectorial es el

④ \(S_{\triangle}\): área del triángulo que tiene los dos vectores como dos de sus lados

Un ejemplo sencillo

Las áreas del paralelogramo y del triángulo que forman \(\vec{a} = (1\,;\,2\,;\,3)\) y \(\vec{b} = (4\,;\,5\,;\,6)\) son (el producto vectorial es \((-3\,;\,6\,;\,-3)\), según la fórmula 1)

área del paralelogramo \(=\) módulo del producto vectorial \((-3\,;\,6\,;\,-3)\)

\(S = \sqrt{(-3)^{2} + 6^{2} + (-3)^{2}} = \sqrt{54} = 3\sqrt{6} \approx 7{,}34846922835\)

\(S_{\triangle} = \dfrac{1}{2} \times 3\sqrt{6} = \dfrac{3\sqrt{6}}{2} \approx 3{,}67423461417\)

La idea clave

Si cortas un paralelogramo por una diagonal, salen dos triángulos iguales. Por tanto, el área del triángulo es exactamente la mitad del área del paralelogramo. Para hallar el área del triángulo que forman tres puntos A, B y C del espacio, calcula el producto vectorial de \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) y \(\overrightarrow{\mathrm{AC}}\) y toma la mitad de su módulo. No hace falta medir los tres lados ni usar la fórmula de Herón: con solo conocer las coordenadas obtienes el área. Esa es una ventaja del producto vectorial. El módulo suele salir con números grandes bajo la raíz, como \(\sqrt{54}\). Busca un cuadrado perfecto, como en \(54 = 9 \times 6\), y simplifica a \(3\sqrt{6}\) (la regla es sacar de la raíz todos los factores que puedas). Esta calculadora muestra tanto el radical simplificado como el decimal.

Vector normal unitario (perpendicular a los dos, de longitud 1)

Figura

Notación matemática (la notación habitual)

\(\vec{n}\) \(=\) \(\dfrac{1}{\left| \vec{a} \times \vec{b} \right|}\) \(\left( \vec{a} \times \vec{b} \right)\)

En palabras (los símbolos sustituidos por palabras)

③ \(\vec{n}\): vector normal unitario \(=\) ② dividir entre el módulo (la longitud pasa a ser 1) ① \(\vec{a}\times\vec{b}\): producto vectorial

La fórmula en palabras

① Toma el \(\vec{a}\times\vec{b}\): producto vectorial y

② divídelo entre su módulo \(|\vec{a}\times\vec{b}|\) (= multiplícalo por 1 entre el módulo) . El sentido se mantiene y solo la longitud pasa a ser 1, con lo que obtienes el

③ \(\vec{n}\): vector normal unitario

Un ejemplo sencillo

Cuando el producto vectorial es \((-3\,;\,6\,;\,-3)\) y su módulo es \(3\sqrt{6}\), el vector normal unitario es

\(\vec{n}\): vector normal unitario \(=\) dividir entre el módulo \(3\sqrt{6}\) producto vectorial \((-3\,;\,6\,;\,-3)\)

\(\vec{n} = \dfrac{1}{3\sqrt{6}}(-3\,;\,6\,;\,-3) \approx (-0{,}408248290464\,;\,0{,}816496580928\,;\,-0{,}408248290464)\)

\(\vec{a} \cdot \left( \vec{a} \times \vec{b} \right) = 1 \times (-3) + 2 \times 6 + 3 \times (-3) = 0\)

La idea clave

El producto vectorial es perpendicular a los dos vectores originales. Si calculas los productos escalares, siempre obtienes \(\vec{a} \cdot (\vec{a}\times\vec{b}) = 0\) y \(\vec{b} \cdot (\vec{a}\times\vec{b}) = 0\) (un producto escalar igual a 0 indica que los vectores son perpendiculares). Esta calculadora comprueba que los dos valen 0 y los muestra en el resultado. Un vector perpendicular a un plano se llama vector normal, y un vector normal ajustado a longitud 1 es un vector normal unitario. Prescinde de la longitud y conserva solo la dirección y el sentido, que es lo que necesitas cuando solo importa «hacia dónde mira la superficie», como en el sombreado de los gráficos 3D. Un plano tiene dos sentidos perpendiculares, hacia delante y hacia atrás, y es tu mano derecha la que decide cuál obtienes. Curva los dedos de la mano derecha de \(\vec{a}\) hacia \(\vec{b}\): el pulgar apunta entonces en el sentido de \(\vec{a}\times\vec{b}\) (la regla de la mano derecha). \(\vec{b}\times\vec{a}\) apunta en el sentido contrario, hacia la parte de atrás del plano. Por eso un plano tiene dos vectores normales unitarios, \(\vec{n}\) y \(-\vec{n}\), y los dos son «de longitud 1 y perpendiculares al plano». Cuál obtienes depende del orden en que multipliques \(\vec{a}\) y \(\vec{b}\); esta calculadora muestra el que tiene el sentido de \(\vec{a}\times\vec{b}\). Si necesitas una sola respuesta, fija tú mismo una regla, como «el que tiene la componente \(z\) positiva».

Con vectores 2D (la fórmula del área de un triángulo)

Figura

Notación matemática (la notación habitual)

\(S_{\triangle}\) \(=\) \(\dfrac{1}{2}\) \(\Bigl|\) \(x_1 y_2\) \(-\) \(x_2 y_1\) \(\Bigr|\)

En palabras (los símbolos sustituidos por palabras)

④ \(S_{\triangle}\): área del triángulo OAB \(=\) ③ la mitad del paralelogramo \(\Bigl|\) ① coordenada \(x\) de A por coordenada \(y\) de B \(-\) ② coordenada \(x\) de B por coordenada \(y\) de A \(\Bigr|\)

La fórmula en palabras

① Para tres puntos \(\mathrm{O}(0\,;\,0)\), \(\mathrm{A}(x_1\,;\,y_1)\) y \(\mathrm{B}(x_2\,;\,y_2)\) del plano, toma el \(x_1y_2\): coordenada \(x\) de A por coordenada \(y\) de B ,

② resta el \(x_2y_1\): coordenada \(x\) de B por coordenada \(y\) de A , y toma el valor absoluto (quita el signo menos si lo hay).

③ Divide entre 2 para quedarte con la mitad del paralelogramo y obtienes el

④ \(S_{\triangle}\): área del triángulo OAB

Un ejemplo sencillo

El área del triángulo que forman \(\mathrm{O}(0\,;\,0)\), \(\mathrm{A}(4\,;\,1)\) y \(\mathrm{B}(1\,;\,3)\) es

área del triángulo \(=\) la mitad del paralelogramo \(\Bigl|\) coordenada \(x\) de A por coordenada \(y\) de B (\(4 \times 3\)) \(-\) coordenada \(x\) de B por coordenada \(y\) de A (\(1 \times 1\)) \(\Bigr|\)

\(S_{\triangle} = \dfrac{1}{2}\left| 4 \times 3 - 1 \times 1 \right| = \dfrac{1}{2}\left| 12 - 1 \right| = \dfrac{11}{2} = 5{,}5\)

La idea clave

Los vectores 2D \(\vec{a} = (x_1\,;\,y_1)\) y \(\vec{b} = (x_2\,;\,y_2)\) se pueden tratar como los vectores 3D \((x_1\,;\,y_1\,;\,0)\) y \((x_2\,;\,y_2\,;\,0)\), con componente \(z\) igual a 0. Si calculas su producto vectorial, las componentes \(x\) e \(y\) valen 0 y solo queda la componente \(z\), \(x_1y_2 - x_2y_1\). Es decir, la fórmula del área de un triángulo que aparece en los libros, \(S_{\triangle} = \dfrac{1}{2}|x_1y_2 - x_2y_1|\), es exactamente la mitad del valor absoluto de la componente \(z\) del producto vectorial. Deja en blanco (0) los campos de la componente z de esta calculadora para comprobarlo tú mismo. El signo de \(x_1y_2 - x_2y_1\), antes de tomar el valor absoluto, también da información. Si es positivo, el giro de \(\vec{a}\) a \(\vec{b}\) es en sentido contrario a las agujas del reloj; si es negativo, el giro es en el sentido de las agujas del reloj. Esta «área con signo» sirve para hallar de una vez el área de un polígono a partir de sus coordenadas (la fórmula del área de Gauss, también llamada «fórmula del cordón del zapatero»).

El producto vectorial \(\vec{a}\times\vec{b}\) crea un nuevo vector a partir de dos vectores 3D. Sus componentes salen de tres restas en cruz. Su dirección es perpendicular a los dos vectores originales (regla de la mano derecha) y su módulo \(|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta\) es igual al área del paralelogramo que forman los dos vectores. La mitad de eso es el área del triángulo, y al dividir el producto vectorial entre su módulo se obtiene el vector normal unitario.

Símbolos y términos

Símbolos

\(\vec{a}\)	vector a	Un símbolo para una magnitud con dirección, sentido y módulo (longitud). La flecha sobre la letra indica que es un vector. En los libros de Física y de la universidad, los vectores se escriben a menudo en negrita (a) en vez de con flecha.
\(a_1,\ a_2,\ a_3\)	a sub 1, a sub 2, a sub 3	Las componentes del vector \(\vec{a}\): tres números que indican cuánto avanza en las direcciones \(x\), \(y\) y \(z\). El número pequeño de abajo a la derecha (el subíndice) indica de qué componente se trata. Algunos libros escriben \(a_x,\ a_y,\ a_z\) en su lugar.
\(\vec{a} \times \vec{b}\)	a cruz b	El producto vectorial (también llamado producto cruz). Su nombre en inglés, «cross product», viene del signo \(\times\) (cruz) que usa. La respuesta es un vector, no un número.
\(\vec{a} \cdot \vec{b}\)	a punto b	El producto escalar. Se escribe con un punto. Su resultado es un número (un escalar). Su nombre y su símbolo se parecen a los del producto vectorial, así que no los confundas.
\(\left\| \vec{a} \right\|\)	módulo de a	El módulo (la longitud) de un vector, es decir, la longitud de la flecha. A partir de las componentes es \(\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}\), que se halla con el teorema de Pitágoras. Usa las mismas barras que el valor absoluto, y las dos cosas describen una distancia al origen.
\(\theta\)	theta	El ángulo entre los dos vectores. Es una letra griega que se usa a menudo para los ángulos. En el producto vectorial se toma entre 0° y 180°.
\(\sin\theta\)	seno de theta	El seno del ángulo \(\theta\). En un triángulo rectángulo es la razón «cateto opuesto ÷ hipotenusa» y se escribe «sen» (en calculadoras y programas aparece como «sin», igual que en la fórmula de arriba). Entre 0° y 180° nunca es negativo: \(\sin 0^\circ = 0\), \(\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}\), \(\sin 90^\circ = 1\), \(\sin 180^\circ = 0\).
\(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\)	vector AB	El vector que empieza en el punto A y termina en el punto B. Sus componentes son «coordenadas del extremo − coordenadas del origen». Para obtener el área de un triángulo a partir de tres puntos, primero se forman dos vectores de lados con esta forma.
\(S\)	ese	Una letra que se usa a menudo para el área, de «superficie» (\(A\), de «área», también se usa). En esta página representa el área del paralelogramo.
\(S_{\triangle}\)	ese triángulo	El área del triángulo. Se añade un pequeño signo de triángulo a \(S\) para distinguirla del área del paralelogramo.
\(\vec{n}\)	vector ene	El vector normal. Por costumbre se usa \(n\), la primera letra de «normal» (perpendicular). En esta página es el vector normal unitario, ajustado a longitud 1.
\(\vec{0}\)	vector nulo	El vector cuyas componentes son todas 0 (el vector nulo). Su módulo es 0 y no tiene dirección. Cuando dos vectores son paralelos, su producto vectorial es este vector nulo.
\(\sqrt{\phantom{a}}\)	raíz cuadrada	El signo de la raíz cuadrada (radical). \(\sqrt{54}\) es «el número positivo que da 54 al elevarlo al cuadrado». Cuando bajo la raíz hay un cuadrado perfecto (\(4,\ 9,\ 16, \dots\)), se saca fuera para simplificar, como en \(\sqrt{54} = \sqrt{9 \times 6} = 3\sqrt{6}\).

Términos

vector	Una magnitud que tiene a la vez dirección, sentido y módulo. Dos flechas con la misma dirección, el mismo sentido y la misma longitud cuentan como el mismo vector, estén donde estén dibujadas. Las magnitudes que dicen «hacia dónde y cuánto», como la fuerza, la velocidad y el viento, son vectores.
expresión en componentes	Escribir un vector como una lista de cuánto avanza en las direcciones \(x\), \(y\) y \(z\), como \((1\,;\,2\,;\,3)\). También se puede escribir en columna (un vector columna) con el mismo significado. Otra forma habitual es \(\mathbf{i} + 2\mathbf{j} + 3\mathbf{k}\).
producto vectorial	Una operación que crea un nuevo vector a partir de dos vectores 3D. También se llama producto cruz. El nuevo vector es perpendicular a los dos vectores originales y su módulo es igual al área del paralelogramo que forman.
producto escalar	Una operación que crea un número (un escalar) a partir de dos vectores. Es igual a \(\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\cos\theta\), y cuando vale 0, los dos vectores son perpendiculares. Es distinto del producto vectorial, cuya respuesta es un vector.
módulo	La longitud de un vector. Para las componentes \((a_1\,;\,a_2\,;\,a_3)\) es \(\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}\), el teorema de Pitágoras ampliado al espacio. También se llama norma.
ángulo entre dos vectores	El ángulo que se forma entre dos vectores cuando se dibujan desde el mismo punto de partida. Se toma entre 0° y 180°.
paralelogramo	Un cuadrilátero cuyos dos pares de lados opuestos son paralelos. Cuando se usan dos vectores como dos de sus lados, su área es el módulo del producto vectorial.
vector normal	Un vector perpendicular a un plano (o a una recta). Indica hacia dónde mira la superficie, y el producto vectorial permite obtener uno fácilmente a partir de dos vectores contenidos en el plano.
vector unitario	Un vector de longitud 1. Al dividir un vector entre su propio módulo, se conservan la dirección y el sentido y la longitud pasa a ser 1, y se obtiene un vector unitario.
vector normal unitario	Un vector normal ajustado a longitud 1. Se usa cuando solo quieres la dirección y el sentido.
multiplicación en cruz	Una forma de calcular con cuatro números escritos en dos filas: se multiplica en las dos diagonales (la que baja hacia la derecha y la que sube hacia la derecha) y se restan los resultados. Es el patrón \(ad - bc\) del determinante 2×2, y cada componente del producto vectorial tiene esta forma.
regla de la mano derecha	La regla que da la dirección y el sentido del producto vectorial. Curva los dedos de la mano derecha de \(\vec{a}\) hacia \(\vec{b}\): el pulgar apunta en el sentido de \(\vec{a}\times\vec{b}\). Un sistema de coordenadas que cumple esta regla se llama dextrógiro (o de orientación directa).
vector nulo	El vector cuyas componentes son todas 0. Su módulo es 0 y no tiene dirección. Cuando dos vectores son paralelos, su producto vectorial es el vector nulo.
perpendicular	Cuando el ángulo entre dos vectores es de 90°. También se dice ortogonal. Lo puedes comprobar viendo que el producto escalar vale 0.
paralelo	Cuando dos vectores tienen la misma dirección y el mismo sentido, o sentidos exactamente contrarios. Entonces pueden estar sobre la misma recta, así que no pueden formar un paralelogramo (se aplasta y su área es 0).
área con signo	Un área a la que se da signo más o menos según el sentido del giro. En el plano, \(x_1y_2 - x_2y_1\) es un área con signo: positiva en sentido contrario a las agujas del reloj y negativa en el sentido de las agujas del reloj. Su valor absoluto es el área habitual.
determinante	Un único número que se obtiene de números colocados en un cuadrado. El determinante 2×2 \(\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc\) es justamente la multiplicación en cruz, y cada componente del producto vectorial tiene la forma de este determinante 2×2.
orden cíclico	Un orden que da vueltas en círculo y vuelve al principio, como en \(x \to y \to z \to x\). Las tres componentes del producto vectorial repiten la misma forma siguiendo este orden cíclico.

Qué conviene saber de antemano

Esto es lo que te ayuda a usar el cálculo de esta página entendiendo de verdad lo que haces, y no solo pulsando el botón.
Si te atascas, repasar estos temas es el camino más rápido.

Qué es un vector (4.º de ESO a 2.º de Bachillerato, 15-18 años)	Saber que un vector es una magnitud con dirección, sentido y módulo y que se puede dibujar como una flecha (una magnitud que dice «hacia dónde y cuánto», como la fuerza o la velocidad) Saber escribir un vector con componentes como \((1\,;\,2\,;\,3)\) (cuánto avanza en cada una de las direcciones \(x\), \(y\) y \(z\))
El plano y el espacio cartesianos (1.º de ESO a 2.º de Bachillerato, 12-18 años)	Saber que al añadir una altura \(z\) a las coordenadas del plano \((x\,;\,y)\) se obtiene \((x\,;\,y\,;\,z)\), que fija la posición de un punto en el espacio Saber imaginar los ejes \(x\), \(y\) y \(z\) cortándose en ángulo recto
El teorema de Pitágoras y el módulo de un vector (2.º de ESO a 2.º de Bachillerato, 13-18 años)	Saber que en un triángulo rectángulo se cumple \(a^2 + b^2 = c^2\) Saber que el módulo de un vector 3D es \(\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}\) (el teorema de Pitágoras usado dos veces)
Operaciones con raíces cuadradas (3.º de ESO, 14-15 años)	Saber simplificar un radical sacando de la raíz un cuadrado perfecto, como en \(\sqrt{54} = \sqrt{9 \times 6} = 3\sqrt{6}\) Saber el valor decimal aproximado de una raíz, como \(\sqrt{3} \approx 1{,}732\)
El producto escalar (1.º de Bachillerato, 16-17 años)	Saber que el producto escalar \(\vec{a} \cdot \vec{b}\) es \(a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3\) y que la respuesta es un número Saber que dos vectores son perpendiculares cuando su producto escalar es 0 (esta página lo usa para comprobar que el producto vectorial es perpendicular)
Razones trigonométricas (4.º de ESO, 15-16 años)	Saber que \(\sin\theta\) es la razón «cateto opuesto ÷ hipotenusa» en un triángulo rectángulo Recordar valores clave como \(\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}\) y \(\sin 90^\circ = 1\)
Área de paralelogramos y triángulos (5.º y 6.º de Primaria, 10-12 años)	Saber que el área de un paralelogramo es «base × altura» Saber que un triángulo tiene exactamente la mitad del área de un paralelogramo con la misma base y la misma altura

Cómo calcularlo con Excel

Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Excel. Funciona tal cual.

Tabla para hallar las componentes del producto vectorial

Componente x de a (a₁)	1
Componente y de a (a₂)	2
Componente z de a (a₃)	3
Componente x de b (b₁)	4
Componente y de b (b₂)	5
Componente z de b (b₃)	6
Componente x de a×b (a₂b₃ − a₃b₂)	=B2B6-B3B5
Componente y de a×b (a₃b₁ − a₁b₃)	=B3B4-B1B6
Componente z de a×b (a₁b₂ − a₂b₁)	=B1B5-B2B4

Tabla para comprobar que el módulo = |a||b|senθ

Componente x de a (a₁)	1
Componente y de a (a₂)	2
Componente z de a (a₃)	3
Componente x de b (b₁)	4
Componente y de b (b₂)	5
Componente z de b (b₃)	6
Módulo \|a×b\| (a partir de las componentes)	=RAIZ((B2B6-B3B5)^2+(B3B4-B1B6)^2+(B1B5-B2B4)^2)
Módulo de a \|a\|	=RAIZ(B1^2+B2^2+B3^2)
Módulo de b \|b\|	=RAIZ(B4^2+B5^2+B6^2)
Producto escalar a·b	=B1B4+B2B5+B3*B6
Ángulo θ (grados)	=GRADOS(ACOS(B10/(B8*B9)))
\|a\|\|b\|senθ	=B8B9SENO(RADIANES(B11))

Tabla para hallar el área del paralelogramo y del triángulo

Componente x de a×b	-3
Componente y de a×b	6
Componente z de a×b	-3
Área S del paralelogramo (= módulo)	=RAIZ(B1^2+B2^2+B3^2)
Área del triángulo (la mitad del paralelogramo)	=B4/2

Tabla para hallar el vector normal unitario

Componente x de a×b	-3
Componente y de a×b	6
Componente z de a×b	-3
Módulo \|a×b\|	=RAIZ(B1^2+B2^2+B3^2)
Componente x del vector normal unitario	=B1/B4
Componente y del vector normal unitario	=B2/B4
Componente z del vector normal unitario	=B3/B4

Tabla para hallar el área de un triángulo en el plano

Coordenada x de A (x₁)	4
Coordenada y de A (y₁)	1
Coordenada x de B (x₂)	1
Coordenada y de B (y₂)	3
Componente z del producto vectorial (x₁y₂ − x₂y₁)	=B1B4-B3B2
Área del triángulo OAB	=ABS(B5)/2

Al pegar la tabla, las filas de arriba (las componentes de los vectores) son los datos de entrada y las de abajo se calculan automáticamente.
«*» es la multiplicación, «^» es una potencia y RAIZ es la función raíz cuadrada. La primera tabla usa a = (1 ; 2 ; 3) y b = (4 ; 5 ; 6), y la respuesta es (−3 ; 6 ; −3).
La segunda tabla comprueba que «el módulo hallado a partir de las componentes» y «el valor de |a||b|senθ» coinciden. B7 y B12 salen los dos 7,348469… (el ángulo es de unos 12,93°).
En la tercera tabla, el área del paralelogramo es 7,348469… y el área del triángulo es la mitad, 3,674234…. En la cuarta tabla, el vector normal unitario es (−0,408248… ; 0,816497… ; −0,408248…).
La quinta tabla es el caso de vectores 2D con componente z igual a 0. El área del triángulo de O(0 ; 0), A(4 ; 1) y B(1 ; 3) es 5,5.

Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google

Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Hojas de cálculo de Google. Funciona tal cual.

Tabla para hallar las componentes del producto vectorial

Componente x de a (a₁)	1
Componente y de a (a₂)	2
Componente z de a (a₃)	3
Componente x de b (b₁)	4
Componente y de b (b₂)	5
Componente z de b (b₃)	6
Componente x de a×b (a₂b₃ − a₃b₂)	=B2B6-B3B5
Componente y de a×b (a₃b₁ − a₁b₃)	=B3B4-B1B6
Componente z de a×b (a₁b₂ − a₂b₁)	=B1B5-B2B4

Tabla para comprobar que el módulo = |a||b|senθ

Componente x de a (a₁)	1
Componente y de a (a₂)	2
Componente z de a (a₃)	3
Componente x de b (b₁)	4
Componente y de b (b₂)	5
Componente z de b (b₃)	6
Módulo \|a×b\| (a partir de las componentes)	=RAIZ((B2B6-B3B5)^2+(B3B4-B1B6)^2+(B1B5-B2B4)^2)
Módulo de a \|a\|	=RAIZ(B1^2+B2^2+B3^2)
Módulo de b \|b\|	=RAIZ(B4^2+B5^2+B6^2)
Producto escalar a·b	=B1B4+B2B5+B3*B6
Ángulo θ (grados)	=GRADOS(ACOS(B10/(B8*B9)))
\|a\|\|b\|senθ	=B8B9SENO(RADIANES(B11))

Tabla para hallar el área del paralelogramo y del triángulo

Componente x de a×b	-3
Componente y de a×b	6
Componente z de a×b	-3
Área S del paralelogramo (= módulo)	=RAIZ(B1^2+B2^2+B3^2)
Área del triángulo (la mitad del paralelogramo)	=B4/2

Tabla para hallar el vector normal unitario

Componente x de a×b	-3
Componente y de a×b	6
Componente z de a×b	-3
Módulo \|a×b\|	=RAIZ(B1^2+B2^2+B3^2)
Componente x del vector normal unitario	=B1/B4
Componente y del vector normal unitario	=B2/B4
Componente z del vector normal unitario	=B3/B4

Tabla para hallar el área de un triángulo en el plano

Coordenada x de A (x₁)	4
Coordenada y de A (y₁)	1
Coordenada x de B (x₂)	1
Coordenada y de B (y₂)	3
Componente z del producto vectorial (x₁y₂ − x₂y₁)	=B1B4-B3B2
Área del triángulo OAB	=ABS(B5)/2

Las mismas fórmulas de Excel sirven tal cual (RAIZ, ACOS, GRADOS, RADIANES y ABS tienen el mismo nombre en las dos). Copia la tabla entera, pégala en la celda A1 y cambia las componentes por tus propios números.

Cómo calcularlo con Python

from fractions import Fraction
import math

# Componentes de los vectores (una fracción como 3/4 se escribe Fraction(3, 4))
a = (Fraction(1), Fraction(2), Fraction(3))
b = (Fraction(4), Fraction(5), Fraction(6))

def cross(u, v):
    # Producto vectorial (multiplicación en cruz), construido en el orden x, y, z
    return (u[1] * v[2] - u[2] * v[1],
            u[2] * v[0] - u[0] * v[2],
            u[0] * v[1] - u[1] * v[0])

def dot(u, v):
    return u[0] * v[0] + u[1] * v[1] + u[2] * v[2]

c = cross(a, b)
area = math.sqrt(dot(c, c))       # área del paralelogramo (= módulo del producto vectorial)

print(f"Producto vectorial a×b = ({c[0]}, {c[1]}, {c[2]})")
print(f"Área del paralelogramo: {area}")
print(f"Área del triángulo: {area / 2}")
print(f"Comprobación de perpendicularidad (los dos valen 0): {dot(a, c)}, {dot(b, c)}")

Con el módulo fractions de la biblioteca estándar, el cálculo se mantiene exacto, sin error de redondeo, incluso cuando las componentes son fracciones. Este ejemplo es el producto vectorial de a = (1 ; 2 ; 3) y b = (4 ; 5 ; 6). Al ejecutarlo se muestra el producto vectorial (-3, 6, -3), el área del paralelogramo (unos 7,348), el área del triángulo (unos 3,674) y «0, 0» en la comprobación de perpendicularidad (Python escribe los decimales con punto). Cambia las componentes y ejecútalo de nuevo.

La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)

Componentes del producto vectorial (multiplicación en cruz)

a×b = (a₂b₃ − a₃b₂, a₃b₁ − a₁b₃, a₁b₂ − a₂b₁)

\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} a_2 b_3 - a_3 b_2 \\ a_3 b_1 - a_1 b_3 \\ a_1 b_2 - a_2 b_1 \end{pmatrix}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>=</mo>
    <mo>(</mo>
    <mrow>
      <msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub><msub><mi>b</mi><mn>3</mn></msub>
      <mo>&#x2212;</mo>
      <msub><mi>a</mi><mn>3</mn></msub><msub><mi>b</mi><mn>2</mn></msub>
    </mrow>
    <mo>,</mo>
    <mrow>
      <msub><mi>a</mi><mn>3</mn></msub><msub><mi>b</mi><mn>1</mn></msub>
      <mo>&#x2212;</mo>
      <msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>b</mi><mn>3</mn></msub>
    </mrow>
    <mo>,</mo>
    <mrow>
      <msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>b</mi><mn>2</mn></msub>
      <mo>&#x2212;</mo>
      <msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub><msub><mi>b</mi><mn>1</mn></msub>
    </mrow>
    <mo>)</mo>
  </mrow>
</math>

vec a xx vec b = (a_2 b_3 - a_3 b_2, a_3 b_1 - a_1 b_3, a_1 b_2 - a_2 b_1)

Cross[{a1, a2, a3}, {b1, b2, b3}]

LinearAlgebra:-CrossProduct(Vector([a1, a2, a3]), Vector([b1, b2, b3]));

c = cross(a, b);

a⃗×b⃗ = (a_2 b_3 − a_3 b_2, a_3 b_1 − a_1 b_3, a_1 b_2 − a_2 b_1)

Módulo del producto vectorial (\(|\vec{a}||\vec{b}|\sin\theta\))

|a×b| = |a||b|sinθ

\left| \vec{a} \times \vec{b} \right| = \left| \vec{a} \right| \left| \vec{b} \right| \sin\theta

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mo>|</mo>
    <mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>|</mo>
    <mo>=</mo>
    <mo>|</mo><mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover><mo>|</mo>
    <mo>|</mo><mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover><mo>|</mo>
    <mi>sin</mi><mo>&#x2061;</mo><mi>&#x3B8;</mi>
  </mrow>
</math>

|vec a xx vec b| = |vec a| |vec b| sin theta

Norm[Cross[a, b]] == Norm[a] Norm[b] Sin[theta]

LinearAlgebra:-Norm(LinearAlgebra:-CrossProduct(a, b), 2);

m = norm(cross(a, b));

|a⃗×b⃗| = |a⃗||b⃗| sin⁡θ

Área del paralelogramo y del triángulo

S = |a×b|,  S△ = |a×b| ÷ 2

S = \left| \vec{a} \times \vec{b} \right|,\quad S_{\triangle} = \frac{1}{2} \left| \vec{a} \times \vec{b} \right|

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>S</mi>
    <mo>=</mo>
    <mo>|</mo>
    <mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>|</mo>
    <mo>,</mo>
    <msub><mi>S</mi><mo>&#x25B3;</mo></msub>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac>
    <mo>|</mo>
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    <mo>&#xD7;</mo>
    <mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>|</mo>
  </mrow>
</math>

S = |vec a xx vec b|, S_triangle = 1/2 |vec a xx vec b|

area = Norm[Cross[a, b]]; triangle = area/2

S := LinearAlgebra:-Norm(LinearAlgebra:-CrossProduct(a, b), 2);

S = norm(cross(a, b)); tri = S / 2;

S = |a⃗×b⃗|,  S_△ = 1/2 |a⃗×b⃗|

Vector normal unitario (perpendicular a los dos, de longitud 1)

n = (a×b) ÷ |a×b|

\vec{n} = \frac{\vec{a} \times \vec{b}}{\left| \vec{a} \times \vec{b} \right|}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
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    <mover><mi>n</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow>
        <mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
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        <mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
      </mrow>
      <mrow>
        <mo>|</mo>
        <mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
        <mo>&#xD7;</mo>
        <mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
        <mo>|</mo>
      </mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

vec n = (vec a xx vec b) / |vec a xx vec b|

n = Normalize[Cross[a, b]]

n := LinearAlgebra:-Normalize(LinearAlgebra:-CrossProduct(a, b), 2);

n = cross(a, b) / norm(cross(a, b));

n⃗ = (a⃗×b⃗)/|a⃗×b⃗|

Con vectores 2D (la fórmula del área de un triángulo)

S△ = |x₁y₂ − x₂y₁| ÷ 2

S_{\triangle} = \frac{1}{2} \left| x_1 y_2 - x_2 y_1 \right|

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>S</mi><mo>&#x25B3;</mo></msub>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><mn>1</mn><mn>2</mn></mfrac>
    <mo>|</mo>
    <msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>y</mi><mn>2</mn></msub>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub><msub><mi>y</mi><mn>1</mn></msub>
    <mo>|</mo>
  </mrow>
</math>

S_triangle = 1/2 |x_1 y_2 - x_2 y_1|

Abs[x1*y2 - x2*y1]/2

S := abs(x1*y2 - x2*y1)/2;

S = abs(x1*y2 - x2*y1) / 2;

S_△ = 1/2 |x_1 y_2 − x_2 y_1|

Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo

Eres un asistente de cálculo de vectores (geometría del espacio). Haz el cálculo siguiente ejecutando realmente código de Python y responde basándote solo en los números del resultado de la ejecución (no respondas con cálculo mental ni con suposiciones).

Para los vectores a = (1 ; 2 ; 3) y b = (4 ; 5 ; 6), halla lo siguiente.
1. Las componentes del producto vectorial a×b (muestra también los pasos de la multiplicación en cruz)
2. El módulo |a×b| (tanto como valor exacto con el radical simplificado como en decimales)
3. Las áreas del paralelogramo y del triángulo que forman a y b
4. Los valores de a·(a×b) y b·(a×b), para comprobar que el producto vectorial es perpendicular a los dos

En Python, calcula las componentes de forma exacta con el módulo fractions de la biblioteca estándar; puedes usar sympy para simplificar el radical. Muestra las fórmulas que has usado y los números del resultado de la ejecución.

Cómo usar

1

Introduce los números

Escribe en los campos los números con los que quieres calcular
2

Calcula

Haz clic en el botón «Calcular»
3

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Calculadora de producto vectorial (componentes, área del paralelogramo y vector normal)

Índice

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¿Para qué sirve este cálculo?

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Símbolos y términos

Símbolos

Términos

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Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google

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