Escribe un número entero positivo para hallar sus divisores. Se calculan a la vez la lista de divisores, el número de divisores, los pares de divisores y la descomposición en factores primos.
Escribe un número entero positivo de 1 a 14 cifras (por ejemplo, 120). No se pueden hallar los divisores del 0, de los números negativos ni de los decimales.
Resultado
Escribe un número entero positivo en el campo de la izquierda y haz clic en «Calcular». El resultado aparecerá aquí.
Índice
-
Qué puedes hacer en esta página
-
¿Para qué sirve este cálculo?
-
Cómo usar
-
Fórmula
-
Símbolos y términos
-
Qué conviene saber de antemano
-
Cómo calcularlo con Excel
-
Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google
-
Cómo calcularlo con Python
-
La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)
-
Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo
-
Las ventajas de DataChef
-
Funciones relacionadas
-
Todas las calculadoras de NumberChef
Qué puedes hacer en esta página
- Escribe un número entero positivo y se listan todos sus divisores, de menor a mayor (sin olvidar ninguno ni repetir ninguno)
- También obtienes a la vez los pares de divisores (parejas que multiplicadas dan el número) y el número de divisores
- También se muestra la descomposición en factores primos (con una forma como \(120 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5\)), con cada paso de la división
- Si los únicos divisores son el 1 y el propio número, es un número primo, así que esta página también sirve para comprobar si un número es primo
- En esta misma página tienes una explicación sencilla de cómo hallar los divisores y fórmulas para copiar y pegar en Excel, Hojas de cálculo de Google y Python
Esta página trabaja con números enteros positivos (1 o más, hasta 14 cifras). No trata los divisores del 0, de los números negativos ni de los decimales (aquí los divisores solo tienen que ver con números enteros positivos que se dividen de forma exacta).
¿Para qué sirve este cálculo?
Simplificar fracciones (la base para superar los tropiezos con las fracciones)
Para simplificar \(\frac{24}{36}\), busca un divisor que compartan el numerador 24 y el denominador 36, y divide los dos entre él (divide entre su máximo común divisor, 12, y obtienes \(\frac{2}{3}\) de un solo paso).
Cuando los divisores te vienen a la cabeza con rapidez, simplificar fracciones, reducir a común denominador y simplificar razones se vuelve más rápido y más preciso. Muchos alumnos que tropiezan con las fracciones lo que tienen en realidad es dificultad con esta noción de divisor.
Planificar grupos iguales (vida diaria y fiestas)
Si quieres repartir 120 galletas de modo que todos reciban el mismo número y no sobre ninguna, los números posibles de personas son exactamente los divisores de 120 (1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 20, 24, 30, 40, 60, 120).
Dividir una clase en equipos, llenar bolsas de regalo, repartir material a partes iguales: listar los divisores te da todas las opciones de «cuántas personas (o bolsas) pueden repartirse esto de forma exacta».
Distribuciones rectangulares de baldosas, expositores de tienda y asientos
Las formas de colocar 36 baldosas en un rectángulo sin que sobre ninguna son exactamente los pares de divisores: 1×36, 2×18, 3×12, 4×9 y 6×6, cinco en total.
Al colocar baldosas en el suelo o en la pared, colocar productos en una estantería o poner sillas para un acto: siempre que un número fijo de cosas va en un rectángulo, los pares de divisores son tus opciones de distribución.
El cifrado que protege las compras y la banca por internet (RSA)
La descomposición en factores primos lleva un instante con números de unas 14 cifras, pero con números enormes, de cientos de cifras, no se puede terminar en un tiempo realista ni con todos los ordenadores del mundo. El cifrado RSA, muy usado en internet, se apoya en este hecho: «los números grandes no se pueden descomponer en la práctica».
Cuando envías el número de tu tarjeta a una tienda online, la descomposición en factores primos, lo mismo que hace esta página, está en la raíz de lo que mantiene segura tu información.
Elegir el número de dientes de los engranajes (máquinas, coches y relojes)
Si el número de dientes de dos engranajes que encajan comparte un divisor, los mismos dientes se encuentran siempre con las mismas parejas, así que el desgaste y los daños tienden a acumularse en ciertos dientes. Por eso los diseñadores de máquinas suelen elegir números de dientes que no comparten ningún divisor aparte del 1 (que son primos entre sí).
Desde las cajas de cambios de los coches hasta los relojes de pulsera, que dos números compartan o no un divisor influye en lo que dura un producto.
Fórmula
Qué es un divisor (comprobarlo con una multiplicación)
Notación matemática
(la notación habitual)
\(N\)
\(=\)
\(A\)
\(\times\)
\(B\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
③
\(N\): número cuyos divisores buscas
\(=\)
①
\(A\): divisor
\(\times\)
②
\(B\): su divisor pareja
La fórmula en palabras
①
Cuando el
\(A\): divisor
②
multiplicado por su
\(B\): su divisor pareja
③
es exactamente igual al
\(N\): número cuyos divisores buscas
, tanto \(A\) como \(B\) son divisores de \(N\)
Un ejemplo sencillo
120 se puede escribir como el producto 4 × 30, así que 4 y 30 son los dos divisores de 120
número cuyos divisores buscas (120)
\(=\)
divisor (4)
\(\times\)
divisor pareja (30)
\(120 \div 4 = 30\)
\(4 \times 30 = 120\)
La idea clave
Para comprobar si un número es divisor, mira si la división es exacta. 120 ÷ 4 = 30 sin resto, así que 4 es divisor de 120 (y el resultado, 30, también lo es automáticamente). Si hay resto, como en 120 ÷ 7 = 17 y sobra 1, el número no es divisor.
Los divisores siempre vienen en estas «parejas que multiplicadas dan \(N\)», así que el divisor más pequeño de cada pareja es siempre como máximo \(\sqrt{N}\) (el número que da \(N\) al elevarlo al cuadrado). Por eso, si pruebas a dividir entre todos los números hasta \(\sqrt{N}\), encuentras todos los divisores. Cuando los dos números de una pareja son iguales, como en 36 = 6 × 6 (un cuadrado perfecto), el 6 se cuenta una sola vez. Por eso un cuadrado perfecto siempre tiene un número impar de divisores.
Descomposición en factores primos (escribir un número como producto de primos)
Notación matemática
(la notación habitual)
\(N\)
\(=\)
\(p\)
\(a\)
\(\times\)
\(q\)
\(b\)
\(\times\)
\(r\)
\(c\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
⑤
\(N\): número cuyos divisores buscas
\(=\)
①
\(p\): número primo
②
\(a\): veces que se multiplica \(p\)
\(\times\)
③
\(q\): otro primo
\(b\): veces que se multiplica \(q\)
\(\times\)
④
\(r\): otro primo más
\(c\): veces que se multiplica \(r\)
La fórmula en palabras
①
Multiplica el
\(p\): número primo
②
por sí mismo tantas veces como indica
\(a\): veces que se multiplica \(p\)
③
haz lo mismo con
\(q\): otro primo
④
y con
\(r\): otro primo más
, cada uno el número de veces que le corresponde, y multiplica todo
⑤
y obtienes exactamente el
\(N\): número cuyos divisores buscas
Un ejemplo sencillo
La descomposición en factores primos de 120 (se divide de forma exacta entre 2 tres veces, entre 3 una vez y entre 5 una vez)
número cuyos divisores buscas (120)
\(=\)
primo (2)
veces (3)
\(\times\)
otro primo (3)
veces (1)
\(\times\)
otro primo más (5)
veces (1)
\(120 \div 2 = 60,\quad 60 \div 2 = 30,\quad 30 \div 2 = 15,\quad 15 \div 3 = 5\)
\(120 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 2^{3} \times 3 \times 5\)
La idea clave
Para hallar una descomposición en factores primos, empieza por el primo más pequeño y sigue dividiendo mientras la división sea exacta. Con 120: divide entre 2 y sale 60, otra vez entre 2 y sale 30, y una vez más entre 2 y sale 15. El 15 ya no se divide entre 2, así que pasa al siguiente primo, el 3, y sale 5. El 5 es primo, así que has terminado.
Un número puede usar un solo primo o cuatro o más primos distintos, pero el resultado siempre tiene la misma forma: un producto formado solo por primos. Además, todo número tiene una única descomposición en factores primos (salvo el orden de los factores). Es la unicidad de la descomposición en factores primos (el teorema fundamental de la aritmética), uno de los hechos más importantes sobre los números enteros.
Fórmula del número de divisores
Notación matemática
(la notación habitual)
\(d(N)\)
\(=\)
\((a+1)\)
\(\times\)
\((b+1)\)
\(\times\)
\((c+1)\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
④
\(d(N)\): número de divisores
\(=\)
①
\(a + 1\): veces que se multiplica \(p\), más 1
\(\times\)
②
\(b + 1\): veces que se multiplica \(q\), más 1
\(\times\)
③
\(c + 1\): veces que se multiplica \(r\), más 1
La fórmula en palabras
①
Multiplica
\(a + 1\): veces que se multiplica \(p\), más 1
②
por
\(b + 1\): veces que se multiplica \(q\), más 1
③
y por
\(c + 1\): veces que se multiplica \(r\), más 1
(uno por cada primo distinto)
④
y obtienes el
\(d(N)\): número de divisores
Un ejemplo sencillo
Como \(120 = 2^{3} \times 3 \times 5\) (el 2 se multiplica 3 veces, el 3 una vez y el 5 una vez), el número de divisores de 120 es
número de divisores \(d(120)\)
\(=\)
veces del 2, más 1 (3 + 1)
\(\times\)
veces del 3, más 1 (1 + 1)
\(\times\)
veces del 5, más 1 (1 + 1)
\((3+1) \times (1+1) \times (1+1) = 4 \times 2 \times 2 = 16\)
La idea clave
¿Por qué esta fórmula da el número de divisores? Todo divisor de 120 se puede formar multiplicando «el 2 usado de 0 a 3 veces, el 3 usado 0 o 1 vez y el 5 usado 0 o 1 vez» (por ejemplo, 12 = 2 × 2 × 3 usa el 2 dos veces, el 3 una vez y el 5 ninguna). Hay 4 opciones para el 2, 2 opciones para el 3 y 2 opciones para el 5, así que hay 4 × 2 × 2 = 16 combinaciones. Ese es exactamente el número de divisores. La clave es sumar 1 a cada número de veces, porque «usarlo 0 veces» también es una opción.
Esta fórmula aparece a menudo en las olimpiadas de matemáticas y en los exámenes. No hace falta escribir los divisores uno a uno: cuando tienes la descomposición en factores primos, obtienes el número al instante.
La forma básica de hallar los divisores es buscar parejas que multiplicadas dan el número, y dividiendo entre todos los números hasta √N se encuentran todos. Cuando tienes la descomposición en factores primos, multiplicar «(veces que se usa cada primo + 1)» da el número de divisores de una sola vez.
Símbolos y términos
Símbolos
| \(N\) | N | El número entero positivo cuyos divisores quieres hallar. Ejemplo: 120 |
| \(A,\ B\) | A, B | Una pareja de divisores que multiplicados dan \(N\). Ejemplo: el 4 y el 30 de \(120 = 4 \times 30\) |
| \(p,\ q,\ r\) | p, q, r | Los primos que aparecen en una descomposición en factores primos (los factores primos). Ejemplo: el 2, el 3 y el 5 de \(120 = 2^3 \times 3 \times 5\) |
| \(a,\ b,\ c\) | a, b, c | Las veces que se multiplica cada primo en la descomposición en factores primos (los exponentes). En la fórmula del número de divisores, se suma 1 a cada uno y se multiplican los resultados. Ejemplo: en \(120 = 2^3 \times 3 \times 5\), el 2 se multiplica \(a = 3\) veces, y el 3 y el 5 se multiplican una vez cada uno (\(b = c = 1\)) |
| \(2^{3}\) | 2 elevado a 3 (2 al cubo) | 2 multiplicado por sí mismo 3 veces (\(2 \times 2 \times 2 = 8\)). El número pequeño de arriba a la derecha (el exponente) indica cuántas veces se multiplica. |
| \(d(N)\) | d de N | El número de divisores de \(N\). La d viene de «divisores». Ejemplo: \(d(120) = 16\) |
| \(\sqrt{N}\) | raíz cuadrada de N | El número que da \(N\) al elevarlo al cuadrado (la raíz cuadrada). En cada pareja de divisores, uno es como máximo \(\sqrt{N}\), así que basta con comprobar hasta aquí para hallar todos los divisores. |
Términos
| divisor | Un número entero positivo que divide de forma exacta (sin resto) a un entero dado. Ejemplo: los divisores de 30 son 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15 y 30, ocho en total. El 1 y el propio número son siempre divisores de cualquier número. |
| múltiplo | El número que se obtiene al multiplicar un entero por un número natural (1 vez, 2 veces, 3 veces, etc.). Los divisores y los múltiplos son las dos caras de una misma moneda: «4 es divisor de 120» y «120 es múltiplo de 4» dicen lo mismo. |
| número primo | Un número entero mayor o igual que 2 cuyos únicos divisores son el 1 y él mismo. En orden son 2, 3, 5, 7, 11, 13 y así sin fin. El 1 no es un número primo. |
| número compuesto | Un número entero mayor o igual que 2 que no es primo. Tiene 3 o más divisores y se puede descomponer en un producto de primos. (El 1 no es ni primo ni compuesto.) |
| factor primo | Un número primo que divide de forma exacta a un número entero dado. Ejemplo: los factores primos de 120 son 2, 3 y 5, tres en total. |
| descomposición en factores primos | Escribir un número entero como un producto formado solo por números primos. Ejemplo: \(120 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5\). Solo hay una manera de hacerlo (salvo el orden de los factores). |
| factor | Cada uno de los números que se multiplican en un producto. En una descomposición como \(120 = 2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5\), cada número es un factor. En los cálculos con números enteros, para la relación de «dividir de forma exacta» se usa la palabra «divisor» (los divisores de un número a veces se llaman también «factores», pero esta página usa «divisor» en todo momento). (En una división como \(120 \div 4\), el número entre el que divides también se llama divisor.) |
| cuadrado perfecto | Un número que se obtiene al multiplicar un entero por sí mismo. Ejemplo: \(36 = 6 \times 6\) y \(3600 = 60 \times 60\). Un cuadrado perfecto siempre tiene un número impar de divisores (porque la pareja de números iguales se cuenta una sola vez). |
| exponente (potencia) | Una forma de escribir el mismo número multiplicado por sí mismo muchas veces. En \(2^3\), el número pequeño de arriba a la derecha (el exponente) indica cuántas veces se multiplica. |
Qué conviene saber de antemano
Esto es lo que te ayuda a usar el cálculo de esta página entendiendo lo que haces, y no solo pulsando el botón.
| Tablas de multiplicar y división (3.º–4.º de Primaria, 8-10 años) |
|
| Divisores y múltiplos (5.º de Primaria, 10-11 años) |
|
| Números primos y descomposición en factores primos (6.º de Primaria y 1.º de ESO, 11-13 años) |
|
| Exponentes (1.º de ESO, 12-13 años) |
|
Cómo calcularlo con Excel
Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Excel. Funciona tal cual.
Tabla para comprobar con una división si un número es divisor
| Número cuyos divisores buscas N | 120 |
| Número que se prueba A | 4 |
| Resto de N ÷ A (0 = es divisor) | =RESIDUO(B1;B2) |
| Divisor pareja B (cuando el resto es 0) | =B1/B2 |
Tabla para comprobar una descomposición en factores primos
| Factor primo 1 | 2 |
| Factor primo 2 | 2 |
| Factor primo 3 | 2 |
| Factor primo 4 | 3 |
| Factor primo 5 | 5 |
| Producto de todos (es correcto si da el número) | =PRODUCTO(B1:B5) |
Tabla para hallar con la fórmula el número de divisores
| Veces que se multiplica el primo p, a | 3 |
| Veces que se multiplica el primo q, b | 1 |
| Veces que se multiplica el primo r, c | 1 |
| Número de divisores d(N) | =(B1+1)*(B2+1)*(B3+1) |
La primera tabla comprueba si un número es divisor con RESIDUO(B1;B2), «el resto de dividir B1 entre B2». Si B3 es 0, es divisor, y B4 muestra su pareja (30 para 120 y 4). Si el resto no es 0, B4 no es divisor, así que ignóralo.
La segunda tabla comprueba una descomposición en factores primos. PRODUCTO(B1:B5) multiplica todo lo que hay de B1 a B5, así que si B6 muestra 120, la descomposición es correcta (si el número tiene menos de 5 factores primos, escribe 1 en las celdas que no uses).
La tercera tabla es la fórmula del número de divisores. B4 muestra (3+1)×(1+1)×(1+1) = 16.
La segunda tabla comprueba una descomposición en factores primos. PRODUCTO(B1:B5) multiplica todo lo que hay de B1 a B5, así que si B6 muestra 120, la descomposición es correcta (si el número tiene menos de 5 factores primos, escribe 1 en las celdas que no uses).
La tercera tabla es la fórmula del número de divisores. B4 muestra (3+1)×(1+1)×(1+1) = 16.
Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google
Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Hojas de cálculo de Google. Funciona tal cual.
Tabla para comprobar con una división si un número es divisor
| Número cuyos divisores buscas N | 120 |
| Número que se prueba A | 4 |
| Resto de N ÷ A (0 = es divisor) | =RESIDUO(B1;B2) |
| Divisor pareja B (cuando el resto es 0) | =B1/B2 |
Tabla para comprobar una descomposición en factores primos
| Factor primo 1 | 2 |
| Factor primo 2 | 2 |
| Factor primo 3 | 2 |
| Factor primo 4 | 3 |
| Factor primo 5 | 5 |
| Producto de todos (es correcto si da el número) | =PRODUCTO(B1:B5) |
Tabla para hallar con la fórmula el número de divisores
| Veces que se multiplica el primo p, a | 3 |
| Veces que se multiplica el primo q, b | 1 |
| Veces que se multiplica el primo r, c | 1 |
| Número de divisores d(N) | =(B1+1)*(B2+1)*(B3+1) |
Las mismas fórmulas de Excel (RESIDUO, PRODUCTO) funcionan tal cual en las Hojas de cálculo de Google en español. Copia la tabla entera, pégala en la celda A1 y sustituye los números de la columna B por los tuyos.
Cómo calcularlo con Python
n = 120 # el número entero positivo que quieres descomponer
divisors = [] # lista de divisores
pairs = [] # pares de divisores que multiplicados dan n
i = 1
while i * i <= n: # dividiendo entre los números hasta √n se encuentran todos
if n % i == 0: # resto 0: i es un divisor
divisors.append(i)
if i != n // i: # su pareja también es un divisor (evita repetir en un cuadrado como 6×6)
divisors.append(n // i)
pairs.append((i, n // i))
i += 1
divisors.sort()
prime_factors = [] # descomposición en factores primos (sigue dividiendo entre el primo más pequeño mientras la división sea exacta)
rest = n
p = 2
while p * p <= rest:
while rest % p == 0:
prime_factors.append(p)
rest = rest // p
p += 1
if rest > 1:
prime_factors.append(rest) # lo que quede al final también es un factor primo
print(f"Divisores de {n} ({len(divisors)} en total): {divisors}")
print(f"Pares de divisores: {pairs}")
if len(prime_factors) >= 2:
print(f"Descomposición en factores primos: {n} = {' × '.join(map(str, prime_factors))}")
elif len(prime_factors) == 1:
print(f"{n} es un número primo")
Funciona solo con la biblioteca estándar. El código sigue la idea de la fórmula 1, «dividiendo entre los números hasta √n se encuentran todos los divisores». Cambia n al principio y ejecútalo (los números de hasta unas 14 cifras terminan enseguida).
La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)
Qué es un divisor (comprobarlo con una multiplicación)
N = A × B
N = A \times B
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>N</mi>
<mo>=</mo>
<mi>A</mi>
<mo>×</mo>
<mi>B</mi>
</mrow>
</math>
N = A xx B
A*B
N := A*B;
N = A*B;
N = A × B
Descomposición en factores primos (escribir un número como producto de primos)
N = pᵃ × qᵇ × rᶜ × …
N = p^{a} \times q^{b} \times r^{c} \times \cdots
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>N</mi>
<mo>=</mo>
<msup><mi>p</mi><mi>a</mi></msup>
<mo>×</mo>
<msup><mi>q</mi><mi>b</mi></msup>
<mo>×</mo>
<msup><mi>r</mi><mi>c</mi></msup>
<mo>×</mo>
<mo>⋯</mo>
</mrow>
</math>
N = p^a xx q^b xx r^c xx cdots
p^a*q^b*r^c
N := p^a*q^b*r^c;
N = p^a*q^b*r^c;
N = p^a × q^b × r^c × …
Fórmula del número de divisores
d(N) = (a + 1)(b + 1)(c + 1) …
d(N) = (a+1)(b+1)(c+1)\cdots
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>d</mi><mo>(</mo><mi>N</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mo>(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo>
<mo>(</mo><mi>b</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo>
<mo>(</mo><mi>c</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo>
<mo>⋯</mo>
</mrow>
</math>
d(N) = (a+1)(b+1)(c+1) cdots
(a + 1)*(b + 1)*(c + 1)
d := (a + 1)*(b + 1)*(c + 1);
d = (a + 1)*(b + 1)*(c + 1);
d(N) = (a+1)(b+1)(c+1)…
Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo
Eres un asistente de cálculo con números enteros. Haz el siguiente cálculo ejecutando realmente código de Python y basa tu respuesta únicamente en los números del resultado de la ejecución (no respondas con cálculo mental ni a ojo). Para el número 120, halla cada uno de estos puntos: 1. Todos los divisores, listados de menor a mayor, y cuántos son 2. Todos los pares de divisores que multiplicados dan 120 3. La descomposición en factores primos (con una forma como 2 × 2 × 2 × 3 × 5) 4. Una comprobación con la fórmula del número de divisores (suma 1 a las veces que se multiplica cada primo y multiplica los resultados) de que coincide con el número del punto 1 Muestra el código que has usado y el resultado de la ejecución.
Cómo usar
-
1Introduce los númerosEscribe en los campos los números con los que quieres calcular
-
2CalculaHaz clic en el botón «Calcular»
-
3Consulta el resultadoEl resultado aparece al instante. En la misma página también encontrarás el desarrollo del cálculo y la explicación de la fórmula
Las ventajas de DataChef
Fácil y gratis
Conversiones gratis e ilimitadas
Sin conocimientos técnicos: fácil e intuitivo
Sin conocimientos técnicos: fácil e intuitivo
Sin registro
Disponible nada más entrar
Sin necesidad de dar datos personales
Sin necesidad de dar datos personales
Seguro y protegido
Conexión cifrada y segura (SSL)
Los archivos se borran automáticamente tras la descarga
Los archivos se borran automáticamente tras la descarga
Alta velocidad
Carga y conversión rápidas, sin esperas
Sin marcas de agua
Sin marca de agua
Sin necesidad de atribución
Sin necesidad de atribución
Uso comercial permitido
Uso comercial gratuito
Sin necesidad de pedir permiso
Sin necesidad de pedir permiso
Funciones relacionadas
Calculadora para simplificar fracciones (fracción irreducible)
Reduce una fracción a su forma irreducible dividiendo el numerador y el denominador entre su MCD
Calculadora de fracciones (sumar, restar, multiplicar y dividir)
Suma, resta, multiplica y divide fracciones paso a paso
