Elige el tipo de curva y escribe los denominadores (elipse o hipérbola) o el coeficiente del término de primer grado (parábola). La calculadora halla los focos, los vértices y la excentricidad, y además las asíntotas de una hipérbola o la directriz de una parábola.
Escribe solo números. Se admiten decimales y fracciones como 3/4. En los denominadores a² y b², escribe el número que aparece debajo de x² o de y², no el valor de a o de b (para x²/9, escribe 9). Un campo en blanco cuenta como 1 (un denominador o un coeficiente que no está escrito vale 1).
Resultado y gráfico
Elige el tipo de curva en los campos de la izquierda, escribe los números y haz clic en «Calcular». Aquí aparecerán los focos, la excentricidad y otros resultados, junto con una gráfica.
Índice
-
Qué puedes hacer en esta página
-
¿Para qué sirve este cálculo?
-
Cómo usar
-
Fórmulas y figuras
-
Símbolos y términos
-
Qué conviene saber de antemano
-
Cómo calcularlo con Excel
-
Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google
-
Cómo calcularlo con Python
-
La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)
-
Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo
-
Las ventajas de DataChef
-
Funciones relacionadas
-
Todas las calculadoras de NumberChef
Qué puedes hacer en esta página
- Escribe los denominadores o el coeficiente y obtienes al instante los focos, los vértices y la excentricidad de la elipse \(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\), de la hipérbola \(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} - \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = \pm 1\) o de la parábola \(y^{2} = 4px\) (y \(x^{2} = 4py\))
- Las respuestas se muestran como valores exactos con \(\sqrt{\ }\), por ejemplo \(\left(\pm\sqrt{5}\,;\,0\right)\), y también como decimales. También puedes ver los pasos que hallan los focos a partir de \(c^{2} = a^{2} - b^{2}\)
- Para una hipérbola obtienes además las asíntotas, y para una parábola, la directriz. La curva, los focos, las asíntotas, la directriz y los vértices se dibujan en una gráfica
- Puedes comprobar en la gráfica las definiciones de los libros de texto: «la suma (o la diferencia) de las distancias a los dos focos es constante» y «la misma distancia al foco que a la directriz»
- En esta página también encontrarás una explicación clara de las fórmulas y fórmulas para copiar y pegar en Excel, Hojas de cálculo de Google y Python
Esta página trabaja con ecuaciones reducidas con el centro en el origen (en una parábola, con el vértice en el origen). No admite ecuaciones trasladadas como \(\dfrac{(x-1)^{2}}{9} + \dfrac{y^{2}}{4} = 1\). Admite elipses horizontales o verticales, hipérbolas que se abren a izquierda y derecha o arriba y abajo, y parábolas que se abren hacia la derecha, la izquierda, arriba o abajo.
¿Para qué sirve este cálculo?
Predecir las órbitas de planetas y cometas (astronomía y vuelos espaciales)
Los planetas recorren órbitas elípticas con el Sol en uno de los focos (primera ley de Kepler). La órbita de la Tierra tiene una excentricidad de aproximadamente 0,017, muy cercana a una circunferencia, mientras que el cometa Halley sigue una elipse larga y estrecha con una excentricidad de aproximadamente 0,97 y vuelve junto al Sol más o menos cada 76 años.
Las mismas matemáticas son la base para diseñar las trayectorias de satélites y sondas espaciales, y la forma de una órbita (elipse, parábola o hipérbola) se clasifica por su excentricidad. Cuando una sonda escapa de la gravedad de un planeta y se aleja, su trayectoria es una hipérbola.
Diseño de antenas parabólicas y de faros (ondas de radio y óptica)
Una superficie que resulta de girar una parábola alrededor de su eje (un paraboloide) tiene esta propiedad: las ondas de radio o la luz que llegan paralelas al eje se reflejan todas hacia el foco. Una antena parabólica de televisión por satélite concentra las señales débiles que llegan de muy lejos en el receptor colocado en el foco.
Los faros de los coches y los focos de búsqueda lo usan al revés: la luz de una fuente situada en el foco se refleja en un haz recto paralelo al eje. La posición del foco (la \(p\) que calcula esta página) es la clave del diseño.
Romper cálculos renales con ondas de choque (medicina)
Una elipse tiene esta propiedad: una onda que sale de un foco se refleja en la elipse y se concentra en el otro foco. La litotricia extracorpórea por ondas de choque (LEOC, o ESWL en inglés) genera una onda de choque en un foco de un reflector elíptico y hace coincidir el otro foco con el cálculo que hay dentro del cuerpo, de modo que lo rompe sin cirugía.
Hallar la posición exacta de los focos influye directamente en la precisión del tratamiento.
Espejos secundarios de telescopios y antenas (diseño óptico)
Un telescopio reflector tipo Cassegrain combina un espejo primario paraboloide con un espejo secundario hiperboloide. Usa una propiedad del hiperboloide, «la luz que se dirige hacia un foco se refleja y se concentra en el otro foco», para llevar la luz hasta el ocular situado en la parte trasera del tubo.
Los grandes radiotelescopios y las antenas de comunicación por satélite usan casi siempre el mismo diseño, de modo que las propiedades de los focos de las elipses, las hipérbolas y las parábolas trabajan juntas en un solo aparato.
Hallar una posición a partir de las diferencias de tiempo de llegada de una señal (navegación)
Algunos sistemas de posicionamiento usan la propia definición de hipérbola: «los puntos cuyas distancias a dos puntos fijos se diferencian en una constante». En la navegación hiperbólica, como la del sistema LORAN, un barco o un avión medía la diferencia de tiempo de llegada de las señales de dos estaciones para saber sobre qué hipérbola estaba, y hallaba su posición donde esa hipérbola cortaba a otra de otro par de estaciones.
El GPS lo ha sustituido, pero la idea de acotar una posición con diferencias de tiempo sigue viva, por ejemplo al estimar la ubicación de un teléfono móvil durante una llamada de emergencia.
Estructuras curvas en edificación e ingeniería civil (torres de refrigeración y cables)
Muchas de las enormes torres de refrigeración de las centrales eléctricas tienen la forma de un hiperboloide, que resulta de girar una hipérbola. Esta superficie curva se puede construir solo con barras rectas de acero colocadas en ángulo, y aun así es resistente y ahorra material.
El cable principal de un puente colgante es una parábola cuando el peso del tablero se reparte uniformemente a lo largo de la horizontal. (Un cable que cuelga solo bajo su propio peso forma otra curva de aspecto parecido, la catenaria.) En los planos de diseño, las ecuaciones reducidas como las de esta página definen estas formas.
Fórmulas y figuras
Focos de una elipse (\(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\), \(a > b > 0\))
Figura
Notación matemática
(la notación habitual)
\(c^{2}\)
\(=\)
\(a^{2}\)
\(-\)
\(b^{2}\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
③
\(c^{2}\): cuadrado de la distancia del centro a un foco
\(=\)
①
\(a^{2}\): denominador de \(x^{2}\) (la mitad del eje mayor, al cuadrado)
\(-\)
②
\(b^{2}\): denominador de \(y^{2}\) (la mitad del eje menor, al cuadrado)
La fórmula en palabras
①
Toma el
denominador \(a^{2}\) de \(x^{2}\)
②
réstale el
denominador \(b^{2}\) de \(y^{2}\)
③
y obtienes el
cuadrado de la distancia \(c\) del centro a un foco
(los focos son los dos puntos \((\pm c\,;\,0)\) del eje \(x\))
Un ejemplo sencillo
Los focos de \(\dfrac{x^{2}}{25} + \dfrac{y^{2}}{9} = 1\) (\(a^{2} = 25,\ b^{2} = 9\)) son
distancia a un foco, \(c\), al cuadrado
\(=\)
denominador de \(x^{2}\) (25)
\(-\)
denominador de \(y^{2}\) (9)
\(c^{2} = 25 - 9 = 16\)
\(c = \sqrt{16} = 4\)
\(F(4\,;\,0),\quad F'(-4\,;\,0)\)
La idea clave
Una elipse es el conjunto de puntos cuyas distancias a los dos focos suman siempre lo mismo (\(= 2a\)). Clava dos chinchetas en un tablero, rodéalas con un hilo, tensa el hilo con un lápiz y muévelo: dibujas una elipse. Esto es exactamente la definición.
Si el denominador de \(x^{2}\) es mayor, la elipse es ancha y los focos están en \((\pm c\,;\,0)\), en el eje \(x\). Si el denominador de \(y^{2}\) es mayor, la elipse es alta, \(c^{2} = b^{2} - a^{2}\) y los focos pasan a \((0\,;\,\pm c)\), en el eje \(y\). Recuerda «denominador mayor menos denominador menor» y no te equivocarás de dirección.
Si \(a^{2} = b^{2}\), entonces \(c = 0\) y los dos focos coinciden en el centro: la elipse es una circunferencia. Una circunferencia es un caso particular de elipse.
Focos y asíntotas de una hipérbola (\(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} - \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\))
Figura
Notación matemática
(la notación habitual)
\(c^{2}\)
\(=\)
\(a^{2}\)
\(+\)
\(b^{2}\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
③
\(c^{2}\): cuadrado de la distancia del centro a un foco
\(=\)
①
\(a^{2}\): denominador de \(x^{2}\) (distancia a un vértice, al cuadrado)
\(+\)
②
\(b^{2}\): denominador de \(y^{2}\)
La fórmula en palabras
①
Al
denominador \(a^{2}\) de \(x^{2}\)
②
súmale el
denominador \(b^{2}\) de \(y^{2}\)
③
y obtienes el
cuadrado de la distancia \(c\) del centro a un foco
(los focos son los dos puntos \((\pm c\,;\,0)\) del eje \(x\))
Un ejemplo sencillo
Los focos de \(\dfrac{x^{2}}{9} - \dfrac{y^{2}}{16} = 1\) (\(a^{2} = 9,\ b^{2} = 16\)) son
distancia a un foco, \(c\), al cuadrado
\(=\)
denominador de \(x^{2}\) (9)
\(+\)
denominador de \(y^{2}\) (16)
\(c^{2} = 9 + 16 = 25\)
\(c = \sqrt{25} = 5\)
\(F(5\,;\,0),\quad F'(-5\,;\,0)\)
La idea clave
Una hipérbola es el conjunto de puntos cuyas distancias a los dos focos se diferencian siempre en lo mismo (\(= 2a\)). La elipse usa \(c^{2} = a^{2} - b^{2}\) (resta) y la hipérbola usa \(c^{2} = a^{2} + b^{2}\) (suma): solo cambia un signo. La razón es que en una elipse los focos están dentro de los vértices (\(c < a\)), mientras que en una hipérbola los focos están fuera de los vértices (\(c > a\)), así que \(c^{2}\) es mayor que \(a^{2}\).
Una hipérbola tiene dos rectas a las que la curva se acerca cada vez más, llamadas asíntotas: \(y = \pm\dfrac{b}{a}x\) (para la hipérbola del ejemplo, \(y = \pm\dfrac{4}{3}x\)). Al dibujar, lo habitual es trazar primero las asíntotas y después esbozar la curva siguiéndolas.
Si el segundo miembro es \(-1\) (\(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} - \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = -1\)), la hipérbola se abre hacia arriba y hacia abajo. Los focos están en \((0\,;\,\pm c)\), en el eje \(y\), los vértices en \((0\,;\,\pm b)\) y la diferencia de distancias pasa a ser \(2b\). La forma de hallar \(c\) (suma) y las asíntotas no cambia.
Foco y directriz de una parábola (\(y^{2} = 4px\))
Figura
Notación matemática
(la notación habitual)
\(PF\)
\(=\)
\(PH\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
②
\(PF\): distancia al foco \(F\)
\(=\)
①
\(PH\): distancia a la directriz
La fórmula en palabras
①
Una parábola es el conjunto de puntos \(P\) en los que la
distancia a la directriz, \(PH\),
②
y la
distancia al foco \(F\), \(PF\),
son siempre iguales
Un ejemplo sencillo
Al comparar \(y^{2} = 8x\) con la ecuación reducida \(y^{2} = 4px\) resulta \(4p = 8\), así que
distancia al foco \((2\,;\,0)\)
\(=\)
distancia a la directriz \(x = -2\)
\(4p = 8\)
\(p = \dfrac{8}{4} = 2\)
La idea clave
El foco de \(y^{2} = 4px\) es \((p\,;\,0)\), en el eje \(x\), y la directriz es la recta vertical \(x = -p\). Si \(p > 0\), la parábola se abre hacia la derecha; si \(p < 0\), hacia la izquierda.
Al intercambiar \(x\) e \(y\) se obtiene \(x^{2} = 4py\), una parábola que se abre hacia arriba o hacia abajo, con foco \((0\,;\,p)\) y directriz horizontal \(y = -p\). La conocida gráfica de \(y = ax^{2}\) es de la misma familia: si la reescribes como \(x^{2} = \dfrac{1}{a}y\), tiene el foco \(\left(0\,;\,\dfrac{1}{4a}\right)\) y una directriz.
El coeficiente se escribe \(4p\) porque así el foco y la directriz salen con las formas limpias \((p\,;\,0)\) y \(x = -p\). Ten en cuenta que muchos libros de España escriben la parábola como \(y^{2} = 2p'x\) (con \(p'\) la distancia del foco a la directriz): el \(p'\) de esos libros es el doble del \(p\) de esta página. Cuando te den algo como \(y^{2} = 8x\), el primer paso es hallar \(p\) con \(4p = 8\).
Excentricidad \(e\) (un número que describe la forma de la curva)
Notación matemática
(la notación habitual)
\(e\)
\(=\)
\(c\)
\(\div\)
\(a\)
En palabras
(los símbolos sustituidos por palabras)
③
\(e\): excentricidad
\(=\)
①
\(c\): distancia del centro a un foco
\(\div\)
②
\(a\): distancia del centro a un vértice
La fórmula en palabras
①
Toma la
distancia \(c\) del centro a un foco
②
divídela entre la
distancia \(a\) del centro a un vértice (el extremo del eje más largo)
③
y obtienes la
excentricidad \(e\)
Un ejemplo sencillo
La excentricidad de \(\dfrac{x^{2}}{25} + \dfrac{y^{2}}{9} = 1\) (\(a = 5,\ c = 4\)) es
excentricidad \(e\)
\(=\)
distancia a un foco (4)
\(\div\)
distancia a un vértice (5)
\(e = \dfrac{4}{5} = 0{,}8\)
La idea clave
La excentricidad es un número que dice cuánto se aleja una curva de ser una circunferencia. Una circunferencia tiene \(e = 0\), una elipse tiene \(0 < e < 1\) (cuanto más cerca de 0, más redonda; cuanto más cerca de 1, más larga y estrecha), una parábola tiene exactamente \(e = 1\) y una hipérbola tiene \(e > 1\).
Las elipses, las hipérbolas y las parábolas parecen curvas sin relación al principio, pero este único número las ordena en una sucesión continua: circunferencia → elipse → parábola → hipérbola. Esta es una de las razones por las que las tres se agrupan como cónicas.
En una elipse alta o en una hipérbola que se abre hacia arriba y hacia abajo, el eje más largo es el eje \(y\), así que se divide entre \(b\) (la distancia del centro a un vértice). Recuerda «distancia a un foco ÷ distancia a un vértice» y acertarás en cualquier dirección.
La distancia \(c\) del centro a un foco se halla con \(c^{2} = a^{2} - b^{2}\) en una elipse y con \(c^{2} = a^{2} + b^{2}\) en una hipérbola. La parábola \(y^{2} = 4px\) tiene el foco \((p\,;\,0)\) y la directriz \(x = -p\). Las tres curvas forman una familia (las cónicas) definida por distancias a un foco, y sus formas se ordenan por la excentricidad \(e\): elipse, \(e < 1\); parábola, \(e = 1\); hipérbola, \(e > 1\).
Símbolos y términos
Símbolos
| \(a,\ b\) | a, be | Números positivos de los denominadores de las ecuaciones reducidas de la elipse y de la hipérbola (como \(a^{2}\) y \(b^{2}\)). En una elipse, \(a\) es el radio en la dirección de \(x\) y \(b\) el radio en la dirección de \(y\) (cada uno es la mitad del eje mayor o del eje menor). En una hipérbola, \(a\) es la distancia del centro a un vértice. Ojo: muchos libros de España usan siempre \(a\) para el semieje más largo y escriben una elipse alta como \(\dfrac{x^{2}}{b^{2}} + \dfrac{y^{2}}{a^{2}} = 1\); en esta página, \(a^{2}\) es siempre el denominador de \(x^{2}\). |
| \(c\) | ce | La distancia del centro a un foco. Los focos están en \((\pm c\,;\,0)\) o en \((0\,;\,\pm c)\). Es la tercera letra después de \(a\) y \(b\). En una elipse, \(c^{2} = a^{2} - b^{2}\); en una hipérbola, \(c^{2} = a^{2} + b^{2}\). |
| \(F,\ F'\) | efe, efe prima | Los nombres de los focos (\(F\) es la inicial de «foco»). Una elipse o una hipérbola tiene dos focos, y el segundo se escribe \(F'\) (efe prima). |
| \(P\) | pe | El nombre de un punto de la curva (\(P\) es la inicial de «punto»). Se usa para enunciar definiciones, como en «para cualquier punto \(P\), la suma de las distancias es constante». |
| \(PF\) | pe efe | La longitud del segmento que une el punto \(P\) con el foco \(F\) (la distancia de \(P\) a \(F\)). Escribir juntos los nombres de dos puntos para la longitud de un segmento es la notación habitual en geometría. |
| \(H\) | hache | El nombre del pie de la perpendicular trazada desde el punto \(P\) de la parábola a la directriz (el punto en que la corta). La distancia de \(P\) a la directriz se escribe \(PH\). |
| \(p\) | pe | En la parábola \(y^{2} = 4px\), el número que da la distancia del vértice al foco (un valor negativo da la dirección opuesta). El foco es \((p\,;\,0)\) y la directriz es \(x = -p\). Muchos libros de España escriben \(y^{2} = 2p' x\), con \(p'\) la distancia del foco a la directriz; entonces \(p' = 2p\). |
| \(e\) | e | La excentricidad (\(e\) es la inicial). Una circunferencia tiene \(e = 0\), una elipse \(0 < e < 1\), una parábola \(e = 1\) y una hipérbola \(e > 1\). (No es el número e ≈ 2,718.) |
| \(\pm\) | más menos | Un signo que recoge a la vez el caso + y el caso −. Los focos \((\pm 4\,;\,0)\) son los dos puntos \((4\,;\,0)\) y \((-4\,;\,0)\) escritos juntos. |
| \(\sqrt{\ }\) | raíz cuadrada | El signo de la raíz cuadrada (el número positivo cuyo cuadrado es el número que hay dentro). Se usa para obtener \(c = \sqrt{5}\) a partir de \(c^{2} = 5\). \(\sqrt{5}\) vale aproximadamente 2,236. |
Términos
| cónica | Una curva que es el borde que resulta al cortar un cono (como un cucurucho de helado) con un plano. Según el ángulo del corte, el borde es una circunferencia, una elipse, una parábola o una hipérbola. Se estudian en Bachillerato (lugares geométricos y cónicas). |
| curva de segundo grado | Otra forma de referirse a las cónicas: curvas dadas por una ecuación de grado 2 en \(x\) e \(y\). Las elipses, las hipérbolas y las parábolas (y las circunferencias) son exactamente estas curvas. |
| elipse | El conjunto de puntos cuyas distancias a dos focos suman una constante. Parece una circunferencia aplastada en una dirección, y su ecuación reducida es \(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\). |
| hipérbola | El conjunto de puntos cuyas distancias a dos focos se diferencian en una constante. Es un par de curvas que se abren hacia izquierda y derecha (o hacia arriba y abajo), y su ecuación reducida es \(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} - \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = \pm 1\). |
| parábola | El conjunto de puntos que están a la misma distancia de un foco y de una directriz. Es la forma de la trayectoria de una pelota lanzada. Su ecuación reducida es \(y^{2} = 4px\) (o \(x^{2} = 4py\)). |
| foco | Un punto especial que determina la forma de una cónica (plural: focos). Una elipse o una hipérbola tiene dos, y una parábola tiene uno. Los focos concentran la luz y las ondas de radio, y la palabra «foco» viene del latín para «hogar» o «chimenea». |
| directriz | La recta que se usa para definir una parábola. Todo punto de la parábola está a la misma distancia del foco que de la directriz. La directriz de \(y^{2} = 4px\) es \(x = -p\). |
| asíntota | Una recta a la que una curva se acerca cada vez más pero que nunca alcanza. La hipérbola \(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} - \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = \pm 1\) tiene dos asíntotas, \(y = \pm\dfrac{b}{a}x\). |
| excentricidad | Un número \(e\) que dice cuánto se aleja una curva de ser una circunferencia («excéntrico» significa «fuera del centro»). Con circunferencia \(e = 0\), elipse \(0 < e < 1\), parábola \(e = 1\) e hipérbola \(e > 1\), este único número ordena todas las cónicas. |
| eje mayor | El segmento más largo que atraviesa una elipse pasando por su centro. En una elipse ancha mide \(2a\), y los focos están sobre el eje mayor. |
| eje menor | El segmento más corto que atraviesa una elipse pasando por su centro. En una elipse ancha mide \(2b\), y corta al eje mayor en ángulo recto. |
| vértice | Un punto en el que la curva corta a un eje de simetría. Una elipse tiene cuatro (los extremos de los ejes mayor y menor; algunos libros llaman vértices solo a los extremos del eje mayor), una hipérbola tiene dos y una parábola tiene uno (el origen). |
| ecuación reducida | La forma más sencilla de la ecuación, con el centro (en una parábola, el vértice) en el origen, como \(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\). Con ella, los focos y los vértices se leen con facilidad. |
| raíz cuadrada | Un número cuyo cuadrado es el número dado. Obtener \(c = 4\) a partir de \(c^{2} = 16\) es «hallar la raíz cuadrada». Cuando la raíz cuadrada no es un número entero, la forma exacta de escribirla es con el signo radical, como \(\sqrt{5}\). |
Qué conviene saber de antemano
Esto es lo que te ayuda a usar el cálculo de esta página entendiendo lo que haces, y no solo pulsando el botón.
Si te atascas, repasar estos temas es el camino más rápido.
| Raíces cuadradas (2.º–3.º de ESO, 13-15 años) |
|
| El plano cartesiano y la distancia entre dos puntos (1.º de ESO a 1.º de Bachillerato, 12-17 años) |
|
| Gráficas de funciones cuadráticas (3.º–4.º de ESO, 14-16 años) |
|
| Ecuación de la circunferencia (1.º de Bachillerato, 16-17 años) |
|
| Fracciones y razones (5.º–6.º de Primaria y 1.º de ESO, 10-13 años) |
|
Cómo calcularlo con Excel
Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Excel. Funciona tal cual.
Tabla para hallar los focos y la excentricidad de una elipse (ancha, a² > b²)
| Denominador de x², a² | 25 |
| Denominador de y², b² | 9 |
| c² = a² − b² | =B1-B2 |
| Distancia a un foco, c = √(c²) | =RAIZ(B3) |
| Longitud del eje mayor, 2a | =2*RAIZ(B1) |
| Longitud del eje menor, 2b | =2*RAIZ(B2) |
| Excentricidad e = c/a | =B4/RAIZ(B1) |
Tabla para hallar los focos y las asíntotas de una hipérbola
| Denominador de x², a² | 9 |
| Denominador de y², b² | 16 |
| c² = a² + b² | =B1+B2 |
| Distancia a un foco, c = √(c²) | =RAIZ(B3) |
| Pendiente de las asíntotas, b/a | =RAIZ(B2/B1) |
| Excentricidad e = c/a | =B4/RAIZ(B1) |
Tabla para hallar el foco y la directriz de una parábola (y² = cx)
| Coeficiente c de x | 8 |
| p = c ÷ 4 | =B1/4 |
| Coordenada x del foco (el foco es (p ; 0)) | =B2 |
| Directriz x = −p | =-B2 |
Al pegar, las filas de arriba (los denominadores o el coeficiente) son tus datos de entrada y las filas de abajo se calculan solas. RAIZ da la raíz cuadrada.
La primera tabla es la elipse x²/25 + y²/9 = 1: c² = 16, c = 4, eje mayor 10, eje menor 6 y excentricidad 0,8. Para una elipse alta (a² < b²), cambia la fórmula de c² por «=B2-B1» y la excentricidad por «=B4/RAIZ(B2)».
La segunda tabla es la hipérbola x²/9 − y²/16 = 1: c² = 25, c = 5, pendiente de las asíntotas 1,333… (= 4/3) y excentricidad 1,666… (= 5/3).
La tercera tabla es la parábola y² = 8x: p = 2, foco (2 ; 0) y directriz x = −2. Para x² = cy (se abre hacia arriba o hacia abajo), lee el foco como (0 ; p) y la directriz como y = −p.
Excel da respuestas decimales, así que usa la calculadora de esta página cuando necesites valores exactos como √5.
La primera tabla es la elipse x²/25 + y²/9 = 1: c² = 16, c = 4, eje mayor 10, eje menor 6 y excentricidad 0,8. Para una elipse alta (a² < b²), cambia la fórmula de c² por «=B2-B1» y la excentricidad por «=B4/RAIZ(B2)».
La segunda tabla es la hipérbola x²/9 − y²/16 = 1: c² = 25, c = 5, pendiente de las asíntotas 1,333… (= 4/3) y excentricidad 1,666… (= 5/3).
La tercera tabla es la parábola y² = 8x: p = 2, foco (2 ; 0) y directriz x = −2. Para x² = cy (se abre hacia arriba o hacia abajo), lee el foco como (0 ; p) y la directriz como y = −p.
Excel da respuestas decimales, así que usa la calculadora de esta página cuando necesites valores exactos como √5.
Cómo calcularlo con Hojas de cálculo de Google
Copia toda la tabla de abajo y pégala en la celda A1 de Hojas de cálculo de Google. Funciona tal cual.
Tabla para hallar los focos y la excentricidad de una elipse (ancha, a² > b²)
| Denominador de x², a² | 25 |
| Denominador de y², b² | 9 |
| c² = a² − b² | =B1-B2 |
| Distancia a un foco, c = √(c²) | =RAIZ(B3) |
| Longitud del eje mayor, 2a | =2*RAIZ(B1) |
| Longitud del eje menor, 2b | =2*RAIZ(B2) |
| Excentricidad e = c/a | =B4/RAIZ(B1) |
Tabla para hallar los focos y las asíntotas de una hipérbola
| Denominador de x², a² | 9 |
| Denominador de y², b² | 16 |
| c² = a² + b² | =B1+B2 |
| Distancia a un foco, c = √(c²) | =RAIZ(B3) |
| Pendiente de las asíntotas, b/a | =RAIZ(B2/B1) |
| Excentricidad e = c/a | =B4/RAIZ(B1) |
Tabla para hallar el foco y la directriz de una parábola (y² = cx)
| Coeficiente c de x | 8 |
| p = c ÷ 4 | =B1/4 |
| Coordenada x del foco (el foco es (p ; 0)) | =B2 |
| Directriz x = −p | =-B2 |
Sirven las mismas fórmulas que en Excel. Copia toda la tabla, pégala en la celda A1 y sustituye los denominadores o el coeficiente por tus propios números.
Cómo calcularlo con Python
from fractions import Fraction
import math
# Denominadores de la elipse x²/a² + y²/b² = 1 (una fracción como 3/4 se escribe Fraction(3, 4))
x_denominator = Fraction(25) # a²
y_denominator = Fraction(9) # b²
# Elipse: c² = denominador mayor − denominador menor (en una hipérbola se suman)
c_squared = abs(x_denominator - y_denominator)
c = math.sqrt(c_squared)
semi_major = math.sqrt(max(x_denominator, y_denominator))
print(f"c² = {c_squared}")
print(f"c = √{c_squared} = {c}")
if x_denominator >= y_denominator:
print(f"Focos: (±{c} ; 0)") # ancha → focos en el eje x
else:
print(f"Focos: (0 ; ±{c})") # alta → focos en el eje y
print(f"Excentricidad e = c ÷ {semi_major} = {c / semi_major}")
Funciona solo con la biblioteca estándar. El módulo fractions mantiene los denominadores como fracciones, así que todo hasta c² es exacto, sin errores de redondeo (solo la raíz cuadrada, math.sqrt, da un decimal). Este ejemplo es la elipse x²/25 + y²/9 = 1. Al ejecutarlo se imprimen cuatro líneas: c² = 16, c = √16 con su valor, los focos (±c ; 0) y la excentricidad e = c ÷ a con su valor (Python escribe los decimales con punto). Para la hipérbola x²/a² − y²/b² = 1, cambia la línea de c_squared por «x_denominator + y_denominator». Para la parábola y² = cx solo necesitas p = c/4, que se obtiene directamente, como en Fraction(8) / 4.
La fórmula en LaTeX y otras notaciones matemáticas (para copiar)
Focos de una elipse (\(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} + \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\), \(a > b > 0\))
c² = a² − b²
c^{2} = a^{2} - b^{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>=</mo>
<msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>−</mo>
<msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</math>
c^2 = a^2 - b^2
c = Sqrt[a^2 - b^2]
c := sqrt(a^2 - b^2);
c = sqrt(a^2 - b^2);
c^2 = a^2 - b^2
Focos y asíntotas de una hipérbola (\(\dfrac{x^{2}}{a^{2}} - \dfrac{y^{2}}{b^{2}} = 1\))
c² = a² + b²
c^{2} = a^{2} + b^{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup><mi>c</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>=</mo>
<msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo>
<msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</math>
c^2 = a^2 + b^2
c = Sqrt[a^2 + b^2]
c := sqrt(a^2 + b^2);
c = sqrt(a^2 + b^2);
c^2 = a^2 + b^2
Foco y directriz de una parábola (\(y^{2} = 4px\))
y² = 4px
y^{2} = 4px
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup><mi>y</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>=</mo>
<mn>4</mn><mi>p</mi><mi>x</mi>
</mrow>
</math>
y^2 = 4px
y^2 == 4 p x
y^2 = 4*p*x;
y^2 == 4*p*x
y^2 = 4px
Excentricidad \(e\) (un número que describe la forma de la curva)
e = c/a
e = \dfrac{c}{a}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>e</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac><mi>c</mi><mi>a</mi></mfrac>
</mrow>
</math>
e = c/a
e = c/a
e := c/a;
e = c/a;
e = c/a
Cómo pedirle a ChatGPT que haga el cálculo
Eres un asistente de cálculo matemático para cónicas (Bachillerato). Haz el siguiente cálculo ejecutando realmente código de Python y basa tu respuesta solo en los números del resultado de la ejecución (no respondas con cálculo mental ni a ojo). Para la elipse x²/9 + y²/4 = 1, muestra cada uno de estos puntos: 1. El valor de c² = a² − b² 2. La distancia c del centro a un foco (como valor exacto con √ y como decimal) 3. Las coordenadas de los focos 4. La longitud del eje mayor 2a y la del eje menor 2b 5. La excentricidad e = c/a (como valor exacto y como decimal) En Python, usa sympy (o fractions y math si sympy no está disponible), y obtén valores exactos como √5 con sympy.sqrt. Muestra las fórmulas que has usado y los números del resultado de la ejecución.
Cómo usar
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1Introduce los númerosEscribe en los campos los números con los que quieres calcular
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2CalculaHaz clic en el botón «Calcular»
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3Consulta el resultadoEl resultado aparece al instante. En la misma página también encontrarás el desarrollo del cálculo y la explicación de la fórmula
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