ベクトル計算機（和・差・実数倍・大きさ・内積・なす角）

平面か空間かを選び、2つのベクトル a・b の成分と、実数倍の係数 k・l を入力してください。下の数式は入力欄と連動していて、成分の部分を直接書き換えても計算できます。

平面か空間か

ベクトル a の x成分

ベクトル a の y成分

ベクトル a の z成分

ベクトル b の x成分

ベクトル b の y成分

ベクトル b の z成分

係数 k（a を何倍するか）

係数 l（b を何倍するか）

数値は半角で入力してください。小数・負の数・3/4 のような分数が使えます。成分の空欄は 0、係数 k・l の空欄は 1 として扱います。

計算結果・図形

左の入力欄にベクトルの成分を入れて「計算する」を押すと、ここに結果と図が表示されます。

このページでできること
この計算は何の役に立つ？
使い方
式と図
用語・記号の解説
- 記号
- 用語
前提として理解しておくといいこと
Excelで計算する方法
Googleスプレッドシートで計算する方法
Pythonで計算する方法
数式記述言語（LaTeX等）での書き方（コピペ可）
ChatGPTに聞いて計算してもらう方法
計算ドリル（演習問題）
DataChefの特徴
関連機能
NumberChef 機能一覧

このページでできること

平面（2次元）・空間（3次元）のベクトル \(\vec{a}\)・\(\vec{b}\) の成分を入れるだけで、和 \(\vec{a}+\vec{b}\)・差 \(\vec{a}-\vec{b}\)・実数倍と和 \(k\vec{a}+l\vec{b}\) をまとめて計算できます
大きさ \(|\vec{a}|\) は \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\) のように根号を簡約した厳密値と小数の両方で表示します
内積 \(\vec{a}\cdot\vec{b}\)、なす角 \(\theta\)（度とラジアン。\(45^{\circ}\) などの有名角は厳密値）、単位ベクトル、垂直・平行の判定も同時に求められます
計算機には手書きと同じ形の縦ベクトルの数式が表示され、成分を直接書き換えて計算することもできます
成分・係数には小数・負の数のほか、3/4 のような分数も入力できます
式のやさしい解説・Excel/Googleスプレッドシート/Python用のコピペ数式・計算ドリル（演習問題）もこのページにまとまっています

大きさが 0 のベクトル（零ベクトル）は向きが決まらないため、なす角と単位ベクトルを求められません。この計算機では、\(\vec{a}\)・\(\vec{b}\) のどちらかが零ベクトルのときは計算しない扱いにしています。

この計算は何の役に立つ？

力の合成（物理・建築・工学）

物体に複数の力がはたらくとき、その効果はベクトルの和で求められます。斜めに引くロープの張力を「水平方向」と「鉛直方向」の成分に分けて足し合わせるのは、この計算そのものです。
橋や建物の設計では、自重・風・地震などの力をベクトルとして合成し、部材にかかる力の向きと大きさを求めます。力の向きを無視して大きさだけを足すと危険な設計になってしまうため、ベクトルで扱うことが欠かせません。

3Dゲーム・CGの映像づくり

ゲームの中のキャラクターの移動は「位置ベクトル＋速度ベクトル」で計算され、カメラの向きや弾の飛ぶ方向もすべてベクトルです。単位ベクトルは「向きだけを表したい」場面（進行方向・視線の向き）で毎フレーム使われています。
明るさの計算でも内積が主役です。面の向き（法線ベクトル）と光の向きの内積が大きいほど正面から光が当たっていることになり、その値で画面の明るさを決めています。内積が 0 以下なら光は当たっていない、という判定もできます。

飛行機・船の進路（速度の合成）

飛行機の実際の進路は、機首の向きの速度ベクトルと風の速度ベクトルの和で決まります。真東に飛びたいのに北風が吹いていれば、そのぶん機首を風上に向けておく必要があり、この「どれだけ向けるか」はベクトルの引き算で求まります。
船の航海でも、潮流のベクトルを足し引きして舵を切る向きを決めます。速度と時間の関係を成分ごとに扱えるのが、ベクトルの強みです。

文章や商品の「似ている度」を測る（AI・レコメンド）

検索エンジンや生成AIは、文章を「たくさんの数の並び」＝ベクトルに変換して扱います。2つの文章が似ているかどうかは、そのベクトルどうしのなす角で判定し、\(\cos\theta\) が 1 に近いほど似ていると考えます（コサイン類似度）。
通販サイトの「この商品を見た人におすすめ」も、購買履歴をベクトルにしてなす角の近い人・商品を探す仕組みが使われています。ここでは長さ（総購入額の大小など）よりも向き（好みの傾向）が重要なので、角度で測るという発想が生きています。

位置と姿勢を測る機器（ドローン・カーナビ・スマートフォン）

ドローンやスマートフォンは、加速度センサーが測った「重力の向きのベクトル」と、機体の基準となる向きのベクトルとのなす角から、自分がどれだけ傾いているかを割り出しています。画面が縦横に自動で切り替わるのも、この計算の結果です。
カーナビや測量では、2地点の座標の差をベクトルとして扱い、その大きさが距離、向きが方角になります。空間（3次元）では高さの成分を足すだけで、同じ式がそのまま使えます。

式と図

ベクトルの大きさ（成分から求める）

図

数学表記（一般的な数式）

\(|\vec{a}|\) \(=\) \(\sqrt{a_1^{2}+a_2^{2}}\)

日本語表記（記号を日本語に置き換えた式）

② ベクトル \(\vec{a}\) の大きさ（矢印の長さ）\(|\vec{a}|\) \(=\) ① 成分の2乗の和 \(a_1^{2}+a_2^{2}\) の平方根

式を日本語で読むと

① 成分表示が \(\vec{a}=(a_1,\ a_2)\) のとき、 \(x\) 成分の2乗と \(y\) 成分の2乗を足した \(a_1^{2}+a_2^{2}\) の平方根を計算すると

② ベクトル \(\vec{a}\) の大きさ（矢印の長さ）\(|\vec{a}|\) になる

簡単な例

\(\vec{a}=(4,\ 2)\) の大きさは（右へ4・上へ2進む矢印の長さ）

\(\vec{a}=(4,\ 2)\) の大きさ \(=\) \(4^2+2^2=20\) の平方根

\(|\vec{a}| = \sqrt{4^{2}+2^{2}} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \fallingdotseq 4.4721\)

考え方のポイント

この式は三平方の定理そのものです。成分 \(a_1\)・\(a_2\) は、矢印を「右へどれだけ・上へどれだけ」と分けた長さなので、矢印は直角をはさむ2辺が \(a_1\)・\(a_2\) の直角三角形の斜辺になります。だから斜辺の長さが \(\sqrt{a_1^{2}+a_2^{2}}\) になるわけです。空間（3次元）のベクトル \(\vec{a}=(a_1,\ a_2,\ a_3)\) では、高さの成分の2乗を足して \(|\vec{a}|=\sqrt{a_1^{2}+a_2^{2}+a_3^{2}}\) になります。項が1つ増えるだけで手順は同じです。答えの根号は必ず簡約した形（例：\(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\)）で書きます。この計算機も簡約した厳密値と小数の両方を表示します。

ベクトルの和・差（成分ごとに足す・引く）

図

数学表記（一般的な数式）

\(\vec{a}+\vec{b}\) \(=\) \((a_1+b_1,\ a_2+b_2)\)

\(\vec{a}-\vec{b}\) \(=\) \((a_1-b_1,\ a_2-b_2)\)

日本語表記（記号を日本語に置き換えた式）

② \(\vec{a}\) と \(\vec{b}\) の和 \(=\) ① \(x\) 成分どうし・\(y\) 成分どうしを足したベクトル

④ \(\vec{a}\) と \(\vec{b}\) の差 \(=\) ③ \(x\) 成分どうし・\(y\) 成分どうしを引いたベクトル

式を日本語で読むと

① \(x\) 成分どうし・\(y\) 成分どうしを足したベクトル \((a_1+b_1,\ a_2+b_2)\) が

② \(\vec{a}\) と \(\vec{b}\) の和 \(\vec{a}+\vec{b}\) になり

③ \(x\) 成分どうし・\(y\) 成分どうしを引いたベクトル \((a_1-b_1,\ a_2-b_2)\) が

④ \(\vec{a}\) と \(\vec{b}\) の差 \(\vec{a}-\vec{b}\) になる

簡単な例

\(\vec{a}=(4,\ 2)\)、\(\vec{b}=(-1,\ 2)\) のとき

\(\vec{a}+\vec{b}\) \(=\) \((4+(-1),\ 2+2)\)

\(\vec{a}+\vec{b} = (4+(-1),\ 2+2) = (3,\ 4)\)

\(\vec{a}-\vec{b} = (4-(-1),\ 2-2) = (5,\ 0)\)

考え方のポイント

図で見ると、和 \(\vec{a}+\vec{b}\) は「\(\vec{a}\) の終点に \(\vec{b}\) の始点をつないだときの、最初の始点から最後の終点までの矢印」です。\(\vec{a}\) と \(\vec{b}\) を2辺とする平行四辺形の対角線になるので、平行四辺形の法則と呼ばれます。差 \(\vec{a}-\vec{b}\) は \(\vec{a}+(-\vec{b})\)、つまり \(\vec{b}\) を逆向きにしてから足したものです。図では \(\vec{b}\) の終点から \(\vec{a}\) の終点へ向かう矢印になります。向きを間違えやすいところなので、「引く方（後ろの \(\vec{b}\)）の終点から、引かれる方（前の \(\vec{a}\)）の終点へ向かう」と覚えてください。矢印が \(\vec{a}\) 側を指す、と押さえておけば逆向きに描くことはありません。空間（3次元）でも、\(z\) 成分どうしを足す・引く項が増えるだけで手順は同じです。

ベクトルの実数倍

図

数学表記（一般的な数式）

日本語表記（記号を日本語に置き換えた式）

\(k\vec{a}\) \(=\) \((ka_1,\ ka_2)\)

② \(\vec{a}\) の \(k\) 倍 \(=\) ① 成分をそれぞれ \(k\) 倍したベクトル

式を日本語で読むと

① 成分をそれぞれ \(k\) 倍したベクトル \((ka_1,\ ka_2)\) が

② ベクトル \(\vec{a}\) の \(k\) 倍 \(k\vec{a}\) になる

簡単な例

\(\vec{a}=(4,\ 2)\) を2倍すると（向きはそのままで長さが2倍の矢印）

\(2\vec{a}\) \(=\) \((2 \times 4,\ 2 \times 2)\)

\(2\vec{a} = (2 \times 4,\ 2 \times 2) = (8,\ 4)\)

\(|2\vec{a}| = \sqrt{8^{2}+4^{2}} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} = 2 \times 2\sqrt{5} = 2|\vec{a}|\)

考え方のポイント

実数倍は矢印の「伸び縮み」です。\(k>0\) なら向きはそのままで長さが \(k\) 倍になり、\(k<0\) なら向きが真逆になって長さが \(|k|\) 倍になります（\(k=-1\) のときが逆ベクトル \(-\vec{a}\)）。大きさは \(|k\vec{a}|=|k|\,|\vec{a}|\) です。この計算機は \(k\vec{a}+l\vec{b}\) の形で計算します。\(k=1,\ l=1\) なら和、\(k=1,\ l=-1\) なら差になるので、係数を変えるだけで \(2\vec{a}-3\vec{b}\) のような式もそのまま計算できます。なお \(k=0\) にすると、すべての成分が 0 の零ベクトル \(\vec{0}\) になります。零ベクトルは長さが 0 で向きが決まりません。

内積（2つのベクトルから数を作る計算）

図

数学表記（一般的な数式）

\(\vec{a}\cdot\vec{b}\) \(=\) \(|\vec{a}|\) \(\times\) \(|\vec{b}|\) \(\times\) \(\cos\theta\)

\(\vec{a}\cdot\vec{b}\) \(=\) \(a_1b_1+a_2b_2\)

日本語表記（記号を日本語に置き換えた式）

④ \(\vec{a}\) と \(\vec{b}\) の内積 \(=\) ① \(\vec{a}\) の大きさ \(\times\) ② \(\vec{b}\) の大きさ \(\times\) ③ なす角 \(\theta\) の余弦 \(\cos\theta\)

⑥ \(\vec{a}\) と \(\vec{b}\) の内積 \(=\) ⑤ \(x\) 成分どうしの積と \(y\) 成分どうしの積の和

式を日本語で読むと

① \(\vec{a}\) の大きさ \(|\vec{a}|\) と

② \(\vec{b}\) の大きさ \(|\vec{b}|\) と

③ なす角 \(\theta\) の余弦 \(\cos\theta\) を掛け合わせたものが

④ 内積 \(\vec{a}\cdot\vec{b}\) で、これは成分を使うと

⑤ \(x\) 成分どうしの積と \(y\) 成分どうしの積を足した \(a_1b_1+a_2b_2\) と同じ値になり、こちらでも

⑥ 内積 \(\vec{a}\cdot\vec{b}\) が求められる

簡単な例

\(\vec{a}=(4,\ 2)\)、\(\vec{b}=(-1,\ 2)\) の内積は

内積 \(\vec{a}\cdot\vec{b}\) \(=\) \(4 \times (-1) + 2 \times 2\)

\(\vec{a}\cdot\vec{b} = 4 \times (-1) + 2 \times 2 = -4 + 4 = 0\)

考え方のポイント

内積の答えはベクトルではなく、ただの数（スカラー）です。「掛け算」と名前が似ていますが、2つの矢印から1つの数を作り出す、専用の計算だと考えてください。記号は必ず中黒（ドット）で書き、\(\vec{a}\times\vec{b}\) と書くと別の計算（外積）になってしまいます。図の意味は「\(\vec{b}\) を \(\vec{a}\) の向きに真上から落とした影（正射影）の長さ \(|\vec{b}|\cos\theta\) と、\(|\vec{a}|\) を掛けたもの」です。だから2つの向きがそろっているほど内積は大きくなり、直角のときは影の長さが 0 になって内積も 0 になります。向きが逆に近いと影が反対側に伸びるので内積はマイナスです。定義の式（大きさとなす角）は角度がわかっているときに、成分の式は座標がわかっているときに使います。空間（3次元）では \(a_3b_3\) の項が増えて \(\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\) になります。

2つのベクトルのなす角

図

数学表記（一般的な数式）

\(\cos\theta\) \(=\) \(\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|}\)

日本語表記（記号を日本語に置き換えた式）

② なす角 \(\theta\) の余弦 \(\cos\theta\) \(=\) ① \(\dfrac{\text{内積 }\vec{a}\cdot\vec{b}}{\text{2つの大きさの積 }|\vec{a}|\,|\vec{b}|}\)

式を日本語で読むと

① \(\dfrac{\text{内積 }\vec{a}\cdot\vec{b}}{\text{2つの大きさの積 }|\vec{a}|\,|\vec{b}|}\) を計算すると

② なす角 \(\theta\) の余弦 \(\cos\theta\) が求まり、そこから角度 \(\theta\) がわかる

簡単な例

\(\vec{a}=(1,\ 1)\)、\(\vec{b}=(2,\ 0)\) のなす角は（内積は \(1 \times 2 + 1 \times 0 = 2\)、大きさは \(|\vec{a}|=\sqrt{2}\)、\(|\vec{b}|=2\)）

\(\cos\theta\) \(=\) \(\dfrac{2}{\sqrt{2} \times 2}\)

\(\cos\theta = \dfrac{2}{\sqrt{2} \times 2} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)

\(\theta = 45^{\circ} = \dfrac{\pi}{4}\)

考え方のポイント

内積の定義 \(\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\) を \(\cos\theta\) について解いただけの式です。角度そのものではなく、まず \(\cos\theta\) の値が求まることに注意してください。 \(\cos\theta\) から角度を出すときは、\(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) なら \(45^{\circ}\)、\(\dfrac{1}{2}\) なら \(60^{\circ}\)、\(0\) なら \(90^{\circ}\) というように、三角比の有名角の値と見比べます。有名角でないときは逆余弦 \(\cos^{-1}\)（アークコサイン）を使い、この計算機は小数で表示します。なす角は \(0^{\circ}\) 以上 \(180^{\circ}\) 以下の範囲で答えるのが約束です。 \(\cos\theta\) の符号だけ見れば、正なら鋭角、0 なら直角、負なら鈍角とすぐわかります。分母に根号が残ったときは \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) のように有理化した形で書きます。

垂直・平行の条件

図

数学表記（一般的な数式）

\(\vec{a}\perp\vec{b}\) \(\iff\) \(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)

\(\vec{a}\parallel\vec{b}\) \(\iff\) \(\vec{b}=k\vec{a}\)

日本語表記（記号を日本語に置き換えた式）

① \(\vec{a}\) と \(\vec{b}\) が垂直 \(\iff\) ② 内積が 0

③ \(\vec{a}\) と \(\vec{b}\) が平行 \(\iff\) ④ 一方が他方の実数倍

式を日本語で読むと

① \(\vec{a}\) も \(\vec{b}\) も零ベクトルでないとき、 \(\vec{a}\) と \(\vec{b}\) が垂直に交わることと

② 内積が 0 になること \(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\) は同じであり、

③ \(\vec{a}\) と \(\vec{b}\) が平行であることと

④ ある実数 \(k\) を使って \(\vec{b}=k\vec{a}\) と書けることも同じである

簡単な例

\(\vec{a}=(4,\ 2)\)、\(\vec{b}=(-1,\ 2)\) のとき、内積は \(4 \times (-1) + 2 \times 2 = 0\) なので

\(\vec{a}\) と \(\vec{b}\) は垂直 \(\iff\) 内積が \(0\)

\(\vec{a}\cdot\vec{b} = 4 \times (-1) + 2 \times 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad \vec{a}\perp\vec{b}\)

\(\vec{c} = (8,\ 4) = 2\vec{a} \quad \Rightarrow \quad \vec{c}\parallel\vec{a}\)

考え方のポイント

垂直の判定は、なす角を求めなくても内積が 0 かどうかを見るだけで済みます。\(\cos 90^{\circ}=0\) なので、内積の定義 \(|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\) がまるごと 0 になるからです。図形の証明で「直角であること」を示すときの定番の道具になります。平面では、平行の条件 \(\vec{b}=k\vec{a}\) を成分で書くと \(a_1b_2-a_2b_1=0\) となり、こちらの方が \(k\) を求めずに判定できて便利です（成分の比 \(a_1:a_2=b_1:b_2\) が等しい、ということと同じ意味です）。どちらの条件も「\(\vec{a}\) も \(\vec{b}\) も零ベクトルではない」ことが前提です。零ベクトルはどんなベクトルとの内積も 0 になってしまいますが、向きが決まらないので垂直とは呼びませんし、平行かどうかも考えません。教科書で条件の前に「\(\vec{a} \neq \vec{0},\ \vec{b} \neq \vec{0}\) のとき」と断ってあるのはこのためです。

単位ベクトル（向きだけを取り出す）

図

数学表記（一般的な数式）

\(\dfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|}\) \(=\) \(\left(\dfrac{a_1}{|\vec{a}|},\ \dfrac{a_2}{|\vec{a}|}\right)\)

日本語表記（記号を日本語に置き換えた式）

② \(\vec{a}\) と同じ向きで、大きさが 1 のベクトル \(=\) ① \(\dfrac{\text{もとの成分 }(a_1,\ a_2)}{\text{そのベクトルの大きさ }|\vec{a}|}\)

式を日本語で読むと

① \(\dfrac{\text{もとの成分 }(a_1,\ a_2)}{\text{そのベクトルの大きさ }|\vec{a}|}\) のように、成分をそれぞれ大きさで割ると

② \(\vec{a}\) と同じ向きで、大きさが 1 のベクトル（単位ベクトル）が得られる

簡単な例

\(\vec{a}=(4,\ 2)\) と同じ向きの単位ベクトルは（大きさは \(|\vec{a}|=2\sqrt{5}\)）

\(\vec{a}=(4,\ 2)\) と同じ向きの単位ベクトル \(=\) \(\dfrac{(4,\ 2)}{2\sqrt{5}}\)

\(\dfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = \left(\dfrac{4}{2\sqrt{5}},\ \dfrac{2}{2\sqrt{5}}\right) = \left(\dfrac{2\sqrt{5}}{5},\ \dfrac{\sqrt{5}}{5}\right)\)

\(\sqrt{\left(\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\right)^{2}+\left(\dfrac{\sqrt{5}}{5}\right)^{2}} = \sqrt{\dfrac{20}{25}+\dfrac{5}{25}} = \sqrt{\dfrac{25}{25}} = 1\)

考え方のポイント

単位ベクトルは「長さの情報を捨てて、向きだけを残したベクトル」です。大きさで割れば長さが必ず 1 になるのは \(\left|\dfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|}\right| = \dfrac{|\vec{a}|}{|\vec{a}|} = 1\) だからで、割り算のあとに長さを確かめ直す必要はありません。向きだけを取り出せると、「\(\vec{a}\) の向きに 5 進んだ点」を「5 × 単位ベクトル」と書けるようになります。進行方向・視線の向き・面の向き（法線）のように、長さには意味がなく向きだけが問題になる場面で使う道具です。成分を大きさで割ると分母に根号が出るので、\(\dfrac{4}{2\sqrt{5}}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\) のように有理化した形で答えます。なお「大きさが 1 のベクトル」は向きの数だけあるので、\(\vec{a}\) と逆向きの単位ベクトル \(-\dfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|}\) と区別するために「\(\vec{a}\) と同じ向きの」と断って答えます。空間（3次元）でも \(z\) 成分を同じ大きさで割る項が増えるだけで手順は同じです。

ベクトルは「向きと大きさをもった量」で、成分表示 \(\vec{a}=(a_1,\ a_2)\) にすると計算はぐっと簡単になります。和・差・実数倍は成分ごとに計算するだけ、大きさは \(|\vec{a}|=\sqrt{a_1^{2}+a_2^{2}}\)（三平方の定理）、内積は成分どうしの積の和 \(a_1b_1+a_2b_2\) です。内積を大きさの積で割れば \(\cos\theta\) が求まり、2つのベクトルのなす角がわかります。内積が 0 なら垂直、一方が他方の実数倍なら平行です。

用語・記号の解説

記号

\(\vec{a}\)	ベクトルエー	ベクトルを表す記号。文字の上の矢印は「向きをもった量」であることを示します。教科書によっては \(\boldsymbol{a}\) のように太字で書くこともあり、意味は同じです。2点 A・B を結ぶ向き付きの線分は \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\)（A から B へ向かうベクトル）と書きます。
\(a_1,\ a_2,\ a_3\)	エーいち・エーに・エーさん	ベクトル \(\vec{a}\) の成分。右下の小さい数（添字）は「何番目の成分か」を表し、\(a_1\) が \(x\) 方向、\(a_2\) が \(y\) 方向、\(a_3\) が \(z\) 方向の進み方です。教科書では \(\vec{a}=(a_x,\ a_y)\) のように \(x,\ y\) を添字にする書き方もあります。
\(\|\vec{a}\|\)	ベクトルエーのおおきさ／ベクトルエーのぜったいち	ベクトル \(\vec{a}\) の大きさ（矢印の長さ）。実数の絶対値と同じ縦棒の記号を使い、「向きを取り去って長さだけを見る」という同じ気持ちの記号です。値は必ず 0 以上になります。
\(\vec{a}\cdot\vec{b}\)	ベクトルエー・ドット・ベクトルビー	内積（ドット積）。中黒（ドット）で書くのが約束で、答えはベクトルではなく数になります。英語で dot product と呼ぶのはこの記号の形からです。
\(\theta\)	シータ	2つのベクトルのなす角。角度にはギリシャ文字を使う慣例があり、\(\theta\) はその代表です。ベクトルのなす角は、始点をそろえたときに開いている角として \(0^{\circ}\) から \(180^{\circ}\) までの範囲で考えます。
\(\cos\theta\)	コサイン・シータ	角 \(\theta\) の余弦。直角三角形で「斜辺に対する底辺の割合」にあたる値で、\(-1\) から \(1\) までの値をとります。内積となす角を結びつける主役です。
\(\cos^{-1}\)	アークコサイン／コサインの逆	逆余弦。\(\cos\theta\) の値から角 \(\theta\) を求める関数で、\(\arccos\) とも書きます。右上の \(-1\) は「逆向きの操作」の意味で、\(\cos\) の \(-1\) 乗ではありません。電卓では cos の上に小さく書かれたキーです。
\(k,\ l\)	ケー・エル	ベクトルを何倍するかを表す実数（スカラー）。定数を表す文字にはアルファベットの \(k\) がよく使われます。この計算機では \(k\vec{a}+l\vec{b}\) の係数として入力します。
\(\vec{0}\)	ゼロベクトル	成分がすべて 0 のベクトル（零ベクトル）。大きさが 0 で向きが決まらない特別なベクトルで、なす角や単位ベクトルは考えられません。
\(\perp\)	すいちょく	「垂直である」を表す記号。\(\vec{a}\perp\vec{b}\) は「\(\vec{a}\) と \(\vec{b}\) は垂直」と読み、直角の形を図案化した記号です。
\(\parallel\)	へいこう	「平行である」を表す記号。\(\vec{a}\parallel\vec{b}\) は「\(\vec{a}\) と \(\vec{b}\) は平行」と読み、平行な2本の直線を並べた形の記号です。
\(\iff\)	どうち／ひつようじゅうぶんじょうけん	左と右が同じ意味（同値）であることを表す記号。「左が成り立つとき、そのときに限り右も成り立つ」という意味で、両向きの矢印で書きます。
\(\sqrt{\ }\)	ルート	平方根の記号。\(\sqrt{20}\) は「2乗すると 20 になる正の数」です。ベクトルの大きさは必ずこの記号を使って表され、\(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\) のように根号の中の平方因子をくくり出した形（簡約した形）で答えます。

用語

ベクトル	べくとる	「向き」と「大きさ」をセットにした量。速度・力・移動のように、大きさだけでは足りず向きも言わないと決まらないものを表します。図では矢印で描き、平行移動しても（向きと長さが同じなら）同じベクトルとみなします。
スカラー	すからー	向きをもたない、ただの数のこと（長さ・重さ・温度など）。ベクトルと区別するときに使う言葉で、内積の答えはスカラーです。
有向線分	ゆうこうせんぶん	向きを付けた線分。始点と終点を決めた矢印そのもののことで、「位置は関係なく、向きと長さだけを取り出したもの」がベクトルです。
成分表示	せいぶんひょうじ	ベクトルを「\(x\) 方向にどれだけ・\(y\) 方向にどれだけ」と数の組で表した書き方。\(\vec{a}=(4,\ 2)\) のように横に並べて書くほか、縦に並べた列ベクトルの形で書くこともあり、どちらも同じ意味です。成分にすると、和も内積も数の計算だけで求められます。
大きさ	おおきさ	ベクトルの矢印の長さのこと。ノルム・絶対値とも呼び、成分から \(\sqrt{a_1^{2}+a_2^{2}}\) で求められます。
単位ベクトル	たんいべくとる	大きさが 1 のベクトル。\(\dfrac{\vec{a}}{\|\vec{a}\|}\) と計算すると、\(\vec{a}\) と同じ向きで長さだけ 1 にそろえたベクトルが得られます。「向きだけを表したい」ときに使います。
零ベクトル	れいべくとる／ゼロベクトル	成分がすべて 0 のベクトル \(\vec{0}\) のこと。大きさが 0 で、向きは決まりません。\(\vec{a}-\vec{a}=\vec{0}\) のように、同じベクトルの差として現れます。
逆ベクトル	ぎゃくべくとる	大きさが同じで向きが真逆のベクトル \(-\vec{a}\) のこと。実数倍で \(k=-1\) にしたものにあたり、差の計算 \(\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})\) で使います。
実数倍	じっすうばい	ベクトルを \(k\) 倍すること（スカラー倍ともいいます）。向きはそのままで長さが \(k\) 倍になり、\(k\) が負なら向きが逆になります。
平行四辺形の法則	へいこうしへんけいのほうそく	2つのベクトルの和が、それらを2辺とする平行四辺形の対角線になるという性質。力の合成を図で求めるときにそのまま使われます。
内積	ないせき	2つのベクトルから1つの数を作る計算。\(\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|\cos\theta\) と定義され、成分では \(a_1b_1+a_2b_2\) で計算できます。「2つの向きがどれだけそろっているか」を数で表したものです。
なす角	なすかく	2つのベクトルの始点をそろえたときにできる角 \(\theta\) のこと。\(0^{\circ}\) から \(180^{\circ}\) までの範囲で考えます。
正射影	せいしゃえい	あるベクトルを別のベクトルの向きに、真上から光を当てて落とした影のこと。\(\vec{b}\) の \(\vec{a}\) 方向への正射影の長さは \(\|\vec{b}\|\cos\theta\) で、内積はこの影の長さと \(\|\vec{a}\|\) の積として意味づけられます。
垂直	すいちょく	2つのベクトルが直角に交わること（直交ともいいます）。零ベクトルでない2つのベクトルでは、内積が 0 であることと同じ意味です。
平行	へいこう	2つのベクトルの向きが同じか真逆であること。一方が他方の実数倍で書けることと同じ意味で、平面では \(a_1b_2-a_2b_1=0\) と成分だけで判定できます。
位置ベクトル	いちべくとる	原点を始点として点の位置を表すベクトル。点 A の位置ベクトルは \(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\) で、点の座標がそのまま成分になります。図形の性質をベクトルで調べるときの出発点です。

前提として理解しておくといいこと

このページの計算を「意味がわかって」使えるようになるために、前提として理解しておくといいことをまとめました。
つまずいたら、この表の内容に戻って復習するのが近道です。

座標平面と座標空間（中学1年〜高校数学II）	点の位置を \((4,\ 2)\) のような数の組で表せること（左右が \(x\)、上下が \(y\)）空間では高さを表す \(z\) が加わり、点が \((4,\ 2,\ 4)\) のような3つの数で表されること負の数の座標が、原点から見て左・下（空間では手前・真下）を意味するとわかること
正負の数の計算（中学1年）	\(4+(-1)\) や \(4-(-1)\) のような、負の数を足す・引く計算が正しくできること \(4 \times (-1) = -4\) のように、符号の異なる数の掛け算ができること
平方根（中学3年）	\(\sqrt{20}\) が「2乗すると 20 になる正の数」だとわかること \(\sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{5}\) のように、根号の中の平方因子をくくり出して簡約できること \(\dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\) のように、分母の根号をなくす（有理化する）計算ができること
三平方の定理（中学3年）	直角三角形で、斜辺の2乗が他の2辺の2乗の和に等しいこと（\(c^{2}=a^{2}+b^{2}\)） 2辺の長さから斜辺の長さを求められること（ベクトルの大きさはこれそのものです）
三角比 cos（高校数学I）	\(\cos\theta\) が \(-1\) から \(1\) までの値をとり、角度が大きいほど小さくなること \(\cos 0^{\circ}=1\)、\(\cos 60^{\circ}=\dfrac{1}{2}\)、\(\cos 90^{\circ}=0\)、\(\cos 180^{\circ}=-1\) のような有名角の値を知っていること \(\cos\theta\) の値から角度を逆に求めるには、逆余弦 \(\cos^{-1}\)（電卓の cos の逆の機能）を使うと知っていること
文字式と分数の計算（中学1年〜3年）	\(2x-12=0\) のような一次方程式が解けること \(\dfrac{3}{5}\) のような分数のまま計算を進め、約分できること

Excelで計算する方法

Excelファイルをダウンロード

式ごとにシートが分かれたExcelファイルです。貼り付け場所を気にせず、開いてすぐ使えます。

下の表を丸ごとコピーして、ExcelのA1セルに貼り付けるとそのまま使えます。

「ベクトルの大きさ」を求める表

x成分 a1	4
y成分 a2	2
z成分 a3（平面のときは 0）	4
大きさ \|a\|	=SQRT(B1^2+B2^2+B3^2)

「ベクトルの和・差」を求める表

a の x成分 a1	4
a の y成分 a2	2
a の z成分 a3	4
b の x成分 b1	-1
b の y成分 b2	2
b の z成分 b3	2
和の x成分	=B1+B4
和の y成分	=B2+B5
和の z成分	=B3+B6
差の x成分	=B1-B4
差の y成分	=B2-B5
差の z成分	=B3-B6

「ベクトルの実数倍」を求める表

実数 k	2
x成分 a1	4
y成分 a2	2
z成分 a3	4
k倍の x成分	=B1*B2
k倍の y成分	=B1*B3
k倍の z成分	=B1*B4

「内積」を求める表

a の x成分 a1	4
a の y成分 a2	2
a の z成分 a3	4
b の x成分 b1	-1
b の y成分 b2	2
b の z成分 b3	2
内積 a・b	=B1B4+B2B5+B3*B6

「なす角」を求める表

内積 a・b	8
大きさ \|a\|	6
大きさ \|b\|	3
cosθ	=B1/(B2*B3)
なす角 θ（度）	=DEGREES(ACOS(B4))
なす角 θ（ラジアン）	=ACOS(B4)

「垂直・平行の条件」を確かめる表（平面）

a の x成分 a1	4
a の y成分 a2	2
b の x成分 b1	-1
b の y成分 b2	2
内積 a・b	=B1B3+B2B4
垂直かどうか	=IF(B5=0,"垂直","垂直ではない")
a1b2 − a2b1	=B1B4-B2B3
平行かどうか	=IF(B7=0,"平行","平行ではない")

「単位ベクトル」を求める表

x成分 a1	4
y成分 a2	2
z成分 a3（平面のときは 0）	4
大きさ \|a\|	=SQRT(B1^2+B2^2+B3^2)
単位ベクトルの x成分	=B1/B4
単位ベクトルの y成分	=B2/B4
単位ベクトルの z成分	=B3/B4
検算：単位ベクトルの大きさ	=SQRT(B5^2+B6^2+B7^2)

貼り付けると、上の行（成分や係数）が入力欄になり、下の行が自動計算の結果になります。
「^」はべき乗、SQRT は平方根、ACOS は逆余弦（cosの値から角度を求める関数）、DEGREES はラジアンを度に直す関数です。
1つ目から4つ目の表は、空間のベクトル a =（4, 2, 4）と b =（−1, 2, 2）の例です。大きさ |a| は 6、和は（3, 4, 6）、差は（5, 0, 2）、2倍は（8, 4, 8）、内積は 8 になります。平面（2次元）で使うときは z成分の欄を 0 にしてください。
5つ目の表は、その内積 8 と大きさ 6・3 からなす角を求める表で、cosθ は 0.4444…、角度はおよそ 63.61 度（約 1.1102 ラジアン）になります。
6つ目の表は平面のベクトル a =（4, 2）と b =（−1, 2）の例で、内積が 0 なので「垂直」、a1b2 − a2b1 が 10 で 0 ではないので「平行ではない」と表示されます。
7つ目の表は、1つ目と同じ a =（4, 2, 4）から単位ベクトルを求める表です。各成分を大きさ 6 で割るので（0.6667, 0.3333, 0.6667）となり、最下行でその大きさがちょうど 1 になることを確かめられます。

Googleスプレッドシートで計算する方法

Excelファイルをダウンロード

上のExcelファイルをダウンロードし、Googleドライブにアップロードして開くと、そのままスプレッドシートとして使えます。

下の表を丸ごとコピーして、GoogleスプレッドシートのA1セルに貼り付けるとそのまま使えます。

「ベクトルの大きさ」を求める表

x成分 a1	4
y成分 a2	2
z成分 a3（平面のときは 0）	4
大きさ \|a\|	=SQRT(B1^2+B2^2+B3^2)

「ベクトルの和・差」を求める表

a の x成分 a1	4
a の y成分 a2	2
a の z成分 a3	4
b の x成分 b1	-1
b の y成分 b2	2
b の z成分 b3	2
和の x成分	=B1+B4
和の y成分	=B2+B5
和の z成分	=B3+B6
差の x成分	=B1-B4
差の y成分	=B2-B5
差の z成分	=B3-B6

「ベクトルの実数倍」を求める表

実数 k	2
x成分 a1	4
y成分 a2	2
z成分 a3	4
k倍の x成分	=B1*B2
k倍の y成分	=B1*B3
k倍の z成分	=B1*B4

「内積」を求める表

a の x成分 a1	4
a の y成分 a2	2
a の z成分 a3	4
b の x成分 b1	-1
b の y成分 b2	2
b の z成分 b3	2
内積 a・b	=B1B4+B2B5+B3*B6

「なす角」を求める表

内積 a・b	8
大きさ \|a\|	6
大きさ \|b\|	3
cosθ	=B1/(B2*B3)
なす角 θ（度）	=DEGREES(ACOS(B4))
なす角 θ（ラジアン）	=ACOS(B4)

「垂直・平行の条件」を確かめる表（平面）

a の x成分 a1	4
a の y成分 a2	2
b の x成分 b1	-1
b の y成分 b2	2
内積 a・b	=B1B3+B2B4
垂直かどうか	=IF(B5=0,"垂直","垂直ではない")
a1b2 − a2b1	=B1B4-B2B3
平行かどうか	=IF(B7=0,"平行","平行ではない")

「単位ベクトル」を求める表

x成分 a1	4
y成分 a2	2
z成分 a3（平面のときは 0）	4
大きさ \|a\|	=SQRT(B1^2+B2^2+B3^2)
単位ベクトルの x成分	=B1/B4
単位ベクトルの y成分	=B2/B4
単位ベクトルの z成分	=B3/B4
検算：単位ベクトルの大きさ	=SQRT(B5^2+B6^2+B7^2)

Excelと同じ式がそのまま使えます（SQRT・ACOS・DEGREES・IF はどちらも同じ関数名です）。表を丸ごとコピーしてA1セルに貼り付け、成分を自分の数値に書き換えてください。
なお、Googleスプレッドシートには SUMPRODUCT という関数があり、成分を並べた範囲どうしを指定して「=SUMPRODUCT(B1:B3,B4:B6)」と書けば、内積を1つの式で求められます。

Pythonで計算する方法

import math
from fractions import Fraction

# ベクトルの成分（3/4 のような分数は Fraction(3, 4) と書ける。平面なら要素2つ）
a = [Fraction(4), Fraction(2), Fraction(4)]
b = [Fraction(-1), Fraction(2), Fraction(2)]
k, l = Fraction(2), Fraction(3)

# 和・差・実数倍と和（成分ごとに計算する）
vector_sum = [x + y for x, y in zip(a, b)]
vector_diff = [x - y for x, y in zip(a, b)]
combination = [k * x + l * y for x, y in zip(a, b)]

# 内積・大きさ・なす角
dot = sum(x * y for x, y in zip(a, b))
size_a = math.sqrt(sum(x * x for x in a))
size_b = math.sqrt(sum(x * x for x in b))
cos_theta = dot / (size_a * size_b)
theta_degrees = math.degrees(math.acos(cos_theta))

print(f"和: {vector_sum}")
print(f"差: {vector_diff}")
print(f"ka + lb: {combination}")
print(f"内積: {dot}")
print(f"大きさ |a|: {size_a}, |b|: {size_b}")
print(f"cosθ: {float(cos_theta)}, なす角: {theta_degrees} 度")

# 単位ベクトル・垂直の判定
unit_a = [float(x) / size_a for x in a]
print(f"a と同じ向きの単位ベクトル: {unit_a}")
print("垂直" if dot == 0 else "垂直ではない")

標準ライブラリだけで書けます。成分を Fraction（分数）で持つと、和・差・内積は丸め誤差なしの厳密な値になります。平方根が入る大きさとなす角は math モジュールで小数として計算します。この例は a =（4, 2, 4）、b =（−1, 2, 2）で、内積 8、大きさ 6 と 3、なす角およそ 63.61 度が表示されます。成分を書き換えて実行してください。

数式記述言語（LaTeX等）での書き方（コピペ可）

ベクトルの大きさ（成分から求める）

|a| = √(a₁² + a₂²)

\left|\vec{a}\right| = \sqrt{a_1^{2} + a_2^{2}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mrow><mo>|</mo><mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover><mo>|</mo></mrow>
    <mo>=</mo>
    <msqrt>
      <mrow>
        <msup><msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub><mn>2</mn></msup>
        <mo>+</mo>
        <msup><msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub><mn>2</mn></msup>
      </mrow>
    </msqrt>
  </mrow>
</math>

abs(vec a) = sqrt(a_1^2 + a_2^2)

Norm[{a1, a2}]

LinearAlgebra:-Norm(Vector([a1, a2]), 2);

norm([a1 a2])

|a| = √(a_1^2 + a_2^2)

ベクトルの和・差（成分ごとに足す・引く）

a + b = (a₁ + b₁, a₂ + b₂)

\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1,\ a_2 + b_2)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>+</mo>
    <mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>=</mo>
    <mo>(</mo>
    <msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub><mo>+</mo><msub><mi>b</mi><mn>1</mn></msub>
    <mo>,</mo>
    <msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub><mo>+</mo><msub><mi>b</mi><mn>2</mn></msub>
    <mo>)</mo>
  </mrow>
</math>

vec a + vec b = (a_1 + b_1, a_2 + b_2)

{a1, a2} + {b1, b2}

Vector([a1, a2]) + Vector([b1, b2]);

[a1 a2] + [b1 b2]

a + b = (a_1 + b_1, a_2 + b_2)

ベクトルの実数倍

ka = (ka₁, ka₂)

k\vec{a} = (k a_1,\ k a_2)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>k</mi><mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>=</mo>
    <mo>(</mo>
    <mi>k</mi><msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub>
    <mo>,</mo>
    <mi>k</mi><msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub>
    <mo>)</mo>
  </mrow>
</math>

k vec a = (k a_1, k a_2)

k {a1, a2}

k * Vector([a1, a2]);

k * [a1 a2]

ka = (k a_1, k a_2)

内積（2つのベクトルから数を作る計算）

a・b = |a||b|cosθ = a₁b₁ + a₂b₂

\vec{a}\cdot\vec{b} = \left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|\cos\theta = a_1 b_1 + a_2 b_2

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>&#x22C5;</mo>
    <mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>=</mo>
    <msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>b</mi><mn>1</mn></msub>
    <mo>+</mo>
    <msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub><msub><mi>b</mi><mn>2</mn></msub>
  </mrow>
</math>

vec a * vec b = abs(vec a) abs(vec b) cos theta = a_1 b_1 + a_2 b_2

Dot[{a1, a2}, {b1, b2}]

DotProduct(Vector([a1, a2]), Vector([b1, b2]));

dot([a1 a2], [b1 b2])

a ⋅ b = |a||b| cos θ = a_1 b_1 + a_2 b_2

2つのベクトルのなす角

cos θ = (a・b) / (|a||b|)

\cos\theta = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>cos</mi><mi>&#x3B8;</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow>
        <mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
        <mo>&#x22C5;</mo>
        <mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
      </mrow>
      <mrow>
        <mo>|</mo><mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover><mo>|</mo>
        <mo>|</mo><mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover><mo>|</mo>
      </mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

cos theta = (vec a * vec b) / (abs(vec a) abs(vec b))

ArcCos[Dot[a, b]/(Norm[a] Norm[b])]

VectorAngle(Vector([a1, a2]), Vector([b1, b2]));

acos(dot(a, b) / (norm(a) * norm(b)))

cos θ = (a ⋅ b)/(|a||b|)

垂直・平行の条件

a⊥b ⟺ a・b = 0 ／ a∥b ⟺ b = ka

\vec{a}\perp\vec{b} \iff \vec{a}\cdot\vec{b}=0,\qquad \vec{a}\parallel\vec{b} \iff \vec{b}=k\vec{a}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>&#x22A5;</mo>
    <mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>&#x27FA;</mo>
    <mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>&#x22C5;</mo>
    <mover><mi>b</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
    <mo>=</mo>
    <mn>0</mn>
  </mrow>
</math>

vec a _|_ vec b <=> vec a * vec b = 0

Dot[a, b] == 0

evalb(DotProduct(a, b) = 0);

dot(a, b) == 0

a ⊥ b ⟺ a ⋅ b = 0

単位ベクトル（向きだけを取り出す）

a / |a| = (a₁/|a|, a₂/|a|)

\frac{\vec{a}}{\left|\vec{a}\right|} = \left(\frac{a_1}{\left|\vec{a}\right|},\ \frac{a_2}{\left|\vec{a}\right|}\right)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mfrac>
      <mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover>
      <mrow><mo>|</mo><mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover><mo>|</mo></mrow>
    </mfrac>
    <mo>=</mo>
    <mo>(</mo>
    <mfrac>
      <msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub>
      <mrow><mo>|</mo><mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover><mo>|</mo></mrow>
    </mfrac>
    <mo>,</mo>
    <mfrac>
      <msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub>
      <mrow><mo>|</mo><mover><mi>a</mi><mo>&#x2192;</mo></mover><mo>|</mo></mrow>
    </mfrac>
    <mo>)</mo>
  </mrow>
</math>

vec a / abs(vec a) = (a_1/abs(vec a), a_2/abs(vec a))

Normalize[{a1, a2}]

LinearAlgebra:-Normalize(Vector([a1, a2]), 2);

[a1 a2] / norm([a1 a2])

a/|a| = (a_1/|a|, a_2/|a|)

ChatGPT に聞いて計算してもらう方法

あなたは数学（ベクトル）の計算アシスタントです。次の計算を、必ずPythonコードを実際に実行して行い、実行結果の数値だけを根拠に回答してください（暗算や推測で答えないでください）。

空間のベクトル a =（4, 2, 4）、b =（−1, 2, 2）について、次をそれぞれ求めてください。
1. 和 a + b、差 a − b、2a + 3b の成分
2. 大きさ |a| と |b|（根号を簡約した厳密値と小数の両方で）
3. 内積 a・b
4. なす角 θ（度とラジアンの両方で。有名角なら厳密値も）
5. a と同じ向きの単位ベクトル
6. a と b が垂直か平行かどうかとその理由

Pythonでは fractions と math モジュール（必要なら sympy）を使い、計算に使った式と実行結果の数値を示してください。

計算ドリル（演習問題）

このページの式を、自分の手で計算できるようになるための演習問題です。
答えと解説は解答ページにあります。

問題ページを開く解答・解説ページを開く

使い方

1

数値を入力

計算したい数値を入力欄に入力します
2

計算

「計算する」ボタンを押します
3

結果を確認

計算結果がその場に表示されます。計算の考え方や式の解説も同じページで確認できます

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ベクトル計算機（和・差・実数倍・大きさ・内積・なす角）

目次

このページでできること

この計算は何の役に立つ？

式と図

用語・記号の解説

記号

用語

前提として理解しておくといいこと

Excelで計算する方法

Googleスプレッドシートで計算する方法

Pythonで計算する方法

数式記述言語（LaTeX等）での書き方（コピペ可）

ChatGPT に聞いて計算してもらう方法

計算ドリル（演習問題）

使い方

DataChefの特徴

関連機能

ベクトルの外積（クロス積）計算機

空間ベクトルの外積 a×b（2つのベクトルに垂直なベクトル）と、それが作る平行四辺形の面積を計算します

三平方の定理（ピタゴラスの定理）計算機

ベクトルの大きさの根拠になる三平方の定理。直角三角形の辺の長さを計算します

三角比計算機（sin・cos・tanの値と角度を単位円の図付きで計算）

なす角の計算で出てくる cos の値と角度の対応はこちら。厳密値と小数で確認できます

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