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\(\vec{a}=(3,\ 4)\)、\(\vec{b}=(1,\ -2)\) のとき、\(\vec{a}+\vec{b}\) と \(\vec{a}-\vec{b}\) を成分で表しましょう。
解答：\(\vec{a}+\vec{b}=(4,\ 2)\)、\(\vec{a}-\vec{b}=(2,\ 6)\)
和も差も、\(x\) 成分どうし・\(y\) 成分どうしで計算します。
\(\vec{a}+\vec{b} = (3+1,\ 4+(-2)) = (4,\ 2)\)
差のとき、引く数が負の数なら符号に注意します。
\(\vec{a}-\vec{b} = (3-1,\ 4-(-2)) = (2,\ 6)\)
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\(\vec{a}=(-2,\ 4)\) の大きさ \(|\vec{a}|\) を求めましょう。
解答：\(2\sqrt{5}\)
成分の2乗の和の平方根を計算します。
\(|\vec{a}| = \sqrt{(-2)^{2}+4^{2}} = \sqrt{4+16} = \sqrt{20}\)
根号の中から平方因子をくくり出して簡約します。
\(\sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{5}\)
負の成分も2乗すれば正になるので、大きさが負になることはありません。
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\(\vec{a}=(1,\ 2)\)、\(\vec{b}=(3,\ -1)\) のとき、\(2\vec{a}-3\vec{b}\) を成分で表しましょう。
解答：\((-7,\ 7)\)
まず、それぞれを実数倍します。
\(2\vec{a} = (2 \times 1,\ 2 \times 2) = (2,\ 4)\)
\(3\vec{b} = (3 \times 3,\ 3 \times (-1)) = (9,\ -3)\)
次に成分ごとに引きます。
\(2\vec{a}-3\vec{b} = (2-9,\ 4-(-3)) = (-7,\ 7)\)
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空間のベクトル \(\vec{a}=(1,\ 1,\ 0)\)、\(\vec{b}=(1,\ 0,\ 1)\) のなす角 \(\theta\) を求めましょう。
解答：\(\theta = 60^{\circ}\)
先に内積と、それぞれの大きさを求めます。
\(\vec{a}\cdot\vec{b} = 1 \times 1 + 1 \times 0 + 0 \times 1 = 1\)
\(|\vec{a}| = \sqrt{1^{2}+1^{2}+0^{2}} = \sqrt{2}\)、\(|\vec{b}| = \sqrt{1^{2}+0^{2}+1^{2}} = \sqrt{2}\)
これを公式に入れます。
\(\cos\theta = \dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|} = \dfrac{1}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \dfrac{1}{2}\)
\(0^{\circ} \leqq \theta \leqq 180^{\circ}\) の範囲で \(\cos\theta = \dfrac{1}{2}\) になるのは
\(\theta = 60^{\circ}\)
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\(\vec{a}=(3,\ 4)\) と同じ向きの単位ベクトルを求めましょう。
解答：\(\left(\dfrac{3}{5},\ \dfrac{4}{5}\right)\)
単位ベクトルは、各成分を大きさで割って作ります。
\(|\vec{a}| = \sqrt{3^{2}+4^{2}} = \sqrt{25} = 5\)
\(\dfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = \left(\dfrac{3}{5},\ \dfrac{4}{5}\right)\)
確かめると \(\sqrt{\left(\dfrac{3}{5}\right)^{2}+\left(\dfrac{4}{5}\right)^{2}} = \sqrt{\dfrac{25}{25}} = 1\) となり、大きさが 1 になっています。
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\(\vec{a}=(2,\ 3)\) と \(\vec{b}=(x,\ -4)\) が垂直になるとき、\(x\) の値を求めましょう。
解答：\(x = 6\)
垂直であることは、内積が 0 になることと同じです。
\(\vec{a}\cdot\vec{b} = 2 \times x + 3 \times (-4) = 2x - 12\)
これが 0 になる \(x\) を求めます。
\(2x - 12 = 0\)
\(x = 6\)
念のため確かめると \(\vec{b}=(6,\ -4)\) で、内積は \(2 \times 6 + 3 \times (-4) = 0\) になります。