Scegli il piano o lo spazio, poi scrivi le componenti dei due vettori a e b e i coefficienti k e l. La formula qui sotto è collegata ai campi, quindi puoi anche modificare le componenti direttamente al suo interno.
Scrivi solo numeri. Vanno bene decimali, numeri negativi e frazioni come 3/4. Una componente vuota vale 0 e un coefficiente k o l vuoto vale 1.
Risultato e figura
Scrivi le componenti dei vettori nei campi a sinistra e fai clic su «Calcola». Qui compariranno il risultato e una figura.
Indice
-
Cosa puoi fare in questa pagina
-
A cosa serve questo calcolo?
-
Come si usa
-
Formule e figure
-
Modulo di un vettore (dalle componenti)
-
Somma e differenza di vettori (si somma o si sottrae componente per componente)
-
Prodotto di un vettore per uno scalare
-
Prodotto scalare (un calcolo che trasforma due vettori in un numero)
-
Angolo tra due vettori
-
Condizioni perché due vettori siano perpendicolari o paralleli
-
Versore (si tiene solo la direzione)
-
-
Simboli e termini
-
Cosa conviene sapere prima
-
Come calcolarlo con Excel
-
Come calcolarlo con Fogli Google
-
Come calcolarlo con Python
-
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
-
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
-
I punti di forza di DataChef
-
Funzioni correlate
-
Tutte le calcolatrici di NumberChef
Cosa puoi fare in questa pagina
- Basta scrivere le componenti dei vettori \(\vec{a}\) e \(\vec{b}\) del piano (2D) o dello spazio (3D) per ottenere in un colpo solo la somma \(\vec{a}+\vec{b}\), la differenza \(\vec{a}-\vec{b}\) e la combinazione lineare \(k\vec{a}+l\vec{b}\)
- Il modulo \(|\vec{a}|\) viene mostrato sia come valore esatto con il radicale semplificato, come \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\), sia in decimale
- Ottieni anche il prodotto scalare \(\vec{a}\cdot\vec{b}\), l’angolo tra i vettori \(\theta\) (in gradi e in radianti, con valori esatti per gli angoli notevoli come \(45^{\circ}\)), i versori e la verifica di perpendicolarità e parallelismo
- La calcolatrice mostra i vettori in colonna, proprio come li scriveresti a mano, e puoi modificare le componenti direttamente al loro interno
- Componenti e coefficienti possono essere decimali, numeri negativi o frazioni come 3/4
- In questa pagina trovi anche una spiegazione semplice delle formule e le formule da copiare e incollare per Excel, Fogli Google e Python
Un vettore di modulo 0 (il vettore nullo) non ha direzione, quindi non esistono né un angolo con un altro vettore né il versore. Questa calcolatrice non calcola quando \(\vec{a}\) o \(\vec{b}\) è il vettore nullo.
A cosa serve questo calcolo?
Comporre le forze (fisica, architettura e ingegneria)
Quando su un oggetto agiscono più forze, il loro effetto combinato è la somma dei vettori. Scomporre la tensione di una fune tirata con un certo angolo nelle componenti orizzontale e verticale e sommarle è esattamente questo calcolo.
Nella progettazione di ponti ed edifici, forze come il peso proprio della struttura, il vento e il terremoto si compongono come vettori per trovare direzione e intensità della forza su ogni parte. Sommare solo le intensità e ignorare le direzioni porterebbe a un progetto pericoloso, quindi lavorare con i vettori è essenziale.
Videogiochi 3D e computer grafica
In un videogioco il movimento di un personaggio si calcola come «vettore posizione + vettore velocità», e anche la direzione della telecamera e quella di un proiettile in volo sono vettori. I versori si usano a ogni fotogramma quando serve solo una direzione (direzione di marcia, direzione di vista).
Il prodotto scalare è anche la chiave dell’illuminazione. Più è grande il prodotto scalare tra la direzione verso cui è rivolta una superficie (il suo vettore normale) e la direzione della luce, più direttamente la luce la colpisce, e quel valore stabilisce la luminosità sullo schermo. Se il prodotto scalare è 0 o minore, la luce non raggiunge la superficie.
La rotta di un aereo o di una nave (composizione di velocità)
La traiettoria reale di un aereo è la somma del vettore velocità nella direzione in cui punta il muso e del vettore velocità del vento. Per volare dritto verso est con vento da nord, il muso deve puntare in parte contro il vento, e di quanto girarlo si trova sottraendo vettori.
In mare le navi sommano e sottraggono il vettore della corrente per decidere dove governare. Saper trattare velocità e tempo componente per componente è un punto di forza dei vettori.
Misurare quanto si somigliano testi o prodotti (IA e raccomandazioni)
I motori di ricerca e l’intelligenza artificiale generativa trasformano i testi in lunghi elenchi di numeri, cioè in vettori. Se due testi si somigliano lo si giudica dall’angolo tra i loro vettori: più \(\cos\theta\) è vicino a 1, più si somigliano (similarità del coseno).
Anche le funzioni «chi ha visto questo ha apprezzato anche» dei negozi online trasformano la cronologia degli acquisti in vettori e cercano persone e prodotti con piccoli angoli tra loro. Qui conta più la direzione (lo schema dei gusti) della lunghezza (per esempio quanto si spende in totale), ed è per questo che misurare con l’angolo funziona bene.
Dispositivi che misurano posizione e inclinazione (droni, navigatori GPS e smartphone)
I droni e gli smartphone ricavano quanto sono inclinati dall’angolo tra il vettore gravità misurato dall’accelerometro e un vettore di direzione di riferimento del dispositivo. Il passaggio dello schermo da verticale a orizzontale è il risultato di questo calcolo.
Nei navigatori GPS e nel rilievo topografico, la differenza tra le coordinate di due punti si tratta come un vettore: il suo modulo è la distanza e la sua direzione è l’azimut. In 3D basta aggiungere la componente in altezza e le stesse formule funzionano così come sono.
Formule e figure
Modulo di un vettore (dalle componenti)
Figura
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(|\vec{a}|\)
\(=\)
\(\sqrt{a_1^{2}+a_2^{2}}\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
②
\(|\vec{a}|\): modulo del vettore \(\vec{a}\) (lunghezza della freccia)
\(=\)
①
radice quadrata della somma dei quadrati delle componenti, \(a_1^{2}+a_2^{2}\)
La formula a parole
①
Se \(\vec{a}=(a_1\,;\,a_2)\) nelle componenti cartesiane, calcola la
radice quadrata di \(a_1^{2}+a_2^{2}\), cioè la componente \(x\) al quadrato più la componente \(y\) al quadrato
,
②
e ottieni il
\(|\vec{a}|\): modulo del vettore \(\vec{a}\) (lunghezza della freccia)
Un esempio semplice
Il modulo di \(\vec{a}=(4\,;\,2)\) (la lunghezza di una freccia che va 4 a destra e 2 in alto) è
modulo di \(\vec{a}=(4\,;\,2)\)
\(=\)
radice quadrata di \(4^2+2^2=20\)
\(|\vec{a}| = \sqrt{4^{2}+2^{2}} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \approx 4{,}4721\)
L’idea chiave
Questa formula è proprio il teorema di Pitagora. Le componenti \(a_1\) e \(a_2\) scompongono la freccia in «quanto va a destra» e «quanto va in alto», quindi la freccia è l’ipotenusa di un triangolo rettangolo i cui due cateti sono \(a_1\) e \(a_2\). Per questo la sua lunghezza è \(\sqrt{a_1^{2}+a_2^{2}}\).
Per un vettore 3D \(\vec{a}=(a_1\,;\,a_2\,;\,a_3)\) si aggiunge anche il quadrato della componente in altezza: \(|\vec{a}|=\sqrt{a_1^{2}+a_2^{2}+a_3^{2}}\). C’è un solo termine in più; i passaggi sono gli stessi.
Scrivi sempre il radicale della risposta in forma semplificata (per esempio, \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\)). Questa calcolatrice mostra sia il valore esatto semplificato sia il decimale.
Somma e differenza di vettori (si somma o si sottrae componente per componente)
Figura
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(\vec{a}+\vec{b}\)
\(=\)
\((a_1+b_1\,;\,a_2+b_2)\)
\(\vec{a}-\vec{b}\)
\(=\)
\((a_1-b_1\,;\,a_2-b_2)\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
②
somma di \(\vec{a}\) e \(\vec{b}\)
\(=\)
①
vettore ottenuto sommando le componenti \(x\) e le componenti \(y\)
④
differenza di \(\vec{a}\) e \(\vec{b}\)
\(=\)
③
vettore ottenuto sottraendo le componenti \(x\) e le componenti \(y\)
La formula a parole
①
Il
vettore ottenuto sommando le componenti \(x\) e le componenti \(y\), \((a_1+b_1\,;\,a_2+b_2)\)
è la
②
somma di \(\vec{a}\) e \(\vec{b}\), \(\vec{a}+\vec{b}\)
, e il
③
vettore ottenuto sottraendo le componenti \(x\) e le componenti \(y\), \((a_1-b_1\,;\,a_2-b_2)\)
è la
④
differenza di \(\vec{a}\) e \(\vec{b}\), \(\vec{a}-\vec{b}\)
Un esempio semplice
Se \(\vec{a}=(4\,;\,2)\) e \(\vec{b}=(-1\,;\,2)\)
\(\vec{a}+\vec{b}\)
\(=\)
\((4+(-1)\,;\,2+2)\)
\(\vec{a}+\vec{b} = (4+(-1)\,;\,2+2) = (3\,;\,4)\)
\(\vec{a}-\vec{b} = (4-(-1)\,;\,2-2) = (5\,;\,0)\)
L’idea chiave
Nella figura, la somma \(\vec{a}+\vec{b}\) è la freccia che ottieni mettendo l’inizio di \(\vec{b}\) sulla fine di \(\vec{a}\), dal primissimo inizio all’ultima fine. È la diagonale del parallelogramma di lati \(\vec{a}\) e \(\vec{b}\), ed è per questo che si parla di regola del parallelogramma.
La differenza \(\vec{a}-\vec{b}\) è \(\vec{a}+(-\vec{b})\): inverti \(\vec{b}\), poi somma. Nella figura è la freccia che va dalla fine di \(\vec{b}\) alla fine di \(\vec{a}\). Il verso è facile da sbagliare, quindi ricorda: «dalla fine del vettore che si sottrae (\(\vec{b}\)) alla fine di quello da cui si sottrae (\(\vec{a}\))». Se ricordi che la freccia punta verso \(\vec{a}\), non la disegnerai al contrario.
In 3D c’è solo un termine in più, che somma o sottrae le componenti \(z\); i passaggi sono gli stessi.
Prodotto di un vettore per uno scalare
Figura
Notazione matematica
(la notazione abituale)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
\(k\vec{a}\)
\(=\)
\((ka_1\,;\,ka_2)\)
②
\(k\) volte \(\vec{a}\)
\(=\)
①
vettore con ogni componente moltiplicata per \(k\)
La formula a parole
①
Il
vettore con ogni componente moltiplicata per \(k\), \((ka_1\,;\,ka_2)\)
è
②
\(k\) volte il vettore \(\vec{a}\), \(k\vec{a}\)
Un esempio semplice
Raddoppiando \(\vec{a}=(4\,;\,2)\) (una freccia nella stessa direzione, lunga il doppio) si ottiene
\(2\vec{a}\)
\(=\)
\((2 \times 4\,;\,2 \times 2)\)
\(2\vec{a} = (2 \times 4\,;\,2 \times 2) = (8\,;\,4)\)
\(|2\vec{a}| = \sqrt{8^{2}+4^{2}} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} = 2 \times 2\sqrt{5} = 2|\vec{a}|\)
L’idea chiave
Il prodotto per uno scalare allunga o accorcia la freccia. Se \(k>0\), la direzione resta la stessa e la lunghezza diventa \(k\) volte più grande. Se \(k<0\), il verso si inverte e la lunghezza diventa \(|k|\) volte più grande (con \(k=-1\) si ottiene il vettore opposto \(-\vec{a}\)). Il modulo è \(|k\vec{a}|=|k|\,|\vec{a}|\).
Questa calcolatrice lavora nella forma \(k\vec{a}+l\vec{b}\). Con \(k=1,\ l=1\) ottieni la somma e con \(k=1,\ l=-1\) la differenza, quindi basta cambiare i coefficienti per calcolare anche espressioni come \(2\vec{a}-3\vec{b}\).
Con \(k=0\) ottieni il vettore nullo \(\vec{0}\), le cui componenti sono tutte 0. Il vettore nullo ha lunghezza 0 e nessuna direzione.
Prodotto scalare (un calcolo che trasforma due vettori in un numero)
Figura
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(\vec{a}\cdot\vec{b}\)
\(=\)
\(|\vec{a}|\)
\(\times\)
\(|\vec{b}|\)
\(\times\)
\(\cos\theta\)
\(\vec{a}\cdot\vec{b}\)
\(=\)
\(a_1b_1+a_2b_2\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
④
prodotto scalare di \(\vec{a}\) e \(\vec{b}\)
\(=\)
①
modulo di \(\vec{a}\)
\(\times\)
②
modulo di \(\vec{b}\)
\(\times\)
③
\(\cos\theta\): coseno dell’angolo \(\theta\)
⑥
prodotto scalare di \(\vec{a}\) e \(\vec{b}\)
\(=\)
⑤
prodotto delle componenti \(x\) più prodotto delle componenti \(y\)
La formula a parole
①
Moltiplica il
modulo di \(\vec{a}\), \(|\vec{a}|\)
, il
②
modulo di \(\vec{b}\), \(|\vec{b}|\)
e il
③
\(\cos\theta\): coseno dell’angolo \(\theta\)
per ottenere il
④
prodotto scalare \(\vec{a}\cdot\vec{b}\)
. Con le componenti, il
⑤
prodotto delle componenti \(x\) più prodotto delle componenti \(y\), \(a_1b_1+a_2b_2\)
dà lo stesso valore, quindi si ottiene anche il
⑥
prodotto scalare \(\vec{a}\cdot\vec{b}\)
Un esempio semplice
Il prodotto scalare di \(\vec{a}=(4\,;\,2)\) e \(\vec{b}=(-1\,;\,2)\) è
prodotto scalare \(\vec{a}\cdot\vec{b}\)
\(=\)
\(4 \times (-1) + 2 \times 2\)
\(\vec{a}\cdot\vec{b} = 4 \times (-1) + 2 \times 2 = -4 + 4 = 0\)
L’idea chiave
Il risultato di un prodotto scalare non è un vettore ma solo un numero (uno scalare). Il nome fa pensare a una moltiplicazione, ma pensalo come un calcolo speciale che trasforma due frecce in un numero. Scrivilo sempre con un punto centrato; \(\vec{a}\times\vec{b}\) è un calcolo diverso (il prodotto vettoriale).
Nella figura è «la lunghezza dell’ombra di \(\vec{b}\) proiettata in verticale sulla direzione di \(\vec{a}\) (la proiezione), \(|\vec{b}|\cos\theta\), moltiplicata per \(|\vec{a}|\)». Quindi più le due direzioni si allineano, più grande è il prodotto scalare. Ad angolo retto l’ombra ha lunghezza 0, quindi il prodotto scalare è 0. Quando le direzioni sono quasi opposte, l’ombra punta dall’altra parte, quindi il prodotto scalare è negativo.
Usa la definizione (moduli e angolo) quando conosci l’angolo e la formula con le componenti quando conosci le coordinate. In 3D si aggiunge un termine \(a_3b_3\): \(\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\).
Angolo tra due vettori
Figura
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(\cos\theta\)
\(=\)
\(\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|}\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
②
\(\cos\theta\): coseno dell’angolo \(\theta\)
\(=\)
①
\(\dfrac{\text{prodotto scalare }\vec{a}\cdot\vec{b}}{\text{prodotto dei moduli }|\vec{a}|\,|\vec{b}|}\)
La formula a parole
①
Calcola
\(\dfrac{\text{prodotto scalare }\vec{a}\cdot\vec{b}}{\text{prodotto dei moduli }|\vec{a}|\,|\vec{b}|}\)
per ottenere il
②
\(\cos\theta\): coseno dell’angolo \(\theta\)
, e da esso l’angolo \(\theta\)
Un esempio semplice
L’angolo tra \(\vec{a}=(1\,;\,1)\) e \(\vec{b}=(2\,;\,0)\) (il prodotto scalare è \(1 \times 2 + 1 \times 0 = 2\) e i moduli sono \(|\vec{a}|=\sqrt{2}\) e \(|\vec{b}|=2\)) è
\(\cos\theta\)
\(=\)
\(\dfrac{2}{\sqrt{2} \times 2}\)
\(\cos\theta = \dfrac{2}{\sqrt{2} \times 2} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\theta = 45^{\circ} = \dfrac{\pi}{4}\)
L’idea chiave
Questa è soltanto la definizione di prodotto scalare, \(\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\), risolta rispetto a \(\cos\theta\). Nota che ciò che ottieni per primo è il valore di \(\cos\theta\), non l’angolo.
Per ricavare l’angolo da \(\cos\theta\), confrontalo con i valori degli angoli notevoli: \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) corrisponde a \(45^{\circ}\), \(\dfrac{1}{2}\) a \(60^{\circ}\) e \(0\) a \(90^{\circ}\). Per gli altri valori usa il coseno inverso \(\cos^{-1}\) (arcocoseno); questa calcolatrice mostra il risultato in decimale. Per convenzione, l’angolo tra due vettori si dà nell’intervallo \(0^{\circ} \le \theta \le 180^{\circ}\).
Il solo segno di \(\cos\theta\) dice di che tipo è l’angolo: positivo è acuto, 0 è retto e negativo è ottuso. Se resta un radicale al denominatore, razionalizzalo, come in \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).
Condizioni perché due vettori siano perpendicolari o paralleli
Figura
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(\vec{a}\perp\vec{b}\)
\(\iff\)
\(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)
\(\vec{a}\parallel\vec{b}\)
\(\iff\)
\(\vec{b}=k\vec{a}\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
①
\(\vec{a}\) e \(\vec{b}\) sono perpendicolari
\(\iff\)
②
il prodotto scalare è 0
③
\(\vec{a}\) e \(\vec{b}\) sono paralleli
\(\iff\)
④
uno si ottiene dall’altro con un prodotto per uno scalare
La formula a parole
①
Se né \(\vec{a}\) né \(\vec{b}\) è il vettore nullo,
\(\vec{a}\) e \(\vec{b}\) sono perpendicolari
se e solo se
②
il prodotto scalare è 0, \(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)
, e
③
\(\vec{a}\) e \(\vec{b}\) sono paralleli
se e solo se
④
\(\vec{b}=k\vec{a}\) per un certo numero reale \(k\)
Un esempio semplice
Se \(\vec{a}=(4\,;\,2)\) e \(\vec{b}=(-1\,;\,2)\), il prodotto scalare è \(4 \times (-1) + 2 \times 2 = 0\), quindi
\(\vec{a}\) e \(\vec{b}\) sono perpendicolari
\(\iff\)
il prodotto scalare è \(0\)
\(\vec{a}\cdot\vec{b} = 4 \times (-1) + 2 \times 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad \vec{a}\perp\vec{b}\)
\(\vec{c} = (8\,;\,4) = 2\vec{a} \quad \Rightarrow \quad \vec{c}\parallel\vec{a}\)
L’idea chiave
Per verificare se due vettori sono perpendicolari non ti serve l’angolo: basta controllare se il prodotto scalare è 0. Poiché \(\cos 90^{\circ}=0\), tutta la definizione \(|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\) diventa 0. È uno strumento standard per dimostrare che un angolo è retto nelle dimostrazioni di geometria.
Nel piano, la condizione di parallelismo \(\vec{b}=k\vec{a}\), scritta con le componenti, è \(a_1b_2-a_2b_1=0\). È comoda perché si può verificare senza trovare \(k\) (dice la stessa cosa dell’uguaglianza dei rapporti tra le componenti, \(a_1:a_2=b_1:b_2\)).
Entrambe le condizioni presuppongono che né \(\vec{a}\) né \(\vec{b}\) sia il vettore nullo. Il vettore nullo ha prodotto scalare 0 con ogni vettore, ma poiché non ha direzione non lo si dice perpendicolare e non ci si chiede se sia parallelo. Per questo i libri di testo enunciano le condizioni «per \(\vec{a} \neq \vec{0},\ \vec{b} \neq \vec{0}\)».
Versore (si tiene solo la direzione)
Figura
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(\dfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|}\)
\(=\)
\(\left(\dfrac{a_1}{|\vec{a}|}\,;\,\dfrac{a_2}{|\vec{a}|}\right)\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
②
vettore con la stessa direzione di \(\vec{a}\) e modulo 1
\(=\)
①
\(\dfrac{\text{componenti originali }(a_1\,;\,a_2)}{\text{modulo del vettore }|\vec{a}|}\)
La formula a parole
①
Dividi ogni componente per il modulo, come in
\(\dfrac{\text{componenti originali }(a_1\,;\,a_2)}{\text{modulo del vettore }|\vec{a}|}\)
, per ottenere il
②
vettore con la stessa direzione di \(\vec{a}\) e modulo 1 (il versore)
Un esempio semplice
Il versore nella direzione di \(\vec{a}=(4\,;\,2)\) (con modulo \(|\vec{a}|=2\sqrt{5}\)) è
versore nella direzione di \(\vec{a}=(4\,;\,2)\)
\(=\)
\(\dfrac{(4\,;\,2)}{2\sqrt{5}}\)
\(\dfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = \left(\dfrac{4}{2\sqrt{5}}\,;\,\dfrac{2}{2\sqrt{5}}\right) = \left(\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\,;\,\dfrac{\sqrt{5}}{5}\right)\)
\(\sqrt{\left(\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\right)^{2}+\left(\dfrac{\sqrt{5}}{5}\right)^{2}} = \sqrt{\dfrac{20}{25}+\dfrac{5}{25}} = \sqrt{\dfrac{25}{25}} = 1\)
L’idea chiave
Un versore è un vettore che butta via l’informazione sulla lunghezza e tiene solo la direzione. Dividere per il modulo dà sempre lunghezza 1, perché \(\left|\dfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|}\right| = \dfrac{|\vec{a}|}{|\vec{a}|} = 1\), quindi dopo la divisione non serve ricontrollare la lunghezza.
Con la sola direzione puoi scrivere «il punto a 5 unità nella direzione di \(\vec{a}\)» come «5 × il versore». È uno strumento per i casi in cui la lunghezza non conta e conta solo la direzione, come la direzione di marcia, la direzione di vista o la direzione verso cui è rivolta una superficie (la normale).
Dividere le componenti per il modulo mette un radicale al denominatore, quindi razionalizza la risposta, come in \(\dfrac{4}{2\sqrt{5}}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\). Per ogni direzione esiste un vettore di modulo 1, quindi di’ «nella direzione di \(\vec{a}\)» per distinguerlo dal versore nella direzione opposta, \(-\dfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|}\). In 3D c’è solo un termine in più, che divide la componente \(z\) per lo stesso modulo; i passaggi sono gli stessi.
Un vettore è una grandezza con direzione e modulo, e scriverlo nelle componenti cartesiane, \(\vec{a}=(a_1\,;\,a_2)\), rende i calcoli molto più semplici. Somme, differenze e prodotti per uno scalare si fanno componente per componente, il modulo è \(|\vec{a}|=\sqrt{a_1^{2}+a_2^{2}}\) (il teorema di Pitagora) e il prodotto scalare è la somma dei prodotti delle componenti, \(a_1b_1+a_2b_2\). Dividendo il prodotto scalare per il prodotto dei moduli si ottiene \(\cos\theta\), che dice qual è l’angolo tra i due vettori. Se il prodotto scalare è 0, i vettori sono perpendicolari; se uno si ottiene dall’altro con un prodotto per uno scalare, sono paralleli.
Simboli e termini
Simboli
| \(\vec{a}\) | vettore a | Il simbolo di un vettore. La freccia sopra la lettera indica che è una grandezza con direzione. Alcuni libri di testo usano invece il grassetto, come in \(\boldsymbol{a}\); sono lo stesso vettore. Il segmento orientato dal punto A al punto B si scrive \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) (il vettore da A a B). |
| \(a_1,\ a_2,\ a_3\) | a uno, a due, a tre | Le componenti del vettore \(\vec{a}\). Il piccolo numero in basso a destra (il pedice) dice di quale componente si tratta: \(a_1\) è lo spostamento nella direzione \(x\), \(a_2\) nella direzione \(y\) e \(a_3\) nella direzione \(z\). Alcuni libri di testo usano \(x\) e \(y\) come pedici, come in \(\vec{a}=(a_x\,;\,a_y)\). |
| \(|\vec{a}|\) | modulo del vettore a | Il modulo del vettore \(\vec{a}\) (la lunghezza della freccia). Usa le stesse barre verticali del valore assoluto di un numero reale, con la stessa idea: togli la direzione e guarda solo la dimensione. Il valore è sempre 0 o maggiore. |
| \(\vec{a}\cdot\vec{b}\) | a scalare b | Il prodotto scalare. Per convenzione si scrive con un punto centrato e il risultato è un numero, non un vettore. In inglese si chiama «dot product» proprio per questo simbolo. |
| \(\theta\) | teta | L’angolo tra due vettori. Per gli angoli è consuetudine usare le lettere greche, e \(\theta\) è la più comune. L’angolo tra vettori è l’apertura tra di loro quando partono dallo stesso punto, considerata nell’intervallo da \(0^{\circ}\) a \(180^{\circ}\). |
| \(\cos\theta\) | coseno di teta | Il coseno dell’angolo \(\theta\). In un triangolo rettangolo è il cateto adiacente diviso l’ipotenusa e assume valori da \(-1\) a \(1\). È il collegamento principale tra il prodotto scalare e l’angolo. |
| \(\cos^{-1}\) | arcocoseno | Il coseno inverso. Una funzione che dà l’angolo \(\theta\) a partire dal valore di \(\cos\theta\), che si scrive anche \(\arccos\). Il \(-1\) in alto a destra sta per «l’operazione inversa», non per \(\cos\) elevato alla \(-1\). Sulla calcolatrice è il tasto scritto in piccolo sopra cos (spesso si raggiunge con 2nd, SHIFT o INV). |
| \(k,\ l\) | k, elle | Numeri reali (scalari) che dicono quante volte moltiplicare un vettore. La lettera \(k\) si usa spesso per le costanti. In questa calcolatrice si scrivono come coefficienti di \(k\vec{a}+l\vec{b}\). |
| \(\vec{0}\) | vettore nullo | Il vettore con tutte le componenti uguali a 0 (il vettore nullo). È un vettore speciale di modulo 0 e senza direzione, quindi per lui non esistono né l’angolo né il versore. |
| \(\perp\) | è perpendicolare a | Il simbolo di «è perpendicolare a». \(\vec{a}\perp\vec{b}\) si legge «\(\vec{a}\) è perpendicolare a \(\vec{b}\)». Il simbolo è il disegno di un angolo retto. |
| \(\parallel\) | è parallelo a | Il simbolo di «è parallelo a». \(\vec{a}\parallel\vec{b}\) si legge «\(\vec{a}\) è parallelo a \(\vec{b}\)». Il simbolo è formato da due linee parallele affiancate. |
| \(\iff\) | se e solo se | Un simbolo che dice che il membro sinistro e il membro destro sono equivalenti. Dice «la destra è vera quando la sinistra è vera, e solo allora», e si scrive con una doppia freccia. |
| \(\sqrt{\ }\) | radice quadrata | Il simbolo della radice quadrata. \(\sqrt{20}\) è «il numero positivo che al quadrato dà 20». I moduli dei vettori si scrivono con questo simbolo e le risposte si danno in forma radicale semplificata, portando fuori dal radicale i fattori quadrati, come in \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\). |
Termini
| vettore | Una grandezza che ha sia una direzione sia una dimensione (il modulo). Descrive cose come velocità, forza e spostamento, per le quali la sola dimensione non basta e serve anche la direzione. Si disegna come una freccia, e spostandola senza ruotarla (stessa direzione e stessa lunghezza) si ottiene lo stesso vettore. |
| scalare | Un semplice numero senza direzione (come una lunghezza, un peso o una temperatura). La parola serve per distinguerlo da un vettore. Il risultato di un prodotto scalare è uno scalare. |
| segmento orientato | Un segmento con una direzione: la freccia vera e propria, con un punto di partenza e un punto di arrivo fissati. Un vettore è ciò che si ottiene tenendo solo la sua direzione e la sua lunghezza, qualunque sia la posizione. |
| componenti cartesiane | Scrivere un vettore come un insieme di numeri che dice «quanto nella direzione \(x\), quanto nella direzione \(y\)». Oltre a scriverlo in riga, come in \(\vec{a}=(4\,;\,2)\), si può scrivere anche come vettore colonna; i due modi sono equivalenti. In molti libri di testo italiani si scrive anche \(\vec{a}=4\vec{i}+2\vec{j}\), dove \(\vec{i}\) e \(\vec{j}\) sono i versori degli assi. Con le componenti, somme e prodotti scalari sono semplici calcoli con i numeri. |
| modulo | La lunghezza della freccia del vettore. Si chiama anche norma o lunghezza e si ricava dalle componenti con \(\sqrt{a_1^{2}+a_2^{2}}\). |
| versore | Un vettore di modulo 1. Calcolando \(\dfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|}\) si ottiene un vettore nella stessa direzione di \(\vec{a}\) con la lunghezza portata a 1. Si usa quando si vuole indicare solo una direzione. |
| vettore nullo | Il vettore \(\vec{0}\) con tutte le componenti uguali a 0. Il suo modulo è 0 e non ha direzione. Compare come differenza di un vettore e di se stesso, come in \(\vec{a}-\vec{a}=\vec{0}\). |
| vettore opposto | Il vettore \(-\vec{a}\) con lo stesso modulo e verso esattamente opposto. È il prodotto per lo scalare \(k=-1\) e si usa nella differenza \(\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})\). |
| prodotto per uno scalare | Un vettore moltiplicato per un numero \(k\). La lunghezza diventa \(k\) volte più grande nella stessa direzione, e se \(k\) è negativo il verso si inverte. |
| regola del parallelogramma | La regola per cui la somma di due vettori è la diagonale del parallelogramma che ha quei due vettori come lati. Si usa direttamente per comporre le forze in un diagramma. |
| prodotto scalare | Un calcolo che trasforma due vettori in un numero. Si definisce come \(|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\) e con le componenti è \(a_1b_1+a_2b_2\). Esprime con un numero quanto sono allineate le due direzioni. |
| angolo tra due vettori | L’angolo \(\theta\) che si forma quando due vettori partono dallo stesso punto. Si considera nell’intervallo da \(0^{\circ}\) a \(180^{\circ}\). |
| proiezione | L’ombra di un vettore proiettata sulla direzione di un altro da una luce che arriva perpendicolarmente (la proiezione ortogonale). La lunghezza della proiezione di \(\vec{b}\) sulla direzione di \(\vec{a}\) è \(|\vec{b}|\cos\theta\) e il prodotto scalare si può leggere come questa lunghezza dell’ombra moltiplicata per \(|\vec{a}|\). |
| perpendicolare | Due vettori che si incontrano ad angolo retto (si dice anche ortogonali). Per due vettori che non sono il vettore nullo, equivale a dire che il prodotto scalare è 0. |
| parallelo | Due vettori con la stessa direzione o con direzioni esattamente opposte. Equivale a dire che uno è ottenuto dall’altro con un prodotto per uno scalare, e nel piano si può verificare con le sole componenti con \(a_1b_2-a_2b_1=0\). |
| vettore posizione | Un vettore che parte dall’origine e indica la posizione di un punto. Il vettore posizione del punto A è \(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\) e le coordinate del punto sono le sue componenti. È il punto di partenza per studiare le figure con i vettori. |
Cosa conviene sapere prima
Ecco cosa conviene sapere per usare il calcolo di questa pagina capendo davvero cosa fai, e non solo premendo il pulsante.
Se ti blocchi, tornare a rivedere questi argomenti è la strada più rapida.
| Il piano cartesiano e le coordinate nello spazio (dalla scuola secondaria di primo grado alla secondaria di secondo grado) |
|
| Calcoli con i numeri relativi (classi 1ª–2ª della secondaria di primo grado, 11-13 anni) |
|
| Radici quadrate (scuola secondaria di primo e di secondo grado) |
|
| Il teorema di Pitagora (classe 2ª della secondaria di primo grado, 12-13 anni) |
|
| Trigonometria: il coseno (scuola secondaria di secondo grado) |
|
| Equazioni e frazioni (scuola secondaria di primo grado, 11-14 anni) |
|
Come calcolarlo con Excel
Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Excel. Funziona così com’è.
Tabella per ricavare il modulo di un vettore
| Componente x a1 | 4 |
| Componente y a2 | 2 |
| Componente z a3 (0 per il piano) | 4 |
| Modulo |a| | =RADQ(B1^2+B2^2+B3^2) |
Tabella per ricavare somma e differenza di vettori
| a, componente x a1 | 4 |
| a, componente y a2 | 2 |
| a, componente z a3 | 4 |
| b, componente x b1 | -1 |
| b, componente y b2 | 2 |
| b, componente z b3 | 2 |
| Somma, componente x | =B1+B4 |
| Somma, componente y | =B2+B5 |
| Somma, componente z | =B3+B6 |
| Differenza, componente x | =B1-B4 |
| Differenza, componente y | =B2-B5 |
| Differenza, componente z | =B3-B6 |
Tabella per ricavare un prodotto per uno scalare di un vettore
| Scalare k | 2 |
| Componente x a1 | 4 |
| Componente y a2 | 2 |
| Componente z a3 | 4 |
| k volte, componente x | =B1*B2 |
| k volte, componente y | =B1*B3 |
| k volte, componente z | =B1*B4 |
Tabella per ricavare il prodotto scalare
| a, componente x a1 | 4 |
| a, componente y a2 | 2 |
| a, componente z a3 | 4 |
| b, componente x b1 | -1 |
| b, componente y b2 | 2 |
| b, componente z b3 | 2 |
| Prodotto scalare a·b | =B1*B4+B2*B5+B3*B6 |
Tabella per ricavare l’angolo tra due vettori
| Prodotto scalare a·b | 8 |
| Modulo |a| | 6 |
| Modulo |b| | 3 |
| cosθ | =B1/(B2*B3) |
| Angolo θ (gradi) | =GRADI(ARCCOS(B4)) |
| Angolo θ (radianti) | =ARCCOS(B4) |
Tabella per verificare le condizioni di perpendicolarità e parallelismo (piano)
| a, componente x a1 | 4 |
| a, componente y a2 | 2 |
| b, componente x b1 | -1 |
| b, componente y b2 | 2 |
| Prodotto scalare a·b | =B1*B3+B2*B4 |
| Perpendicolari? | =SE(B5=0;"Perpendicolari";"Non perpendicolari") |
| a1b2 − a2b1 | =B1*B4-B2*B3 |
| Paralleli? | =SE(B7=0;"Paralleli";"Non paralleli") |
Tabella per ricavare il versore
| Componente x a1 | 4 |
| Componente y a2 | 2 |
| Componente z a3 (0 per il piano) | 4 |
| Modulo |a| | =RADQ(B1^2+B2^2+B3^2) |
| Versore, componente x | =B1/B4 |
| Versore, componente y | =B2/B4 |
| Versore, componente z | =B3/B4 |
| Verifica: modulo del versore | =RADQ(B5^2+B6^2+B7^2) |
Dopo l’incollaggio, le righe in alto (componenti e coefficienti) sono i campi di input e le righe in basso mostrano i risultati calcolati.
«^» è la potenza, RADQ è la radice quadrata, ARCCOS è il coseno inverso (una funzione che trova l’angolo a partire dal valore di un coseno) e GRADI converte i radianti in gradi.
Le tabelle da 1 a 4 usano i vettori 3D a = (4 ; 2 ; 4) e b = (−1 ; 2 ; 2). Il modulo |a| è 6, la somma è (3 ; 4 ; 6), la differenza è (5 ; 0 ; 2), 2a è (8 ; 4 ; 8) e il prodotto scalare è 8. Per i vettori 2D, metti 0 nelle celle della componente z.
La tabella 5 ricava l’angolo da quel prodotto scalare di 8 e dai moduli 6 e 3. cosθ è 0,4444… e l’angolo è circa 63,61 gradi (circa 1,1102 radianti).
La tabella 6 usa i vettori 2D a = (4 ; 2) e b = (−1 ; 2). Il prodotto scalare è 0, quindi mostra «Perpendicolari», e a1b2 − a2b1 è 10, non 0, quindi mostra «Non paralleli».
La tabella 7 ricava il versore dello stesso a = (4 ; 2 ; 4) della tabella 1. Ogni componente è divisa per il modulo 6, e si ottiene (0,6667 ; 0,3333 ; 0,6667); l’ultima riga conferma che il suo modulo è esattamente 1.
«^» è la potenza, RADQ è la radice quadrata, ARCCOS è il coseno inverso (una funzione che trova l’angolo a partire dal valore di un coseno) e GRADI converte i radianti in gradi.
Le tabelle da 1 a 4 usano i vettori 3D a = (4 ; 2 ; 4) e b = (−1 ; 2 ; 2). Il modulo |a| è 6, la somma è (3 ; 4 ; 6), la differenza è (5 ; 0 ; 2), 2a è (8 ; 4 ; 8) e il prodotto scalare è 8. Per i vettori 2D, metti 0 nelle celle della componente z.
La tabella 5 ricava l’angolo da quel prodotto scalare di 8 e dai moduli 6 e 3. cosθ è 0,4444… e l’angolo è circa 63,61 gradi (circa 1,1102 radianti).
La tabella 6 usa i vettori 2D a = (4 ; 2) e b = (−1 ; 2). Il prodotto scalare è 0, quindi mostra «Perpendicolari», e a1b2 − a2b1 è 10, non 0, quindi mostra «Non paralleli».
La tabella 7 ricava il versore dello stesso a = (4 ; 2 ; 4) della tabella 1. Ogni componente è divisa per il modulo 6, e si ottiene (0,6667 ; 0,3333 ; 0,6667); l’ultima riga conferma che il suo modulo è esattamente 1.
Come calcolarlo con Fogli Google
Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Fogli Google. Funziona così com’è.
Tabella per ricavare il modulo di un vettore
| Componente x a1 | 4 |
| Componente y a2 | 2 |
| Componente z a3 (0 per il piano) | 4 |
| Modulo |a| | =RADQ(B1^2+B2^2+B3^2) |
Tabella per ricavare somma e differenza di vettori
| a, componente x a1 | 4 |
| a, componente y a2 | 2 |
| a, componente z a3 | 4 |
| b, componente x b1 | -1 |
| b, componente y b2 | 2 |
| b, componente z b3 | 2 |
| Somma, componente x | =B1+B4 |
| Somma, componente y | =B2+B5 |
| Somma, componente z | =B3+B6 |
| Differenza, componente x | =B1-B4 |
| Differenza, componente y | =B2-B5 |
| Differenza, componente z | =B3-B6 |
Tabella per ricavare un prodotto per uno scalare di un vettore
| Scalare k | 2 |
| Componente x a1 | 4 |
| Componente y a2 | 2 |
| Componente z a3 | 4 |
| k volte, componente x | =B1*B2 |
| k volte, componente y | =B1*B3 |
| k volte, componente z | =B1*B4 |
Tabella per ricavare il prodotto scalare
| a, componente x a1 | 4 |
| a, componente y a2 | 2 |
| a, componente z a3 | 4 |
| b, componente x b1 | -1 |
| b, componente y b2 | 2 |
| b, componente z b3 | 2 |
| Prodotto scalare a·b | =B1*B4+B2*B5+B3*B6 |
Tabella per ricavare l’angolo tra due vettori
| Prodotto scalare a·b | 8 |
| Modulo |a| | 6 |
| Modulo |b| | 3 |
| cosθ | =B1/(B2*B3) |
| Angolo θ (gradi) | =GRADI(ARCCOS(B4)) |
| Angolo θ (radianti) | =ARCCOS(B4) |
Tabella per verificare le condizioni di perpendicolarità e parallelismo (piano)
| a, componente x a1 | 4 |
| a, componente y a2 | 2 |
| b, componente x b1 | -1 |
| b, componente y b2 | 2 |
| Prodotto scalare a·b | =B1*B3+B2*B4 |
| Perpendicolari? | =SE(B5=0;"Perpendicolari";"Non perpendicolari") |
| a1b2 − a2b1 | =B1*B4-B2*B3 |
| Paralleli? | =SE(B7=0;"Paralleli";"Non paralleli") |
Tabella per ricavare il versore
| Componente x a1 | 4 |
| Componente y a2 | 2 |
| Componente z a3 (0 per il piano) | 4 |
| Modulo |a| | =RADQ(B1^2+B2^2+B3^2) |
| Versore, componente x | =B1/B4 |
| Versore, componente y | =B2/B4 |
| Versore, componente z | =B3/B4 |
| Verifica: modulo del versore | =RADQ(B5^2+B6^2+B7^2) |
Le stesse formule di Excel funzionano così come sono (per RADQ, ARCCOS, GRADI e SE vale lo stesso in Fogli Google con l’interfaccia in italiano). Copia l’intera tabella, incollala nella cella A1 e sostituisci le componenti con i tuoi numeri.
Fogli Google ha anche una funzione chiamata MATR.SOMMA.PRODOTTO. Dalle i due intervalli delle componenti, come in «=MATR.SOMMA.PRODOTTO(B1:B3;B4:B6)», e ricava il prodotto scalare con una sola formula.
Fogli Google ha anche una funzione chiamata MATR.SOMMA.PRODOTTO. Dalle i due intervalli delle componenti, come in «=MATR.SOMMA.PRODOTTO(B1:B3;B4:B6)», e ricava il prodotto scalare con una sola formula.
Come calcolarlo con Python
import math
from fractions import Fraction
# Componenti dei vettori (una frazione come 3/4 si scrive Fraction(3, 4); per il piano usa due elementi)
a = [Fraction(4), Fraction(2), Fraction(4)]
b = [Fraction(-1), Fraction(2), Fraction(2)]
k, l = Fraction(2), Fraction(3)
# Somma, differenza e combinazione lineare (componente per componente)
vector_sum = [x + y for x, y in zip(a, b)]
vector_diff = [x - y for x, y in zip(a, b)]
combination = [k * x + l * y for x, y in zip(a, b)]
# Prodotto scalare, moduli e angolo
dot = sum(x * y for x, y in zip(a, b))
size_a = math.sqrt(sum(x * x for x in a))
size_b = math.sqrt(sum(x * x for x in b))
cos_theta = dot / (size_a * size_b)
theta_degrees = math.degrees(math.acos(cos_theta))
print(f"Somma: {vector_sum}")
print(f"Differenza: {vector_diff}")
print(f"ka + lb: {combination}")
print(f"Prodotto scalare: {dot}")
print(f"Modulo |a|: {size_a}, |b|: {size_b}")
print(f"cos(theta): {float(cos_theta)}, angolo: {theta_degrees} gradi")
# Versore e verifica di perpendicolarità
unit_a = [float(x) / size_a for x in a]
print(f"Versore nella direzione di a: {unit_a}")
print("Perpendicolari" if dot == 0 else "Non perpendicolari")
Funziona con la sola libreria standard. Tenere le componenti come Fraction (frazioni) rende esatti somma, differenza e prodotto scalare, senza errori di arrotondamento. I moduli e l’angolo contengono radici quadrate, quindi si calcolano in decimale con il modulo math. Questo esempio usa a = (4, 2, 4) e b = (−1, 2, 2) e stampa il prodotto scalare 8, i moduli 6 e 3 e un angolo di circa 63,61 gradi. Cambia le componenti ed eseguilo.
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
Modulo di un vettore (dalle componenti)
|a| = √(a₁² + a₂²)
\left|\vec{a}\right| = \sqrt{a_1^{2} + a_2^{2}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mrow><mo>|</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>|</mo></mrow>
<mo>=</mo>
<msqrt>
<mrow>
<msup><msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo>
<msup><msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</msqrt>
</mrow>
</math>
abs(vec a) = sqrt(a_1^2 + a_2^2)
Norm[{a1, a2}]
LinearAlgebra:-Norm(Vector([a1, a2]), 2);
norm([a1 a2])
|a| = √(a_1^2 + a_2^2)
Somma e differenza di vettori (si somma o si sottrae componente per componente)
a + b = (a₁ + b₁, a₂ + b₂)
\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1,\ a_2 + b_2)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover>
<mo>+</mo>
<mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover>
<mo>=</mo>
<mo>(</mo>
<msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub><mo>+</mo><msub><mi>b</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>,</mo>
<msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub><mo>+</mo><msub><mi>b</mi><mn>2</mn></msub>
<mo>)</mo>
</mrow>
</math>
vec a + vec b = (a_1 + b_1, a_2 + b_2)
{a1, a2} + {b1, b2}
Vector([a1, a2]) + Vector([b1, b2]);
[a1 a2] + [b1 b2]
a + b = (a_1 + b_1, a_2 + b_2)
Prodotto di un vettore per uno scalare
ka = (ka₁, ka₂)
k\vec{a} = (k a_1,\ k a_2)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>k</mi><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover>
<mo>=</mo>
<mo>(</mo>
<mi>k</mi><msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>,</mo>
<mi>k</mi><msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub>
<mo>)</mo>
</mrow>
</math>
k vec a = (k a_1, k a_2)
k {a1, a2}
k * Vector([a1, a2]);
k * [a1 a2]
ka = (k a_1, k a_2)
Prodotto scalare (un calcolo che trasforma due vettori in un numero)
a ⋅ b = |a||b|cosθ = a₁b₁ + a₂b₂
\vec{a}\cdot\vec{b} = \left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|\cos\theta = a_1 b_1 + a_2 b_2
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover>
<mo>⋅</mo>
<mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover>
<mo>=</mo>
<msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>b</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>+</mo>
<msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub><msub><mi>b</mi><mn>2</mn></msub>
</mrow>
</math>
vec a * vec b = abs(vec a) abs(vec b) cos theta = a_1 b_1 + a_2 b_2
Dot[{a1, a2}, {b1, b2}]
DotProduct(Vector([a1, a2]), Vector([b1, b2]));
dot([a1 a2], [b1 b2])
a ⋅ b = |a||b| cos θ = a_1 b_1 + a_2 b_2
Angolo tra due vettori
cos θ = (a ⋅ b) / (|a||b|)
\cos\theta = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>cos</mi><mi>θ</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover>
<mo>⋅</mo>
<mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover>
</mrow>
<mrow>
<mo>|</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>|</mo>
<mo>|</mo><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover><mo>|</mo>
</mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
cos theta = (vec a * vec b) / (abs(vec a) abs(vec b))
ArcCos[Dot[a, b]/(Norm[a] Norm[b])]
VectorAngle(Vector([a1, a2]), Vector([b1, b2]));
acos(dot(a, b) / (norm(a) * norm(b)))
cos θ = (a ⋅ b)/(|a||b|)
Condizioni perché due vettori siano perpendicolari o paralleli
a⊥b ⟺ a ⋅ b = 0, a∥b ⟺ b = ka
\vec{a}\perp\vec{b} \iff \vec{a}\cdot\vec{b}=0,\qquad \vec{a}\parallel\vec{b} \iff \vec{b}=k\vec{a}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover>
<mo>⊥</mo>
<mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover>
<mo>⟺</mo>
<mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover>
<mo>⋅</mo>
<mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover>
<mo>=</mo>
<mn>0</mn>
</mrow>
</math>
vec a _|_ vec b <=> vec a * vec b = 0
Dot[a, b] == 0
evalb(DotProduct(a, b) = 0);
dot(a, b) == 0
a ⊥ b ⟺ a ⋅ b = 0
Versore (si tiene solo la direzione)
a / |a| = (a₁/|a|, a₂/|a|)
\frac{\vec{a}}{\left|\vec{a}\right|} = \left(\frac{a_1}{\left|\vec{a}\right|},\ \frac{a_2}{\left|\vec{a}\right|}\right)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mfrac>
<mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover>
<mrow><mo>|</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>|</mo></mrow>
</mfrac>
<mo>=</mo>
<mo>(</mo>
<mfrac>
<msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub>
<mrow><mo>|</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>|</mo></mrow>
</mfrac>
<mo>,</mo>
<mfrac>
<msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub>
<mrow><mo>|</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>|</mo></mrow>
</mfrac>
<mo>)</mo>
</mrow>
</math>
vec a / abs(vec a) = (a_1/abs(vec a), a_2/abs(vec a))
Normalize[{a1, a2}]
LinearAlgebra:-Normalize(Vector([a1, a2]), 2);
[a1 a2] / norm([a1 a2])
a/|a| = (a_1/|a|, a_2/|a|)
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
Sei un assistente per calcoli di matematica (vettori). Esegui i calcoli seguenti eseguendo davvero codice Python e rispondi basandoti soltanto sui numeri ottenuti dall’esecuzione (non rispondere a mente né a intuito). Per i vettori 3D a = (4 ; 2 ; 4) e b = (−1 ; 2 ; 2), trova ciascuna delle cose seguenti. 1. Le componenti della somma a + b, della differenza a − b e di 2a + 3b 2. I moduli |a| e |b| (sia come valori esatti con i radicali semplificati sia in decimale) 3. Il prodotto scalare a·b 4. L’angolo θ tra i due vettori (sia in gradi sia in radianti, con il valore esatto se è un angolo notevole) 5. Il versore nella direzione di a 6. Se a e b sono perpendicolari o paralleli, e perché In Python usa i moduli fractions e math (e sympy se serve) e mostra le formule che hai usato e i numeri ottenuti dall’esecuzione.
Come si usa
-
1Inserisci i numeriScrivi nei campi i numeri con cui vuoi fare il calcolo
-
2CalcolaFai clic sul pulsante «Calcola»
-
3Guarda il risultatoIl risultato compare subito. Nella stessa pagina trovi anche lo svolgimento del calcolo e la spiegazione della formula
I punti di forza di DataChef
Semplice e gratuito
Conversioni gratuite e illimitate
Nessuna competenza richiesta, semplice e intuitivo
Nessuna competenza richiesta, semplice e intuitivo
Senza registrazione
Pronto all'uso appena apri la pagina
Nessun dato personale richiesto
Nessun dato personale richiesto
Sicuro e affidabile
Connessione fortemente crittografata (SSL)
Il file viene eliminato automaticamente dopo il download
Il file viene eliminato automaticamente dopo il download
Veloce
Visualizzazione e conversione rapide, senza attese
Senza filigrana
Nessuna filigrana
Nessun obbligo di attribuzione
Nessun obbligo di attribuzione
Uso commerciale consentito
Uso commerciale gratuito
Nessuna autorizzazione preventiva necessaria
Nessuna autorizzazione preventiva necessaria
Funzioni correlate
Calcolatrice del prodotto vettoriale (componenti, area del parallelogramma, versore normale)
Calcola il prodotto vettoriale a×b di due vettori 3D (un vettore perpendicolare a entrambi) e l’area del parallelogramma che formano
Calcolatrice del teorema di Pitagora (ipotenusa e cateti di un triangolo rettangolo)
Il teorema di Pitagora è il motivo per cui si calcola il modulo di un vettore. Calcola le lunghezze dei lati di un triangolo rettangolo
