Scegli come è scritta la retta (forma implicita o forma esplicita), poi scrivi i coefficienti e le coordinate del punto. L’equazione qui sotto è collegata ai campi, quindi puoi anche modificare i numeri direttamente nell’equazione.
Scrivi solo numeri. Vanno bene numeri decimali, numeri negativi e frazioni come 3/4. Un coefficiente di x o di y lasciato vuoto vale 1 (x equivale a 1x), mentre un termine noto o una coordinata lasciati vuoti valgono 0.
Risultato e figura
Scrivi i coefficienti della retta e le coordinate del punto nei campi a sinistra e fai clic su «Calcola». Qui compaiono il risultato e una figura.
Indice
-
Cosa puoi fare in questa pagina
-
A cosa serve questo calcolo?
-
Come si usa
-
Formule e figure
-
Simboli e termini
-
Cosa conviene sapere prima
-
Come calcolarlo con Excel
-
Come calcolarlo con Fogli Google
-
Come calcolarlo con Python
-
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
-
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
-
I punti di forza di DataChef
-
Funzioni correlate
-
Tutte le calcolatrici di NumberChef
Cosa puoi fare in questa pagina
- Scrivi i coefficienti e le coordinate e ottieni subito la distanza di un punto \(\mathrm{P}(x_0 ;\ y_0)\) da una retta \(ax + by + c = 0\) (la lunghezza della perpendicolare dal punto alla retta, cioè la distanza minima)
- La risposta è mostrata sia come valore esatto con il denominatore razionalizzato, come \(\dfrac{7\sqrt{5}}{5}\), sia come numero decimale (12 cifre significative)
- Oltre alla distanza, ottieni anche le coordinate del piede della perpendicolare \(\mathrm{H}\) (il punto della retta più vicino a \(\mathrm{P}\)) e l’equazione della stessa perpendicolare
- Puoi scrivere la retta in forma implicita \(ax + by + c = 0\) o in forma esplicita \(y = mx + k\) (per la forma esplicita, i passaggi mostrano anche come riscriverla in forma implicita)
- Nella stessa schermata puoi trovare anche la distanza tra due rette parallele \(ax + by + c_1 = 0\) e \(ax + by + c_2 = 0\)
- Puoi controllare il risultato in una figura del piano cartesiano. In questa pagina trovi anche la spiegazione chiara delle formule e le formule da copiare e incollare per Excel, Fogli Google e Python
I coefficienti e le coordinate possono essere numeri decimali, numeri negativi o frazioni come 3/4. Questa pagina lavora con rette nel piano (2D).
A cosa serve questo calcolo?
Come il GPS e le app di mappe capiscono su quale strada ti trovi
La posizione che il tuo telefono o il GPS dell’auto riceve può avere un errore da alcuni metri a decine di metri. Se l’app disegnasse semplicemente quel punto, potresti comparire dentro un edificio o in mezzo a un campo. Quindi le app di mappe calcolano la distanza del punto misurato da ciascuna strada vicina (sulla mappa, un insieme di segmenti) e spostano il punto sulla strada più vicina. Si chiama map matching e al suo centro c’è la distanza di un punto da una retta.
Se l’app trova anche il piede della perpendicolare, sa esattamente in quale punto di quella strada ti trovi e può dirti quanto manca alla prossima svolta.
Misurare gli scostamenti da una linea di riferimento nell’edilizia e nei rilievi
I progetti degli edifici hanno gli allineamenti (i fili fissi) e i progetti di strade e ferrovie hanno un asse. Le posizioni di pilastri, muri, cordoli e picchetti sono date come «quanto distano dalla linea di riferimento». Questo scostamento è esattamente la distanza di un punto da una retta. In cantiere i topografi la calcolano dalle coordinate misurate con una stazione totale e la confrontano con il valore di progetto.
Posare un cordolo a metà della larghezza della strada dall’asse è lo stesso calcolo ripetuto lungo la strada.
Come l’apprendimento automatico sceglie una retta che separa due gruppi
Un metodo di classificazione chiamato macchina a vettori di supporto (SVM) traccia una retta (un piano nelle dimensioni più alte) tra due gruppi di dati. Sceglie la retta più lontana possibile dai punti dei dati di entrambi i gruppi, e quel «quanto lontano» è la distanza di un punto da una retta. Si ritiene che scegliere la retta con la separazione più larga (il margine) faccia meno errori su dati che il modello non ha ancora visto.
È un metodo standard per il filtro antispam e la classificazione delle immagini fin da prima della diffusione del deep learning ed è ancora una buona scelta quando i dati di addestramento sono pochi.
Trovare rette in immagini e nuvole di punti (elaborazione delle immagini e auto a guida autonoma)
Il riconoscimento delle corsie nelle auto a guida autonoma e il raddrizzamento di un documento scansionato richiedono entrambi la retta che meglio approssima un insieme di punti rilevati. Quanto bene una retta si adatta si misura sommando i quadrati delle distanze di ciascun punto dalla retta, e si sceglie la retta con il totale più piccolo.
RANSAC, un metodo che adatta una retta ignorando i valori anomali, usa anch’esso la distanza punto-retta: i punti entro una distanza stabilita dalla retta contano come adatti.
Semplificare i tracciati nelle mappe e nella grafica
Quando riduci lo zoom in un’app di mappe, le piccole curve delle coste e delle strade vengono eliminate automaticamente. Si usa l’algoritmo di Ramer–Douglas–Peucker. Trova il punto più lontano dalla retta che unisce i due estremi di un tracciato. Se questa distanza è minore di un limite stabilito, tutti i punti intermedi vengono eliminati; altrimenti il tracciato viene diviso in quel punto e il controllo si ripete.
La forma sembra ancora giusta con molti meno dati, perché l’algoritmo misura «quanto ogni punto si discosta dalla retta» con una vera distanza.
Formule e figure
Distanza di un punto da una retta
Figura
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(d\)
\(=\)
\(\left|a x_0 + b y_0 + c\right|\)
\(\div\)
\(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
③
\(d\): distanza di \(\mathrm{P}\) dalla retta
\(=\)
①
valore assoluto di \(ax + by + c\) nel punto
\(\div\)
②
\(\sqrt{a^2 + b^2}\): lunghezza del vettore normale
La formula a parole
①
Prendi il
valore assoluto di \(ax + by + c\) con il punto \((x_0 ;\ y_0)\) sostituito
②
dividilo per la
lunghezza \(\sqrt{a^2 + b^2}\) del vettore normale \((a ;\ b)\)
③
e ottieni la
distanza \(d\) di \(\mathrm{P}\) dalla retta
Un esempio semplice
La distanza del punto \(\mathrm{P}(4 ;\ 3)\) dalla retta \(x + 2y - 3 = 0\) è
distanza \(d\)
\(=\)
valore assoluto nel punto (\(|4 + 6 - 3| = 7\))
\(\div\)
lunghezza del vettore normale (\(\sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}\))
\(d = \dfrac{\left|1 \times 4 + 2 \times 3 + (-3)\right|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2}}} = \dfrac{7}{\sqrt{5}} = \dfrac{7\sqrt{5}}{5} \approx 3{,}13\)
L’idea chiave
La distanza di un punto da una retta è la lunghezza della perpendicolare condotta dal punto alla retta. Una retta ha infiniti punti, ma solo il piede della perpendicolare è il più vicino a \(\mathrm{P}\). Tutti gli altri punti della retta sono più lontani, perché in un triangolo rettangolo l’ipotenusa è più lunga di ciascun cateto. Per questo «distanza = distanza minima = lunghezza della perpendicolare» è una definizione chiara.
Riscrivere \(\dfrac{7}{\sqrt{5}}\) come \(\dfrac{7\sqrt{5}}{5}\) si chiama razionalizzazione del denominatore. Con una radice al denominatore è difficile capire quanto vale il numero o sommarlo ad altri, quindi di solito le risposte si scrivono con il denominatore razionalizzato.
Se \(a\) e \(b\) sono entrambi 0, \(ax + by + c = 0\) non è una retta e la formula non si può usare.
Perché questa formula dà la distanza (con il vettore normale)
Figura
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(d\)
\(=\)
\(\left|\vec{n}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|\)
\(\div\)
\(\left|\vec{n}\right|\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
③
\(d\): distanza di \(\mathrm{P}\) dalla retta
\(=\)
①
valore assoluto del prodotto scalare tra il vettore normale e \(\overrightarrow{\mathrm{AP}}\)
\(\div\)
②
\(|\vec{n}|\): lunghezza del vettore normale \(\vec{n}\)
La formula a parole
①
Sia \(\mathrm{A}\) un punto qualsiasi della retta e \(\vec{n} = (a ;\ b)\) il vettore perpendicolare alla retta (il vettore normale). Prendi il
valore assoluto del prodotto scalare di \(\vec{n}\) e \(\overrightarrow{\mathrm{AP}}\)
②
dividilo per la
lunghezza \(|\vec{n}|\) del vettore normale \(\vec{n}\)
③
e ottieni la
distanza \(d\) di \(\mathrm{P}\) dalla retta
Un esempio semplice
Prova con il punto \(\mathrm{A}(3 ;\ 0)\) sulla retta \(x + 2y - 3 = 0\) e con il punto \(\mathrm{P}(4 ;\ 3)\) (\(\vec{n} = (1 ;\ 2)\), \(\overrightarrow{\mathrm{AP}} = (1 ;\ 3)\))
distanza \(d\)
\(=\)
valore assoluto del prodotto scalare (\(|1 \times 1 + 2 \times 3| = 7\))
\(\div\)
lunghezza del vettore normale (\(\sqrt{5}\))
\(\vec{n}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AP}} = 1 \times 1 + 2 \times 3 = 7\)
\(d = \dfrac{\left|7\right|}{\sqrt{5}} = \dfrac{7\sqrt{5}}{5} \approx 3{,}13\)
L’idea chiave
Prendi i coefficienti di \(x\) e di \(y\) della retta \(ax + by + c = 0\) così come sono e ottieni il vettore \(\vec{n} = (a ;\ b)\). Questo vettore è perpendicolare alla retta e si chiama vettore normale. Per capire perché, prendi due punti \((x_1 ;\ y_1)\) e \((x_2 ;\ y_2)\) sulla retta. Entrambi soddisfano l’equazione, quindi sottraendo si ottiene \(a(x_2 - x_1) + b(y_2 - y_1) = 0\). Il prodotto scalare di \(\vec{n}\) e di un vettore lungo la retta è 0, quindi sono perpendicolari.
Poiché \(\mathrm{A}\) sta sulla retta, \(ax_1 + by_1 + c = 0\). Sviluppando \(\vec{n}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AP}} = a(x_0 - x_1) + b(y_0 - y_1)\) si ottiene quindi esattamente \(ax_0 + by_0 + c\). Per questo il numeratore della formula della distanza è «le coordinate del punto sostituite nell’equazione».
Il prodotto scalare \(\vec{n}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AP}}\) è uguale alla lunghezza dell’ombra di \(\overrightarrow{\mathrm{AP}}\) proiettata dritta sulla direzione di \(\vec{n}\), moltiplicata per \(|\vec{n}|\). (Se l’ombra cade nel verso opposto a \(\vec{n}\), il segno è negativo, quindi prendiamo il valore assoluto per ottenere una lunghezza.)
Perché quell’ombra è la distanza che vogliamo? Sia \(\mathrm{H}\) il piede della perpendicolare. Allora \(\overrightarrow{\mathrm{AP}} = \overrightarrow{\mathrm{AH}} + \overrightarrow{\mathrm{HP}}\). \(\overrightarrow{\mathrm{AH}}\) va lungo la retta, quindi è perpendicolare a \(\vec{n}\) e non proietta nessuna ombra in quella direzione. La parte che resta, \(\overrightarrow{\mathrm{HP}}\), è parallela a \(\vec{n}\), quindi la sua ombra è tutta la sua lunghezza, cioè la distanza \(d\) di \(\mathrm{P}\) dalla retta. La risposta non dipende da dove metti \(\mathrm{A}\) sulla retta: spostare \(\mathrm{A}\) cambia solo \(\overrightarrow{\mathrm{AH}}\), che non influisce mai sull’ombra.
Quindi dividere il prodotto scalare per \(|\vec{n}|\) restituisce la distanza. Il \(\sqrt{a^2 + b^2}\) al denominatore è proprio questo \(|\vec{n}|\).
Distanza quando la retta è in forma esplicita \(y = mx + k\)
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(d\)
\(=\)
\(\left|m x_0 - y_0 + k\right|\)
\(\div\)
\(\sqrt{m^{2} + 1}\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
③
\(d\): distanza di \(\mathrm{P}\) dalla retta
\(=\)
①
valore assoluto di \(mx - y + k\) nel punto
\(\div\)
②
\(\sqrt{m^2 + 1}\): lunghezza del vettore normale \((m ;\ -1)\)
La formula a parole
①
Riscrivi la retta \(y = mx + k\) come \(mx - y + k = 0\). Poi prendi il
valore assoluto di \(mx - y + k\) con il punto sostituito
②
dividilo per la
lunghezza \(\sqrt{m^2 + 1}\) del vettore normale \((m ;\ -1)\)
③
e ottieni la
distanza \(d\) di \(\mathrm{P}\) dalla retta
Un esempio semplice
La distanza del punto \(\mathrm{P}(4 ;\ 3)\) dalla retta \(y = 2x + 1\) (in forma implicita, \(2x - y + 1 = 0\)) è
distanza \(d\)
\(=\)
valore assoluto nel punto (\(|8 - 3 + 1| = 6\))
\(\div\)
lunghezza del vettore normale (\(\sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}\))
\(y = 2x + 1 \;\Longrightarrow\; 2x - y + 1 = 0\)
\(d = \dfrac{\left|2 \times 4 - 3 + 1\right|}{\sqrt{2^{2} + 1}} = \dfrac{6}{\sqrt{5}} = \dfrac{6\sqrt{5}}{5} \approx 2{,}68\)
L’idea chiave
Quando la retta è data come \(y = mx + k\), porta tutto a sinistra e ottieni \(mx - y + k = 0\). Confrontandola con la forma implicita \(ax + by + c = 0\) si ha \(a = m\), \(b = -1\) e \(c = k\), quindi il denominatore diventa \(\sqrt{m^2 + (-1)^2} = \sqrt{m^2 + 1}\).
Quindi non c’è nessuna formula nuova da memorizzare. Riscrivi la retta in forma implicita e usa la stessa formula. Quando in questa calcolatrice scegli «forma esplicita», la retta viene prima riscritta in forma implicita e i passaggi mostrano come.
Una retta verticale (parallela all’asse \(y\), come \(x = 3\)) non ha un coefficiente angolare \(m\) definito, quindi non si può scrivere come \(y = mx + k\). Per una retta così usa la forma implicita e scrivi \(a = 1\), \(b = 0\), \(c = -3\).
Coordinate del piede della perpendicolare \(\mathrm{H}\)
Figura
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(\mathrm{H}\)
\(=\)
\(\left(x_0,\ y_0\right)\)
\(-\)
\(t\,(a,\ b)\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
③
\(\mathrm{H}\): piede della perpendicolare
\(=\)
①
\((x_0 ;\ y_0)\): coordinate di \(\mathrm{P}\)
\(-\)
②
vettore normale \((a ;\ b)\) moltiplicato per \(t\)
La formula a parole
①
Poni il fattore di scala \(t = \dfrac{ax_0 + by_0 + c}{a^2 + b^2}\). Parti dalle
coordinate \((x_0 ;\ y_0)\) di \(\mathrm{P}\)
②
sottrai il
vettore normale \((a ;\ b)\) moltiplicato per \(t\)
③
e ottieni le
coordinate del piede della perpendicolare \(\mathrm{H}\)
Un esempio semplice
Il piede della perpendicolare da \(\mathrm{P}(4 ;\ 3)\) alla retta \(x + 2y - 3 = 0\) (\(t = \dfrac{7}{5}\)) è
piede della perpendicolare \(\mathrm{H}\)
\(=\)
coordinate di \(\mathrm{P}\) (\((4 ;\ 3)\))
\(-\)
vettore normale moltiplicato per \(\dfrac{7}{5}\) (\(\left(\dfrac{7}{5} ;\ \dfrac{14}{5}\right)\))
\(t = \dfrac{1 \times 4 + 2 \times 3 + (-3)}{1^{2} + 2^{2}} = \dfrac{7}{5}\)
\(\mathrm{H} = \left(4 - \dfrac{7}{5} \times 1 ;\ \ 3 - \dfrac{7}{5} \times 2\right) = \left(\dfrac{13}{5} ;\ \dfrac{1}{5}\right)\)
L’idea chiave
Se ti muovi dritto da \(\mathrm{P}\) in direzione parallela al vettore normale \(\vec{n} = (a ;\ b)\), incontri sempre la retta. Il punto in cui la incontri è il piede della perpendicolare \(\mathrm{H}\). Come mostra la sottrazione in \(\mathrm{H} = (x_0 ;\ y_0) - t\,(a ;\ b)\), il fattore di scala \(t\) dice di quante copie di \(\vec{n}\) devi tornare indietro per raggiungere la retta. Se \(t\) è positivo ti muovi nel verso opposto a \(\vec{n}\); se \(t\) è negativo ti muovi nello stesso verso di \(\vec{n}\).
Il numeratore di \(t\) è uguale al numeratore della formula della distanza (prima di prendere il valore assoluto) e il denominatore è \(a^2 + b^2\), cioè \(|\vec{n}|^2\). La formula della distanza divide per \(|\vec{n}|\) una sola volta, ma qui dividiamo due volte, e c’è un motivo. Devi spostarti della distanza \(d\) e una copia di \(\vec{n}\) è lunga \(|\vec{n}|\), quindi il fattore di scala è \(d \div |\vec{n}|\). Mettici \(d = \dfrac{\left|ax_0 + by_0 + c\right|}{|\vec{n}|}\) e dividi due volte per \(|\vec{n}|\).
Una volta noto il piede della perpendicolare, il punto simmetrico di \(\mathrm{P}\) rispetto alla retta è semplicemente \(2\mathrm{H} - \mathrm{P}\). Nei problemi di geometria questo punto simmetrico è spesso la chiave della soluzione.
Distanza tra due rette parallele
Figura
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(d\)
\(=\)
\(\left|c_1 - c_2\right|\)
\(\div\)
\(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
③
\(d\): distanza tra le rette
\(=\)
①
\(|c_1 - c_2|\): differenza assoluta dei termini noti
\(\div\)
②
\(\sqrt{a^2 + b^2}\): lunghezza del vettore normale
La formula a parole
①
Per due rette \(ax + by + c_1 = 0\) e \(ax + by + c_2 = 0\) con gli stessi coefficienti di \(x\) e di \(y\), prendi la
differenza assoluta dei termini noti \(|c_1 - c_2|\)
②
dividila per la
lunghezza del vettore normale \(\sqrt{a^2 + b^2}\)
③
e ottieni la
distanza \(d\) tra le rette
Un esempio semplice
La distanza tra le rette \(x + 2y - 3 = 0\) e \(x + 2y + 7 = 0\) è
distanza \(d\) tra le rette
\(=\)
differenza assoluta dei termini noti (\(|-3 - 7| = 10\))
\(\div\)
lunghezza del vettore normale (\(\sqrt{5}\))
\(d = \dfrac{\left|(-3) - 7\right|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2}}} = \dfrac{10}{\sqrt{5}} = 2\sqrt{5} \approx 4{,}47\)
L’idea chiave
Due rette sono parallele o no a seconda del rapporto tra i loro coefficienti di \(x\) e di \(y\). Per \(a_1x + b_1y + c_1 = 0\) e \(a_2x + b_2y + c_2 = 0\), sono parallele quando \(a_1b_2 - a_2b_1 = 0\). (È solo «i rapporti sono uguali» scritto come moltiplicazione, e funziona anche quando un coefficiente è 0.) Per esempio, \(2x + 4y - 6 = 0\) e \(x + 2y + 7 = 0\) soddisfano questa condizione, quindi sono parallele. Ma il numeratore di questa formula funziona solo quando i coefficienti coincidono esattamente, quindi prima moltiplica un’equazione per un numero in modo che i coefficienti di \(x\) e di \(y\) siano gli stessi. Questa calcolatrice prende una sola coppia di coefficienti di \(x\) e di \(y\) e due termini noti, quindi non puoi dimenticare questo passaggio.
La distanza tra due rette parallele è la stessa dovunque scegli un punto su una di esse. Quindi scegli un punto qualsiasi su una retta e trova la sua distanza dall’altra con la formula punto-retta, e questa formula ne segue subito. Un punto di \(ax + by + c_1 = 0\) soddisfa \(ax_0 + by_0 = -c_1\), quindi \(|ax_0 + by_0 + c_2| = |c_2 - c_1|\).
Se \(c_1\) e \(c_2\) sono uguali, le due equazioni descrivono la stessa retta e la distanza è 0. Due rette che non sono parallele si incontrano sempre in un punto, quindi tra loro non c’è nessuno spazio e la loro distanza è 0. Per questo questa formula vale solo per rette parallele.
Per trovare la distanza di un punto \(\mathrm{P}(x_0 ;\ y_0)\) da una retta \(ax + by + c = 0\), sostituisci il punto nell’equazione, prendi il valore assoluto \(|ax_0 + by_0 + c|\) e dividilo per la lunghezza \(\sqrt{a^2 + b^2}\) del vettore normale \((a ;\ b)\). Questa distanza è la lunghezza della perpendicolare dal punto alla retta e il piede della perpendicolare è \(\mathrm{H} = (x_0 - ta ;\ y_0 - tb)\), dove \(t = \dfrac{ax_0 + by_0 + c}{a^2 + b^2}\).
Simboli e termini
Simboli
| \(d\) | di | Una lettera usata spesso per la distanza, dall’iniziale di «distanza». In questa pagina è la distanza del punto dalla retta (la lunghezza della perpendicolare). |
| \(a,\ b,\ c\) | a, b, c | I coefficienti della retta \(ax + by + c = 0\). \(a\) è il numero davanti a \(x\), \(b\) il numero davanti a \(y\) e \(c\) il termine fatto solo di un numero (il termine noto). Di solito per i numeri fissati si usano le lettere di inizio alfabeto. |
| \(x_0,\ y_0\) | x zero, y zero | Le coordinate del punto \(\mathrm{P}\) da cui misuri. Lo 0 piccolo in basso a destra è un pedice: indica che è la coordinata di un punto fissato, non la variabile \(x\). |
| \(\mathrm{P},\ \mathrm{H},\ \mathrm{A}\) | pi, acca, a | I nomi dei punti. \(\mathrm{P}\) sta per «punto». \(\mathrm{H}\) è una lettera usata spesso per il piede della perpendicolare (pensa al piede di un’altezza). \(\mathrm{A}\) è un punto ausiliario preso sulla retta. |
| \(\left|\ \right|\) | valore assoluto | Il segno del valore assoluto. Un numero positivo resta com’è; un numero negativo perde il segno meno (\(|-7| = 7\)). Una distanza non è mai negativa, quindi la formula prende il valore assoluto del valore sostituito. |
| \(\sqrt{\ }\) | radice quadrata | Il segno della radice quadrata: il numero (maggiore o uguale a 0) che, elevato al quadrato, dà il numero sotto il segno. \(\sqrt{5}\) è il numero il cui quadrato è 5. Si dice che il segno derivi da una lettera r allungata, da «radix» (radice). |
| \(\vec{n}\) | vettore n | Il vettore normale: un vettore che punta in direzione perpendicolare alla retta. La lettera n viene da «normale» (perpendicolare). Per la retta \(ax + by + c = 0\), \(\vec{n} = (a ;\ b)\). |
| \(\left|\vec{n}\right|\) | modulo del vettore n | Il modulo di un vettore (la lunghezza della freccia). Per \(\vec{n} = (a ;\ b)\), \(|\vec{n}| = \sqrt{a^2 + b^2}\). È il denominatore della formula della distanza. |
| \(\vec{n}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AP}}\) | n scalare AP | Il prodotto scalare di due vettori: moltiplica le componenti corrispondenti e somma (per \((a ;\ b)\) e \((p ;\ q)\) è \(ap + bq\)). Mostra quanto le due direzioni sono allineate. Il puntino è un’operazione diversa dalla moltiplicazione ordinaria. |
| \(t\) | ti | Il fattore di scala che dice di quante copie del vettore normale ti devi muovere da \(\mathrm{P}\) per raggiungere la retta. La lettera \(t\) (da «tempo») si usa comunemente per un numero che può variare così. |
| \(m,\ k\) | emme, k | Il coefficiente angolare e l’intercetta con l’asse y nella forma esplicita \(y = mx + k\). \(m\) è la lettera usuale per il coefficiente angolare. Nelle scuole italiane l’intercetta si scrive di solito \(q\) (\(y = mx + q\)), ma in questa pagina si usa \(k\) per non confonderla con la \(b\) della forma implicita. |
| \(c_1,\ c_2\) | c uno, c due | I termini noti delle due rette parallele. I piccoli numeri in basso a destra sono pedici che distinguono la prima retta dalla seconda. |
| \(\ell_1,\ \ell_2\) | elle uno, elle due | I nomi delle rette. Per le rette si usa comunemente una lettera corsiva \(\ell\), dall’iniziale di «linea». |
Termini
| distanza di un punto da una retta | La lunghezza della perpendicolare dal punto alla retta. È più corta della distanza da ogni altro punto della retta, quindi è anche la distanza minima tra il punto e la retta. Si studia di solito nella geometria analitica della scuola secondaria di secondo grado (14-19 anni). |
| perpendicolare | Una retta o un segmento che incontra un’altra retta ad angolo retto. Se conduci la perpendicolare da un punto a una retta, la sua lunghezza è la distanza del punto dalla retta. |
| piede della perpendicolare | Il punto in cui la perpendicolare da un punto incontra la retta di partenza. È il punto della retta più vicino a quel punto. |
| forma implicita | Scrivere l’equazione di una retta come \(ax + by + c = 0\). Anche le rette verticali (come \(x = 3\)) si possono scrivere così, quindi ogni retta ha la stessa forma. |
| forma esplicita | Scrivere l’equazione di una retta come \(y = mx + k\) (nelle scuole italiane di solito \(y = mx + q\)). Si vedono a colpo d’occhio il coefficiente angolare e dove la retta incontra l’asse \(y\), ma le rette verticali non si possono scrivere così. |
| vettore normale | Un vettore che punta in direzione perpendicolare a una retta (o a un piano). Il vettore normale della retta \(ax + by + c = 0\) è \((a ;\ b)\). La formula della distanza punto-retta trova la lunghezza misurata nella direzione di questo vettore normale. |
| prodotto scalare | Un calcolo che dà un solo numero a partire da due vettori: moltiplica le componenti corrispondenti e somma (\((a ;\ b)\cdot(p ;\ q) = ap + bq\)). È anche uguale a \(|\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta\). Se è 0, i due vettori sono perpendicolari. |
| proiezione ortogonale | L’ombra di un vettore proiettata dritta sulla direzione di un altro vettore. La distanza di un punto da una retta è la lunghezza dell’ombra di \(\overrightarrow{\mathrm{AP}}\) nella direzione del vettore normale. |
| valore assoluto | La grandezza di un numero senza il suo segno. È la distanza da 0 sulla retta dei numeri (\(|-7| = 7\), \(|7| = 7\)). Una distanza non è mai negativa, quindi la formula usa il valore assoluto. |
| razionalizzazione del denominatore | Eliminare una radice dal denominatore moltiplicando numeratore e denominatore per lo stesso numero. Per esempio, moltiplica entrambi i termini di \(\dfrac{7}{\sqrt{5}}\) per \(\sqrt{5}\) e ottieni \(\dfrac{7\sqrt{5}}{5}\). Si studia nella scuola secondaria di primo e di secondo grado, e le risposte finali si scrivono di solito così. |
| parallelo | Due rette che non si incontrano mai, per quanto le prolunghi. Per \(a_1x + b_1y + c_1 = 0\) e \(a_2x + b_2y + c_2 = 0\), le rette sono parallele o coincidenti quando i rapporti tra i coefficienti di \(x\) e di \(y\) sono uguali (come equazione, \(a_1b_2 - a_2b_1 = 0\)). Se anche i termini noti seguono lo stesso rapporto, le due rette sono sovrapposte. |
| punto simmetrico | Il punto che ottieni ribaltando un punto rispetto a una retta, come in un’immagine allo specchio. Una volta noto il piede della perpendicolare \(\mathrm{H}\), il simmetrico di \(\mathrm{P}\) è \(2\mathrm{H} - \mathrm{P}\). |
| piano cartesiano | Un piano con un asse \(x\) e un asse \(y\), in cui ogni punto si scrive come una coppia \((x ;\ y)\). Permette di trasformare i problemi di geometria in calcoli. |
Cosa conviene sapere prima
Ecco che cosa ti aiuta a usare il calcolo di questa pagina capendolo davvero, e non solo premendo il pulsante.
Se ti blocchi, tornare a ripassare questi argomenti è la strada più veloce.
| Il piano cartesiano e le coordinate dei punti (scuola secondaria di primo grado, 11-14 anni) |
|
| Equazioni delle rette (scuola secondaria di primo grado e primo biennio della secondaria di secondo grado, 13-16 anni) |
|
| Radici quadrate e razionalizzazione del denominatore (scuola secondaria di primo e di secondo grado, 13-16 anni) |
|
| Valore assoluto (scuola secondaria di primo grado, 11-14 anni) |
|
| Il teorema di Pitagora e la formula della distanza (scuola secondaria di primo grado e primo biennio della secondaria di secondo grado, 11-16 anni) |
|
| Vettori e prodotto scalare (scuola secondaria di secondo grado, 14-19 anni) |
|
Come calcolarlo con Excel
Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Excel. Funziona così com’è.
Tabella per trovare la distanza di un punto da una retta
| Coefficiente a di x | 1 |
| Coefficiente b di y | 2 |
| Termine noto c | -3 |
| Ascissa di P | 4 |
| Ordinata di P | 3 |
| Numeratore |a*x0+b*y0+c| | =ASS(B1*B4+B2*B5+B3) |
| Denominatore √(a^2+b^2) | =RADQ(B1^2+B2^2) |
| Distanza d | =B6/B7 |
Tabella per verificare la spiegazione con il vettore normale
| Coefficiente a di x | 1 |
| Coefficiente b di y | 2 |
| Ascissa del punto A sulla retta | 3 |
| Ordinata del punto A sulla retta | 0 |
| Ascissa di P | 4 |
| Ordinata di P | 3 |
| Prodotto scalare n·AP | =B1*(B5-B3)+B2*(B6-B4) |
| Lunghezza del vettore normale |n| | =RADQ(B1^2+B2^2) |
| Distanza d | =ASS(B7)/B8 |
Tabella per trovare la distanza con la forma esplicita
| Coefficiente angolare m | 2 |
| Intercetta k | 1 |
| Ascissa di P | 4 |
| Ordinata di P | 3 |
| Distanza d | =ASS(B1*B3-B4+B2)/RADQ(B1^2+1) |
Tabella per trovare il piede della perpendicolare H
| Coefficiente a di x | 1 |
| Coefficiente b di y | 2 |
| Termine noto c | -3 |
| Ascissa di P | 4 |
| Ordinata di P | 3 |
| Fattore di scala t | =(B1*B4+B2*B5+B3)/(B1^2+B2^2) |
| Ascissa di H | =B4-B1*B6 |
| Ordinata di H | =B5-B2*B6 |
Tabella per trovare la distanza tra rette parallele
| Coefficiente a di x | 1 |
| Coefficiente b di y | 2 |
| Termine noto c1 della 1ª retta | -3 |
| Termine noto c2 della 2ª retta | 7 |
| Distanza d | =ASS(B3-B4)/RADQ(B1^2+B2^2) |
Dopo averla incollata, le righe in alto (coefficienti e coordinate) sono i dati da inserire e le righe in basso si calcolano da sole.
«^» è la potenza, ASS dà il valore assoluto e RADQ dà la radice quadrata.
La prima tabella è l’esempio del punto (4 ; 3) e della retta x + 2y - 3 = 0. Il numeratore è 7, il denominatore è circa 2,2360679775 e la distanza è circa 3,1304951685.
La seconda tabella verifica che si ottiene la stessa distanza da «prodotto scalare tra il vettore normale e AP ÷ lunghezza del vettore normale». Il prodotto scalare è 7 e la distanza è circa 3,1304951685, la stessa della prima tabella.
La terza tabella è l’esempio del punto (4 ; 3) e della retta y = 2x + 1. La distanza è circa 2,683281573.
La quarta tabella dà 1,4, 2,6 e 0,2, quindi il piede della perpendicolare è (2,6 ; 0,2) = (13/5 ; 1/5).
La quinta tabella è la distanza tra x + 2y - 3 = 0 e x + 2y + 7 = 0. La risposta è circa 4,472135955.
«^» è la potenza, ASS dà il valore assoluto e RADQ dà la radice quadrata.
La prima tabella è l’esempio del punto (4 ; 3) e della retta x + 2y - 3 = 0. Il numeratore è 7, il denominatore è circa 2,2360679775 e la distanza è circa 3,1304951685.
La seconda tabella verifica che si ottiene la stessa distanza da «prodotto scalare tra il vettore normale e AP ÷ lunghezza del vettore normale». Il prodotto scalare è 7 e la distanza è circa 3,1304951685, la stessa della prima tabella.
La terza tabella è l’esempio del punto (4 ; 3) e della retta y = 2x + 1. La distanza è circa 2,683281573.
La quarta tabella dà 1,4, 2,6 e 0,2, quindi il piede della perpendicolare è (2,6 ; 0,2) = (13/5 ; 1/5).
La quinta tabella è la distanza tra x + 2y - 3 = 0 e x + 2y + 7 = 0. La risposta è circa 4,472135955.
Come calcolarlo con Fogli Google
Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Fogli Google. Funziona così com’è.
Tabella per trovare la distanza di un punto da una retta
| Coefficiente a di x | 1 |
| Coefficiente b di y | 2 |
| Termine noto c | -3 |
| Ascissa di P | 4 |
| Ordinata di P | 3 |
| Numeratore |a*x0+b*y0+c| | =ASS(B1*B4+B2*B5+B3) |
| Denominatore √(a^2+b^2) | =RADQ(B1^2+B2^2) |
| Distanza d | =B6/B7 |
Tabella per verificare la spiegazione con il vettore normale
| Coefficiente a di x | 1 |
| Coefficiente b di y | 2 |
| Ascissa del punto A sulla retta | 3 |
| Ordinata del punto A sulla retta | 0 |
| Ascissa di P | 4 |
| Ordinata di P | 3 |
| Prodotto scalare n·AP | =B1*(B5-B3)+B2*(B6-B4) |
| Lunghezza del vettore normale |n| | =RADQ(B1^2+B2^2) |
| Distanza d | =ASS(B7)/B8 |
Tabella per trovare la distanza con la forma esplicita
| Coefficiente angolare m | 2 |
| Intercetta k | 1 |
| Ascissa di P | 4 |
| Ordinata di P | 3 |
| Distanza d | =ASS(B1*B3-B4+B2)/RADQ(B1^2+1) |
Tabella per trovare il piede della perpendicolare H
| Coefficiente a di x | 1 |
| Coefficiente b di y | 2 |
| Termine noto c | -3 |
| Ascissa di P | 4 |
| Ordinata di P | 3 |
| Fattore di scala t | =(B1*B4+B2*B5+B3)/(B1^2+B2^2) |
| Ascissa di H | =B4-B1*B6 |
| Ordinata di H | =B5-B2*B6 |
Tabella per trovare la distanza tra rette parallele
| Coefficiente a di x | 1 |
| Coefficiente b di y | 2 |
| Termine noto c1 della 1ª retta | -3 |
| Termine noto c2 della 2ª retta | 7 |
| Distanza d | =ASS(B3-B4)/RADQ(B1^2+B2^2) |
Le formule sono le stesse di Excel e funzionano così come sono. Copia tutta la tabella, incollala nella cella A1 e sostituisci i coefficienti e le coordinate con i tuoi numeri.
Come calcolarlo con Python
from fractions import Fraction
# Retta ax + by + c = 0 (una frazione come 3/4 si scrive Fraction(3, 4))
a = Fraction(1)
b = Fraction(2)
c = Fraction(-3)
# Coordinate del punto P
x0 = Fraction(4)
y0 = Fraction(3)
# Il punto sostituito nell’equazione (con il suo segno) e il quadrato della lunghezza del vettore normale
substituted = a * x0 + b * y0 + c
square = a * a + b * b
distance = abs(float(substituted)) / float(square) ** 0.5
print(f"Numeratore |a*x0+b*y0+c| = {abs(substituted)}")
print(f"Denominatore √(a^2+b^2) = √{square}")
print(f"Distanza d = {distance}")
# Piede della perpendicolare H (torna indietro di t volte il vettore normale)
t = substituted / square
foot_x = x0 - a * t
foot_y = y0 - b * t
print(f"Fattore di scala t = {t}")
print(f"Piede della perpendicolare H = ({foot_x}, {foot_y})")
Con il modulo fractions della libreria standard il numeratore, il denominatore e il piede della perpendicolare si calcolano come frazioni esatte, senza errori di arrotondamento. Questo esempio trova la distanza del punto (4 ; 3) dalla retta x + 2y - 3 = 0. Eseguendolo, mostra il numeratore 7, il denominatore √5, la distanza, circa 3,13, il fattore di scala t = 7/5 e il piede della perpendicolare (13/5, 1/5). Cambia i coefficienti e le coordinate ed eseguilo di nuovo.
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
Distanza di un punto da una retta
d = |a·x₀ + b·y₀ + c| ÷ √(a² + b²)
d = \frac{\left|a x_0 + b y_0 + c\right|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>d</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mo>|</mo>
<mi>a</mi><msub><mi>x</mi><mn>0</mn></msub>
<mo>+</mo>
<mi>b</mi><msub><mi>y</mi><mn>0</mn></msub>
<mo>+</mo>
<mi>c</mi>
<mo>|</mo>
</mrow>
<msqrt>
<mrow>
<msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo>
<msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</msqrt>
</mfrac>
</mrow>
</math>
d = abs(a*x_0 + b*y_0 + c)/sqrt(a^2 + b^2)
d = Abs[a x0 + b y0 + c]/Sqrt[a^2 + b^2]
d := abs(a*x0 + b*y0 + c)/sqrt(a^2 + b^2);
d = abs(a*x0 + b*y0 + c)/sqrt(a^2 + b^2);
d = |a x_0+b y_0+c|/√(a^2+b^2)
Perché questa formula dà la distanza (con il vettore normale)
d = |n·AP| ÷ |n|
d = \frac{\left|\vec{n}\cdot\overrightarrow{\mathrm{AP}}\right|}{\left|\vec{n}\right|}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>d</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mo>|</mo>
<mover><mi>n</mi><mo>→</mo></mover>
<mo>⋅</mo>
<mover><mrow><mi>A</mi><mi>P</mi></mrow><mo>→</mo></mover>
<mo>|</mo>
</mrow>
<mrow>
<mo>|</mo>
<mover><mi>n</mi><mo>→</mo></mover>
<mo>|</mo>
</mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
d = abs(vec n * vec(AP))/abs(vec n)
d = Abs[n . ap]/Norm[n]
d := abs(DotProduct(n, ap))/Norm(n, 2);
d = abs(dot(n, ap))/norm(n);
d = |n\vec ∙AP\vec |/|n\vec |
Distanza quando la retta è in forma esplicita \(y = mx + k\)
d = |m·x₀ − y₀ + k| ÷ √(m² + 1)
d = \frac{\left|m x_0 - y_0 + k\right|}{\sqrt{m^{2} + 1}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>d</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mo>|</mo>
<mi>m</mi><msub><mi>x</mi><mn>0</mn></msub>
<mo>−</mo>
<msub><mi>y</mi><mn>0</mn></msub>
<mo>+</mo>
<mi>k</mi>
<mo>|</mo>
</mrow>
<msqrt>
<mrow>
<msup><mi>m</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo>
<mn>1</mn>
</mrow>
</msqrt>
</mfrac>
</mrow>
</math>
d = abs(m*x_0 - y_0 + k)/sqrt(m^2 + 1)
d = Abs[m x0 - y0 + k]/Sqrt[m^2 + 1]
d := abs(m*x0 - y0 + k)/sqrt(m^2 + 1);
d = abs(m*x0 - y0 + k)/sqrt(m^2 + 1);
d = |m x_0-y_0+k|/√(m^2+1)
Coordinate del piede della perpendicolare \(\mathrm{H}\)
H = (x₀ − t·a ; y₀ − t·b) t = (a·x₀ + b·y₀ + c) ÷ (a² + b²)
\mathrm{H} = \left(x_0 - t a ;\ y_0 - t b\right),\quad t = \frac{a x_0 + b y_0 + c}{a^{2} + b^{2}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi mathvariant="normal">H</mi>
<mo>=</mo>
<mo>(</mo>
<mrow><msub><mi>x</mi><mn>0</mn></msub><mo>−</mo><mi>t</mi><mi>a</mi></mrow>
<mo>,</mo>
<mrow><msub><mi>y</mi><mn>0</mn></msub><mo>−</mo><mi>t</mi><mi>b</mi></mrow>
<mo>)</mo>
<mo>,</mo>
<mi>t</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mi>a</mi><msub><mi>x</mi><mn>0</mn></msub>
<mo>+</mo>
<mi>b</mi><msub><mi>y</mi><mn>0</mn></msub>
<mo>+</mo>
<mi>c</mi>
</mrow>
<mrow>
<msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo>
<msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
H = (x_0 - t*a, y_0 - t*b), t = (a*x_0 + b*y_0 + c)/(a^2 + b^2)
t = (a x0 + b y0 + c)/(a^2 + b^2); h = {x0 - t a, y0 - t b}
t := (a*x0 + b*y0 + c)/(a^2 + b^2); H := [x0 - t*a, y0 - t*b];
t = (a*x0 + b*y0 + c)/(a^2 + b^2); H = [x0 - t*a, y0 - t*b];
H = (x_0-t a, y_0-t b), t = (a x_0+b y_0+c)/(a^2+b^2)
Distanza tra due rette parallele
d = |c₁ − c₂| ÷ √(a² + b²)
d = \frac{\left|c_1 - c_2\right|}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>d</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mo>|</mo>
<msub><mi>c</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>−</mo>
<msub><mi>c</mi><mn>2</mn></msub>
<mo>|</mo>
</mrow>
<msqrt>
<mrow>
<msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo>
<msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</msqrt>
</mfrac>
</mrow>
</math>
d = abs(c_1 - c_2)/sqrt(a^2 + b^2)
d = Abs[c1 - c2]/Sqrt[a^2 + b^2]
d := abs(c1 - c2)/sqrt(a^2 + b^2);
d = abs(c1 - c2)/sqrt(a^2 + b^2);
d = |c_1-c_2|/√(a^2+b^2)
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
Sei un assistente di matematica per la geometria analitica. Esegui il calcolo seguente eseguendo davvero codice Python e basa la risposta solo sui numeri del risultato dell’esecuzione (non rispondere con il calcolo a mente né a intuito). Per il punto (4 ; 3) e la retta x + 2y - 3 = 0, trova: 1. La distanza del punto dalla retta (come valore esatto con il denominatore razionalizzato e come numero decimale) 2. Le coordinate del piede della perpendicolare dal punto alla retta (come frazioni ridotte) 3. L’equazione di quella perpendicolare (la retta passante per il punto e perpendicolare alla retta data) In Python usa il modulo fractions della libreria standard e sympy per calcolare in modo esatto. Mostra le formule usate e i numeri del risultato dell’esecuzione.
Come si usa
-
1Inserisci i numeriScrivi nei campi i numeri con cui vuoi fare il calcolo
-
2CalcolaFai clic sul pulsante «Calcola»
-
3Guarda il risultatoIl risultato compare subito. Nella stessa pagina trovi anche lo svolgimento del calcolo e la spiegazione della formula
I punti di forza di DataChef
Semplice e gratuito
Conversioni gratuite e illimitate
Nessuna competenza richiesta, semplice e intuitivo
Nessuna competenza richiesta, semplice e intuitivo
Senza registrazione
Pronto all'uso appena apri la pagina
Nessun dato personale richiesto
Nessun dato personale richiesto
Sicuro e affidabile
Connessione fortemente crittografata (SSL)
Il file viene eliminato automaticamente dopo il download
Il file viene eliminato automaticamente dopo il download
Veloce
Visualizzazione e conversione rapide, senza attese
Senza filigrana
Nessuna filigrana
Nessun obbligo di attribuzione
Nessun obbligo di attribuzione
Uso commerciale consentito
Uso commerciale gratuito
Nessuna autorizzazione preventiva necessaria
Nessuna autorizzazione preventiva necessaria
Funzioni correlate
Calcolatrice del coefficiente angolare (pendenza di una retta, distanza e angolo)
Calcola il coefficiente angolare, la distanza, l’angolo e l’equazione della retta da due punti
Calcolatrice della distanza tra due punti (formula della distanza, coefficiente angolare ed equazione della retta)
Calcola la lunghezza del segmento tra due punti e l’equazione della retta che passa per essi
Calcolatrice di vettori (somma, differenza, modulo, prodotto scalare e angolo)
Calcola somma, differenza, multiplo, modulo, prodotto scalare, angolo e versore di vettori dati per componenti
