Scrivi il coefficiente a e scegli che cosa calcolare (la modalità). Per l’immagine di y o per il rapporto incrementale scrivi l’intervallo di x, cioè p e q. Per il valore di y scrivi un valore di x.
Puoi usare numeri decimali, numeri negativi e frazioni come 1/2. I campi cambiano da soli in base alla modalità.
Risultato e grafico
Scrivi il coefficiente a e l’intervallo di x (o un valore di x) nei campi a sinistra e fai clic su «Calcola». Qui compaiono il risultato e il grafico.
Indice
-
Cosa puoi fare in questa pagina
-
A cosa serve questo calcolo?
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Come si usa
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Formule e grafici
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Simboli e termini
-
Cosa conviene sapere prima
-
Come calcolarlo con Excel
-
Come calcolarlo con Fogli Google
-
Come calcolarlo con Python
-
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
-
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
-
I punti di forza di DataChef
-
Funzioni correlate
-
Tutte le calcolatrici di NumberChef
Cosa puoi fare in questa pagina
- Per la funzione quadratica \(y = ax^{2}\), trova l’immagine di y per un dominio di x, \(p \le x \le q\). I passaggi spiegano anche i due casi: il dominio contiene o non contiene lo 0 (se lo contiene, il minimo o il massimo è 0, nel vertice)
- Trova il rapporto incrementale quando x passa da \(p\) a \(q\), sia con la definizione \(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\) (incremento di y ÷ incremento di x), con i passaggi, sia con la scorciatoia \(a(p+q)\)
- Trova il valore di y per un valore di x (un punto del grafico)
- Il coefficiente a può essere un numero intero, un numero decimale o una frazione come 1/2
- La parabola è disegnata nel grafico. Nella modalità dell’immagine sono evidenziati il tratto relativo al dominio e l’immagine di y; nella modalità del rapporto incrementale è disegnata la retta che passa per i due punti. In questa pagina trovi anche la spiegazione chiara delle formule, le formule da copiare e incollare per Excel, Fogli Google e Python
Questa pagina riguarda \(y = ax^{2}\), che ha il vertice nell’origine. Per il vertice e il massimo o minimo della forma generale \(y = ax^{2} + bx + c\) usa la pagina correlata «Calcolatrice del completamento del quadrato».
A cosa serve questo calcolo?
La traiettoria di una palla lanciata
Se trascuri la resistenza dell’aria, una palla lanciata in obliquo segue una parabola (il grafico di \(y = ax^{2}\), spostato in un altro punto).
Un pallone calciato in alto, un tiro a canestro e l’acqua di una fontana seguono questa forma, e questa funzione si usa per simulare gli sport e per muovere le palle nei videogiochi.
La distanza di un oggetto in caduta cresce con il quadrato del tempo (caduta libera)
Se trascuri la resistenza dell’aria, la distanza percorsa da un oggetto lasciato cadere è direttamente proporzionale al quadrato del tempo trascorso da quando è stato lasciato. Con la distanza in metri e il tempo in secondi, la costante è circa 4,9, e si ottiene la funzione quadratica \(y = 4{,}9x^{2}\).
Circa 4,9 metri in 1 secondo, circa 19,6 metri in 2 secondi: raddoppiando il tempo, la distanza diventa quattro volte più grande. Questa legge, scoperta da Galileo Galilei, è il punto di partenza dei calcoli sul moto in fisica.
La distanza di frenata di un’auto cresce con il quadrato della velocità (sicurezza stradale)
La distanza che un’auto percorre dal momento in cui si frena fino a fermarsi (la distanza di frenata) è, come è noto, circa proporzionale al quadrato della velocità. Se raddoppi la velocità, la distanza di frenata diventa circa quattro volte più lunga.
Questa proporzionalità quadratica è la ragione matematica per cui andare troppo veloce è pericoloso. Se ne parla anche nella preparazione all’esame di teoria della patente ed è un uso di questa funzione che riguarda direttamente la sicurezza.
Antenne paraboliche e riflettori (concentrare onde radio o luce in un punto)
La forma che si ottiene facendo ruotare una parabola attorno al suo asse (un paraboloide) ha una proprietà speciale: le onde radio o la luce che arrivano parallele all’asse si incontrano tutte in un punto, il fuoco.
Le antenne paraboliche della TV satellitare e i radiotelescopi la usano per raccogliere onde radio deboli. Le torce e i fari delle auto la usano al contrario, per mandare la luce in un fascio dritto.
La forza del vento cresce con il quadrato della velocità del vento (tempeste ed edifici)
La forza con cui il vento spinge un oggetto (la pressione del vento) è circa proporzionale al quadrato della velocità del vento. Se la velocità del vento raddoppia, la forza diventa circa quattro volte più grande. Per questo i danni aumentano così in fretta quando i venti di una tempesta diventano appena più veloci.
Quando progettano edifici e ponti, gli ingegneri usano questa proporzionalità quadratica per stimare la pressione del vento dalla velocità attesa e decidere quanto deve essere resistente la struttura.
Formule e grafici
La funzione quadratica \(y = ax^{2}\)
Grafico
Notazione matematica
(la notazione abituale)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
\(y\)
\(=\)
\(a\)
\(\times\)
\(x^{2}\)
③
valore di \(y\)
\(=\)
②
\(a\): coefficiente
\(\times\)
①
\(x^{2}\): il quadrato di \(x\)
La formula a parole
①
Prendi
\(x^{2}\): il quadrato di \(x\)
②
moltiplicalo per il
\(a\): coefficiente
③
e ottieni il
valore di \(y\)
Un esempio semplice
Per \(y = 2x^{2}\), il valore di \(y\) quando \(x = 3\) è
valore di \(y\)
\(=\)
coefficiente (2)
\(\times\)
3 al quadrato (9)
\(y = 2 \times 3^{2} = 2 \times 9 = 18\)
L’idea chiave
\(y = ax^{2}\) è una funzione in cui «y è direttamente proporzionale al quadrato di x» (proporzionalità quadratica). È la proporzionalità diretta \(y = ax\) con \(x\) sostituito da \(x^{2}\), quindi anche qui \(a\) si può chiamare costante di proporzionalità.
Il grafico è una curva liscia (una parabola) con il vertice nell’origine (0 ; 0). Se \(a > 0\), ha la concavità verso l’alto; se \(a < 0\), ha la concavità verso il basso. Più grande è il valore assoluto di \(a\), più stretta (più ripida) è la parabola.
Quando calcoli, ricorda l’ordine: prima il quadrato, poi la moltiplicazione. Per elevare al quadrato un numero negativo mettilo tra parentesi, come in \(\left(-3\right)^{2} = 9\).
Immagine di y (quando il dominio contiene \(0\), con \(a > 0\))
Grafico
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(0\)
\(\le\)
\(y\)
\(\le\)
\(am^{2}\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
②
\(0\): coordinata \(y\) del vertice (minimo)
\(\le\)
③
\(y\): valori di \(y\) sul dominio
\(\le\)
①
\(am^{2}\): valore nell’estremo \(m\) più lontano da \(0\) (massimo)
La formula a parole
①
Sia \(m\) l’estremo del dominio, tra \(p\) e \(q\), più lontano da \(0\) (quello con il valore assoluto maggiore). Il massimo è il
\(am^{2}\): valore nell’estremo \(m\) più lontano da \(0\)
②
il minimo non è un valore agli estremi, ma la
\(0\): coordinata \(y\) del vertice
③
quindi i
\(y\): valori di \(y\) sul dominio
sono maggiori o uguali a \(0\) e minori o uguali a \(am^{2}\)
Un esempio semplice
Per \(y = x^{2}\) con il dominio \(-1 \le x \le 2\) (l’estremo più lontano da \(0\) è \(m = 2\))
coordinata \(y\) del vertice (0)
\(\le\)
valore di \(y\)
\(\le\)
valore per \(x = 2\) (4)
\(x = -1 \Rightarrow y = 1, \quad x = 0 \Rightarrow y = 0, \quad x = 2 \Rightarrow y = 4\)
\(0 \le y \le 4\)
L’idea chiave
Non trovare l’immagine di y sostituendo soltanto i valori agli estremi di x. Il modo giusto è immaginare il tratto di parabola relativo al dominio (il tratto in cui \(p \le x \le q\)) e leggere il valore più basso e quello più alto di y.
Quando il dominio contiene \(x = 0\) (il vertice), il grafico scende fino al vertice (0 ; 0) e poi risale, quindi il minimo è \(0\) e non un valore agli estremi. Con il dominio dell’esempio \(-1 \le x \le 2\), un errore classico è guardare solo i valori agli estremi, \(1\) e \(4\), e rispondere «\(1 \le y \le 4\)».
Quando il dominio non contiene \(0\), su quell’intervallo il grafico è solo crescente o solo decrescente, quindi i valori agli estremi sono il minimo e il massimo.
Quando i due estremi del dominio hanno lo stesso valore assoluto (per esempio \(-2 \le x \le 2\)), \(am^{2}\) è lo stesso in entrambi gli estremi, quindi il massimo si raggiunge in entrambi, \(x = \pm 2\).
Quando \(a < 0\) (la parabola ha la concavità verso il basso) tutto si capovolge: il massimo è \(0\), nel vertice, e il minimo è \(am^{2}\).
Rapporto incrementale (quando \(x\) passa da \(p\) a \(q\))
Grafico
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\)
\(=\)
\(aq^{2} - ap^{2}\)
\(\div\)
\(q - p\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
③
rapporto incrementale
\(=\)
①
\(\Delta y\): incremento di \(y\) (\(y\) finale − \(y\) iniziale)
\(\div\)
②
\(\Delta x\): incremento di \(x\) (\(x\) finale − \(x\) iniziale)
La formula a parole
①
Prendi l’
\(\Delta y\): incremento di \(y\) (la \(y\) finale meno la \(y\) iniziale)
②
dividilo per l’
\(\Delta x\): incremento di \(x\) (la \(x\) finale meno la \(x\) iniziale)
③
e ottieni il
rapporto incrementale
Un esempio semplice
Per \(y = 2x^{2}\) quando x passa da \(1\) a \(3\) (\(y\) passa da \(2\) a \(18\))
rapporto incrementale
\(=\)
incremento di y (18 − 2 = 16)
\(\div\)
incremento di x (3 − 1 = 2)
\(\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{18 - 2}{3 - 1} = \dfrac{16}{2} = 8\)
L’idea chiave
Il rapporto incrementale si trova come per una funzione lineare: incremento di y ÷ incremento di x. Ma c’è una grande differenza. Il rapporto incrementale di una funzione lineare \(y = ax + b\) è il coefficiente angolare \(a\), ovunque lo misuri, mentre il rapporto incrementale di \(y = ax^{2}\) non è costante: dipende da dove parte x e da dove arriva.
Sul grafico, il rapporto incrementale è il coefficiente angolare della retta che passa per i due punti (una retta secante). Una parabola è una curva la cui pendenza cambia da punto a punto, quindi quando cambiano i due punti cambia anche il coefficiente angolare della retta.
Scorciatoia per il rapporto incrementale di \(y = ax^{2}\): \(a(p+q)\)
Notazione matematica
(la notazione abituale)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
\(\dfrac{\Delta y}{\Delta x}\)
\(=\)
\(a\)
\(\times\)
\((p + q)\)
③
rapporto incrementale
\(=\)
②
\(a\): coefficiente
\(\times\)
①
\(p + q\): \(x\) iniziale + \(x\) finale
La formula a parole
①
Prendi
\(p + q\): la \(x\) iniziale più la \(x\) finale
②
moltiplicalo per il
\(a\): coefficiente
③
e ottieni il
rapporto incrementale
Un esempio semplice
Per \(y = 2x^{2}\) quando x passa da \(1\) a \(3\)
rapporto incrementale
\(=\)
coefficiente (2)
\(\times\)
somma di 1 e 3 (4)
\(2 \times (1 + 3) = 2 \times 4 = 8\)
L’idea chiave
Questa formula è una scorciatoia che funziona solo per \(y = ax^{2}\) (vertice nell’origine). L’incremento di y, \(aq^{2} - ap^{2}\), si scompone come \(a(q + p)(q - p)\), quindi dividendo per l’incremento di x, \(q - p\), resta solo \(a(p + q)\).
Calcolare con la definizione (\(\Delta y \div \Delta x\)) dà sempre lo stesso valore. Conviene capire il significato partendo dalla definizione e usare la scorciatoia per controllare il calcolo o risparmiare tempo. Per la forma generale \(y = ax^{2} + bx + c\), la scorciatoia diventa \(a(p+q)+b\).
Il grafico della funzione quadratica \(y = ax^{2}\) è una parabola con il vertice nell’origine (0 ; 0). Non trovare l’immagine di y dai soli valori agli estremi: guarda il tratto di grafico relativo al dominio. Quando il dominio contiene \(x = 0\), il minimo (il massimo se \(a < 0\)) è \(0\), nel vertice. A differenza di una funzione lineare, il rapporto incrementale non è costante: quando \(x\) passa da \(p\) a \(q\), vale \(a(p+q)\).
Simboli e termini
Simboli
| \(a\) | a | Il coefficiente: il numero che moltiplica \(x^{2}\). Decide in quale verso si apre il grafico (verso l’alto se \(a > 0\), verso il basso se \(a < 0\)) e quanto è stretto. Per convenzione, le lettere di inizio alfabeto, \(a,\ b,\ c\), indicano numeri fissati. |
| \(x,\ y\) | ics, ipsilon | Le variabili: lettere che indicano numeri che possono assumere molti valori. Per convenzione, le lettere di fine alfabeto, \(x,\ y,\ z\), indicano numeri incogniti o che cambiano. In questa pagina, scegliendo \(x\) resta determinato \(y\). |
| \(p,\ q\) | pi, qu | I due estremi dell’intervallo di x: l’estremo sinistro e quello destro del dominio nella modalità dell’immagine, il valore iniziale e quello finale di x nella modalità del rapporto incrementale. In questa pagina vale sempre \(p < q\) (p è il minore). |
| \(m\) | emme | Una lettera usata in questa pagina per spiegare l’immagine: l’estremo del dominio, tra \(p\) e \(q\), più lontano da \(0\) (quello con il valore assoluto maggiore). Il massimo (il minimo se \(a < 0\)) si raggiunge in questo estremo. Quando i due estremi hanno lo stesso valore assoluto, entrambi danno lo stesso valore. |
| \(\Delta x,\ \Delta y\) | delta x, delta y | L’incremento di x e l’incremento di y. \(\Delta\) (delta) è la lettera greca corrispondente alla D, iniziale di «differenza», e indica «valore dopo la variazione − valore prima». |
| \(\le\) | minore o uguale a | Un simbolo di disuguaglianza che include il valore estremo. \(-1 \le x \le 3\) significa «x è maggiore o uguale a −1 e minore o uguale a 3», quindi sono compresi sia −1 sia 3. Alcuni testi lo scrivono con due tratti, \(\leqslant\), con lo stesso significato. |
| \(x^{2}\) | x al quadrato | \(x\) moltiplicato per se stesso (\(x^{2} = x \times x\)). Il 2 piccolo in alto a destra (l’esponente) indica quante volte \(x\) compare come fattore. Per elevare al quadrato un numero negativo usa le parentesi, come in \(\left(-3\right)^{2} = 9\). |
Termini
| funzione | Quando a ogni valore di x corrisponde un solo valore di y, si dice che «y è una funzione di x». Anche \(y = ax^{2}\) è una funzione: scegli x e resta determinato un solo y. |
| funzione quadratica | Una funzione in cui y è data da un’espressione di secondo grado in x. La forma più semplice è \(y = ax^{2}\), con il vertice nell’origine; la forma generale \(y = ax^{2} + bx + c\) permette al vertice di spostarsi lontano dall’origine. |
| coefficiente | Il numero che moltiplica una variabile, come la \(a\) in \(y = ax^{2}\). Poiché \(y = ax^{2}\) dice che «y è direttamente proporzionale al quadrato di x», questa \(a\) si chiama anche costante di proporzionalità, come nella proporzionalità diretta \(y = ax\). |
| parabola | La curva liscia e simmetrica che è il grafico di \(y = ax^{2}\). Ha la stessa forma della traiettoria di un oggetto lanciato in obliquo. |
| vertice | Il punto di svolta di una parabola. Il vertice di \(y = ax^{2}\) è l’origine (0 ; 0): è il punto più basso del grafico se \(a > 0\) e il punto più alto se \(a < 0\). |
| origine | Il centro del piano cartesiano, il punto (0 ; 0), dove l’asse x e l’asse y si incontrano. Si indica con \(O\), l’iniziale di «origine». |
| dominio e insieme immagine | L’insieme dei valori che una variabile può assumere, scritto con le disuguaglianze come \(-1 \le x \le 3\). Il dominio è l’insieme dei valori di x; l’insieme immagine è l’insieme dei valori che y assume su quel dominio. |
| rapporto incrementale | L’incremento di y diviso per l’incremento di x (\(\Delta y \div \Delta x\)). Dice di quanto aumenta y, in media, ogni volta che x aumenta di 1. Si chiama anche tasso di variazione medio. Per una funzione lineare è costante (il coefficiente angolare a), ma per una funzione quadratica dipende dall’intervallo. |
| incremento | La quantità di cambiamento, calcolata come «valore dopo − valore prima». Se il valore diminuisce, l’incremento è negativo (per esempio, passare da 18 a 2 è un incremento di −16). |
| concavità verso l’alto | Quando \(a > 0\), la parabola ha la forma di una valle: si dice che è rivolta verso l’alto, o che ha la concavità verso l’alto. |
| concavità verso il basso | Quando \(a < 0\), la parabola ha la forma di una collina: si dice che è rivolta verso il basso, o che ha la concavità verso il basso. |
| funzione lineare | Una funzione della forma \(y = ax + b\) (il suo grafico è una retta). La differenza più grande rispetto a una funzione quadratica è che il suo rapporto incrementale è lo stesso ovunque. |
Cosa conviene sapere prima
Ecco che cosa ti aiuta a usare il calcolo di questa pagina capendolo davvero, e non solo premendo il pulsante.
Se ti blocchi, tornare a ripassare questi argomenti è la strada più veloce.
| Numeri relativi (scuola secondaria di primo grado, 11-14 anni) |
|
| Proporzionalità diretta (scuola secondaria di primo grado, 11-14 anni) |
|
| Piano cartesiano e grafici (scuola secondaria di primo grado, 11-14 anni) |
|
| Disuguaglianze e intervalli (scuola secondaria, 11-16 anni) |
|
| Funzioni lineari e rapporto incrementale (scuola secondaria di primo grado e primo biennio della secondaria di secondo grado, 13-16 anni) |
|
Come calcolarlo con Excel
Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Excel. Funziona così com’è.
Tabella per trovare l’immagine di y per un dominio di x
| Coefficiente a | 2 |
| Estremo sinistro del dominio p | -1 |
| Estremo destro del dominio q | 3 |
| y all’estremo sinistro | =B1*B2^2 |
| y all’estremo destro | =B1*B3^2 |
| Minimo di y | =SE(E(B2<=0;B3>=0);MIN(0;B4;B5);MIN(B4;B5)) |
| Massimo di y | =SE(E(B2<=0;B3>=0);MAX(0;B4;B5);MAX(B4;B5)) |
Tabella per trovare il rapporto incrementale
| Coefficiente a | 2 |
| x iniziale (p) | 1 |
| x finale (q) | 3 |
| y iniziale | =B1*B2^2 |
| y finale | =B1*B3^2 |
| Rapporto incrementale (Δy÷Δx) | =(B5-B4)/(B3-B2) |
| Verifica con a(p+q) | =B1*(B2+B3) |
Tabella per trovare y per un valore di x
| Coefficiente a | 2 |
| Valore di x | 3 |
| Valore di y | =B1*B2^2 |
Dopo averla incollata, le righe in alto (il coefficiente e l’intervallo di x) sono i dati da inserire e le righe in basso si calcolano da sole. «^» è l’elevamento a potenza (^2 è il quadrato) e «*» è la moltiplicazione.
La prima tabella è y = 2x² con −1 ≤ x ≤ 3. I valori di y agli estremi sinistro e destro sono 2 e 18 e si trovano il minimo 0 e il massimo 18 (l’immagine di y è 0 ≤ y ≤ 18). La parte SE(E(B2<=0;B3>=0); …) controlla se il dominio contiene 0: in tal caso anche lo 0 del vertice è un candidato per il minimo o il massimo. Funziona così com’è anche quando a è negativo.
La seconda tabella è y = 2x² quando x passa da 1 a 3. La cella della definizione (Δy÷Δx) e quella della scorciatoia a(p+q) danno entrambe 8.
La terza tabella sostituisce x = 3 in y = 2x² e dà 18.
La prima tabella è y = 2x² con −1 ≤ x ≤ 3. I valori di y agli estremi sinistro e destro sono 2 e 18 e si trovano il minimo 0 e il massimo 18 (l’immagine di y è 0 ≤ y ≤ 18). La parte SE(E(B2<=0;B3>=0); …) controlla se il dominio contiene 0: in tal caso anche lo 0 del vertice è un candidato per il minimo o il massimo. Funziona così com’è anche quando a è negativo.
La seconda tabella è y = 2x² quando x passa da 1 a 3. La cella della definizione (Δy÷Δx) e quella della scorciatoia a(p+q) danno entrambe 8.
La terza tabella sostituisce x = 3 in y = 2x² e dà 18.
Come calcolarlo con Fogli Google
Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Fogli Google. Funziona così com’è.
Tabella per trovare l’immagine di y per un dominio di x
| Coefficiente a | 2 |
| Estremo sinistro del dominio p | -1 |
| Estremo destro del dominio q | 3 |
| y all’estremo sinistro | =B1*B2^2 |
| y all’estremo destro | =B1*B3^2 |
| Minimo di y | =SE(E(B2<=0;B3>=0);MIN(0;B4;B5);MIN(B4;B5)) |
| Massimo di y | =SE(E(B2<=0;B3>=0);MAX(0;B4;B5);MAX(B4;B5)) |
Tabella per trovare il rapporto incrementale
| Coefficiente a | 2 |
| x iniziale (p) | 1 |
| x finale (q) | 3 |
| y iniziale | =B1*B2^2 |
| y finale | =B1*B3^2 |
| Rapporto incrementale (Δy÷Δx) | =(B5-B4)/(B3-B2) |
| Verifica con a(p+q) | =B1*(B2+B3) |
Tabella per trovare y per un valore di x
| Coefficiente a | 2 |
| Valore di x | 3 |
| Valore di y | =B1*B2^2 |
Le formule sono le stesse di Excel e funzionano così come sono. Copia tutta la tabella, incollala nella cella A1 e sostituisci il coefficiente e l’intervallo di x con i tuoi numeri.
Come calcolarlo con Python
from fractions import Fraction
coefficient_a = Fraction(2) # coefficiente a (una frazione come 1/2 si scrive Fraction(1, 2))
left_end = Fraction(-1) # estremo sinistro del dominio, p (per il rapporto incrementale, la x iniziale)
right_end = Fraction(3) # estremo destro del dominio, q (per il rapporto incrementale, la x finale)
y_left = coefficient_a * left_end ** 2
y_right = coefficient_a * right_end ** 2
# Immagine di y: due casi, a seconda che il dominio contenga 0 (il vertice)
if left_end <= 0 <= right_end:
candidates = [Fraction(0), y_left, y_right]
else:
candidates = [y_left, y_right]
y_min = min(candidates)
y_max = max(candidates)
print(f"Immagine di y: {y_min} <= y <= {y_max}")
# Rapporto incrementale (quando x passa da p a q)
rate = (y_right - y_left) / (right_end - left_end)
print(f"Rapporto incrementale (definizione Δy÷Δx): {rate}")
print(f"Rapporto incrementale (scorciatoia a(p+q)): {coefficient_a * (left_end + right_end)}")
Con il modulo fractions della libreria standard puoi calcolare con frazioni esatte, senza errori di arrotondamento dei decimali. Questo esempio è y = 2x² con il dominio −1 ≤ x ≤ 3. Eseguendolo, mostra l’immagine di y, «0 <= y <= 18», e il rapporto incrementale quando x passa da −1 a 3, «4» (lo stesso valore con la definizione e con la scorciatoia). Cambia il coefficiente e l’intervallo ed eseguilo di nuovo.
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
La funzione quadratica \(y = ax^{2}\)
y = ax²
y = ax^{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>y</mi>
<mo>=</mo>
<mi>a</mi>
<msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</math>
y = a x^2
a x^2
y := a*x^2;
y = a*x^2;
y = ax^2
Immagine di y (quando il dominio contiene \(0\), con \(a > 0\))
0 ≤ y ≤ am²
0 \le y \le am^{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mn>0</mn>
<mo>≤</mo>
<mi>y</mi>
<mo>≤</mo>
<mi>a</mi>
<msup><mi>m</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</math>
0 <= y <= a m^2
{MinValue[{a x^2, p <= x <= q}, x], MaxValue[{a x^2, p <= x <= q}, x]}
minimize(a*x^2, x = p .. q); maximize(a*x^2, x = p .. q);
m = max(abs(p), abs(q)); ymin = 0; ymax = a*m^2;
0 ≤ y ≤ am^2
Rapporto incrementale (quando \(x\) passa da \(p\) a \(q\))
Δy/Δx = (aq² − ap²)/(q − p)
\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{aq^{2} - ap^{2}}{q - p}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mfrac>
<mrow><mi>Δ</mi><mi>y</mi></mrow>
<mrow><mi>Δ</mi><mi>x</mi></mrow>
</mfrac>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mi>a</mi><msup><mi>q</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>−</mo>
<mi>a</mi><msup><mi>p</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
<mrow><mi>q</mi><mo>−</mo><mi>p</mi></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
(Delta y)/(Delta x) = (a q^2 - a p^2)/(q - p)
(a q^2 - a p^2)/(q - p)
rate := (a*q^2 - a*p^2)/(q - p);
rate = (a*q^2 - a*p^2)/(q - p);
Δy/Δx = (aq^2 − ap^2)/(q − p)
Scorciatoia per il rapporto incrementale di \(y = ax^{2}\): \(a(p+q)\)
Δy/Δx = a(p + q)
\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = a(p + q)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mfrac>
<mrow><mi>Δ</mi><mi>y</mi></mrow>
<mrow><mi>Δ</mi><mi>x</mi></mrow>
</mfrac>
<mo>=</mo>
<mi>a</mi>
<mo>(</mo>
<mi>p</mi>
<mo>+</mo>
<mi>q</mi>
<mo>)</mo>
</mrow>
</math>
(Delta y)/(Delta x) = a(p + q)
a (p + q)
rate := a*(p + q);
rate = a*(p + q);
Δy/Δx = a(p + q)
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
Sei un assistente di calcolo per le funzioni (matematica della scuola secondaria). Esegui il calcolo seguente eseguendo davvero codice Python e basa la risposta solo sui numeri del risultato dell’esecuzione (non rispondere con il calcolo a mente né a intuito). Per la funzione quadratica y = 2x², trova queste due cose. 1. L’immagine di y quando il dominio di x è −1 ≤ x ≤ 3 (spiega anche perché conta se il dominio contiene 0) 2. Il rapporto incrementale quando x passa da 1 a 3 (mostra i passaggi di incremento di y ÷ incremento di x e usa anche la scorciatoia a(p+q)) In Python usa il modulo fractions della libreria standard per calcolare in modo esatto. Mostra le formule usate e i numeri del risultato dell’esecuzione.
Come si usa
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1Inserisci i numeriScrivi nei campi i numeri con cui vuoi fare il calcolo
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2CalcolaFai clic sul pulsante «Calcola»
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3Guarda il risultatoIl risultato compare subito. Nella stessa pagina trovi anche lo svolgimento del calcolo e la spiegazione della formula
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Calcola la funzione lineare y=ax+b, il rapporto incrementale e le intersezioni, con passaggi e grafico. Il rapporto incrementale è costante, a differenza di una funzione quadratica
Calcolatrice del completamento del quadrato (vertice della parabola, asse di simmetria, massimo e minimo)
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