Calcolatrice della distribuzione binomiale

Scrivi il numero di prove n, la probabilità di successo in ogni prova p e il numero di successi k. Ottieni la probabilità di esattamente k successi, le probabilità cumulate di al massimo k e di almeno k, la media, la varianza e la deviazione standard, e un grafico a barre dell’intera distribuzione.

Numero di prove n

Probabilità di successo p

Numero di successi k

Scrivi la probabilità p come numero decimale da 0 a 1 (per il 25% scrivi 0,25) o come frazione, per esempio 1/4. n è un numero intero da 1 a 50 e k è un numero intero da 0 a n.

Risultato e grafico

Scrivi il numero di prove e la probabilità nei campi a sinistra e fai clic su «Calcola». Il risultato e il grafico a barre della distribuzione compaiono qui.

Indice

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Cosa puoi fare in questa pagina
A cosa serve questo calcolo?
Come si usa
Formule e grafici
Simboli e termini
- Simboli
- Termini
Cosa conviene sapere prima
Come calcolarlo con Excel
Come calcolarlo con Fogli Google
Come calcolarlo con Python
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
I punti di forza di DataChef
Funzioni correlate
Tutte le calcolatrici di NumberChef

Cosa puoi fare in questa pagina

Scrivi solo 3 numeri per trovare «la probabilità che qualcosa con probabilità \(p\) accada esattamente \(k\) volte in \(n\) tentativi», \(P(X = k) = {}_{n}\mathrm{C}_{k}\, p^{k} (1-p)^{n-k}\), subito
La risposta compare sia come frazione ridotta ai minimi termini, per esempio \(\dfrac{3}{8}\) (il valore esatto), sia come numero decimale e percentuale. Puoi vedere anche i passaggi per il numero di combinazioni \({}_{n}\mathrm{C}_{k}\)
Trova anche, nello stesso momento, le probabilità cumulate «al massimo \(k\) volte» \(P(X \le k)\) e «almeno \(k\) volte» \(P(X \ge k)\)
Mostra il valore atteso \(E(X) = np\), la varianza \(V(X) = np(1-p)\) e la deviazione standard \(\sigma\), e controlla la regola pratica per usare l’approssimazione normale
L’intera distribuzione, da 0 fino a \(n\) successi, è disegnata come grafico a barre, così vedi a colpo d’occhio quali numeri di successi sono più probabili

Funziona per le prove ripetute in cui la probabilità è la stessa ogni volta e i risultati non si influenzano (sono indipendenti). Non funziona quando la probabilità cambia da un tentativo all’altro, come estrarre biglietti senza rimetterli dentro.

A cosa serve questo calcolo?

Stimare «k vincite su n» con le loot box e le estrazioni (giochi)

Se apri 100 loot box (o fai 100 tentativi di gacha) con una probabilità di ottenimento dell’1%, il numero di oggetti rari ottenuti segue la distribuzione binomiale \(B(100,\ 0{,}01)\) (supponendo, come dichiarato, che ogni tentativo abbia la stessa probabilità e sia indipendente). La probabilità di non ottenere nulla è \(0{,}99^{100} \approx 36{,}6\%\), quindi la distribuzione mostra che l’intuizione «100 tentativi all’1% sono quasi una certezza» è rischiosa.
Stimare «il valore atteso \(np\) più la dispersione» quando pianifichi quanto spendere è esattamente il calcolo di questa pagina.

Progettare i criteri di accettazione del controllo a campione (industria e controllo qualità)

Invece di controllare ogni pezzo, le fabbriche usano il controllo a campione: «prendi \(n\) pezzi da un lotto e accetta il lotto se i difetti sono \(c\) o meno». La probabilità che un lotto con tasso di difetti \(p\) venga accettato è proprio la probabilità binomiale cumulata \(P(X \le c)\). Per esempio, se prendi 20 pezzi da un lotto con l’1% di difetti e lo accetti solo con 0 difetti, la probabilità di accettazione è \(0{,}99^{20} \approx 81{,}8\%\).
Questo calcolo serve a progettare regole di controllo che accettano i lotti buoni con alta probabilità e rifiutano quelli cattivi.

Stimare le risposte azzeccate per caso nei test a risposta multipla (scuola e concorsi)

Se rispondi a caso a tutte le 20 domande di un test con 4 opzioni ciascuna, il numero di risposte esatte segue la distribuzione binomiale \(B(20,\ 0{,}25)\) e il valore atteso è \(20 \times 0{,}25 = 5\) domande. La probabilità di azzeccarne 8 o più per caso è solo di circa il 10%, il che conferma con la probabilità che indovinare a caso raramente basta per raggiungere la sufficienza.
Anche chi prepara i test tiene presente questa distribuzione quando stabilisce il numero di domande e il punteggio minimo, così da rendere difficile superare la prova per fortuna.

Leggere gli alti e bassi delle statistiche sportive (pallacanestro e altri sport)

Quando un giocatore con il 70% ai tiri liberi fa 10 tiri, la probabilità di segnarne esattamente 7 è solo \({}_{10}\mathrm{C}_{7} \times 0{,}7^{7} \times 0{,}3^{3} \approx 26{,}7\%\) (considerando ogni tiro indipendente con una percentuale di successo fissa). Un giocatore al 70% che segna esattamente 7 tiri su 10 non è così ordinario come sembra. Segnarne 6 o 8 capita di continuo.
La distribuzione binomiale ti aiuta a capire quanta parte di una «serie positiva» o di un «periodo no» sia solo normale variazione casuale.

Da dove viene il margine di errore dei sondaggi e degli ascolti TV (indagini statistiche)

Nei sondaggi sul gradimento e negli ascolti TV (come la rilevazione Auditel), il numero di persone, tra le \(n\) intervistate, che danno una certa risposta si considera distribuito secondo una distribuzione binomiale. Il margine di errore «più o meno qualche punto» si calcola dalla deviazione standard \(\sqrt{np(1-p)}\) e dall’approssimazione normale.
Decidere quante persone intervistare per portare il margine di errore alla dimensione voluta si basa direttamente sulle proprietà della distribuzione binomiale.

Formule e grafici

Probabilità binomiale (probabilità di esattamente \(k\) successi)

Grafico

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(P(X = k)\) \(=\) \({}_{n}\mathrm{C}_{k}\) \(\times\) \(p\) \(k\) \(\times\) \((1 - p)\) \(n - k\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

⑥ \(P(X = k)\): probabilità di esattamente \(k\) successi \(=\) ⑤ \({}_{n}\mathrm{C}_{k}\): modi di scegliere in quali prove si ha successo \(\times\) ① \(p\): probabilità di successo ② \(k\): numero di successi \(\times\) ③ \(1 - p\): probabilità di insuccesso ④ \(n - k\): numero di insuccessi

La formula a parole

① Prendi la \(p\): probabilità di successo

② moltiplicala per se stessa tante volte quanti sono i \(k\): numero di successi

③ poi prendi la \(1 - p\): probabilità di insuccesso

④ e moltiplicala per se stessa tante volte quanti sono gli \(n - k\): numero di insuccessi

⑤ moltiplica i risultati per i \({}_{n}\mathrm{C}_{k}\): modi di scegliere in quali prove si ha successo

⑥ e ottieni la \(P(X = k)\): probabilità di esattamente \(k\) successi

Un esempio semplice

Se lanci 4 volte una moneta (probabilità di testa \(\dfrac{1}{2}\)), la probabilità di esattamente 2 teste è

probabilità di esattamente 2 \(P(X = 2)\) \(=\) numero di modi \({}_{4}\mathrm{C}_{2}\) \(\times\) testa \(\dfrac{1}{2}\), due volte \(\times\) croce \(\dfrac{1}{2}\), due volte

\({}_{4}\mathrm{C}_{2} = \dfrac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6\)

\(P(X = 2) = 6 \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{2} \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{2} = \dfrac{6}{16} = \dfrac{3}{8}\ \ (37{,}5\%)\)

L’idea chiave

La probabilità di un particolare ordine con \(k\) successi e \(n-k\) insuccessi è \(p^{k} (1-p)^{n-k}\). Ci sono \({}_{n}\mathrm{C}_{k}\) ordini di questo tipo (modi di scegliere quali prove hanno successo), quindi moltiplicando per questo numero si ottiene la risposta. La distribuzione che raccoglie la probabilità di ogni possibile numero \(X\) (0, 1, …, \(n\) successi) si chiama distribuzione binomiale e si scrive \(B(n,\ p)\). Il calcolatore di questa pagina disegna l’intera distribuzione come grafico a barre.

Probabilità cumulata (al massimo \(k\) e almeno \(k\) successi)

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(P(X \le k)\) \(=\) \(P(X=0) + P(X=1) + \cdots + P(X=k)\)

\(P(X \ge k)\) \(=\) \(1\) \(-\) \(P(X \le k - 1)\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

② \(P(X \le k)\): probabilità di avere al massimo \(k\) successi \(=\) ① somma delle probabilità di esattamente 0 fino a esattamente \(k\)

⑤ \(P(X \ge k)\): probabilità di avere almeno \(k\) successi \(=\) ③ \(1\): probabilità totale \(-\) ④ probabilità di avere al massimo \(k-1\) successi

La formula a parole

① Somma tutte le probabilità di esattamente 0, esattamente 1, …, esattamente \(k\)

② e ottieni la \(P(X \le k)\): probabilità di avere al massimo \(k\) successi

③ Per «almeno \(k\)» l’evento contrario dà un calcolo più breve. Parti dalla \(1\): probabilità totale

④ sottrai la \(P(X \le k-1)\): probabilità di avere al massimo \(k-1\) successi

⑤ e ottieni la \(P(X \ge k)\): probabilità di avere almeno \(k\) successi

Un esempio semplice

Se lanci 4 volte una moneta, la probabilità di al massimo 2 teste e la probabilità di almeno 2 teste sono

probabilità di al massimo 2 \(P(X \le 2)\) \(=\) somma per 0, 1 e 2

\(P(X \le 2) = \dfrac{1}{16} + \dfrac{4}{16} + \dfrac{6}{16} = \dfrac{11}{16}\ \ (68{,}75\%)\)

\(P(X \ge 2) = 1 - P(X \le 1) = 1 - \dfrac{5}{16} = \dfrac{11}{16}\ \ (68{,}75\%)\)

L’idea chiave

«Al massimo» e «almeno» includono il numero stesso (al massimo 2 vuol dire 0, 1 o 2). Il metodo standard è sommare semplicemente le probabilità esatte per «al massimo \(k\)» e sottrarre «al massimo \(k-1\)» dal totale 1 per «almeno \(k\)» (con l’evento contrario). «La probabilità che accada almeno una volta» è \(P(X \ge 1) = 1 - P(X = 0)\). È l’uso più comune dell’evento contrario.

Media, varianza e deviazione standard della distribuzione binomiale

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(E(X)\) \(=\) \(n\) \(\times\) \(p\)

\(V(X)\) \(=\) \(n\) \(\times\) \(p\) \(\times\) \((1 - p)\)

\(\sigma\) \(=\) \(\sqrt{V(X)}\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

③ \(E(X)\): valore atteso (numero medio di successi) \(=\) ① \(n\): numero di prove \(\times\) ② \(p\): probabilità di successo

⑤ \(V(X)\): varianza (quanto sono dispersi) \(=\) \(n\): numero di prove \(\times\) \(p\): probabilità di successo \(\times\) ④ \(1 - p\): probabilità di insuccesso

⑦ \(\sigma\): deviazione standard (dispersione tipica) \(=\) ⑥ radice quadrata della varianza \(V(X)\)

La formula a parole

① Moltiplica il \(n\): numero di prove

② per la \(p\): probabilità di successo

③ e ottieni il \(E(X)\): valore atteso (numero medio di successi)

④ Moltiplica ancora per la \(1 - p\): probabilità di insuccesso

⑤ e ottieni la \(V(X)\): varianza (quanto sono dispersi)

⑥ La radice quadrata della varianza \(V(X)\) è la

⑦ \(\sigma\): deviazione standard (dispersione tipica)

Un esempio semplice

Per il numero di 1 che escono lanciando un dado 30 volte (\(n = 30\), \(p = \dfrac{1}{6}\)):

valore atteso \(E(X)\) \(=\) numero di prove \(30\) \(\times\) probabilità di un 1 \(\dfrac{1}{6}\)

\(E(X) = 30 \times \dfrac{1}{6} = 5\)

\(V(X) = 30 \times \dfrac{1}{6} \times \dfrac{5}{6} = \dfrac{25}{6}\)

\(\sigma = \sqrt{\dfrac{25}{6}} = \dfrac{5}{\sqrt{6}} = \dfrac{5\sqrt{6}}{6} \approx 2{,}04\)

L’idea chiave

Il valore atteso \(np\) coincide esattamente con l’intuizione: «Fai qualcosa con probabilità \(\dfrac{1}{6}\) per 30 volte e, in media, accade circa \(30 \times \dfrac{1}{6} = 5\) volte.» La varianza e la deviazione standard ti dicono quanto il numero effettivo tende a distanziarsi dal valore atteso. Con una deviazione standard di circa 2, puoi leggere il risultato come «di solito intorno a 3-7 volte» e non come «esattamente 5 volte». A parità di \(n\), la varianza \(np(1-p)\) è massima quando \(p = \dfrac{1}{2}\) (quando successo e insuccesso sono ugualmente probabili, il risultato è il più difficile da prevedere).

Approssimazione normale (regola pratica: \(np \ge 5\) e \(n(1-p) \ge 5\))

Grafico

Notazione matematica (la notazione abituale)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

\(B(n,\ p)\) \(\approx\) \(N(np,\ np(1 - p))\)

① \(B(n,\ p)\): distribuzione binomiale \(\approx\) ② distribuzione normale con media \(np\) e varianza \(np(1-p)\)

La formula a parole

① La \(B(n,\ p)\): distribuzione binomiale si può sostituire in modo approssimato, quando \(np \ge 5\) e \(n(1-p) \ge 5\) (la regola pratica), con la

② \(N(np,\ np(1-p))\): distribuzione normale con media \(np\) e varianza \(np(1-p)\)

Un esempio semplice

Il numero di teste quando lanci una moneta 20 volte (\(n = 20\), \(p = \dfrac{1}{2}\)) è

distribuzione binomiale \(B(20,\ \dfrac{1}{2})\) \(\approx\) distribuzione normale \(N(10,\ 5)\)

\(np = 20 \times \dfrac{1}{2} = 10 \ge 5,\quad n(1 - p) = 20 \times \dfrac{1}{2} = 10 \ge 5\)

\(B\left(20,\ \dfrac{1}{2}\right) \approx N(10,\ 5)\)

L’idea chiave

Al crescere di \(n\), il grafico a barre della distribuzione binomiale si avvicina a una forma a campana simmetrica, quasi uguale alla distribuzione normale. Quindi, quando \(n\) è grande, puoi sostituire le lunghe somme della distribuzione binomiale con la tavola della distribuzione normale (o con i punteggi z). Questa è l’approssimazione normale e \(np \ge 5\) e \(n(1-p) \ge 5\) è la regola pratica più comune per decidere quando usarla. Dentro \(N(np,\ np(1-p))\) l’ordine è «media, varianza» (alcuni libri scrivono invece «media, deviazione standard»). Dopo l’approssimazione puoi trovare cose come «la probabilità di raggiungere almeno un certo numero» sulla pagina della calcolatrice della probabilità della distribuzione normale di questo sito.

La distribuzione binomiale è la distribuzione di «quante volte accade qualcosa con probabilità \(p\) in \(n\) tentativi». La probabilità di esattamente \(k\) successi è \(P(X = k) = {}_{n}\mathrm{C}_{k}\, p^{k} (1-p)^{n-k}\), il valore atteso è \(np\) e la varianza è \(np(1-p)\). Quando \(n\) è grande, si può approssimare con la distribuzione normale \(N(np,\ np(1-p))\).

Simboli e termini

Simboli

\(X\)	X	La variabile casuale che indica il numero di successi. Per convenzione i numeri decisi dal caso si scrivono con lettere maiuscole della fine dell’alfabeto, come \(X,\ Y,\ Z\).
\(P(X = k)\)	P di X uguale a k	La probabilità che il numero di successi \(X\) sia esattamente \(k\). \(P\) è l’iniziale di «probabilità».
\({}_{n}\mathrm{C}_{k}\)	n su k	Il numero di combinazioni di \(k\) elementi scelti tra \(n\). \(C\) è l’iniziale di «combinazione». Molti libri la scrivono \(\dbinom{n}{k}\) (coefficiente binomiale) o \(C_{n,k}\).
\(n\)	enne	Il numero di prove (quante volte lo ripeti). Per indicare una quantità si usa spesso la lettera \(n\), da «numero».
\(p\)	pi	La probabilità di successo in una prova. Viene da «probabilità» e la lettera minuscola si usa spesso per la probabilità di un singolo tentativo.
\(1 - p\)	uno meno p	La probabilità di insuccesso in una prova (non avere successo). Accade sempre o il successo o l’insuccesso, quindi è ciò che resta togliendo \(p\) dal totale \(1\). Si scrive anche \(q\).
\(k\)	cappa	Il numero di successi, un numero intero da \(0\) a \(n\). La lettera \(k\) si usa spesso per dire «quante volte».
\(P(X \le k)\)	P di X minore o uguale a k	La probabilità di al massimo \(k\) successi (uno qualsiasi tra 0 e \(k\)). È una probabilità cumulata, cioè le probabilità esatte sommate fino a \(k\).
\(P(X \ge k)\)	P di X maggiore o uguale a k	La probabilità di almeno \(k\) successi (uno qualsiasi tra \(k\) e \(n\)). Sottraendo \(P(X \le k-1)\) dal totale \(1\) (l’evento contrario) la somma si accorcia.
\(E(X)\)	E di X	Il valore atteso (il numero medio di successi). \(E\) è l’iniziale di «expectation». Per la distribuzione binomiale, \(E(X) = np\). Si chiama anche media e si scrive \(\mu\).
\(V(X)\)	V di X	La varianza (quanto sono dispersi i risultati). \(V\) è l’iniziale di «varianza». Per la distribuzione binomiale, \(V(X) = np(1-p)\). Si scrive anche \(\mathrm{Var}(X)\) o \(\sigma^2\).
\(\sigma\)	sigma	La deviazione standard. È la lettera greca minuscola sigma, la «s» greca di «deviazione standard». È la radice quadrata della varianza, \(\sigma = \sqrt{V(X)}\), e mostra la distanza tipica dal valore atteso.
\(B(n,\ p)\)	B di n, p	La distribuzione binomiale con \(n\) prove e probabilità di successo \(p\). \(B\) è l’iniziale di «binomiale». «\(X\) segue una distribuzione binomiale» si scrive \(X \sim B(n,\ p)\).
\(N(\mu,\ \sigma^2)\)	N di mu, sigma al quadrato	La distribuzione normale con media \(\mu\) e varianza \(\sigma^2\). \(N\) è l’iniziale di «normale». Per convenzione l’ordine tra parentesi è «media, varianza».
\(\approx\)	circa uguale a	Il simbolo di «circa uguale». In questa pagina mostra che la distribuzione binomiale si può sostituire in modo approssimato con la distribuzione normale.

Termini

distribuzione binomiale	La distribuzione di probabilità di «quante volte accade qualcosa con probabilità \(p\) in \(n\) tentativi». Il nome deriva dal fatto che il \({}_{n}\mathrm{C}_{k}\) della formula è lo stesso del coefficiente binomiale (i coefficienti dello sviluppo del binomio \((a+b)^n\)). Si studia di solito nella scuola secondaria di secondo grado (probabilità e statistica).
variabile casuale	Una variabile il cui valore è deciso dal caso. In questa pagina la variabile casuale è il numero di successi. Assume i valori da 0 fino a n, ciascuno con la propria probabilità.
prova	Una singola esecuzione di un esperimento o di un’osservazione il cui risultato è deciso dal caso, come un lancio di moneta o l’estrazione di un biglietto.
prove ripetute	Ripetere la stessa prova con la stessa probabilità ogni volta, con risultati che non si influenzano (in modo indipendente). Si chiamano anche prove di Bernoulli (o schema di Bernoulli). La distribuzione binomiale è la distribuzione del numero di successi in prove ripetute.
indipendente	Quando il risultato di una prova non influisce sul risultato di un’altra. Il primo e il secondo lancio di un dado sono indipendenti, mentre estrarre biglietti senza rimetterli dentro non lo è (i risultati precedenti cambiano quanti biglietti vincenti restano).
combinazione	Un modo di scegliere \(k\) elementi tra \(n\) in cui l’ordine non conta. Il loro numero totale è \({}_{n}\mathrm{C}_{k}\). Nella distribuzione binomiale conta i modi di scegliere quali tra le \(n\) prove hanno successo.
probabilità cumulata	Le probabilità esatte sommate fino a un certo numero. La probabilità di al massimo \(k\), \(P(X \le k)\), ne è l’esempio tipico.
evento contrario	L’evento in cui qualcosa non accade. Le probabilità sommano sempre 1, quindi una probabilità come «almeno \(k\)» si trova facilmente sottraendo da 1 il lato opposto (al massimo \(k-1\)).
valore atteso	Il valore medio quando ripeti le prove molte volte. Per la distribuzione binomiale è il numero medio di successi, dato dalla semplice formula \(np\).
varianza	Una misura di quanto i valori effettivi tendono a distanziarsi dal valore atteso (la dispersione). È definita come la media dei quadrati delle differenze.
deviazione standard	La radice quadrata della varianza. La varianza è in unità al quadrato, quindi con la radice quadrata si torna all’unità originale (qui, il numero di successi) come misura della dispersione.
distribuzione normale	Una distribuzione simmetrica a forma di campana in cui i valori vicini alla media sono i più probabili e quelli più lontani sono meno probabili. Molte grandezze reali, come le altezze e gli errori di misura, si avvicinano a questa forma e anche la distribuzione binomiale le si avvicina quando \(n\) è grande.
approssimazione normale	Sostituire la distribuzione binomiale con la distribuzione normale \(N(np,\ np(1-p))\) quando \(n\) è grande. La regola pratica più comune è \(np \ge 5\) e \(n(1-p) \ge 5\).

Cosa conviene sapere prima

Ecco cosa ti aiuta a usare il calcolo di questa pagina capendolo davvero, e non solo premendo il pulsante.
Se ti blocchi, ripassare gli argomenti di questa tabella è la via più rapida per andare avanti.

Probabilità di base (scuola secondaria di primo grado, 11-14 anni)	Sapere che una probabilità indica quanto è probabile qualcosa con un numero da 0 a 1 (compreso leggere 0,25 come 25%) Sapere che le probabilità di tutti i risultati possibili sommano sempre 1
Frazioni (classi 4ª–5ª della primaria e 1ª della secondaria di primo grado, 9-12 anni)	Saper moltiplicare le frazioni (\(\dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}\)), semplificarle e trovare i denominatori comuni Essere a proprio agio nel tenere le risposte come frazioni (e trasformare \(\dfrac{3}{8}\) in 0,375)
Potenze ed esponenti (scuola secondaria di primo grado, 11-14 anni)	Sapere che il piccolo numero in alto a destra (l’esponente) dice quante volte moltiplicare, come in \(p^{3} = p \times p \times p\) Saper elevare una frazione a una potenza, come in \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{4} = \dfrac{1}{16}\)
Calcolo combinatorio e combinazioni (scuola secondaria di secondo grado)	Sapere che \({}_{n}\mathrm{C}_{k}\) è «il numero di modi di scegliere \(k\) elementi tra \(n\) quando l’ordine non conta» Saperlo calcolare, come in \({}_{4}\mathrm{C}_{2} = \dfrac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6\)
Probabilità di prove ripetute ed evento contrario (scuola secondaria di secondo grado)	Capire l’impostazione delle prove ripetute, «ripetute in modo indipendente con la stessa probabilità ogni volta» Saper usare l’evento contrario per trovare «almeno una volta» come \(1 - P(X = 0)\)
Variabili casuali, valore atteso e varianza (scuola secondaria di secondo grado)	Sapere che cos’è una variabile casuale (una variabile il cui valore è deciso dal caso) e una distribuzione di probabilità Sapere che il valore atteso è la media e che la varianza e la deviazione standard mostrano la dispersione
La distribuzione normale (scuola secondaria di secondo grado)	Sapere che la distribuzione normale è una distribuzione simmetrica a forma di campana in cui i valori vicini alla media sono i più probabili (serve per la scheda dell’approssimazione normale) Sapere che l’ordine dentro \(N(\mu,\ \sigma^2)\) è «media, varianza»

Come calcolarlo con Excel

Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Excel. Funziona così com’è.

Tabella per trovare la probabilità di esattamente k successi

Numero di prove n	4
Probabilità di successo p	0,5
Numero di successi k	2
Probabilità di esattamente k P(X=k)	=DISTRIB.BINOM.N(B3;B1;B2;FALSO)

Tabella per trovare le probabilità cumulate (al massimo k, almeno k)

Numero di prove n	4
Probabilità di successo p	0,5
Numero di successi k	2
Probabilità di al massimo k P(X≤k)	=DISTRIB.BINOM.N(B3;B1;B2;VERO)
Probabilità di almeno k P(X≥k)	=1-DISTRIB.BINOM.N(B3-1;B1;B2;VERO)

Tabella per trovare la media, la varianza e la deviazione standard

Numero di prove n	30
Probabilità di successo p	=1/6
Media E(X) = np	=B1*B2
Varianza V(X) = np(1-p)	=B1B2(1-B2)
Deviazione standard σ	=RADQ(B4)

Tabella per verificare la regola pratica per l’approssimazione normale

Numero di prove n	20
Probabilità di successo p	0,5
np	=B1*B2
n(1-p)	=B1*(1-B2)
Regola pratica rispettata?	=E(B3>=5;B4>=5)

Dopo aver incollato, le righe in alto (n, p e k) sono i tuoi dati e le righe in basso si calcolano da sole.
DISTRIB.BINOM.N è la funzione della distribuzione binomiale. I suoi argomenti sono, nell’ordine, «numero di successi, numero di prove, probabilità di successo, cumulativa o no». FALSO alla fine dà la probabilità esatta e VERO dà la probabilità cumulata di quel numero o meno.
La prima tabella è l’esempio di esattamente 2 teste in 4 lanci di moneta e la risposta è 0,375 (= 3/8).
Le due risposte della seconda tabella sono entrambe 0,6875. «Almeno k» si trova sottraendo da 1 «al massimo k−1» (questa formula dà un errore se k è 0, ma la probabilità di 0 o più è sempre 1).
La terza tabella è il numero di 1 in 30 lanci di un dado: media 5, varianza 4,1667 e deviazione standard 2,0412.
La quarta tabella mostra VERO quando np e n(1−p) sono entrambi 5 o più (la regola pratica per l’approssimazione normale è rispettata) e FALSO altrimenti.

Come calcolarlo con Fogli Google

Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Fogli Google. Funziona così com’è.

Tabella per trovare la probabilità di esattamente k successi

Numero di prove n	4
Probabilità di successo p	0,5
Numero di successi k	2
Probabilità di esattamente k P(X=k)	=DISTRIB.BINOM(B3;B1;B2;FALSO)

Tabella per trovare le probabilità cumulate (al massimo k, almeno k)

Numero di prove n	4
Probabilità di successo p	0,5
Numero di successi k	2
Probabilità di al massimo k P(X≤k)	=DISTRIB.BINOM(B3;B1;B2;VERO)
Probabilità di almeno k P(X≥k)	=1-DISTRIB.BINOM(B3-1;B1;B2;VERO)

Tabella per trovare la media, la varianza e la deviazione standard

Numero di prove n	30
Probabilità di successo p	=1/6
Media E(X) = np	=B1*B2
Varianza V(X) = np(1-p)	=B1B2(1-B2)
Deviazione standard σ	=RADQ(B4)

Tabella per verificare la regola pratica per l’approssimazione normale

Numero di prove n	20
Probabilità di successo p	0,5
np	=B1*B2
n(1-p)	=B1*(1-B2)
Regola pratica rispettata?	=E(B3>=5;B4>=5)

In Fogli Google la funzione si chiama DISTRIB.BINOM (gli argomenti sono nello stesso ordine di DISTRIB.BINOM.N di Excel: «numero di successi, numero di prove, probabilità di successo, cumulativa o no»). Copia l’intera tabella, incollala nella cella A1 e sostituisci n, p e k con i tuoi numeri.
Come in Excel, la formula «almeno k» dà un errore se k è 0 (la probabilità di 0 o più è sempre 1).

Come calcolarlo con Python

from fractions import Fraction
from math import comb, sqrt

trial_count = 4                  # numero di prove n
success_prob = Fraction(1, 2)    # probabilità di successo p (funziona anche un decimale come 0.3)
success_count = 2                # numero di successi k

failure_prob = 1 - success_prob

# probabilità di esattamente k successi P(X=k) = nCk × p^k × (1−p)^(n−k)
exact_prob = (comb(trial_count, success_count)
              * success_prob ** success_count
              * failure_prob ** (trial_count - success_count))
print(f"Probabilità di esattamente {success_count}: {exact_prob} = {float(exact_prob)}")

# probabilità cumulate (al massimo k, almeno k)
prob_le = sum(comb(trial_count, i) * success_prob ** i * failure_prob ** (trial_count - i)
              for i in range(success_count + 1))
prob_ge = 1 - prob_le + exact_prob
print(f"Probabilità di al massimo {success_count}: {prob_le} = {float(prob_le)}")
print(f"Probabilità di almeno {success_count}: {prob_ge} = {float(prob_ge)}")

# media, varianza e deviazione standard
mean = trial_count * success_prob
variance = mean * failure_prob
print(f"Media: {mean}  Varianza: {variance}  Deviazione standard: {sqrt(variance)}")

Funziona con la sola libreria standard. Il modulo fractions mantiene il calcolo in frazioni esatte, senza errori di arrotondamento dei decimali (comb è il numero di combinazioni nCk). Questo esempio è esattamente 2 teste in 4 lanci di moneta. Avviandolo, mostra la probabilità 3/8 = 0,375, 11/16 = 0,6875 sia per al massimo 2 sia per almeno 2, e media 2, varianza 1 e deviazione standard 1,0. Cambia i tre numeri n, p e k e avvia il codice.

La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)

Probabilità binomiale (probabilità di esattamente \(k\) successi)

P(X = k) = nCk pᵏ (1 − p)ⁿ⁻ᵏ

P(X = k) = \binom{n}{k} p^{k} (1 - p)^{n - k}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>P</mi><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>=</mo><mi>k</mi><mo>)</mo>
    <mo>=</mo>
    <mrow>
      <mo>(</mo>
      <mfrac linethickness="0"><mi>n</mi><mi>k</mi></mfrac>
      <mo>)</mo>
    </mrow>
    <msup><mi>p</mi><mi>k</mi></msup>
    <msup>
      <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>&#x2212;</mo><mi>p</mi><mo>)</mo></mrow>
      <mrow><mi>n</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>k</mi></mrow>
    </msup>
  </mrow>
</math>

P(X = k) = C(n,k) p^k (1-p)^(n-k)

PDF[BinomialDistribution[n, p], k]

binomial(n, k)*p^k*(1-p)^(n-k);

binopdf(k, n, p)

P(X=k) = C(n,k) p^k (1-p)^(n-k)

Probabilità cumulata (al massimo \(k\) e almeno \(k\) successi)

P(X ≤ k) = Σ[i=0→k] nCi pⁱ (1 − p)ⁿ⁻ⁱ

P(X \le k) = \sum_{i=0}^{k} \binom{n}{i} p^{i} (1 - p)^{n - i}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>P</mi><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>&#x2264;</mo><mi>k</mi><mo>)</mo>
    <mo>=</mo>
    <munderover>
      <mo>&#x2211;</mo>
      <mrow><mi>i</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow>
      <mi>k</mi>
    </munderover>
    <mrow>
      <mo>(</mo>
      <mfrac linethickness="0"><mi>n</mi><mi>i</mi></mfrac>
      <mo>)</mo>
    </mrow>
    <msup><mi>p</mi><mi>i</mi></msup>
    <msup>
      <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>&#x2212;</mo><mi>p</mi><mo>)</mo></mrow>
      <mrow><mi>n</mi><mo>&#x2212;</mo><mi>i</mi></mrow>
    </msup>
  </mrow>
</math>

P(X <= k) = sum_(i=0)^k C(n,i) p^i (1-p)^(n-i)

CDF[BinomialDistribution[n, p], k]

add(binomial(n, i)*p^i*(1-p)^(n-i), i = 0..k);

binocdf(k, n, p)

P(X≤k) = Σ_(i=0)^k C(n,i) p^i (1-p)^(n-i)

Media, varianza e deviazione standard della distribuzione binomiale

E(X) = np,  V(X) = np(1 − p),  σ = √(np(1 − p))

E(X) = np, \quad V(X) = np(1 - p), \quad \sigma = \sqrt{np(1 - p)}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>E</mi><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>)</mo><mo>=</mo><mi>n</mi><mi>p</mi>
    <mo>,</mo>
    <mi>V</mi><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>)</mo><mo>=</mo>
    <mi>n</mi><mi>p</mi>
    <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>&#x2212;</mo><mi>p</mi><mo>)</mo></mrow>
    <mo>,</mo>
    <mi>&#x3C3;</mi><mo>=</mo>
    <msqrt><mi>n</mi><mi>p</mi><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>&#x2212;</mo><mi>p</mi><mo>)</mo></mrow></msqrt>
  </mrow>
</math>

E(X) = np, V(X) = np(1-p), sigma = sqrt(np(1-p))

{Mean[BinomialDistribution[n, p]], Variance[BinomialDistribution[n, p]], StandardDeviation[BinomialDistribution[n, p]]}

n*p; n*p*(1-p); sqrt(n*p*(1-p));

[m, v] = binostat(n, p); s = sqrt(v);

E(X) = np, V(X) = np(1-p), σ = √(np(1-p))

Approssimazione normale (regola pratica: \(np \ge 5\) e \(n(1-p) \ge 5\))

B(n, p) ≈ N(np, np(1 − p))

B(n,\ p) \approx N(np,\ np(1 - p))

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>B</mi><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>,</mo><mi>p</mi><mo>)</mo>
    <mo>&#x2248;</mo>
    <mi>N</mi><mo>(</mo><mi>n</mi><mi>p</mi><mo>,</mo>
    <mi>n</mi><mi>p</mi>
    <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>&#x2212;</mo><mi>p</mi><mo>)</mo></mrow>
    <mo>)</mo>
  </mrow>
</math>

B(n, p) ~~ N(np, np(1-p))

NormalDistribution[n p, Sqrt[n p (1 - p)]]

Normal(n*p, sqrt(n*p*(1-p)));

pd = makedist('Normal', 'mu', n*p, 'sigma', sqrt(n*p*(1-p)));

B(n, p) ≈ N(np, np(1-p))

Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo

Sei un assistente per il calcolo di matematica (probabilità e statistica). Fai il calcolo seguente eseguendo davvero codice Python e basa la risposta solo sui numeri del risultato dell’esecuzione (non rispondere con calcoli a mente o a caso).

Partecipi 10 volte a un’estrazione e a ogni partecipazione hai 1/6 di probabilità di vincere. Per la distribuzione binomiale del numero di vincite, trova:
1. La probabilità di vincere esattamente 2 volte, P(X=2) (come frazione ridotta ai minimi termini e come numero decimale)
2. La probabilità di al massimo 2 vincite, P(X≤2), e di almeno 2 vincite, P(X≥2)
3. La media E(X), la varianza V(X) e la deviazione standard σ
4. Se la regola pratica per l’approssimazione normale, np ≥ 5 e n(1−p) ≥ 5, è rispettata

In Python calcola in modo esatto con le frazioni e con math.comb della libreria standard e mostra le formule che hai usato e i numeri del risultato dell’esecuzione.

Come si usa

1

Inserisci i numeri

Scrivi nei campi i numeri con cui vuoi fare il calcolo
2

Calcola

Fai clic sul pulsante «Calcola»
3

Guarda il risultato

Il risultato compare subito. Nella stessa pagina trovi anche lo svolgimento del calcolo e la spiegazione della formula