Ottimizzazione del taglio dei pannelli (schema di taglio e numero di pannelli)

Inserisci le misure del pannello, la larghezza di taglio, la direzione della venatura e la larghezza, l’altezza e la quantità dei pezzi da tagliare (fino a 8 tipi di pezzo; le righe senza larghezza né altezza vengono ignorate). Lo spessore e il prezzo di un pannello possono restare vuoti.

Unità

Misure del pannello (larghezza × altezza, mm)

× mm

Larghezza di taglio (spessore della lama, mm)

Spessore (mm, facoltativo)

Direzione della venatura (rotazione dei pezzi) Pezzi da tagliare (larghezza, altezza, quantità)

Riga Nome (facoltativo) Larghezza (mm) Altezza (mm) Q.tà

Prezzo di un pannello (€, facoltativo)

Inserisci tutte le lunghezze in millimetri (mm). Una larghezza di taglio vuota vale 3 mm e una quantità vuota vale 1. I pezzi senza nome si chiamano «Pezzo A» … «Pezzo H».

Risultato e figura

Inserisci a sinistra le misure del pannello e la larghezza, l’altezza e la quantità dei pezzi da tagliare, poi premi «Calcola». Qui compaiono il risultato e un disegno dello schema di taglio.

Indice

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Cosa puoi fare in questa pagina
A cosa serve questo calcolo?
Come si usa
Formule e figure
Simboli e termini
- Simboli
- Termini
Cosa conviene sapere prima
Come calcolarlo con Excel
Come calcolarlo con Fogli Google
Come calcolarlo con Python
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
I punti di forza di DataChef
Funzioni correlate
Tutte le calcolatrici di NumberChef

Cosa puoi fare in questa pagina

Inserisci le misure del pannello (compensato, OSB o MDF da 2500 × 1250 mm, 2440 × 1220 mm, 2800 × 2070 mm… nell’elenco, o a mano) e la larghezza, l’altezza e la quantità dei pezzi da tagliare (fino a 8 tipi): vedi subito quanti pannelli comprare
Il calcolo tiene conto della larghezza di taglio (lo spessore della lama, 3 mm di default) e della direzione della venatura (se i pezzi si possono ruotare di 90°). Per un solo tipo di pezzo conta una griglia «in larghezza × in altezza» (confrontando anche l’orientamento ruotato e i pezzi ruotati nella fascia che avanza); per più tipi li raggruppa con il metodo a fasce, riempiendo le fasce dal pezzo più alto al più basso
Ottieni uno schema di taglio a colori per ogni pannello, che mostra dove va ogni pezzo, e una tabella come «Pannello 1: Piano×2+Fianco×2, sfrido 0,695 m²». Indica anche quanti pannelli si risparmiano raggruppando i pezzi invece di tagliare ogni tipo dai propri pannelli
Mostra la superficie degli sfridi, la resa (superficie totale dei pezzi ÷ superficie totale dei pannelli) e il numero minimo teorico di pannelli dalla superficie (il limite inferiore), e indica se lo schema lo raggiunge. Inserisci il prezzo di un pannello (facoltativo) per ottenere il costo stimato
Trovi anche una spiegazione semplice delle formule e le formule da copiare per Excel, Fogli Google e Python

Lo schema nasce da euristiche a passi fissi («allineare un solo tipo di pezzo in larghezza e in altezza» e «ordinare i pezzi per altezza e disporli in fasce», il metodo a fasce): non dà sempre il minor numero possibile di pannelli (la risposta migliore non è garantita). Si presuppone che ogni taglio vada da un bordo all’altro del pannello (un taglio a ghigliottina), cosa che corrisponde al servizio di taglio dei negozi di bricolage (solo tagli dritti; alcuni negozi limitano il numero di tagli per pannello). I programmi professionali di ottimizzazione cercano combinazioni più complesse, ma questo calcolo basta per acquistare e tagliare nel fai da te. Per un taglio solo in lunghezza, come listelli, travetti o tubi, usa la «Calcolatrice di taglio del legno».

A cosa serve questo calcolo?

Comprare il compensato per una libreria, una cassa o una scrivania fatte in casa

Per esempio, per una libreria con 2 piani da 1200 × 600 mm, 4 fianchi da 900 × 550 mm e 3 ripiani da 800 × 450 mm in compensato da 2500 × 1250 mm, comprare pannelli per ogni tipo di pezzo richiede 3 pannelli, ma raggrupparli in fasce per altezza ne richiede solo 2 (pannello 1: piani×2 + fianchi×2; pannello 2: fianchi×2 + ripiani×3).
I pannelli sono ingombranti e difficili da caricare in auto, e i resti occupano posto: fissare il numero di pannelli e lo schema prima di andare in negozio evita lo spreco. Calcola con «Allinea» un compensato decorativo la cui venatura deve restare allineata, e con «Indifferente» un compensato da costruzione o un pannello da verniciare, per risparmiare pannelli.

Dare le indicazioni al servizio di taglio del negozio di bricolage

Il servizio di taglio dei negozi di bricolage (sezionatrice) taglia solo «da un bordo all’altro, in linea retta»; il taglio si paga spesso a ogni taglio, e alcuni negozi limitano il numero di tagli per pannello. Lo schema di questa pagina rispetta questo modo di tagliare (taglio a ghigliottina): seguendo il disegno, «taglia prima dritto per tutta la lunghezza a 600 mm dall’alto, poi taglia di nuovo il pezzo in alto a 1200 mm da sinistra…», non ti perderai al banco (la larghezza di taglio è la parte che toglie la lama: le misure di taglio sono le misure dei pezzi).
Contare i tagli permette di stimare il prezzo del taglio e di verificare di essere entro il limite del negozio. Regola la larghezza di taglio sullo spessore della lama della sezionatrice del negozio (di solito intorno ai 3 mm; chiedi lì). Alcuni negozi rifiutano le fasce molto strette (di pochi centimetri) o i tagli in diagonale o che si fermano a metà: informati prima se hai molti pezzi sottili.

Adattare le misure fin dal progetto per ricavare più pezzi

Pezzi di 625 × 625 mm (un quarto di un pannello di 2500 × 1250 mm) sembrano dare 8 pezzi senza larghezza di taglio, ma con 3 mm se ne ricavano solo \(\lfloor 2503 \div 628 \rfloor = 3\) in larghezza e \(\lfloor 1253 \div 628 \rfloor = 1\) in altezza, cioè 3 pezzi. Passando a 622 × 622 mm, se ne ricavano 4 in larghezza × 2 in altezza = 8.
Modificare un poco le misure fin dal progetto può cambiare molto il numero di pannelli. Prova in questa calcolatrice, prima di comprare, aggiustamenti come ridurre di qualche millimetro la profondità di un ripiano o tagliare un piano in due: risparmierai materiale.

Preparare i materiali di una falegnameria, di una fabbrica di mobili o di un’azienda di insegne (ottimizzazione del taglio)

Nelle falegnamerie e nelle fabbriche di mobili, nelle aziende di insegne (pannelli compositi di alluminio, plexiglas) o nelle carpenterie in lamiera, il materiale pesa molto sul costo: lì si segue ogni giorno lo schema di taglio (l’ottimizzazione o «nesting») e la resa. La resa di questa pagina, superficie totale dei pezzi divisa per la superficie totale dei pannelli, segue la stessa definizione dell’azienda.
In un’officina si dispongono centinaia di pezzi diversi con programmi specializzati di ottimizzazione del taglio. Il metodo a fasce è un’euristica da manuale per disporre rettangoli, e una delle basi di quei programmi.

Plexiglas, vetro, lastre di cartongesso, pannelli decorativi e altri materiali in lastre

Tutto ciò che consiste nel «tagliare rettangoli da una lastra di formato standard» si calcola con le stesse formule del compensato: lastre di plexiglas o di PVC, lastre di cartongesso (spesso da 2000 o 2500 × 1200 mm), pannelli decorativi, OSB (2500 × 1250 mm), e così via. Per un materiale che si incide e poi si spezza, come il vetro, metti la larghezza di taglio a 0 (lo stesso con la piastrella tagliata con il tagliapiastrelle manuale; con una sega ad acqua conta lo spessore del disco), e scegli «Indifferente» per un materiale senza venatura per risparmiare lastre.
Il vetro e il plexiglas sottile si rompono facilmente, e i pannelli con un disegno impongono un verso: regola la larghezza di taglio e la rotazione in base al materiale.

Formule e figure

Pezzi per pannello con un solo tipo di pezzo

Figura

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(c\) \(=\) \(\lfloor\) \((\) \(W\) \(+\) \(k\) \()\) \(\div\) \((\) \(w\) \(+\) \(k\) \()\) \(\rfloor\)

\(r\) \(=\) \(\lfloor\) \((\) \(H\) \(+\) \(k\) \()\) \(\div\) \((\) \(h\) \(+\) \(k\) \()\) \(\rfloor\)

\(m\) \(=\) \(c\) \(\times\) \(r\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

④ \(c\): numero in larghezza \(=\) \(\lfloor\) \((\) ① \(W\): larghezza del pannello \(+\) ② \(k\): larghezza di taglio \()\) \(\div\) \((\) ③ \(w\): larghezza del pezzo \(+\) \(k\): larghezza di taglio \()\) \(\rfloor\)

⑦ \(r\): numero in altezza \(=\) \(\lfloor\) \((\) ⑤ \(H\): altezza del pannello \(+\) \(k\): larghezza di taglio \()\) \(\div\) \((\) ⑥ \(h\): altezza del pezzo \(+\) \(k\): larghezza di taglio \()\) \(\rfloor\)

⑧ \(m\): pezzi per pannello \(=\) \(c\): numero in larghezza \(\times\) \(r\): numero in altezza

La formula a parole

① Alla \(W\): larghezza del pannello si somma una

② \(k\): larghezza di taglio , e si divide per la

③ \(w\): larghezza del pezzo più la larghezza di taglio \(k\), e si arrotonda per difetto (il simbolo \(\lfloor\ \rfloor\) indica la «parte intera») per ottenere il

④ \(c\): numero in larghezza . Allo stesso modo, si divide la

⑤ \(H\): altezza del pannello più la larghezza di taglio per la

⑥ \(h\): altezza del pezzo più la larghezza di taglio, e si arrotonda per difetto per ottenere il

⑦ \(r\): numero in altezza . Moltiplicando i due si ottengono i

⑧ \(m\): pezzi per pannello

Un esempio semplice

Per tagliare ripiani da 800 × 500 mm da un pannello di compensato da 2500 × 1250 mm con una larghezza di taglio di 3 mm, il numero di pezzi per pannello è

\(c\): numero in larghezza \(=\) \(\lfloor\) \((\) larghezza del pannello (2500 mm) \(+\) larghezza di taglio (3 mm) \()\) \(\div\) \((\) larghezza del pezzo (800 mm) \(+\) larghezza di taglio (3 mm) \()\) \(\rfloor\)

\(r\): numero in altezza \(=\) \(\lfloor\) \((\) altezza del pannello (1250 mm) \(+\) larghezza di taglio (3 mm) \()\) \(\div\) \((\) altezza del pezzo (500 mm) \(+\) larghezza di taglio (3 mm) \()\) \(\rfloor\)

\(m\): pezzi per pannello \(=\) \(c\): numero in larghezza \(\times\) \(r\): numero in altezza

\(c = \lfloor 2503 \div 803 \rfloor = \lfloor 3{,}11 \cdots \rfloor = 3\)

\(r = \lfloor 1253 \div 503 \rfloor = \lfloor 2{,}49 \cdots \rfloor = 2\)

\(m = 3 \times 2 = 6\)

L’idea chiave

Per allineare \(n\) pezzi in larghezza, le larghezze degli \(n\) pezzi più le \(n - 1\) larghezze di taglio tra di essi devono stare nella larghezza del pannello (l’ultimo pezzo può arrivare fino al bordo: lì non c’è taglio). Cioè \(n \times w + (n - 1) \times k \leqslant W\), e sommando \(k\) a entrambi i lati si ottiene \(n \times (w + k) \leqslant W + k\). Quindi «larghezza del pannello + larghezza di taglio» diviso «larghezza del pezzo + larghezza di taglio», con arrotondamento per difetto, dà il numero in larghezza. L’altezza si tratta allo stesso modo: il taglio in due dimensioni è una moltiplicazione «numero in larghezza × numero in altezza». Questa formula usa il bordo di fabbrica del pannello come bordo dei pezzi; se i bordi sono rovinati o non sono a squadra e li rifili, inserisci le misure del pannello meno la striscia che togli. Dimenticare la larghezza di taglio può falsare il numero. Per esempio, pezzi di 625 × 625 mm (un quarto di un pannello di 2500 × 1250 mm) sembrano dare 4 in larghezza × 2 in altezza = 8 senza larghezza di taglio, ma con 3 mm si ottengono solo \(\lfloor 2503 \div 628 \rfloor = 3\) in larghezza e \(\lfloor 1253 \div 628 \rfloor = 1\) in altezza, cioè 3 pezzi (ruotarli non cambia nulla: il pezzo è quadrato). Con pezzi di 622 × 622 mm si torna a 4 × 2 = 8. Se la direzione della venatura non conta, questa calcolatrice ripete lo stesso calcolo con il pezzo ruotato di 90° (larghezza e altezza scambiate) e tiene il numero maggiore. Prova anche a mettere pezzi ruotati nella fascia che avanza a destra o in basso rispetto alla griglia (per esempio fianchi di 900 × 550 mm su un pannello di 2500 × 1250 mm: 2 in larghezza × 2 in altezza = 4, più 1 pezzo ruotato nella larghezza che avanza a destra, cioè 5). Questo calcolo semplice vale per un solo tipo di pezzo; più tipi di pezzo si raggruppano con il metodo a fasce qui sotto.

Pannelli se ogni pezzo si compra separatamente

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(B_i\) \(=\) \(\lceil\) \(q_i\) \(\div\) \(m_i\) \(\rceil\)

\(B_{\text{sep}}\) \(=\) \(B_1 + B_2 + \cdots\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

③ \(B_i\): pannelli necessari solo per il pezzo \(i\) \(=\) \(\lceil\) ① \(q_i\): quantità del pezzo \(i\) \(\div\) ② \(m_i\): pezzi per pannello \(\rceil\)

⑤ \(B_{\text{sep}}\): totale di pannelli comprando separatamente \(=\) ④ somma dei pannelli di ogni pezzo \(B_1,\ B_2,\ \ldots\)

La formula a parole

① Si divide la \(q_i\): quantità del pezzo \(i\) per i

② \(m_i\): pezzi per pannello e si arrotonda per eccesso (il simbolo \(\lceil\ \rceil\) indica l’«arrotondamento per eccesso») per ottenere i

③ \(B_i\): pannelli necessari solo per il pezzo \(i\) . La

④ somma dei pannelli di ogni pezzo \(B_1,\ B_2,\ \ldots\) dà il

⑤ \(B_{\text{sep}}\): totale di pannelli comprando separatamente

Un esempio semplice

Su pannelli da 2500 × 1250 mm (larghezza di taglio 3 mm, rotazione consentita), tagliare 2 piani da 1200 × 600 mm, 4 fianchi da 900 × 550 mm e 3 ripiani da 800 × 450 mm, ciascun tipo dai propri pannelli, richiede

\(\text{Piano}: \lceil 2 \div 4 \rceil = 1,\quad \text{Fianco}: \lceil 4 \div 5 \rceil = 1,\quad \text{Ripiano}: \lceil 3 \div 6 \rceil = 1\)

\(B_{\text{sep}} = 1 + 1 + 1 = 3\)

L’idea chiave

Questo calcolo semplice compra pannelli a parte per ogni tipo di pezzo: «pannelli per i piani», «pannelli per i fianchi» e così via. Un pannello dà 4 piani (2 in larghezza × 2 in altezza), quindi 2 piani richiedono 1 pannello (ne avanzerebbe per altri 2). Un pannello dà 5 fianchi (2 in larghezza × 2 in altezza, più 1 ruotato nella fascia di 694 mm che avanza a destra), quindi 4 fianchi richiedono 1 pannello. Un pannello dà 6 ripiani (3 in larghezza × 2 in altezza), quindi 3 ripiani richiedono 1 pannello (ne avanzerebbe per altri 3). In totale, 3 pannelli. Questo modo di procedere è facile da pensare e da tagliare, ma i pannelli dei piani e dei ripiani conservano grandi sfridi. Il metodo a fasce qui sotto riempie quei resti con altri pezzi per usare meno pannelli.

Schema con il metodo a fasce (condizione per stare in una fascia e per impilare le fasce)

Figura

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(w_1 + w_2 + \cdots + w_n\) \(+\) \((n - 1)\) \(\times\) \(k\) \(\leqslant\) \(W\)

\(h_1 + h_2 + \cdots + h_s\) \(+\) \((s - 1)\) \(\times\) \(k\) \(\leqslant\) \(H\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

① somma delle larghezze \(w_1,\ w_2,\ \ldots,\ w_n\) dei pezzi di una fascia \(+\) ② numero di pezzi della fascia \(n\) meno 1 \(\times\) ③ larghezza di taglio \(k\) \(\leqslant\) ④ larghezza del pannello \(W\)

⑤ somma delle altezze delle fasce (altezza del pezzo più alto di ogni fascia) \(h_1,\ h_2,\ \ldots,\ h_s\) \(+\) ⑥ numero di fasce \(s\) meno 1 \(\times\) larghezza di taglio \(k\) \(\leqslant\) ⑦ altezza del pannello \(H\)

La formula a parole

① Se la somma delle larghezze \(w_1,\ w_2,\ \ldots,\ w_n\) dei pezzi di una fascia più il prodotto del

② numero di pezzi della fascia \(n\) meno 1 per la

③ larghezza di taglio \(k\) (il totale dei tagli tra i pezzi) è al massimo uguale alla

④ larghezza del pannello \(W\) , i pezzi stanno nella fascia. Allo stesso modo, se la

⑤ somma delle altezze delle fasce (altezza del pezzo più alto di ogni fascia) \(h_1,\ h_2,\ \ldots,\ h_s\) più il prodotto del

⑥ numero di fasce \(s\) meno 1 per la larghezza di taglio \(k\) è al massimo uguale alla

⑦ altezza del pannello \(H\) , le fasce si possono impilare su quel pannello

Un esempio semplice

Con l’esempio precedente (2 piani da 1200 × 600 mm, 4 fianchi da 900 × 550 mm e 3 ripiani da 800 × 450 mm, larghezza di taglio 3 mm) disposti con il metodo a fasce su pannelli da 2500 × 1250 mm, il primo pannello riceve due fasce, «2 piani» e «2 fianchi»

\(\text{1ª fascia (altezza 600)}: 1200 + 1200 + 1 \times 3 = 2403 \leqslant 2500\)

\(\text{2ª fascia (altezza 550)}: 900 + 900 + 1 \times 3 = 1803 \leqslant 2500\)

\(\text{Altezza totale delle fasce}: 600 + 550 + 1 \times 3 = 1153 \leqslant 1250\)

L’idea chiave

Il metodo a fasce (FFDH, First Fit Decreasing Height) decide lo schema seguendo questi passi. 1) Ordinare tutti i pezzi dal più alto al più basso (a parità di altezza, dal più largo al più stretto, e poi secondo l’ordine delle righe inserite). 2) Prendere i pezzi in ordine e metterli ciascuno nella prima fascia esistente «dove la larghezza rimasta basta e la cui altezza non è minore di quella del pezzo». Se la direzione della venatura non conta, va bene anche una fascia dove il pezzo entra ruotato. 3) Se non c’è nessuna fascia possibile, aprire una fascia nuova nel primo pannello esistente «la cui altezza rimasta basta per il pezzo». Se non c’è nemmeno quello, aggiungere un pannello nuovo. L’altezza di una fascia è quella del primo pezzo collocato (il più alto della fascia). Dentro una fascia si avanza a destra di «larghezza + larghezza di taglio», e le fasce scendono di «altezza + larghezza di taglio»: da qui le due disuguaglianze qui sopra. Si taglia per fasce perché ogni taglio vada dritto da un bordo all’altro del pannello (taglio a ghigliottina), come fa il servizio di taglio di un negozio di bricolage (sezionatrice). Questa calcolatrice prova tutte le combinazioni dell’orientamento dei pezzi (se la venatura non conta: «lato lungo in larghezza», «lato lungo in altezza», «come inserito») e dell’orientamento delle fasce (fasce orizzontali o verticali), e tiene quella che richiede meno pannelli; la confronta anche con i metodi «riempire prima pannelli con un solo tipo di pezzo e poi disporre il resto in fasce» e «tagliare ogni pezzo separatamente», e mostra il migliore. Eppure il taglio in due dimensioni offre un numero enorme di combinazioni, e nulla garantisce che sia il minimo. I programmi professionali di ottimizzazione del taglio cercano combinazioni più complesse, e tagli che non attraversano tutto il pannello; nel fai da te è più pratico prendere questo risultato come riferimento e riutilizzare gli sfridi per piccoli oggetti.

Superficie di sfrido e resa

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(A_{\text{sfr}}\) \(=\) \(B\) \(\times\) \(W\) \(\times\) \(H\) \(-\) \(\sum_i q_i\,w_i\,h_i\)

\(Y\) \(=\) \(\sum_i q_i\,w_i\,h_i\) \(\div\) \((\) \(B\) \(\times\) \(W\) \(\times\) \(H\) \()\) \(\times\) \(100\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

⑤ superficie di sfrido \(A_{\text{sfr}}\) \(=\) ① numero di pannelli \(B\) \(\times\) ② larghezza del pannello \(W\) \(\times\) ③ altezza del pannello \(H\) \(-\) ④ somma delle superfici di tutti i pezzi \(\sum_i q_i\,w_i\,h_i\)

⑥ resa \(Y\) (%) \(=\) somma delle superfici di tutti i pezzi \(\sum_i q_i\,w_i\,h_i\) \(\div\) \((\) numero di pannelli \(B\) \(\times\) larghezza del pannello \(W\) \(\times\) altezza del pannello \(H\) \()\) \(\times\) \(100\)

La formula a parole

① Si moltiplica il numero di pannelli \(B\) per la

② larghezza del pannello \(W\) e per la

③ altezza del pannello \(H\) (superficie totale dei pannelli comprati), e si sottrae la

④ somma delle superfici di tutti i pezzi \(\sum_i q_i\,w_i\,h_i\) per ottenere la

⑤ superficie di sfrido \(A_{\text{sfr}}\) . Dividendo la superficie dei pezzi per la superficie totale dei pannelli e moltiplicando per 100, si ottiene la

⑥ resa \(Y\) (%)

Un esempio semplice

Per l’esempio precedente (2 piani, 4 fianchi e 3 ripiani disposti su 2 pannelli da 2500 × 1250 mm), la superficie di sfrido e la resa valgono

\(\sum q\,w\,h = 2 \times 1200 \times 600 + 4 \times 900 \times 550 + 3 \times 800 \times 450\)

\(= 1.440.000 + 1.980.000 + 1.080.000 = 4.500.000\ \text{mm}^2\)

\(A_{\text{sfr}} = 2 \times 2500 \times 1250 - 4.500.000 = 1.750.000\ \text{mm}^2 = 1{,}75\ \text{m}^2\)

\(Y = 4.500.000 \div 6.250.000 \times 100 = 72{,}0\%\)

L’idea chiave

La superficie di sfrido è la differenza tra «la superficie dei pannelli comprati» e «la superficie usata dai pezzi»: comprende quindi ciò che diventa segatura con la larghezza di taglio (con un taglio di 3 mm, tagliare 1 m di lunghezza fa perdere 3000 mm², cioè 0,003 m², e il conto cresce con il numero di pezzi). Poiché 1 m² = 1.000.000 mm², si divide per 1.000.000 un valore in mm² per passare ai m². La resa è la parte di materiale realmente usata per i pezzi: più si avvicina al 100%, meno si perde. Dipende molto da quanto le misure dei pezzi si accordano con quelle del pannello (alta se i pezzi dividono il pannello in parti uguali, bassa se le misure sono strane o i tipi sono molti); nel fai da te è normale avere un po’ di sfrido. Gli sfridi servono spesso per piccoli ripiani o rinforzi: la resa da sola non dice tutto.

Numero minimo teorico dalla superficie (limite inferiore)

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(B_{\min}\) \(=\) \(\lceil\) \(\sum_i q_i\,(w_i + k)(h_i + k)\) \(\div\) \((W + k)(H + k)\) \(\rceil\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

③ numero minimo teorico \(B_{\min}\) \(=\) \(\lceil\) ① somma per tutti i pezzi di (larghezza + larghezza di taglio) × (altezza + larghezza di taglio) \(\sum_i q_i\,(w_i + k)(h_i + k)\) \(\div\) ② (larghezza del pannello + larghezza di taglio) × (altezza del pannello + larghezza di taglio) \((W + k)(H + k)\) \(\rceil\)

La formula a parole

① Si divide la somma per tutti i pezzi di (larghezza + larghezza di taglio) × (altezza + larghezza di taglio) \(\sum_i q_i\,(w_i + k)(h_i + k)\) per

② (larghezza del pannello + larghezza di taglio) × (altezza del pannello + larghezza di taglio) \((W + k)(H + k)\) e si arrotonda per eccesso per ottenere il

③ numero minimo teorico \(B_{\min}\)

Un esempio semplice

Per l’esempio precedente (2 piani da 1200 × 600 mm, 4 fianchi da 900 × 550 mm e 3 ripiani da 800 × 450 mm, pannelli da 2500 × 1250 mm, larghezza di taglio 3 mm), il numero minimo teorico è

\(2 \times 1203 \times 603 + 4 \times 903 \times 553 + 3 \times 803 \times 453\)

\(= 1.450.818 + 1.997.436 + 1.091.277 = 4.539.531\)

\((2500 + 3) \times (1250 + 3) = 2503 \times 1253 = 3.136.259\)

\(4.539.531 \div 3.136.259 \approx 1{,}45,\quad \lceil 1{,}45 \rceil = 2\)

L’idea chiave

Per quanto bene si dispongano, i pezzi non entrano in pannelli di superficie totale inferiore alla loro. Contando la larghezza di taglio, si considera che «un pezzo occupa \((w + k) \times (h + k)\) e un pannello offre \((W + k) \times (H + k)\)»: il quoziente arrotondato per eccesso è il limite inferiore fissato dalla sola superficie (non si può fare con meno). Nell’esempio i 2 pannelli del metodo a fasce raggiungono il limite inferiore di 2: è quindi un numero ottimale, impossibile da ridurre. Ma nel taglio in due dimensioni è frequente che la superficie basti e che la forma non lo permetta. Per esempio, con un piano di 2400 × 600 mm e 2 fianchi di scatola di 650 × 650 mm su pannelli di 2500 × 1250 mm, il limite inferiore è di 1 pannello, ma l’altezza che resta sotto il piano è \(1250 - 600 - 3 = 647\) mm e i fianchi da 650 mm non ci stanno: servono 2 pannelli. La differenza tra il limite e il numero reale è più frequente che nel taglio del legno in una dimensione: quando il risultato è «Approssimato», cambiare la combinazione non permette necessariamente di risparmiare un pannello.

Pannelli risparmiati e costo stimato

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(\Delta\) \(=\) \(B_{\text{sep}}\) \(-\) \(B\)

\(T\) \(=\) \(u\) \(\times\) \(B\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

③ pannelli risparmiati \(\Delta\) \(=\) ① pannelli comprando separatamente \(B_{\text{sep}}\) \(-\) ② pannelli raggruppando \(B\)

⑤ costo stimato \(T\) \(=\) ④ prezzo di un pannello \(u\) \(\times\) pannelli raggruppando \(B\)

La formula a parole

① Dai pannelli comprando separatamente \(B_{\text{sep}}\) si sottraggono i

② pannelli raggruppando \(B\) per ottenere i

③ pannelli risparmiati \(\Delta\) . Il

④ prezzo di un pannello \(u\) moltiplicato per il numero di pannelli raggruppando \(B\) dà il

⑤ costo stimato \(T\)

Un esempio semplice

Nell’esempio precedente, con un pannello di compensato da 18 mm a 60 € (prezzo di esempio), i pannelli risparmiati e il costo sono

\(\Delta = 3 - 2 = 1\)

\(T = 60 \times 2 = 120\)

\(60 \times 3 - 120 = 60\)

L’idea chiave

Il costo comprando separatamente è \(u \times B_{\text{sep}}\), e il costo raggruppando è \(u \times B\): la differenza è \(u \times \Delta\). Inserisci come prezzo unitario il prezzo di un pannello. Il costo copre solo i pannelli stessi, non il taglio in negozio (spesso a pagamento per ogni taglio), il trasporto né la finitura. Per stimare il prezzo del taglio, conta il numero di linee di taglio dello schema.

Per un solo tipo di pezzo, «(larghezza del pannello + larghezza di taglio) ÷ (larghezza del pezzo + larghezza di taglio), con arrotondamento per difetto» × «lo stesso calcolo in altezza» dà il numero di pezzi per pannello. Più tipi di pezzo si raggruppano con il metodo a fasce, che riempie fasce dal pezzo più alto al più basso (ogni taglio attraversa il pannello da bordo a bordo: taglio a ghigliottina); se il risultato eguaglia il limite inferiore ricavato dalla superficie, non si può fare di meglio. Altrimenti, nel taglio in due dimensioni la forma dei pezzi di solito impedisce di raggiungere il limite: lo schema di questa calcolatrice è un riferimento che non garantisce la soluzione ottimale.

Simboli e termini

Simboli

\(W\)	doppia vu	La larghezza del pannello (mm), cioè la lunghezza orizzontale di un pannello comprato. Dalla parola inglese «width» (larghezza), maiuscola per distinguerla dalla larghezza \(w\) dei pezzi.
\(H\)	acca	L’altezza del pannello (mm), la sua lunghezza verticale. Dalla parola inglese «height» (altezza), maiuscola per distinguerla dall’altezza \(h\) dei pezzi. Se la direzione della venatura non conta, scambiare larghezza e altezza non cambia il numero (con «Allinea» vanno fatte coincidere con il verso dei pezzi).
\(w\), \(w_i\)	doppia vu, doppia vu i	La larghezza di un pezzo (il pannello che vuoi tagliare, in mm). La \(i\) di \(w_i\) è un numero: «l’\(i\)-esimo tipo di pezzo» (ci sono più tipi, come i piani, i fianchi e i ripiani).
\(h\), \(h_i\)	acca minuscola, acca i	L’altezza di un pezzo (mm). Nella formula del metodo a fasce, \(h_1,\ h_2,\ \ldots\) indicano anche l’altezza di ogni fascia (altezza della fascia = altezza del pezzo più alto della fascia).
\(k\)	cappa	La larghezza di taglio (spessore della lama, in mm). Ogni taglio fa perdere quella larghezza di legno. Dalla parola inglese «kerf» (larghezza del taglio).
\(c\)	ci	Il numero di pezzi allineati in larghezza quando si taglia un solo tipo di pezzo. Vale \(\lfloor (W + k) \div (w + k) \rfloor\). Dalla parola inglese «column» (colonna).
\(r\)	erre	Il numero di pezzi allineati in altezza quando si taglia un solo tipo di pezzo. Vale \(\lfloor (H + k) \div (h + k) \rfloor\). Dalla parola inglese «row» (riga).
\(m\), \(m_i\)	emme, emme i	Il numero di pezzi che si ricavano da un pannello quando si taglia un solo tipo di pezzo: \(m = c \times r\).
\(q_i\)	cu i	La quantità necessaria del pezzo \(i\). Dalla parola inglese «quantity» (quantità).
\(B_i\)	bi i	Il numero di pannelli necessari solo per il pezzo \(i\). Vale \(\lceil q_i \div m_i \rceil\).
\(B_{\text{sep}}\)	bi separato	Il numero totale di pannelli quando ogni tipo di pezzo si taglia dai propri pannelli (acquisto separato): la somma dei \(B_i\).
\(B\)	bi	Il numero di pannelli necessari raggruppando i pezzi (schema con il metodo a fasce e simili). È il valore principale di questa pagina.
\(n\)	enne	Il numero di pezzi allineati in una fascia. Tra di essi ci sono \(n - 1\) tagli, da qui il suo ruolo nella condizione per stare in una fascia. Da «numero».
\(s\)	esse	Il numero di fasce impilate su un pannello. Tra di esse ci sono \(s - 1\) tagli, da qui il suo ruolo nella condizione per impilare. Dalla parola inglese «shelf» (il nome inglese delle fasce).
\(A_{\text{sfr}}\)	a sfrido	La superficie degli sfridi (mm², m²): la superficie totale dei pannelli comprati meno quella dei pezzi, con la segatura della larghezza di taglio inclusa. \(A\) viene dalla parola inglese «area» (area).
\(Y\)	ipsilon	La resa (%): la superficie totale dei pezzi divisa per quella dei pannelli, moltiplicata per 100. Dalla parola inglese «yield» (resa).
\(B_{\min}\)	bi min	Il numero minimo teorico dalla superficie (il limite inferiore). Vale \(\lceil \sum_i q_i (w_i + k)(h_i + k) \div ((W + k)(H + k)) \rceil\); se il numero \(B\) raggruppando è uguale, lo schema è ottimale. «min» abbrevia minimo.
\(\Delta\)	delta	Il numero di pannelli risparmiati: \(B_{\text{sep}} - B\). La lettera greca delta si usa spesso per indicare una differenza.
\(u\)	u	Il prezzo di un pannello (€). Dalla «u» di «prezzo unitario».
\(T\)	ti	Il costo stimato (€), dalla prima lettera di «totale». Copre solo i pannelli, non il taglio né il trasporto.
\(\lfloor x \rfloor\)	parte intera	Il simbolo che arrotonda un numero per difetto (per esempio \(\lfloor 3{,}11 \rfloor = 3\), \(\lfloor 2 \rfloor = 2\)). Il numero di pezzi che si ricavano «lascia da parte ciò che non ci sta», da qui questo simbolo.
\(\lceil x \rceil\)	parte intera superiore	Il simbolo che arrotonda un numero per eccesso (per esempio \(\lceil 1{,}45 \rceil = 2\), \(\lceil 2 \rceil = 2\)). Il numero di pannelli che si comprano «aggiunge un pannello per ciò che manca», da qui questo simbolo.
\(\sum\)	sigma (sommatoria)	Il simbolo «somma tutto». \(\sum_i q_i w_i h_i\) vuol dire: calcolare \(q_i w_i h_i\) (quantità × larghezza × altezza) per ogni tipo di pezzo \(i\) e sommare tutto. È la lettera greca sigma, che corrisponde alla S di «somma».

Termini

pannello	La grande tavola da cui si tagliano i pezzi. Compensato, MDF, truciolare, melaminico, plexiglas, lamiera… qualsiasi materiale venduto in lastre di formato standard. Questa pagina lo tratta come un rettangolo di larghezza \(W\) × altezza \(H\).
schema di taglio	Il modo di ripartire i pezzi sui pannelli prima di tagliarli (si parla anche di distinta di taglio o di ottimizzazione del taglio). Questa pagina tratta il taglio in due dimensioni (larghezza e altezza); il taglio in una dimensione, solo in lunghezza, come listelli o tubi, si fa con la «Calcolatrice di taglio del legno».
larghezza di taglio	La larghezza di legno che si perde a ogni taglio, pari allo spessore della lama (in inglese «kerf»). Le lame delle seghe circolari o delle sezionatrici misurano di solito da 1,5 a 3 mm; si calcolano in genere circa 3 mm per le schegge e il segno a matita. Se conosci lo spessore della tua lama (di solito è inciso sulla lama), inseriscilo. La larghezza di taglio si somma a ogni taglio: pesa di più quanto più i pezzi sono piccoli e numerosi.
direzione della venatura	Il disegno della superficie del legno, che segue il verso delle fibre. In un compensato decorativo o nel legno massiccio, i pezzi con la venatura in disordine danno una finitura poco naturale: allora non si possono ruotare i pezzi di 90° nello schema di taglio. Questa pagina permette di scegliere la «Direzione della venatura». Per un compensato da costruzione o un pannello da verniciare, «Indifferente» è la scelta giusta.
taglio a ghigliottina	Un taglio dritto che attraversa il pannello da un bordo all’altro; poi i pezzi si tagliano di nuovo allo stesso modo. Le sezionatrici dei servizi di taglio dei negozi fanno solo questo tipo di taglio, ed è per questo che questa calcolatrice si limita agli schemi che si possono tagliare così (metodo a fasce). Ammettere tagli che si fermano a metà (tagli a L) permetterebbe a volte di sfruttare di più il pannello, ma sono difficili anche con una sega circolare.
metodo a fasce	Un metodo di disposizione che ordina i pezzi dal più alto al più basso e riempie il pannello dall’alto verso il basso con «fasce» che lo attraversano. In inglese FFDH (First Fit Decreasing Height, «nella prima fascia che va bene, per altezza decrescente»); è un’euristica classica di disposizione di rettangoli. I tagli attraversano il pannello da bordo a bordo: si può consegnare lo schema così com’è a un servizio di taglio. Semplice ed efficace, non dà sempre il minor numero possibile di pannelli.
sfrido	Il materiale che resta dopo aver tagliato i pezzi, come la striscia stretta al bordo del pannello o il pezzo che avanza a destra di una fascia. Meno sfridi ci sono, meno spreco c’è e maggiore è la resa. Gli sfridi grandi servono per piccoli ripiani o rinforzi.
resa	La parte di materiale realmente usata per i pezzi. In questa pagina è «superficie totale dei pezzi ÷ superficie totale dei pannelli comprati»; si avvicina al 100% quando diminuiscono gli sfridi e la larghezza di taglio. Si parla anche di tasso di utilizzo o di rendimento del materiale.
limite inferiore	Un valore al di sotto del quale non si può scendere, per quanto ingegnosi si sia. Il numero minimo teorico di questa pagina è un limite inferiore ricavato dalla superficie; se il numero di pannelli dello schema è uguale, si sa che lo schema è ottimale. Altrimenti, nel taglio in due dimensioni la forma dei pezzi di solito impedisce di raggiungerlo.
soluzione ottimale	La risposta migliore tra tutti i modi possibili; qui, lo schema che usa meno pannelli. Se il numero raggruppando eguaglia il limite inferiore, è una soluzione ottimale; altrimenti questa calcolatrice non esplora tutte le combinazioni e non può confermarlo.
euristica	Un metodo che dà in fretta una buona risposta con passi fissi, senza garanzia di raggiungere la soluzione ottimale. Nei problemi di combinazioni come il taglio dei pannelli, il numero di disposizioni possibili esplode con il numero di pezzi e non si può provare tutto: per questo si usano le euristiche, anche in ambito professionale. Il metodo a fasce e il calcolo a griglia di questa pagina lo sono.
compensato	Un pannello fatto di sottili fogli di legno (impiallacciature) incollati con la venatura incrociata (si chiama anche multistrato). Si deforma poco ed esiste in grandi formati, da cui il suo uso comune nel fai da te per ripiani, scatole e supporti. Esiste compensato di pioppo, di okoumé, di betulla, da costruzione e così via; gli spessori comuni sono 5, 10, 15, 18 e 22 mm, e i formati comuni sono 2500 × 1250 mm e 2440 × 1220 mm (misure non verificate per l’Italia).
MDF	Il pannello di fibre a media densità (Medium Density Fiberboard), detto in Italia MDF: fibre di legno incollate sotto pressione. La sua superficie è liscia e uniforme, ideale da verniciare. I formati comuni sono 2440 × 1220 mm e 2800 × 2070 mm (misure non verificate per l’Italia).
OSB	Il pannello di grandi scaglie di legno orientate e incollate (Oriented Strand Board). Economico e resistente, si usa soprattutto nell’edilizia (pareti, pavimenti, coperture) e si trova spesso in 2500 × 1250 mm (c’è anche il 2440 × 1220 mm, o con bordo ad incastro; misure non verificate per l’Italia).

Cosa conviene sapere prima

Ecco cosa conviene sapere per usare il calcolo di questa pagina capendone il senso, e non solo premendo il pulsante.

Divisione con resto (classi 3ª–4ª della primaria, 8-10 anni)	Capire che in «2500 diviso 800 fa 3 con resto 100», il quoziente dice «quanti pezzi ci stanno» e il resto «quanto avanza»
Arrotondamenti (classi 4ª–5ª della primaria, 9-11 anni)	Conoscere la differenza tra arrotondare per difetto, per eccesso e al numero intero più vicino Saper spiegare con parole tue «perché il numero di pezzi si arrotonda per difetto e il numero di pannelli da comprare per eccesso»
Area del rettangolo (classi 3ª–5ª della primaria, 8-11 anni)	Sapere che l’area di un rettangolo è larghezza × altezza, e passare tra mm² e m² (\(1\,\text{m}^2 = 1.000.000\,\text{mm}^2\))
Percentuali (classe 5ª della primaria e classe 1ª della secondaria di primo grado, 10-12 anni)	Saper esprimere un rapporto in percentuale (%), come la resa «superficie totale dei pezzi ÷ superficie totale dei pannelli × 100»
Espressioni letterali e disuguaglianze (classi 1ª–2ª della secondaria di primo grado, 11-13 anni)	Saper scrivere una condizione con le lettere, come «\(n\) pezzi ci stanno se \(n \times w + (n-1) \times k \leqslant W\)» Sapere che sommando lo stesso numero a entrambi i lati di una disuguaglianza il verso non cambia (passaggio a \(n(w + k) \leqslant W + k\))

Come calcolarlo con Excel

Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Excel. Funziona così com’è.

Tabella per calcolare i pezzi per pannello (un solo tipo di pezzo)

Larghezza del pannello (mm)	2500
Altezza del pannello (mm)	1250
Larghezza del pezzo (mm)	800
Altezza del pezzo (mm)	500
Larghezza di taglio (mm)	3
Numero in larghezza	=INT((B1+B5)/(B3+B5))
Numero in altezza	=INT((B2+B5)/(B4+B5))
Pezzi per pannello	=B6*B7

Tabella per calcolare i pannelli comprando separatamente

Quantità di pezzi	8
Pezzi per pannello	6
Pannelli necessari	=ARROTONDA.PER.ECC(B1/B2;0)

Tabella per calcolare la superficie di sfrido e la resa

Numero di pannelli	2
Larghezza del pannello (mm)	2500
Altezza del pannello (mm)	1250
Superficie totale dei pezzi (mm²)	4500000
Superficie di sfrido (mm²)	=B1B2B3-B4
Superficie di sfrido (m²)	=B5/1000000
Resa (%)	=B4/(B1B2B3)*100

Tabella per calcolare il numero minimo teorico dalla superficie

Somma per tutti i pezzi di (larghezza + larghezza di taglio) × (altezza + larghezza di taglio) (mm²)	4539531
(larghezza del pannello + larghezza di taglio) × (altezza del pannello + larghezza di taglio) (mm²)	3136259
Numero minimo teorico	=ARROTONDA.PER.ECC(B1/B2;0)

Tabella per calcolare i pannelli risparmiati e il costo stimato

Pannelli comprando separatamente	3
Pannelli raggruppando	2
Prezzo di un pannello (€)	60
Pannelli risparmiati	=B1-B2
Costo stimato (€)	=B3*B2

Dopo l’incolla, le righe in alto della colonna B sono i tuoi dati e le righe in basso si calcolano da sole.
«INT(valore)» arrotonda per difetto (il ⌊ ⌋ delle formule) e «ARROTONDA.PER.ECC(valore; 0)» arrotonda per eccesso (il ⌈ ⌉ delle formule).
B8 della prima tabella vale 6 (3 in larghezza × 2 in altezza), B3 della seconda tabella 2 pannelli, B6 della terza tabella 1,75 m² e B7 il 72% (2 piani, 4 fianchi e 3 ripiani su 2 pannelli), B3 della quarta tabella 2 pannelli, e la quinta tabella dà 1 pannello risparmiato per un costo di 120 €.
Lo schema con il metodo a fasce richiede di ordinare i pezzi per altezza e di disporli a mano da fascia a fascia: in un foglio di calcolo usa le tabelle soprattutto per verificare il numero di pezzi, gli sfridi e il limite inferiore, e fai lo schema in questa pagina o con il codice Python qui sotto.

Come calcolarlo con Fogli Google

Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Fogli Google. Funziona così com’è.

Tabella per calcolare i pezzi per pannello (un solo tipo di pezzo)

Larghezza del pannello (mm)	2500
Altezza del pannello (mm)	1250
Larghezza del pezzo (mm)	800
Altezza del pezzo (mm)	500
Larghezza di taglio (mm)	3
Numero in larghezza	=INT((B1+B5)/(B3+B5))
Numero in altezza	=INT((B2+B5)/(B4+B5))
Pezzi per pannello	=B6*B7

Tabella per calcolare i pannelli comprando separatamente

Quantità di pezzi	8
Pezzi per pannello	6
Pannelli necessari	=ARROTONDA.PER.ECC(B1/B2;0)

Tabella per calcolare la superficie di sfrido e la resa

Numero di pannelli	2
Larghezza del pannello (mm)	2500
Altezza del pannello (mm)	1250
Superficie totale dei pezzi (mm²)	4500000
Superficie di sfrido (mm²)	=B1B2B3-B4
Superficie di sfrido (m²)	=B5/1000000
Resa (%)	=B4/(B1B2B3)*100

Tabella per calcolare il numero minimo teorico dalla superficie

Somma per tutti i pezzi di (larghezza + larghezza di taglio) × (altezza + larghezza di taglio) (mm²)	4539531
(larghezza del pannello + larghezza di taglio) × (altezza del pannello + larghezza di taglio) (mm²)	3136259
Numero minimo teorico	=ARROTONDA.PER.ECC(B1/B2;0)

Tabella per calcolare i pannelli risparmiati e il costo stimato

Pannelli comprando separatamente	3
Pannelli raggruppando	2
Prezzo di un pannello (€)	60
Pannelli risparmiati	=B1-B2
Costo stimato (€)	=B3*B2

Si possono usare le stesse formule di Excel, con gli stessi nomi di funzione in italiano (INT e ARROTONDA.PER.ECC). Copia l’intera tabella, incollala nella cella A1 e sostituisci i numeri della colonna B con i tuoi.

Come calcolarlo con Python

import math

sheet_w, sheet_h = 2500, 1250  # larghezza e altezza del pannello (mm)
kerf = 3                       # larghezza di taglio (spessore della lama, mm)
rotate = True                  # True se la venatura non conta (i pezzi si possono ruotare di 90°)
unit_price = 60                # prezzo di un pannello (€), solo un esempio
# pezzi da tagliare: (nome, larghezza mm, altezza mm, quantità)
parts = [("Piano", 1200, 600, 2), ("Fianco", 900, 550, 4), ("Ripiano", 800, 450, 3)]

# pannelli se ogni pezzo si compra separatamente (griglia in larghezza × in altezza; se si può ruotare, si prova anche l’altro verso)
def per_sheet(w, h):
    return ((sheet_w + kerf) // (w + kerf)) * ((sheet_h + kerf) // (h + kerf))   # arrotondamento per difetto (il ⌊ ⌋ delle formule)
sheets_separate = 0
for name, w, h, qty in parts:
    m = max(per_sheet(w, h), per_sheet(h, w) if rotate else 0)
    sheets_separate += math.ceil(qty / m)   # arrotondamento per eccesso (il ⌈ ⌉ delle formule)

# pezzi raggruppati: metodo a fasce (per altezza decrescente, nella prima fascia che va bene; se si può ruotare, lato lungo in larghezza)
pieces = []
for name, w, h, qty in parts:
    pw, ph = (max(w, h), min(w, h)) if rotate else (w, h)
    pieces += [(name, pw, ph)] * qty
pieces.sort(key=lambda p: (-p[2], -p[1]))
sheets = []   # per ogni pannello {"y": posizione della fascia successiva, "shelves": [{"y", "h", "x", "parts"}]}
for name, pw, ph in pieces:
    for sheet in sheets:
        shelf = next((s for s in sheet["shelves"] if ph <= s["h"] and pw <= sheet_w - s["x"]), None)
        if shelf is None and ph <= sheet_h - sheet["y"]:
            shelf = {"y": sheet["y"], "h": ph, "x": 0, "parts": []}
            sheet["shelves"].append(shelf)
            sheet["y"] += ph + kerf
        if shelf is not None:
            shelf["parts"].append((name, shelf["x"], shelf["y"], pw, ph))
            shelf["x"] += pw + kerf
            break
    else:
        sheets.append({"y": ph + kerf, "shelves": [{"y": 0, "h": ph, "x": pw + kerf, "parts": [(name, 0, 0, pw, ph)]}]})

# sfridi, resa e limite inferiore dalla superficie
parts_area = sum(qty * w * h for name, w, h, qty in parts)
total_area = len(sheets) * sheet_w * sheet_h
lower_bound = math.ceil(sum(qty * (w + kerf) * (h + kerf) for name, w, h, qty in parts) / ((sheet_w + kerf) * (sheet_h + kerf)))

print(f"Acquisto separato di ogni pezzo: {sheets_separate} pannelli")
print(f"Pezzi raggruppati (metodo a fasce): {len(sheets)} pannelli (limite inferiore dalla superficie: {lower_bound})")
for i, sheet in enumerate(sheets, 1):
    for shelf in sheet["shelves"]:
        print(f"  Pannello {i} fascia (y={shelf['y']}): " + ", ".join(f"{n}@x={x} {pw}x{ph}" for n, x, y, pw, ph in shelf["parts"]))
print(f"Superficie di sfrido: {(total_area - parts_area) / 1e6:.3f} m²  Resa: {parts_area / total_area * 100:.1f} %")
print(f"Costo stimato: {unit_price * len(sheets)} €")

Funziona con la sola libreria standard. «//» è la divisione con arrotondamento per difetto (il ⌊ ⌋ delle formule) e math.ceil() l’arrotondamento per eccesso (il ⌈ ⌉). Questo codice è la forma base del metodo a fasce (lato lungo in larghezza, solo fasce orizzontali); se la calcolatrice di questa pagina trova meno pannelli con altre combinazioni di orientamento dei pezzi e delle fasce, o mettendo pezzi ruotati nelle fasce che avanzano, i numeri possono differire (sono identici se eguagliano il limite inferiore). L’else del ciclo for viene eseguito quando il ciclo termina senza break (il pezzo non ha trovato posto in nessun pannello) e aggiunge un pannello nuovo. Sostituisci con i tuoi valori le misure del pannello, la larghezza di taglio e l’elenco dei pezzi qui sopra, ed esegui il codice.

La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)

Pezzi per pannello con un solo tipo di pezzo

c = ⌊(W + k) ÷ (w + k)⌋,  r = ⌊(H + k) ÷ (h + k)⌋,  m = c × r

c = \left\lfloor \frac{W + k}{w + k} \right\rfloor,\quad r = \left\lfloor \frac{H + k}{h + k} \right\rfloor,\quad m = c \times r

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>c</mi>
    <mo>=</mo>
    <mo>&#x230A;</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>W</mi><mo>+</mo><mi>k</mi></mrow>
      <mrow><mi>w</mi><mo>+</mo><mi>k</mi></mrow>
    </mfrac>
    <mo>&#x230B;</mo>
    <mo>,</mo>
    <mi>r</mi>
    <mo>=</mo>
    <mo>&#x230A;</mo>
    <mfrac>
      <mrow><mi>H</mi><mo>+</mo><mi>k</mi></mrow>
      <mrow><mi>h</mi><mo>+</mo><mi>k</mi></mrow>
    </mfrac>
    <mo>&#x230B;</mo>
    <mo>,</mo>
    <mi>m</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>c</mi>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mi>r</mi>
  </mrow>
</math>

c = |__ (W + k) / (w + k) __|,  r = |__ (H + k) / (h + k) __|,  m = c * r

c = Floor[(W + k)/(w + k)]; r = Floor[(H + k)/(h + k)]; m = c*r

c := floor((W + k)/(w + k));  r := floor((H + k)/(h + k));  m := c*r;

c = floor((W + k)/(w + k)); r = floor((H + k)/(h + k)); m = c*r;

c = ⌊(W + k)/(w + k)⌋, r = ⌊(H + k)/(h + k)⌋, m = c × r

Pannelli se ogni pezzo si compra separatamente

Bᵢ = ⌈qᵢ ÷ mᵢ⌉,  Bsep = B₁ + B₂ + …

B_i = \left\lceil \frac{q_i}{m_i} \right\rceil,\quad B_{\text{sep}} = \sum_i B_i

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>B</mi><mi>i</mi></msub>
    <mo>=</mo>
    <mo>&#x2308;</mo>
    <mfrac><msub><mi>q</mi><mi>i</mi></msub><msub><mi>m</mi><mi>i</mi></msub></mfrac>
    <mo>&#x2309;</mo>
    <mo>,</mo>
    <msub><mi>B</mi><mtext>sep</mtext></msub>
    <mo>=</mo>
    <munder><mo>&#x2211;</mo><mi>i</mi></munder>
    <msub><mi>B</mi><mi>i</mi></msub>
  </mrow>
</math>

B_i = |~ q_i / m_i ~|,  B_"sep" = sum_i B_i

Total[Ceiling[q/m]]

B := add(ceil(q[i]/m[i]), i = 1 .. n);

B = sum(ceil(q ./ m));

B_i = ⌈q_i/m_i⌉, B_sep = ∑_i B_i

Schema con il metodo a fasce (condizione per stare in una fascia e per impilare le fasce)

w₁ + w₂ + … + wₙ + (n − 1)k ⩽ W,  h₁ + h₂ + … + hₛ + (s − 1)k ⩽ H

\sum_{j=1}^{n} w_j + (n - 1)k \leqslant W,\quad \sum_{t=1}^{s} h_t + (s - 1)k \leqslant H

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <munderover><mo>&#x2211;</mo><mrow><mi>j</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mi>n</mi></munderover>
    <msub><mi>w</mi><mi>j</mi></msub>
    <mo>+</mo>
    <mo>(</mo><mi>n</mi><mo>&#x2212;</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mi>k</mi>
    <mo>&#x2264;</mo>
    <mi>W</mi>
    <mo>,</mo>
    <munderover><mo>&#x2211;</mo><mrow><mi>t</mi><mo>=</mo><mn>1</mn></mrow><mi>s</mi></munderover>
    <msub><mi>h</mi><mi>t</mi></msub>
    <mo>+</mo>
    <mo>(</mo><mi>s</mi><mo>&#x2212;</mo><mn>1</mn><mo>)</mo><mi>k</mi>
    <mo>&#x2264;</mo>
    <mi>H</mi>
  </mrow>
</math>

sum_(j=1)^n w_j + (n - 1) k <= W,  sum_(t=1)^s h_t + (s - 1) k <= H

Total[w] + (Length[w] - 1)*k <= W && Total[h] + (Length[h] - 1)*k <= H

add(w[j], j = 1 .. n) + (n - 1)*k <= W;  add(h[t], t = 1 .. s) + (s - 1)*k <= H;

sum(w) + (numel(w) - 1)*k <= W && sum(h) + (numel(h) - 1)*k <= H

∑_(j=1)^n w_j + (n − 1)k ≤ W, ∑_(t=1)^s h_t + (s − 1)k ≤ H

Superficie di sfrido e resa

Asfr = B × W × H − Σ qᵢ wᵢ hᵢ,  Y = Σ qᵢ wᵢ hᵢ ÷ (B × W × H) × 100

A_{\text{sfr}} = B\,W\,H - \sum_i q_i w_i h_i,\quad Y = \frac{\sum_i q_i w_i h_i}{B\,W\,H} \times 100

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    <msub><mi>A</mi><mtext>sfr</mtext></msub>
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    <mi>B</mi><mo>&#x2062;</mo><mi>W</mi><mo>&#x2062;</mo><mi>H</mi>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <munder><mo>&#x2211;</mo><mi>i</mi></munder>
    <msub><mi>q</mi><mi>i</mi></msub><msub><mi>w</mi><mi>i</mi></msub><msub><mi>h</mi><mi>i</mi></msub>
    <mo>,</mo>
    <mi>Y</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><munder><mo>&#x2211;</mo><mi>i</mi></munder><msub><mi>q</mi><mi>i</mi></msub><msub><mi>w</mi><mi>i</mi></msub><msub><mi>h</mi><mi>i</mi></msub></mrow>
      <mrow><mi>B</mi><mo>&#x2062;</mo><mi>W</mi><mo>&#x2062;</mo><mi>H</mi></mrow>
    </mfrac>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mn>100</mn>
  </mrow>
</math>

A_"sfr" = B W H - sum_i q_i w_i h_i,  Y = (sum_i q_i w_i h_i) / (B W H) * 100

{B*W*H - Total[q*w*h], Total[q*w*h]/(B*W*H)*100}

Awaste := B*W*H - add(q[i]*w[i]*h[i], i = 1 .. n);  Y := add(q[i]*w[i]*h[i], i = 1 .. n)/(B*W*H)*100;

Awaste = B*W*H - sum(q .* w .* h); Y = sum(q .* w .* h)/(B*W*H)*100;

A_sfr = BWH − ∑_i q_i w_i h_i, Y = (∑_i q_i w_i h_i)/(BWH) × 100

Numero minimo teorico dalla superficie (limite inferiore)

Bmin = ⌈Σ qᵢ (wᵢ + k)(hᵢ + k) ÷ ((W + k)(H + k))⌉

B_{\min} = \left\lceil \frac{\sum_i q_i (w_i + k)(h_i + k)}{(W + k)(H + k)} \right\rceil

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    <msub><mi>B</mi><mi>min</mi></msub>
    <mo>=</mo>
    <mo>&#x2308;</mo>
    <mfrac>
      <mrow><munder><mo>&#x2211;</mo><mi>i</mi></munder><msub><mi>q</mi><mi>i</mi></msub><mo>(</mo><msub><mi>w</mi><mi>i</mi></msub><mo>+</mo><mi>k</mi><mo>)</mo><mo>(</mo><msub><mi>h</mi><mi>i</mi></msub><mo>+</mo><mi>k</mi><mo>)</mo></mrow>
      <mrow><mo>(</mo><mi>W</mi><mo>+</mo><mi>k</mi><mo>)</mo><mo>(</mo><mi>H</mi><mo>+</mo><mi>k</mi><mo>)</mo></mrow>
    </mfrac>
    <mo>&#x2309;</mo>
  </mrow>
</math>

B_min = |~ (sum_i q_i (w_i + k)(h_i + k)) / ((W + k)(H + k)) ~|

Ceiling[Total[q*(w + k)*(h + k)]/((W + k)*(H + k))]

Bmin := ceil(add(q[i]*(w[i] + k)*(h[i] + k), i = 1 .. n)/((W + k)*(H + k)));

Bmin = ceil(sum(q .* (w + k) .* (h + k))/((W + k)*(H + k)));

B_min = ⌈(∑_i q_i (w_i + k)(h_i + k))/((W + k)(H + k))⌉

Pannelli risparmiati e costo stimato

Δ = Bsep − B,  T = u × B

\Delta = B_{\text{sep}} - B,\quad T = u \times B

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  <mrow>
    <mi>&#x394;</mi>
    <mo>=</mo>
    <msub><mi>B</mi><mtext>sep</mtext></msub>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <mi>B</mi>
    <mo>,</mo>
    <mi>T</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>u</mi>
    <mo>&#xD7;</mo>
    <mi>B</mi>
  </mrow>
</math>

Delta = B_"sep" - B,  T = u * B

{bSep - b, u*b}

Delta := Bsep - B;  T := u*B;

Delta = Bsep - B; T = u*B;

Δ = B_sep − B, T = u × B

Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo

Sei un assistente di calcolo per il taglio dei pannelli (schema di taglio). Esegui il calcolo seguente eseguendo davvero codice Python e basa la risposta solo sui numeri ottenuti dall’esecuzione (non rispondere a memoria o a intuito).

Da pannelli di compensato da 2500 × 1250 mm, con una larghezza di taglio di 3 mm e pezzi che si possono ruotare di 90°, si tagliano 2 piani da 1200 × 600 mm, 4 fianchi da 900 × 550 mm e 3 ripiani da 800 × 450 mm.
Calcola ciascuno dei seguenti valori:
1. Per ogni pezzo, il numero di pezzi per pannello se si taglia solo quel pezzo (⌊(2500+3)÷(larghezza+3)⌋ × ⌊(1250+3)÷(altezza+3)⌋; calcola anche l’orientamento con larghezza e altezza scambiate e tieni il maggiore)
2. Il numero totale di pannelli se ogni tipo di pezzo si taglia dai propri pannelli (somma delle quantità ÷ pezzi per pannello, arrotondate per eccesso)
3. Il numero di pannelli e la posizione dei pezzi su ogni pannello con il metodo a fasce (First Fit Decreasing Height: pezzi ordinati per altezza decrescente, fasce che attraversano il pannello riempite dall’alto verso il basso; dentro una fascia si avanza di larghezza + larghezza di taglio, e le fasce scendono di altezza + larghezza di taglio)
4. La superficie di sfrido (superficie totale dei pannelli − superficie totale dei pezzi) e la resa (%)
5. Il numero minimo teorico dalla superficie (somma per tutti i pezzi di (larghezza+3) × (altezza+3), divisa per (2500+3) × (1250+3), arrotondata per eccesso)

Indica il codice usato e i numeri ottenuti dall’esecuzione.

Come si usa

1

Inserisci i numeri

Scrivi nei campi i numeri con cui vuoi fare il calcolo
2

Calcola

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3

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Il risultato compare subito. Nella stessa pagina trovi anche lo svolgimento del calcolo e la spiegazione della formula