Degli 8 campi qui sotto, compila solo i due che conosci. Considerando i due eventi indipendenti, tutte le altre probabilità vengono ricavate a ritroso.
Compila solo due campi e lascia vuoti gli altri. Scrivi ogni probabilità come numero da 0 a 1 (per esempio, il 30% è 0,3).
Risultato e figura
Compila solo i due campi che conosci e fai clic su «Calcola». Le altre probabilità compaiono qui.
Indice
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Cosa puoi fare in questa pagina
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A cosa serve questo calcolo?
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Come si usa
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Formule e figure
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Simboli e termini
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Cosa conviene sapere prima
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Come calcolarlo con Excel
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Come calcolarlo con Fogli Google
-
Come calcolarlo con Python
-
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
-
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
-
I punti di forza di DataChef
-
Funzioni correlate
-
Tutte le calcolatrici di NumberChef
Cosa puoi fare in questa pagina
- Due eventi hanno 8 probabilità: che ciascuno accada o non accada, che accadano entrambi, \(P(A \cap B)\), che ne accada almeno uno, \(P(A \cup B)\), e altre. Scrivi le due che conosci e tutte le altre vengono ricavate a ritroso
- È pensata per le domande «al contrario» a cui una calcolatrice normale non risponde facilmente, come «Almeno uno accade nel 58% dei casi e accadono entrambi nel 12%: qual è la probabilità di ciascuno?»
- Mostra non solo le risposte ma ogni passaggio del calcolo, quindi puoi usarla per controllare i compiti o i tuoi calcoli
- In questa pagina trovi anche una spiegazione semplice delle formule e le formule pronte da copiare per Excel, Fogli Google e Python
Funziona solo quando i due eventi non si influenzano (sono indipendenti). Vanno bene un dado e una moneta, dove il risultato dell’uno non c’entra con quello dell’altro. Non funziona quando il risultato di uno cambia la probabilità dell’altro, come in «estrarre due biglietti senza rimettere dentro il primo».
A cosa serve questo calcolo?
Ricavare le percentuali dei singoli prodotti dai risultati di un sondaggio (marketing)
Da un risultato di sondaggio come «il 58% delle persone conosce almeno uno tra i prodotti A e B e il 12% li conosce entrambi», puoi ricavare la notorietà di ciascun prodotto (30% e 40%). (È un calcolo di modello che considera indipendente la notorietà dei due.)
In marketing spesso hai solo i numeri complessivi, già riassunti. Questo calcolo a ritroso serve quando vuoi tirarne fuori i numeri dei singoli casi.
Stimare le probabilità di partenza dai risultati registrati
«Nel 14,5% dei giorni dell’anno almeno una di due macchine si è guastata. Nello 0,5% dei giorni si sono guastate entrambe nello stesso momento.» Da questi registri puoi ricavare il tasso di guasto di ciascuna macchina (5% e 10%).
I dati reali spesso registrano solo i risultati combinati, quindi stimare da essi le probabilità individuali è un’idea comune nella manutenzione degli impianti e nel miglioramento dei processi.
Misurare quanto funziona un sistema di doppio controllo (controllo qualità e revisione)
Due persone controllano dei documenti. I risultati passati dicono che «almeno una delle due trova un errore nel 90% dei casi e lo trovano entrambe nel 40%». Da qui puoi ricavare il tasso di individuazione di ciascuna (80% e 50%). (È un calcolo di modello che considera indipendenti i loro controlli.)
Puoi stimare la bravura di ciascun revisore dai risultati passati senza metterli alla prova uno per uno, quindi puoi ripensare l’organizzazione (chi lavora con chi, o se una persona basta) in base ai numeri.
Leggere le percentuali individuali dai dati di un’indagine sulla diffusione
Da un risultato di indagine come «l’85% delle persone possiede almeno uno tra smartphone e tablet e il 35% li possiede entrambi», puoi ricavare la percentuale di possesso di ciascuno (70% e 50%). (È una stima approssimativa che considera indipendente il possesso dei due.)
Le statistiche pubblicate a volte danno solo numeri nella forma «almeno uno» ed «entrambi». Con questo calcolo puoi ricavare le percentuali individuali che ti interessano.
Formule e figure
Le relazioni che valgono sempre per due eventi indipendenti
Figura
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(P(A \cap B)\)
\(=\)
\(P(A)\)
\(\times\)
\(P(B)\)
\(P(A \cup B)\)
\(=\)
\(P(A)\)
\(+\)
\(P(B)\)
\(-\)
\(P(A)\,P(B)\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
③
\(P(A \cap B)\): probabilità che accadano entrambi
\(=\)
①
\(P(A)\): probabilità che A accada
\(\times\)
②
\(P(B)\): probabilità che B accada
④
\(P(A \cup B)\): probabilità che accada almeno uno
\(=\)
\(P(A)\): probabilità che A accada
\(+\)
\(P(B)\): probabilità che B accada
\(-\)
probabilità che accadano entrambi (il prodotto)
La formula a parole
①
Parti dalla
\(P(A)\): probabilità che A accada
②
moltiplicala per la
\(P(B)\): probabilità che B accada
③
e ottieni la
\(P(A \cap B)\): probabilità che accadano entrambi
(la prima formula)
④
Somma le due probabilità e sottrai il prodotto (la probabilità che accadano entrambi) e ottieni la
\(P(A \cup B)\): probabilità che accada almeno uno
(la seconda formula)
Queste due relazioni valgono sempre per due eventi indipendenti. Quindi, se conosci due qualsiasi delle 8 probabilità, puoi percorrere le relazioni a ritroso e ricavare tutte le altre.
Un esempio semplice
Se sai che la probabilità che accadano entrambi è 0,12 e che ne accada almeno uno è 0,58, cerca «due numeri che sommati danno 0,7 e moltiplicati danno 0,12». Quei numeri sono P(A) e P(B)
accadono entrambi (0,12)
\(=\)
\(P(A)\): A accade (?)
\(\times\)
\(P(B)\): B accade (?)
\(P(A) + P(B) = 0{,}58 + 0{,}12 = 0{,}7\)
\(P(A) \times P(B) = 0{,}12\)
\(\Rightarrow\ P(A) = 0{,}3\ ;\ \ P(B) = 0{,}4\)
L’idea chiave
Perché bastano due valori per trovare tutti gli altri? Ciascuna delle 8 probabilità si può scrivere usando \(P(A)\) e \(P(B)\), quindi in realtà le incognite sono solo due. Con due incognite bastano due indizi (equazioni) per ricavarle. È la stessa idea di un sistema di equazioni: «due equazioni nelle incognite \(x\) e \(y\) si possono risolvere».
Nota che «accadono entrambi» e «accade almeno uno» non cambiano se scambi A e B. Quindi, quando parti da questi due dati, non puoi sapere quale dei due è A e puoi ottenere due soluzioni con A e B scambiati. Inoltre, con dati contraddittori, per esempio «accadono entrambi» maggiore di «accade almeno uno», nessun insieme di probabilità va bene e il risultato è «nessuna soluzione».
Il quadrato a destra nella figura qui sopra rappresenta il totale come un quadrato di area 1, con base \(P(A)\) e altezza \(P(B)\). L’area del rettangolo in basso a sinistra, \(P(A) \times P(B)\), è la probabilità che accadano entrambi. Per questo la prima formula è una moltiplicazione. Il diagramma di Venn a sinistra mostra solo quale parte è quale: tutto ciò che sta dentro i due cerchi è la probabilità che accada almeno uno. (Le aree dei cerchi non corrispondono alle grandezze delle probabilità.)
Tutte le 8 probabilità sono determinate da soli due valori, \(P(A)\) e \(P(B)\). Quindi, al contrario, se ne conosci due qualsiasi puoi ricavare tutte le altre.
Simboli e termini
Simboli
| \(P(A)\) | P di A | La probabilità che l’evento A accada. P è l’iniziale di «probabilità». |
| \(A'\) | non A (evento contrario) | L’evento «A non accade», detto evento contrario di A. Si scrive anche \(A^c\) o \(\overline{A}\). Si ricava con \(P(A') = 1 - P(A)\). |
| \(\cap\) | intersezione | Il simbolo di «e». \(A \cap B\) è l’evento «accadono sia A sia B». In un diagramma di Venn è la parte in cui i due cerchi si sovrappongono. |
| \(\cup\) | unione | Il simbolo di «o». \(A \cup B\) è l’evento «accade almeno uno tra A e B». In un diagramma di Venn è tutto ciò che sta dentro i due cerchi. |
| \(\Delta\) | delta (differenza simmetrica) | Il simbolo di «uno solo». \(A \Delta B\) è l’evento «accade uno solo tra A e B (non tutti e due)». |
Termini
| evento | Qualcosa che accade oppure no, per esempio «ottenere un 6 lanciando un dado» o «domani piove». In probabilità questi risultati si chiamano eventi e si indicano con nomi come A e B. |
| indipendente | Quando il risultato di un evento non cambia la probabilità dell’altro. Estrarre un secondo biglietto senza rimettere dentro il primo non è indipendente, perché il primo risultato cambia la probabilità del secondo. Il calcolo a ritroso di questa pagina vale solo per eventi indipendenti. |
| evento contrario | L’evento opposto: quello in cui l’evento considerato non accade. Se la probabilità che accada è 0,3, la probabilità che non accada (la probabilità dell’evento contrario) è \(1 - 0{,}3 = 0{,}7\). |
| sistema di equazioni | Un modo per trovare due numeri incogniti mettendo insieme due equazioni. Il calcolo a ritroso di questa pagina risolve un sistema di equazioni nelle due incognite \(P(A)\) e \(P(B)\). |
| equazione di secondo grado | Trovare «due numeri che sommati danno \(S\) e moltiplicati danno \(P\)» porta a un’equazione di secondo grado. La maggior parte dei calcoli a ritroso di questa pagina finisce in questa forma. |
| formula risolutiva | La formula che risolve passo dopo passo qualsiasi equazione di secondo grado, \(x = \dfrac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\). Le equazioni di secondo grado a cui portano i calcoli di questa pagina si risolvono con essa. |
| discriminante | La parte sotto la radice quadrata nella formula risolutiva, \(b^2 - 4ac\). Se è positiva ci sono due soluzioni, se è 0 ce n’è esattamente una e se è negativa nessun numero va bene (nessuna soluzione reale). Un discriminante negativo è il motivo più comune per cui questa pagina mostra «nessuna soluzione». |
Cosa conviene sapere prima
Ecco cosa ti aiuta a usare il calcolo di questa pagina capendolo davvero, e non solo premendo il pulsante.
| Probabilità di base (scuola secondaria di primo grado, 11-14 anni) |
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| Probabilità di due eventi indipendenti (la pagina gemella di questo sito) |
|
| Equazioni di primo grado (scuola secondaria di primo grado, 11-14 anni) |
|
| Equazioni di secondo grado e formula risolutiva (scuola secondaria di secondo grado, biennio, 14-16 anni) |
|
Come calcolarlo con Excel
Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Excel. Funziona così com’è.
Tabella per ricavare P(A) e P(B) da «accadono entrambi» e «accade almeno uno»
| Accadono entrambi, P(A∩B) | 0,12 |
| Accade almeno uno, P(A∪B) | 0,58 |
| P(A) (la soluzione più piccola) | =(B1+B2-RADQ((B1+B2)^2-4*B1))/2 |
| P(B) (la soluzione più grande) | =(B1+B2+RADQ((B1+B2)^2-4*B1))/2 |
Dopo aver incollato, B1 e B2 sono i tuoi dati e B3 e B4 mostrano P(A) e P(B) ricavate a ritroso.
Usa le relazioni P(A) + P(B) = P(A∪B) + P(A∩B) e P(A) × P(B) = P(A∩B) e risolve l’equazione di secondo grado che ne risulta con la formula risolutiva.
RADQ è la funzione della radice quadrata. I dati per cui il numero sotto la radice è negativo non hanno soluzione e mostrano un errore (#NUM!).
Per altre combinazioni (per esempio quando conosci P(A) e P(A∪B)) usa come guida la sezione «Passaggi del calcolo» che la calcolatrice di questa pagina mostra.
Usa le relazioni P(A) + P(B) = P(A∪B) + P(A∩B) e P(A) × P(B) = P(A∩B) e risolve l’equazione di secondo grado che ne risulta con la formula risolutiva.
RADQ è la funzione della radice quadrata. I dati per cui il numero sotto la radice è negativo non hanno soluzione e mostrano un errore (#NUM!).
Per altre combinazioni (per esempio quando conosci P(A) e P(A∪B)) usa come guida la sezione «Passaggi del calcolo» che la calcolatrice di questa pagina mostra.
Come calcolarlo con Fogli Google
Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Fogli Google. Funziona così com’è.
Tabella per ricavare P(A) e P(B) da «accadono entrambi» e «accade almeno uno»
| Accadono entrambi, P(A∩B) | 0,12 |
| Accade almeno uno, P(A∪B) | 0,58 |
| P(A) (la soluzione più piccola) | =(B1+B2-RADQ((B1+B2)^2-4*B1))/2 |
| P(B) (la soluzione più grande) | =(B1+B2+RADQ((B1+B2)^2-4*B1))/2 |
Le stesse formule di Excel funzionano così come sono. Copia l’intera tabella, incollala nella cella A1 e sostituisci i numeri in B1 e B2 con i tuoi valori.
Come calcolarlo con Python
import math
p_both = 0.12 # accadono entrambi, P(A∩B)
p_at_least_one = 0.58 # accade almeno uno, P(A∪B)
sum_of_pa_pb = p_at_least_one + p_both # P(A) + P(B)
product_of_pa_pb = p_both # P(A) × P(B)
discriminant = sum_of_pa_pb ** 2 - 4 * product_of_pa_pb # discriminante dell’equazione di secondo grado
if discriminant < 0:
print("Nessuna soluzione (nessuna probabilità soddisfa questa combinazione)")
else:
sqrt_of_discriminant = math.sqrt(discriminant)
p_a = (sum_of_pa_pb - sqrt_of_discriminant) / 2
p_b = (sum_of_pa_pb + sqrt_of_discriminant) / 2
print(f"P(A) = {p_a}, P(B) = {p_b}")
È un esempio per quando conosci «accadono entrambi» e «accade almeno uno». Cambia i due valori in alto e avvia il codice. Quando ci sono due risposte, l’altra soluzione è data dagli stessi valori con P(A) e P(B) scambiati.
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
Le relazioni che valgono sempre per due eventi indipendenti
P(A∩B) = P(A) × P(B), P(A∪B) = P(A) + P(B) − P(A)×P(B)
P(A \cap B) = P(A)\,P(B), \quad P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A)\,P(B)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>∩</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
<mo>,</mo>
<mspace width="1em"></mspace>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>∪</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo>
<mo>+</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
<mo>−</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
</mrow>
</math>
P(A nn B) = P(A) P(B), P(A uu B) = P(A) + P(B) - P(A) P(B)
Solve[{pa*pb == 0.12, pa + pb - pa*pb == 0.58}, {pa, pb}]
solve({pa*pb = 0.12, pa + pb - pa*pb = 0.58}, {pa, pb});
syms pa pb; sol = solve(pa*pb == 0.12, pa + pb - pa*pb == 0.58, pa, pb);
P(A∩B) = P(A) × P(B), P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A)×P(B)
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
Sei un assistente per il calcolo delle probabilità. Fai il calcolo seguente eseguendo davvero codice Python e basa la risposta solo sui numeri del risultato dell’esecuzione (non rispondere con calcoli a mente o a caso). Per due eventi indipendenti A e B sappiamo che la probabilità che accadano entrambi è P(A∩B) = 0,12 e che la probabilità che ne accada almeno uno è P(A∪B) = 0,58. Trova P(A) e P(B). Poi trova anche la probabilità che ciascuno non accada, la probabilità che ne accada uno solo, P(AΔB), e la probabilità che non accada nessuno dei due. Se ci sono due soluzioni, mostrale entrambe. Mostra in una tabella le formule che hai usato e i risultati dell’esecuzione.
Come si usa
-
1Inserisci i numeriScrivi nei campi i numeri con cui vuoi fare il calcolo
-
2CalcolaFai clic sul pulsante «Calcola»
-
3Guarda il risultatoIl risultato compare subito. Nella stessa pagina trovi anche lo svolgimento del calcolo e la spiegazione della formula
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Nessuna filigrana
Nessun obbligo di attribuzione
Nessun obbligo di attribuzione
Uso commerciale consentito
Uso commerciale gratuito
Nessuna autorizzazione preventiva necessaria
Nessuna autorizzazione preventiva necessaria
Funzioni correlate
Probabilità di due eventi indipendenti (e, o, nessuno dei due)
Calcola la probabilità che accadano entrambi, che ne accada almeno uno e altro, a partire da due probabilità
Probabilità di prove ripetute (n volte di fila, almeno una volta)
Calcola la probabilità che qualcosa accada n volte di fila, o almeno una volta in n tentativi
