Scrivi il numero intero che vuoi scomporre in fattori primi. Ottieni insieme il prodotto dei fattori, la forma con gli esponenti, i passaggi della scomposizione in colonna e il numero di divisori.
Scrivi un numero intero da 2 fino a 100.000 miliardi (100.000.000.000.000).
Risultato
Scrivi un numero intero nel campo a sinistra e fai clic su «Calcola». Il risultato comparirà qui.
Indice
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Cosa puoi fare in questa pagina
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A cosa serve questo calcolo?
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Come si usa
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Formula
-
Simboli e termini
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Cosa conviene sapere prima
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Come calcolarlo con Excel
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Come calcolarlo con Fogli Google
-
Come calcolarlo con Python
-
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
-
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
-
I punti di forza di DataChef
-
Funzioni correlate
-
Tutte le calcolatrici di NumberChef
Cosa puoi fare in questa pagina
- Scrivi un numero intero da 2 in su e ottieni subito la sua scomposizione in fattori primi, scritta come prodotto, per esempio \(2 \times 2 \times 5 \times 5\)
- Vedi anche la forma con gli esponenti (\(2^{2} \times 5^{2}\)) e i passaggi della scomposizione in colonna
- Come applicazione della scomposizione in fattori primi, calcola anche quanti divisori ha il numero
- Se scrivi un numero primo (un numero che non si può scomporre oltre) ti dice che è primo, quindi puoi usarla anche per controllare se un numero è primo
- In questa pagina trovi anche la spiegazione semplice delle formule e le formule da copiare e incollare per Excel, Fogli Google e Python
Puoi usare numeri interi da 2 fino a 100.000 miliardi (100.000.000.000.000). L’1 è un numero speciale, né primo né composto, quindi non ha una scomposizione in fattori primi.
A cosa serve questo calcolo?
Semplificare le frazioni trovando il massimo comun divisore (scuola e calcoli di ogni giorno)
Anche una frazione grande come \(\frac{84}{126}\) si semplifica passo dopo passo con la scomposizione in fattori primi. \(84 = 2^{2} \times 3 \times 7\) e \(126 = 2 \times 3^{2} \times 7\), quindi la parte in comune \(2 \times 3 \times 7 = 42\) è il massimo comun divisore (MCD). Dividi numeratore e denominatore per 42 e ottieni \(\frac{2}{3}\).
Semplificare le frazioni, trovare il denominatore comune e trovare il minimo comune multiplo (mcm) si basano tutti sulla scomposizione in fattori primi, che rende più chiari tutti i calcoli con le frazioni.
La crittografia RSA, che protegge gli acquisti e le banche online
La crittografia RSA, che protegge per esempio i numeri delle carte di credito, si basa sul fatto che scomporre un numero molto grande richiede un tempo enorme, anche per i computer. Per scomporre un numero di 232 cifre (RSA-768) sono serviti circa due anni, con centinaia di computer.
Un computer scompone in un istante un numero intorno a 100.000 miliardi (15 cifre), ma la difficoltà esplode quando le cifre aumentano. È questa differenza a tenere al sicuro internet.
Progettare ingranaggi e cicli che si ripetono (costruzione e officina)
Un ingranaggio con 12 denti e uno con 18 denti tornano alla posizione di partenza dopo il passaggio di 36 denti, il minimo comune multiplo di \(12 = 2^{2} \times 3\) e \(18 = 2 \times 3^{2}\) (3 giri dell’ingranaggio piccolo e 2 di quello grande).
La scomposizione in fattori primi è uno strumento affidabile per trovare i minimi comuni multipli, quindi si usa nei progetti che distribuiscono l’usura degli ingranaggi in modo uniforme e per capire quando più cicli coincidono.
Contare i modi di dividere un gruppo in parti uguali (eventi e classi)
In quanti modi si possono dividere 36 persone in gruppi tutti uguali? Da \(36 = 2^{2} \times 3^{2}\), il numero di divisori è \((2+1) \times (2+1) = 9\), quindi i modi sono 9, da «36 gruppi da 1 persona» a «1 gruppo da 36».
Per le squadre, per una pavimentazione o per mettere dei prodotti in scatole, ogni volta che vuoi dividere in parti uguali puoi contare le possibilità senza elencarle tutte.
Le cicale periodiche, numeri primi in natura
Negli Stati Uniti orientali alcune cicale escono tutte insieme dal terreno ogni 13 o 17 anni (le cicale periodiche). Un ciclo di durata prima coincide di rado con gli altri cicli. Per esempio, le cicale di 13 anni e un predatore con un ciclo di 12 anni compaiono nello stesso anno solo una volta ogni 156 anni, il loro minimo comune multiplo.
Un’ipotesi accreditata è che avere un ciclo primo le abbia aiutate a sopravvivere. Calcolando con la scomposizione in fattori primi quanto di rado i cicli coincidono, puoi verificare questa idea da solo.
Formula
Scomposizione in fattori primi (scrivere un numero come prodotto di soli numeri primi)
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(n\)
\(=\)
\(p_1 \times p_2 \times \cdots \times p_k\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
①
\(n\): numero di partenza
\(=\)
②
prodotto dei fattori primi \(p_1, p_2, \ldots, p_k\)
La formula a parole
①
Il
\(n\): numero di partenza
si scrive come
②
prodotto dei fattori primi \(p_1, p_2, \ldots, p_k\)
in un solo modo, a parte l’ordine dei fattori
Un esempio semplice
Scomponendo 100 con la scomposizione in colonna, cioè dividendo per i numeri primi più piccoli (100 ÷ 2 = 50, 50 ÷ 2 = 25, 25 ÷ 5 = 5), si ottiene
numero di partenza (100)
\(=\)
prodotto dei fattori primi (2 × 2 × 5 × 5)
\(100 = 2 \times 2 \times 5 \times 5\)
L’idea chiave
I numeri primi (2, 3, 5, 7, 11, …) non hanno altri divisori oltre a 1 e a se stessi. Sono i mattoni dei numeri interi, le parti che non si possono spezzare ulteriormente. La scomposizione in fattori primi divide un numero intero in questi mattoni e, per ogni numero intero da 2 in su, il risultato è sempre lo stesso, a parte l’ordine dei fattori (il teorema fondamentale dell’aritmetica).
Quando scomponi a mano, il modo più sicuro è dividere per i numeri primi più piccoli in ordine (2 → 3 → 5 → …), ciascuno tante volte quante volte divide il numero senza resto (divisione per tentativi). Anche l’albero dei fattori, in cui spezzi il numero in due fattori qualsiasi e continui a spezzare, porta alla fine agli stessi numeri primi.
Forma con gli esponenti (riunire i fattori primi uguali)
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(n\)
\(=\)
\(p\)
\(a\)
\(\times\)
\(q\)
\(b\)
\(\times \cdots\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
⑤
\(n\): numero di partenza
\(=\)
①
\(p\): un fattore primo
②
\(a\): numero di volte
\(\times\)
③
\(q\): un altro fattore primo
④
\(b\): numero di volte
\(\times \cdots\)
La formula a parole
①
Prendi
\(p\): un fattore primo
②
moltiplicato per sé stesso
\(a\): numero di volte (esponente)
③
poi prendi
\(q\): un altro fattore primo
④
moltiplicato per sé stesso
\(b\): numero di volte (esponente)
e moltiplica tutto insieme
⑤
per ottenere di nuovo il
\(n\): numero di partenza
Un esempio semplice
Riunendo i fattori primi uguali di 100 = 2 × 2 × 5 × 5 e scrivendoli con gli esponenti si ottiene
numero di partenza (100)
\(=\)
fattore primo 2
2 volte
\(\times\)
fattore primo 5
2 volte
\(100 = 2 \times 2 \times 5 \times 5 = 2^{2} \times 5^{2}\)
L’idea chiave
Quando lo stesso fattore primo compare 2 o più volte, lo si riunisce scrivendo in alto a destra un piccolo numero (l’esponente) che indica quante volte viene moltiplicato: è una potenza. Scrivi i fattori primi dal più piccolo al più grande.
Un fattore primo che compare una sola volta non ha esponente. Per esempio, in \(360 = 2^{3} \times 3^{2} \times 5\) il 5 si scrive così com’è, senza esponente.
Numero di divisori (un’applicazione della scomposizione in fattori primi)
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(d\)
\(=\)
\((a+1)\)
\(\times\)
\((b+1)\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
③
\(d\): numero di divisori
\(=\)
①
\((a+1)\): esponente di \(p\) più 1
\(\times\)
②
\((b+1)\): esponente di \(q\) più 1
La formula a parole
①
Moltiplica
\((a+1)\): esponente del fattore primo \(p\) più 1
②
per
\((b+1)\): esponente del fattore primo \(q\) più 1
③
e ottieni il
\(d\): numero di divisori
Un esempio semplice
La scomposizione in fattori primi di 100 è \(2^{2} \times 5^{2}\). Quindi il numero di divisori di 100 è
\(d\): numero di divisori
\(=\)
esponente di 2 più 1 (2 + 1)
\(\times\)
esponente di 5 più 1 (2 + 1)
\((2+1) \times (2+1) = 3 \times 3 = 9\)
L’idea chiave
Se elenchi davvero i divisori di 100 ottieni 1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50 e 100: sono 9, come dice la formula.
Perché si aggiunge 1 a ogni esponente? Ogni divisore di 100 si ottiene scegliendo il fattore primo 2 zero, una o due volte (3 scelte) e il fattore primo 5 zero, una o due volte (3 scelte), e moltiplicando. Anche scegliere un numero primo zero volte conta, quindi le scelte sono una in più dell’esponente. Con 3 o più fattori primi diversi si moltiplicano allo stesso modo tutti i valori (esponente + 1).
La scomposizione in fattori primi scrive un numero intero come prodotto di soli numeri primi, e il risultato è unico. Quando la fai a mano, il modo più sicuro è la scomposizione in colonna, in cui si divide per i numeri primi più piccoli in ordine.
Simboli e termini
Simboli
| \(n\) | n | Il numero intero di partenza che vuoi scomporre (da 2 in su). (Esempio - 100) |
| \(p, q\) | p, q | Fattori primi (numeri primi che dividono \(n\) senza resto). Si scrivono dal più piccolo al più grande. (Esempio - i fattori primi di 100 sono 2 e 5) |
| \(p^{a}\) | p alla a | Il fattore primo \(p\) moltiplicato per sé stesso \(a\) volte. Il piccolo \(a\) in alto a destra è l’esponente e significa «moltiplica \(a\) volte». (Esempio - \(2^{2} = 2 \times 2 = 4\)) |
| \(d\) | d | Il numero di divisori. La lettera è l’iniziale di «divisore». (Esempio - per 100, \(d = 9\)) |
Termini
| numero primo | Un numero intero da 2 in su i cui unici divisori sono 1 e se stesso - 2, 3, 5, 7, 11, 13, … L’1 non è un numero primo e il 2 è l’unico numero primo pari. |
| numero composto | Un numero intero da 2 in su che non è primo. In altre parole, un numero che si ottiene moltiplicando 2 o più numeri primi (esempio - 100 = 2 × 2 × 5 × 5). |
| fattore primo | Un numero primo che divide un numero intero senza resto. I fattori primi di 100 sono 2 e 5. |
| scomposizione in fattori primi | Scrivere un numero intero come prodotto di soli numeri primi. Il risultato è sempre lo stesso, a parte l’ordine dei fattori. Si dice anche fattorizzazione. |
| divisore | Un numero intero che divide un numero senza resto. 12 ha 6 divisori - 1, 2, 3, 4, 6 e 12. Si usa anche la parola «fattore» quando il numero si scrive come prodotto. |
| esponente | Il piccolo numero scritto in alto a destra che dice quante volte moltiplicare. \(2^{3}\) significa 2 moltiplicato 3 volte (\(2 \times 2 \times 2 = 8\)). |
| teorema fondamentale dell’aritmetica | Il teorema secondo cui ogni numero intero da 2 in su si scrive come prodotto di numeri primi in un solo modo. È il motivo per cui una scomposizione in fattori primi ha una sola risposta. |
| scomposizione in colonna | Un metodo scritto che divide per numeri primi piccoli, uno dopo l’altro. Si scrive a sinistra il numero primo per cui si divide e sotto il quoziente, e si finisce quando il quoziente è un numero primo. Moltiplicando tutti i numeri primi scritti a sinistra e l’ultimo quoziente si riottiene il numero di partenza. A scuola si usa anche l’albero dei fattori, che porta agli stessi numeri primi. |
| divisione per tentativi | Un modo di scomporre un numero provando a dividerlo, in ordine, per i numeri primi più piccoli - 2, 3, 5, … Se nessun numero fino a \(\sqrt{n}\) lo divide senza resto, il numero rimasto è primo. |
Cosa conviene sapere prima
Ecco cosa ti aiuta a usare il calcolo di questa pagina capendo davvero che cosa stai facendo, e non solo premendo il pulsante.
Se ti blocchi, ripassare questi argomenti è la via più rapida.
| Tabelline e divisione (classi 2ª–3ª della primaria, 7-9 anni) |
|
| Numeri pari e dispari, divisori e multipli (classi 4ª–5ª della primaria, 9-11 anni) |
|
| Numeri primi e scomposizione in fattori primi (classe 1ª della secondaria di primo grado, 11-12 anni) |
|
| Potenze ed esponenti (classe 1ª della secondaria di primo grado, 11-12 anni) |
|
Come calcolarlo con Excel
Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Excel. Funziona così com’è.
Tabella per verificare che i fattori primi moltiplicati riportino al numero di partenza
| Fattore primo 1 | 2 |
| Fattore primo 2 | 2 |
| Fattore primo 3 | 5 |
| Fattore primo 4 | 5 |
| Numero di partenza n | =B1*B2*B3*B4 |
Tabella per ricavare il numero di partenza dalla forma con gli esponenti
| Fattore primo p | 2 |
| Esponente di p, a | 2 |
| Fattore primo q | 5 |
| Esponente di q, b | 2 |
| Numero di partenza n | =B1^B2*B3^B4 |
Tabella per trovare il numero di divisori
| Esponente di p, a | 2 |
| Esponente di q, b | 2 |
| Numero di divisori d | =(B1+1)*(B2+1) |
Excel non ha una funzione che faccia la scomposizione in fattori primi in un solo passaggio, quindi queste tabelle servono a verificare se una scomposizione è corretta. La scomposizione vera e propria falla con la calcolatrice di questa pagina o con Python.
La prima tabella controlla che moltiplicando tutti i fattori primi si riottenga il numero di partenza. B5 mostra 2 × 2 × 5 × 5 = 100.
La seconda tabella parte dalla forma con gli esponenti (2² × 5²). «^» è il simbolo della potenza (quante volte moltiplicare). B5 mostra 100.
La terza tabella trova il numero di divisori. B3 mostra (2+1) × (2+1) = 9. Basta sostituire i fattori primi e gli esponenti con i tuoi risultati.
La prima tabella controlla che moltiplicando tutti i fattori primi si riottenga il numero di partenza. B5 mostra 2 × 2 × 5 × 5 = 100.
La seconda tabella parte dalla forma con gli esponenti (2² × 5²). «^» è il simbolo della potenza (quante volte moltiplicare). B5 mostra 100.
La terza tabella trova il numero di divisori. B3 mostra (2+1) × (2+1) = 9. Basta sostituire i fattori primi e gli esponenti con i tuoi risultati.
Come calcolarlo con Fogli Google
Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Fogli Google. Funziona così com’è.
Tabella per verificare che i fattori primi moltiplicati riportino al numero di partenza
| Fattore primo 1 | 2 |
| Fattore primo 2 | 2 |
| Fattore primo 3 | 5 |
| Fattore primo 4 | 5 |
| Numero di partenza n | =B1*B2*B3*B4 |
Tabella per ricavare il numero di partenza dalla forma con gli esponenti
| Fattore primo p | 2 |
| Esponente di p, a | 2 |
| Fattore primo q | 5 |
| Esponente di q, b | 2 |
| Numero di partenza n | =B1^B2*B3^B4 |
Tabella per trovare il numero di divisori
| Esponente di p, a | 2 |
| Esponente di q, b | 2 |
| Numero di divisori d | =(B1+1)*(B2+1) |
Le stesse formule di Excel funzionano così come sono. Copia tutta la tabella, incollala nella cella A1 e sostituisci i fattori primi e gli esponenti con i tuoi risultati.
Come calcolarlo con Python
number = 100 # il numero intero da scomporre (da 2 in su)
prime_factors = [] # elenco dei fattori primi, dal più piccolo
remaining = number
divisor = 2
while divisor * divisor <= remaining:
while remaining % divisor == 0: # continua a dividere per lo stesso numero finché la divisione è esatta
prime_factors.append(divisor)
remaining //= divisor
divisor += 1
if remaining > 1: # ciò che resta e supera 1 è un numero primo
prime_factors.append(remaining)
print(f"Fattori primi di {number}: {prime_factors}")
Funziona con la sola libreria standard. È la divisione per tentativi scritta come codice - si prova se ogni numero, dal più piccolo, divide il numero senza resto. «%» dà il resto di una divisione e «//=» divide e scarta la parte decimale. Cambia number all’inizio ed esegui il codice. Per 100 stampa [2, 2, 5, 5].
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
Scomposizione in fattori primi (scrivere un numero come prodotto di soli numeri primi)
n = p₁ × p₂ × ⋯ × pₖ
n = p_1 \times p_2 \times \cdots \times p_k
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>n</mi>
<mo>=</mo>
<msub><mi>p</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>×</mo>
<msub><mi>p</mi><mn>2</mn></msub>
<mo>×</mo>
<mo>⋯</mo>
<mo>×</mo>
<msub><mi>p</mi><mi>k</mi></msub>
</mrow>
</math>
n = p_1 xx p_2 xx cdots xx p_k
FactorInteger[n]
ifactor(n);
factor(n)
n = p_1 × p_2 × ⋯ × p_k
Forma con gli esponenti (riunire i fattori primi uguali)
n = pᵃ × qᵇ × ⋯
n = p^{a} \times q^{b} \times \cdots
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>n</mi>
<mo>=</mo>
<msup><mi>p</mi><mi>a</mi></msup>
<mo>×</mo>
<msup><mi>q</mi><mi>b</mi></msup>
<mo>×</mo>
<mo>⋯</mo>
</mrow>
</math>
n = p^a xx q^b xx cdots
p^a * q^b
n := p^a * q^b;
n = p^a * q^b;
n = p^a × q^b × ⋯
Numero di divisori (un’applicazione della scomposizione in fattori primi)
d = (a + 1) × (b + 1)
d = (a+1) \times (b+1)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>d</mi>
<mo>=</mo>
<mo>(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo>
<mo>×</mo>
<mo>(</mo><mi>b</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo>
</mrow>
</math>
d = (a + 1) xx (b + 1)
(a + 1)*(b + 1)
d := (a + 1)*(b + 1);
d = (a + 1)*(b + 1);
d = (a + 1) × (b + 1)
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
Sei un assistente per il calcolo con i numeri interi. Esegui il calcolo seguente eseguendo davvero del codice Python e basa la risposta solo sui numeri ottenuti dall’esecuzione (non rispondere a mente né a stima). Trova la scomposizione in fattori primi di 360. 1. Elenca tutti i fattori primi dal più piccolo al più grande (ripeti un fattore primo tante volte quante compare) 2. Scrivila con gli esponenti (per esempio nella forma 2^3 × 3^2 × 5) 3. Trova anche il numero di divisori di 360 Mostra il codice che hai usato e i numeri ottenuti dall’esecuzione.
Come si usa
-
1Inserisci i numeriScrivi nei campi i numeri con cui vuoi fare il calcolo
-
2CalcolaFai clic sul pulsante «Calcola»
-
3Guarda il risultatoIl risultato compare subito. Nella stessa pagina trovi anche lo svolgimento del calcolo e la spiegazione della formula
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Nessun obbligo di attribuzione
Nessun obbligo di attribuzione
Uso commerciale consentito
Uso commerciale gratuito
Nessuna autorizzazione preventiva necessaria
Nessuna autorizzazione preventiva necessaria
Funzioni correlate
Calcolatrice per semplificare le frazioni (ridurre ai minimi termini)
Divide numeratore e denominatore per il loro massimo comun divisore e ottiene la frazione ridotta ai minimi termini
Calcolatrice di frazioni (addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione)
Calcola addizione, sottrazione, moltiplicazione e divisione di frazioni con i passaggi
Da frazione a numero decimale (numeratore ÷ denominatore, decimali periodici)
Calcola il numero decimale a partire da numeratore e denominatore. Funziona anche con le frazioni che danno un numero periodico
