Scrivi i coefficienti a, b e c del primo membro, ax² + bx + c, e il segno che lo confronta con 0. La disequazione qui sotto è collegata ai campi, quindi puoi anche modificare i coefficienti direttamente al suo interno.
Puoi usare numeri decimali, numeri negativi e frazioni come 3/4. Una a lasciata vuota vale 1 (x² significa 1x²), una b o una c lasciata vuota vale 0. Se a è 0, si risolve come disequazione di primo grado.
Risultato e grafico
Scrivi i coefficienti a, b e c e il segno nei campi a sinistra e fai clic su «Calcola». Qui compaiono l’insieme delle soluzioni, i passaggi e il grafico.
Indice
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Cosa puoi fare in questa pagina
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A cosa serve questo calcolo?
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Come si usa
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Formule e grafici
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Coefficiente di \(x^{2}\) positivo e due radici (\(>0\) vuol dire «valori esterni alle due radici»)
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Coefficiente di \(x^{2}\) positivo e due radici (\(<0\) vuol dire «valori interni alle due radici»)
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Il discriminante (decide la forma della soluzione)
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Coefficiente di \(x^{2}\) negativo (si moltiplicano entrambi i membri per \(-1\) per renderlo positivo)
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Simboli e termini
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Cosa conviene sapere prima
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Come calcolarlo con Excel
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Come calcolarlo con Fogli Google
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Come calcolarlo con Python
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La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
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Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
-
I punti di forza di DataChef
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Funzioni correlate
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Tutte le calcolatrici di NumberChef
Cosa puoi fare in questa pagina
- Trova l’insieme delle soluzioni di una disequazione di secondo grado come \(ax^{2}+bx+c>0\) scrivendo solo i coefficienti e scegliendo il segno. Sono supportati tutti e quattro i segni, \(>\), \(\ge\), \(<\) e \(\le\)
- I passaggi si dividono in casi secondo il segno del discriminante \(D=b^{2}-4ac\) (in Italia si scrive spesso \(\Delta\)), riga per riga, nello stesso ordine di un libro di testo. Oltre ai «valori esterni alle radici» e ai «valori interni», gestisce anche le risposte insidiose come \(x \neq \alpha\), nessuna soluzione e tutti i numeri reali
- Quando il coefficiente di \(x^{2}\) è negativo, i passaggi mostrano anche la moltiplicazione di entrambi i membri per \(-1\) con l’inversione del verso della disequazione
- Gli estremi sono mostrati come valori esatti con i radicali semplificati, per esempio \(\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\), con il decimale accanto quando sono irrazionali. I coefficienti possono essere numeri decimali, negativi o frazioni come 3/4
- Un grafico a colori della parabola e dell’insieme delle soluzioni ti fa vedere che «la soluzione di \(y>0\) è l’intervallo di \(x\) in cui il grafico sta sopra l’asse \(x\)»
- In questa pagina trovi anche una spiegazione semplice delle formule e le formule da copiare e incollare in Excel, Fogli Google e Python
Il secondo membro è fissato a 0. Se a destra c’è un’espressione, come in \(x^{2}+2x > 3x+1\), porta prima tutto a sinistra (qui scrivi \(x^{2}-x-1>0\)). Se scrivi 0 per il coefficiente \(a\) di \(x^{2}\), non è una disequazione di secondo grado, quindi si risolve come disequazione di primo grado \(bx+c>0\) (se anche \(b\) è 0, resta solo una costante e la risposta è «tutti i numeri reali» oppure «nessuna soluzione»).
A cosa serve questo calcolo?
Quando una palla lanciata in alto sta sopra una certa altezza (sport e fisica)
L’altezza di un oggetto lanciato dritto verso l’alto è una funzione quadratica del tempo \(t\) in secondi: \(h = v_{0}t - 5t^{2}\) metri, dove \(v_{0}\) è la velocità iniziale in metri al secondo (con l’accelerazione di gravità semplificata a circa 10 m/s²). Chiedersi «per quanto tempo sta ad almeno una certa altezza?» dà direttamente una disequazione di secondo grado.
Per una palla lanciata verso l’alto a 20 metri al secondo, il tempo in cui sta ad almeno 15 metri di altezza viene da \(20t - 5t^{2} \ge 15\), cioè \(t^{2} - 4t + 3 \le 0\), che dà da 1 a 3 secondi dopo il lancio, 2 secondi in tutto. La resistenza dell’aria è trascurata, ma dà un’idea di quanto restano visibili i fuochi d’artificio o di quanto dura in aria un pallone calciato in alto.
Trovare la velocità massima per fermarsi in sicurezza (sicurezza stradale)
Lo spazio di arresto di un’auto è la distanza percorsa mentre si reagisce e si frena (spazio percorso nel tempo di reazione) più la distanza percorsa durante la frenata (spazio di frenata). Lo spazio nel tempo di reazione cresce in proporzione alla velocità, ma lo spazio di frenata cresce con il quadrato della velocità, quindi lo spazio di arresto è una funzione quadratica della velocità.
Con un tempo di reazione di 1 secondo e un coefficiente di attrito tra strada e pneumatici di 0,7, lo spazio di arresto è circa \(v + \dfrac{v^{2}}{13{,}72}\) metri (\(v\) in metri al secondo, con \(g = 9{,}8\) m/s²). Per fermarsi entro 60 metri di visibilità libera si risolve \(v + \dfrac{v^{2}}{13{,}72} \le 60\): la velocità deve essere al massimo di circa 22,6 metri al secondo, cioè circa 81 km/h. I limiti di velocità e le distanze di sicurezza si basano su relazioni quadratiche come questa.
Trovare l’intervallo di prezzo che dà un utile (negozi e attività)
Alzando il prezzo aumenta l’utile per pezzo, ma si vendono meno pezzi. Quando il numero di pezzi venduti è una funzione di primo grado del prezzo, l’utile (utile per pezzo × pezzi venduti − costi fissi) è una funzione quadratica del prezzo, e «i prezzi per cui l’utile è almeno 0» si ricavano da una disequazione di secondo grado.
Supponi che un articolo costi 3 € per essere prodotto, che a un prezzo di \(p\) euro se ne vendano \(1000 - 200p\) e che i costi fissi siano 100 €. Risolvendo \((p-3)(1000-200p) - 100 \ge 0\) si vede che c’è utile tra circa 3,29 € e 4,71 €. La sensazione che «troppo basso o troppo alto, in entrambi i casi si perde» è confermata dai numeri.
Ottenere l’area che serve con una lunghezza fissa di materiale (progettazione, fai da te, agricoltura)
Per un rettangolo con il perimetro fissato, scegliere la lunghezza fissa anche la larghezza, quindi l’area è una funzione quadratica della lunghezza. «Quali misure danno almeno l’area che mi serve?» è una disequazione di secondo grado.
Supponi di recintare un orto rettangolare con 40 metri di rete e di volere almeno 91 metri quadrati. Con una lunghezza di \(x\) metri, la larghezza è \(20-x\) metri, quindi \(x(20-x) \ge 91\), che dà una lunghezza da 7 a 13 metri. Si vede anche che più ci si avvicina a un quadrato, più l’area è grande (qui il massimo è 100 metri quadrati con 10 metri).
Trovare la larghezza in cui un arco è abbastanza alto (edilizia e trasporti)
La sezione di un ponte ad arco o di una galleria parabolici si può scrivere come funzione quadratica. «A quale distanza dal centro può passare un veicolo alto?» è proprio una disequazione di secondo grado.
Supponi che un arco largo 80 metri e alto 16 metri al centro sia \(y = -0{,}01x^{2} + 16\) (\(x\) è la distanza dal centro). La parte alta almeno 15 metri viene da \(-0{,}01x^{2} + 16 \ge 15\): 10 metri da ciascun lato del centro, 20 metri di larghezza in tutto. Decisioni come tenere i camion grandi vicino al centro o mettere un limite di altezza si basano su calcoli come questo.
Formule e grafici
Coefficiente di \(x^{2}\) positivo e due radici (\(>0\) vuol dire «valori esterni alle due radici»)
Grafico
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(x\)
\(<\)
\(\alpha\)
\(\ \text{o}\ \)
\(\beta\)
\(<\)
\(x\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
③
\(x\): soluzione
\(<\)
①
\(\alpha\): radice minore
\(\ \text{o}\ \)
②
\(\beta\): radice maggiore
\(<\)
\(x\): soluzione
La formula a parole
①
Siano \(\alpha < \beta\) le due radici dell’equazione di secondo grado \(ax^{2}+bx+c=0\). La parte minore di
\(\alpha\): radice minore
e
②
la parte maggiore di
\(\beta\): radice maggiore
(cioè all’esterno delle due radici)
③
è
\(x\): soluzione
(perché una parabola con la concavità rivolta verso l’alto sta sopra l’asse \(x\) all’esterno dei due punti di intersezione)
Un esempio semplice
La soluzione di \(x^{2}-3x+2>0\) (poiché \(x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2)\), le radici di \(=0\) sono \(x=1,\ 2\)) è
\(x\): soluzione
\(<\)
radice minore (1)
\(\ \text{o}\ \)
radice maggiore (2)
\(<\)
\(x\): soluzione
\((x-1)(x-2) > 0\)
\(x < 1 \ \text{o}\ 2 < x\)
L’idea chiave
Pensa a una disequazione di secondo grado non come a «un calcolo» ma come a «leggere dove il grafico sta sopra (o sotto) l’asse \(x\)». Così hai molto meno da memorizzare.
Una parabola con il coefficiente di \(x^{2}\) positivo ha la concavità rivolta verso l’alto (a forma di valle). Quando taglia l’asse \(x\) in due punti, solo la parte centrale, compreso il fondo della valle, scende sotto l’asse \(x\), mentre le parti esterne salgono sopra. Quindi la soluzione di \(>0\) sono i valori esterni alle radici e la soluzione di \(<0\) sono i valori interni.
«All’esterno» sono due intervalli separati, quindi scrivili uniti da «o», come in \(x<1\) o \(2<x\). Scriverli come un’unica catena, come \(2<x<1\), è sbagliato, perché vorrebbe dire che \(x\) è maggiore di 2 e minore di 1 nello stesso tempo.
Quando il segno comprende «uguale», come in \(\ge 0\), anche gli estremi sono inclusi: \(x \le 1\) o \(2 \le x\).
Coefficiente di \(x^{2}\) positivo e due radici (\(<0\) vuol dire «valori interni alle due radici»)
Grafico
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(\alpha\)
\(<\)
\(x\)
\(<\)
\(\beta\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
①
\(\alpha\): radice minore
\(<\)
③
\(x\): soluzione
\(<\)
②
\(\beta\): radice maggiore
La formula a parole
①
La parte maggiore di
\(\alpha\): radice minore
e
②
minore di
\(\beta\): radice maggiore
(cioè tra le due radici)
③
è
\(x\): soluzione
(perché una parabola con la concavità rivolta verso l’alto scende sotto l’asse \(x\) tra i due punti di intersezione)
Un esempio semplice
La soluzione di \(x^{2}-3x+2<0\) (le radici di \(=0\) sono \(x=1,\ 2\), come prima) è
radice minore (1)
\(<\)
\(x\): soluzione
\(<\)
radice maggiore (2)
\((x-1)(x-2) < 0\)
\(1 < x < 2\)
L’idea chiave
Con lo stesso \(x^{2}-3x+2\), basta invertire il verso della disequazione per scambiare la soluzione da «esterna» a «interna». Se il primo membro è lo stesso, gli estremi (le radici di \(=0\)) sono sempre gli stessi; cambia solo da quale lato degli estremi si prende la soluzione.
\(1<x<2\) significa i valori di \(x\) che soddisfano nello stesso tempo \(1<x\) e \(x<2\): «maggiore di 1 e minore di 2». Risolvere più disequazioni insieme in questo modo si chiama sistema di disequazioni, e la forma \(A<B<C\) lo scrive come un’unica catena.
Quando il segno comprende «uguale», come in \(\le 0\), si ottiene \(1 \le x \le 2\), e anche gli estremi 1 e 2 sono soluzioni.
Il discriminante (decide la forma della soluzione)
Grafico
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(D\)
\(=\)
\(b^{2}\)
\(-\)
\(4ac\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
③
\(D\): discriminante
\(=\)
①
\(b^{2}\): il coefficiente di \(x\) al quadrato
\(-\)
②
\(4ac\): 4 per il coefficiente di \(x^{2}\) per il termine noto
La formula a parole
①
Da
\(b^{2}\): il coefficiente di \(x\) al quadrato
②
sottrai
\(4ac\): 4 per il coefficiente \(a\) di \(x^{2}\) per il termine noto \(c\)
③
e ottieni
\(D\): discriminante
(il suo segno da solo decide come la parabola incontra l’asse \(x\), cioè la forma della soluzione)
Un esempio semplice
Il discriminante di \(x^{2}-3x+2\) è
\(D\): discriminante
\(=\)
\(-3\) al quadrato
\(-\)
4 per 1 per 2
\(D = (-3)^{2} - 4 \times 1 \times 2 = 9 - 8 = 1 > 0\)
L’idea chiave
Il discriminante (in Italia \(\Delta\), «delta») ti dice quante volte la parabola incontra l’asse \(x\): in due punti se \(D>0\), in un solo punto di tangenza se \(D=0\), mai se \(D<0\). Anche per un trinomio che non si scompone, questo solo valore decide la forma della soluzione.
Quando il coefficiente di \(x^{2}\) è positivo (la parabola ha la concavità rivolta verso l’alto), i quattro segni danno queste soluzioni:
\(D>0\) (due intersezioni): \(>0\) e \(\ge 0\) sono i valori esterni alle due radici; \(<0\) e \(\le 0\) sono i valori interni.
\(D=0\) (tangente in un punto): con il punto di tangenza in \(x=\alpha\), \(>0\) è \(x \neq \alpha\) (si esclude solo il punto di tangenza), \(\ge 0\) è tutti i numeri reali, \(<0\) è nessuna soluzione e \(\le 0\) è il solo punto \(x=\alpha\).
\(D<0\) (nessuna intersezione): tutta la parabola sta sopra l’asse \(x\), quindi \(>0\) e \(\ge 0\) sono tutti i numeri reali, e \(<0\) e \(\le 0\) sono nessuna soluzione.
Quando \(D=0\) o \(D<0\) la risposta non è un intervallo, e questi casi si dimenticano spesso nei compiti. Disegna il grafico e chiediti «qualche parte della parabola scende sotto l’asse \(x\)?», e non ti perdi.
Coefficiente di \(x^{2}\) negativo (si moltiplicano entrambi i membri per \(-1\) per renderlo positivo)
Grafico
Notazione matematica
(la notazione abituale)
\(ax^{2}+bx+c\)
\(< 0\)
\(\Longleftrightarrow\)
\(-ax^{2}-bx-c\)
\(> 0\)
A parole
(i simboli sostituiti da parole)
①
\(ax^{2}+bx+c\): un trinomio di secondo grado con \(a\) negativo
\(< 0\)
\(\Longleftrightarrow\)
②
\(-ax^{2}-bx-c\): tutti i segni cambiati (coefficiente di \(x^{2}\) positivo)
\(> 0\)
La formula a parole
①
La disequazione in cui
\(ax^{2}+bx+c\): un trinomio di secondo grado con il coefficiente \(a\) di \(x^{2}\) negativo
è minore di 0
②
si può riscrivere come
\(-ax^{2}-bx-c\): il trinomio con tutti i segni cambiati (coefficiente di \(x^{2}\) positivo)
è maggiore di 0 (entrambi i membri sono stati moltiplicati per il numero negativo \(-1\), quindi si inverte anche il verso della disequazione)
Un esempio semplice
Moltiplicando entrambi i membri di \(-x^{2}+4x-3 \ge 0\) per \(-1\) si ottiene
\(-x^{2}+4x-3\) (coefficiente di \(x^{2}\) \(-1\))
\(\ge 0\)
\(\Longleftrightarrow\)
\(x^{2}-4x+3\) (coefficiente di \(x^{2}\) \(1\))
\(\le 0\)
\(-x^{2}+4x-3 \ge 0 \Longleftrightarrow x^{2}-4x+3 \le 0\)
\((x-1)(x-3) \le 0\)
\(1 \le x \le 3\)
L’idea chiave
Se il coefficiente di \(x^{2}\) resta negativo, la parabola ha la concavità rivolta verso il basso (a forma di collina) e «esterno» e «interno» si scambiano, il che confonde. Moltiplica prima entrambi i membri per \(-1\) per trasformarla in una parabola con la concavità verso l’alto, e devi ricordare un solo schema.
In una disequazione, moltiplicare o dividere entrambi i membri per un numero negativo inverte il verso. Per esempio, moltiplicando entrambi i membri di \(2<3\) per \(-1\) si ottiene \(-2>-3\), perché cambiare i segni scambia destra e sinistra sulla retta dei numeri. Le equazioni non hanno questo problema: conta solo per le disequazioni.
Moltiplicare entrambi i membri per \(-1\) non cambia il discriminante \(D\) (\((-b)^{2}-4(-a)(-c)=b^{2}-4ac\)). Nell’esempio, \(-x^{2}+4x-3\) e \(x^{2}-4x+3\) hanno entrambi \(D=4\).
Per risolvere una disequazione di secondo grado, rendi prima positivo il coefficiente di \(x^{2}\) (se è negativo, moltiplica entrambi i membri per \(-1\) e inverti il verso), poi dividi in casi secondo il segno del discriminante \(D=b^{2}-4ac\) (in Italia \(\Delta\)). Con \(D>0\), \(>0\) sono i valori esterni alle due radici e \(<0\) i valori interni; con \(D=0\) o \(D<0\), la risposta può essere «tutti i numeri reali», «nessuna soluzione» o «un solo punto». Immagina una parabola con la concavità verso l’alto e leggi dove sta sopra l’asse \(x\), e ogni caso funziona allo stesso modo.
Simboli e termini
Simboli
| \(a,\ b,\ c\) | a, b, c | I coefficienti della disequazione di secondo grado \(ax^{2}+bx+c>0\): \(a\) è il coefficiente di \(x^{2}\), \(b\) quello di \(x\) e \(c\) il termine noto. Per convenzione, le lettere di inizio alfabeto \(a,\ b,\ c\) indicano numeri dati in anticipo. |
| \(x\) | ics | Il numero incognito. Una disequazione di secondo grado chiede «da dove a dove i valori di \(x\) la rendono vera?», quindi la risposta è un intervallo e non un singolo numero. Per convenzione, per le incognite si usano le lettere di fine alfabeto \(x,\ y,\ z\). |
| \(D\) | di | Il discriminante, \(b^{2}-4ac\). \(D\) è la prima lettera di «discriminante» (ciò che distingue i casi). In Italia si scrive di solito con la lettera greca \(\Delta\) (delta). Il suo segno da solo decide come la parabola incontra l’asse \(x\) (la forma della soluzione). |
| \(\alpha,\ \beta\) | alfa, beta | I nomi delle due radici dell’equazione di secondo grado \(ax^{2}+bx+c=0\). Sono la prima e la seconda lettera dell’alfabeto greco e, per convenzione, \(\alpha < \beta\) (\(\alpha\) è la minore). In una disequazione di secondo grado queste due sono gli estremi dell’insieme delle soluzioni. |
| \(>,\ <\) | maggiore di, minore di | I segni di disuguaglianza. \(A>B\) significa «\(A\) è maggiore di \(B\)» e \(A<B\) significa «\(A\) è minore di \(B\)»; il lato aperto guarda sempre il numero più grande. Non comprendono «uguale», quindi gli estremi non sono soluzioni. |
| \(\ge,\ \le\) | maggiore o uguale a, minore o uguale a | I segni di disuguaglianza che comprendono «uguale». \(A \ge B\) significa «\(A\) è maggiore o uguale a \(B\)» e \(A \le B\) significa «\(A\) è minore o uguale a \(B\)». Anche gli estremi sono soluzioni. Alcuni paesi, come il Giappone, li scrivono con una doppia linea sotto il segno (≧, ≦); il significato è lo stesso. |
| \(\neq\) | diverso da | Il simbolo di «diverso da». \(x \neq 3\) significa «\(x\) può essere qualsiasi valore tranne 3». Nelle disequazioni di secondo grado questa forma di risposta compare quando la parabola è tangente all’asse \(x\) (\(D=0\)). |
| \(\sqrt{\phantom{x}}\) | radice quadrata | Il simbolo del numero positivo il cui quadrato è il numero scritto sotto (la radice quadrata). \(\sqrt{5}\) è «il numero positivo il cui quadrato è 5», circa 2,236. Si dice che derivi da una r stilizzata, dalla parola latina radix, «radice». Compare quando gli estremi non vengono esatti. |
| \(\Longleftrightarrow\) | se e solo se (è equivalente a) | Un simbolo che dice che il primo e il secondo membro significano la stessa cosa. \(P \Longleftrightarrow Q\) significa «quando \(P\) è vera, \(Q\) è vera, e viceversa». Quando riscrivi una disequazione, fai attenzione a mantenere questa relazione (così la soluzione non cambia). |
| \(y\) | ipsilon | Il valore della funzione quadratica \(y=ax^{2}+bx+c\), l’«altezza» della parabola. Risolvere \(ax^{2}+bx+c>0\) equivale a trovare l’intervallo di \(x\) in cui questa altezza è maggiore di 0 (dove il grafico sta sopra l’asse \(x\)). |
Termini
| disequazione di secondo grado | Una disequazione con un termine in \(x^{2}\), come \(ax^{2}+bx+c>0\). La risposta è un intervallo di \(x\), non un singolo numero. Si studia nel biennio della scuola secondaria di secondo grado (14-16 anni). |
| disequazione | Una relazione che confronta due quantità con \(>\), \(<\), \(\ge\) o \(\le\) e contiene un’incognita. Sommare o sottrarre lo stesso numero a entrambi i membri non cambia il verso, ma moltiplicare o dividere per un numero negativo lo inverte. |
| funzione quadratica | Una funzione della forma \(y=ax^{2}+bx+c\) (\(a \neq 0\)). Il suo grafico è una parabola. Una disequazione di secondo grado si può riformulare come leggere dove questo grafico sta sopra o sotto l’asse \(x\). |
| parabola | La curva liscia e simmetrica che è il grafico di una funzione quadratica. Una palla lanciata in diagonale segue questa forma. |
| concavità verso l’alto | Una parabola a forma di valle (le due estremità rivolte verso l’alto). Succede quando il coefficiente di \(x^{2}\) è positivo. Quando il coefficiente è negativo, ha forma di collina e si dice che ha la concavità rivolta verso il basso. |
| discriminante | \(D=b^{2}-4ac\) (in Italia \(\Delta\)). Dice quante soluzioni reali ha l’equazione di secondo grado (quante volte la parabola incontra l’asse \(x\)): 2 se \(D>0\), 1 (due soluzioni coincidenti) se \(D=0\), 0 se \(D<0\). |
| soluzioni reali | Una soluzione che è un numero ordinario sulla retta dei numeri (un numero reale). Quando \(D<0\) non ci sono soluzioni reali e la parabola non incontra l’asse \(x\). |
| soluzioni coincidenti | La soluzione quando \(D=0\). Due soluzioni uguali si sovrappongono, come in \((x-3)^{2}=0\), e la parabola è tangente all’asse \(x\) in un punto. |
| formula risolutiva | \(x=\dfrac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\). Risolve le equazioni di secondo grado anche quando non si riesce a scomporre e, nelle disequazioni di secondo grado, dà gli estremi. |
| scomposizione in fattori | Riscrivere un’espressione come prodotto, come in \(x^{2}-3x+2=(x-1)(x-2)\). In una disequazione di secondo grado, se riesci a scomporre, vedi gli estremi a colpo d’occhio. |
| estremi della soluzione | I valori in cui l’insieme delle soluzioni comincia o finisce. In una disequazione di secondo grado sono le soluzioni di \(ax^{2}+bx+c=0\) (le radici dell’equazione associata), le ascisse dei punti in cui la parabola incontra l’asse \(x\). Sono inclusi con \(\ge\) o \(\le\) ed esclusi con \(>\) o \(<\). |
| insieme delle soluzioni | Tutti i valori di \(x\) che rendono vera la disequazione. Può essere un solo intervallo, come \(1<x<2\), oppure due intervalli separati, come \(x<1\) o \(2<x\). |
| sistema di disequazioni | Trovare gli \(x\) che soddisfano più disequazioni nello stesso tempo. L’intervallo che soddisfa sia \(1<x\) sia \(x<2\) si scrive come un’unica catena, \(1<x<2\). |
| nessuna soluzione | Non esiste nessun \(x\) che renda vera la disequazione. Succede, per esempio, con \(x^{2}+2x+5<0\), dove una parabola con la concavità verso l’alto non scende mai sotto l’asse \(x\). Si dice anche che la disequazione è impossibile. |
| tutti i numeri reali | La disequazione è vera per qualsiasi \(x\). Con il coefficiente di \(x^{2}\) positivo, questa è la risposta per \(>0\) o \(\ge 0\) quando \(D<0\) (la parabola non incontra mai l’asse \(x\)). Quando \(D=0\), anche \(\ge 0\) dà tutti i numeri reali, perché il punto di tangenza conta grazie a «uguale». (Con lo stesso \(D<0\), \(<0\) o \(\le 0\) è nessuna soluzione.) |
| retta dei numeri | Un disegno che mette i numeri su una retta. Per mostrare la soluzione di una disequazione di secondo grado, disegna l’intervallo con una linea spessa, con un pallino pieno su un estremo incluso e un pallino vuoto su uno non incluso. |
| trasporto | Spostare un termine di una disequazione o di un’equazione all’altro membro cambiandogli il segno. Se a destra c’è un’espressione, portala a sinistra in modo che il secondo membro sia 0 prima di risolvere. |
| termine noto | Un termine fatto solo di un numero, senza \(x\), come il 5 in \(x^{2}+3x+5\). Si dice «noto» perché non cambia qualunque sia il valore di \(x\). |
| coefficiente | Il numero scritto davanti a una lettera. In \(3x^{2}\) il coefficiente è 3. Se non c’è nessun numero, come in \(x^{2}\), il coefficiente è 1. |
Cosa conviene sapere prima
Ecco che cosa ti aiuta a usare il calcolo di questa pagina capendolo davvero, e non solo premendo il pulsante.
Se ti blocchi, tornare a ripassare questi argomenti è la strada più veloce.
| Proprietà delle disuguaglianze (scuola secondaria di primo grado, 11-14 anni, e biennio della secondaria di secondo grado, 14-16 anni) |
|
| Scomposizione in fattori (biennio della scuola secondaria di secondo grado, 14-16 anni) |
|
| Come si risolvono le equazioni di secondo grado (biennio della scuola secondaria di secondo grado, 14-16 anni) |
|
| Grafici delle funzioni quadratiche (biennio della scuola secondaria di secondo grado, 14-16 anni) |
|
| Radici quadrate (scuola secondaria di primo grado, 11-14 anni) |
|
| La retta dei numeri e gli intervalli (scuola secondaria di primo grado, 11-14 anni) |
|
Come calcolarlo con Excel
Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Excel. Funziona così com’è.
Tabella per due radici, valori esterni (ax²+bx+c > 0)
| Coefficiente di x², a | 1 |
| Coefficiente di x, b | -3 |
| Termine noto c | 2 |
| Discriminante D = b^2-4ac | =B2^2-4*B1*B3 |
| Radice minore α | =(-B2-RADQ(B4))/(2*B1) |
| Radice maggiore β | =(-B2+RADQ(B4))/(2*B1) |
| Insieme delle soluzioni (esterno) | ="x < "&B5&" o "&B6&" < x" |
Tabella per due radici, valori interni (ax²+bx+c < 0)
| Coefficiente di x², a | 1 |
| Coefficiente di x, b | -3 |
| Termine noto c | 2 |
| Discriminante D = b^2-4ac | =B2^2-4*B1*B3 |
| Radice minore α | =(-B2-RADQ(B4))/(2*B1) |
| Radice maggiore β | =(-B2+RADQ(B4))/(2*B1) |
| Insieme delle soluzioni (interno) | =B5&" < x < "&B6 |
Tabella per trovare il discriminante D = b²−4ac
| Coefficiente di x², a | 1 |
| Coefficiente di x, b | -3 |
| Termine noto c | 2 |
| Discriminante D = b^2-4ac | =B2^2-4*B1*B3 |
| Numero di intersezioni con l’asse x | =SE(B4>0;2;SE(B4=0;1;0)) |
Tabella per verificare il cambio di segno quando il coefficiente di x² è negativo
| Coefficiente di x², a | -1 |
| Coefficiente di x, b | 4 |
| Termine noto c | -3 |
| Coefficiente di x² per −1 | =-B1 |
| Coefficiente di x per −1 | =-B2 |
| Termine noto per −1 | =-B3 |
| Discriminante dopo il cambio (uguale a prima) | =B5^2-4*B4*B6 |
Dopo averla incollata, le prime tre righe (i coefficienti a, b e c) sono i dati da inserire e le righe in basso si calcolano da sole.
«^» indica una potenza, «RADQ» è la radice quadrata e «&» unisce i testi.
La prima e la seconda tabella usano entrambe a=1, b=−3, c=2 (cioè x²−3x+2). Il discriminante è 1, gli estremi sono 1 e 2 e le soluzioni sono «x < 1 o 2 < x» (esterno) e «1 < x < 2» (interno). Se inserisci coefficienti per cui il discriminante è negativo, RADQ dà un errore, quindi controlla prima il numero di intersezioni con la terza tabella.
La terza tabella trova solo il discriminante e la funzione SE decide anche il numero di intersezioni con l’asse x (2, 1 o 0).
La quarta tabella cambia tutti i segni quando il coefficiente di x² è negativo (a=−1, b=4, c=−3). I nuovi coefficienti sono 1, −4 e 3 e puoi verificare che il discriminante è 4 sia prima sia dopo il cambio.
«^» indica una potenza, «RADQ» è la radice quadrata e «&» unisce i testi.
La prima e la seconda tabella usano entrambe a=1, b=−3, c=2 (cioè x²−3x+2). Il discriminante è 1, gli estremi sono 1 e 2 e le soluzioni sono «x < 1 o 2 < x» (esterno) e «1 < x < 2» (interno). Se inserisci coefficienti per cui il discriminante è negativo, RADQ dà un errore, quindi controlla prima il numero di intersezioni con la terza tabella.
La terza tabella trova solo il discriminante e la funzione SE decide anche il numero di intersezioni con l’asse x (2, 1 o 0).
La quarta tabella cambia tutti i segni quando il coefficiente di x² è negativo (a=−1, b=4, c=−3). I nuovi coefficienti sono 1, −4 e 3 e puoi verificare che il discriminante è 4 sia prima sia dopo il cambio.
Come calcolarlo con Fogli Google
Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Fogli Google. Funziona così com’è.
Tabella per due radici, valori esterni (ax²+bx+c > 0)
| Coefficiente di x², a | 1 |
| Coefficiente di x, b | -3 |
| Termine noto c | 2 |
| Discriminante D = b^2-4ac | =B2^2-4*B1*B3 |
| Radice minore α | =(-B2-RADQ(B4))/(2*B1) |
| Radice maggiore β | =(-B2+RADQ(B4))/(2*B1) |
| Insieme delle soluzioni (esterno) | ="x < "&B5&" o "&B6&" < x" |
Tabella per due radici, valori interni (ax²+bx+c < 0)
| Coefficiente di x², a | 1 |
| Coefficiente di x, b | -3 |
| Termine noto c | 2 |
| Discriminante D = b^2-4ac | =B2^2-4*B1*B3 |
| Radice minore α | =(-B2-RADQ(B4))/(2*B1) |
| Radice maggiore β | =(-B2+RADQ(B4))/(2*B1) |
| Insieme delle soluzioni (interno) | =B5&" < x < "&B6 |
Tabella per trovare il discriminante D = b²−4ac
| Coefficiente di x², a | 1 |
| Coefficiente di x, b | -3 |
| Termine noto c | 2 |
| Discriminante D = b^2-4ac | =B2^2-4*B1*B3 |
| Numero di intersezioni con l’asse x | =SE(B4>0;2;SE(B4=0;1;0)) |
Tabella per verificare il cambio di segno quando il coefficiente di x² è negativo
| Coefficiente di x², a | -1 |
| Coefficiente di x, b | 4 |
| Termine noto c | -3 |
| Coefficiente di x² per −1 | =-B1 |
| Coefficiente di x per −1 | =-B2 |
| Termine noto per −1 | =-B3 |
| Discriminante dopo il cambio (uguale a prima) | =B5^2-4*B4*B6 |
Le formule sono le stesse di Excel e funzionano così come sono (RADQ e SE hanno i nomi italiani, & è uguale). Copia tutta la tabella, incollala nella cella A1 e sostituisci i coefficienti con i tuoi numeri.
Come calcolarlo con Python
from fractions import Fraction
import math
# Coefficienti della disequazione di secondo grado (il primo membro a*x^2 + b*x + c si confronta con 0) e segno (">", ">=", "<" o "<=")
a = Fraction(1)
b = Fraction(-3)
c = Fraction(2)
sign = ">"
# Rendi positivo il coefficiente di x^2 (se è negativo, moltiplica entrambi i membri per -1 e inverti il verso)
if a < 0:
a, b, c = -a, -b, -c
sign = {">": "<", ">=": "<=", "<": ">", "<=": ">="}[sign]
discriminant = b * b - 4 * a * c
is_greater = sign in (">", ">=")
has_equal = sign in (">=", "<=")
if discriminant > 0:
root = math.sqrt(discriminant)
alpha = (-b - root) / (2 * a)
beta = (-b + root) / (2 * a)
mark = "<=" if has_equal else "<"
if is_greater:
answer = f"x {mark} {alpha} o {beta} {mark} x" # all'esterno delle due radici
else:
answer = f"{alpha} {mark} x {mark} {beta}" # tra le due radici
elif discriminant == 0:
alpha = -b / (2 * a)
answer = {">": f"x != {alpha}", ">=": "tutti i numeri reali",
"<": "nessuna soluzione", "<=": f"x = {alpha}"}[sign]
else:
answer = "tutti i numeri reali" if is_greater else "nessuna soluzione"
print(f"Discriminante D = {discriminant}")
print(f"Insieme delle soluzioni: {answer}")
Funziona con la sola libreria standard. Se scrivi i coefficienti come fractions.Fraction, il segno del discriminante non risente degli errori di arrotondamento dei decimali. Questo esempio è x² − 3x + 2 > 0 ed eseguendolo stampa due righe: «Discriminante D = 1» e l’insieme delle soluzioni nella forma «x < … o … < x» (Python scrive i numeri decimali con il punto). Cambia i coefficienti e il segno ed eseguilo.
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
Coefficiente di \(x^{2}\) positivo e due radici (\(>0\) vuol dire «valori esterni alle due radici»)
x < α o β < x
x < \alpha \ \text{o}\ \beta < x
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>x</mi><mo><</mo><mi>α</mi>
<mtext> o </mtext>
<mi>β</mi><mo><</mo><mi>x</mi>
</mrow>
</math>
x < alpha " o " beta < x
Reduce[a x^2 + b x + c > 0 && a > 0, x, Reals]
solve(a*x^2 + b*x + c > 0, x);
solve(a*x^2 + b*x + c > 0, x)
x < α o β < x
Coefficiente di \(x^{2}\) positivo e due radici (\(<0\) vuol dire «valori interni alle due radici»)
α < x < β
\alpha < x < \beta
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>α</mi><mo><</mo><mi>x</mi><mo><</mo><mi>β</mi>
</mrow>
</math>
alpha < x < beta
Reduce[a x^2 + b x + c < 0 && a > 0, x, Reals]
solve(a*x^2 + b*x + c < 0, x);
solve(a*x^2 + b*x + c < 0, x)
α < x < β
Il discriminante (decide la forma della soluzione)
D = b² − 4ac
D = b^{2} - 4ac
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>D</mi><mo>=</mo>
<msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>−</mo>
<mn>4</mn><mi>a</mi><mi>c</mi>
</mrow>
</math>
D = b^2 - 4ac
Discriminant[a x^2 + b x + c, x]
discrim(a*x^2 + b*x + c, x);
D = b^2 - 4*a*c;
D = b^2 - 4ac
Coefficiente di \(x^{2}\) negativo (si moltiplicano entrambi i membri per \(-1\) per renderlo positivo)
ax² + bx + c < 0 ⟺ −ax² − bx − c > 0
ax^{2} + bx + c < 0 \Longleftrightarrow -ax^{2} - bx - c > 0
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>a</mi><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo><mi>b</mi><mi>x</mi><mo>+</mo><mi>c</mi>
<mo><</mo><mn>0</mn>
<mo>⟺</mo>
<mo>−</mo><mi>a</mi><msup><mi>x</mi><mn>2</mn></msup>
<mo>−</mo><mi>b</mi><mi>x</mi><mo>−</mo><mi>c</mi>
<mo>></mo><mn>0</mn>
</mrow>
</math>
ax^2 + bx + c < 0 hArr -ax^2 - bx - c > 0
Reduce[-a x^2 - b x - c > 0, x, Reals]
solve(-a*x^2 - b*x - c > 0, x);
solve(-a*x^2 - b*x - c > 0, x)
ax^2 + bx + c < 0 ⟺ -ax^2 - bx - c > 0
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
Sei un assistente di calcolo per l’algebra. Risolvi il problema seguente eseguendo davvero codice Python e basa la risposta solo sui numeri del risultato dell’esecuzione (non rispondere con il calcolo a mente né a intuito). Risolvi la disequazione di secondo grado x² − 3x + 2 > 0. Mostra ciascuno dei punti seguenti: 1. Il valore del discriminante D = b² − 4ac 2. Gli estremi (le soluzioni di x² − 3x + 2 = 0) 3. L’insieme delle soluzioni (dì anche se sono «valori esterni alle due radici», «valori interni alle due radici», «tutti i numeri reali» o «nessuna soluzione») 4. Se il coefficiente di x² fosse negativo, mostra anche il passaggio in cui si moltiplicano entrambi i membri per −1 e si inverte il verso In Python usa sia solve_univariate_inequality di sympy sia un calcolo esatto del discriminante con fractions, e rispondi solo dopo aver controllato che i risultati coincidano.
Come si usa
-
1Inserisci i numeriScrivi nei campi i numeri con cui vuoi fare il calcolo
-
2CalcolaFai clic sul pulsante «Calcola»
-
3Guarda il risultatoIl risultato compare subito. Nella stessa pagina trovi anche lo svolgimento del calcolo e la spiegazione della formula
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Nessuna autorizzazione preventiva necessaria
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Funzioni correlate
Calcolatrice di equazioni di secondo grado (formula risolutiva, discriminante e soluzioni complesse)
Scrivi a, b e c per risolvere l’equazione di secondo grado ax²+bx+c=0, con il discriminante e i passaggi
Calcolatrice del completamento del quadrato (vertice della parabola, asse di simmetria, massimo e minimo)
Riscrive y=ax²+bx+c con il completamento del quadrato e trova il vertice, l’asse e il massimo o il minimo, con i passaggi e il grafico
