Calcolatrice dell’angolo alla circonferenza (angolo al centro, rapporto tra archi, quadrilatero inscritto)

Scegli una modalità e inserisci l’angolo (o il rapporto tra le lunghezze degli archi).

Modalità

Angolo alla circonferenza (gradi)

Angolo al centro (gradi)

Rapporto dell’arco AB, m

Rapporto dell’arco CD, n

Angolo alla circonferenza dell’arco AB (gradi)

Un angolo del quadrilatero ∠A (gradi)

Scrivi solo numeri. Per gli angoli e i rapporti puoi usare numeri decimali e frazioni come 250/7.

Risultato e figura

Scegli una modalità a sinistra, inserisci l’angolo e fai clic su «Calcola». Qui compaiono il risultato e il disegno della circonferenza.

Indice

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Cosa puoi fare in questa pagina
A cosa serve questo calcolo?
Come si usa
Formule e disegni
Simboli e termini
- Simboli
- Termini
Cosa conviene sapere prima
Come calcolarlo con Excel
Come calcolarlo con Fogli Google
Come calcolarlo con Python
La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)
Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo
I punti di forza di DataChef
Funzioni correlate
Tutte le calcolatrici di NumberChef

Cosa puoi fare in questa pagina

Con il teorema dell’angolo alla circonferenza (un angolo alla circonferenza è la metà dell’angolo al centro che insiste sullo stesso arco) calcoli subito l’angolo al centro da un angolo alla circonferenza (il doppio) o l’angolo alla circonferenza da un angolo al centro (la metà). Gli angoli che non vengono esatti, come \(\dfrac{250}{7}^\circ\), si mostrano sia in forma esatta (come frazione) sia in decimale
In una stessa circonferenza, se arco AB : arco CD \(= m : n\), gli angoli alla circonferenza hanno lo stesso rapporto (gli angoli alla circonferenza sono proporzionali alla lunghezza dell’arco). Così calcoli un angolo alla circonferenza a partire dall’altro
Gli angoli opposti di un quadrilatero inscritto sommano \(180^\circ\). Così calcoli l’angolo opposto a partire da uno di essi
Insieme al risultato viene mostrato il disegno della circonferenza. Lì vedi dove sono l’arco, l’angolo al centro e l’angolo alla circonferenza, e puoi verificare che gli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco hanno la stessa misura da qualsiasi punto (nella modalità del rapporto tra archi il disegno viene omesso, e si mostra solo il numero, soltanto se i due archi sono troppo grandi per stare nella stessa circonferenza)
I disegni delle formule spiegano perché valgono i teoremi, per esempio «un angolo alla circonferenza che insiste su una semicirconferenza misura \(90^\circ\)» (teorema di Talete sulla semicirconferenza)

In questa pagina l’angolo alla circonferenza e l’angolo al centro sono gli angoli che insistono su un arco (l’angolo alla circonferenza è maggiore di 0° e minore di 180°, e l’angolo al centro è maggiore di 0° e minore di 360°).

A cosa serve questo calcolo?

Determinare la posizione di una nave (navigazione e rilievo costiero)

Una nave che naviga vicino alla costa può determinare la propria posizione misurando l’angolo sotto cui vede due punti di riferimento a terra (per esempio dei fari). Per il contrario del teorema dell’angolo alla circonferenza, tutti i punti da cui si vedono due punti di riferimento sotto lo stesso angolo stanno su un arco di circonferenza (l’«arco capace»). Se misuri gli angoli di due coppie di punti di riferimento, la nave si trova nell’unico punto in cui si incontrano i due archi (un metodo classico di posizionamento con due angoli orizzontali misurati, che si traccia con un goniometro a tre braccia).
Si insegna ancora nella formazione dei marittimi come metodo di riserva quando non c’è il GPS.

Capire da dove è più facile segnare (calcio e pallacanestro)

Nel calcio, l’angolo formato dai due pali visti da chi tira indica quanto è larga la porta. Per il teorema dell’angolo alla circonferenza, tutti i punti con lo stesso angolo stanno su un arco di circonferenza che passa per i due pali. Se ti sposti lateralmente dal centro della porta seguendo quell’arco, l’angolo resta lo stesso.
Nell’analisi sportiva questo «angolo di tiro» si usa in effetti come una delle principali metriche per spiegare la percentuale di successo dei tiri.

Trovare il centro di un oggetto rotondo (falegnameria, bricolage e lavorazioni meccaniche)

Con il contrario del teorema di Talete sulla semicirconferenza (se l’angolo alla circonferenza misura 90°, la corda è un diametro) trovi facilmente il centro di una tavola rotonda o di un cilindro. Appoggia l’angolo di una squadra al bordo della circonferenza; la retta che unisce i due punti in cui i suoi lati incontrano il bordo è un diametro. Ripeti da un’altra direzione e il centro sta nel punto in cui si incontrano i due diametri.
Il centratore dei falegnami è questo teorema trasformato in attrezzo.

Progettare come si vede il palco dalle poltrone (teatri e stadi)

Quanto più grande è l’angolo tra i due estremi del palco, tanto più largo appare il palco nel campo visivo. Per il teorema dell’angolo alla circonferenza, le poltrone da cui il palco si vede sotto lo stesso angolo stanno sullo stesso arco. Se disponi le poltrone ad arco, la vista è simile in ogni fila.
Dai teatri semicircolari dell’antica Grecia alle sale da concerto moderne, ogni disposizione dei posti ad arco sfrutta questa proprietà geometrica (in un progetto reale contano anche l’acustica, le vie di fuga e altri fattori).

Formule e disegni

Teorema dell’angolo alla circonferenza (un angolo alla circonferenza è la metà dell’angolo al centro)

Disegno

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(x\) \(=\) \(c\) \(\div\) \(2\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

③ \(x\): angolo alla circonferenza dell’arco AB \(=\) ① \(c\): angolo al centro dello stesso arco \(\div\) ② \(2\): per dimezzare

La formula a parole

① Prendi \(c\): angolo al centro dello stesso arco

② dividilo per \(2\): per dimezzare

③ e ottieni \(x\): angolo alla circonferenza dell’arco AB

Un esempio semplice

Se l’angolo al centro che insiste sull’arco AB misura \(100^\circ\), l’angolo alla circonferenza che insiste sullo stesso arco misura

angolo alla circonferenza dell’arco AB \(=\) angolo al centro (\(100^\circ\)) \(\div\) \(2\)

\(100^\circ \div 2 = 50^\circ\)

L’idea chiave

La formula si può usare anche al contrario: «angolo al centro \(c = \) angolo alla circonferenza \(x \times 2\)» (la modalità «Angolo inscritto → angolo al centro» di questa calcolatrice). Perché è la metà? Chiama \(O\) il centro della circonferenza e \(P\) il punto della circonferenza, e traccia la retta che passa per \(P\) e \(O\). Poiché \(OA = OP\) e \(OB = OP\) (sono tutti raggi), si formano due triangoli isosceli. Gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono uguali, e un angolo esterno di un triangolo è uguale alla somma dei due angoli interni non adiacenti. Quindi l’angolo al centro è esattamente \(2\) volte l’angolo alla circonferenza. Il teorema vale anche quando l’angolo al centro supera \(180^\circ\) (quando l’arco è più lungo di una semicirconferenza). Per esempio, a un angolo al centro di \(240^\circ\) corrisponde un angolo alla circonferenza di \(120^\circ\).

Gli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco sono uguali

Disegno

Notazione matematica (la notazione abituale)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

\(\angle APB\) \(=\) \(\angle AQB\)

① \(\angle APB\): angolo alla circonferenza, visto dal punto \(P\) \(=\) ② \(\angle AQB\): angolo alla circonferenza, visto dal punto \(Q\)

La formula a parole

① Finché insistono sullo stesso arco AB, l’ \(\angle APB\): angolo alla circonferenza, visto dal punto \(P\)

② è sempre uguale all’ \(\angle AQB\): angolo alla circonferenza, visto dal punto \(Q\)

Un esempio semplice

Se l’angolo alla circonferenza che insiste sull’arco AB misura \(50^\circ\) nel punto \(P\), da qualsiasi punto della circonferenza misura

angolo alla circonferenza da \(P\) \(=\) angolo alla circonferenza da \(Q\) (\(50^\circ\))

\(\angle APB = \angle AQB = 50^\circ\)

L’idea chiave

Il motivo è semplice: i due angoli alla circonferenza sono la metà dello stesso angolo al centro. Per l’arco AB c’è un solo angolo al centro, quindi l’angolo alla circonferenza, che ne è la metà, è lo stesso da qualsiasi posizione. Ma sono uguali solo se \(P\) e \(Q\) stanno dalla stessa parte dell’arco AB (sulla circonferenza, ma non sull’arco AB). Se metti il punto dall’altra parte (sull’arco AB stesso), l’angolo diventa \(180^\circ - x\). Questo porta all’ultima formula di questa pagina: «gli angoli opposti di un quadrilatero inscritto sommano \(180^\circ\)».

Un angolo alla circonferenza che insiste su una semicirconferenza misura 90° (teorema di Talete sulla semicirconferenza)

Disegno

Notazione matematica (la notazione abituale)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

\(\angle APB\) \(=\) \(90^\circ\)

① \(\angle APB\): angolo alla circonferenza del diametro AB \(=\) ② \(90^\circ\): angolo retto

La formula a parole

① Se la corda AB è un diametro (l’arco è una semicirconferenza), l’ \(\angle APB\): angolo alla circonferenza del diametro AB

② è sempre un \(90^\circ\): angolo retto

Un esempio semplice

L’angolo al centro di un diametro è un angolo piatto, \(180^\circ\), quindi l’angolo alla circonferenza misura la metà, cioè

angolo alla circonferenza di un diametro \(=\) angolo al centro (\(180^\circ\)) \(\div\) \(2\)

\(180^\circ \div 2 = 90^\circ\)

L’idea chiave

È un caso particolare del teorema dell’angolo alla circonferenza che si chiama teorema di Talete sulla semicirconferenza (il «teorema di Talete» senza altro, a scuola, indica di solito quello delle rette parallele e dei segmenti proporzionali). Deve il nome all’antico matematico greco Talete di Mileto e si considera uno dei teoremi più antichi che ci sono giunti. Vale anche il contrario: se \(\angle APB = 90^\circ\) in un punto \(P\) della circonferenza, la corda AB è sempre un diametro. Con questo inverso puoi trovare il centro di un oggetto rotondo. Appoggia un angolo retto (per esempio una squadra) alla circonferenza in modo da poter segnare due punti A e B; allora AB è un diametro, e il centro sta nel punto in cui si incontrano due diametri di questo tipo.

Gli angoli alla circonferenza sono proporzionali alla lunghezza dell’arco

Disegno

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(x_1 : x_2\) \(=\) \(m : n\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

② \(x_1 : x_2\): rapporto tra gli angoli alla circonferenza \(=\) ① \(m : n\): rapporto tra le lunghezze degli archi

La formula a parole

① In una stessa circonferenza (o in circonferenze con lo stesso raggio), se è dato il \(m : n\): rapporto tra le lunghezze degli archi ,

② il \(x_1 : x_2\): rapporto tra gli angoli alla circonferenza dei due archi è lo stesso

Un esempio semplice

Se arco AB : arco CD \(= 2 : 3\) e l’angolo alla circonferenza dell’arco AB misura \(30^\circ\), l’angolo alla circonferenza dell’arco CD misura

angolo alla circonferenza dell’arco CD \(=\) angolo alla circonferenza dell’arco AB (\(30^\circ\)) \(\times\) fattore del rapporto tra archi \(\dfrac{3}{2}\)

\(30^\circ \times \dfrac{3}{2} = 45^\circ\)

L’idea chiave

Se un arco diventa 2 o 3 volte più lungo, anche il suo angolo al centro diventa 2 o 3 volte più grande (la lunghezza dell’arco di un settore circolare è proporzionale all’angolo al centro). L’angolo alla circonferenza è la metà di quell’angolo al centro, quindi anche gli angoli alla circonferenza sono proporzionali alla lunghezza dell’arco. Attenzione: la lunghezza di una corda non è proporzionale all’angolo alla circonferenza. Con angoli alla circonferenza di \(30^\circ\) e \(60^\circ\), per esempio, le lunghezze degli archi stanno esattamente nel rapporto \(1 : 2\), ma quelle delle corde no (una corda prende la scorciatoia dritta e per questo risulta più corta di quanto sarebbe se fosse proporzionale). Confondere «arco» e «corda» è un classico tranello delle verifiche.

Gli angoli opposti di un quadrilatero inscritto sommano 180°

Disegno

Notazione matematica (la notazione abituale)

\(\angle A\) \(+\) \(\angle C\) \(=\) \(180^\circ\)

A parole (i simboli sostituiti da parole)

① \(\angle A\): un angolo \(+\) ② \(\angle C\): l’angolo opposto \(=\) ③ \(180^\circ\): angolo piatto

La formula a parole

① In un quadrilatero inscritto, somma \(\angle A\): un angolo

② e \(\angle C\): l’angolo opposto

③ e ottieni sempre un \(180^\circ\): angolo piatto

Un esempio semplice

In un quadrilatero inscritto ABCD con \(\angle A = 110^\circ\), l’angolo opposto \(\angle C\) misura

angolo opposto \(\angle C\) \(=\) \(180^\circ\) \(-\) angolo \(\angle A\) (\(110^\circ\))

\(180^\circ - 110^\circ = 70^\circ\)

L’idea chiave

Anche questo deriva dal teorema dell’angolo alla circonferenza. \(\angle A\) è l’angolo alla circonferenza che insiste sull’arco BCD (quello dalla parte che contiene il vertice C), e \(\angle C\) è l’angolo alla circonferenza che insiste sull’arco DAB (quello dalla parte che contiene il vertice A). I due archi formano insieme esattamente una circonferenza intera, quindi i loro angoli al centro sommano \(360^\circ\). Ogni angolo alla circonferenza è la metà del suo angolo al centro, quindi insieme sommano \(360^\circ \div 2 = 180^\circ\). Da qui si deduce anche che un angolo esterno di un quadrilatero inscritto è uguale all’angolo interno opposto. L’angolo esterno che si forma prolungando il lato BC è \(180^\circ - \angle C = \angle A\).

Il teorema dell’angolo alla circonferenza dice: «un angolo alla circonferenza è la metà dell’angolo al centro che insiste sullo stesso arco». Da esso discendono tutte le proprietà importanti degli angoli nella circonferenza: «gli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco sono tutti uguali», «un angolo alla circonferenza che insiste su una semicirconferenza misura \(90^\circ\)» (teorema di Talete sulla semicirconferenza), «gli angoli alla circonferenza sono proporzionali alla lunghezza dell’arco» e «gli angoli opposti di un quadrilatero inscritto sommano \(180^\circ\)».

Simboli e termini

Simboli

\(\angle\)	angolo	Il simbolo di un angolo. \(\angle APB\) è l’angolo di vertice \(P\) formato dai due segmenti che vanno da \(P\) ad \(A\) e a \(B\). La lettera di mezzo è il vertice.
\(\overset{\frown}{AB}\)	arco A B	Il simbolo dell’arco AB, la parte di circonferenza compresa tra due suoi punti \(A\) e \(B\). Il segno curvo sopra le lettere indica che è l’arco curvo e non il segmento dritto AB.
\(x,\ c\)	x, ci	In questa pagina \(x\) è l’angolo alla circonferenza e \(c\) è l’angolo al centro. Chiamare \(x\) un numero incognito è un’abitudine nota dei libri di testo, e \(c\) è l’iniziale di «centro». I libri di testo italiani di solito scrivono gli angoli con lettere greche come \(\alpha\) e \(\beta\).
\(O\)	o	La lettera del centro della circonferenza. Si dice che derivi dall’iniziale di «origine». L’angolo al centro è l’angolo di vertice \(O\).
\(P,\ Q\)	pi, cu	Lettere di punti della circonferenza, secondo l’abitudine di usare \(P\) (da «punto») e la lettera successiva, \(Q\). L’angolo alla circonferenza è l’angolo di vertice \(P\) o \(Q\).
\(m : n\)	emme sta a enne	Il rapporto tra due quantità. In questa pagina è il rapporto tra le lunghezze dell’arco AB e dell’arco CD. \(2 : 3\) significa che l’arco CD è \(\dfrac{3}{2}\) volte più lungo dell’arco AB.
\(^\circ\)	grado	Il simbolo del grado, un’unità di misura degli angoli. Se dividi un giro completo in 360 parti uguali, ogni parte misura \(1^\circ\). Si dice che per un giro sia stato scelto 360 perché ha molti divisori e si divide bene in parti uguali.

Termini

angolo alla circonferenza	L’angolo formato da due corde tracciate da un punto della circonferenza agli estremi \(A\) e \(B\) di un arco (si chiama anche angolo inscritto). Si usa sempre insieme all’arco su cui insiste, come in «l’angolo alla circonferenza che insiste sull’arco AB». Ovunque sposti il vertice sulla circonferenza (fuori dall’arco AB), la sua misura non cambia.
angolo al centro	L’angolo formato da due raggi tracciati dal centro \(O\) agli estremi \(A\) e \(B\) di un arco. Ogni arco ha un solo angolo al centro, e misura esattamente il doppio dell’angolo alla circonferenza che insiste sullo stesso arco.
teorema dell’angolo alla circonferenza	Il teorema che dice che «un angolo alla circonferenza è la metà dell’angolo al centro che insiste sullo stesso arco» e che «gli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco sono tutti uguali». È il teorema centrale del tema della circonferenza alla scuola secondaria, e la sua dimostrazione usa i triangoli isosceli e l’angolo esterno di un triangolo.
arco	La parte di circonferenza compresa tra due suoi punti. Due punti dividono la circonferenza in due archi; il più corto è l’arco minore e il più lungo l’arco maggiore. Quando si scrive solo «arco AB», di solito si intende il più corto.
arco maggiore	Quando due punti dividono una circonferenza in due parti, l’arco più lungo di una semicirconferenza. Il suo angolo al centro supera \(180^\circ\). Il teorema dell’angolo alla circonferenza vale per tutti e due gli archi.
arco minore	Quando due punti dividono una circonferenza in due parti, l’arco più corto di una semicirconferenza. Il suo angolo al centro è minore di \(180^\circ\). Il teorema dell’angolo alla circonferenza vale per tutti e due gli archi.
corda	Un segmento dritto che unisce due punti di una circonferenza. Un arco è il percorso curvo lungo la circonferenza, mentre una corda è il percorso dritto più breve tra i due punti. La lunghezza dell’arco è proporzionale all’angolo alla circonferenza, ma quella della corda no.
diametro	Una corda che passa per il centro di una circonferenza. È la corda più lunga e misura il doppio del raggio. L’arco di un diametro è esattamente una semicirconferenza, e l’angolo alla circonferenza che insiste su di esso misura sempre \(90^\circ\) (teorema di Talete sulla semicirconferenza).
raggio	La distanza (o il segmento) dal centro di una circonferenza a un suo punto. Tutti i raggi di una circonferenza misurano lo stesso, e i triangoli isosceli che nascono da questa uguaglianza sono la chiave della dimostrazione del teorema dell’angolo alla circonferenza.
teorema di Talete sulla semicirconferenza	Il teorema che dice che «un angolo alla circonferenza che insiste su una semicirconferenza misura \(90^\circ\)». È un caso particolare del teorema dell’angolo alla circonferenza (quando l’angolo al centro misura \(180^\circ\)). Deve il nome all’antico matematico greco Talete di Mileto, e vale anche il contrario (se l’angolo alla circonferenza misura \(90^\circ\), la corda è un diametro).
quadrilatero inscritto	Un quadrilatero i cui quattro vertici stanno tutti su una stessa circonferenza (si dice anche quadrilatero ciclico). I suoi angoli opposti hanno la proprietà particolare di sommare \(180^\circ\).
angoli opposti	Gli angoli che stanno uno di fronte all’altro in un quadrilatero. Nel quadrilatero ABCD, \(\angle A\) e \(\angle C\) formano una coppia di angoli opposti, e \(\angle B\) e \(\angle D\) l’altra.
triangolo isoscele	Un triangolo con due lati uguali. I due angoli adiacenti al terzo lato (gli angoli alla base) sono uguali. Compare nella dimostrazione del teorema dell’angolo alla circonferenza perché tutti i raggi misurano lo stesso.
proporzionale	Una relazione in cui, se una quantità diventa 2 o 3 volte più grande, anche l’altra diventa 2 o 3 volte più grande. La lunghezza dell’arco e l’angolo al centro, e la lunghezza dell’arco e l’angolo alla circonferenza, sono proporzionali.

Cosa conviene sapere prima

Ecco che cosa conviene sapere per usare il calcolo di questa pagina capendolo davvero, e non solo premendo il pulsante.
Se ti blocchi, la strada più rapida è tornare a ripassare questi argomenti.

Il vocabolario della circonferenza (classe 3ª della primaria–classe 1ª della secondaria di primo grado, 8-12 anni)	Conoscere il significato delle parole centro, raggio, diametro e circonferenza, e sapere che tutti i raggi di una circonferenza misurano lo stesso Conoscere la differenza tra un arco (una parte della circonferenza) e una corda (un segmento tra due punti della circonferenza)
Angoli e rotazioni (classi 4ª–5ª della primaria, 9-11 anni)	Sapere che un giro completo sono \(360^\circ\), mezzo giro (un angolo piatto) sono \(180^\circ\) e un angolo retto sono \(90^\circ\) Avere un’idea della misura di un angolo, come quella che si misura con un goniometro
Triangoli isosceli (classi 1ª–2ª della secondaria di primo grado, 11-13 anni)	Sapere che in un triangolo con due lati uguali gli angoli alla base (i due angoli opposti ai lati uguali) sono uguali Nella dimostrazione del teorema dell’angolo alla circonferenza si usa così: «i raggi misurano lo stesso, quindi si forma un triangolo isoscele»
Angoli interni ed esterni di un triangolo (classi 1ª–2ª della secondaria di primo grado, 11-13 anni)	Sapere che gli angoli di un triangolo sommano \(180^\circ\) e che un angolo esterno è uguale alla somma dei due angoli interni non adiacenti Questa proprietà dell’angolo esterno è il cuore del motivo per cui l’angolo al centro è il doppio dell’angolo alla circonferenza
Rapporti e proporzionalità (classe 5ª della primaria–classe 1ª della secondaria di primo grado, 10-12 anni)	Sapere che cosa significa un rapporto come \(2 : 3\) e saper calcolare con un rapporto, come \(30 \times \dfrac{3}{2}\) Avere un’idea delle relazioni di proporzionalità: «se una raddoppia, raddoppia anche l’altra»
Divisione e frazioni (classe 5ª della primaria–classe 1ª della secondaria di primo grado, 10-12 anni)	Saper fare una divisione come \(80 \div 2 = 40\) a mente o in colonna Saper trattare come frazione esatta un risultato che non viene esatto, come \(\dfrac{250}{7}\)

Come calcolarlo con Excel

Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Excel. Funziona così com’è.

Tabella da angolo alla circonferenza ad angolo al centro

Angolo alla circonferenza (gradi)	50
Angolo al centro (gradi)	=B1*2

Tabella da angolo al centro ad angolo alla circonferenza

Angolo al centro (gradi)	100
Angolo alla circonferenza (gradi)	=B1/2

Tabella dal rapporto tra le lunghezze degli archi all’angolo alla circonferenza

Rapporto dell’arco AB, m	2
Rapporto dell’arco CD, n	3
Angolo alla circonferenza dell’arco AB (gradi)	30
Angolo alla circonferenza dell’arco CD (gradi)	=B3*B2/B1

Tabella degli angoli opposti di un quadrilatero inscritto

Angolo del quadrilatero ∠A (gradi)	110
Angolo opposto ∠C (gradi)	=180-B1

Dopo averla incollata, le righe in alto sono i tuoi dati e la riga in basso si calcola da sola.
«*» è il segno della moltiplicazione e «/» quello della divisione.
La prima tabella trova l’angolo al centro a partire da un angolo alla circonferenza di 50°; il risultato è 100. La seconda fa il percorso inverso e trova l’angolo alla circonferenza 50 a partire da un angolo al centro di 100°.
La terza tabella corrisponde ad arco AB : arco CD = 2 : 3 con un angolo alla circonferenza di 30° che insiste sull’arco AB. Gli angoli alla circonferenza sono proporzionali alla lunghezza dell’arco, quindi il risultato è 30 × 3 ÷ 2 = 45.
La quarta tabella corrisponde a un quadrilatero inscritto: se scrivi 110 per ∠A, l’angolo opposto ∠C è 70.

Come calcolarlo con Fogli Google

Copia tutta la tabella qui sotto e incollala nella cella A1 di Fogli Google. Funziona così com’è.

Tabella da angolo alla circonferenza ad angolo al centro

Angolo alla circonferenza (gradi)	50
Angolo al centro (gradi)	=B1*2

Tabella da angolo al centro ad angolo alla circonferenza

Angolo al centro (gradi)	100
Angolo alla circonferenza (gradi)	=B1/2

Tabella dal rapporto tra le lunghezze degli archi all’angolo alla circonferenza

Rapporto dell’arco AB, m	2
Rapporto dell’arco CD, n	3
Angolo alla circonferenza dell’arco AB (gradi)	30
Angolo alla circonferenza dell’arco CD (gradi)	=B3*B2/B1

Tabella degli angoli opposti di un quadrilatero inscritto

Angolo del quadrilatero ∠A (gradi)	110
Angolo opposto ∠C (gradi)	=180-B1

Funzionano le stesse formule di Excel. Copia l’intera tabella, incollala nella cella A1 e cambia gli angoli e i rapporti con i tuoi numeri.

Come calcolarlo con Python

from fractions import Fraction

# Angolo alla circonferenza -> angolo al centro (l’angolo al centro è il doppio dell’angolo alla circonferenza)
inscribed_angle = Fraction(250, 7)   # una frazione come 250/7 gradi si può scrivere direttamente
central_angle = inscribed_angle * 2
print(f"Angolo alla circonferenza {inscribed_angle}° -> angolo al centro {central_angle}° ≈ {float(central_angle):.2f}°")

# Angolo al centro -> angolo alla circonferenza (l’angolo alla circonferenza è la metà dell’angolo al centro)
central_angle = Fraction(100)
inscribed_angle = central_angle / 2
print(f"Angolo al centro {central_angle}° -> angolo alla circonferenza {inscribed_angle}°")

# Rapporto tra le lunghezze degli archi -> angolo alla circonferenza (gli angoli alla circonferenza sono proporzionali alla lunghezza dell’arco)
arc_ab, arc_cd = Fraction(2), Fraction(3)   # arco AB : arco CD = 2 : 3
angle_ab = Fraction(30)                     # angolo alla circonferenza dell’arco AB
angle_cd = angle_ab * arc_cd / arc_ab
print(f"Rapporto tra archi {arc_ab}:{arc_cd}, angolo alla circonferenza {angle_ab}° -> altro angolo alla circonferenza {angle_cd}°")

# Angoli opposti di un quadrilatero inscritto (sommano 180 gradi)
angle_a = Fraction(110)
angle_c = 180 - angle_a
print(f"∠A = {angle_a}° -> angolo opposto ∠C = {angle_c}°")

Con il modulo fractions della libreria standard, gli angoli che non vengono esatti, come 250/7°, restano frazioni esatte senza errori di arrotondamento. Eseguendo il codice ottieni prima l’angolo al centro «500/7°» con il valore decimale arrotondato a due cifre dopo la virgola, poi l’angolo alla circonferenza 50°, poi l’angolo alla circonferenza 45° dell’arco CD e infine l’angolo opposto 70°. Cambia i numeri ed esegui il codice.

La formula in LaTeX e in altre notazioni matematiche (da copiare)

Teorema dell’angolo alla circonferenza (un angolo alla circonferenza è la metà dell’angolo al centro)

x = c / 2

x = \frac{c}{2}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>x</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mi>c</mi>
      <mn>2</mn>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

x = c/2

x = c/2

x := c/2;

x = c/2;

x = c/2

Gli angoli alla circonferenza che insistono sullo stesso arco sono uguali

∠APB = ∠AQB

\angle APB = \angle AQB

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mo>&#x2220;</mo><mi>A</mi><mi>P</mi><mi>B</mi>
    <mo>=</mo>
    <mo>&#x2220;</mo><mi>A</mi><mi>Q</mi><mi>B</mi>
  </mrow>
</math>

/_ APB = /_ AQB

angleAPB == angleAQB

angleAPB = angleAQB;

angleAPB == angleAQB

∠APB = ∠AQB

Un angolo alla circonferenza che insiste su una semicirconferenza misura 90° (teorema di Talete sulla semicirconferenza)

∠APB = 90°

\angle APB = 90^{\circ}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mo>&#x2220;</mo><mi>A</mi><mi>P</mi><mi>B</mi>
    <mo>=</mo>
    <msup><mn>90</mn><mo>&#x00B0;</mo></msup>
  </mrow>
</math>

/_ APB = 90^circ

angleAPB == 90 Degree

angleAPB = 90;

angleAPB = 90;

∠APB = 90°

Gli angoli alla circonferenza sono proporzionali alla lunghezza dell’arco

x₁ : x₂ = m : n

x_1 : x_2 = m : n

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub>
    <mo>:</mo>
    <msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub>
    <mo>=</mo>
    <mi>m</mi>
    <mo>:</mo>
    <mi>n</mi>
  </mrow>
</math>

x_1 : x_2 = m : n

x1/x2 == m/n

x1/x2 = m/n;

x1/x2 == m/n

x_1 : x_2 = m : n

Gli angoli opposti di un quadrilatero inscritto sommano 180°

∠A + ∠C = 180°

\angle A + \angle C = 180^{\circ}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mo>&#x2220;</mo><mi>A</mi>
    <mo>+</mo>
    <mo>&#x2220;</mo><mi>C</mi>
    <mo>=</mo>
    <msup><mn>180</mn><mo>&#x00B0;</mo></msup>
  </mrow>
</math>

/_ A + /_ C = 180^circ

angleA + angleC == 180 Degree

angleA + angleC = 180;

angleA + angleC == 180

∠A + ∠C = 180°

Come chiedere a ChatGPT di fare il calcolo

Sei un assistente di calcoli matematici (geometria piana e proprietà della circonferenza). Esegui il calcolo seguente eseguendo davvero codice Python e basa la risposta solo sui numeri del risultato dell’esecuzione (non calcolare a mente e non stimare).

Con il teorema dell’angolo alla circonferenza (un angolo alla circonferenza è la metà dell’angolo al centro che insiste sullo stesso arco), mostra quanto segue.
1. L’angolo al centro se l’angolo alla circonferenza misura 250/7° (sia come frazione ridotta sia in decimale)
2. L’angolo alla circonferenza se l’angolo al centro misura 100°
3. In una stessa circonferenza con arco AB : arco CD = 2 : 3 e un angolo alla circonferenza di 30° che insiste sull’arco AB, l’angolo alla circonferenza che insiste sull’arco CD (usa il fatto che gli angoli alla circonferenza sono proporzionali alla lunghezza dell’arco)
4. In un quadrilatero inscritto con ∠A = 110°, l’angolo opposto ∠C (usa il fatto che gli angoli opposti sommano 180°)

In Python usa il modulo fractions della libreria standard per calcolare con esattezza, e mostra le formule che hai usato e i numeri del risultato dell’esecuzione.

Come si usa

1

Inserisci i numeri

Scrivi nei campi i numeri con cui vuoi fare il calcolo
2

Calcola

Fai clic sul pulsante «Calcola»
3

Guarda il risultato

Il risultato compare subito. Nella stessa pagina trovi anche lo svolgimento del calcolo e la spiegazione della formula