計算モードを選んで、わかっている角の大きさを入力してください。
数値は半角で入力してください。角の大きさには小数や 250/7 のような分数も使えます。
計算結果・図形
左でモードを選んで角の大きさを入れ「計算する」を押すと、ここに結果と平行線の図が表示されます。
このページでできること
- 平行な2直線を1本の直線（横断線）が横切る定番の図で、1つの角 \(\angle a\) を入れるだけで、できる8つの角 \(\angle a\)〜\(\angle h\) をすべて計算できます。\(\dfrac{250}{7}^\circ\) のような割り切れない角も、厳密値（分数）と小数の両方で表示します
- どの角とどの角が同位角・錯角・対頂角・同側内角の関係かを、色分けした図と表で確かめられます（同じ色の角は等しい大きさ）
- 折れ線モードでは、平行線にはさまれた折れ点の角（いわゆるZ角）\(\angle x = \angle a + \angle b\) を、「折れ点を通る平行な補助線を引いて錯角で分ける」解法の途中式付きで計算できます
- 「平行線の同位角・錯角は等しい」「対頂角は等しい」「同側内角の和は \(180^\circ\)」がなぜ成り立つのかも、図付きの式カードでわかりやすく解説します
角のラベルの付け方（どの角を ∠a と呼ぶか）は教科書・問題集によって異なります。このページでは、上の交点で右上から反時計回りに ∠a・∠b・∠c・∠d、下の交点も同じ順に ∠e・∠f・∠g・∠h と呼びます（位置は計算結果の図で確認できます）。
この計算は何の役に立つ？
地球の大きさを測る（エラトステネスの測定・測量）
太陽の光は非常に遠くから届くため、地上では平行な光線とみなせます。約2200年前、ギリシャの学者エラトステネスは、シエネの町で太陽が真上に来る日に、離れたアレクサンドリアで棒の影から太陽光線と棒の角度（約7.2°）を測りました。「平行線の錯角は等しい」ことから、この7.2°は地球の中心で2つの町を見込む角と等しくなります。7.2°は360°のちょうど50分の1なので、2つの町の距離を50倍して、地球一周の長さをかなりの精度で見積もりました。
人工衛星のない時代に地球の大きさを測ったこの方法は、平行線と錯角の最も有名な応用例として、今も教科書で紹介されています。
三角定規をスライドさせて平行線を引く（製図・図工）
定規に三角定規を当てて滑らせ、同じ向きの線を何本も引くと、それらはすべて平行になります。定規に沿って滑らせても三角定規の角度（定規の線と引く線が作る角＝同位角）が変わらないため、「同位角が等しければ2直線は平行」という性質がそのまま作図の方法になっています。
建築や機械の製図で使われてきた平行定規という道具も、定規を平行に保ったまま上下に動かす、同じ原理の道具です。
階段の手すりと支柱を同じ角度で量産する（大工仕事・建築）
階段の手すりは斜めの1本の線、それを支える支柱は何本も立つ垂直の平行線です。「平行線の同位角は等しい」ので、手すりと支柱が作る角度はどの支柱でも同じになり、支柱の上端は全部同じ角度で切ればよいことがわかります。
1本ずつ現物合わせをしなくても同じ部材を量産できるのは、この性質のおかげです。
潜望鏡（ペリスコープ）の中の光の道すじ（光学機器）
潜水艦や工作でおなじみの潜望鏡は、筒の上下に45°傾けた鏡を2枚、平行に向かい合わせた道具です。上の鏡で折れ曲がった光は、下の鏡でもう一度折れ曲がって目に届きます。2枚の鏡が平行なので、入ってきた光と出ていく光は錯角の関係で平行になり、景色が傾かずにそのまま見えます。
光の道すじが平行線の間で2回折れ曲がる形は、このページの折れ線モードの図とよく似た構図です（実際の光の向きは反射の法則で決まります）。
式と図
対頂角は等しい（平行でなくても成り立つ）
図
数学表記
（一般的な数式）
日本語表記
（記号を日本語に置き換えた式）
\(\angle a\)
\(=\)
\(\angle c\)
①
1つの角 \(\angle a\)
\(=\)
②
向かい合う角（対頂角）\(\angle c\)
式を日本語で読むと
①
2本の直線が交わるとき、
1つの角 \(\angle a\)
は
②
向かい合う角（対頂角）\(\angle c\)
と必ず等しい
簡単な例
2本の直線が交わってできる角の1つが \(60^\circ\) のとき、その対頂角は
対頂角 \(\angle c\)
\(=\)
\(\angle a\)（\(60^\circ\)）
\(\angle c = \angle a = 60^\circ\)
考え方のポイント
なぜ等しいのか——\(\angle a\) も \(\angle c\) も、間にある角 \(\angle b\) と足すと一直線の \(180^\circ\) になります（\(\angle a = 180^\circ - \angle b\)、\(\angle c = 180^\circ - \angle b\)）。同じ数を \(180^\circ\) から引いた結果どうしなので、必ず同じ大きさです。
対頂角の性質は2本の直線が交わってさえいれば使えます。平行線は関係ありません（同位角・錯角と違い、ここが試験でよく問われる区別です）。
平行線の同位角は等しい
図
数学表記
（一般的な数式）
日本語表記
（記号を日本語に置き換えた式）
\(\angle a\)
\(=\)
\(\angle e\)
①
1つの角 \(\angle a\)
\(=\)
②
その同位角 \(\angle e\)
式を日本語で読むと
①
直線 \(\ell\) と \(m\) が平行のとき、
1つの角 \(\angle a\)
は
②
同じ位置にある角（同位角）\(\angle e\)
と等しい
簡単な例
平行な2直線に1本の直線が交わっていて、\(\angle a = 60^\circ\) のとき、その同位角 \(\angle e\) は
同位角 \(\angle e\)
\(=\)
\(\angle a\)（\(60^\circ\)）
\(\angle e = \angle a = 60^\circ\)
考え方のポイント
同位角とは、2つの交点で「同じ位置」にある角のペアです。\(\angle a\) が上の交点の右上なら、その同位角 \(\angle e\) は下の交点の右上です。
同位角が等しいのは、2直線が平行なときだけです。平行でなければ同位角は等しくなりません。
逆も成り立ちます。同位角が等しければ、その2直線は必ず平行です（平行になるための条件）。「平行だから角が等しい」「角が等しいから平行」の両方向で使える、平行線の単元の中心となる性質です。
平行線の錯角は等しい
図
数学表記
（一般的な数式）
日本語表記
（記号を日本語に置き換えた式）
\(\angle c\)
\(=\)
\(\angle e\)
①
内側の1つの角 \(\angle c\)
\(=\)
②
その錯角 \(\angle e\)
式を日本語で読むと
①
直線 \(\ell\) と \(m\) が平行のとき、
内側の1つの角 \(\angle c\)
は
②
反対側の内側の角（錯角）\(\angle e\)
と等しい
簡単な例
平行な2直線に1本の直線が交わっていて、内側の角 \(\angle c = 60^\circ\) のとき、その錯角 \(\angle e\) は
錯角 \(\angle e\)
\(=\)
\(\angle c\)（\(60^\circ\)）
\(\angle e = \angle c = 60^\circ\)
考え方のポイント
錯角とは、平行線の内側（2直線にはさまれた側）で、横断線の反対側にある角のペアです。2つの角と横断線がアルファベットのZの形に見えるので、「Z角」という覚え方が有名です。
なぜ等しいのか——\(\angle c\) は \(\angle a\) の対頂角なので \(\angle c = \angle a\)、そして \(\angle a\) と \(\angle e\) は同位角なので \(\angle a = \angle e\) です。つなげると \(\angle c = \angle a = \angle e\) となり、「対頂角」と「同位角」の2つの性質だけから導けます。
同位角と同じく、錯角が等しければ2直線は平行です（平行になるための条件）。
平行線の同側内角の和は180°
図
数学表記
（一般的な数式）
\(\angle c\)
\(+\)
\(\angle f\)
\(=\)
\(180^\circ\)
日本語表記
（記号を日本語に置き換えた式）
①
内側の1つの角 \(\angle c\)
\(+\)
②
同じ側の内側の角 \(\angle f\)
\(=\)
③
一直線の角 \(180^\circ\)
式を日本語で読むと
①
直線 \(\ell\) と \(m\) が平行のとき、
内側の1つの角 \(\angle c\)
に
②
横断線の同じ側にある内側の角（同側内角）\(\angle f\)
を足すと
③
必ず
一直線の角 \(180^\circ\)
になる
簡単な例
平行な2直線に1本の直線が交わっていて、同側内角の一方 \(\angle c = 60^\circ\) のとき、もう一方の \(\angle f\) は
同側内角 \(\angle f\)
\(=\)
\(180^\circ\)
\(-\)
\(\angle c\)（\(60^\circ\)）
\(180^\circ - 60^\circ = 120^\circ\)
考え方のポイント
同側内角とは、平行線の内側で、横断線の同じ側にある角のペアです。錯角が「反対側で等しい」のに対し、同側内角は「同じ側で、足すと \(180^\circ\)」になります。
なぜ \(180^\circ\) になるのか——\(\angle f\) と \(\angle e\) は隣り合う角なので \(\angle f = 180^\circ - \angle e\)、そして錯角より \(\angle e = \angle c\) です。だから \(\angle c + \angle f = \angle e + (180^\circ - \angle e) = 180^\circ\) です。
この性質は、台形（1組の辺が平行な四角形）で「平行な辺にはさまれた隣り合う2つの角の和が \(180^\circ\) になる」理由そのものです。
折れ線の角（平行線にはさまれたZ角）
図
数学表記
（一般的な数式）
\(\angle x\)
\(=\)
\(\angle a\)
\(+\)
\(\angle b\)
日本語表記
（記号を日本語に置き換えた式）
③
折れ点の角 \(\angle x\)
\(=\)
①
上の平行線側の角 \(\angle a\)
\(+\)
②
下の平行線側の角 \(\angle b\)
式を日本語で読むと
①
平行線の間に折れ点があるとき、
上の平行線側の角 \(\angle a\)
に
②
下の平行線側の角 \(\angle b\)
を足すと
③
折れ点の角 \(\angle x\)
になる
簡単な例
上の角 \(\angle a = 35^\circ\)・下の角 \(\angle b = 25^\circ\) のとき、折れ点の角 \(\angle x\) は
折れ点の角 \(\angle x\)
\(=\)
\(\angle a\)（\(35^\circ\)）
\(+\)
\(\angle b\)（\(25^\circ\)）
\(\angle x = 35^\circ + 25^\circ = 60^\circ\)
考え方のポイント
解き方の主役は「折れ点を通る、平行な補助線」です。補助線を引いて \(\angle x\) を上下2つに分けると、上の部分は \(\angle a\) の錯角、下の部分は \(\angle b\) の錯角なので、\(\angle x = \angle a + \angle b\) になります。
「平行線にはさまれた角」は中学2年のテストの超定番で、折れ点が2つ以上に増えても、それぞれの折れ点に平行な補助線を引けば同じ考え方で解けます。
この式が使えるのは \(\angle a + \angle b\) が \(180^\circ\) より小さいときです（ちょうど \(180^\circ\) だと折れ線ではなく一直線になります）。
平行線に1本の直線が交わるときの角は、「対頂角は等しい（平行でなくても）」「平行線の同位角は等しい」「平行線の錯角は等しい」「同側内角の和は \(180^\circ\)」の4つで全部決まります。1つの角がわかれば、8つの角は「その角と等しい4つ」と「\(180^\circ\) から引いた4つ」に分かれます。平行線にはさまれた折れ線の角は、折れ点を通る平行な補助線を引けば \(\angle x = \angle a + \angle b\) で求められます。
用語・記号の解説
記号
| \(\angle\) | かく | 角を表す記号。\(\angle a\) は「\(a\) と名前を付けた角」を表します。\(\angle APB\) のように3文字で書くときは、真ん中の文字が角の頂点です。 |
| \(\ell,\ m\) | エル・エム | 直線に付ける名前。\(\ell\) は line（直線）の頭文字 l の筆記体で、数字の 1 やアルファベットの大文字 I と見分けやすくするためにこの形で書く慣例です。2本目以降は \(m\)・\(n\) とアルファベット順に付けます。 |
| \(\parallel\) | へいこう | 平行を表す記号。\(\ell \parallel m\) で「直線 \(\ell\) と直線 \(m\) は平行」という意味です。平行線を縦線2本で表した形に由来するといわれます。 |
| \(x\) | エックス | わからない数（求めたい角）に付ける文字。わからない数を \(x\) と置くのは教科書でもおなじみの慣例です。 |
| \(^\circ\) | ど | 角度の単位「度」の記号。1回転を 360 等分した角の大きさが \(1^\circ\) です。1回転が 360 という数になったのは、約数が多く等分しやすいからだといわれています。 |
用語
| 平行線 | へいこうせん | 同じ平面の上にあって、どこまで延ばしても交わらない2本の直線。記号では \(\ell \parallel m\) と書きます。平行な2直線の間の距離（幅）は、どこで測っても等しくなります。 |
| 横断線 | おうだんせん | 2本の直線を横切る1本の直線。教科書では特に名前を付けずに「2直線に1つの直線が交わるとき」と書くことが多いですが、このページでは横断線と呼びます。平行線と横断線が交わると、2つの交点に4つずつ、合計8つの角ができます。 |
| 対頂角 | たいちょうかく | 2本の直線が交わったときにできる4つの角のうち、向かい合っている角のペア。対頂角は必ず等しくなります。2直線が平行かどうかは関係なく、交わってさえいれば成り立つ性質です。 |
| 同位角 | どういかく | 横断線が2本の直線と交わるとき、2つの交点で同じ位置（例：どちらも交点の右上）にある角のペア。2直線が平行なとき、同位角は等しくなります。逆に、同位角が等しければ2直線は平行です。 |
| 錯角 | さっかく | 2本の直線の内側（はさまれた側）で、横断線について反対側にある角のペア。「錯」は「互い違い」という意味です。2直線が平行なとき、錯角は等しくなります。2つの角と横断線がZの形に見えるので「Z角」という覚え方が有名です。 |
| 同側内角 | どうそくないかく | 2本の直線の内側で、横断線について同じ側にある角のペア。2直線が平行なとき、同側内角の和は \(180^\circ\) になります。台形の平行な辺にはさまれた隣り合う2つの角が、まさにこの関係です。 |
| 補助線 | ほじょせん | 問題を解くために、自分で図に描き足す線。平行線にはさまれた折れ線の角では、「折れ点を通る、平行線に平行な補助線」を引くことが解き方の決め手になります。 |
| 平行になるための条件 | へいこうになるためのじょうけん | 「同位角が等しければ2直線は平行」「錯角が等しければ2直線は平行」という、定理の逆向きの性質。角の大きさから2直線が平行であることを証明するときに使います。 |
| 一直線の角 | いっちょくせんのかく | 半回転の角 \(180^\circ\) のこと。直線の上に点を取ると、その点の周りの片側の角の合計は必ず \(180^\circ\) です。「隣り合う角を足すと \(180^\circ\)」「対頂角は等しい」の土台になります。 |
前提として理解しておくといいこと
このページの計算を「意味がわかって」使えるようになるために、前提として理解しておくといいことをまとめました。
つまずいたら、この表の内容に戻って復習するのが近道です。
| 角度と回転（小学4年） |
|
| 垂直と平行（小学4年） |
|
| 一直線の角と隣り合う角（小学4年〜中学1年） |
|
| 文字を使った式（中学1年） |
|
| 引き算と分数（小学5年〜中学1年） |
|
Excelで計算する方法
Excelファイルをダウンロード
式ごとにシートが分かれたExcelファイルです。貼り付け場所を気にせず、開いてすぐ使えます。
下の表を丸ごとコピーして、ExcelのA1セルに貼り付けるとそのまま使えます。
「1つの角から8つの角すべて」を求める表
| 角 ∠a（度） | 60 |
| ∠c・∠e・∠g（∠aと等しい角）（度） | =B1 |
| ∠b・∠d・∠f・∠h（度） | =180-B1 |
「折れ線（Z角）の角」を求める表
| 上の平行線側の角 ∠a（度） | 35 |
| 下の平行線側の角 ∠b（度） | 25 |
| 折れ点の角 ∠x（度） | =B1+B2 |
貼り付けると、上の行が入力欄、下の行が自動計算の結果になります。
「-」が引き算、「+」が足し算の記号です。
1つ目の表は ∠a に 60 を入れる例です。対頂角・同位角・錯角の関係で ∠a と等しい角（∠c・∠e・∠g）は 60、残りの4つの角（∠b・∠d・∠f・∠h）は 180 − 60 で 120 になります。
2つ目の表は折れ線モードの例で、∠a に 35・∠b に 25 を入れると、折れ点の角 ∠x は 35 + 25 で 60 になります。
「-」が引き算、「+」が足し算の記号です。
1つ目の表は ∠a に 60 を入れる例です。対頂角・同位角・錯角の関係で ∠a と等しい角（∠c・∠e・∠g）は 60、残りの4つの角（∠b・∠d・∠f・∠h）は 180 − 60 で 120 になります。
2つ目の表は折れ線モードの例で、∠a に 35・∠b に 25 を入れると、折れ点の角 ∠x は 35 + 25 で 60 になります。
Googleスプレッドシートで計算する方法
Excelファイルをダウンロード
上のExcelファイルをダウンロードし、Googleドライブにアップロードして開くと、そのままスプレッドシートとして使えます。
下の表を丸ごとコピーして、GoogleスプレッドシートのA1セルに貼り付けるとそのまま使えます。
「1つの角から8つの角すべて」を求める表
| 角 ∠a（度） | 60 |
| ∠c・∠e・∠g（∠aと等しい角）（度） | =B1 |
| ∠b・∠d・∠f・∠h（度） | =180-B1 |
「折れ線（Z角）の角」を求める表
| 上の平行線側の角 ∠a（度） | 35 |
| 下の平行線側の角 ∠b（度） | 25 |
| 折れ点の角 ∠x（度） | =B1+B2 |
Excelと同じ式がそのまま使えます。表を丸ごとコピーしてA1セルに貼り付け、角の大きさを自分の数値に書き換えてください。
Pythonで計算する方法
from fractions import Fraction
# 平行線と横断線：1つの角から8つの角すべて
angle_a = Fraction(60) # 250/7° のような分数は Fraction(250, 7) と書ける
angle_b = 180 - angle_a # 隣り合う角（一直線の角 180° から引く）
print(f"∠a = ∠c = ∠e = ∠g = {angle_a}°（対頂角・同位角・錯角で等しい）")
print(f"∠b = ∠d = ∠f = ∠h = {angle_b}°")
print(f"同側内角の和の確認: {angle_a}° + {angle_b}° = {angle_a + angle_b}°")
# 折れ線（Z角）：平行線にはさまれた折れ点の角
bend_a = Fraction(35)
bend_b = Fraction(25)
angle_x = bend_a + bend_b
print(f"折れ点の角 ∠x = {bend_a}° + {bend_b}° = {angle_x}°")
標準ライブラリの fractions モジュールを使うと、250/7° のような割り切れない角も丸め誤差なしの分数のまま計算できます。実行すると、1つ目は「60° の角が4つ・120° の角が4つ」に分かれることと同側内角の和 180°、2つ目は折れ点の角 60° が表示されます。数値を書き換えて実行してください。
数式記述言語（LaTeX等）での書き方（コピペ可）
対頂角は等しい（平行でなくても成り立つ）
∠a = ∠c
\angle a = \angle c
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mo>∠</mo><mi>a</mi>
<mo>=</mo>
<mo>∠</mo><mi>c</mi>
</mrow>
</math>
/_ a = /_ c
angleA == angleC
angleA = angleC;
angleA == angleC
∠a = ∠c
平行線の同位角は等しい
∠a = ∠e
\angle a = \angle e
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mo>∠</mo><mi>a</mi>
<mo>=</mo>
<mo>∠</mo><mi>e</mi>
</mrow>
</math>
/_ a = /_ e
angleA == angleE
angleA = angleE;
angleA == angleE
∠a = ∠e
平行線の錯角は等しい
∠c = ∠e
\angle c = \angle e
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mo>∠</mo><mi>c</mi>
<mo>=</mo>
<mo>∠</mo><mi>e</mi>
</mrow>
</math>
/_ c = /_ e
angleC == angleE
angleC = angleE;
angleC == angleE
∠c = ∠e
平行線の同側内角の和は180°
∠c + ∠f = 180°
\angle c + \angle f = 180^{\circ}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mo>∠</mo><mi>c</mi>
<mo>+</mo>
<mo>∠</mo><mi>f</mi>
<mo>=</mo>
<msup><mn>180</mn><mo>°</mo></msup>
</mrow>
</math>
/_ c + /_ f = 180^circ
angleC + angleF == 180 Degree
angleC + angleF = 180;
angleC + angleF == 180
∠c + ∠f = 180°
折れ線の角（平行線にはさまれたZ角）
∠x = ∠a + ∠b
\angle x = \angle a + \angle b
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mo>∠</mo><mi>x</mi>
<mo>=</mo>
<mo>∠</mo><mi>a</mi>
<mo>+</mo>
<mo>∠</mo><mi>b</mi>
</mrow>
</math>
/_ x = /_ a + /_ b
angleX == angleA + angleB
angleX = angleA + angleB;
angleX == angleA + angleB
∠x = ∠a + ∠b
ChatGPT に聞いて計算してもらう方法
あなたは数学（平面図形・平行線と角）の計算アシスタントです。次の計算を、必ずPythonコードを実際に実行して行い、実行結果の数値だけを根拠に回答してください（暗算や推測で答えないでください）。 平行な2直線に1本の直線が交わってできる8つの角について、次の内容をそれぞれ示してください。 1. 1つの角が 250/7° のとき、8つの角の大きさ（等しい角のグループ分けも。約分済みの分数と小数の両方で） 2. 同側内角の和が 180° になることの確認 3. 平行線にはさまれた折れ線（Z角）で、上の平行線側の角が 35°・下の平行線側の角が 25° のときの折れ点の角 Pythonでは標準ライブラリの fractions モジュールを使って厳密に計算し、計算に使った式と実行結果の数値を示してください。
計算ドリル（演習問題）
このページの式を、自分の手で計算できるようになるための演習問題です。
図を自分で簡単に描いてから解くと確実です。答えと解説は解答ページにあります。
使い方
-
1数値を入力計算したい数値を入力欄に入力します
-
2計算「計算する」ボタンを押します
-
3結果を確認計算結果がその場に表示されます。計算の考え方や式の解説も同じページで確認できます
DataChefの特徴
簡単・無料
無料で回数無制限の変換
専門知識不要、直感的で簡単な操作
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会員登録不要
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通信を高度に暗号化
「ダウンロード」押下でファイルを自動削除
「ダウンロード」押下でファイルを自動削除
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ストレスのない快適な表示速度・変換速度
透かしなし
ウォーターマークなし
クレジット表記不要
クレジット表記不要
商用利用可能
無料で商用利用可能
商用利用許諾の連絡も不要です
商用利用許諾の連絡も不要です
関連機能
多角形の内角・外角 計算機（内角の和・外角の和・正多角形の逆算）
n角形の内角の和 180°×(n−2)・外角の和 360°・正n角形の1つの内角/外角を、三角形に分ける考え方の図付きで計算します
円周角の定理 計算機（円周角⇔中心角・弧の比と円周角・内接四角形の対角）
円周角は中心角の半分・同じ弧の円周角は等しい・直径に対する円周角は90°など、円の角の性質を図付きで計算します
