多角形の内角・外角計算機（内角の和・外角の和・正多角形の逆算）

「n角形の角を求める」モードでは角（頂点）の数 n を、「正何角形かを逆算する」モードでは正多角形の1つの角の大きさを入力してください。

計算モード

角（頂点）の数 n

与える角の種類

角の大きさ（度）

数値は半角で入力してください。角（頂点）の数 n は 3〜360 の整数、角の大きさには小数や 900/7 のような分数も使えます。

計算結果・図形

左の入力欄に角（頂点）の数を入れて「計算する」を押すと、ここに結果と正多角形の図が表示されます。

このページでできること
この計算は何の役に立つ？
使い方
式と図
用語・記号の解説
- 記号
- 用語
前提として理解しておくといいこと
Excelで計算する方法
Googleスプレッドシートで計算する方法
Pythonで計算する方法
数式記述言語（LaTeX等）での書き方（コピペ可）
ChatGPTに聞いて計算してもらう方法
計算ドリル（演習問題）
DataChefの特徴
関連機能
NumberChef 機能一覧

このページでできること

\(n\) 角形（3〜360）の内角の和 \(180^\circ \times (n - 2)\)・外角の和 \(360^\circ\)・正\(n\)角形の1つの内角と外角の大きさを、角（頂点）の数を入れるだけでその場で計算できます
正七角形の1つの内角 \(\dfrac{900}{7}^\circ\) のような割り切れない角も、厳密値（分数）と小数の両方で表示。「\((n-2)\) 個の三角形に分ける」考え方の途中式も見られます
逆に、1つの内角（または外角）の大きさから「正何角形か」を逆算できます。頂点の数が整数にならないときは「正多角形にはなりません」と判定します
計算結果には正多角形の図が表示され、1つの内角・外角の位置と、対角線で三角形に分ける様子を目で確かめられます（角の数が多すぎるときは、図や対角線は省略されます）

このページの外角の説明は、へこみのない多角形（凸多角形）を前提としています。

この計算は何の役に立つ？

測量の誤差チェック（土地の測量・地図づくり）

土地の境界を測量するときは、敷地を多角形とみなして各頂点の角度を測ります。測った内角をすべて足した値が、理論値の \(180^\circ \times (n - 2)\) とどれだけずれているか（閉合差）を確かめることで、測定ミスや機器の誤差を発見できます。
この検算は測量の基本手順として実務で日常的に行われていて、多角形の内角の和の公式がそのまま現場の品質管理に使われている例です。

タイルの敷き詰め・ハチの巣の形（デザイン・自然）

床のタイルのように、1種類の正多角形で平面を隙間なく敷き詰めるには、1つの頂点の周り（\(360^\circ\)）に内角がぴったり収まる必要があります。つまり内角が \(360^\circ\) の約数になる正三角形（\(60^\circ\)）・正方形（\(90^\circ\)）・正六角形（\(120^\circ\)）の3種類だけが敷き詰め可能で、正五角形（\(108^\circ\)）では必ず隙間ができます。
ハチの巣が正六角形なのも、少ない材料で隙間なく空間を仕切れる形だからだと説明されます。

プログラミングで図形を描く（プログラミング教育・ロボット）

Scratch やロボットのプログラミングで正多角形を描くときは、「少し進んで、少し曲がる」をくり返します。このとき曲がる角度は内角ではなく外角（\(360^\circ \div n\)）で、正五角形なら \(72^\circ\) ずつ曲がると1周して図形が閉じます。
小学校のプログラミング教育でも定番の題材で、「外角の和 \(= 360^\circ\)（1周）」の考え方がそのままプログラムになっています。

カメラの絞りと光の形（写真・光学製品）

カメラのレンズの絞りは、複数の羽根が作る正多角形に近い開口で光の量を調節しています。羽根の枚数（＝多角形の角の数）によって、夜景の光源から伸びる光の筋の本数や、ボケの形が変わります。
製品設計では、正多角形の角の数と角度がそのまま写りの個性を決める要素になっています。

式と図

\(n\) 角形の内角の和

図

数学表記（一般的な数式）

\(S\) \(=\) \(180^\circ\) \(\times\) \((n - 2)\)

日本語表記（記号を日本語に置き換えた式）

③ \(n\) 角形の内角の和 \(S\) \(=\) ② 三角形の内角の和 \(180^\circ\) \(\times\) ① 三角形の数 \(n - 2\)

式を日本語で読むと

① \(n\) 角形を1つの頂点から対角線で切り分けてできる三角形の数 \(n - 2\) に

② 三角形の内角の和 \(180^\circ\) を掛けると

③ \(n\) 角形の内角の和 \(S\) になる

簡単な例

五角形（\(n = 5\)）の内角の和は、対角線で \(5 - 2 = 3\) 個の三角形に分けられることから

五角形の内角の和 \(=\) 三角形の内角の和（\(180^\circ\)） \(\times\) 三角形の数（3個）

\(180^\circ \times (5 - 2) = 180^\circ \times 3 = 540^\circ\)

考え方のポイント

なぜ \(n - 2\) 個なのか——\(n\) 角形の1つの頂点からは、自分自身と両隣を除いた \(n - 3\) 個の頂点に対角線が引けます。\(n - 3\) 本の対角線は多角形を \(n - 2\) 個の三角形に切り分け、三角形の内角を全部集めるとちょうど多角形の内角になります。だから「三角形の内角の和 \(180^\circ\) が \(n - 2\) 個分」です。四角形で確かめると、対角線1本で三角形2個に分かれるので \(180^\circ \times 2 = 360^\circ\) です。三角形なら分ける必要がなく \(180^\circ \times 1 = 180^\circ\) で、よく知っている値と一致します。

多角形の外角の和

図

数学表記（一般的な数式）

日本語表記（記号を日本語に置き換えた式）

\(T\) \(=\) \(360^\circ\)

① 多角形の外角の和 \(T\) \(=\) ② ちょうど1周分の角度 \(360^\circ\)

式を日本語で読むと

① 多角形の外角の和 \(T\) は、何角形であっても

② ちょうど1周分の角度 \(360^\circ\) になる

簡単な例

五角形で確かめると、内角と外角のペア（\(180^\circ\)）が5組あるので、そこから内角の和 \(540^\circ\) を引いて

五角形の外角の和 \(=\) \(360^\circ\)（ちょうど1周）

\(180^\circ \times 5 - 540^\circ = 900^\circ - 540^\circ = 360^\circ\)

考え方のポイント

外角の和が「何角形でも \(360^\circ\)」になる直観的な説明——多角形の辺の上を歩いて1周する場面を想像してください。頂点に着くたびに、次の辺の方向へ体の向きを変えますが、この「向きを変える角度」がちょうど外角です。1周して出発点に戻ったとき、体の向きは元どおり＝合計でちょうど1回転（\(360^\circ\)）しているので、外角を全部足すと必ず \(360^\circ\) になります。計算でも確かめられます。各頂点で内角 + 外角 \(= 180^\circ\)（一直線の角）なので、\(n\) 個の頂点の分を全部集めると \(180^\circ \times n\) になります。ここから内角の和 \(180^\circ \times (n - 2)\) を引くと、残りは必ず \(180^\circ \times 2 = 360^\circ\) です。角の数が増えるほど1つ1つの外角が小さくなり、合計は変わらないというわけです。なお、この関係が成り立つのは、へこみのない多角形（凸多角形）です。

正 \(n\) 角形の1つの内角

数学表記（一般的な数式）

\(x\) \(=\) \(180^\circ \times (n - 2)\) \(\div\) \(n\)

日本語表記（記号を日本語に置き換えた式）

③ 正 \(n\) 角形の1つの内角 \(x\) \(=\) ① 内角の和 \(180^\circ \times (n - 2)\) \(\div\) ② 角の数 \(n\)

式を日本語で読むと

① 正多角形は内角がすべて等しいので、内角の和 \(180^\circ \times (n - 2)\) を

② 角の数 \(n\) で等分すると

③ 正 \(n\) 角形の1つの内角 \(x\) になる

簡単な例

正五角形（\(n = 5\)）の1つの内角は、内角の和 \(540^\circ\) を5等分して

正五角形の1つの内角 \(=\) 内角の和（\(540^\circ\)） \(\div\) 角の数（5）

\(180^\circ \times (5 - 2) \div 5 = 540^\circ \div 5 = 108^\circ\)

考え方のポイント

この等分ができるのは「正」多角形だけです。ただの五角形は内角の和が \(540^\circ\) と決まっているだけで、1つ1つの内角の大きさはバラバラでもかまいません。割り切れないこともあります。正七角形では \(900^\circ \div 7 = \dfrac{900}{7}^\circ = 128.57\ldots^\circ\) となり、整数になりません。テストの答案では \(\dfrac{900}{7}^\circ\) のような分数（厳密値）のまま答えるのが確実です。「\(180^\circ -\) 1つの外角」として求める方法もあります（内角 + 外角 \(= 180^\circ\) を使う）。次の式で外角を \(360^\circ \div n\) と求めてから引く方が、計算が楽なことも多いです。

正 \(n\) 角形の1つの外角（と正何角形かの逆算）

数学表記（一般的な数式）

\(y\) \(=\) \(360^\circ\) \(\div\) \(n\)

日本語表記（記号を日本語に置き換えた式）

③ 正 \(n\) 角形の1つの外角 \(y\) \(=\) ① 外角の和 \(360^\circ\) \(\div\) ② 角の数 \(n\)

式を日本語で読むと

① 正多角形は外角もすべて等しいので、外角の和 \(360^\circ\) を

② 角の数 \(n\) で等分すると

③ 正 \(n\) 角形の1つの外角 \(y\) になる

簡単な例

正五角形（\(n = 5\)）の1つの外角と、逆に「外角が \(72^\circ\) なら正何角形か」は

正五角形の1つの外角 \(=\) 外角の和（\(360^\circ\)） \(\div\) 角の数（5）

\(360^\circ \div 5 = 72^\circ\)

\(360^\circ \div 72^\circ = 5\)

考え方のポイント

この式は逆向きにも使えます。1つの外角の大きさ \(y\) がわかっていれば、角の数は \(n = 360^\circ \div y\) で求められます。例えば外角が \(40^\circ\) なら \(360^\circ \div 40^\circ = 9\) で正九角形です。割り切れなければ、その大きさの外角をもつ正多角形は存在しません（\(360^\circ \div 50^\circ = 7.2\) のように頂点の数が整数にならないため）。 1つの内角 \(x\) から逆算したいときは、まず内角 + 外角 \(= 180^\circ\) を使って外角 \(y = 180^\circ - x\) に直してから、\(360^\circ \div y\) を計算します。この計算機の逆算モードも同じ手順です。

\(n\) 角形の内角の和は、1つの頂点から対角線を引いて \(n - 2\) 個の三角形に分けることで \(180^\circ \times (n - 2)\) と求められます。外角の和は何角形でもちょうど1周分の \(360^\circ\) です。正\(n\)角形ではすべての角が等しいので、1つの内角は内角の和 \(\div\ n\)、1つの外角は \(360^\circ \div n\) で求められ、逆に1つの角の大きさから正何角形かも逆算できます。

用語・記号の解説

記号

\(n\)	エヌ	角（頂点）の数。五角形なら \(n = 5\) です。number（数）の頭文字 \(n\) が、個数を表す文字としてよく使われます。
\(S\)	エス	このページで内角の和を表す文字。合計を意味する Sum の頭文字に由来するといわれ、合計量や面積を表す文字としてよく使われます。
\(T\)	ティー	このページで外角の和を表す文字。合計を意味する Total の頭文字として使っています。
\(x,\ y\)	エックス・ワイ	求めたい角の大きさを表す文字。教科書や問題集では「1つの内角を \(x^\circ\) とすると」のように、わからない数を \(x\) と置くのが慣例です。
\(^\circ\)	ど	角度の単位「度」の記号。1回転を 360 等分した角の大きさが \(1^\circ\) です。1回転が 360 という数になったのは、約数が多く等分しやすいからだといわれています。

用語

多角形	たかくけい	3本以上の線分（まっすぐな線）で囲まれた図形。三角形・四角形・五角形…をまとめた呼び名で、角の数が \(n\) 個なら「\(n\) 角形」と呼びます。
頂点	ちょうてん	多角形の角の点。辺と辺が交わる点で、\(n\) 角形には \(n\) 個あります。角の数と頂点の数と辺の数はすべて同じです。
内角	ないかく	多角形の内側にできる角。\(n\) 角形には頂点の数と同じ \(n\) 個あります。
外角	がいかく	多角形の1つの辺を延長した直線と、隣の辺との間にできる角。同じ頂点の内角と外角を合わせると一直線の角（\(180^\circ\)）になります。
内角の和	ないかくのわ	内角をすべて足した角度。\(n\) 角形では \(180^\circ \times (n - 2)\) になります。三角形は \(180^\circ\)、四角形は \(360^\circ\)、五角形は \(540^\circ\) と、角が1つ増えるごとに \(180^\circ\) ずつ増えます。
外角の和	がいかくのわ	各頂点で外角を1つずつとって全部足した角度。へこみのない多角形なら、何角形でもちょうど1周分の \(360^\circ\) になります。
正多角形	せいたかくけい	辺の長さがすべて等しく、内角の大きさもすべて等しい多角形。正三角形・正方形・正五角形などです。角がすべて等しいからこそ「内角の和 ÷ 角の数」で1つの内角が求められます。
対角線	たいかくせん	多角形の隣り合わない2つの頂点を結んだ線分。1つの頂点からは、自分自身と両隣を除いた \(n - 3\) 本が引け、多角形を \(n - 2\) 個の三角形に切り分けます。
三角形の内角の和	さんかくけいのないかくのわ	どんな形の三角形でも、3つの内角を足すと必ず \(180^\circ\) になるという性質。多角形の内角の和の公式は、多角形を三角形に分けてこの性質を使ったものです。
平角	へいかく	一直線の角。大きさは \(180^\circ\) で、ちょうど半回転にあたります。「内角 + 外角 \(= 180^\circ\)」は、辺とその延長が一直線＝平角を作ることから来ています。
凸多角形	とつたかくけい	へこみのない多角形。どの内角も \(180^\circ\) より小さい多角形のことで、このページの外角の説明（外角の和 \(= 360^\circ\)）は凸多角形を前提にしています。

前提として理解しておくといいこと

このページの計算を「意味がわかって」使えるようになるために、前提として理解しておくといいことをまとめました。
つまずいたら、この表の内容に戻って復習するのが近道です。

三角形の内角の和（小学5年〜中学2年）	どんな形の三角形でも、3つの内角を足すと必ず \(180^\circ\) になることを知っていること多角形の角の話は、すべてこの \(180^\circ\) がもとになっているとわかること
角度と回転（小学4年）	1回転が \(360^\circ\)、半回転（一直線の角＝平角）が \(180^\circ\) だとわかること分度器で測るような「角の大きさ」のイメージがあること
多角形と対角線（小学4年〜中学2年）	頂点・辺・角の意味がわかり、五角形・六角形などの名前と角の数が結び付いていること対角線が「隣り合わない頂点どうしを結ぶ線分」だとわかること
割り算と分数（小学5年〜中学1年）	\(540 \div 5 = 108\) のような割り算が筆算でできること割り切れないときに \(\dfrac{900}{7}\) のような分数（厳密値）のまま答えを扱えること
一次方程式（中学1年）	「内角の和が \(1080^\circ\) の多角形は何角形か」のような逆算を、\(180 \times (n - 2) = 1080\) という方程式を解いて求められること（このページの逆算モードの考え方）

Excelで計算する方法

Excelファイルをダウンロード

式ごとにシートが分かれたExcelファイルです。貼り付け場所を気にせず、開いてすぐ使えます。

下の表を丸ごとコピーして、ExcelのA1セルに貼り付けるとそのまま使えます。

「n角形の内角の和」を求める表

角（頂点）の数 n	5
内角の和 S	=180*(B1-2)

「正n角形の1つの内角」を求める表

角（頂点）の数 n	5
1つの内角 x	=180*(B1-2)/B1

「正n角形の1つの外角」を求める表

角（頂点）の数 n	5
1つの外角 y	=360/B1

「正何角形かの逆算（1つの内角から）」の表

1つの内角（度）	108
1つの外角（度）	=180-B1
頂点の数 n = 360 ÷ 外角	=360/B2

貼り付けると、上の行が入力欄、下の行が自動計算の結果になります。
「*」が掛け算、「/」が割り算の記号です。
1つ目の表は五角形（n = 5）の内角の和を求める例で、答えは 540 になります。2つ目・3つ目の表は正五角形の1つの内角と外角で、それぞれ 108 と 72 になります。
4つ目の表は逆算です。内角 108 を入れると外角が 72、頂点の数が 5 となり、正五角形とわかります。頂点の数が 7.2 のような整数でない値になったら、その角をもつ正多角形はありません。

Googleスプレッドシートで計算する方法

Excelファイルをダウンロード

上のExcelファイルをダウンロードし、Googleドライブにアップロードして開くと、そのままスプレッドシートとして使えます。

下の表を丸ごとコピーして、GoogleスプレッドシートのA1セルに貼り付けるとそのまま使えます。

「n角形の内角の和」を求める表

角（頂点）の数 n	5
内角の和 S	=180*(B1-2)

「正n角形の1つの内角」を求める表

角（頂点）の数 n	5
1つの内角 x	=180*(B1-2)/B1

「正n角形の1つの外角」を求める表

角（頂点）の数 n	5
1つの外角 y	=360/B1

「正何角形かの逆算（1つの内角から）」の表

1つの内角（度）	108
1つの外角（度）	=180-B1
頂点の数 n = 360 ÷ 外角	=360/B2

Excelと同じ式がそのまま使えます。表を丸ごとコピーしてA1セルに貼り付け、n や角の大きさを自分の数値に書き換えてください。

Pythonで計算する方法

from fractions import Fraction

# n角形の角を求める（vertex_count = 角（頂点）の数）
vertex_count = 7

interior_sum = 180 * (vertex_count - 2)
regular_interior = Fraction(interior_sum, vertex_count)
regular_exterior = Fraction(360, vertex_count)
print(f"内角の和: {interior_sum}°")
print("外角の和: 360°")
print(f"正{vertex_count}角形の1つの内角: {regular_interior}° ≒ {float(regular_interior):.2f}°")
print(f"正{vertex_count}角形の1つの外角: {regular_exterior}° ≒ {float(regular_exterior):.2f}°")

# 逆算：1つの内角の大きさから正何角形かを求める
interior_angle = Fraction(150)
exterior_angle = 180 - interior_angle
polygon_count = Fraction(360) / exterior_angle
if polygon_count.denominator == 1 and polygon_count >= 3:
    print(f"内角{interior_angle}°の正多角形: 正{polygon_count}角形")
else:
    print(f"内角{interior_angle}°の正多角形はありません（360 ÷ 外角 = {polygon_count}）")

標準ライブラリの fractions モジュールを使うと、900/7° のような割り切れない角も丸め誤差なしの分数のまま計算できます。この例の前半は正七角形（vertex_count = 7）の計算で、1つの内角は「900/7° ≒ 128.57°」と表示されます。後半は内角150°からの逆算で、外角30°・頂点の数12となり「正12角形」と表示されます。数値を書き換えて実行してください。

数式記述言語（LaTeX等）での書き方（コピペ可）

\(n\) 角形の内角の和

S = 180° × (n − 2)

S = 180^{\circ} \times (n - 2)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>S</mi>
    <mo>=</mo>
    <msup><mn>180</mn><mo>&#x00B0;</mo></msup>
    <mo>&#x00D7;</mo>
    <mo>(</mo><mi>n</mi><mo>&#x2212;</mo><mn>2</mn><mo>)</mo>
  </mrow>
</math>

S = 180^circ xx (n - 2)

S = 180 (n - 2) Degree

S := 180*(n - 2);

S = 180*(n - 2);

S = 180° × (n − 2)

多角形の外角の和

T = 360°

T = 360^{\circ}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>T</mi>
    <mo>=</mo>
    <msup><mn>360</mn><mo>&#x00B0;</mo></msup>
  </mrow>
</math>

T = 360^circ

T = 360 Degree

T := 360;

T = 360;

T = 360°

正 \(n\) 角形の1つの内角

x = 180° × (n − 2) / n

x = \frac{180^{\circ} \times (n - 2)}{n}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>x</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mrow><msup><mn>180</mn><mo>&#x00B0;</mo></msup><mo>&#x00D7;</mo><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>&#x2212;</mo><mn>2</mn><mo>)</mo></mrow>
      <mi>n</mi>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

x = (180^circ xx (n - 2))/n

x = (180 (n - 2)/n) Degree

x := 180*(n - 2)/n;

x = 180*(n - 2)/n;

x = 180° × (n − 2) / n

正 \(n\) 角形の1つの外角（と正何角形かの逆算）

y = 360° / n

y = \frac{360^{\circ}}{n}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>y</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <msup><mn>360</mn><mo>&#x00B0;</mo></msup>
      <mi>n</mi>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

y = (360^circ)/n

y = (360/n) Degree

y := 360/n;

y = 360/n;

y = 360° / n

ChatGPT に聞いて計算してもらう方法

あなたは数学（平面図形）の計算アシスタントです。次の計算を、必ずPythonコードを実際に実行して行い、実行結果の数値だけを根拠に回答してください（暗算や推測で答えないでください）。

正七角形について、次の内容をそれぞれ示してください。
1. 内角の和（度）
2. 1つの内角の大きさ（約分済みの分数と小数の両方で）
3. 1つの外角の大きさ（約分済みの分数と小数の両方で）
また、1つの内角が140°の正多角形が正何角形かを、1つの外角に直してから360°を割る手順で求めてください。

Pythonでは標準ライブラリの fractions モジュールを使って厳密に計算し、計算に使った式と実行結果の数値を示してください。