楕円体の表面積計算機（トムセンの近似式）

楕円体の3方向の半軸 \(a\)・\(b\)・\(c\)（中心から表面までの長さ）を入力してください。表面積 \(S\)（トムセンの近似式）と、cmで入力したときのm²換算も表示します。

単位

半軸 a の長さ

半軸 b の長さ

半軸 c の長さ

3つの半軸は同じ単位に揃えて、0より大きい数値だけを入力してください（単位は付けず数値のみ。例：10cmなら「10」）。

計算結果・図形

左の入力欄に3方向の半軸の長さを入れて「計算する」を押すと、ここに結果と3Dの図が表示されます。

このページでできること
この計算は何の役に立つ？
使い方
式と図
用語・記号の解説
- 記号
- 用語
前提として理解しておくといいこと
Excelで計算する方法
Googleスプレッドシートで計算する方法
Pythonで計算する方法
数式記述言語（LaTeX等）での書き方（コピペ可）
ChatGPTに聞いて計算してもらう方法
計算ドリル（演習問題）
DataChefの特徴
関連機能
NumberChef 機能一覧

このページでできること

3方向の半軸 \(a\)・\(b\)・\(c\)（中心から表面までの長さ）を入れるだけで、楕円体の表面積がその場でわかります（世界的に使われるトムセンの近似式で計算）
計算結果はマウスで回して見られる3Dの図でも表示され、どの長さがどの方向かをひと目で確認できます
3つの欄に同じ長さを入れれば、球の表面積（\(S = 4\pi r^2\)）の計算にもそのまま使えます（このときは近似ではなく厳密な値と一致します）
cmで入力したときの平方メートル（m²）への換算も同時に表示します
式のやさしい解説・Excel/Googleスプレッドシート/Python用のコピペ数式・計算ドリル（演習問題）もこのページにまとまっています

楕円体の表面積には（体積と違い）簡単な厳密公式が存在しないため、この計算機は近似式（トムセンの近似式）を使います。誤差はどんな形の楕円体でも約±1.06%以内です。3つの半軸は同じ単位に揃えて入力してください（入力するのは「中心から表面までの長さ」＝半軸で、端から端までの長さの半分です）。

この計算は何の役に立つ？

地球の表面積を計算する（地学・宇宙）

地球は自転の遠心力でわずかにつぶれた回転楕円体です。赤道半径約6378km・極半径約6357km をこの式に入れると、表面積は約 \(5.10 \times 10^8\,\mathrm{km^2}\)（約5.1億km²）と求められ、理科年表などに載っている地球の表面積とよく一致します。
「地球の表面の約7割が海」といった話や、大気・海洋の量の見積りは、この表面積が出発点です。完全な球ではない天体の表面積計算に、実際に使われている式です。

卵のコーティングや包装材の量を見積もる（料理・食品）

鶏卵は楕円体に近い形です。長さ約6cm・太さ約4.5cmの卵なら半軸は \(3 \times 2.25 \times 2.25\,\mathrm{cm}\) で、表面積は約 \(78\,\mathrm{cm^2}\) と見積もれます。
チョコレートで卵型のお菓子をコーティングする量、殻の塗装や印刷の面積、シュリンク包装のフィルムサイズなど、「表面をおおう材料」の量は表面積から概算できます（実物は完全な楕円体ではないため、あくまで目安です）。

飛行船や気球の外皮材料を見積もる（工業・設計）

飛行船の船体は細長い回転楕円体に近い形で設計されます。例えば全長75m・最大直径14mの飛行船を半軸 \(37.5 \times 7 \times 7\,\mathrm{m}\) の楕円体とみなすと、表面積は約 \(2610\,\mathrm{m^2}\) です。外皮の生地や塗料がどれだけ必要かの初期見積りに使えます。
表面積は空気抵抗（摩擦抵抗）や熱の出入りにも直結するため、乗り物や建物のドーム設計で最初に押さえる量の一つです（詳細設計では実形状での計算に置き換えられます）。

果物の袋がけ・ワックスの量を見積もる（農業）

スイカやメロンは楕円体に近い形なので、実の大きさから表面積を見積もるのにこの式が使えます。半軸 \(12 \times 10 \times 10\,\mathrm{cm}\) のスイカなら表面積は約 \(1430\,\mathrm{cm^2}\)（約0.14m²）。
果実袋のサイズ選び、食用ワックスやコーティング剤の使用量、ラッピング資材の発注量など、「実の表面をおおう作業」の目安づくりに役立ちます。

ラグビーボールの外皮パネルの材料を見積もる（スポーツ用品の製造）

ラグビーボールは細長い回転楕円体に近い形です。長さ約30cm・幅約19cmのボールなら半軸は \(15 \times 9.5 \times 9.5\,\mathrm{cm}\) で、表面積は約 \(1590\,\mathrm{cm^2}\) です。
ボールは4枚の外皮パネルを縫い合わせて作られるので、1枚あたり約400cm²の材料が必要という見積りが立ちます（縫いしろや膨らみの分は別途見込みます）。曲面製品の材料取りの第一歩になる計算です。

式と図

楕円体の表面積（トムセンの近似式）

図

数学表記（一般的な数式）

\(S\) \(\approx\) \(4\) \(\times\) \(\pi\) \(\times\) \(\dfrac{(ab)^{1.6} + (ac)^{1.6} + (bc)^{1.6}}{3}\) \(\frac{1}{1.6}\)

日本語表記（記号を日本語に置き換えた式）

⑤ 楕円体の表面積 \(S\) \(\approx\) ④ 定数 \(4\) \(\times\) ③ 円周率 \(\pi\) \(\times\) ① 3つの積の1.6乗の平均 ② \(\dfrac{1}{1.6}\) 乗

式を日本語で読むと

① 3つの半軸の積 \(ab\)・\(ac\)・\(bc\) をそれぞれ1.6乗して平均した値を

② \(\dfrac{1}{1.6}\) 乗（1.6乗を打ち消す）して

③ 円周率 \(\pi\)（約3.14）を掛け

④ 定数 \(4\) 倍すると

⑤ 楕円体の表面積 \(S\) に（ほぼ）なる

簡単な例

半軸がすべて3cm（＝半径3cmの球）の楕円体の表面積は

楕円体の表面積 \(S\) \(\approx\) 定数 \(4\) \(\times\) 円周率 \(\pi\) \(\times\) \(\dfrac{9^{1.6} + 9^{1.6} + 9^{1.6}}{3}\) \(\dfrac{1}{1.6}\) 乗

\((ab)^{1.6} = (ac)^{1.6} = (bc)^{1.6} = (3 \times 3)^{1.6} = 9^{1.6}\)

\(\dfrac{9^{1.6} + 9^{1.6} + 9^{1.6}}{3} = 9^{1.6}\)

\(\left( 9^{1.6} \right)^{\frac{1}{1.6}} = 9^{1.6 \times \frac{1}{1.6}} = 9^{1} = 9\)

\(S \approx 4\pi \times 9 = 36\pi\)

\(36\pi = 36 \times 3.14159\ldots \fallingdotseq 113.10\,\mathrm{cm^2}\)

考え方のポイント

楕円体の表面積は、体積（\(V = \dfrac{4}{3}\pi abc\)）と違って、簡単な厳密公式が存在しません（厳密に求めるには「楕円積分」という高校数学を超える計算が必要です）。そこで実用では、2004年にデンマークのクヌート・トムセンが提案したこの近似式が世界的に使われています。誤差はどんな形の楕円体でも約±1.06%以内で、球に近い形ならほぼ誤差ゼロです。式の意味：\(ab\)・\(ac\)・\(bc\) は、楕円体を3つの方向に真っ二つに切った断面（楕円）の面積 \(\pi ab\)・\(\pi ac\)・\(\pi bc\) から \(\pi\) を除いた部分です。球の表面積（\(4\pi r^2\)）が「断面の円の面積 \(\pi r^2\) のちょうど4倍」であることの楕円体版として、3つの断面を「1.6乗してから平均し、\(\dfrac{1}{1.6}\) 乗で戻す」という特別な平均のとり方でならして、4π倍しています。指数の1.6は、誤差が最も小さくなるように選ばれた値です。厳密な式ではないので、等号（＝）ではなく「ほぼ等しい」を表す記号 \(\approx\)（日本の教科書では ≒）で結びます。

球の表面積（楕円体の特別な場合）

図

数学表記（一般的な数式）

\(S\) \(=\) \(4\) \(\times\) \(\pi\) \(\times\) \(r\) \(2\)

日本語表記（記号を日本語に置き換えた式）

⑤ 球の表面積 \(S\) \(=\) ④ 定数 \(4\) \(\times\) ③ 円周率 \(\pi\) \(\times\) ① 半径 \(r\) ② 2乗（同じ長さを2回掛ける）

式を日本語で読むと

① 半径 \(r\) を

② 2乗（同じ長さを2回掛ける）して

③ 円周率 \(\pi\)（約3.14）を掛け

④ 定数 \(4\) 倍すると

⑤ 球の表面積 \(S\) になる

簡単な例

半径3cmの球の表面積は

球の表面積 \(S\) \(=\) 定数 \(4\) \(\times\) 円周率 \(\pi\) \(\times\) 半径（3cm） 2乗

\(S = 4 \times \pi \times 3^2 = 36\pi\)

\(36\pi = 36 \times 3.14159\ldots \fallingdotseq 113.10\,\mathrm{cm^2}\)

考え方のポイント

球は「3つの半軸がすべて等しい特別な楕円体」です。トムセンの近似式に \(a = b = c = r\) を入れると、3つの積はどれも \(r \times r = r^2\) になり、「1.6乗して平均し \(\dfrac{1}{1.6}\) 乗で戻す」と \(r^2\) がそのまま出てくるので、中学校で習う球の表面積の公式 \(S = 4\pi r^2\) と厳密に一致します（このときだけは近似ではありません）。この計算機でも、3つの欄に同じ数を入れれば球の表面積が求められます。「球の表面積は、同じ半径の円の面積 \(\pi r^2\) のちょうど4倍」と覚えておくと忘れにくい公式です。

面積の単位換算（cm² → m²）

数学表記（一般的な数式）

\(S_{\mathrm{m^2}}\) \(=\) \(S_{\mathrm{cm^2}}\) \(\div\) \(10000\)

日本語表記（記号を日本語に置き換えた式）

③ m²で表した表面積 \(S_{\mathrm{m^2}}\) \(=\) ① cm²で表した表面積 \(S_{\mathrm{cm^2}}\) \(\div\) ② 1m²あたりのcm²の数 \(10000\)

式を日本語で読むと

① cm²で表した表面積 \(S_{\mathrm{cm^2}}\) を

② 1m²あたりのcm²の数 \(10000\) で割ると

③ m²で表した表面積 \(S_{\mathrm{m^2}}\) になる

簡単な例

表面積25000cm²の楕円体の岩の表面積をm²に直すと

m²で表した表面積 \(=\) cm²で表した表面積（25000） \(\div\) 1m²あたりのcm²の数（10000）

\(25000 \div 10000 = 2.5\,\mathrm{m^2}\)

考え方のポイント

\(1\,\mathrm{m} = 100\,\mathrm{cm}\) なので、\(1\,\mathrm{m^2}\) は1辺100cmの正方形の面積で \(100 \times 100 = 10000\,\mathrm{cm^2}\) です。面積の換算率は長さの換算率（100倍）の2乗（10000倍）になります。体積なら3乗（1000000倍）です。「面積は2乗・体積は3乗」が間違えやすいポイントです。

楕円体の表面積には簡単な厳密公式がないため、世界的に使われる「トムセンの近似式」＝4π ×（3つの半軸の積ab・ac・bcの1.6乗の平均）の1/1.6乗（誤差約±1.06%以内）で計算します。3つの半軸がすべて等しいときは球の表面積（S ＝ 4πr²）に厳密に一致します。半軸は同じ単位に揃え、答えはその単位の2乗（cmならcm²）。cm²からm²への換算は10000で割るだけです。

用語・記号の解説

記号

\(S\)	エス	面積・表面積を表すのによく使われる記号です。英語の surface（表面）や square（四角・平方）に由来し、このページでは楕円体の表面積を表します。
\(a,\ b,\ c\)	エー・ビー・シー	楕円体の3方向の半軸の長さ。どれも「中心から表面までの長さ」で、球でいう半径にあたります。端から端までの長さ（軸）の半分です。
\(\pi\)	パイ	円周率。円周が直径の何倍かを表す数で、\(3.14159265\ldots\) とどこまでも続いて循環しない小数（無理数）です。小学校の算数で使う「3.14」はこの近似値です。
\(\approx\)	ほぼ等しいニアリーイコール	左右の値が「ほぼ等しい」ことを表す記号です。日本の教科書では ≒ と書くことが多く、世界的には \(\approx\) が使われます。トムセンの式は近似式なので、等号（＝）ではなくこの記号で結びます。
\(x^{1.6}\)	エックスの1.6乗	指数（右上の小さい数）が小数の累乗です。\(x^{1.6} = x^{\frac{8}{5}}\) で、「\(x\) を8回掛けたものの5乗根」という意味になります（高校の数学IIで習う「指数の拡張」）。手計算は大変ですが、関数電卓・Excel・Pythonなら簡単に計算できます。
\(r\)	アール	球の半径。英語の radius（半径）の頭文字です。球は3つの半軸がすべて \(r\) の楕円体です。
\(\mathrm{cm^2}\)	平方センチメートル	面積の単位。1辺1cmの正方形の面積が1cm²です。読み方は「へいほうセンチメートル」で、体積のcm³（立方センチメートル）と区別します。
\(\mathrm{m^2}\)	平方メートル	面積の単位。1辺1m（＝100cm）の正方形の面積が1m²で、\(1\,\mathrm{m^2} = 10000\,\mathrm{cm^2}\) です。

用語

楕円体	だえんたい	楕円を3次元にした、なめらかな卵型の立体。どこで切っても断面が楕円（または円）になります。ラグビーボールやスイカに近い形です。
半軸	はんじく	楕円体の中心から表面までの長さのうち、3つの対称な方向（互いに直角な方向）に測ったもの。楕円体の大きさと形はこの3つの長さで決まります。端から端までの長さ（軸）の半分です。
表面積	ひょうめんせき	立体の表面全体の面積。立体を包む「皮」を切り開いて平らに広げたときの面積にあたり、cm²やm²など面積の単位で表します。
近似式	きんじしき	厳密な値の代わりに、それに十分近い値を簡単な計算で求めるための式。楕円体の表面積のように厳密な計算が難しい量に対して、実用上は近似式が広く使われます。
トムセンの近似式	トムセンのきんじしき	2004年にデンマークのクヌート・トムセン（Knud Thomsen）が提案した、楕円体の表面積の近似式。指数1.6を使うと誤差がどんな形でも約±1.06%以内に収まることが知られており、世界中の計算サイトや実務で標準的に使われています。
楕円積分	だえんせきぶん	楕円体の表面積や楕円の周の長さを厳密に求めるときに現れる、大学レベルの積分。答えを普通の式（四則演算と累乗・根号）では書き表せないため、実用では近似式や数値計算が使われます。
球	きゅう	3つの半軸がすべて等しい特別な楕円体。どの方向から見ても同じ大きさの円に見える立体で、表面積は \(S = 4\pi r^2\) です。
回転楕円体	かいてんだえんたい	楕円をその軸の周りに1回転させてできる立体で、3つの半軸のうち2つが等しい楕円体。ラグビーボール（細長い形）やみかん（つぶれた形）がこの仲間で、地球もわずかにつぶれた回転楕円体です。

前提として理解しておくといいこと

このページの計算を「意味がわかって」使えるようになるために、前提として理解しておくといいことをまとめました。

掛け算・累乗（2乗）（小学2年〜中学1年）	\(3^2 = 3 \times 3\) のように、「2乗」が同じ数を2回掛けることだとわかること
面積の意味と単位（小学4〜6年）	面積が「1辺1cmの正方形（1cm²）が何個分か」で表せることがわかること cm²・m²という単位を読み書きでき、\(1\,\mathrm{m^2} = 10000\,\mathrm{cm^2}\) の関係がわかること
円周率（小学5年〜中学1年）	円周率が「円周が直径の何倍か」を表す数（約3.14）だとわかること中学ではこれを文字 \(\pi\) で表すことを知っていること
球の表面積（中学1年）	球の表面積の公式 \(S = 4\pi r^2\) を使ったことがあること（3つの半軸が等しい楕円体がちょうどこの場合です）
指数の拡張（高校2年・数学II）	\(x^{1.6}\) のような小数の指数の意味（\(x^{1.6} = x^{\frac{8}{5}}\)）を知っていると、式の中身まで理解できます（知らなくても、計算機やExcelが計算してくれるので使うだけなら大丈夫です）

Excelで計算する方法

Excelファイルをダウンロード

式ごとにシートが分かれたExcelファイルです。貼り付け場所を気にせず、開いてすぐ使えます。

下の表を丸ごとコピーして、ExcelのA1セルに貼り付けるとそのまま使えます。

「楕円体の表面積（トムセンの近似式）」を求める表

半軸aの長さ	10
半軸bの長さ	5
半軸cの長さ	8
楕円体の表面積	=4PI()(((B1B2)^1.6+(B1B3)^1.6+(B2*B3)^1.6)/3)^(1/1.6)

「球の表面積」を求める表

半径	3
球の表面積	=4PI()B1^2

「cm²からm²への単位換算」を求める表

cm²で表した表面積	25000
m²で表した表面積	=B1/10000

貼り付けると、A列に項目名、B列に数値が入ります。上の行が入力欄で、最後の行の数式が入力欄の値を使って自動計算します。
数式の中の「B1」「B2」は「そのセルに入っている数値を使う」という意味で、「*」は掛け算、「/」は割り算、「^」はべき乗（何回掛けるか。1.6のような小数も使えます）、「PI()」は円周率πを返す関数です。
例えば1つ目の表なら、B4に約730.87と表示されます（cmで入力したのでcm²）。2つ目の表はB2に約113.10、3つ目の表はB2に2.5が出ます。入力欄の数値を自分の長さに書き換えるだけで使えます。

Googleスプレッドシートで計算する方法

Excelファイルをダウンロード

上のExcelファイルをダウンロードし、Googleドライブにアップロードして開くと、そのままスプレッドシートとして使えます。

下の表を丸ごとコピーして、GoogleスプレッドシートのA1セルに貼り付けるとそのまま使えます。

「楕円体の表面積（トムセンの近似式）」を求める表

半軸aの長さ	10
半軸bの長さ	5
半軸cの長さ	8
楕円体の表面積	=4PI()(((B1B2)^1.6+(B1B3)^1.6+(B2*B3)^1.6)/3)^(1/1.6)

「球の表面積」を求める表

半径	3
球の表面積	=4PI()B1^2

「cm²からm²への単位換算」を求める表

cm²で表した表面積	25000
m²で表した表面積	=B1/10000

Excelと同じ式（PI()関数・小数のべき乗を含む）がそのまま使えます。表を丸ごとコピーしてA1セルに貼り付け、入力欄の数値を自分の長さに書き換えてください。

Pythonで計算する方法

import math

a = 10   # 半軸aの長さ（この例ではcm。中心から表面までの長さ）
b = 5    # 半軸bの長さ（aと同じ単位で）
c = 8    # 半軸cの長さ（a・bと同じ単位で）

# トムセンの近似式（指数 p = 1.6）。「**」がべき乗の記号
p = 1.6
mean = ((a * b) ** p + (a * c) ** p + (b * c) ** p) / 3
surface_area = 4 * math.pi * mean ** (1 / p)   # 楕円体の表面積（入力単位の2乗。この例ではcm2）
surface_area_m2 = surface_area / 10000         # cmで入力した場合、m2に直した表面積

print(f"楕円体の表面積: {surface_area} cm2")
print(f"m2に直すと: {surface_area_m2} m2")

標準ライブラリだけで動きます。「math.pi」が円周率π、「**」がべき乗（1.6のような小数の指数もそのまま計算できます）、「*」が掛け算、「/」が割り算の記号です。先頭の3つの半軸の値を書き換えて実行してください。3つとも同じ値にすれば球の表面積（4πr²）と同じ結果になります（m²への換算はcmで入力した場合の例です）。

数式記述言語（LaTeX等）での書き方（コピペ可）

楕円体の表面積（トムセンの近似式）

S \approx 4\pi \left( \dfrac{(ab)^{1.6} + (ac)^{1.6} + (bc)^{1.6}}{3} \right)^{\frac{1}{1.6}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>S</mi>
    <mo>&#x2248;</mo>
    <mn>4</mn>
    <mi>&#x3C0;</mi>
    <msup>
      <mrow>
        <mo>(</mo>
        <mfrac>
          <mrow>
            <msup><mrow><mo>(</mo><mi>a</mi><mi>b</mi><mo>)</mo></mrow><mn>1.6</mn></msup>
            <mo>+</mo>
            <msup><mrow><mo>(</mo><mi>a</mi><mi>c</mi><mo>)</mo></mrow><mn>1.6</mn></msup>
            <mo>+</mo>
            <msup><mrow><mo>(</mo><mi>b</mi><mi>c</mi><mo>)</mo></mrow><mn>1.6</mn></msup>
          </mrow>
          <mn>3</mn>
        </mfrac>
        <mo>)</mo>
      </mrow>
      <mrow><mn>1</mn><mo>/</mo><mn>1.6</mn></mrow>
    </msup>
  </mrow>
</math>

S ~~ 4 pi (((a b)^1.6 + (a c)^1.6 + (b c)^1.6)/3)^(1/1.6)

4 Pi (((a b)^1.6 + (a c)^1.6 + (b c)^1.6)/3)^(1/1.6)

S := 4*Pi*(((a*b)^1.6 + (a*c)^1.6 + (b*c)^1.6)/3)^(1/1.6);

S = 4*pi*(((a*b)^1.6 + (a*c)^1.6 + (b*c)^1.6)/3)^(1/1.6);

S ≈ 4π(((ab)^1.6 + (ac)^1.6 + (bc)^1.6)/3)^(1/1.6)

球の表面積（楕円体の特別な場合）

S = 4πr²

S = 4\pi r^{2}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>S</mi>
    <mo>=</mo>
    <mn>4</mn>
    <mi>&#x3C0;</mi>
    <msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
  </mrow>
</math>

S = 4 pi r^2

4 Pi r^2

S := 4*Pi*r^2;

S = 4*pi*r^2;

S = 4πr^2

面積の単位換算（cm² → m²）

S[m²] = S[cm²] ÷ 10000

S_{\mathrm{m^2}} = S_{\mathrm{cm^2}} \div 10000

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>S</mi><mrow><msup><mi mathvariant="normal">m</mi><mn>2</mn></msup></mrow></msub>
    <mo>=</mo>
    <msub><mi>S</mi><mrow><msup><mi mathvariant="normal">cm</mi><mn>2</mn></msup></mrow></msub>
    <mo>&#xF7;</mo>
    <mn>10000</mn>
  </mrow>
</math>

S_(m^2) = S_(cm^2) -: 10000

sCm2/10000

sM2 := sCm2/10000;

s_m2 = s_cm2/10000;

S(m²) = S(cm²)/10000

ChatGPT に聞いて計算してもらう方法

あなたは算数・数学の計算アシスタントです。次の計算を、必ずPythonコードを実際に実行して行い、実行結果の数値だけを根拠に回答してください（暗算や推測で答えないでください）。

半軸の長さが a = 10cm、b = 5cm、c = 8cm の楕円体があります（半軸は中心から表面までの長さです）。
次の値をそれぞれ求めてください。
1. この楕円体の表面積は何cm²か。トムセンの近似式 S = 4 × π × (((a×b)^1.6 + (a×c)^1.6 + (b×c)^1.6) / 3)^(1/1.6) を使うこと
2. その表面積を平方メートル（m²）に直すといくつか

計算に使った式と、実行結果の数値を示してください。