請輸入橢球 3 個方向的半軸 \(a\)、\(b\)、\(c\)（從中心到表面的長度）。會顯示表面積 \(S\)（Thomsen 近似公式），以及以公分輸入時換算成 m² 的值。
3 個半軸請統一單位，只輸入大於 0 的數值（不加單位，只填數字。例如 10 公分就填「10」）。
計算結果與圖形
在左邊的輸入欄填入 3 個方向的半軸長度，按下「計算」，結果和 3D 圖就會顯示在這裡。
這個頁面可以做什麼
- 只要輸入 3 個方向的半軸 \(a\)、\(b\)、\(c\)（從中心到表面的長度），馬上就能知道橢球的表面積（用世界通用的 Thomsen 近似公式計算）
- 計算結果也會用可以拖曳旋轉的 3D 圖顯示，哪個長度是哪個方向一目了然
- 3 個欄位填入相同的長度，就能直接用來計算球的表面積（\(S = 4\pi r^2\)）（這時不是近似，而是和精確值一致）
- 同時顯示以公分輸入時換算成平方公尺（m²）的值
- 公式的淺顯解說，以及可直接複製到 Excel、Google 試算表、Python 的公式，都整理在這個頁面
橢球的表面積（和體積不同）沒有簡單的精確公式，所以這個計算機使用近似公式（Thomsen 近似公式）。不管什麼形狀的橢球，誤差都在約 ±1.06% 以內。3 個半軸請用同一種單位輸入（要輸入的是「從中心到表面的長度」＝半軸，也就是從一端到另一端的長度的一半）。
這個計算有什麼用？
計算地球的表面積（地球科學、太空）
地球因為自轉的離心力，是稍微扁一點的旋轉橢球。把赤道半徑約 6378 公里、極半徑約 6357 公里代入這個公式，表面積約為 \(5.10 \times 10^8\,\mathrm{km^2}\)（約 5.1 億平方公里），和天文資料中記載的地球表面積非常一致。
「地球表面約 7 成是海洋」這類說法，以及大氣、海洋總量的估算，都以這個表面積為起點。這是實際用來計算不是完美球的天體表面積的公式。
估算蛋的淋面、包裝材料的用量（料理、食品）
雞蛋的形狀接近橢球。長約 6 公分、粗約 4.5 公分的蛋，半軸是 \(3 \times 2.25 \times 2.25\,\mathrm{cm}\)，表面積可以估算為約 \(78\,\mathrm{cm^2}\)。
蛋形點心淋巧克力的用量、蛋殼塗裝或印刷的面積、收縮膜包裝的膜片尺寸等，「覆蓋表面的材料」用量都能從表面積概算（實物並不是完美的橢球，只能當作參考）。
估算飛船、熱氣球的外皮材料（工業、設計）
飛船的船體會設計成接近細長旋轉橢球的形狀。例如把全長 75 公尺、最大直徑 14 公尺的飛船看成半軸 \(37.5 \times 7 \times 7\,\mathrm{m}\) 的橢球，表面積約 \(2610\,\mathrm{m^2}\)。可以用來初步估算需要多少外皮布料和塗料。
表面積也和空氣阻力（摩擦阻力）、熱的進出直接相關，是設計交通工具或建築圓頂時最先要掌握的量之一（細部設計會改用實際形狀計算）。
估算水果套袋、果蠟的用量（農業）
西瓜、哈密瓜的形狀接近橢球，所以可以用這個公式從果實的大小估算表面積。半軸 \(12 \times 10 \times 10\,\mathrm{cm}\) 的西瓜，表面積約 \(1430\,\mathrm{cm^2}\)（約 0.14 m²）。
挑選果實套袋的尺寸、食用果蠟或塗層劑的用量、包裝材料的訂購量等，都能用來訂定「覆蓋果實表面的作業」的參考標準。
估算橄欖球外皮拼片的材料（運動用品製造）
橄欖球的形狀接近細長的旋轉橢球。長約 30 公分、寬約 19 公分的球，半軸是 \(15 \times 9.5 \times 9.5\,\mathrm{cm}\)，表面積約 \(1590\,\mathrm{cm^2}\)。
橄欖球是把 4 片外皮拼片縫合而成，所以可以估計每片約需要 400 cm² 的材料（縫份和鼓起的部分另外預留）。這是曲面產品裁料的第一步計算。
公式與圖示
橢球的表面積（Thomsen 近似公式）
圖示
數學寫法
（一般的數學式）
\(S\)
\(\approx\)
\(4\)
\(\times\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(\dfrac{(ab)^{1.6} + (ac)^{1.6} + (bc)^{1.6}}{3}\)
\(\frac{1}{1.6}\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
⑤
橢球的表面積 \(S\)
\(\approx\)
④
常數 \(4\)
\(\times\)
③
圓周率 \(\pi\)
\(\times\)
①
3 個乘積的 1.6 次方的平均
②
\(\dfrac{1}{1.6}\) 次方
用文字讀公式
①
把
3 個半軸的乘積 \(ab\)、\(ac\)、\(bc\) 各自做 1.6 次方後取平均的值
②
做
\(\dfrac{1}{1.6}\) 次方（抵銷 1.6 次方）
，
③
乘以
圓周率 \(\pi\)（約 3.14）
，
④
再乘以
常數 \(4\)
，就（幾乎）等於
⑤
橢球的表面積 \(S\)
。
簡單範例
半軸全部是 3 公分（＝半徑 3 公分的球）的橢球，表面積是
橢球的表面積 \(S\)
\(\approx\)
常數 \(4\)
\(\times\)
圓周率 \(\pi\)
\(\times\)
\(\dfrac{9^{1.6} + 9^{1.6} + 9^{1.6}}{3}\)
\(\dfrac{1}{1.6}\) 次方
\((ab)^{1.6} = (ac)^{1.6} = (bc)^{1.6} = (3 \times 3)^{1.6} = 9^{1.6}\)
\(\dfrac{9^{1.6} + 9^{1.6} + 9^{1.6}}{3} = 9^{1.6}\)
\(\left( 9^{1.6} \right)^{\frac{1}{1.6}} = 9^{1.6 \times \frac{1}{1.6}} = 9^{1} = 9\)
\(S \approx 4\pi \times 9 = 36\pi\)
\(36\pi = 36 \times 3.14159\ldots \approx 113.10\,\mathrm{cm^2}\)
思考重點
橢球的表面積和體積（\(V = \dfrac{4}{3}\pi abc\)）不同，沒有簡單的精確公式（要精確求出，需要用到超出高中數學範圍的「橢圓積分」）。所以在實務上，世界各地都使用 2004 年丹麥的 Knud Thomsen 提出的這個近似公式。不管什麼形狀的橢球，誤差都在約 ±1.06% 以內，形狀接近球時幾乎沒有誤差。
公式的意思：\(ab\)、\(ac\)、\(bc\) 是把橢球沿 3 個方向切成兩半時，截面（橢圓）的面積 \(\pi ab\)、\(\pi ac\)、\(\pi bc\) 去掉 \(\pi\) 的部分。球的表面積（\(4\pi r^2\)）「剛好是截面圓面積 \(\pi r^2\) 的 4 倍」，這個公式就是它的橢球版：用「先做 1.6 次方再取平均，最後用 \(\dfrac{1}{1.6}\) 次方還原」這種特別的平均方式把 3 個截面平均，再乘以 4π。指數 1.6 是為了讓誤差最小而選出的值。
因為不是精確的公式，所以不用等號（＝），而是用表示「約等於」的符號 \(\approx\) 連接。
球的表面積（橢球的特殊情況）
圖示
數學寫法
（一般的數學式）
\(S\)
\(=\)
\(4\)
\(\times\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(r\)
\(2\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
⑤
球的表面積 \(S\)
\(=\)
④
常數 \(4\)
\(\times\)
③
圓周率 \(\pi\)
\(\times\)
①
半徑 \(r\)
②
平方（同一個長度連乘 2 次）
用文字讀公式
①
把
半徑 \(r\)
②
做
平方（同一個長度連乘 2 次）
，
③
乘以
圓周率 \(\pi\)（約 3.14）
，
④
再乘以
常數 \(4\)
，就得到
⑤
球的表面積 \(S\)
。
簡單範例
半徑 3 公分的球，表面積是
球的表面積 \(S\)
\(=\)
常數 \(4\)
\(\times\)
圓周率 \(\pi\)
\(\times\)
半徑（3 cm）
平方
\(S = 4 \times \pi \times 3^2 = 36\pi\)
\(36\pi = 36 \times 3.14159\ldots \approx 113.10\,\mathrm{cm^2}\)
思考重點
球是「3 個半軸全部相等的特殊橢球」。在 Thomsen 近似公式中代入 \(a = b = c = r\)，3 個乘積都是 \(r \times r = r^2\)，「做 1.6 次方再取平均，用 \(\dfrac{1}{1.6}\) 次方還原」後，\(r^2\) 會原封不動地出現，所以和球的表面積公式 \(S = 4\pi r^2\) 完全一致（只有這時不是近似）。在這個計算機中，3 個欄位填入相同的數，也能求出球的表面積。
記成「球的表面積剛好是同半徑的圓面積 \(\pi r^2\) 的 4 倍」，就不容易忘記。
面積的單位換算（cm² → m²）
數學寫法
（一般的數學式）
\(S_{\mathrm{m^2}}\)
\(=\)
\(S_{\mathrm{cm^2}}\)
\(\div\)
\(10000\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
③
以 m² 表示的表面積 \(S_{\mathrm{m^2}}\)
\(=\)
①
以 cm² 表示的表面積 \(S_{\mathrm{cm^2}}\)
\(\div\)
②
每 1 m² 的 cm² 數 \(10000\)
用文字讀公式
①
把
以 cm² 表示的表面積 \(S_{\mathrm{cm^2}}\)
②
除以
每 1 m² 的 cm² 數 \(10000\)
，就得到
③
以 m² 表示的表面積 \(S_{\mathrm{m^2}}\)
。
簡單範例
表面積 25000 cm² 的橢球形岩石，表面積換算成 m² 是
以 m² 表示的表面積
\(=\)
以 cm² 表示的表面積（25000）
\(\div\)
每 1 m² 的 cm² 數（10000）
\(25000 \div 10000 = 2.5\,\mathrm{m^2}\)
思考重點
因為 \(1\,\mathrm{m} = 100\,\mathrm{cm}\)，\(1\,\mathrm{m^2}\) 是每邊 100 公分的正方形面積，\(100 \times 100 = 10000\,\mathrm{cm^2}\)。
面積的換算率是長度換算率（100 倍）的平方（10000 倍）；體積則是 3 次方（1000000 倍）。「面積是平方、體積是 3 次方」是容易弄錯的地方。
橢球的表面積沒有簡單的精確公式，所以用世界通用的「Thomsen 近似公式」＝4π ×（3 個半軸的乘積 ab、ac、bc 的 1.6 次方的平均）的 1/1.6 次方（誤差約 ±1.06% 以內）計算。3 個半軸全部相等時，和球的表面積（S＝4πr²）完全一致。半軸要統一單位，答案的單位是該單位的平方（公分就是 cm²）。cm² 換算成 m² 只要除以 10000。
符號與用語解說
符號
| \(S\) | S | 常用來表示面積、表面積的符號，來自英文 surface（表面）或 square（正方形、平方）。在本頁表示橢球的表面積。 |
| \(a,\ b,\ c\) | a、b、c | 橢球 3 個方向的半軸長度。都是「從中心到表面的長度」，相當於球的半徑，是從一端到另一端的長度（軸）的一半。 |
| \(\pi\) | pi | 圓周率，表示圓周長是直徑幾倍的數，\(3.14159265\ldots\) 無限延續、不循環的小數（無理數）。國小數學用的「3.14」是它的近似值。 |
| \(\approx\) | 約等於 | 表示左右兩邊的值「幾乎相等」的符號。Thomsen 的公式是近似公式，所以不用等號（＝），而是用這個符號連接。 |
| \(x^{1.6}\) | x 的 1.6 次方 | 指數（右上角的小數字）是小數的次方。\(x^{1.6} = x^{\frac{8}{5}}\)，意思是「\(x\) 連乘 8 次後的 5 次方根」（高中數學學的「指數的推廣」）。手算很辛苦，但用工程計算機、Excel、Python 就能輕鬆算出。 |
| \(r\) | r | 球的半徑，取自英文 radius（半徑）的第一個字母。球是 3 個半軸都是 \(r\) 的橢球。 |
| \(\mathrm{cm^2}\) | 平方公分 | 面積的單位。每邊 1 公分的正方形，面積是 1 cm²。要和體積的 cm³（立方公分）區分清楚。 |
| \(\mathrm{m^2}\) | 平方公尺 | 面積的單位。每邊 1 公尺（＝100 公分）的正方形，面積是 1 m²，\(1\,\mathrm{m^2} = 10000\,\mathrm{cm^2}\)。 |
用語
| 橢球 | 把橢圓變成立體的、光滑的蛋形立體（也叫橢圓體、橢球體）。不管在哪裡切，截面都是橢圓（或圓）。形狀接近橄欖球或西瓜。 |
| 半軸 | 從橢球中心到表面的長度中，沿 3 個對稱方向（互相垂直的方向）量得的長度。橢球的大小和形狀由這 3 個長度決定，是從一端到另一端的長度（軸）的一半。 |
| 表面積 | 立體整個表面的面積，相當於把包住立體的「外皮」切開攤平時的面積，用 cm²、m² 等面積單位表示。 |
| 近似公式 | 用簡單的計算求出非常接近精確值的值、來代替精確值的公式。像橢球的表面積這種很難精確計算的量，實務上廣泛使用近似公式。 |
| Thomsen 近似公式 | 2004 年丹麥的 Knud Thomsen 提出的橢球表面積近似公式。已知使用指數 1.6 時，不管什麼形狀，誤差都在約 ±1.06% 以內，是世界各地計算網站和實務上的標準用法。 |
| 橢圓積分 | 精確求出橢球的表面積或橢圓的周長時會出現的大學程度的積分。答案無法用一般的式子（四則運算和次方、根號）寫出來，所以實務上使用近似公式或數值計算。 |
| 球 | 3 個半軸全部相等的特殊橢球。從哪個方向看都是同樣大小的圓，表面積是 \(S = 4\pi r^2\)。 |
| 旋轉橢球 | 把橢圓繞著它的軸旋轉 1 圈所形成的立體，是 3 個半軸中有 2 個相等的橢球。橄欖球（細長形）和橘子（扁平形）都屬於這一類，地球也是稍微扁一點的旋轉橢球。 |
建議先了解的基礎知識
為了能「理解意義」地使用這個頁面的計算，這裡整理了建議先了解的基礎知識。
| 乘法與次方（平方）（國小二年級～國中七年級，7～13 歲） |
|
| 面積的意義與單位（國小三～四年級，8～10 歲） |
|
| 圓周率（國小六年級～國中，11～13 歲） |
|
| 球的表面積（國中～高中，12～18 歲） |
|
| 指數的推廣（高中，15～18 歲） |
|
用 Excel 計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Excel 的 A1 儲存格就能直接使用。
求「橢球的表面積（Thomsen 近似公式）」的表格
| 半軸 a 的長度 | 10 |
| 半軸 b 的長度 | 5 |
| 半軸 c 的長度 | 8 |
| 橢球的表面積 | =4*PI()*(((B1*B2)^1.6+(B1*B3)^1.6+(B2*B3)^1.6)/3)^(1/1.6) |
求「球的表面積」的表格
| 半徑 | 3 |
| 球的表面積 | =4*PI()*B1^2 |
「cm² 換算成 m²」的表格
| 以 cm² 表示的表面積 | 25000 |
| 以 m² 表示的表面積 | =B1/10000 |
貼上後，A 欄是項目名稱，B 欄是數值。上面的列是輸入欄，最後一列的公式會用輸入欄的值自動計算。
公式中的「B1」「B2」是「使用該儲存格裡的數值」的意思，「*」是乘法，「/」是除法，「^」是次方（乘幾次，也可以用 1.6 這樣的小數），「PI()」是傳回圓周率 π 的函數。
例如第 1 個表格，B4 會顯示約 730.87（以公分輸入，所以是 cm²）。第 2 個表格的 B2 會顯示約 113.10，第 3 個表格的 B2 會顯示 2.5。只要把輸入欄的數值改成自己的長度就能使用。
公式中的「B1」「B2」是「使用該儲存格裡的數值」的意思，「*」是乘法，「/」是除法，「^」是次方（乘幾次，也可以用 1.6 這樣的小數），「PI()」是傳回圓周率 π 的函數。
例如第 1 個表格，B4 會顯示約 730.87（以公分輸入，所以是 cm²）。第 2 個表格的 B2 會顯示約 113.10，第 3 個表格的 B2 會顯示 2.5。只要把輸入欄的數值改成自己的長度就能使用。
用 Google 試算表計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Google 試算表的 A1 儲存格就能直接使用。
求「橢球的表面積（Thomsen 近似公式）」的表格
| 半軸 a 的長度 | 10 |
| 半軸 b 的長度 | 5 |
| 半軸 c 的長度 | 8 |
| 橢球的表面積 | =4*PI()*(((B1*B2)^1.6+(B1*B3)^1.6+(B2*B3)^1.6)/3)^(1/1.6) |
求「球的表面積」的表格
| 半徑 | 3 |
| 球的表面積 | =4*PI()*B1^2 |
「cm² 換算成 m²」的表格
| 以 cm² 表示的表面積 | 25000 |
| 以 m² 表示的表面積 | =B1/10000 |
和 Excel 相同的公式（包括 PI() 函數、小數的次方）可以直接使用。把表格整個複製後貼到 A1 儲存格，再把輸入欄的數值改成自己的長度即可。
用 Python 計算的方法
import math
a = 10 # 半軸 a 的長度（這個例子用公分，是從中心到表面的長度）
b = 5 # 半軸 b 的長度（和 a 同一種單位）
c = 8 # 半軸 c 的長度（和 a、b 同一種單位）
# Thomsen 近似公式（指數 p = 1.6）。「**」是次方的符號
p = 1.6
mean = ((a * b) ** p + (a * c) ** p + (b * c) ** p) / 3
surface_area = 4 * math.pi * mean ** (1 / p) # 橢球的表面積（輸入單位的平方，這個例子是 cm2）
surface_area_m2 = surface_area / 10000 # 以公分輸入時，換算成 m2 的表面積
print(f"橢球的表面積：{surface_area} cm2")
print(f"換算成 m2：{surface_area_m2} m2")
只用標準函式庫就能執行。「math.pi」是圓周率 π，「**」是次方（1.6 這樣的小數指數也能直接計算），「*」是乘法，「/」是除法的符號。請改寫開頭的 3 個半軸的值再執行。3 個都設成相同的值，結果就和球的表面積（4πr²）相同（換算成 m² 是以公分輸入時的例子）。
用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）
橢球的表面積（Thomsen 近似公式）
S \approx 4\pi \left( \dfrac{(ab)^{1.6} + (ac)^{1.6} + (bc)^{1.6}}{3} \right)^{\frac{1}{1.6}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>S</mi>
<mo>≈</mo>
<mn>4</mn>
<mi>π</mi>
<msup>
<mrow>
<mo>(</mo>
<mfrac>
<mrow>
<msup><mrow><mo>(</mo><mi>a</mi><mi>b</mi><mo>)</mo></mrow><mn>1.6</mn></msup>
<mo>+</mo>
<msup><mrow><mo>(</mo><mi>a</mi><mi>c</mi><mo>)</mo></mrow><mn>1.6</mn></msup>
<mo>+</mo>
<msup><mrow><mo>(</mo><mi>b</mi><mi>c</mi><mo>)</mo></mrow><mn>1.6</mn></msup>
</mrow>
<mn>3</mn>
</mfrac>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mrow><mn>1</mn><mo>/</mo><mn>1.6</mn></mrow>
</msup>
</mrow>
</math>
S ~~ 4 pi (((a b)^1.6 + (a c)^1.6 + (b c)^1.6)/3)^(1/1.6)
4 Pi (((a b)^1.6 + (a c)^1.6 + (b c)^1.6)/3)^(1/1.6)
S := 4*Pi*(((a*b)^1.6 + (a*c)^1.6 + (b*c)^1.6)/3)^(1/1.6);
S = 4*pi*(((a*b)^1.6 + (a*c)^1.6 + (b*c)^1.6)/3)^(1/1.6);
S ≈ 4π(((ab)^1.6 + (ac)^1.6 + (bc)^1.6)/3)^(1/1.6)
球的表面積（橢球的特殊情況）
S = 4πr²
S = 4\pi r^{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>S</mi>
<mo>=</mo>
<mn>4</mn>
<mi>π</mi>
<msup><mi>r</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</math>
S = 4 pi r^2
4 Pi r^2
S := 4*Pi*r^2;
S = 4*pi*r^2;
S = 4πr^2
面積的單位換算（cm² → m²）
S[m²] = S[cm²] ÷ 10000
S_{\mathrm{m^2}} = S_{\mathrm{cm^2}} \div 10000
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>S</mi><mrow><msup><mi mathvariant="normal">m</mi><mn>2</mn></msup></mrow></msub>
<mo>=</mo>
<msub><mi>S</mi><mrow><msup><mi mathvariant="normal">cm</mi><mn>2</mn></msup></mrow></msub>
<mo>÷</mo>
<mn>10000</mn>
</mrow>
</math>
S_(m^2) = S_(cm^2) -: 10000
sCm2/10000
sM2 := sCm2/10000;
s_m2 = s_cm2/10000;
S(m²) = S(cm²)/10000
請 ChatGPT 幫忙計算的方法
你是數學計算助理。請務必實際執行 Python 程式碼來進行下面的計算，並只根據執行結果的數值回答（不要用心算或推測回答）。 有一個半軸長度為 a = 10 公分、b = 5 公分、c = 8 公分的橢球（半軸是從中心到表面的長度）。 請分別求出下面的值。 1. 這個橢球的表面積是多少 cm²。請使用 Thomsen 近似公式 S = 4 × π × (((a×b)^1.6 + (a×c)^1.6 + (b×c)^1.6) / 3)^(1/1.6) 2. 把這個表面積換算成平方公尺（m²）是多少 請列出計算用的公式和執行結果的數值。
使用方法
-
1輸入數值在輸入欄中輸入要計算的數值
-
2計算按下「計算」按鈕
-
3查看結果計算結果會立即顯示。計算的思路和公式的解說，也都能在同一個頁面查看
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相關功能
橢球體積計算機（V＝4/3 πabc）
用 3 個半軸，以精確的公式計算同一個橢球「裡面的容量」（體積）
