請把要計算的 2 個數 X、Y,分別分成「係數(數字部分)」和「指數(10 的幾次方)」輸入,再選擇運算的種類。下方的數學式和輸入欄連動,也可以直接改寫式子中的係數或指數來計算。結果會用科學記號、E 表示法、一般寫法顯示,也會顯示「把指數調成相同」「指數相加」等計算過程。
這個頁面可以做什麼
- 可以進行 \((1.23 \times 10^{7}) + (3.45 \times 10^{2})\) 這種科學記號(\(a \times 10^{n}\) 的形式)之間的加、減、乘、除、次方、平方根、平方
- 附上「把指數調成相同再把係數相加」「係數相乘、指數相加」等計算規則的過程,不只答案,連做法都能學會
- 結果用科學記號、E 表示法、一般寫法這 3 種寫法顯示。也能指定 1~30 位的有效位數(結果的係數要捨入到幾位,留空就是 10 位)
- 自然科學的「光速 × 時間」、化學的莫耳計算等,位數非常大或非常小的數之間的計算,都能正確無誤地確認
- 淺顯易懂的公式解說,以及可直接複製到 Excel、Google 試算表、Python 的公式,也都整理在這個頁面
這個計算有什麼用?
光速約 \(3.0 \times 10^{8}\) m/s,1 年約 \(3.15 \times 10^{7}\) 秒。光 1 年前進的距離用乘法求:係數 \(3.0 \times 3.15 = 9.45\),指數 \(8 + 7 = 15\),約 \(9.5 \times 10^{15}\) m(精確的 1 光年約 \(9.46 \times 10^{15}\) m)。
把排了 15 個 0 的乘法壓縮成 2 位數左右的計算,這就是指數律的威力。
1 莫耳物質含有約 \(6.02 \times 10^{23}\) 個粒子(亞佛加厥數)。例如 0.5 莫耳的水所含的水分子數是 \(0.5 \times 6.02 \times 10^{23} = 3.01 \times 10^{23}\) 個。
國中理化和高中化學的莫耳計算,就是「和亞佛加厥數相乘、相除」的連續,所以這個頁面把係數和指數分開計算的規則,直接就是得分能力。
太陽到地球的距離約 \(1.5 \times 10^{11}\) m。把它除以光速 \(3 \times 10^{8}\) m/s,係數 \(1.5 \div 3 = 0.5\),指數 \(11 - 8 = 3\),得到 \(0.5 \times 10^{3} = 5 \times 10^{2}\) 秒,也就是約 8 分 20 秒。
天文學中距離和速率的位數都很大,所以每次除法都要靠指數相減。
病毒的直徑約 \(1 \times 10^{-7}\) m,人的身高約 \(1.7 \times 10^{0}\) m。相除得 \(1.7 \div 1 = 1.7\),指數 \(0 - (-7) = 7\),可知人約是病毒的 \(1.7 \times 10^{7}\) 倍(1700 萬倍)大。
夾雜負指數的除法,也能只靠「指數相減」這 1 條規則機械式地計算。
自然科學的實驗和報告中,常常要把帶有有效數字的測量值相乘。例如長 \(2.5 \times 10^{2}\) m、寬 \(4.0 \times 10^{1}\) m 的土地,面積是 \(2.5 \times 4.0 = 10\),指數 \(2 + 1 = 3\),也就是 \(10 \times 10^{3} = 1.0 \times 10^{4}\) m²(1 公頃,約 3025 坪)。
用科學記號計算,能保留「答案可以信到第幾位(有效數字)」來進行計算,所以實際上是根據測量值計算時的標準做法。
公式
符號與用語解說
符號
| \(X\)、\(Y\) | X Y | 要計算的 2 個數。在這個頁面分別用「係數 × 10 的指數次方」的形式(例:\(X = 1.23 \times 10^{7}\))輸入。 |
| \(a\), \(b\) | a b | \(X\) 和 \(Y\) 的係數(數字部分)。標準化的寫法要調成絕對值 1 以上、小於 10。 |
| \(m\), \(n\) | m n | \(X\) 和 \(Y\) 的指數。乘 10 的次數,承載數的位數大小。負的表示小於 1 的小數。 |
| \(k\) | k | 次方的次數,表示 \(X\) 要取幾次方的數;在這個頁面就是選擇「次方 \(X^{Y}\)」時 \(Y\) 的值。 |
| \(10^{m+n}\) | 10 的 m+n 次方 | 指數律中出現的 10 的次方,是計算 \(10^{m} \times 10^{n}\) 的結果(例:\(10^{4} \times 10^{5} = 10^{9}\))。 |
| \(\sqrt{X}\) | 根號 X | \(X\) 的平方根,是平方後會回到 \(X\) 的 0 以上的數(例:\(\sqrt{4 \times 10^{6}} = 2 \times 10^{3}\))。 |
用語
| 指數律 | 能把乘方之間的計算,換成指數的加法、減法、乘法的規則,是這個頁面的核心。 代表的有 \(10^{a} \times 10^{b} = 10^{a+b}\)(乘法是指數相加。例:\(10^{4} \times 10^{5} = 10^{9}\))、\(10^{a} \div 10^{b} = 10^{a-b}\)(除法是指數相減)、\((10^{a})^{b} = 10^{ab}\)(次方是指數相乘)。 「10 連乘 4 次」乘上「10 連乘 5 次」,就是 10 總共連乘 9 次——用相乘的次數來想,不用死背也能推出來。 |
| 係數 | \(a \times 10^{n}\) 的 \(a\)(數字部分),也叫尾數。詳細請看姊妹頁面「科學記號換算」的解說。 |
| 指數 | 小小寫在數的右上方的數。在這個頁面表示「乘幾次 10(負的就是除幾次)」,承載數的位數大小。 |
| 標準化 | 把係數調成絕對值 1 以上、小於 10。計算途中變成 \(17.5 \times 10^{3}\) 這種形式時,就改成 \(1.75 \times 10^{4}\)。 |
| 有效位數 (有效數字) |
從數值開頭第一個不為 0 的數字算起,到第幾位是可信、可以使用的位數。在這個頁面,會把計算結果的係數四捨五入到這個位數。 |
| E 表示法 | 把 \(\times 10^{n}\) 的部分用英文字母 e(或 E)寫的寫法(例:\(6 \times 10^{9}\) 是 6e9)。這個頁面的計算結果也有 E 表示法的欄位。詳細請看姊妹頁面「科學記號換算」的解說。 |
| 科學記號 | 把數寫成「絕對值 1 以上、小於 10 的係數 × 10 的次方」的方法。台灣在國中七年級學到。 |
建議先了解的基礎知識
為了能「理解意思」地使用這個頁面的計算,這裡整理了建議先了解的基礎知識。
| 次方與指數(國中七年級,12~13 歲) |
|
| 科學記號的基礎(國中七年級,12~13 歲) |
|
| 指數律(國中七年級,12~13 歲) |
|
| 負指數(國中七年級~高一,12~16 歲) |
|
| 平方根(國中八年級,13~14 歲) |
|
用 Excel 計算的方法
| X 的係數 | 1.23 |
| X 的指數 | 7 |
| Y 的係數 | 3.45 |
| Y 的指數 | 2 |
| X + Y | =B1*10^B2+B3*10^B4 |
| X − Y | =B1*10^B2-B3*10^B4 |
| X 的係數 | 8 |
| X 的指數 | 6 |
| Y 的係數 | 2 |
| Y 的指數 | 2 |
| X × Y | =(B1*10^B2)*(B3*10^B4) |
| X ÷ Y | =(B1*10^B2)/(B3*10^B4) |
| X 的係數 | 4 |
| X 的指數 | 6 |
| 次方的次數 k | 2 |
| X 的 k 次方 | =(B1*10^B2)^B3 |
| √X(平方根) | =SQRT(B1*10^B2) |
第 2 個表的 B5 是乘法(用例子的值是 1600000000 = 1.6×10⁹),B6 是除法(40000 = 4×10⁴)。
第 3 個表的 B4 是次方(用例子的值是 1.6×10¹³),B5 是平方根(2000 = 2×10³)。
想用 1.23E+07 這種科學記號(E 表示法)查看結果時,把結果儲存格的格式改成「科學記號」即可(常用 → 數值格式 → 科學記號)。
用 Google 試算表計算的方法
| X 的係數 | 1.23 |
| X 的指數 | 7 |
| Y 的係數 | 3.45 |
| Y 的指數 | 2 |
| X + Y | =B1*10^B2+B3*10^B4 |
| X − Y | =B1*10^B2-B3*10^B4 |
| X 的係數 | 8 |
| X 的指數 | 6 |
| Y 的係數 | 2 |
| Y 的指數 | 2 |
| X × Y | =(B1*10^B2)*(B3*10^B4) |
| X ÷ Y | =(B1*10^B2)/(B3*10^B4) |
| X 的係數 | 4 |
| X 的指數 | 6 |
| 次方的次數 k | 2 |
| X 的 k 次方 | =(B1*10^B2)^B3 |
| √X(平方根) | =SQRT(B1*10^B2) |
結果的顯示可以用「格式 → 數值 → 科學記號」切換成科學記號(E 表示法)。
用 Python 計算的方法
import math
x = 1.23e7 # X = 1.23×10^7(可以寫成 E 表示法的常值)
y = 3.45e2 # Y = 3.45×10^2
print(x + y) # 加法 → 12300345.0
print(f"{x * y:.4e}") # 用 E 表示法顯示乘法 → 4.2435e+09
print(f"{x ** 2:.4e}") # 平方 → 1.5129e+14
print(f"{math.sqrt(x):.4e}") # 平方根 → 3.5071e+03
用 LaTeX 等數學式語言的寫法(可直接複製)
a × 10ⁿ + b × 10ⁿ = (a + b) × 10ⁿ
a \times 10^{n} + b \times 10^{n} = (a + b) \times 10^{n}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>a</mi><mo>×</mo><msup><mn>10</mn><mi>n</mi></msup>
<mo>+</mo>
<mi>b</mi><mo>×</mo><msup><mn>10</mn><mi>n</mi></msup>
<mo>=</mo>
<mo>(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo>)</mo>
<mo>×</mo><msup><mn>10</mn><mi>n</mi></msup>
</mrow>
</math>
a * 10^n + b * 10^n = (a + b) * 10^n
1.23*10^7 + 3.45*10^2
evalf(1.23*10^7 + 3.45*10^2);
R = 1.23e7 + 3.45e2;
a × 10^n + b × 10^n = (a + b) × 10^n
(a × 10ᵐ) × (b × 10ⁿ) = ab × 10ᵐ⁺ⁿ, (a × 10ᵐ) ÷ (b × 10ⁿ) = (a ÷ b) × 10ᵐ⁻ⁿ
(a \times 10^{m}) \times (b \times 10^{n}) = ab \times 10^{m+n}, \quad (a \times 10^{m}) \div (b \times 10^{n}) = \dfrac{a}{b} \times 10^{m-n}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mo>(</mo><mi>a</mi><mo>×</mo><msup><mn>10</mn><mi>m</mi></msup><mo>)</mo>
<mo>×</mo>
<mo>(</mo><mi>b</mi><mo>×</mo><msup><mn>10</mn><mi>n</mi></msup><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mi>a</mi><mi>b</mi><mo>×</mo>
<msup><mn>10</mn><mrow><mi>m</mi><mo>+</mo><mi>n</mi></mrow></msup>
</mrow>
</math>
(a * 10^m) * (b * 10^n) = a b * 10^(m+n), (a * 10^m) -: (b * 10^n) = (a -: b) * 10^(m-n)
(2*10^4) * (3*10^5)
evalf((2*10^4) * (3*10^5));
R1 = (2e4) * (3e5); R2 = (8e6) / (2e2);
(a × 10^m) × (b × 10^n) = ab × 10^(m+n), (a × 10^m) ÷ (b × 10^n) = (a ÷ b) × 10^(m−n)
(a × 10ᵐ)ᵏ = aᵏ × 10ᵐᵏ
(a \times 10^{m})^{k} = a^{k} \times 10^{mk}, \quad \sqrt{a \times 10^{m}} = \sqrt{a} \times 10^{m/2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup>
<mrow><mo>(</mo><mi>a</mi><mo>×</mo><msup><mn>10</mn><mi>m</mi></msup><mo>)</mo></mrow>
<mi>k</mi>
</msup>
<mo>=</mo>
<msup><mi>a</mi><mi>k</mi></msup>
<mo>×</mo>
<msup><mn>10</mn><mrow><mi>m</mi><mi>k</mi></mrow></msup>
</mrow>
</math>
(a * 10^m)^k = a^k * 10^(m k), sqrt(a * 10^m) = sqrt(a) * 10^(m/2)
{(2*10^3)^2, Sqrt[4*10^6]}
evalf((2*10^3)^2); evalf(sqrt(4*10^6));
R1 = (2e3)^2; R2 = sqrt(4e6);
(a × 10^m)^k = a^k × 10^(mk), √(a × 10^m) = √a × 10^(m/2)
請 ChatGPT 幫忙計算的方法
你是科學記號的計算助理。請務必實際執行 Python 程式碼來進行下面的計算,並只以執行結果的數值作為回答的根據(不要用心算或推測回答)。 請計算下面 4 題,並把每個答案都用 (a) 科學記號(絕對值 1 以上、小於 10 的係數 × 10 的次方)和 (b) 一般的數(一般寫法)兩種方式表示。 1. (1.23 × 10^7) + (3.45 × 10^2) 2. (2 × 10^4) × (3 × 10^5) 3. (2 × 10^3) 的平方 4. √(4 × 10^6) 同時請說明乘法中「係數相乘、指數相加」的步驟是怎麼用的。 請列出計算用的程式碼,以及執行結果的數值。
使用方法
-
1輸入數值在輸入欄中輸入要計算的數值
-
2計算按下「計算」按鈕
-
3查看結果計算結果會立即顯示。計算的思路和公式的解說,也都能在同一個頁面查看
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