請輸入要展開的式子 (Ax+B)ⁿ 的 A、B、n。下方的數學式和輸入欄是連動的，直接改寫數學式也能計算。要展開所有的項，還是只求特定的一項，可以在「要求的內容」中選擇。
請用半形輸入數字。可以使用小數、負數和 3/4 這樣的分數。指數 n 為 0 以上、12 以下的整數。
計算結果與圖形
在左邊的輸入欄填入係數和指數，按下「計算」，這裡就會顯示展開後的式子和巴斯卡三角形。
這個頁面可以做什麼
- 用二項式定理展開 \((Ax+B)^{n}\)（\(n\) 為 0～12），當場顯示依降冪排列的式子
- 只想知道 \(x^{3}\) 的係數時，可以指定 \(x\) 的指數（或從第一項算起的第幾項），只求那一項
- 只求一項時，也會顯示二項式係數 \(C^{n}_{k}\) 的值，以及代入 \(\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\) 的計算過程
- 畫出到第 \(n\) 列的巴斯卡三角形，並把用到的那一列標上顏色
- \(A\)、\(B\) 除了小數、負數，也能輸入像 3/4 這樣的分數。係數會保留分數並約分，精確計算
- 淺顯易懂的公式解說，以及可直接複製到 Excel、Google 試算表、Python 的公式，也都整理在這個頁面
可以處理的是 \((Ax+B)^{n}\) 的形式（\(n\) 為 0 以上、12 以下的整數）。不支援指數是分數或負數的情況（廣義二項式定理），也不支援 3 個以上的項的展開（多項式定理）。
這個計算有什麼用？
求「n 次中發生 k 次的機率」（品管、民調、臨床試驗）
每次的機率都是 \(p\) 而且不會改變、各次結果互不影響的試驗重複 \(n\) 次時，剛好發生 \(k\) 次的機率是 \(C^{n}_{k} p^{k}(1-p)^{n-k}\)。這正是用二項式定理展開 \((p + (1-p))^n\) 的其中一項，這種機率分布叫做二項分布。
例如從不良率一直是 3% 的生產線抽出 10 個，1 個不良品都沒有的機率是 \(k = 0\) 的項 \(0.97^{10} \approx 0.737\)，也就是約 74%。反過來說，檢查 10 個大約有 26% 的機率會發現不良品。決定抽驗個數、估計民調的誤差範圍、判斷新藥是否有效，背後都是同樣的想法。
計算遺傳中「出現在子代的比例」（生物、農業）
父母的基因組合都是 \(\mathrm{Aa}\) 時，子代的基因型會以 \(\mathrm{AA} : \mathrm{Aa} : \mathrm{aa} = 1 : 2 : 1\) 的比例出現。這個 1、2、1 是因為父母各以 \(\dfrac{1}{2}\) 的機率傳下 \(\mathrm{A}\) 或 \(\mathrm{a}\)：\(\left(\dfrac{1}{2}\mathrm{A} + \dfrac{1}{2}\mathrm{a}\right)^{2} = \dfrac{1}{4}\left(\mathrm{AA} + 2\,\mathrm{Aa} + \mathrm{aa}\right)\)，正是二項式係數，和巴斯卡三角形 \(n = 2\) 那一列的數相同。
要看的性狀變多、或依子女人數細分時，手算就很難追蹤了。像「4 個兄弟姊妹中剛好 2 個出現某性狀的機率」這種問題，用二項式定理一步就能算出。品種改良和遺傳諮詢，就是用這種方式估計預期的比例。
「大略」估算複利和成長率（理財、經濟）
以年利率 \(r\) 投資 \(n\) 年的倍率 \((1+r)^{n}\)，用二項式定理展開是 \(1 + nr + C^{n}_{2} r^{2} + \cdots\)。前面的 \(1 + nr\) 是單利，後面的部分是「利滾利」。
例如年利率 1%、10 年是 \(1.01^{10} = 1.10462\cdots\)，但只取展開的前 3 項 \(1 + 0.1 + 0.0045\) 就得到 1.1045，幾乎一樣。後面的項越來越小，所以很適合用來心算估計。利率、通膨率、人口成長率等每年以相同百分比增加的東西，都是這種形式。
估算微小變化的影響（工程、物理、測量）
在設計或測量的現場，常需要很快知道「某個量稍微改變時，結果會變多少」。用二項式定理展開後，把很小的平方以上的項捨去，就得到近似式 \((1+x)^{n} \approx 1 + nx\)。
例如正方體每邊長 1% 時，體積變成 \((1+0.01)^{3} = 1.030301\) 倍，也就是約增加 3%。用近似式算是 \(1 + 3 \times 0.01 = 1.03\)，幾乎相同。「長度誤差 1%，體積誤差約 3%」這個經驗法則，直接用在訂定零件公差和估計測量誤差上。
計算選擇的總數（組合、方法數）
對 \(n\) 種東西自由決定「選或不選」時，組合的總數是 \(2^{n}\) 種。這就是在二項式定理中令 \(a = b = 1\) 的式子 \(\sum_{k=0}^{n} C^{n}_{k} = 2^{n}\)，也是巴斯卡三角形每一列的總和。
例如手搖飲料店有 5 種加料（珍珠、椰果、仙草、布丁、粉粿），連什麼都不加也算在內，共有 \(2^{5} = 32\) 種點法。而且看那一列的數，還能知道「剛好加 2 種料的點法有 \(C^{5}_{2} = 10\) 種」這樣的細目。菜單的組合數、問卷的作答模式、軟體測試案例的列舉等，凡是要計算選擇的場合都廣泛用到這個想法。
公式與圖示
二項式定理
圖示
數學寫法
（一般的數學式）
\((a+b)^{n}\)
\(=\)
\(\displaystyle\sum_{k=0}^{n}\)
\(C^{n}_{k}\)
\(a^{n-k}\)
\(b^{k}\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
⑤
\((a+b)^n\)：把 \((a+b)\) 連乘 \(n\) 個
\(=\)
④
選取 \(b\) 的個數 \(k\) 從 0 個變到 \(n\) 個，全部加起來
①
\(C^{n}_{k}\)：從 \(n\) 個中選 \(k\) 個的方法數
②
\(a^{n-k}\)：\((n-k)\) 個 \(a\) 相乘
③
\(b^{k}\)：\(k\) 個 \(b\) 相乘
用文字讀公式
①
把
\(C^{n}_{k}\)：從 \(n\) 個中選 \(k\) 個的方法數
②
乘以
\(a^{n-k}\)：\((n-k)\) 個 \(a\) 相乘
③
再乘以
\(b^{k}\)：\(k\) 個 \(b\) 相乘
，
④
然後
選取 \(b\) 的個數 \(k\) 從 0 個變到 \(n\) 個，全部加起來
，
⑤
就得到
\((a+b)^n\)：把 \((a+b)\) 連乘 \(n\) 個
簡單範例
展開 \((a+b)^{3}\)（係數 1、3、3、1 是 \(C^{3}_{0}\) 到 \(C^{3}_{3}\) 的值）：
把 \((a+b)\) 連乘 3 個
\(=\)
選取 \(b\) 的個數 \(k\) 從 0 個變到 3 個，全部加起來
從 3 個中選 \(k\) 個的方法數
\((3-k)\) 個 \(a\) 相乘
\(k\) 個 \(b\) 相乘
\((a+b)^{3} = C^{3}_{0}a^{3} + C^{3}_{1}a^{2}b + C^{3}_{2}ab^{2} + C^{3}_{3}b^{3}\)
\(= a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3}\)
思考重點
\((a+b)^n\) 的意思是「把 \((a+b)\) 這個括號排 \(n\) 個相乘」。展開時，從每個括號中選 \(a\) 或 \(b\) 其中一個相乘，再把所有選法的結果加起來。
「\(n\) 個括號中，從哪 \(k\) 個選 \(b\)」的選法有 \(C^{n}_{k}\) 種。所以同樣形式的項 \(a^{n-k}b^{k}\) 會出現 \(C^{n}_{k}\) 次，合併後的係數就是 \(C^{n}_{k}\)。這就是二項式定理的內容。（\(C^{n}_{k}\) 在國外的書上也常寫成 \(\binom{n}{k}\)。）
上方的圖是用正方形的面積表示 \((a+b)^2\)。\(ab\) 的長方形有 2 個，所以是 \(2ab\)，可以親眼看到係數 1、2、1。
一般項（第 \(k+1\) 項）
圖示
數學寫法
（一般的數學式）
\(T_{k+1}\)
\(=\)
\(C^{n}_{k}\)
\(a^{n-k}\)
\(b^{k}\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
④
\(T_{k+1}\)：展開式的第 \(k+1\) 項
\(=\)
①
\(C^{n}_{k}\)：從 \(n\) 個中選 \(k\) 個的方法數
②
\(a^{n-k}\)：\((n-k)\) 個 \(a\) 相乘
③
\(b^{k}\)：\(k\) 個 \(b\) 相乘
用文字讀公式
①
把
\(C^{n}_{k}\)：從 \(n\) 個中選 \(k\) 個的方法數
②
乘以
\(a^{n-k}\)：\((n-k)\) 個 \(a\) 相乘
③
再乘以
\(b^{k}\)：\(k\) 個 \(b\) 相乘
，
④
就得到
\(T_{k+1}\)：展開式的第 \(k+1\) 項
簡單範例
\((2x+3)^{5}\) 的第 3 項（\(k = 2\)），設 \(a = 2x\)、\(b = 3\)：
第 3 項 \(T_{3}\)
\(=\)
從 5 個中選 2 個的方法數
3 個 \(2x\) 相乘
2 個 3 相乘
\(T_{3} = C^{5}_{2}(2x)^{3}\cdot 3^{2} = 10 \times 8x^{3} \times 9 = 720x^{3}\)
思考重點
二項式定理最容易出錯的地方，是項的編號和 \(k\) 差 1。\(k = 0\) 的項是第 1 項，所以第 \(k+1\) 項的 \(k\) 是「項的編號減 1」。第 3 項就是 \(k = 2\)。
題目問「求 \(x^{3}\) 的係數」時，要由 \(x\) 的指數而不是項的編號決定 \(k\)。在 \((Ax+B)^n\) 中 \(x\) 的指數是 \(n-k\)，所以解 \(n-k = 3\) 得 \(k = n-3\)。
\(a\) 或 \(b\) 是像 \(2x\) 這樣的整體時，要把整個括號乘方，例如 \((2x)^{3} = 8x^{3}\)。為了避免誤寫成 \(2x^{3}\)，計算前一定要加上括號。
二項式係數（組合數）的計算
數學寫法
（一般的數學式）
\(C^{n}_{k}\)
\(=\)
\(\dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
②
\(C^{n}_{k}\)：從 \(n\) 個中選 \(k\) 個的方法數
\(=\)
①
\(\dfrac{\text{全部 }n\text{ 個排成一列的排法 }n!}{\text{選中的 }k\text{ 個的排法 }k!\ \times\ \text{沒選的 }(n-k)\text{ 個的排法 }(n-k)!}\)
用文字讀公式
①
\(\dfrac{\text{全部 }n\text{ 個排成一列的排法 }n!}{\text{選中的 }k\text{ 個的排法 }k!\ \times\ \text{沒選的 }(n-k)\text{ 個的排法 }(n-k)!}\)
②
就是
\(C^{n}_{k}\)：從 \(n\) 個中選 \(k\) 個的方法數
簡單範例
從 5 個中選 2 個的方法數 \(C^{5}_{2}\)：
從 5 個中選 2 個的方法數
\(=\)
\(\dfrac{\text{5 個全部排成一列的排法 }5!}{\text{選中的 2 個的排法 }2!\ \times\ \text{沒選的 3 個的排法 }3!}\)
\(C^{5}_{2} = \dfrac{5!}{2!\,(5-2)!} = \dfrac{120}{2 \times 6} = 10\)
\(C^{5}_{2} = \dfrac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10\)
思考重點
階乘是從 1 乘到那個數的乘積（\(5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120\)）。依定義 \(0! = 1\)，所以 \(C^{n}_{0} = C^{n}_{n} = 1\)。
為什麼要用除法？從排法來想就明白了。把 \(n\) 個全部排成一列，規定前 \(k\) 個是「選中的」、其餘 \((n-k)\) 個是「沒選的」，那麼 \(n!\) 種排法都各對應一種選法。但選中的 \(k\) 個換順序（\(k!\) 種）、沒選的 \((n-k)\) 個換順序（\((n-k)!\) 種），選中的人都不變。每種選法都被重複算了 \(k!\,(n-k)!\) 次，所以除掉它就只剩選法數。
手算時，上面第二種寫法比較快：分子從 \(n\) 開始往下乘 \(k\) 個數，分母是 \(k!\)。\(C^{5}_{2}\) 就是 \(\dfrac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10\)。
二項式係數有 \(C^{n}_{k} = C^{n}_{n-k}\) 的對稱性（選 \(k\) 個，等於選出不要的 \((n-k)\) 個）。例如 \(C^{7}_{5}\) 用 \(C^{7}_{2} = 21\) 算比較快。這也是展開式的係數從兩端看起來一樣的原因。
巴斯卡三角形（相鄰兩數的和）
圖示
數學寫法
（一般的數學式）
\(C^{n-1}_{k-1}\)
\(+\)
\(C^{n-1}_{k}\)
\(=\)
\(C^{n}_{k}\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
①
\(C^{n-1}_{k-1}\)：上一列左上方的數
\(+\)
②
\(C^{n-1}_{k}\)：上一列右上方的數
\(=\)
③
\(C^{n}_{k}\)：它們正下方的數
用文字讀公式
①
把
\(C^{n-1}_{k-1}\)：上一列左上方的數
②
和
\(C^{n-1}_{k}\)：上一列右上方的數
相加，
③
就得到
\(C^{n}_{k}\)：它們正下方的數
簡單範例
把 \(n = 3\) 那一列的 3 和 3 相加，就是 \(n = 4\) 那一列的 6
左上方的 \(C^{3}_{1} = 3\)
\(+\)
右上方的 \(C^{3}_{2} = 3\)
\(=\)
正下方的 \(C^{4}_{2} = 6\)
\(C^{3}_{1} + C^{3}_{2} = 3 + 3 = 6 = C^{4}_{2}\)
思考重點
把二項式係數從上面一列一列排成三角形，就是巴斯卡三角形。每一列的兩端都是 1，內側的數就是正上方兩個數（左上方和右上方）的和。不用階乘，只靠加法就能做出係數。
這個加法為什麼成立，也能用選法說明。從 \(n\) 個中選 \(k\) 個時，先注意某一個特定的東西：選它（再從其餘 \((n-1)\) 個中選 \((k-1)\) 個），或不選它（從其餘 \((n-1)\) 個中選 \(k\) 個）。這兩種情況剛好就是上方的兩個數。
每一列的數全部加起來是 \(2^n\)（\(n = 4\) 那一列：\(1+4+6+4+1 = 16 = 2^4\)）。這就是在二項式定理中令 \(a = b = 1\) 的式子。
二項式定理是 \((a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C^{n}_{k} a^{n-k} b^{k}\)，也就是「展開後 \(a^{n-k}b^{k}\) 的係數是 \(C^{n}_{k}\)」的定理。只想求一項時，用一般項 \(C^{n}_{k} a^{n-k} b^{k}\)，由 \(x\) 的指數決定 \(k\)。係數的排列和巴斯卡三角形的第 \(n\) 列一致。
符號與用語解說
符號
| \(C^{n}_{k}\) | C n 取 k | 從 \(n\) 個東西中選 \(k\) 個的方法數（組合數）。在二項式定理中是展開式的係數，所以也叫二項式係數。\(\mathrm{C}\) 是英文 combination（組合）的第一個字母。也寫成 \(\binom{n}{k}\)、\({}_n\mathrm{C}_k\)、C(n, k)。 |
| \(n!\) | n 階乘 | 把 1 到 \(n\) 的整數全部相乘（\(4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\)）。看起來像驚嘆號，但不是在驚訝，而是表示「階乘」的數學符號。依定義 \(0! = 1\)。 |
| \(a,\ b\) | a、b | 二項式定理中放在括號裡的兩個項。「二項」指的就是這兩個。習慣上用字母表前面的 \(a,\ b,\ c\) 表示固定的東西。 |
| \(n\) | n | 表示同一個括號要乘幾個的數（指數）。表示次數或個數的文字常用 number（數）的第一個字母 \(n\)。本頁是 0 以上、12 以下的整數。 |
| \(k\) | k | 表示「選了幾個 \(b\)」的編號，從 0 變到 \(n\)。\(k = 0\) 的項是第 1 項，所以說「第 \(k+1\) 項」。表示整數計數的文字常用 \(k\)。 |
| \(\displaystyle\sum\) | sigma | 表示「全部加起來」的符號。是希臘字母大寫的 sigma，相當於英文 Sum（總和）的第一個字母 S。\(\sum_{k=0}^{n}\) 的意思是「讓 \(k\) 從 0 變到 \(n\)，把後面的式子全部加起來」。 |
| \(T_{k+1}\) | T 下標 k+1 | 把展開式依降冪排列時，從第一項算起的第 \(k+1\) 項。\(T\) 是英文 term（項）的第一個字母，叫做一般項。 |
| \(A,\ B\) | 大寫 A、B | 這個計算機的輸入欄使用的文字。\((Ax+B)^n\) 的 \(A\) 是 \(x\) 的係數，\(B\) 是沒有 \(x\) 的常數項。代入二項式定理的 \(a\)、\(b\)，就是 \(a = Ax\)、\(b = B\)。 |
| \(x\) | x | 值不固定的文字（變數）。這個計算機展開 \((Ax+B)^n\) 形式的式子，所以答案是 \(x\) 的多項式。 |
用語
| 二項式定理 | 展開 \((a+b)^n\) 時，各項的係數就是組合數 \(C^{n}_{k}\) 的定理。台灣在高一下的「排列組合」單元學到。 |
| 二項式係數 | 二項式定理中出現的係數 \(C^{n}_{k}\)。和組合數是同一個東西，但著重在「展開式的係數」這個角色時這樣稱呼。 |
| 組合 | 從幾個東西中不考慮順序選出幾個的選法。從 \(n\) 個中選 \(k\) 個的方法數寫成 \(C^{n}_{k}\)。和要區分順序的「排列」不同，選出的成員相同就算 1 種。 |
| 階乘 | 從 1 乘到那個數的所有整數的乘積。\(5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120\)。計算組合數時會用到。 |
| 一般項 | 把展開式「第幾項會是這種形式」統一表示的項。在二項式定理中，第 \(k+1\) 項 \(C^{n}_{k} a^{n-k} b^{k}\) 就是一般項。只想求一項時，把值代進去即可。 |
| 展開 | 把有括號的式子算開，化成沒有括號的加減形式。剛好和因式分解是相反的操作。 |
| 降冪排列 | 把式子的項依文字的指數由大到小排列的寫法，像 \(x^3 + 2x^2 - x + 5\) 這樣。答案通常依這個順序寫。 |
| 巴斯卡三角形 | 把二項式係數一列一列排成三角形。兩端是 1，內側的數是上一列相鄰兩數的和。以法國數學家巴斯卡命名，但中國宋代的賈憲、楊輝早在巴斯卡之前 500 年以上就已經知道，所以在華人世界也叫「楊輝三角形」。 |
| 多項式 | 像 \(2x^3 - x + 5\) 這樣，把 \(x\) 的次方乘上係數的項加起來的式子。用二項式定理展開的結果也是多項式。 |
| 項 | 把式子用加號、減號分開後的每一塊。\(x^3 - 2x + 3\) 的項是 \(x^3\)、\(-2x\)、\(3\) 三個。 |
| 係數 | 寫在文字前面的數。\(3x^2\) 的 3 就是係數。像 \(x^2\) 這樣沒寫數字的項，係數當成 1。 |
| 指數 | 寫在 \(x^3\) 右上方的小 3。表示同一個東西相乘的次數（\(x^3 = x \times x \times x\)）。 |
| 常數項 | 像 \(x^2 + 3x + 5\) 的 5 這樣，不含 \(x\)、「只有數字的項」。在這個計算機中，括號裡的 \(B\) 和展開式的最後一項就是常數項。 |
| 二項分布 | 同一個試驗重複 \(n\) 次時，成功 \(k\) 次的機率分布。它的機率 \(C^{n}_{k} p^{k}(1-p)^{n-k}\)，正是用二項式定理展開 \((p + (1-p))^n\) 的每一項。名稱中的「二項」也來自二項式定理。 |
| 廣義二項式定理 | 擴充成指數是分數或負數時也能用的二項式定理，會變成項無限延續的式子（無窮級數）。這個計算機只處理指數為 0 以上整數的情況。 |
建議先了解的基礎知識
為了能「理解意義」地使用這個頁面的計算，這裡整理了建議先了解的基礎知識。
遇到卡關時，回頭複習表中的內容是最快的方法。
| 代數式的展開（國中七～八年級，12～14 歲） |
|
| 次方與指數律（國中七年級～高一，12～16 歲） |
|
| 負數的計算（國中七年級，12～13 歲） |
|
| 組合與階乘（高一，15～16 歲） |
|
| 總和的符號 Σ（高中「數列與級數」，15～17 歲） |
|
| 分數的計算（國小五年級～國中七年級，10～13 歲） |
|
用 Excel 計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Excel 的 A1 儲存格就能直接使用。
用「二項式定理」求展開後各項係數的表格
| x 的係數 A | 2 |
| 常數項 B | 3 |
| 指數 n | 5 |
| k=0 那一項的係數（x 的 n−0 次方） | =IFERROR(COMBIN($B$3,0)*$B$1^($B$3-0)*$B$2^0,0) |
| k=1 那一項的係數（x 的 n−1 次方） | =IFERROR(COMBIN($B$3,1)*$B$1^($B$3-1)*$B$2^1,0) |
| k=2 那一項的係數（x 的 n−2 次方） | =IFERROR(COMBIN($B$3,2)*$B$1^($B$3-2)*$B$2^2,0) |
| k=3 那一項的係數（x 的 n−3 次方） | =IFERROR(COMBIN($B$3,3)*$B$1^($B$3-3)*$B$2^3,0) |
| k=4 那一項的係數（x 的 n−4 次方） | =IFERROR(COMBIN($B$3,4)*$B$1^($B$3-4)*$B$2^4,0) |
| k=5 那一項的係數（x 的 n−5 次方） | =IFERROR(COMBIN($B$3,5)*$B$1^($B$3-5)*$B$2^5,0) |
| k=6 那一項的係數（x 的 n−6 次方） | =IFERROR(COMBIN($B$3,6)*$B$1^($B$3-6)*$B$2^6,0) |
求「一般項（第 k+1 項）」係數的表格
| x 的係數 A | 2 |
| 常數項 B | 3 |
| 指數 n | 5 |
| 項的編號（從第一項算起） | 3 |
| k（編號減 1） | =B4-1 |
| x 的指數（n−k） | =B3-B5 |
| 二項式係數 C(n, k) | =COMBIN(B3,B5) |
| 該項的係數 | =B7*B1^B6*B2^B5 |
求「二項式係數（組合數）」的表格
| n | 5 |
| k | 2 |
| 二項式係數 C(n, k) | =COMBIN(B1,B2) |
| 用階乘的式子確認 | =FACT(B1)/(FACT(B2)*FACT(B1-B2)) |
製作「巴斯卡三角形」的表格
| n = 0 的那一列 | 1 | |||||
| n = 1 的那一列 | 1 | 1 | ||||
| n = 2 的那一列 | 1 | =B2+C2 | 1 | |||
| n = 3 的那一列 | 1 | =B3+C3 | =C3+D3 | 1 | ||
| n = 4 的那一列 | 1 | =B4+C4 | =C4+D4 | =D4+E4 | 1 | |
| n = 5 的那一列 | 1 | =B5+C5 | =C5+D5 | =D5+E5 | =E5+F5 | 1 |
貼上後，上方的列（A、B、n 等）就是輸入欄，下方的列會自動算出結果。
COMBIN(n, k) 是二項式係數 C(n, k)，FACT(n) 是 n 的階乘，「^」是次方的符號。
第一個表格是展開 (2x+3)⁵ 的例子，從 k=0 開始依序顯示 32、240、720、1080、810、243（k 那一列是 x 的 n−k 次方的係數）。改寫 A、B、n，就能得到您自己的式子的係數。n 小於 6 時，不存在的項那一列會顯示 0（IFERROR 會把它變成 0）。n 為 7 以上時，請把最後一列往下複製，並把式中的 6 改成 7、8……。
第二個表格只求「第 3 項」：k 是 2，x 的指數是 3，二項式係數是 10，該項的係數是 720。
第三個表格是從 5 個中選 2 個的方法數，兩個式子都是 10。
第四個表格只自己輸入兩端的 1，內側的數都是把正上方兩格相加的式子。n = 5 那一列會顯示 1、5、10、10、5、1。
COMBIN(n, k) 是二項式係數 C(n, k)，FACT(n) 是 n 的階乘，「^」是次方的符號。
第一個表格是展開 (2x+3)⁵ 的例子，從 k=0 開始依序顯示 32、240、720、1080、810、243（k 那一列是 x 的 n−k 次方的係數）。改寫 A、B、n，就能得到您自己的式子的係數。n 小於 6 時，不存在的項那一列會顯示 0（IFERROR 會把它變成 0）。n 為 7 以上時，請把最後一列往下複製，並把式中的 6 改成 7、8……。
第二個表格只求「第 3 項」：k 是 2，x 的指數是 3，二項式係數是 10，該項的係數是 720。
第三個表格是從 5 個中選 2 個的方法數，兩個式子都是 10。
第四個表格只自己輸入兩端的 1，內側的數都是把正上方兩格相加的式子。n = 5 那一列會顯示 1、5、10、10、5、1。
用 Google 試算表計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Google 試算表的 A1 儲存格就能直接使用。
用「二項式定理」求展開後各項係數的表格
| x 的係數 A | 2 |
| 常數項 B | 3 |
| 指數 n | 5 |
| k=0 那一項的係數（x 的 n−0 次方） | =IFERROR(COMBIN($B$3,0)*$B$1^($B$3-0)*$B$2^0,0) |
| k=1 那一項的係數（x 的 n−1 次方） | =IFERROR(COMBIN($B$3,1)*$B$1^($B$3-1)*$B$2^1,0) |
| k=2 那一項的係數（x 的 n−2 次方） | =IFERROR(COMBIN($B$3,2)*$B$1^($B$3-2)*$B$2^2,0) |
| k=3 那一項的係數（x 的 n−3 次方） | =IFERROR(COMBIN($B$3,3)*$B$1^($B$3-3)*$B$2^3,0) |
| k=4 那一項的係數（x 的 n−4 次方） | =IFERROR(COMBIN($B$3,4)*$B$1^($B$3-4)*$B$2^4,0) |
| k=5 那一項的係數（x 的 n−5 次方） | =IFERROR(COMBIN($B$3,5)*$B$1^($B$3-5)*$B$2^5,0) |
| k=6 那一項的係數（x 的 n−6 次方） | =IFERROR(COMBIN($B$3,6)*$B$1^($B$3-6)*$B$2^6,0) |
求「一般項（第 k+1 項）」係數的表格
| x 的係數 A | 2 |
| 常數項 B | 3 |
| 指數 n | 5 |
| 項的編號（從第一項算起） | 3 |
| k（編號減 1） | =B4-1 |
| x 的指數（n−k） | =B3-B5 |
| 二項式係數 C(n, k) | =COMBIN(B3,B5) |
| 該項的係數 | =B7*B1^B6*B2^B5 |
求「二項式係數（組合數）」的表格
| n | 5 |
| k | 2 |
| 二項式係數 C(n, k) | =COMBIN(B1,B2) |
| 用階乘的式子確認 | =FACT(B1)/(FACT(B2)*FACT(B1-B2)) |
製作「巴斯卡三角形」的表格
| n = 0 的那一列 | 1 | |||||
| n = 1 的那一列 | 1 | 1 | ||||
| n = 2 的那一列 | 1 | =B2+C2 | 1 | |||
| n = 3 的那一列 | 1 | =B3+C3 | =C3+D3 | 1 | ||
| n = 4 的那一列 | 1 | =B4+C4 | =C4+D4 | =D4+E4 | 1 | |
| n = 5 的那一列 | 1 | =B5+C5 | =C5+D5 | =D5+E5 | =E5+F5 | 1 |
和 Excel 相同的公式可以直接使用（Google 試算表也有同名的 COMBIN、FACT）。把表格整個複製貼到 A1 儲存格，再把 A、B、n 改成您自己的數值即可。
用 Python 計算的方法
from fractions import Fraction
from math import comb
# 展開 (Ax + B) 的 n 次方（3/4 這樣的分數可以寫成 Fraction(3, 4)）
coef_x = Fraction(2) # x 的係數 A
const = Fraction(3) # 常數項 B
power = 5 # 指數 n
# k 從 0 變到 n。x 的指數是 n - k，係數是 C(n, k) × A^(n-k) × B^k
for k in range(power + 1):
exponent = power - k
coefficient = comb(power, k) * coef_x ** exponent * const ** k
print(f"x^{exponent} 的係數：{coefficient}")
# 只求 x^3 的係數（k = n - 3）
target = 3
k = power - target
coefficient = comb(power, k) * coef_x ** target * const ** k
print(f"二項式係數：{comb(power, k)}")
print(f"x^{target} 的係數：{coefficient}")
標準函式庫的 math.comb 負責二項式係數 C(n, k)，fractions.Fraction 負責保留分數的精確計算（math.comb 在 Python 3.8 以後可用）。這個例子是展開 (2x+3)⁵，執行後會依序顯示係數 32、240、720、1080、810、243，最後顯示 x 的 3 次方的係數 720。請改寫 A、B、n 後執行。
用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）
二項式定理
(a+b)ⁿ = Cⁿ₀aⁿ + Cⁿ₁aⁿ⁻¹b + ⋯ + Cⁿₙbⁿ
(a+b)^{n} = \sum_{k=0}^{n} C^{n}_{k}\, a^{n-k} b^{k}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup>
<mrow><mo>(</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo>)</mo></mrow>
<mi>n</mi>
</msup>
<mo>=</mo>
<munderover>
<mo>∑</mo>
<mrow><mi>k</mi><mo>=</mo><mn>0</mn></mrow>
<mi>n</mi>
</munderover>
<msubsup><mi mathvariant="normal">C</mi><mi>k</mi><mi>n</mi></msubsup>
<msup><mi>a</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mi>k</mi></mrow></msup>
<msup><mi>b</mi><mi>k</mi></msup>
</mrow>
</math>
(a+b)^n = sum_(k=0)^n C(n,k) a^(n-k) b^k
Sum[Binomial[n, k] a^(n - k) b^k, {k, 0, n}]
sum(binomial(n, k)*a^(n-k)*b^k, k = 0 .. n);
symsum(nchoosek(n, k)*a^(n-k)*b^k, k, 0, n)
(a+b)^n = ∑_(k=0)^n C(n,k) a^(n-k) b^k
一般項（第 \(k+1\) 項）
Tₖ₊₁ = Cⁿₖ aⁿ⁻ᵏ bᵏ
T_{k+1} = C^{n}_{k}\, a^{n-k} b^{k}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>T</mi><mrow><mi>k</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub>
<mo>=</mo>
<msubsup><mi mathvariant="normal">C</mi><mi>k</mi><mi>n</mi></msubsup>
<msup><mi>a</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mi>k</mi></mrow></msup>
<msup><mi>b</mi><mi>k</mi></msup>
</mrow>
</math>
T_(k+1) = C(n,k) a^(n-k) b^k
Binomial[n, k] a^(n - k) b^k
T := binomial(n, k)*a^(n-k)*b^k;
T = nchoosek(n, k)*a^(n-k)*b^k;
T_(k+1) = C(n,k) a^(n-k) b^k
二項式係數（組合數）的計算
Cⁿₖ = n! ÷ (k!(n−k)!)
C^{n}_{k} = \frac{n!}{k!\,(n-k)!}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msubsup><mi mathvariant="normal">C</mi><mi>k</mi><mi>n</mi></msubsup>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>n</mi><mo>!</mo></mrow>
<mrow><mi>k</mi><mo>!</mo><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mi>k</mi><mo>)</mo><mo>!</mo></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
C(n,k) = (n!)/(k!(n-k)!)
Binomial[n, k]
binomial(n, k);
nchoosek(n, k)
C(n,k) = n!/(k!(n-k)!)
巴斯卡三角形（相鄰兩數的和）
Cⁿ⁻¹ₖ₋₁ + Cⁿ⁻¹ₖ = Cⁿₖ
C^{n-1}_{k-1} + C^{n-1}_{k} = C^{n}_{k}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msubsup><mi mathvariant="normal">C</mi><mrow><mi>k</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup>
<mo>+</mo>
<msubsup><mi mathvariant="normal">C</mi><mi>k</mi><mrow><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn></mrow></msubsup>
<mo>=</mo>
<msubsup><mi mathvariant="normal">C</mi><mi>k</mi><mi>n</mi></msubsup>
</mrow>
</math>
C(n-1,k-1) + C(n-1,k) = C(n,k)
Binomial[n - 1, k - 1] + Binomial[n - 1, k] == Binomial[n, k]
binomial(n-1, k-1) + binomial(n-1, k) = binomial(n, k);
nchoosek(n-1, k-1) + nchoosek(n-1, k)
C(n-1,k-1) + C(n-1,k) = C(n,k)
請 ChatGPT 幫忙計算的方法
你是數學計算助理。請務必實際執行 Python 程式碼來進行以下計算，並只根據執行結果的數值回答（不要用心算或猜測作答）。 請用二項式定理展開 (2x+3)^5。 請分別列出以下內容： 1. 一般項（第 k+1 項）的式子 2. k = 0 到 5 的二項式係數 C(5, k) 的值 3. 展開後的式子（依 x 的降冪排列，每一項的係數用最簡分數或整數表示） 4. x^3 的係數，以及求法（如何決定 k） 請在 Python 中使用標準函式庫的 math.comb 和 fractions.Fraction 精確計算，並列出所用的公式和執行結果的數值。
使用方法
-
1輸入數值在輸入欄中輸入要計算的數值
-
2計算按下「計算」按鈕
-
3查看結果計算結果會立即顯示。計算的思路和公式的解說，也都能在同一個頁面查看
DataChef 的特色
簡單又免費
免費且無使用次數限制
不需專業知識，操作直覺又簡單
不需專業知識，操作直覺又簡單
免註冊會員
開啟頁面即可立即使用
無須登錄任何個人資料
無須登錄任何個人資料
安全又安心
通訊全程高度加密
按下「下載」後自動刪除檔案
按下「下載」後自動刪除檔案
高速
顯示與轉換都快速順暢，毫無等待壓力
無浮水印
沒有浮水印
無須標註來源出處
無須標註來源出處
可商業使用
可免費用於商業用途
亦無須事先取得商用授權
亦無須事先取得商用授權
相關功能
排列組合計算機（排列 nPr、組合 nCr）
計算排法（排列）和選法（組合）的方法數
