輸入點 1 和點 2 的 xyz 坐標，就會計算空間中兩點間的距離，同時顯示 x、y、z 各自的變化量。
請用半形數字輸入坐標（可以用小數、負數）。6 個欄位都必須填寫。
計算結果與圖形
在左邊的輸入欄填入兩點的 xyz 坐標，按下「計算」，結果就會顯示在這裡。
這個頁面可以做什麼
- 只要輸入空間（三維）中兩點的 xyz 坐標，就能當場求出兩點間的距離 \(d\)
- 除了距離，也會一併算出 x 的變化量 \(\Delta x\)、y 的變化量 \(\Delta y\)、z 的變化量 \(\Delta z\)
- 計算結果也會畫成可以用滑鼠旋轉的 3D 圖形，親眼確認「求出的距離就是連接兩點的線段（長方體的對角線）長度」
- 淺顯易懂的公式解說，以及可直接複製到 Excel、Google 試算表、Python 的公式，也都整理在這個頁面
本頁計算的是空間（三維）中兩點之間的直線距離。只有兩個坐標（x, y）的平面距離，請使用相關頁面的兩點距離計算機。空間中的直線沒有單一的「斜率」，也不能寫成 y = mx + b 的形式，所以本頁只顯示距離和坐標的變化量。
這個計算有什麼用？
3D 遊戲、VR 的碰撞判定與距離判定（程式設計）
3D 遊戲會用 (x, y, z) 坐標管理角色、子彈和道具的位置，判斷「距離小於一定值就算擊中」「靠近到一定距離敵人就會發現」。例如自己在 (1, 1, 1)、敵人在 (2, 3, 3)，距離就是 \(\sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = 3\)。每一格畫面都重複這個計算，就是 3D 遊戲距離判定的原理。
它只是在 2D 遊戲用的距離公式多加一項 \(z\) 而已。
無人機的飛行距離、到機體的直線距離（測量、空拍）
無人機的位置可以用「水平方向相距多遠（x、y）」和「高度（z）」三個數表示。位在操作者水平往東 60 m、往北 80 m、高度 50 m 的機體，直線距離是 \(\sqrt{60^2 + 80^2 + 50^2} = \sqrt{12500} \approx 111.8\) m。
估算遙控訊號的範圍、目視可見的距離時，用的就是這個空間距離。
在 3D CAD、3D 列印的設計中量兩點間的斜向長度（設計、製造）
3D CAD 會用空間坐標指定零件孔中心和頂點的位置。圖面上沒有直接標出的「空間中斜向相隔的兩點距離」，可以由坐標的差用本頁的公式求出。例如水平相距 30 mm、深度相距 40 mm、往上相距 120 mm 的兩點，距離是 \(\sqrt{30^2 + 40^2 + 120^2} = 130\) mm。
估算補強構件的長度、配管與配線的最短路徑等，是製造現場天天都會用到的計算。
求分子中原子間的距離（化學、新藥開發）
化學上會用空間坐標記錄分子中每一個原子的位置（蛋白質的資料庫也是這種格式）。只要知道兩個原子的坐標，兩者之間的距離（鍵長或原子之間的遠近）就能直接用本頁的公式算出。
像是檢討候選藥物分子能不能順利嵌進目標分子，這是支撐新藥開發與材料研發的基本計算。
公式與圖示
空間中兩點間的距離 \(d\)（空間距離公式）
圖示
數學寫法
（一般的數學式）
\(d\)
\(=\)
\(\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
②
兩點間的距離 \(d\)
\(=\)
①
差的平方和的平方根
用文字讀公式
①
差的平方和 \((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2\) 的平方根
（把 x、y、z 坐標的差分別平方後全部相加，再開根號），就得到
②
兩點間的距離 \(d\)
簡單範例
點 (1, 1, 1) 和點 (2, 3, 3) 之間的距離是
距離 \(d\)
\(=\)
差的平方和（(2−1)² + (3−1)² + (3−1)² = 9）的平方根
\(d = \sqrt{(2-1)^2 + (3-1)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3\)
思考重點
只是在平面（二維）的距離公式多加了一項 \((z_2 - z_1)^2\)，步驟完全相同：把差平方後全部相加，最後只開一次平方根。
常見的錯誤是像 \(\sqrt{(x_2-x_1)^2} + \sqrt{(y_2-y_1)^2} + \sqrt{(z_2-z_1)^2}\) 這樣分別開根號。另外，坐標的差即使是負數，平方後也會變成正數，所以兩點不論用哪個順序輸入，距離都一樣。答案常常是像 \(\sqrt{3}\) 這樣開不盡的數，這時本計算機會用小數（近似值）顯示。
為什麼這個公式能求出距離（用兩次畢氏定理）
圖示
數學寫法
（一般的數學式）
\(\Delta x^2\)
\(+\)
\(\Delta y^2\)
\(+\)
\(\Delta z^2\)
\(=\)
\(d^2\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
①
x 的變化量 \(\Delta x\) 的平方
\(+\)
②
y 的變化量 \(\Delta y\) 的平方
\(+\)
③
z 的變化量 \(\Delta z\) 的平方
\(=\)
④
距離 \(d\) 的平方
用文字讀公式
①
x 的變化量 \(\Delta x\)（左右相距多遠）的平方
、
②
y 的變化量 \(\Delta y\)（前後相距多遠）的平方
和
③
z 的變化量 \(\Delta z\)（上下相距多遠）的平方
相加，會剛好等於
④
兩點間距離 \(d\)（長方體的對角線）的平方
（空間版的畢氏定理）
簡單範例
用點 (0, 0, 0) 和點 (3, 4, 12) 驗證（Δx = 3、Δy = 4、Δz = 12）
Δx 的平方（3² = 9）
\(+\)
Δy 的平方（4² = 16）
\(+\)
Δz 的平方（12² = 144）
\(=\)
距離的平方（169 = 13²）
\(\ell = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5\)
\(d = \sqrt{\ell^2 + 12^2} = \sqrt{25 + 144} = \sqrt{169} = 13\)
思考重點
請想像一個以兩點為相對頂點的長方體箱子。先只看底面：由平面的畢氏定理，底面對角線 \(\ell\) 滿足 \(\ell^2 = \Delta x^2 + \Delta y^2\)。
接著，對這條底面對角線 \(\ell\) 和高 \(\Delta z\) 所構成的直角三角形，再用一次畢氏定理，就得到 \(d^2 = \ell^2 + \Delta z^2 = \Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2\)。
也就是說，空間距離公式就是「用兩次畢氏定理」，兩點間的距離正好就是長方體對角線的長度。只要知道這和國中八年級學過的「長方體的對角線」問題是相同的計算，要背的東西就少了一個。
空間中兩點間的距離就是「把 x、y、z 坐標的差分別平方後全部相加，再開平方根」，其實就是用兩次畢氏定理求長方體的對角線的計算。只要想成「平面的距離公式多加一項 \(\Delta z^2\)」，就不會忘記。
符號與用語解說
符號
| \(d\) | d | 空間中兩點間的距離，取自 distance（距離）的字首。 |
| \((x_1, y_1, z_1)\), \((x_2, y_2, z_2)\) | x 1、y 1、z 1 | 空間中兩個點的坐標。\(x\)、\(y\) 表示在平面上的位置，\(z\) 表示高度，右下角的小數字（下標）用來區分「第 1 個點、第 2 個點」。 |
| \(\Delta x\), \(\Delta y\), \(\Delta z\) | delta x、delta y、delta z | 變化量（坐標的差）。\(\Delta\)（delta）是表示「變化、差」的希臘字母，\(\Delta x = x_2 - x_1\)，\(\Delta y = y_2 - y_1\)，\(\Delta z = z_2 - z_1\)。 |
| \(\ell\) | l | 本頁解說中，長方體「底面對角線」長度的符號。\(\ell^2 = \Delta x^2 + \Delta y^2\)，是用兩次畢氏定理推導時中間的橋梁。 |
| \(\sqrt{\phantom{a}}\) | 根號 | 表示平方根（平方後會等於該數的數）的符號。\(\sqrt{9} = 3\)（因為 3² = 9）。空間距離公式也只在最後開一次根號。 |
用語
| 空間坐標系 | 在 x 軸、y 軸之外再加上表示高度的 z 軸，用 (x, y, z) 三個數的組合表示點的位置的空間。就是在平面（二維）坐標上多了一個「高度」。台灣在高中二年級學習。 |
| 坐標 | 用一組數表示點的位置。在空間中會像點 (2, 3, 3) 這樣是三個數的組合，表示「x 方向 2、y 方向 3、z 方向（高度）3」的位置。 |
| 線段 | 以兩個點為端點、直直連起來的線。兩點間的距離，就是這條線段的長度。 |
| 畢氏定理 | 直角三角形中「兩股的平方和 ＝ 斜邊的平方」的定理（又稱勾股定理）。空間距離公式就是連續用兩次這個定理。台灣在國中八年級學習。 |
| 長方體的對角線 | 穿過長方體內部、連接相對頂點的線段。長 a、寬 b、高 c 的長方體，對角線長是 \(\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}\)，空間中兩點間的距離就是相同的計算。 |
| 歐幾里得距離 | 本頁計算的「兩點直線相連的距離」的正式名稱。不只三維，在資料分析和 AI 領域，也常用這個名稱指衡量點與點遠近的基本距離。 |
| 維度 | 表示位置所需要的數的個數。直線上是一維（數線），平面是二維（x, y），空間是三維（x, y, z）。維度每增加一個，距離公式只是在根號裡多一項，形式不變。 |
建議先了解的基礎知識
為了讓您「理解意義」地使用本頁的計算，這裡整理了事先了解會更好懂的基礎知識。
遇到卡關時，回頭複習這些內容是最快的捷徑。
| 坐標平面（國中七年級，12～13 歲） |
|
| 正負數的計算（國中七年級，12～13 歲） |
|
| 平方根（國中八年級，13～14 歲） |
|
| 畢氏定理（國中八年級，13～14 歲） |
|
| 立體圖形與空間坐標（國中、高中二年級） |
|
用 Excel 計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Excel 的 A1 儲存格就能直接使用。
求「空間中兩點間的距離 d」的表格
| 點 1 的 x 坐標 x₁ | 1 |
| 點 1 的 y 坐標 y₁ | 1 |
| 點 1 的 z 坐標 z₁ | 1 |
| 點 2 的 x 坐標 x₂ | 2 |
| 點 2 的 y 坐標 y₂ | 3 |
| 點 2 的 z 坐標 z₂ | 3 |
| 兩點間的距離 d | =SQRT((B4-B1)^2+(B5-B2)^2+(B6-B3)^2) |
「用兩次畢氏定理驗證」的表格
| 點 1 的 x 坐標 x₁ | 0 |
| 點 1 的 y 坐標 y₁ | 0 |
| 點 1 的 z 坐標 z₁ | 0 |
| 點 2 的 x 坐標 x₂ | 3 |
| 點 2 的 y 坐標 y₂ | 4 |
| 點 2 的 z 坐標 z₂ | 12 |
| x 的變化量 Δx | =B4-B1 |
| y 的變化量 Δy | =B5-B2 |
| z 的變化量 Δz | =B6-B3 |
| 底面對角線 ℓ=√(Δx²+Δy²) | =SQRT(B7^2+B8^2) |
| 兩點間的距離 d=√(ℓ²+Δz²) | =SQRT(B10^2+B9^2) |
貼上後，上方的列就是輸入欄，下方列的公式會自動算出結果。
「SQRT(…)」是平方根，「^2」是平方。
第一個表格會算出距離 3。第二個表格由 Δx = 3、Δy = 4、Δz = 12 出發，先求出底面對角線 ℓ = 5，再求出距離 d = 13，也能看到用兩次畢氏定理時中間的值。
「SQRT(…)」是平方根，「^2」是平方。
第一個表格會算出距離 3。第二個表格由 Δx = 3、Δy = 4、Δz = 12 出發，先求出底面對角線 ℓ = 5，再求出距離 d = 13，也能看到用兩次畢氏定理時中間的值。
用 Google 試算表計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Google 試算表的 A1 儲存格就能直接使用。
求「空間中兩點間的距離 d」的表格
| 點 1 的 x 坐標 x₁ | 1 |
| 點 1 的 y 坐標 y₁ | 1 |
| 點 1 的 z 坐標 z₁ | 1 |
| 點 2 的 x 坐標 x₂ | 2 |
| 點 2 的 y 坐標 y₂ | 3 |
| 點 2 的 z 坐標 z₂ | 3 |
| 兩點間的距離 d | =SQRT((B4-B1)^2+(B5-B2)^2+(B6-B3)^2) |
「用兩次畢氏定理驗證」的表格
| 點 1 的 x 坐標 x₁ | 0 |
| 點 1 的 y 坐標 y₁ | 0 |
| 點 1 的 z 坐標 z₁ | 0 |
| 點 2 的 x 坐標 x₂ | 3 |
| 點 2 的 y 坐標 y₂ | 4 |
| 點 2 的 z 坐標 z₂ | 12 |
| x 的變化量 Δx | =B4-B1 |
| y 的變化量 Δy | =B5-B2 |
| z 的變化量 Δz | =B6-B3 |
| 底面對角線 ℓ=√(Δx²+Δy²) | =SQRT(B7^2+B8^2) |
| 兩點間的距離 d=√(ℓ²+Δz²) | =SQRT(B10^2+B9^2) |
和 Excel 相同的公式（SQRT、^2）在 Google 試算表也能直接使用。把表格整個複製貼到 A1 儲存格，再把輸入欄的數值改成您自己的坐標即可。
用 Python 計算的方法
import math
x1, y1, z1 = 1.0, 1.0, 1.0 # 點 1 的坐標
x2, y2, z2 = 2.0, 3.0, 3.0 # 點 2 的坐標
delta_x = x2 - x1 # x 的變化量
delta_y = y2 - y1 # y 的變化量
delta_z = z2 - z1 # z 的變化量
distance = math.sqrt(delta_x**2 + delta_y**2 + delta_z**2) # 兩點間的距離
print(f"x 的變化量 Δx：{delta_x}")
print(f"y 的變化量 Δy：{delta_y}")
print(f"z 的變化量 Δz：{delta_z}")
print(f"兩點間的距離 d：{distance}")
# 同樣的計算也能用 math.dist 一行寫完（Python 3.8 以上）
print(f"用 math.dist 驗算：{math.dist((x1, y1, z1), (x2, y2, z2))}")
只用標準函式庫就能執行。math.sqrt 是平方根，「**2」是平方。最後的 math.dist 是「由兩點的坐標一次算出距離」的函數，也能確認答案一致。請改寫開頭的坐標後執行。
用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）
空間中兩點間的距離 \(d\)（空間距離公式）
d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)² + (z₂ − z₁)²)
d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>d</mi>
<mo>=</mo>
<msqrt>
<mrow>
<msup>
<mrow><mo>(</mo><msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub><mo>−</mo><msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub><mo>)</mo></mrow>
<mn>2</mn>
</msup>
<mo>+</mo>
<msup>
<mrow><mo>(</mo><msub><mi>y</mi><mn>2</mn></msub><mo>−</mo><msub><mi>y</mi><mn>1</mn></msub><mo>)</mo></mrow>
<mn>2</mn>
</msup>
<mo>+</mo>
<msup>
<mrow><mo>(</mo><msub><mi>z</mi><mn>2</mn></msub><mo>−</mo><msub><mi>z</mi><mn>1</mn></msub><mo>)</mo></mrow>
<mn>2</mn>
</msup>
</mrow>
</msqrt>
</mrow>
</math>
d = sqrt((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2)
Sqrt[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2]
d := sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2);
d = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2);
d = √((x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2)
為什麼這個公式能求出距離（用兩次畢氏定理）
Δx² + Δy² + Δz² = d²
\Delta x^2 + \Delta y^2 + \Delta z^2 = d^2
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>x</mi></mrow><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo>
<msup><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>y</mi></mrow><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo>
<msup><mrow><mi mathvariant="normal">Δ</mi><mi>z</mi></mrow><mn>2</mn></msup>
<mo>=</mo>
<msup><mi>d</mi><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</math>
(Delta x)^2 + (Delta y)^2 + (Delta z)^2 = d^2
dx^2 + dy^2 + dz^2 == d^2
dx^2 + dy^2 + dz^2 = d^2;
dx^2 + dy^2 + dz^2 == d^2
Δx^2 + Δy^2 + Δz^2 = d^2
請 ChatGPT 幫忙計算的方法
你是數學的計算助理。請務必實際執行 Python 程式碼來進行以下計算，並且只根據執行結果的數值回答（不要用心算或推測回答）。 針對空間（空間坐標系）中的兩點 (1, 1, 1) 和 (2, 3, 3)，請分別求出： 1. 兩點間的距離 d（使用空間距離公式 d = √((x2−x1)² + (y2−y1)² + (z2−z1)²)） 2. x 的變化量 Δx、y 的變化量 Δy、z 的變化量 Δz 請列出使用的公式和執行結果的數值。
使用方法
-
1輸入數值在輸入欄中輸入要計算的數值
-
2計算按下「計算」按鈕
-
3查看結果計算結果會立即顯示。計算的思路和公式的解說，也都能在同一個頁面查看
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相關功能
兩點距離計算機（由坐標求距離、直線方程式）
計算平面（二維）上兩點間的距離，同時顯示直線的斜率與直線方程式
畢氏定理計算機（由直角三角形的兩邊求第三邊）
由直角三角形的兩邊求出第三邊、角度與面積，是空間距離公式的基礎
長方體體積計算機（長 × 寬 × 高）
由長方體的三邊計算體積。空間中的距離和「長方體對角線的長度」是相同的計算
