請輸入首項（數列的第一個數）、公差（每往後一項增加的量）和項數（要求到第幾項），再按「計算」。會一次算出數列的前幾項、第 n 項，以及首項到第 n 項的和。下方的一般項公式和輸入欄是連動的，直接改寫式中的首項、公差、項數也能計算。
首項和公差也可以是小數或負數。項數 n 請輸入正整數（1～100000）。
計算結果與圖表
在左邊的輸入欄填入首項、公差、項數，按下「計算」，結果和圖形就會顯示在這裡。
這個頁面可以做什麼
- 只要輸入首項（第一個數）、公差（每一項增加的量）和項數這 3 個值，就能一次求出等差數列的第 \(n\) 項，以及首項到第 \(n\) 項的和
- 可以直接用在「2, 7, 12, 17,…每次增加 5 的數列，第 20 個數是多少？全部加起來是多少？」這類數列問題
- 首項和公差也可以是小數或負數（遞減的數列把公差設成負數）
- 數列的項排成一直線的樣子（公差＝增加的幅度），也能和計算結果一起從圖形確認
- 淺顯易懂的公式解說，以及可直接複製到 Excel、Google 試算表、Python 的公式，也都整理在這個頁面
只適用於等差數列（相鄰兩項的差永遠相同的數列）。像 2, 6, 18,…這樣「乘以相同的數」增加的數列（等比數列）不能使用。
這個計算有什麼用？
估算定期儲蓄的總金額（理財規劃）
「第一個月存 NT$1,000，之後每個月多存 NT$500」這種儲蓄計畫，是首項 1000、公差 500 的等差數列。第 12 個月存 \(1000 + 11 \times 500 = 6500\) 元，一年的總額是 \(12 \times (1000 + 6500) \div 2 = 45000\) 元。只要兩個公式，就能看清楚很久以後的情況。
凡是每次增加（或減少）相同金額的計畫，「第 k 次是多少？」「總共多少？」這類問題，都是等差數列的計算。
計算劇場或體育場的座位數（設計、活動規劃）
座位呈扇形展開的表演廳，常是「第 1 排 20 個座位，往後每排多 2 個」的排法。如果有 30 排，最後一排是 \(20 + 29 \times 2 = 78\) 個座位，整個表演廳共有 \(30 \times (20 + 78) \div 2 = 1470\) 個座位。
不必一排一排數，用和的公式就能馬上算出總座位數和最多能賣幾張票。
一瞬間求出連續數的總和（少年高斯的故事）
「從 1 加到 100 的所有整數，和是多少？」有個有名的故事說，數學家高斯小時候馬上就答出 \(100 \times (1 + 100) \div 2 = 5050\)。這正是首項 1、公差 1、項數 100 的等差數列的和。
把一串連號單據的號碼加總、「第 1 天 1 個、第 2 天 2 個、…」這樣累積下去等連續數的總和，用這個公式一下子就能算出來。
規劃逐步增加的運動量或學習量（訓練）
如果把跑步計畫定為「第 1 週跑 2 km，之後每週多跑 0.5 km」，第 12 週要跑 \(2 + 11 \times 0.5 = 7.5\) km，12 週的總距離是 \(12 \times (2 + 7.5) \div 2 = 57\) km。
在開始之前，就能用數字確認「每次多一點」的計畫最後會到哪裡、總共會累積多少。
單利的利息計算（金融基礎）
只對最初的金額（本金）計算利息的單利，餘額每年增加相同的金額，所以會形成等差數列。本金 NT$10 萬、年利率 3%（單利）時，每年增加 NT$3,000，5 年後的餘額是 \(100000 + 5 \times 3000 = 115000\) 元。
利息也會生利息的複利，餘額則形成等比數列（用乘法增加的數列）。單利和複利的差別，就在於「用加法增加，還是用乘法增加」。從數列的角度來看，金融商品會好懂得多。
公式與圖形
求第 \(n\) 項的公式（一般項）
圖形
數學寫法
（一般的數學式）
\(a_n\)
\(=\)
\(a_1\)
\(+\)
\((n-1)\)
\(\times\)
\(d\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
④
第 \(n\) 項 \(a_n\)
\(=\)
①
首項 \(a_1\)
\(+\)
②
往後走的項數 \((n-1)\)
\(\times\)
③
公差 \(d\)
用文字讀公式
①
在
首項 \(a_1\)
加上
②
往後走的項數 \((n-1)\)
和
③
公差 \(d\)
的乘積（也就是把公差加 \(n-1\) 次），
④
就得到
第 \(n\) 項 \(a_n\)
簡單範例
首項 2、公差 5 的等差數列（2, 7, 12, 17,…）的第 20 項是
第 20 項 \(a_{20}\)
\(=\)
首項（2）
\(+\)
往後走的項數（20 − 1 = 19）
\(\times\)
公差（5）
\(2 + (20 - 1) \times 5 = 2 + 95 = 97\)
思考重點
最容易出錯的地方，是乘的次數不是 \(n\) 而是 \(n-1\)。從第 1 項到第 \(n\) 項，加上公差的次數是「往後走的次數」，比 \(n\) 少 1，也就是 \(n-1\) 次。例如從第 1 項到第 3 項，只加了 2 次（\(3-1\) 次）。
公差 \(d\) 是負數時，公式也能直接使用，這時每往後一項，值就會變小。
求首項到第 \(n\) 項的和的公式（等差級數）
圖示
數學寫法
（一般的數學式）
\(S_n\)
\(=\)
\(n\)
\(\times\)
\((\)
\(a_1\)
\(+\)
\(a_n\)
\()\)
\(\div\)
\(2\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
⑤
首項到第 \(n\) 項的和 \(S_n\)
\(=\)
③
項數 \(n\)
\(\times\)
\((\)
①
首項 \(a_1\)
\(+\)
②
第 \(n\) 項（末項）\(a_n\)
\()\)
\(\div\)
④
取一半的 \(2\)
用文字讀公式
①
把
首項 \(a_1\)
和
②
第 \(n\) 項（末項）\(a_n\)
相加，
③
乘以
項數 \(n\)
後，
④
再除以
取一半的 \(2\)
，
⑤
就得到
首項到第 \(n\) 項的和 \(S_n\)
簡單範例
首項 2、公差 5 的等差數列，首項到第 20 項（＝97）的和是
到第 20 項的和 \(S_{20}\)
\(=\)
項數（20）
\(\times\)
\((\)
首項（2）
\(+\)
第 20 項（97）
\()\)
\(\div\)
取一半（2）
\(20 \times (2 + 97) = 20 \times 99 = 1980\)
\(1980 \div 2 = 990\)
思考重點
\((a_1 + a_n) \div 2\) 是「首項和末項的平均」。等差數列每次增加相同的量，所以所有項的平均正好等於「首項和末項的平均」。因此和可以用「平均 × 個數」求出——這就是這個公式的意思。
課本中寫成分數的形式 \(S_n = \dfrac{n(a_1 + a_n)}{2}\)，和上面的公式相同。
「從 1 加到 100 的所有整數，和是多少？」也可以看成首項 1、末項 100、項數 100 的等差數列的和，馬上算出 \(100 \times (1 + 100) \div 2 = 5050\)。
由首項和公差直接求和的公式
數學寫法
（一般的數學式）
\(S_n\)
\(=\)
\(n\)
\(\times\)
\(\{\)
\(2a_1\)
\(+\)
\((n-1)\)
\(\times\)
\(d\)
\(\}\)
\(\div\)
\(2\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
⑥
首項到第 \(n\) 項的和 \(S_n\)
\(=\)
④
項數 \(n\)
\(\times\)
\(\{\)
①
首項的 2 倍 \(2a_1\)
\(+\)
②
往後走的項數 \((n-1)\)
\(\times\)
③
公差 \(d\)
\(\}\)
\(\div\)
⑤
取一半的 \(2\)
用文字讀公式
①
在
首項的 2 倍 \(2a_1\)
加上
②
往後走的項數 \((n-1)\)
和
③
公差 \(d\)
的乘積（到這裡和「首項＋末項」的值相同），
④
乘以
項數 \(n\)
後，
⑤
再除以
取一半的 \(2\)
，
⑥
就得到
首項到第 \(n\) 項的和 \(S_n\)
簡單範例
首項 2、公差 5、項數 20 時，不求第 20 項、直接計算和
到第 20 項的和 \(S_{20}\)
\(=\)
項數（20）
\(\times\)
\(\{\)
首項的 2 倍（2 × 2 = 4）
\(+\)
往後走的項數（19）
\(\times\)
公差（5）
\(\}\)
\(\div\)
取一半（2）
\(2 \times 2 + (20 - 1) \times 5 = 4 + 95 = 99\)
\(20 \times 99 \div 2 = 990\)
思考重點
這是把第 1 個公式（一般項）代入第 2 個公式的 \(a_n\) 所得到的形式。因為 \(a_1 + a_n = a_1 + a_1 + (n-1)d = 2a_1 + (n-1)d\)，不必先求末項 \(a_n\)，就能直接由首項和公差求出和。
課本中寫成分數的形式 \(S_n = \dfrac{n\{2a_1 + (n-1)d\}}{2}\)。和第 2 個公式不論用哪一個，答案都相同。知道末項時用第 2 個公式，只知道首項和公差時用這個公式。
等差數列是「不斷加上相同的數（公差）的數列」。第 \(n\) 項是「在首項加上公差 \(n-1\) 次」，和（等差級數）是「（首項＋末項）× 項數 ÷ 2＝首末兩項的平均 × 個數」。
符號與用語解說
符號
| \(a_1\) | a 下標 1 | 首項，也就是數列最前面的項（數）。2, 7, 12, 17,…這個數列的首項是 2。 |
| \(d\) | d | 公差，也就是相鄰兩項的差（每往後一項增加的量）。2, 7, 12, 17,…的公差是 5。取自英文 difference（差）的第一個字母，也可能是負數。 |
| \(n\) | n | 項數，表示要考慮到第幾項的正整數。「到第 20 項」就是 \(n = 20\)。 |
| \(a_n\) | a 下標 n | 第 \(n\) 項，也就是數列的第 \(n\) 個數。右下角的小字（下標）表示「第幾個」。把第 \(n\) 項用 \(n\) 的式子表示，稱為一般項。 |
| \(n-1\) | n 減 1 | 從第 1 項到第 \(n\) 項「往後走的項數」，也就是加上公差的次數。比項的個數 \(n\) 少 1（從第 1 項到第 3 項要走 2 次）。 |
| \(S_n\) | S 下標 n | 首項到第 \(n\) 項的和，是把 \(a_1 + a_2 + \cdots + a_n\) 合起來表示的符號，取自英文 sum（和）的第一個字母。 |
| \(\cdots\) | 刪節號 | 表示「依相同規則繼續下去」的符號。寫成 2, 7, 12, 17,…就表示「之後也繼續每次增加 5」。 |
用語
| 數列 | 把數排成一列。排在其中的每一個數稱為「項」。台灣在國中八年級學到，高中再深入學習。 |
| 等差數列 | 相鄰兩項的差永遠相同的數列，例如 2, 7, 12, 17,…（差永遠是 5）。因為是「差相等的數列」，所以稱為等差數列。 |
| 項 | 排在數列中的每一個數。從最前面依序稱為第 1 項、第 2 項、…。 |
| 首項 | 數列最前面的項，也就是第 1 項，符號寫成 \(a_1\)。 |
| 公差 | 等差數列中相鄰兩項的差。不論哪兩個相鄰的項相減，都會得到相同的值。也可以是負數（遞減的數列）或小數。 |
| 項數 | 數列中項的個數。求到第 20 項時，項數就是 20。 |
| 末項 | 所考慮範圍內最後面的項。考慮首項到第 \(n\) 項的和時，末項就是 \(a_n\)。 |
| 一般項 | 把第 \(n\) 項用 \(n\) 的式子表示。等差數列的一般項是 \(a_n = a_1 + (n-1)d\)，把項的編號代入 \(n\)，馬上就知道那一項的值。 |
| 等差級數 | 把等差數列的各項加起來的式子 \(a_1 + a_2 + \cdots + a_n\)，以及它的和。台灣的課本把數列的和稱為「級數」。 |
| 等比數列 | 相鄰兩項的「比」永遠相同的數列，例如 2, 6, 18, 54,…（每次乘以 3）。它和「加上」相同的數的等差數列增加方式不同，所以不能用本頁的公式。 |
建議先了解的基礎知識
為了能「理解意義」地使用這個頁面的計算，這裡整理了建議先了解的基礎知識。
遇到卡關時，回頭複習表中的內容是最快的方法。
| 數量關係與數的規律（國小四年級～六年級，9～12 歲） |
|
| 正負數（國中七年級，12～13 歲） |
|
| 代數式（國中七年級，12～13 歲） |
|
| 四則混合運算（國小四年級，9～10 歲） |
|
用 Excel 計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Excel 的 A1 儲存格就能直接使用。
求「第 n 項」的表格（首項 2，公差 5，項數 20）
| 首項 a1 | 2 |
| 公差 d | 5 |
| 項數 n | 20 |
| 第 n 項 | =B1+(B3-1)*B2 |
求「首項到第 n 項的和」的表格（使用第 n 項）
| 首項 a1 | 2 |
| 公差 d | 5 |
| 項數 n | 20 |
| 第 n 項 | =B1+(B3-1)*B2 |
| 首項到第 n 項的和 | =B3*(B1+B4)/2 |
由首項和公差直接求「和」的表格
| 首項 a1 | 2 |
| 公差 d | 5 |
| 項數 n | 20 |
| 首項到第 n 項的和 | =B3*(2*B1+(B3-1)*B2)/2 |
貼上後，B1～B3 是輸入欄，最下面的儲存格會自動算出結果。
公式中的「B1」「B3」表示「使用該儲存格的數值」，「*」是乘法，「/」是除法。「=B1+ (B3-1)*B2」就是「在首項加上（項數 − 1）× 公差」這個公式本身。
例如第 1 個表格的 B4 會顯示 97（第 20 項），第 2 個表格的 B5 會顯示 990（和）。只要把 B1～B3 改成您自己的數值就能使用。
公式中的「B1」「B3」表示「使用該儲存格的數值」，「*」是乘法，「/」是除法。「=B1+ (B3-1)*B2」就是「在首項加上（項數 − 1）× 公差」這個公式本身。
例如第 1 個表格的 B4 會顯示 97（第 20 項），第 2 個表格的 B5 會顯示 990（和）。只要把 B1～B3 改成您自己的數值就能使用。
用 Google 試算表計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Google 試算表的 A1 儲存格就能直接使用。
求「第 n 項」的表格（首項 2，公差 5，項數 20）
| 首項 a1 | 2 |
| 公差 d | 5 |
| 項數 n | 20 |
| 第 n 項 | =B1+(B3-1)*B2 |
求「首項到第 n 項的和」的表格（使用第 n 項）
| 首項 a1 | 2 |
| 公差 d | 5 |
| 項數 n | 20 |
| 第 n 項 | =B1+(B3-1)*B2 |
| 首項到第 n 項的和 | =B3*(B1+B4)/2 |
由首項和公差直接求「和」的表格
| 首項 a1 | 2 |
| 公差 d | 5 |
| 項數 n | 20 |
| 首項到第 n 項的和 | =B3*(2*B1+(B3-1)*B2)/2 |
可以直接使用和 Excel 相同的公式。把表格整個複製並貼到 A1 儲存格，再把 B1～B3 改成您自己的數值。
用 Python 計算的方法
first_term = 2 # 首項
common_difference = 5 # 公差
number_of_terms = 20 # 項數
# 第 n 項 = 首項 + (n - 1) * 公差
nth_term = first_term + (number_of_terms - 1) * common_difference
# 首項到第 n 項的和 = n * (首項 + 第 n 項) / 2
sum_of_terms = number_of_terms * (first_term + nth_term) / 2
# 數列的前 10 項（確認用）
sequence = [first_term + k * common_difference for k in range(min(number_of_terms, 10))]
print(f"前幾項：{sequence}")
print(f"第 {number_of_terms} 項：{nth_term}")
print(f"首項到第 {number_of_terms} 項的和：{sum_of_terms}")
只用標準函式庫就能執行。把開頭的 3 個數值（首項、公差、項數）改掉後執行。這個例子的第 20 項會顯示 97，和會顯示 990.0。想讓和以整數顯示時，可以把「/ 2」改成「// 2」（整數除法。首項和公差是整數時）。
用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）
求第 \(n\) 項的公式（一般項）
aₙ = a₁ + (n − 1)d
a_n = a_1 + (n-1)d
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub>
<mo>=</mo>
<msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>+</mo>
<mrow><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow>
<mi>d</mi>
</mrow>
</math>
a_n = a_1 + (n-1) d
a1 + (n - 1)*d
an := a1 + (n - 1)*d;
a_n = a1 + (n - 1)*d;
a_n = a_1 + (n - 1)d
求首項到第 \(n\) 項的和的公式（等差級數）
Sₙ = n(a₁ + aₙ) ÷ 2
S_n = \dfrac{n(a_1 + a_n)}{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>S</mi><mi>n</mi></msub>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mi>n</mi>
<mo>(</mo>
<msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>+</mo>
<msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub>
<mo>)</mo>
</mrow>
<mn>2</mn>
</mfrac>
</mrow>
</math>
S_n = (n(a_1 + a_n))/2
n*(a1 + an)/2
Sn := n*(a1 + an)/2;
S_n = n*(a1 + a_n)/2;
S_n = n(a_1 + a_n)/2
由首項和公差直接求和的公式
Sₙ = n{2a₁ + (n − 1)d} ÷ 2
S_n = \dfrac{n\{2a_1 + (n-1)d\}}{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>S</mi><mi>n</mi></msub>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mi>n</mi>
<mo>{</mo>
<mn>2</mn>
<msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>+</mo>
<mrow><mo>(</mo><mi>n</mi><mo>−</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow>
<mi>d</mi>
<mo>}</mo>
</mrow>
<mn>2</mn>
</mfrac>
</mrow>
</math>
S_n = (n(2 a_1 + (n-1) d))/2
n*(2*a1 + (n - 1)*d)/2
Sn := n*(2*a1 + (n - 1)*d)/2;
S_n = n*(2*a1 + (n - 1)*d)/2;
S_n = n(2a_1 + (n - 1)d)/2
請 ChatGPT 幫忙計算的方法
你是等差數列的計算助理。請務必實際執行 Python 程式碼來進行以下計算，並只根據執行結果的數值回答（不要用心算或猜測作答）。第 n 項用 a_n = a_1 + (n-1)d 求，和用 S_n = n(a_1 + a_n)/2 求。 1. 首項 2、公差 5 的等差數列的第 20 項，以及首項到第 20 項的和 2. 首項 -3、公差 4 的等差數列的第 10 項，以及首項到第 10 項的和 3. 首項 100、公差 -7 的等差數列的第 15 項，以及首項到第 15 項的和 請列出所用的公式和執行結果的數值。
使用方法
-
1輸入數值在輸入欄中輸入要計算的數值
-
2計算按下「計算」按鈕
-
3查看結果計算結果會立即顯示。計算的思路和公式的解說，也都能在同一個頁面查看
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相關功能
等比數列計算機（第 n 項、首項到第 n 項的和）
由首項、公比、項數計算第 n 項與和（每次「乘以」相同的數的數列，和每次「加上」相同的數的等差數列是一對）
斜率計算機（直線的斜率、距離、角度）
由兩點的坐標計算直線的斜率、距離、傾斜角與直線方程式（畫成圖形時，等差數列的公差就相當於直線的斜率）
平均數計算機（算術平均數）
由多個數值計算算術平均數、中位數等（等差數列的和可以用「首末兩項的平均 × 個數」求出）
費氏數列計算機（第 n 項、前 n 項和）
計算費氏數列（1, 1, 2, 3, 5, 8,…）的第 n 項與和（不是加上「固定的數」，而是加上「前面兩項」的數列）
