請輸入一元一次方程式 ax + b = cx + d 的係數。下方的式子和輸入欄連動，直接改寫係數的部分也能計算。
數值請用半形輸入，可以使用小數、負數和 3/4 這樣的分數。x 的係數（a、c）空白時當作 1（x 就是 1x），常數項（b、d）空白時當作 0。不用的項請輸入 0。
計算結果與圖表
在左邊的輸入欄輸入係數，按下「計算」，移項的計算過程和兩條直線的圖形就會顯示在這裡。
這個頁面可以做什麼
- 只要輸入係數，就能附移項過程，解出 \(ax + b = cx + d\) 形式的一元一次方程式
- 解會同時以 \(\dfrac{2}{3}\) 這種約分好的分數（精確值）和小數顯示，也會顯示驗算（把解代入，確認左式和右式的值相同）
- 兩邊 \(x\) 的係數相同時的「無解」「無限多解（任何數都是解）」，也會附上理由判定
- 計算機會顯示和手寫一樣的方程式，也可以直接改寫係數的部分來計算
- 係數除了小數、負數，也可以輸入 3/4 這樣的分數
- 計算結果也會顯示 \(y = \)（左式）和 \(y = \)（右式）兩條直線的圖形，可以用眼睛確認交點的 \(x\) 座標＝解
適用於只有一個未知數 x 的一元一次方程式。有兩個未知數的聯立方程式，或含 x² 的二次方程式，請使用相關頁面。
這個計算有什麼用？
比較手機、訂閱服務的資費方案（找出划算的分界點）
「月租貴但單價便宜的方案 A」和「月租便宜但單價貴的方案 B」哪個划算，分界點正是 \(ax + b = cx + d\) 形式的一元一次方程式。例如月租 NT$300 加每 GB NT$30 的方案，和月租 NT$150 加每 GB NT$60 的方案，解 \(30x + 300 = 60x + 150\) 得 \(x = 5\)（GB）。每月用量超過 5 GB 的人選前者比較划算。
電費方案、健身房方案、買斷和訂閱的比較等，「固定費用＋單價 × 數量」之間的比較，全都是這個計算。
求追上的時間（速率問題）
追趕先出發的人時，「幾分鐘後追上」就是求兩人走過的距離相等時刻的一元一次方程式。例如弟弟以分速 60 m 離開家，9 分鐘後哥哥騎腳踏車（分速 240 m）去追，哥哥出發 \(t\) 分鐘後，弟弟走了 \(60t + 540\)（m），哥哥騎了 \(240t\)（m）。解 \(60t + 540 = 240t\) 得 \(t = 3\)（分鐘）時追上。
這是國中七年級應用題的經典題型，也和估算會合、物流車輛會合時間的想法相同。
求損益兩平點（商業、開店經營）
商店和工廠會用一元一次方程式求「賣幾個才會賺錢」（損益兩平點）。例如一個賣 NT$200 的商品，材料費一個 NT$80，房租等固定費用每月 12 萬元，營收和費用相等的個數是解 \(200x = 80x + 120000\) 得 \(x = 1000\)（個）。每月 1,000 個就是賺錢和虧錢的分界。
規劃新事業或新商品時，這個計算是最先要確認的基本指標。
反推溫度單位換算（華氏 ⇔ 攝氏）
美國等地使用的華氏溫度，可以用攝氏溫度 \(C\) 表示成「華氏 = \(1.8C + 32\)」。求「華氏 86 度是攝氏幾度？」就等於解一元一次方程式 \(1.8C + 32 = 86\)，移項得 \(1.8C = 54\)，兩邊同除以 1.8，就知道 \(C = 30\)（度）。
「知道換算公式，但想反過來求」的情況（單位換算、反推費用等），都是在解一元一次方程式。
規劃存款什麼時候追上（零用錢、定期存款）
手邊金額和每月存款金額不同的兩個人，存款什麼時候會一樣多，也能用一元一次方程式算出來。例如弟弟現在有 NT$1,000、每月存 NT$300，哥哥現在有 NT$4,000、每月存 NT$100，解 \(300m + 1000 = 100m + 4000\) 得 \(m = 15\)（個月後）兩人一樣多。
「增加方式不同的兩個量什麼時候會相等」這種存錢、達成目標的計畫，就是這個公式貼近生活的用法。
公式與圖形
一元一次方程式的解（\(x\) 的求法）
圖形
數學寫法
（一般的數學式）
\(x\)
\(=\)
\((\)
\(d - b\)
\()\)
\(\div\)
\((\)
\(a - c\)
\()\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
③
方程式的解 \(x\)
\(=\)
\((\)
①
數字項的差 \(d - b\)
\()\)
\(\div\)
\((\)
②
\(x\) 的係數的差 \(a - c\)
\()\)
用文字讀公式
①
把移項整理後留在右式的
數字項的差 \(d - b\)
②
除以留在左式的
\(x\) 的係數的差 \(a - c\)
，
③
就得到
方程式的解 \(x\)
（\(x\) 的係數的差是 0 時不能除。請參考下方的「解不只一個或沒有解的情況」）
簡單範例
一元一次方程式 \(2x + 3 = 5\)（a = 2、b = 3、c = 0、d = 5）的解：
方程式的解 \(x\)
\(=\)
\((\)
數字項的差（5 − 3 = 2）
\()\)
\(\div\)
\((\)
x 的係數的差（2 − 0 = 2）
\()\)
\(2x + 3 = 5\)
\(2x = 5 - 3\)
\(2x = 2\)
\(x = \dfrac{2}{2} = 1\)
思考重點
這個公式，是把「(1) 移項 → (2) 整理 → (3) 除以 \(x\) 的係數」這 3 個解題步驟合在一起的答案公式。實際用手算時，(1) 把 \(x\) 項移到左式、數字項移到右式，(2) 把左式和右式分別整理成 \((a - c)x = d - b\) 的形式，(3) 兩邊同除以 \(x\) 的係數 \(a - c\)。
移項時為什麼要變號，下一張「移項」的卡片會說明。
移項（為什麼要變號）
數學寫法
（一般的數學式）
\(x\)
\(+\)
\(b\)
\(=\)
\(d\)
\(x\)
\(=\)
\(d\)
\(-\)
\(b\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
要求的 \(x\)
\(+\)
①
要移項的數 \(b\)
\(=\)
右式的數 \(d\)
③
要求的 \(x\)
\(=\)
右式的數 \(d\)
\(-\)
②
要移項的數 \(b\)
用文字讀公式
①
為了消去左式的
要移項的數 \(b\)
，兩邊同減去 \(b\)（兩邊同減去一個數，等式仍然成立），
②
右式就會出現帶負號（\(-b\)）的
要移項的數 \(b\)
，
③
左式只留下
要求的 \(x\)
。看起來就像「\(+b\) 變號後移到了右式」——這就是移項
簡單範例
把 \(x + 3 = 5\) 左式的 \(+3\) 移項：
要求的 \(x\)
\(=\)
右式的數（5）
\(-\)
移項的數（3）
\(x + 3 = 5\)
\(x + 3 - 3 = 5 - 3\)
\(x = 5 - 3 = 2\)
思考重點
移項不是魔法，而是「兩邊同加、同減一個數」這個等量公理的簡寫。就像從天平兩邊拿掉同樣重的砝碼，天平仍然平衡一樣，等式兩邊同減去一個數，等式仍然成立。減掉之後，一邊的項消失，另一邊留下變號的項——把這兩步合成一步寫出來，就是移項。
\(x\) 項也一樣可以移項。例如在 \(3x + 2 = x + 10\) 中，把右式的 \(x\) 移到左式，就等於兩邊同減去 \(x\)，得到 \(3x - x + 2 = 10\)。
解不只一個或沒有解的情況（\(x\) 的係數的差是 0）
圖形
數學寫法
（一般的數學式）
\((a - c)\,x\)
\(=\)
\(d - b\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
①
\(x\) 的係數的差 \(a - c\) 和 \(x\) 的乘積
\(=\)
②
數字項的差 \(d - b\)
用文字讀公式
①
移項整理後，左式是
\(x\) 的係數的差 \(a - c\) 和 \(x\) 的乘積
，
②
右式是
數字項的差 \(d - b\)
。\(a - c = 0\) 時，左式會變成 \(0 \times x\)，沒辦法兩邊同除以 \(a - c\)
簡單範例
把 \(2x + 1 = 2x + 5\)（兩邊 \(x\) 的係數相同）整理：
x 的係數的差（0）和 x 的乘積
\(=\)
數字項的差（5 − 1 = 4）
\(2x - 2x = 5 - 1\)
\(0 \times x = 4\)
思考重點
\(a - c = 0\)，也就是兩邊 \(x\) 的係數相同時，移項後 \(x\) 項會消失，變成 \(0 \times x = d - b\) 這個式子。這時要看數字項的差 \(d - b\) 來判斷。
‧\(d - b \neq 0\) 時（例：\(2x + 1 = 2x + 5\)）——0 乘以任何數都還是 0，不會變成不是 0 的數。沒有能讓等式成立的 \(x\)，所以「無解」。
‧\(d - b = 0\) 時（例：\(2x + 1 = 2x + 1\)）——式子變成 \(0 = 0\)，\(x\) 代入任何數都成立。這就是「無限多解」，左式和右式是完全相同的式子（恆等式）。
用圖形來看，「無解」是兩條平行的直線（沒有交點），「無限多解」是完全重合的兩條直線（處處相交）。
一元一次方程式 \(ax + b = cx + d\)，(1) 把 \(x\) 項移到左式、數字項移到右式（移項後的項要變號），(2) 整理成 \((a - c)x = d - b\) 的形式，(3) 兩邊同除以 \(x\) 的係數 \(a - c\)，就能解出 \(x = \dfrac{d - b}{a - c}\)。只有 \(a - c = 0\) 時不能除，這時數字項的差是 0 就是「無限多解」，不是 0 就是「無解」。
符號與用語解說
符號
| \(x\) | x | 表示要求的數（未知數）的文字，就像「還不知道的數的容器」。解方程式，就是求出 \(x\) 裡要放的數。用 \(x,\ y,\ z\) 等字母表後面的字母表示未知數的寫法，據說是數學家笛卡兒開始的。 |
| \(a,\ c\) | a、c | \(x\) 的係數（\(x\) 前面的數）。在這個頁面，\(a\) 是左式、\(c\) 是右式 \(x\) 的係數。表示「已知的數」時，習慣用字母表前面的字母 \(a,\ b,\ c\)。 |
| \(b,\ d\) | b、d | 常數項（只有數字的項）。在這個頁面，\(b\) 是左式、\(d\) 是右式的常數項。 |
| \(=\) | 等號 | 等號，表示左式和右式相等。據說是 16 世紀的數學家 Robert Recorde 認為「沒有什麼比兩條平行線更相等」而開始使用的。變形方程式時，最重要的就是不破壞這個「相等」的關係。 |
| \(0 \times x\) | 0 乘以 x | 整理兩邊 \(x\) 的係數相同的方程式時出現的形式。不管 \(x\) 代入什麼數，值都是 0，所以右式是 0 就是「任何 \(x\) 都成立」，不是 0 就是「任何 \(x\) 都不成立」。 |
用語
| 等式 | 用等號「=」連接兩個式子的式子，表示「左式和右式相等」的關係。 |
| 方程式 | 只有在文字（未知數）代入特定的數時才成立的等式。例如 \(x + 3 = 5\) 只有在 \(x = 2\) 時成立。 |
| 一元一次方程式 | 只含一個未知數、且未知數只有 1 次方（\(x\)）的方程式，不含 \(x^2\) 等 2 次方以上的項。整理後一定能寫成 \(ax + b = cx + d\) 的形式。台灣在國中七年級學習。 |
| 解 | 使方程式成立的未知數的值。「解」方程式，就是求出所有的解。 |
| 左式 | 等號左邊的式子，和右式合稱兩邊。 |
| 右式 | 等號右邊的式子，和左式合稱兩邊。 |
| 移項 | 把等式的項變號後移到另一邊。是把「兩邊同加、同減一個數」這個等量公理合成一步的寫法。 |
| 等量公理 | 兩邊同加、同減、同乘一個數，或同除以一個不是 0 的數，等式仍然成立的規則（日本稱為「等式的性質」）。解方程式的變形，全都以這個規則為根據。 |
| 項 | 用加號、減號把式子分開後的每一塊。\(3x + 2\) 的項是 \(3x\) 和 \(2\) 這 2 個。 |
| 係數 | 文字前面的數。\(3x\) 的 3 就是係數。像 \(x\) 這樣沒寫數字的項，係數看成 1。 |
| 常數項 | 像 \(3x + 2\) 的 2 這樣，不含文字的「只有數字的項」。因為不管 \(x\) 是什麼值都不變（固定＝常數），所以這樣稱呼。 |
| 未知數 | 值還不知道、接下來要求的數。在方程式中常用 \(x\) 表示。 |
| 同類項 | 文字部分相同的項。\(3x\) 和 \(-x\) 是同類項，可以把係數相加減，合併成 \(2x\)。 |
| 恆等式 | 文字代入任何數都成立的等式。例如 \(2x + 1 = 2x + 1\) 是恆等式，當作方程式來解，就是「無限多解」。 |
| 驗算 | 把求出的解代入原本的方程式，確認左式和右式的值是否真的相同。可以發現移項或除法時的正負號錯誤。 |
建議先了解的基礎知識
為了能「理解意思」地使用這個頁面的計算，這裡整理了建議先了解的基礎知識。
卡住的時候，回到這裡的內容複習是最快的方法。
| 正負數（國中七年級，12～13 歲） |
|
| 代數式（國中七年級，12～13 歲） |
|
| 等式的意義（國小高年級～國中七年級，10～13 歲） |
|
| 分數的計算（國小五年級～國中七年級，10～13 歲） |
|
用 Excel 計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Excel 的 A1 儲存格就能直接使用。
求「一元一次方程式 ax+b=cx+d 的解」的表
| 左式 x 的係數 a | 3 |
| 左式的常數項 b | 2 |
| 右式 x 的係數 c | 1 |
| 右式的常數項 d | 10 |
| x 的係數的差 a−c | =B1-B3 |
| 數字項的差 d−b | =B4-B2 |
| 解 x =（d−b）÷（a−c） | =B6/B5 |
確認「移項」的表（x + b = d 的形式）
| 要移項的數 b | 3 |
| 右式的數 d | 5 |
| 解 x = d − b | =B2-B1 |
判定「解是否只有一個」的表
| 左式 x 的係數 a | 2 |
| 左式的常數項 b | 3 |
| 右式 x 的係數 c | 2 |
| 右式的常數項 d | 5 |
| x 的係數的差 a−c | =B1-B3 |
| 數字項的差 d−b | =B4-B2 |
| 判定 | =IF(B5<>0,"恰有一解",IF(B6=0,"無限多解","無解")) |
貼上後，上面幾列（係數）是輸入欄，下面幾列會自動算出結果。
第 1 個表是解 3x + 2 = x + 10 的例子，解是「（10 − 2）÷（3 − 1）= 4」。請把係數改成您自己方程式的數值。
第 2 個表是確認 x + 3 = 5 移項的例子，解是「5 − 3 = 2」。
第 3 個表是 2x + 3 = 2x + 5 的例子，x 的係數的差是 0、數字項的差是 2，所以判定是「無解」。
第 1 個表是解 3x + 2 = x + 10 的例子，解是「（10 − 2）÷（3 − 1）= 4」。請把係數改成您自己方程式的數值。
第 2 個表是確認 x + 3 = 5 移項的例子，解是「5 − 3 = 2」。
第 3 個表是 2x + 3 = 2x + 5 的例子，x 的係數的差是 0、數字項的差是 2，所以判定是「無解」。
用 Google 試算表計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Google 試算表的 A1 儲存格就能直接使用。
求「一元一次方程式 ax+b=cx+d 的解」的表
| 左式 x 的係數 a | 3 |
| 左式的常數項 b | 2 |
| 右式 x 的係數 c | 1 |
| 右式的常數項 d | 10 |
| x 的係數的差 a−c | =B1-B3 |
| 數字項的差 d−b | =B4-B2 |
| 解 x =（d−b）÷（a−c） | =B6/B5 |
確認「移項」的表（x + b = d 的形式）
| 要移項的數 b | 3 |
| 右式的數 d | 5 |
| 解 x = d − b | =B2-B1 |
判定「解是否只有一個」的表
| 左式 x 的係數 a | 2 |
| 左式的常數項 b | 3 |
| 右式 x 的係數 c | 2 |
| 右式的常數項 d | 5 |
| x 的係數的差 a−c | =B1-B3 |
| 數字項的差 d−b | =B4-B2 |
| 判定 | =IF(B5<>0,"恰有一解",IF(B6=0,"無限多解","無解")) |
可以直接使用和 Excel 相同的公式。把表格整個複製，貼到 A1 儲存格，再把係數改成您自己方程式的數值。
用 Python 計算的方法
from fractions import Fraction
# ax + b = cx + d 的係數（3/4 這樣的分數可以寫成 Fraction(3, 4)）
left_x_coef = Fraction(3) # 左式 x 的係數 a
left_const = Fraction(2) # 左式的常數項 b
right_x_coef = Fraction(1) # 右式 x 的係數 c
right_const = Fraction(10) # 右式的常數項 d
# 移項整理後的形式 (a−c)x = d−b
coef_diff = left_x_coef - right_x_coef
const_diff = right_const - left_const
if coef_diff != 0:
solution = const_diff / coef_diff
print(f"解（分數）: x = {solution}")
print(f"解（小數）: x = {float(solution)}")
elif const_diff == 0:
print("無限多解")
else:
print("無解")
使用標準函式庫的 fractions 模組，可以用沒有小數捨入誤差的精確分數來計算。這個例子是解 3x + 2 = x + 10，執行後會顯示「x = 4」。請改寫係數後執行（解除不盡時，會以 2/3 這樣的分數顯示）。
用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）
一元一次方程式的解（\(x\) 的求法）
x = (d − b)/(a − c)
x = \frac{d - b}{a - c}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>x</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>d</mi><mo>−</mo><mi>b</mi></mrow>
<mrow><mi>a</mi><mo>−</mo><mi>c</mi></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
x = (d - b)/(a - c)
Solve[a x + b == c x + d, x]
solve(a*x + b = c*x + d, x);
solve(a*x + b == c*x + d, x)
x = (d − b)/(a − c)
移項（為什麼要變號）
x + b = d ⇔ x = d − b
x + b = d \iff x = d - b
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>x</mi><mo>+</mo><mi>b</mi><mo>=</mo><mi>d</mi>
<mo>⇔</mo>
<mi>x</mi><mo>=</mo><mi>d</mi><mo>−</mo><mi>b</mi>
</mrow>
</math>
x + b = d <=> x = d - b
Solve[x + b == d, x]
solve(x + b = d, x);
solve(x + b == d, x)
x + b = d ⇔ x = d − b
解不只一個或沒有解的情況（\(x\) 的係數的差是 0）
(a − c)x = d − b
(a - c)x = d - b
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mo>(</mo><mi>a</mi><mo>−</mo><mi>c</mi><mo>)</mo>
<mi>x</mi>
<mo>=</mo>
<mi>d</mi><mo>−</mo><mi>b</mi>
</mrow>
</math>
(a - c)x = d - b
Reduce[a x + b == c x + d, x]
solve(a*x + b = c*x + d, x);
solve(a*x + b == c*x + d, x)
(a − c)x = d − b
請 ChatGPT 幫忙計算的方法
你是數學（國中數學）的計算助理。請務必實際執行 Python 程式碼來進行下面的計算，並只以執行結果的數值作為回答的根據（不要用心算或推測回答）。 請解一元一次方程式 3x + 2 = x + 10。 請分別列出下列內容： 1. 移項的過程（把 x 項移到左式、數字項移到右式後的式子） 2. 兩邊整理後的式子（(a−c)x = d−b 的形式） 3. 解 x（除不盡時，同時以約分好的分數和小數表示） 4. 驗算（把解代入，確認左式和右式的值相同） 請在 Python 中使用標準函式庫的 fractions 模組精確計算，並列出計算用的公式和執行結果的數值。
使用方法
-
1輸入數值在輸入欄中輸入要計算的數值
-
2計算按下「計算」按鈕
-
3查看結果計算結果會立即顯示。計算的思路和公式的解說，也都能在同一個頁面查看
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相關功能
一元二次方程式公式解計算機（判別式、虛根）
只要輸入係數 a、b、c，就能附判別式與計算過程求出一元二次方程式的解
斜率計算機（直線的斜率、距離、角度）
由兩點座標計算直線的斜率、距離、傾斜角和直線方程式
約分計算機（化成最簡分數）
只要輸入分子和分母，就能用最大公因數約分成最簡分數
正負數四則運算計算機（附計算過程、數線、符號規則）
解方程式前，先複習含負數的計算。可以用計算過程和數線確認正負號的規則
