輸入下限和上限，按下「計算」，就會產生該範圍內的亂數。也可以指定個數、小數點後的位數，以及是否可重複（下限和上限以外可以留空。留空時為「整數 1 個、可重複」）。
個數請輸入 1～999 的整數，小數點後的位數請輸入 0～50 的整數。即使輸入相同，每按一次都會產生不同的亂數。
計算結果
在左側輸入欄輸入範圍，按下「計算」，產生的亂數就會顯示在這裡。
這個頁面可以做什麼
- 只要輸入下限和上限，馬上就能產生該範圍內的亂數（隨機選出的數）
- 不只整數，也能產生小數的亂數。小數點後的位數可以指定 0～50 位
- 一次最多可以產生 999 個，也能選擇「可重複、不重複」。產生 2 個以上時，除了產生的順序，也會同時顯示遞增、遞減排序的結果
- 從 1～6 這樣的小範圍，到超過 20 位數的巨大整數都能處理
- 這個頁面還整理了亂數原理的淺顯解說，以及可直接複製到 Excel、Google 試算表、Python 使用的公式
本頁的亂數是電腦用計算式產生的「偽亂數」（採用密碼學領域也使用的高品質產生方式）。用於抽籤、遊戲、模擬等用途已經足夠隨機，但若要產生加密金鑰或密碼本身，請使用不經過網路傳輸的專用工具。
這個計算有什麼用？
公平的抽獎、抽籤、換座位（排值日生）
幫報名者或學生編號，再用亂數來選，就是不摻雜任何人意圖的公平選法。每個人被選中的機率都相同（均勻分布），這就是有數學保證的「抽籤」。
在台灣，大樂透是「從 01～49 選 6 個、不重複」，正是這種形式，選法約有 1,398 萬種（13,983,816 種）。
民意調查、統計調查的隨機抽樣
「不必問遍全台灣的人，為什麼調查一千多人就能了解民意？」——它的基礎，就是用亂數選出受訪者的隨機抽樣。刻意挑選會讓結果偏差，所以用亂數來選，支撐了調查的可信度。
台灣的民調常用的電話隨機撥號（RDD），是用亂數產生電話號碼本身來撥打的方法，讓沒有登記在電話簿上的人也有同等的機會被抽中；近年也會把市話和手機一起抽樣。
模擬（蒙地卡羅法）——金融、氣象、科學
即使是複雜到無法用公式解出的問題，只要用亂數試驗好幾萬次並統計結果，就能得到接近答案的值。這稱為蒙地卡羅法，廣泛用於金融機構的風險計算、氣象的系集預報（把條件稍微改變、進行好幾組預測計算的天氣預報方法），以及物理、醫療的研究。
「亂數的平均會趨近期望值」，這個在本頁學到的性質，就是它的理論基礎。
遊戲的隨機性（骰子、洗牌、轉蛋）
數位遊戲裡的偶然——骰子的點數、洗牌、轉蛋的抽選、地圖的自動產生——全都是用偽亂數做出來的。
「只要種子相同，就會重現相同的數列」這個偽亂數的性質，反而被積極運用在重播功能，以及「和朋友分享同一個種子碼的地圖一起玩」這類機制上。
支撐加密與資訊安全的亂數（以及偽亂數的極限）
網購的加密連線、一次性密碼（OTP），沒有「攻擊者無法預測的數」＝亂數就無法成立。
這裡不能用可能被預測的一般偽亂數，而是使用經過密碼學強化的產生器，或從熱雜訊等物理現象產生的硬體亂數。「亂數的品質」左右社會的安全，是最嚴格的應用例子。
公式
整數亂數出現各個值的機率（離散均勻分布）
數學寫法
（一般的數學式）
\(P(X=k)\)
\(=\)
\(1\)
\(\div\)
\((b-a+1)\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
③
\(P(X=k)\)：出現某個整數 \(k\) 的機率
\(=\)
①
全體的機率 \(1\)
\(\div\)
②
\((b-a+1)\)：整數候選的個數
用文字讀公式
①
把
全體的機率 \(1\)
②
平分成
\((b-a+1)\)：整數候選的個數
份，
③
就得到
\(P(X=k)\)：出現某個整數 \(k\) 的機率
（每個整數出現的機率都相同）。
簡單範例
骰子可以看成「1～6 的整數亂數」。擲出 3 的機率是
擲出 3 的機率 \(P\)
\(=\)
全體的機率 \(1\)
\(\div\)
候選的個數（6 個）
\(1 \div (6 - 1 + 1) = \frac{1}{6} \approx 0.167\ \ (16.7\%)\)
思考重點
亂數產生器的設計是「範圍內的每個數出現的機率都相同」。這種出現方式稱為均勻分布。下限 \(a\)、上限 \(b\) 之間的整數候選有 \(b - a + 1\) 個（例：1～6 就是 \(6 - 1 + 1 = 6\) 個），所以每個整數出現的機率都是這個個數分之一。不會因為「剛剛出現 3，下次就比較不容易出現 3」，每次都重新開始，機率相同。
小數亂數出現的容易程度（連續均勻分布的機率密度）
數學寫法
（一般的數學式）
\(f(x)\)
\(=\)
\(1\)
\(\div\)
\((b-a)\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
③
\(f(x)\)：機率密度（圖形的高度）
\(=\)
①
全體的機率 \(1\)
\(\div\)
②
\((b-a)\)：範圍的寬度
用文字讀公式
①
把
全體的機率 \(1\)
②
平均攤在
\((b-a)\)：範圍的寬度
上，
③
就得到
\(f(x)\)：機率密度（圖形的高度）
（圖形是平的長方形）。
簡單範例
0～10 的小數亂數，圖形的高度是 1 ÷ 10 = 0.1。「落在 2 以上、5 以下的機率」可以用 高度 × 寬度 求出
圖形的高度 \(f(x)\)
\(=\)
全體的機率 \(1\)
\(\div\)
範圍的寬度（10）
\(1 \div (10 - 0) = 0.1\)
\(0.1 \times (5 - 2) = 0.3\ \ (30\%)\)
思考重點
小數亂數的候選有無限多個，所以「剛好等於 3.000…的機率」不論哪一點都是 0。因此小數亂數要用「落在這個範圍內的機率」來思考。機率就是圖形的面積（高度 × 寬度），整個範圍是 \(0.1 \times 10 = 1\)（100%）。高度 \(f(x)\) 在範圍內處處相同＝每個地方都一樣容易出現，這就是均勻分布。
亂數的平均（均勻分布的期望值）
數學寫法
（一般的數學式）
\(E[X]\)
\(=\)
\((a+b)\)
\(\div\)
\(2\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
③
\(E[X]\)：亂數的平均（期望值）
\(=\)
①
\((a+b)\)：下限 \(a\) 與上限 \(b\) 的和
\(\div\)
②
除數 \(2\)（取正中間）
用文字讀公式
①
把
\((a+b)\)：下限 \(a\) 與上限 \(b\) 的和
②
除以
除數 \(2\)
，取範圍的正中間，
③
就得到
\(E[X]\)：亂數的平均（期望值）
。
簡單範例
產生很多個 1～100 的整數亂數時，它們的平均會趨近的值是
\(E[X]\)：亂數的平均（期望值）
\(=\)
下限與上限的和（1 + 100）
\(\div\)
除數（2）
\((1 + 100) \div 2 = 50.5\)
思考重點
均勻分布在範圍內左右對稱，所以平均（期望值）剛好在正中間。骰子（1～6）就是 \((1+6) \div 2 = 3.5\)——每一次只會擲出整數，但擲很多次的平均會趨近 3.5。分散程度的參考（變異數），小數的均勻亂數可以用 \(V[X] = \frac{(b-a)^2}{12}\) 求出。
把 0～1 的亂數轉換成範圍內的整數亂數
數學寫法
（一般的數學式）
\(n\)
\(=\)
\(a\)
\(+\)
\(\lfloor\)
\(u\)
\(\times\)
\((b-a+1)\)
\(\rfloor\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
⑤
\(n\)：範圍內的整數亂數
\(=\)
④
\(a\)：下限
\(+\)
\(\lfloor\)
①
\(u\)：0 以上、未滿 1 的亂數
\(\times\)
②
\((b-a+1)\)：整數候選的個數
③
\(\rfloor\)
用文字讀公式
①
把
\(u\)：0 以上、未滿 1 的亂數
②
乘上
\((b-a+1)\)：整數候選的個數
來拉伸，
③
用符號 \(\lfloor\ \rfloor\)（下取整函數）把小數點以下無條件捨去成整數，
④
再加上
\(a\)：下限
，
⑤
就得到
\(n\)：範圍內的整數亂數
。
簡單範例
0 以上、未滿 1 的亂數是 0.32 時，轉換成 1～10 的整數亂數就是
整數亂數 \(n\)
\(=\)
下限（1）
\(+\)
\(\lfloor\)
0～1 的亂數（0.32）
\(\times\)
候選的個數（10 個）
\(\rfloor\)
\(1 + \lfloor 0.32 \times 10 \rfloor = 1 + \lfloor 3.2 \rfloor = 1 + 3 = 4\)
思考重點
電腦的亂數多半先產生「0 以上、未滿 1 的小數」，再用這個式子轉換成想要的範圍。\(u\) 在 0 到 1 之間均勻出現的話，轉換後的 \(n\) 從 \(a\) 到 \(b\) 的每個整數出現的機率也都相同。用 Excel 的 RAND 函數產生整數亂數時，用的也正是這個式子（請看 Excel 的章節）。
\(\lfloor x \rfloor\) 表示不超過 \(x\) 的最大整數，台灣的課本也常用高斯符號 \([x]\) 來表示。
偽亂數產生方式的代表例子（線性同餘法）
數學寫法
（一般的數學式）
\(X_{n+1}\)
\(=\)
\((aX_n + c)\)
\(\bmod\)
\(m\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
③
\(X_{n+1}\)：下一個亂數
\(=\)
①
把目前的亂數 \(X_n\) 乘以 \(a\) 再加 \(c\) 的數
\(\bmod\)
②
\(m\)：除數
用文字讀公式
①
把
目前的亂數 \(X_n\) 乘以 \(a\) 再加 \(c\) 的數
②
除以
\(m\)：除數
，取餘數，
③
就得到
\(X_{n+1}\)：下一個亂數
（反覆這個步驟，產生一串亂數）。
簡單範例
乘數 5、加數 3、除數 16，最初的值（種子）設為 7 時，亂數數列會依序決定如下
下一個亂數 \(X_1\)
\(=\)
7 乘以 5 再加 3 的數（38）
\(\bmod\)
除數（16）
\((5 \times 7 + 3) \bmod 16 = 38 \bmod 16 = 6\)
\((5 \times 6 + 3) \bmod 16 = 33 \bmod 16 = 1\)
思考重點
只要反覆「乘、加、取餘數」這種簡單的計算，就能做出看起來雜亂無章的數列——這就是偽亂數的基本想法（這裡的 \(a, c, m\) 是事先決定好的常數，和上面公式的下限、上限是不同的東西）。
重要的性質是，只要最初的值（種子）相同，就會重現完全相同的數列。也就是說，用計算式產生的亂數並不是真正的偶然。實際的電腦使用的是把線性同餘法進一步改良的方法（梅森旋轉演算法等），但「由種子決定的計算數列」這個本質是相同的。
亂數產生器的亂數服從「範圍內每個數出現的機率都相同」的均勻分布。電腦的亂數是用計算式產生的偽亂數，只要種子（最初的值）相同，就會重現相同的數列——它並不是真正的偶然，這是最重要的重點。
符號與用語解說
符號
| \(a\) | a | 亂數範圍的下限（大於或等於此數）。（例：1～100 的亂數，\(a = 1\)） |
| \(b\) | b | 亂數範圍的上限（小於或等於此數）。（例：1～100 的亂數，\(b = 100\)） |
| \(P(X=k)\) | P X 等於 k | 亂數 \(X\) 剛好等於整數 \(k\) 的機率。整數的均勻亂數，不論 \(k\) 是多少，值都相同。 |
| \(f(x)\) | f of x（機率密度） | 表示小數亂數「出現容易程度」的圖形高度（機率密度函數）。均勻分布在範圍內處處高度相同。 |
| \(E[X]\) | E X（期望值） | 產生很多個亂數 \(X\) 時，平均會趨近的值。E 是英文 Expectation（期望值）的字首。 |
| \(u\) | u | 0 以上、未滿 1 的均勻亂數。電腦的亂數多半先以這個形式產生，再轉換成想要的範圍。 |
| \(\lfloor\ \rfloor\) | floor（下取整函數） | 把裡面的數小數點以下無條件捨去成整數的符號。台灣的課本也常寫成高斯符號 \([x]\)。（例：\(\lfloor 3.2 \rfloor = 3\)） |
| \(X_n\) | X 下標 n | 偽亂數數列的第 \(n\) 個值。最初的值 \(X_0\) 就是種子。 |
| \(\bmod\) | mod | 取除法餘數的計算。（例：\(38 \bmod 16 = 6\)。38 除以 16 得 2 餘 6） |
用語
| 亂數 | 像骰子的點數那樣，沒有規律、無法預測下一個會出現什麼的數。本頁的產生器會從指定的範圍中隨機選出數字。 |
| 均勻分布 | 範圍內每個值都一樣容易出現的分布。整數亂數是「每個整數的機率都相同」，小數亂數則是「圖形的高度處處相同」。 |
| 偽亂數 | 用計算式產生、「看起來像亂數」的數列（也稱為偽隨機數）。英文的產生器稱為 PRNG（Pseudo Random Number Generator，偽亂數產生器）。電腦的亂數幾乎全都是偽亂數。 |
| 種子 | 開始計算偽亂數時的最初的值（seed）。從相同的種子開始，就會重現完全相同的亂數數列。平常會依時間等自動決定，所以每次看起來都是不同的數列。 |
| 線性同餘法 | 反覆「乘、加、取餘數」，是產生偽亂數最經典的方法。很適合用來學習原理，但現在實際使用的主流是品質更高的方法（梅森旋轉演算法等）。 |
| 硬體亂數 | 從骰子、硬幣、大氣的電子雜訊、電子電路的熱雜訊等物理現象產生的亂數。不依靠計算式，無法重現，可以得到接近「真亂數」的數。 |
| 期望值 | 依機率出現的值「重複很多次時的平均」。均勻亂數的期望值剛好在範圍的正中間。 |
| 隨機抽樣 | 不加入人的意圖，用亂數等方式隨機選出調查對象。是統計調查避免偏差的基本方法，也稱為簡單隨機抽樣。 |
建議先了解的基礎知識
為了讓您「真正理解意義」地使用這個頁面的計算，這裡整理了建議事先理解的基礎知識。
| 有餘數的除法（國小三～四年級，8～10 歲） |
|
| 小數與無條件捨去（國小四～五年級，9～11 歲） |
|
| 百分率（國小五～六年級，10～12 歲） |
|
| 機率的基礎（國中九年級，14～15 歲） |
|
| 期望值（高中，15～18 歲） |
|
用 Excel 計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Excel 的 A1 儲存格就能直接使用。
求「每個整數出現的機率」的表格
| 下限 a | 1 |
| 上限 b | 6 |
| 每個整數出現的機率 | =1/(B2-B1+1) |
求「小數亂數的圖形高度（機率密度）」的表格
| 下限 a | 0 |
| 上限 b | 10 |
| 機率密度（圖形的高度） | =1/(B2-B1) |
求「亂數的平均（期望值）」的表格
| 下限 a | 1 |
| 上限 b | 100 |
| 亂數的平均（期望值） | =(B1+B2)/2 |
產生「整數亂數」的表格
| 下限 a | 1 |
| 上限 b | 100 |
| 整數亂數（每次重新計算都會改變） | =B1+INT(RAND()*(B2-B1+1)) |
用「線性同餘法求下一個亂數」的表格
| 目前的亂數 Xn | 7 |
| 乘數 a | 5 |
| 加數 c | 3 |
| 除數 m | 16 |
| 下一個亂數 | =MOD(B2*B1+B3,B4) |
貼上後，上面的列就是輸入的儲存格，最後一列的公式會自動算出結果。
第 1 個表格會顯示約 0.1667（=1/6），第 3 個表格會顯示 50.5，第 5 個表格會顯示 6。
第 4 個表格的 RAND() 是產生「0 以上、未滿 1 的亂數」的函數，和「公式」章節的轉換式形式完全相同。每按一次 F9 鍵，就會產生新的亂數。
另外，整數亂數也有 Excel 專用的函數 =RANDBETWEEN(B1,B2)，用 1 個函數就能得到相同的結果。
第 1 個表格會顯示約 0.1667（=1/6），第 3 個表格會顯示 50.5，第 5 個表格會顯示 6。
第 4 個表格的 RAND() 是產生「0 以上、未滿 1 的亂數」的函數，和「公式」章節的轉換式形式完全相同。每按一次 F9 鍵，就會產生新的亂數。
另外，整數亂數也有 Excel 專用的函數 =RANDBETWEEN(B1,B2)，用 1 個函數就能得到相同的結果。
用 Google 試算表計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Google 試算表的 A1 儲存格就能直接使用。
求「每個整數出現的機率」的表格
| 下限 a | 1 |
| 上限 b | 6 |
| 每個整數出現的機率 | =1/(B2-B1+1) |
求「小數亂數的圖形高度（機率密度）」的表格
| 下限 a | 0 |
| 上限 b | 10 |
| 機率密度（圖形的高度） | =1/(B2-B1) |
求「亂數的平均（期望值）」的表格
| 下限 a | 1 |
| 上限 b | 100 |
| 亂數的平均（期望值） | =(B1+B2)/2 |
產生「整數亂數」的表格
| 下限 a | 1 |
| 上限 b | 100 |
| 整數亂數（每次重新計算都會改變） | =B1+INT(RAND()*(B2-B1+1)) |
用「線性同餘法求下一個亂數」的表格
| 目前的亂數 Xn | 7 |
| 乘數 a | 5 |
| 加數 c | 3 |
| 除數 m | 16 |
| 下一個亂數 | =MOD(B2*B1+B3,B4) |
可以直接使用和 Excel 相同的公式（RAND、RANDBETWEEN、INT、MOD 在 Google 試算表中也是相同的名稱）。
把表格整個複製、貼到 A1 儲存格，再把輸入儲存格的數值改成自己的值即可。
把表格整個複製、貼到 A1 儲存格，再把輸入儲存格的數值改成自己的值即可。
用 Python 計算的方法
import random
lower = 1 # 下限
upper = 100 # 上限
count = 5 # 產生的個數
# 整數亂數（可重複）
integers = [random.randint(lower, upper) for _ in range(count)]
# 整數亂數（不重複）
unique_integers = random.sample(range(lower, upper + 1), count)
# 小數亂數
decimals = [random.uniform(lower, upper) for _ in range(count)]
print(f"整數亂數（可重複）：{integers}")
print(f"整數亂數（不重複）：{unique_integers}")
print(f"小數亂數：{decimals}")
# 決定種子後，不論執行幾次都會重現相同的數列（偽亂數的性質）
random.seed(42)
print(f"種子 42 的亂數：{[random.randint(1, 100) for _ in range(3)]}")
只用標準函式庫的 random 模組就能執行（它是名為梅森旋轉演算法的偽亂數產生器）。執行最後 2 行，可以確認只要種子相同，每次的結果都會相同。另外，產生密碼或加密金鑰時，請不要用 random，而是使用專用的 secrets 模組。
用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）
整數亂數出現各個值的機率（離散均勻分布）
P(X = k) = 1 / (b − a + 1)
P(X = k) = \frac{1}{b - a + 1}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>=</mo><mi>k</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mn>1</mn>
<mrow><mi>b</mi><mo>−</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
P(X = k) = 1/(b - a + 1)
1/(b - a + 1)
p := 1/(b - a + 1);
p = 1/(b - a + 1);
P(X = k) = 1/(b - a + 1)
小數亂數出現的容易程度（連續均勻分布的機率密度）
f(x) = 1 / (b − a)
f(x) = \frac{1}{b - a}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>f</mi><mo>(</mo><mi>x</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mn>1</mn>
<mrow><mi>b</mi><mo>−</mo><mi>a</mi></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
f(x) = 1/(b - a)
1/(b - a)
f := 1/(b - a);
f = 1/(b - a);
f(x) = 1/(b - a)
亂數的平均（均勻分布的期望值）
E[X] = (a + b) / 2
E[X] = \frac{a + b}{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>E</mi><mo>[</mo><mi>X</mi><mo>]</mo>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi></mrow>
<mn>2</mn>
</mfrac>
</mrow>
</math>
E[X] = (a + b)/2
(a + b)/2
mean := (a + b)/2;
mean_x = (a + b)/2;
E[X] = (a + b)/2
把 0～1 的亂數轉換成範圍內的整數亂數
n = a + ⌊u × (b − a + 1)⌋
n = a + \lfloor u \times (b - a + 1) \rfloor
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>n</mi>
<mo>=</mo>
<mi>a</mi>
<mo>+</mo>
<mo>⌊</mo>
<mi>u</mi>
<mo>×</mo>
<mo>(</mo><mi>b</mi><mo>−</mo><mi>a</mi><mo>+</mo><mn>1</mn><mo>)</mo>
<mo>⌋</mo>
</mrow>
</math>
n = a + |__ u xx (b - a + 1) __|
a + Floor[u*(b - a + 1)]
n := a + floor(u*(b - a + 1));
n = a + floor(u*(b - a + 1));
n = a + ⌊u × (b - a + 1)⌋
偽亂數產生方式的代表例子（線性同餘法）
Xₙ₊₁ = (a·Xₙ + c) mod m
X_{n+1} = (a X_n + c) \bmod m
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>X</mi><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub>
<mo>=</mo>
<mo>(</mo>
<mi>a</mi><msub><mi>X</mi><mi>n</mi></msub>
<mo>+</mo><mi>c</mi>
<mo>)</mo>
<mo>mod</mo>
<mi>m</mi>
</mrow>
</math>
X_(n+1) = (a X_n + c) mod m
Mod[a*x + c, m]
X[n + 1] := (a*X[n] + c) mod m;
x_next = mod(a*x + c, m);
X_(n+1) = (a X_n + c) mod m
請 ChatGPT 幫忙計算的方法
你是產生亂數的助理。請務必實際執行 Python 程式碼來進行下列工作，並只以執行結果的數值作為回答的依據（亂數不執行程式碼就無法產生。請不要用猜測或自己編的數字）。 1. 產生 5 個 1～100 的整數亂數，不可重複。 2. 把這 5 個數由小到大排序。 3. 產生 1 個 0.2～112.5 範圍內的小數亂數，取到小數點後 3 位。 請列出使用的程式碼，以及執行結果的數值。
使用方法
-
1輸入數值在輸入欄中輸入要計算的數值
-
2計算按下「計算」按鈕
-
3查看結果計算結果會立即顯示。計算的思路和公式的解說，也都能在同一個頁面查看
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亦無須事先取得商用授權
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相關功能
重複試驗的機率（連續 n 次、至少 1 次）
計算連續 n 次都發生的機率，以及 n 次中至少發生 1 次的機率
常態分布機率計算機（常態分配、範圍機率、z 分數）
由平均數與標準差，計算落在指定範圍內的機率
