請選擇輸入方式。「由原始資料製作」會從貼上的一串資料自動製作次數分配表；「直接輸入次數分配表」則是把現有表格中每一組的下限、上限與次數直接輸入。
請用半形輸入數值。資料、下限、上限都可以用小數或負數。次數是 0 以上的整數。分組方式是「以上、未滿」。
計算結果與圖表
在左側輸入欄輸入資料（或次數分配表），按下「計算」，次數分配表和直方圖就會顯示在這裡。
這個頁面可以做什麼
- 貼上身高、考試分數、通學時間等原始資料（用逗號或空格分隔），只要決定組距和第一組的下限，就能自動製作次數分配表（組別、組中點、次數、相對次數、累積次數、累積相對次數）
- 也可以直接輸入現有的次數分配表（每一組的下限、上限與次數）來計算
- 由組中點估計平均數（「（組中點 × 次數）的總和 ÷ 次數的總和」），同時以最簡分數（精確值）和小數表示。也會求出眾數，以及中位數所在的組
- 自動畫出直方圖與次數分配折線圖，可以儲存為 PNG 或 SVG
- 這個頁面還整理了「組距、次數、相對次數」等國中統計用語的淺顯解說，以及可直接複製到 Excel、Google 試算表、Python 使用的公式
分組方式和國中課本相同，是「以上、未滿」：例如「10 以上未滿 15」代表 \(10 \le x < 15\)。剛好落在分界上的值，會放進較大的那一組。
這個計算有什麼用？
看考試與模擬考的分數分布（學校、教育）
把考試分數每 10 分分成一組的次數分配表或直方圖，是成績資料的常客。同樣平均 60 分，是「60 分左右只有一個高峰」，還是「30 幾分和 90 幾分有兩個高峰」，班上的狀況完全不同。
換成相對次數，就連人數不同的班級或年級，也能公平比較分布。模擬考成績單上顯示「自己的分數落在哪個區間」的圖，也是用次數分配的概念做出來的。
監控產品的變異（製造業的品質管理）
直方圖是製造業品質管理的基本工具「QC 七大手法」之一。把產品的尺寸或重量量好、做成次數分配，就能看出變異的中心和範圍，以及「是否有超出規格上限或下限的傾向」。
如果分布的高峰分成兩個，可能代表「兩台機器的設定不一樣」，可以當作找出不良原因的線索。
解讀人口與所得的分布（政府統計）
在台灣，內政部的人口統計會按年齡（每 5 歲一組）公布人數，主計總處的薪資統計也會按薪資級距公布人數分布，這些都是次數分配表的形式。像所得這種偏斜很大的資料，平均數容易被少數很大的值拉高、比中位數還高，只看「平均○○萬元」這個數字，可能會誤解實際情形。
用次數分配表，還能看到「哪一組的人最多（眾數所在的組）」「正中間的人在哪一組（中位數所在的組）」，可以從分布的全貌來判斷。
整理雨量與氣溫的趨勢（氣象、防災）
在氣象領域，會把觀測到的雨量和氣溫資料分組整理，例如「一年中有幾天達到中央氣象署『大雨』的標準（24 小時累積雨量 80 毫米以上）」。做成次數分配後，就能比較各年、各地區趨勢的差異，以及極端那幾組出現頻率的變化。
防災計畫的基礎，就是「多強的現象、多常發生」這種分布的資訊。
用體適能成績了解自己的位置（運動、健康）
學校的體適能檢測（坐姿體前彎、立定跳遠、仰臥起坐、心肺耐力跑走等）會對照教育部體育署的常模，用「百分等級」表示成績，例如「贏過同年齡 75% 的學生」。常模是從許多學生成績的分布整理出來的，而百分等級和累積相對次數是同樣的概念：某個值以下的資料占全體的比例。
健康檢查的身高、體重、血壓等「參考值範圍」，出發點也是調查許多人資料的分布。
公式與圖表
相對次數
數學寫法
（一般的數學式）
\(\text{相對次數}\)
\(=\)
\(\text{次數}\)
\(\div\)
\(\text{次數的總和}\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
③
該組的相對次數
\(=\)
①
該組的次數
\(\div\)
②
次數的總和（全部資料的個數）
用文字讀公式
①
把
該組的次數（落在這一組的資料個數）
②
除以
次數的總和（全部資料的個數）
，
③
就得到
該組的相對次數
。
簡單範例
全班 20 人中，通學時間「10 分以上未滿 15 分」的學生有 6 人時，這一組的相對次數是
10 分以上未滿 15 分的相對次數
\(=\)
這一組的次數（6 人）
\(\div\)
次數的總和（20 人）
\(6 \div 20 = 0.3\)
思考重點
相對次數是「這一組在全體中所占的比例」。因為是比例，所有組的相對次數加起來一定等於 1。
相對次數的好處是，可以比較次數總和不同的資料。例如 40 人的班級裡的「6 人」和 20 人的班級裡的「6 人」，雖然都是 6 人，份量卻不同；換成相對次數（0.15 和 0.3），就能公平比較。
相對次數通常寫成小數（例如 0.05 或 0.30），也可以寫成百分率（5% 或 30%）。
組中點
數學寫法
（一般的數學式）
\(\text{組中點}\)
\(=\)
\((\)
\(\text{下限}\)
\(+\)
\(\text{上限}\)
\()\)
\(\div\)
\(2\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
③
該組的組中點
\(=\)
\((\)
①
該組的下限
\(+\)
②
該組的上限
\()\)
\(\div\)
\(2\)
用文字讀公式
①
把
該組的下限（「○以上」的○）
②
和
該組的上限（「未滿○」的○）
相加再除以 2（也就是取正中間的值），
③
就得到
該組的組中點
。
簡單範例
「10 分以上未滿 15 分」這一組的組中點是
10 分以上未滿 15 分的組中點
\(=\)
\((\)
下限（10 分）
\(+\)
上限（15 分）
\()\)
\(\div\)
\(2\)
\((10 + 15) \div 2 = \dfrac{25}{2} = 12.5\)
思考重點
組中點是「這一組正中間的值」。資料整理成次數分配表後，就看不出每一筆資料原本是多少。所以用組中點來代表：「把落在這一組的資料，都當作是正中間的值」。
在下一個公式（估計平均數）中，組中點就是主角。
由次數分配表估計平均數
圖表（直方圖與次數分配折線圖）
數學寫法
（一般的數學式）
\(\text{平均數}\)
\(=\)
\(\text{（組中點} \times \text{次數）的總和}\)
\(\div\)
\(\text{次數的總和}\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
③
平均數的估計值
\(=\)
①
（組中點 × 次數）的總和
\(\div\)
②
次數的總和（全部資料的個數）
用文字讀公式
①
每一組都算出「組中點 × 次數」，再全部加起來，得到
（組中點 × 次數）的總和
，
②
除以
次數的總和（全部資料的個數）
，
③
就得到
平均數的估計值
。
簡單範例
在只有 2 組的簡單表格中，「組中點 5 的有 3 人、組中點 15 的有 1 人」時，平均數的估計值是
平均數的估計值
\(=\)
（5 × 3 人）＋（15 × 1 人）
\(\div\)
次數的總和（4 人）
\(5 \times 3 + 15 \times 1 = 15 + 15 = 30\)
\(30 \div 4 = 7.5\)
思考重點
平均數原本是「把資料全部加起來，再除以個數」。但次數分配表看不出每一筆資料的值，所以假設「這一組的資料全部都等於組中點」來計算。例如次數 6 的組（組中點 12.5），就用 \(12.5 \times 6\) 代替這一組的總和。
因此這個平均數是估計值，可能和直接用原始資料算出的平均數稍有差距（在本頁的計算機輸入原始資料，會把兩者並列顯示，可以親自確認差距）。
次數分配表是把資料依「以上、未滿」分成好幾組，再數出每組次數（個數）的表格。用相對次數（次數 ÷ 次數的總和）可以知道各組占全體的比例，用組中點（每組正中間的值）可以估計平均數。畫成直方圖，資料的分散情形（分布）就一目了然。
符號與用語解說
符號
| \(n\) | n | 表示次數的總和（全部資料的個數）的文字，是英文 number（數）的第一個字母。 |
| \(f\) | f | 表示次數（落在該組的資料個數）的文字，是英文 frequency（次數）的第一個字母。 |
| \(r\) | r | 本頁可複製的公式中用來表示相對次數的文字，是英文 relative frequency（相對次數）的第一個字母。 |
| \(a,\ b\) | a、b | 組的下限（「○以上」的○）與上限（「未滿○」的○）。表示「固定的數」時，習慣用字母開頭的 \(a,\ b,\ c\)。 |
| \(m\) | m | 本頁用來表示組中點（每組正中間的值）的文字，是英文 middle（中間）或 midpoint（中點）的第一個字母。 |
| \(\bar{x}\) | x bar | 表示平均數的符號。在代表資料值的文字 \(x\) 上方加一條表示平均的橫線（bar），是統計上廣泛使用的寫法。 |
用語
| 次數分配表 | 把資料分成幾組（區間），數出每組有幾筆資料（次數）並整理成的表格，是掌握資料整體樣貌（分布）的基本統計工具。 |
| 組 | 把資料分開的每一個區間。例如通學時間，一般會用相同寬度、沒有空隙地分成「0 分以上未滿 5 分」「5 分以上未滿 10 分」……。 |
| 組距 | 每一組區間的大小。「10 分以上未滿 15 分」的組距是 5 分。改變組距，表格和直方圖的樣子也會跟著改變。 |
| 組中點 | 該組正中間的值，用（下限＋上限）÷ 2 求出。「10 分以上未滿 15 分」的組中點是 12.5 分。由次數分配表估計平均數時，用它來代表這一組。 |
| 次數 | 落在該組的資料個數，用人數、次數、個數等所數東西的單位表示。 |
| 相對次數 | 該組的次數占全體的比例，用次數 ÷ 次數的總和求出，通常寫成小數。所有組的相對次數加起來等於 1。 |
| 累積次數 | 從第一組到該組的次數全部加起來的值，可以馬上知道「未滿○的資料有幾個」。 |
| 累積相對次數 | 從第一組到該組的相對次數全部加起來的值（累積次數 ÷ 次數的總和），可以知道「未滿○的資料占全體的幾成」。到最後一組時等於 1。 |
| 下限 | 一組的起點，「10 以上」包含 10。這個規則讓人不必煩惱分界上的資料該放哪一組：「10 以上未滿 15」這一組，包含剛好是 10 的資料。 |
| 上限 | 一組的終點，「未滿 15」不包含 15。所以剛好是 15 的資料不會放進「10 以上未滿 15」，而是放進上一組「15 以上未滿 20」。 |
| 直方圖 | 把次數分配表畫成柱狀的統計圖。橫軸是組別、縱軸是次數，長方形的柱子緊密相連、中間沒有空隙。資料的分散情形（分布的形狀）一目了然。 |
| 次數分配折線圖 | 依序連接直方圖每根柱子上緣中點（組中點的位置）的折線圖。兩端假設各有一組次數為 0，把線畫到橫軸。適合把兩個分布重疊比較。 |
| 分布 | 資料在哪裡多、在哪裡少的「分散方式」。次數分配表和直方圖就是用來看分布的工具。 |
| 集中趨勢量數 | 用一個數值代表整組資料特徵的值，常用的有平均數、中位數、眾數。 |
| 平均數 | 把資料的值全部加起來，再除以資料個數的值。由次數分配表則用（組中點 × 次數）的總和 ÷ 次數的總和來估計。 |
| 中位數 | 資料由小到大排列時，正中間的值。資料個數為偶數時，取中間兩個值的平均。用次數分配表時，要用累積次數找出中位數在哪一組。 |
| 眾數 | 出現最多次的值。用次數分配表時，把次數最大的那一組的組中點當作眾數。 |
| 原始資料 | 尚未統計整理、測量後原封不動的每一筆資料。把原始資料整理成次數分配表，整體樣貌比較容易看出來，但每一筆資料的個別數值就看不到了。 |
建議先了解的基礎知識
為了讓您「真正理解意義」地使用這個頁面的計算，這裡整理了建議事先理解的基礎知識。
遇到卡關時，回頭複習這些內容是最快的捷徑。
| 以上、未滿（國小中高年級） |
|
| 平均數（國小高年級、國中七年級） |
|
| 比率與百分率（國小五年級，10～11 歲） |
|
| 分數與小數（國小五年級～六年級，10～12 歲） |
|
| 集中趨勢量數（國中，12～15 歲） |
|
用 Excel 計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Excel 的 A1 儲存格就能直接使用。
求「相對次數」的表格
| 某一組的次數 f | 6 |
| 次數的總和 n | 20 |
| 相對次數 r = f ÷ n | =B1/B2 |
求「組中點」的表格
| 該組的下限 a | 10 |
| 該組的上限 b | 15 |
| 組中點 m = (a + b) ÷ 2 | =(B1+B2)/2 |
求「由次數分配表估計平均數」的表格
| 組中點 1（0 以上未滿 5） | 2.5 |
| 組中點 2（5 以上未滿 10） | 7.5 |
| 組中點 3（10 以上未滿 15） | 12.5 |
| 組中點 4（15 以上未滿 20） | 17.5 |
| 組中點 5（20 以上未滿 25） | 22.5 |
| 組中點 6（25 以上未滿 30） | 27.5 |
| 次數 1 | 1 |
| 次數 2 | 5 |
| 次數 3 | 6 |
| 次數 4 | 4 |
| 次數 5 | 3 |
| 次數 6 | 1 |
| （組中點 × 次數）的總和 | =SUMPRODUCT(B1:B6,B7:B12) |
| 次數的總和 n | =SUM(B7:B12) |
| 平均數的估計值 | =B13/B14 |
「由原始資料數出次數」的表格（COUNTIFS）
| 資料 1 | 3 |
| 資料 2 | 5 |
| 資料 3 | 8 |
| 資料 4 | 12 |
| 資料 5 | 14 |
| 資料 6 | 17 |
| 資料 7 | 22 |
| 資料 8 | 26 |
| 0 以上未滿 5 的次數 | =COUNTIFS(B1:B8,">=0",B1:B8,"<5") |
| 5 以上未滿 10 的次數 | =COUNTIFS(B1:B8,">=5",B1:B8,"<10") |
| 10 以上未滿 15 的次數 | =COUNTIFS(B1:B8,">=10",B1:B8,"<15") |
貼上後，上面幾列是輸入欄，最後幾列會自動算出結果。
第 1 個表格是相對次數的例子，答案是 0.3。第 2 個表格是組中點的例子，答案是 12.5。
第 3 個表格估計本頁計算機範例（20 人的通學時間）的平均數。SUMPRODUCT 是「把對應的儲存格相乘再相加」的函數，可以一次算出（組中點 × 次數）的總和，答案是 14。
第 4 個表格由原始資料數出每一組的次數。COUNTIFS 是「計算符合條件的儲存格個數」的函數，把「10 以上」和「未滿 15」兩個條件並列，就能數出這一組的次數。
第 1 個表格是相對次數的例子，答案是 0.3。第 2 個表格是組中點的例子，答案是 12.5。
第 3 個表格估計本頁計算機範例（20 人的通學時間）的平均數。SUMPRODUCT 是「把對應的儲存格相乘再相加」的函數，可以一次算出（組中點 × 次數）的總和，答案是 14。
第 4 個表格由原始資料數出每一組的次數。COUNTIFS 是「計算符合條件的儲存格個數」的函數，把「10 以上」和「未滿 15」兩個條件並列，就能數出這一組的次數。
用 Google 試算表計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Google 試算表的 A1 儲存格就能直接使用。
求「相對次數」的表格
| 某一組的次數 f | 6 |
| 次數的總和 n | 20 |
| 相對次數 r = f ÷ n | =B1/B2 |
求「組中點」的表格
| 該組的下限 a | 10 |
| 該組的上限 b | 15 |
| 組中點 m = (a + b) ÷ 2 | =(B1+B2)/2 |
求「由次數分配表估計平均數」的表格
| 組中點 1（0 以上未滿 5） | 2.5 |
| 組中點 2（5 以上未滿 10） | 7.5 |
| 組中點 3（10 以上未滿 15） | 12.5 |
| 組中點 4（15 以上未滿 20） | 17.5 |
| 組中點 5（20 以上未滿 25） | 22.5 |
| 組中點 6（25 以上未滿 30） | 27.5 |
| 次數 1 | 1 |
| 次數 2 | 5 |
| 次數 3 | 6 |
| 次數 4 | 4 |
| 次數 5 | 3 |
| 次數 6 | 1 |
| （組中點 × 次數）的總和 | =SUMPRODUCT(B1:B6,B7:B12) |
| 次數的總和 n | =SUM(B7:B12) |
| 平均數的估計值 | =B13/B14 |
「由原始資料數出次數」的表格（COUNTIFS）
| 資料 1 | 3 |
| 資料 2 | 5 |
| 資料 3 | 8 |
| 資料 4 | 12 |
| 資料 5 | 14 |
| 資料 6 | 17 |
| 資料 7 | 22 |
| 資料 8 | 26 |
| 0 以上未滿 5 的次數 | =COUNTIFS(B1:B8,">=0",B1:B8,"<5") |
| 5 以上未滿 10 的次數 | =COUNTIFS(B1:B8,">=5",B1:B8,"<10") |
| 10 以上未滿 15 的次數 | =COUNTIFS(B1:B8,">=10",B1:B8,"<15") |
可以直接使用和 Excel 相同的公式（SUMPRODUCT、COUNTIFS）。把表格整個複製、貼到 A1 儲存格，再把數值改成自己的資料即可。
用 Python 計算的方法
from fractions import Fraction
# 原始資料（例：20 名學生的通學時間，單位為分鐘）
data_values = [5, 12, 8, 14, 3, 22, 15, 9, 11, 26,
7, 14, 19, 6, 13, 24, 10, 16, 21, 18]
class_width = Fraction(5) # 組距
first_lower = Fraction(0) # 第一組的下限
data_values = [Fraction(v) for v in data_values]
class_count = max(int((v - first_lower) / class_width) for v in data_values) + 1
# 把每筆資料分到各組（含下限、不含上限）
freqs = [0] * class_count
for v in data_values:
freqs[int((v - first_lower) / class_width)] += 1
total = sum(freqs)
mid_times_freq_sum = Fraction(0)
print("組別 / 組中點 / 次數 / 相對次數")
for i, f in enumerate(freqs):
lower = first_lower + i * class_width
upper = lower + class_width
midpoint = (lower + upper) / 2
mid_times_freq_sum += midpoint * f
print(f"{lower} 以上未滿 {upper} / {float(midpoint)} / {f} / {float(Fraction(f, total))}")
estimated_mean = mid_times_freq_sum / total
print(f"平均數的估計值（分數）：{estimated_mean}")
print(f"平均數的估計值（小數）：{float(estimated_mean)}")
print(f"原始資料的平均數：{float(sum(data_values) / len(data_values))}")
使用標準函式庫的 fractions 模組，就能以精確的分數計算，不會有小數的捨入誤差。這是本頁計算機的範例（20 人的通學時間，組距 5），執行後會顯示次數分配表的每一列，以及平均數的估計值「14」與原始資料的平均數「13.65」。把資料和分組的設定換掉後執行即可。
用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）
相對次數
r = f ÷ n
r = \dfrac{f}{n}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>r</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac><mi>f</mi><mi>n</mi></mfrac>
</mrow>
</math>
r = f/n
r = f/n
r := f/n;
r = f/n;
r = f/n
組中點
m = (a + b) ÷ 2
m = \dfrac{a + b}{2}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>m</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>a</mi><mo>+</mo><mi>b</mi></mrow>
<mn>2</mn>
</mfrac>
</mrow>
</math>
m = (a + b)/2
m = (a + b)/2
m := (a + b)/2;
m = (a + b)/2;
m = (a + b)/2
由次數分配表估計平均數
x̄ = (m₁×f₁ + m₂×f₂ + … + mₖ×fₖ) ÷ n
\bar{x} = \dfrac{m_1 f_1 + m_2 f_2 + \cdots + m_k f_k}{n}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mover><mi>x</mi><mo>¯</mo></mover>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<msub><mi>m</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>f</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>+</mo>
<msub><mi>m</mi><mn>2</mn></msub><msub><mi>f</mi><mn>2</mn></msub>
<mo>+</mo><mo>⋯</mo><mo>+</mo>
<msub><mi>m</mi><mi>k</mi></msub><msub><mi>f</mi><mi>k</mi></msub>
</mrow>
<mi>n</mi>
</mfrac>
</mrow>
</math>
bar x = (m_1 f_1 + m_2 f_2 + cdots + m_k f_k)/n
Total[m*f]/Total[f]
xbar := add(m[i]*f[i], i = 1..k)/n;
xbar = sum(m.*f)/sum(f);
x̄ = (m_1 f_1 + m_2 f_2 + … + m_k f_k)/n
請 ChatGPT 幫忙計算的方法
你是統計的計算助理。請務必實際執行 Python 程式碼來進行下列計算，並只以執行結果的數值作為回答的依據（請不要用心算或猜測回答）。 請用下列資料製作次數分配表，第一組的下限為 0、組距為 5（每一組「含下限、不含上限」，也就是「以上、未滿」）。 資料：5, 12, 8, 14, 3, 22, 15, 9, 11, 26, 7, 14, 19, 6, 13, 24, 10, 16, 21, 18 請分別列出： 1. 次數分配表（組別、組中點、次數、相對次數、累積次數、累積相對次數） 2. 由組中點估計的平均數（最簡分數與小數兩種寫法） 3. 眾數，以及中位數所在的組 4. 直接用原始資料算出的平均數，以及和估計值的差距 請在 Python 中使用標準函式庫的 fractions 模組精確計算，並列出使用的公式與執行結果的數值。
使用方法
-
1輸入數值在輸入欄中輸入要計算的數值
-
2計算按下「計算」按鈕
-
3查看結果計算結果會立即顯示。計算的思路和公式的解說，也都能在同一個頁面查看
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相關功能
平均數、中位數、眾數、全距計算機（代表值）
從原始資料一次算出平均數、中位數、眾數、全距 4 個量數，並解說如何區分使用
四分位數計算機（Q1、Q2、Q3、四分位距、盒狀圖、離群值）
用四分位數與盒狀圖表示資料的分散情形，是和直方圖並列的「看分布」工具
