請輸入四角錐（底面是正方形的金字塔形）的底面邊長和高。會顯示體積（邊長 × 邊長 × 高 ÷ 3），以及 cm³、m³、公升的單位換算。
底面邊長和高請用相同的單位，只輸入數字（不加單位。例如 5 cm 就輸入「5」）。高是從底面到頂點的垂直長度。
計算結果與圖形
在左邊的輸入欄填入底面邊長和高，按下「計算」，結果和 3D 圖形就會顯示在這裡。
這個頁面可以做什麼
- 只要輸入底面邊長和高，就能當場求出四角錐（金字塔形）的體積（邊長 × 邊長 × 高 ÷ 3）
- 用 3D 圖形顯示輸入的四角錐形狀（拖曳就能旋轉一圈）
- 同時顯示底面積和計算過程，不只看答案，也能確認計算的步驟
- 同時顯示體積的單位換算（用 cm 輸入時換成公升、m³，用 m 輸入時換成 cm³）
- 淺顯易懂地解說為什麼要除以 3，以及可直接複製到 Excel、Google 試算表、Python 的公式，也都整理在這個頁面
底面邊長和高請用相同的單位輸入（cm 就都用 cm，m 就都用 m）。高是從底面到頂點的垂直長度（不是斜邊的長度）。圓錐、三角錐等其他立體的體積，請使用各自的專用頁面。
這個計算有什麼用？
實際感受埃及金字塔有多大（歷史、觀光）
吉薩大金字塔（古夫金字塔）底面邊長約 230 m，建造時高約 147 m，幾乎是一個正四角錐。體積大約是 \(230 \times 230 \times 147 \div 3 = 2592100\,\mathrm{m^3}\)，也就是約 259 萬 m³，相當於約 1000 座奧運標準泳池（每座約 2500 m³）的石材堆疊起來。
實際的金字塔內部有通道和房間，表面也不是完全平整，所以只是概算，但只用一個「四角錐的體積公式」，就能用數字掌握世界遺產的規模。
估算單柱帳篷裡的空氣量（露營）
用中央一根營柱撐起的單柱帳篷（金字塔帳），如果底面是正方形，幾乎就是四角錐的形狀。底面 3 m × 3 m、營柱高 2 m 的話，裡面的空間大約是 \(3 \times 3 \times 2 \div 3 = 6\,\mathrm{m^3}\)。
知道帳篷內的空氣量，就能大致估計冬天露營時暖氣的效果、容不容易結露等（實際的帳篷很多下緣是直立的，所以只是概算）。
求金字塔形屋頂內部的容積（建築）
蓋在正方形建築上的「四角攢尖頂」，剛好就是四角錐的形狀。底面 6 m × 6 m、高 2 m 的屋頂，屋頂內部（閣樓）的空間大約是 \(6 \times 6 \times 2 \div 3 = 24\,\mathrm{m^3}\)。
屋頂內部的容積是規劃通風口大小、評估隔熱時會用到的數字。公園的涼亭、塔樓的屋頂等，身邊很多「尖屋頂」都能用這個公式估算。
計算倒四角錐形「料斗」的容量（製造、農業）
工廠或農家用來儲存穀物、塑膠粒、粉料，再從下方一點一點送出的漏斗形設備「料斗」，常做成倒過來的四角錐形。上面邊長 2 m、深 1.5 m 的話，容量是 \(2 \times 2 \times 1.5 \div 3 = 2\,\mathrm{m^3}\)（2000 L）。
「還能裝幾噸？」「裝得下一天份的材料嗎？」這類判斷，都從這個體積計算開始（實際的設備下端常被切平成角錐台，這時用大小兩個四角錐的差來求）。
解立體圖形的數學題（學習）
角錐、圓錐的體積是立體圖形的經典題型。例如「底面邊長 6 cm、高 8 cm 的正四角錐，體積是多少？」可以用 \(6 \times 6 \times 8 \div 3 = 96\,\mathrm{cm^3}\) 求出。
最常見的錯誤是「忘記 ÷ 3」，把「尖頂的立體（錐體）是柱體的三分之一」一起記住，就不容易算錯。
公式與圖示
四角錐的體積公式
圖示
數學寫法
（一般的數學式）
\(V\)
\(=\)
\(a\)
\(2\)
\(\times\)
\(h\)
\(\div\)
\(3\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
⑤
四角錐的體積 \(V\)
\(=\)
①
底面邊長 \(a\)
②
平方（同一個長度乘 2 次）
\(\times\)
③
高 \(h\)
\(\div\)
④
分成 3 等分的數 \(3\)
用文字讀公式
①
底面邊長 \(a\)
的
②
平方（同一個長度乘 2 次）
就是底面積，
③
再乘以
高 \(h\)
，
④
除以
分成 3 等分的數 \(3\)
，就得到
⑤
四角錐的體積 \(V\)
簡單範例
底面邊長 5 cm、高 12 cm 的四角錐，體積是
四角錐的體積 \(V\)
\(=\)
底面邊長（5 cm）
平方
\(\times\)
高（12 cm）
\(\div\)
分成 3 等分的數（3）
\(5 \times 5 = 25\)
\(25 \times 12 \div 3 = 300 \div 3 = 100\,\mathrm{cm^3}\)
思考重點
為什麼要除以 3？正方體（骰子的形狀）從一個頂點切下去，可以剛好切成 3 個全等的「傾斜的四角錐」。也就是說，四角錐的體積剛好是等底等高的四角柱（盒子）體積的 \(\dfrac{1}{3}\)。把「\(\times \dfrac{1}{3}\)」寫成「\(\div 3\)」，就是這個公式。
要注意，高 \(h\) 是從底面到頂點的垂直長度，不是斜邊（通往頂點的邊）的長度。另外，即使頂點不在底面中心正上方、是「傾斜的四角錐」，只要底面積和高相同，體積就相同。
角錐與圓錐共通的體積公式（由底面積求）
圖示
數學寫法
（一般的數學式）
\(V\)
\(=\)
\(S\)
\(\times\)
\(h\)
\(\div\)
\(3\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
④
錐體的體積 \(V\)
\(=\)
①
底面積 \(S\)
\(\times\)
②
高 \(h\)
\(\div\)
③
分成 3 等分的數 \(3\)
用文字讀公式
①
底面積 \(S\)
乘以
②
高 \(h\)
，
③
除以
分成 3 等分的數 \(3\)
，就得到
④
錐體的體積 \(V\)
簡單範例
底面積 25 cm²、高 12 cm 的角錐，體積是
錐體的體積 \(V\)
\(=\)
底面積（25 cm²）
\(\times\)
高（12 cm）
\(\div\)
分成 3 等分的數（3）
\(25 \times 12 \div 3 = 300 \div 3 = 100\,\mathrm{cm^3}\)
思考重點
這個公式不只適用於四角錐，三角錐、五角錐等所有角錐以及圓錐都通用（尖頂的立體＝錐體，全都是「底面積 × 高 ÷ 3」）。
四角錐的底面是正方形，所以底面積是 \(S = a \times a\)。把它代入，就是第 1 個公式 \(V = \dfrac{1}{3} a^{2} h\)。如果是圓錐，底面積就是圓面積 \(S = \pi r^{2}\)。
體積的單位換算（cm³ → L）
圖示
數學寫法
（一般的數學式）
\(V_{\mathrm{L}}\)
\(=\)
\(V_{\mathrm{cm^3}}\)
\(\div\)
\(1000\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
③
以 L 表示的體積 \(V_{\mathrm{L}}\)
\(=\)
①
以 cm³ 表示的體積 \(V_{\mathrm{cm^3}}\)
\(\div\)
②
1 L 等於多少 cm³ \(1000\)
用文字讀公式
①
以 cm³ 表示的體積 \(V_{\mathrm{cm^3}}\)
除以
②
1 L 等於多少 cm³ \(1000\)
，就得到
③
以 L 表示的體積 \(V_{\mathrm{L}}\)
簡單範例
把底面邊長 5 cm、高 12 cm 的四角錐體積 100 cm³ 換成 L，是
以 L 表示的體積
\(=\)
以 cm³ 表示的體積（100）
\(\div\)
1 L 等於多少 cm³（1000）
\(100 \div 1000 = 0.1\,\mathrm{L}\)
思考重點
1 L 是「邊長 10 cm 的正方體」的體積，也就是 \(10 \times 10 \times 10 = 1000\,\mathrm{cm^3}\)。一大瓶 1 公升的鮮奶，剛好就是 1 L ＝ 1000 cm³。
換成 m³ 時想法也一樣：因為 \(1\,\mathrm{m} = 100\,\mathrm{cm}\)，所以 \(1\,\mathrm{m^3} = 100 \times 100 \times 100 = 1000000\,\mathrm{cm^3}\)。體積的換算率是長度換算率的三次方（面積是平方，體積是三次方。這是很容易誤以為「100 倍」的地方）。
四角錐的體積用「底面積（邊長 × 邊長）× 高 ÷ 3」求出。要除以 3，是因為錐體的體積剛好是等底等高的柱體（盒子）的三分之一。高要用從底面到頂點的垂直長度，答案的單位是長度單位的三次方（cm 就是 cm³）。
符號與用語解說
符號
| \(V\) | V | 常用來表示體積的符號，取自英文 volume（體積）的字首。本頁用來表示四角錐的體積。 |
| \(a\) | a | 底面正方形的邊長。底面的長和寬一樣長，所以用一個符號就能表示。 |
| \(a^2\) | a 的平方 | 同一個數 \(a\) 乘 2 次的值（\(a \times a\)）。右上角的小 2 是指數，意思是「乘 2 次」。本頁用來表示底面積（正方形的面積）。 |
| \(h\) | h | 高，取自英文 height（高度）的字首。是從底面到頂點筆直（垂直）量出的長度，不是斜邊的長度。 |
| \(S\) | S | 常用來表示底面積（底面的面積）的符號。四角錐的 \(S = a \times a\)。 |
| \(\mathrm{cm^3}\) | 立方公分 | 體積的單位。邊長 1 cm 的正方體的體積是 1 cm³，讀作「立方公分」，要和面積的 cm²（平方公分）區分。 |
| \(\mathrm{m^3}\) | 立方公尺 | 體積的單位。邊長 1 m 的正方體的體積是 1 m³，且 \(1\,\mathrm{m^3} = 1000000\,\mathrm{cm^3}\)。 |
| \(\mathrm{L}\) | 公升 | 體積（容量）的單位。邊長 10 cm 的正方體的體積是 1 L，\(1\,\mathrm{L} = 1000\,\mathrm{cm^3}\)，是鋁箔包、寶特瓶飲料常見的單位。 |
用語
| 四角錐 | 底面是四邊形，從底面朝一個頂點變尖的立體。本頁處理的是底面為正方形的四角錐（金字塔形）。 |
| 正四角錐 | 底面是正方形，頂點在底面中心正上方的四角錐。埃及的金字塔就是這個形狀。即使頂點偏離正上方，只要底面積和高相同，體積也不變。 |
| 角錐 | 底面是多邊形（三角形、四邊形、五邊形等），朝一個頂點變尖的立體的總稱。底面是三角形就叫三角錐，四邊形就叫四角錐。 |
| 底面積 | 立體底部的面（底面）的面積。四角錐的底面積就是底面正方形的面積（邊長 × 邊長）。 |
| 體積 | 用數表示立體占有空間的大小，以「有幾個邊長 1 cm 的正方體（1 cm³）」來測量。 |
| 錐體 | 像角錐、圓錐這樣，從底面朝一個頂點變尖的立體的總稱。體積都能用「底面積 × 高 ÷ 3」求出。 |
建議先了解的基礎知識
為了讓您「理解意義」地使用本頁的計算，這裡整理了事先了解會更好懂的基礎知識。
| 乘法與除法（國小中年級，8～10 歲） |
|
| 正方形的面積（國小中年級，8～10 歲） |
|
| 體積的意義與單位（國小四～五年級，9～11 歲） |
|
| 角錐這種立體（國中九年級，14～15 歲） |
|
用 Excel 計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Excel 的 A1 儲存格就能直接使用。
求「四角錐的體積」的表格
| 底面邊長 | 5 |
| 高 | 12 |
| 四角錐的體積 | =B1^2*B2/3 |
求「角錐與圓錐共通的體積（由底面積求）」的表格
| 底面積 | 25 |
| 高 | 12 |
| 錐體的體積 | =B1*B2/3 |
求「由 cm³ 換成 L 的單位換算」的表格
| 以 cm³ 表示的體積 | 100 |
| 以 L 表示的體積 | =B1/1000 |
貼上後，A 欄是項目名稱，B 欄是數值。上方的列是輸入欄，最後一列的公式會用輸入欄的值自動計算。
公式裡的「B1」「B2」意思是「使用該儲存格裡的數值」，「*」是乘號，「/」是除號，「^」是乘方（乘幾次）的符號。
例如第一個表格的 B3 會顯示 5 × 5 × 12 ÷ 3 = 100（因為用 cm 輸入，所以是 cm³）。第二個表格的 B3 是 100，第三個表格的 B2 是 0.1。只要把輸入欄的數值改成您自己的長度即可使用。
公式裡的「B1」「B2」意思是「使用該儲存格裡的數值」，「*」是乘號，「/」是除號，「^」是乘方（乘幾次）的符號。
例如第一個表格的 B3 會顯示 5 × 5 × 12 ÷ 3 = 100（因為用 cm 輸入，所以是 cm³）。第二個表格的 B3 是 100，第三個表格的 B2 是 0.1。只要把輸入欄的數值改成您自己的長度即可使用。
用 Google 試算表計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Google 試算表的 A1 儲存格就能直接使用。
求「四角錐的體積」的表格
| 底面邊長 | 5 |
| 高 | 12 |
| 四角錐的體積 | =B1^2*B2/3 |
求「角錐與圓錐共通的體積（由底面積求）」的表格
| 底面積 | 25 |
| 高 | 12 |
| 錐體的體積 | =B1*B2/3 |
求「由 cm³ 換成 L 的單位換算」的表格
| 以 cm³ 表示的體積 | 100 |
| 以 L 表示的體積 | =B1/1000 |
和 Excel 相同的公式可以直接使用。把表格整個複製貼到 A1 儲存格，再把輸入欄的數值改成您自己的長度即可。
用 Python 計算的方法
a = 5 # 底面邊長（這個例子是 cm）
h = 12 # 高（從底面到頂點的垂直長度，和 a 用相同的單位）
base_area = a ** 2 # 底面積（正方形的面積）
volume = base_area * h / 3 # 四角錐的體積（輸入單位的三次方，這個例子是 cm3）
volume_l = volume / 1000 # 用 cm 輸入時，換成 L（公升）的體積
print(f"底面積：{base_area} cm2")
print(f"四角錐的體積：{volume} cm3")
print(f"換成公升：{volume_l} L")
只用標準函式庫就能執行。「**」是乘方（平方），「*」是乘號，「/」是除號。請改寫開頭的邊長和高後執行（這是用 cm 輸入的例子。用 m 輸入時，要換成 cm³ 就乘以 1000000）。
用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）
四角錐的體積公式
V = a² × h ÷ 3
V = \frac{1}{3} a^{2} h
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>V</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac>
<msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
<mi>h</mi>
</mrow>
</math>
V = 1/3 a^2 h
a^2*h/3
V := a^2*h/3;
V = a^2*h/3;
V = (a^2 × h)/3
角錐與圓錐共通的體積公式（由底面積求）
V = S × h ÷ 3
V = \frac{1}{3} S h
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>V</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac>
<mi>S</mi>
<mi>h</mi>
</mrow>
</math>
V = 1/3 S h
s*h/3
V := S*h/3;
V = s*h/3;
V = (S × h)/3
體積的單位換算（cm³ → L）
V[L] = V[cm³] ÷ 1000
V_{\mathrm{L}} = V_{\mathrm{cm^3}} \div 1000
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>V</mi><mi mathvariant="normal">L</mi></msub>
<mo>=</mo>
<msub><mi>V</mi><mrow><msup><mi mathvariant="normal">cm</mi><mn>3</mn></msup></mrow></msub>
<mo>÷</mo>
<mn>1000</mn>
</mrow>
</math>
V_L = V_(cm^3) -: 1000
vCm3/1000
vL := vCm3/1000;
v_l = v_cm3/1000;
V(L) = V(cm³)/1000
請 ChatGPT 幫忙計算的方法
你是數學的計算助理。請務必實際執行 Python 程式碼來進行以下計算，並且只根據執行結果的數值回答（不要用心算或推測回答）。 有一個底面是邊長 5 cm 的正方形、高 12 cm 的四角錐。 請分別求出： 1. 這個四角錐的底面積是多少 cm² 2. 這個四角錐的體積是多少 cm³（體積 ＝ 底面積 × 高 ÷ 3） 3. 這個體積換成公升（L）是多少 請列出使用的公式和執行結果的數值。
使用方法
-
1輸入數值在輸入欄中輸入要計算的數值
-
2計算按下「計算」按鈕
-
3查看結果計算結果會立即顯示。計算的思路和公式的解說，也都能在同一個頁面查看
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可免費用於商業用途
亦無須事先取得商用授權
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相關功能
長方形面積計算機（長 × 寬）
計算相當於四角錐底面積的「正方形、長方形面積（長 × 寬）」
