Vul de zijde van het grondvlak en de hoogte van een vierkante piramide in (een piramide met een vierkant grondvlak). Je krijgt de inhoud (zijde × zijde × hoogte ÷ 3), ook omgerekend naar cm³, m³ en liter.
Vul de zijde van het grondvlak en de hoogte in dezelfde eenheid in, alleen als getal (zonder eenheid. Bijvoorbeeld: bij 5 cm vul je “5” in). De hoogte is de loodrechte afstand van het grondvlak tot de top.
Resultaat en figuur
Vul links de zijde van het grondvlak en de hoogte in en klik op “Berekenen”. Het resultaat en een 3D-figuur verschijnen hier.
Inhoudsopgave
-
Wat je op deze pagina kunt doen
-
Waarvoor is deze berekening handig?
-
Zo werkt het
-
Formules en figuren
-
Symbolen en begrippen
-
Handig om vooraf te weten
-
Berekenen met Excel
-
Berekenen met Google Spreadsheets
-
Berekenen met Python
-
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
-
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
-
Kenmerken van DataChef
-
Gerelateerde functies
-
Alle rekenmachines van NumberChef
Wat je op deze pagina kunt doen
- Vul alleen de zijde van het grondvlak en de hoogte in en je ziet meteen de inhoud van een vierkante piramide (zijde × zijde × hoogte ÷ 3)
- De piramide die je invult wordt in 3D getekend (sleep om hem te draaien)
- Ook de oppervlakte van het grondvlak en de tussenstappen worden getoond, zodat je niet alleen het antwoord ziet maar ook hoe je erop komt
- De inhoud wordt ook omgerekend naar andere eenheden (liter en m³ als je cm invult, cm³ als je m invult)
- Een heldere uitleg waarom je door 3 deelt en formules om te kopiëren voor Excel, Google Spreadsheets en Python vind je ook op deze pagina
Vul de zijde van het grondvlak en de hoogte in dezelfde eenheid in (allebei in cm of allebei in m). De hoogte is de loodrechte afstand van het grondvlak tot de top (dus niet de lengte van een schuine ribbe). Kegels, driehoekige piramides en andere lichamen hebben hun eigen pagina.
Waarvoor is deze berekening handig?
Een idee krijgen van de grootte van de piramides van Egypte (geschiedenis en reizen)
De Grote Piramide van Gizeh (de piramide van Cheops) is bijna een regelmatige vierkante piramide, met een zijde van het grondvlak van ongeveer 230 m en een oorspronkelijke hoogte van ongeveer 147 m. De inhoud is ongeveer \(230 \times 230 \times 147 \div 3 = 2.592.100\,\mathrm{m^3}\), dus zo’n 2,6 miljoen m³. Dat is ongeveer 1.000 keer de inhoud van een olympisch zwembad (50 m × 25 m × 2 m = 2.500 m³) aan steen.
De echte piramide heeft gangen en kamers en de zijvlakken zijn niet helemaal vlak, dus dit is een schatting. Toch kun je met één formule de schaal van een werelderfgoed in getallen uitdrukken.
De hoeveelheid lucht in een piramidetent schatten (kamperen)
Een tent met één middenpaal (een piramidetent, ook wel tipitent genoemd) is bijna een vierkante piramide als de vloer vierkant is. Bij een vloer van 3 m × 3 m en een paal van 2 m is de ruimte binnen ongeveer \(3 \times 3 \times 2 \div 3 = 6\,\mathrm{m^3}\).
Als je weet hoeveel lucht er in de tent zit, kun je inschatten hoe goed een kachel de tent op een koude kampeertrip kan verwarmen of hoe snel er condens ontstaat (veel echte tenten hebben aan de onderkant korte rechte wanden, dus het blijft een schatting).
De inhoud van de zolderruimte onder een tentdak berekenen (bouw)
Een tentdak (piramidedak) op een vierkant gebouw heeft precies de vorm van een vierkante piramide. Bij een dak van 6 m × 6 m met een hoogte van 2 m is de ruimte eronder (de zolder of dakruimte) ongeveer \(6 \times 6 \times 2 \div 3 = 24\,\mathrm{m^3}\).
De inhoud van de dakruimte gebruik je bij het plannen van ventilatie en bij het beoordelen van isolatie. Veel puntdaken om je heen, zoals op tuinhuisjes en torens, kun je met deze formule schatten.
De inhoud van een omgekeerde piramide als voorraadtrechter berekenen (industrie en landbouw)
In fabrieken en op boerderijen staan voorraadtrechters (hoppers) waarin graan, kunststofkorrels of poeder wordt bewaard en van onderaf beetje bij beetje wordt afgevoerd. Zo’n trechter heeft vaak de vorm van een omgekeerde vierkante piramide. Bij een bovenvlak van 2 m bij 2 m en een diepte van 1,5 m is de inhoud \(2 \times 2 \times 1{,}5 \div 3 = 2\,\mathrm{m^3}\) (2.000 liter).
Vragen als “hoeveel ton past er nog bij?” of “kan er een dagvoorraad in?” beginnen bij deze inhoud (echte trechters zijn vaak onderaan afgeknot, een afgeknotte piramide; dan trek je de kleine piramide af van de grote).
Een klassieke meetkundevraag uit het wiskundeonderwijs oplossen (leren en toetsen)
De inhoud van piramides en kegels is een vast onderdeel van de ruimtemeetkunde in de onderbouw van het voortgezet onderwijs. Een voorbeeldvraag: “Wat is de inhoud van een regelmatige vierkante piramide met een zijde van 6 cm en een hoogte van 8 cm?” Het antwoord is \(6 \times 6 \times 8 \div 3 = 96\,\mathrm{cm^3}\).
Vergeten door 3 te delen is de meestgemaakte fout. Onthoud het samen met “een puntig lichaam is een derde van het bijbehorende prisma”, dan scoor je die punten op de toets.
Formules en figuren
Formule voor de inhoud van een vierkante piramide
Figuur
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(V\)
\(=\)
\(a\)
\(2\)
\(\times\)
\(h\)
\(\div\)
\(3\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
⑤
\(V\): inhoud van de piramide
\(=\)
①
\(a\): zijde van het grondvlak
②
kwadraat (de lengte met zichzelf vermenigvuldigd)
\(\times\)
③
\(h\): hoogte
\(\div\)
④
\(3\): het aantal gelijke delen
De formule in woorden
①
Neem de
\(a\): zijde van het grondvlak
,
②
bepaal het
kwadraat (de lengte met zichzelf vermenigvuldigd)
om de oppervlakte van het grondvlak te krijgen,
③
vermenigvuldig met de
\(h\): hoogte
,
④
en deel door
\(3\): het aantal gelijke delen
om de
⑤
\(V\): inhoud van de piramide
te krijgen
Een eenvoudig voorbeeld
De inhoud van een vierkante piramide met een zijde van 5 cm en een hoogte van 12 cm is
\(V\): inhoud van de piramide
\(=\)
zijde van het grondvlak (5 cm)
kwadraat
\(\times\)
hoogte (12 cm)
\(\div\)
het aantal gelijke delen (3)
\(5 \times 5 = 25\)
\(25 \times 12 \div 3 = 300 \div 3 = 100\,\mathrm{cm^3}\)
Het belangrijkste idee
Waarom deel je door 3? Een kubus (de vorm van een dobbelsteen) kun je vanuit één hoekpunt precies verdelen in 3 gelijke “scheve” vierkante piramides. De inhoud van een piramide is dus precies \(\dfrac{1}{3}\) van de inhoud van een balk (een doos) met hetzelfde grondvlak en dezelfde hoogte. In deze formule staat “\(\times \dfrac{1}{3}\)” geschreven als “\(\div 3\)”. In de Nederlandse schoolboeken lees je dit vaak als “inhoud = ⅓ × oppervlakte van het grondvlak × hoogte”.
Let op: de hoogte \(h\) is de loodrechte afstand van het grondvlak tot de top, niet de lengte van een schuine ribbe (een ribbe naar de top). Ook bij een “scheve” piramide, waarvan de top niet recht boven het midden van het grondvlak ligt, is de inhoud hetzelfde zolang de oppervlakte van het grondvlak en de hoogte gelijk zijn.
Formule voor de inhoud van elke piramide en kegel (uit de oppervlakte van het grondvlak)
Figuur
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(V\)
\(=\)
\(S\)
\(\times\)
\(h\)
\(\div\)
\(3\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
④
\(V\): inhoud van de piramide of kegel
\(=\)
①
\(S\): oppervlakte van het grondvlak
\(\times\)
②
\(h\): hoogte
\(\div\)
③
\(3\): het aantal gelijke delen
De formule in woorden
①
Vermenigvuldig de
\(S\): oppervlakte van het grondvlak
②
met de
\(h\): hoogte
,
③
en deel door
\(3\): het aantal gelijke delen
om de
④
\(V\): inhoud van de piramide of kegel
te krijgen
Een eenvoudig voorbeeld
De inhoud van een piramide met een grondvlak van 25 cm² en een hoogte van 12 cm is
\(V\): inhoud van de piramide of kegel
\(=\)
oppervlakte van het grondvlak (25 cm²)
\(\times\)
hoogte (12 cm)
\(\div\)
het aantal gelijke delen (3)
\(25 \times 12 \div 3 = 300 \div 3 = 100\,\mathrm{cm^3}\)
Het belangrijkste idee
Deze formule geldt niet alleen voor een vierkante piramide. Hij werkt voor elke piramide, zoals een driehoekige of vijfhoekige, en ook voor een kegel (elk lichaam dat uitloopt in een top heeft als inhoud “oppervlakte van het grondvlak × hoogte ÷ 3”). In de schoolboeken staat hij vaak als \(I = \dfrac{1}{3} G h\), met \(I\) voor de inhoud en \(G\) voor de oppervlakte van het grondvlak.
Bij een vierkante piramide is het grondvlak een vierkant, dus de oppervlakte van het grondvlak is \(S = a \times a\). Vul je dat in, dan krijg je de eerste formule, \(V = \dfrac{1}{3} a^{2} h\). Bij een kegel is het grondvlak een cirkel, met oppervlakte \(S = \pi r^{2}\).
Eenheden van inhoud omrekenen (cm³ naar liter)
Figuur
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(V_{\mathrm{L}}\)
\(=\)
\(V_{\mathrm{cm^3}}\)
\(\div\)
\(1000\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
③
\(V_{\mathrm{L}}\): inhoud in liter
\(=\)
①
\(V_{\mathrm{cm^3}}\): inhoud in cm³
\(\div\)
②
\(1000\): aantal cm³ in 1 liter
De formule in woorden
①
Deel de
\(V_{\mathrm{cm^3}}\): inhoud in cm³
②
door
\(1000\): aantal cm³ in 1 liter
om de
③
\(V_{\mathrm{L}}\): inhoud in liter
te krijgen
Een eenvoudig voorbeeld
De inhoud van de vierkante piramide met een zijde van 5 cm en een hoogte van 12 cm, 100 cm³, in liter is
inhoud in liter
\(=\)
inhoud in cm³ (100)
\(\div\)
aantal cm³ in 1 liter (1.000)
\(100 \div 1000 = 0{,}1\,\mathrm{L}\)
Het belangrijkste idee
1 liter is de inhoud van een kubus met ribben van 10 cm (1 dm³), dus \(10 \times 10 \times 10 = 1.000\,\mathrm{cm^3}\). Een pak melk is precies 1 liter = 1.000 cm³.
Omrekenen naar m³ gaat op dezelfde manier: \(1\,\mathrm{m} = 100\,\mathrm{cm}\), dus \(1\,\mathrm{m^3} = 100 \times 100 \times 100 = 1.000.000\,\mathrm{cm^3}\). De omrekenfactor van inhoud is de omrekenfactor van lengte tot de derde macht (bij oppervlakte is het de tweede macht, bij inhoud de derde). Een veelgemaakte fout is om met 100 te rekenen.
De inhoud van een vierkante piramide is “oppervlakte van het grondvlak (zijde × zijde) × hoogte ÷ 3”. Je deelt door 3 omdat een piramide of kegel precies een derde van de inhoud heeft van een balk met hetzelfde grondvlak en dezelfde hoogte. Gebruik de loodrechte hoogte van het grondvlak tot de top; het antwoord heeft de eenheid van de lengte tot de derde macht (cm³ als je cm hebt ingevuld).
Symbolen en begrippen
Symbolen
| \(V\) | vee | Een veelgebruikt symbool voor inhoud, van de beginletter van “volume”. Op deze pagina staat het voor de inhoud van de vierkante piramide. Op school zie je ook \(I\) (van inhoud). |
| \(a\) | a | De lengte van een zijde van het vierkante grondvlak. De lengte en de breedte van het grondvlak zijn gelijk, dus één symbool is genoeg. |
| \(a^2\) | a kwadraat | Het getal \(a\) met zichzelf vermenigvuldigd (\(a \times a\)). De kleine 2 rechtsboven is een exponent. Op deze pagina is het de oppervlakte van het grondvlak (de oppervlakte van het vierkant). |
| \(h\) | ha | De hoogte, van de beginletter van “hoogte”. Je meet haar loodrecht van het grondvlak tot de top, dus niet langs een schuine ribbe. |
| \(S\) | es | Een symbool dat hier staat voor de oppervlakte van het grondvlak. In schoolboeken zie je ook vaak \(G\). Bij een vierkante piramide is \(S = a \times a\). |
| \(\mathrm{cm^3}\) | kubieke centimeter | Een eenheid van inhoud. Een kubus met ribben van 1 cm heeft een inhoud van 1 cm³. Verwar het niet met cm² (vierkante centimeter), de eenheid van oppervlakte. |
| \(\mathrm{m^3}\) | kubieke meter | Een eenheid van inhoud. Een kubus met ribben van 1 m heeft een inhoud van 1 m³. Het verband is \(1\,\mathrm{m^3} = 1.000.000\,\mathrm{cm^3}\). |
| \(\mathrm{L}\) | liter | Een eenheid van inhoud (hoeveelheid), vooral voor vloeistoffen. Een kubus met ribben van 10 cm heeft een inhoud van 1 liter, dus \(1\,\mathrm{L} = 1\,\mathrm{dm^3} = 1.000\,\mathrm{cm^3}\). Je kent het van pakken melk en flessen frisdrank. |
Begrippen
| vierkante piramide | Een lichaam met een vierhoekig grondvlak dat uitloopt in één punt (de top). Deze pagina gaat over de piramide met een vierkant grondvlak (de klassieke piramidevorm). |
| regelmatige vierkante piramide | Een vierkante piramide waarvan de top recht boven het midden van het vierkante grondvlak ligt. De piramides in Egypte hebben deze vorm. Ligt de top niet recht boven het midden, dan verandert de inhoud niet zolang de oppervlakte van het grondvlak en de hoogte gelijk blijven. |
| piramide | De algemene naam voor een lichaam met een veelhoek als grondvlak (een driehoek, vierhoek, vijfhoek enzovoort) dat uitloopt in één punt. Met een driehoek als grondvlak is het een driehoekige piramide, met een vierhoek een vierhoekige piramide. |
| grondvlak | Het vlak waarop een lichaam staat, en ook de oppervlakte daarvan. Bij een vierkante piramide is het de oppervlakte van het vierkante grondvlak (zijde × zijde). |
| inhoud (volume) | De hoeveelheid ruimte die een lichaam inneemt, uitgedrukt in een getal. Je meet haar met het aantal kubussen met ribben van 1 cm (1 cm³) dat erin past. |
| top | Het ene punt bovenaan een piramide of kegel waar de zijvlakken samenkomen. Elk lichaam dat vanaf het grondvlak uitloopt in één top, piramides en kegels dus, heeft als inhoud “oppervlakte van het grondvlak × hoogte ÷ 3”. |
Handig om vooraf te weten
Dit is handig om te weten, zodat je de berekening op deze pagina echt begrijpt en niet alleen op de knop drukt.
| Vermenigvuldigen en delen (groep 5-6, 8-10 jaar) |
|
| Oppervlakte van een vierkant (groep 6, 9-10 jaar) |
|
| Wat inhoud is en welke eenheden erbij horen (groep 7-8, 10-12 jaar) |
|
| Piramides als lichamen (klas 2, 13-14 jaar, ruimtemeetkunde) |
|
Berekenen met Excel
Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Excel. Het werkt direct.
Tabel om de inhoud van een vierkante piramide te berekenen
| Zijde van het grondvlak | 5 |
| Hoogte | 12 |
| Inhoud van de piramide | =B1^2*B2/3 |
Tabel om de inhoud van elke piramide of kegel te berekenen (uit de oppervlakte van het grondvlak)
| Oppervlakte grondvlak | 25 |
| Hoogte | 12 |
| Inhoud | =B1*B2/3 |
Tabel om cm³ om te rekenen naar liter
| Inhoud in cm³ | 100 |
| Inhoud in liter | =B1/1000 |
Na het plakken staan de namen in kolom A en de getallen in kolom B. De bovenste rijen zijn je invoer en de formule in de laatste rij rekent er automatisch mee.
In een formule betekent “B1” of “B2”: gebruik het getal in die cel. “*” is vermenigvuldigen, “/” is delen en “^” is een macht (hoe vaak je vermenigvuldigt).
In de eerste tabel toont B3 bijvoorbeeld 5 × 5 × 12 ÷ 3 = 100 (cm³, omdat je cm hebt ingevuld). De tweede tabel toont 100 in B3 en de derde tabel 0,1 in B2. Vervang de getallen door je eigen afmetingen en je bent klaar.
In een formule betekent “B1” of “B2”: gebruik het getal in die cel. “*” is vermenigvuldigen, “/” is delen en “^” is een macht (hoe vaak je vermenigvuldigt).
In de eerste tabel toont B3 bijvoorbeeld 5 × 5 × 12 ÷ 3 = 100 (cm³, omdat je cm hebt ingevuld). De tweede tabel toont 100 in B3 en de derde tabel 0,1 in B2. Vervang de getallen door je eigen afmetingen en je bent klaar.
Berekenen met Google Spreadsheets
Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Google Spreadsheets. Het werkt direct.
Tabel om de inhoud van een vierkante piramide te berekenen
| Zijde van het grondvlak | 5 |
| Hoogte | 12 |
| Inhoud van de piramide | =B1^2*B2/3 |
Tabel om de inhoud van elke piramide of kegel te berekenen (uit de oppervlakte van het grondvlak)
| Oppervlakte grondvlak | 25 |
| Hoogte | 12 |
| Inhoud | =B1*B2/3 |
Tabel om cm³ om te rekenen naar liter
| Inhoud in cm³ | 100 |
| Inhoud in liter | =B1/1000 |
Dezelfde formules als in Excel werken ongewijzigd. Kopieer de hele tabel, plak die in cel A1 en vervang de getallen door je eigen afmetingen.
Berekenen met Python
a = 5 # zijde van het grondvlak (in dit voorbeeld in cm)
h = 12 # hoogte (loodrecht van het grondvlak tot de top; zelfde eenheid als a)
base_area = a ** 2 # oppervlakte van het grondvlak (oppervlakte van het vierkant)
volume = base_area * h / 3 # inhoud van de piramide (de invoereenheid tot de derde macht; hier cm3)
volume_l = volume / 1000 # inhoud in liter, als je cm hebt ingevuld
print(f"Oppervlakte grondvlak: {base_area} cm2")
print(f"Inhoud van de piramide: {volume} cm3")
print(f"In liter: {volume_l} L")
Werkt met alleen de standaardbibliotheek. “**” is een macht (kwadraat), “*” is vermenigvuldigen en “/” is delen. Pas bovenaan de zijde en de hoogte aan en voer het uit (dit voorbeeld gaat uit van cm; heb je m ingevuld, dan reken je met 1.000.000 om naar cm³).
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
Formule voor de inhoud van een vierkante piramide
V = a² × h ÷ 3
V = \frac{1}{3} a^{2} h
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>V</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac>
<msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
<mi>h</mi>
</mrow>
</math>
V = 1/3 a^2 h
a^2*h/3
V := a^2*h/3;
V = a^2*h/3;
V = (a^2 × h)/3
Formule voor de inhoud van elke piramide en kegel (uit de oppervlakte van het grondvlak)
V = S × h ÷ 3
V = \frac{1}{3} S h
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>V</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac><mn>1</mn><mn>3</mn></mfrac>
<mi>S</mi>
<mi>h</mi>
</mrow>
</math>
V = 1/3 S h
s*h/3
V := S*h/3;
V = s*h/3;
V = (S × h)/3
Eenheden van inhoud omrekenen (cm³ naar liter)
V[L] = V[cm³] ÷ 1000
V_{\mathrm{L}} = V_{\mathrm{cm^3}} \div 1000
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msub><mi>V</mi><mi mathvariant="normal">L</mi></msub>
<mo>=</mo>
<msub><mi>V</mi><mrow><msup><mi mathvariant="normal">cm</mi><mn>3</mn></msup></mrow></msub>
<mo>÷</mo>
<mn>1000</mn>
</mrow>
</math>
V_L = V_(cm^3) -: 1000
vCm3/1000
vL := vCm3/1000;
v_l = v_cm3/1000;
V(L) = V(cm³)/1000
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
Je bent een rekenassistent voor wiskunde. Voer de volgende berekening uit door echt Python-code uit te voeren en baseer je antwoord alleen op de getallen uit het resultaat van de uitvoering (geef geen antwoord uit het hoofd of op basis van een gok). Een vierkante piramide heeft een vierkant grondvlak met zijden van 5 cm en een hoogte van 12 cm. Bereken de volgende waarden: 1. De oppervlakte van het grondvlak van deze piramide in cm² 2. De inhoud van deze piramide in cm³ (inhoud = oppervlakte grondvlak × hoogte ÷ 3) 3. Die inhoud in liter Laat de gebruikte formules en de getallen uit het resultaat van de uitvoering zien.
Zo werkt het
-
1Vul je getallen inTyp de getallen waarmee je wilt rekenen in de invoervelden
-
2BerekenKlik op de knop “Berekenen”
-
3Bekijk het resultaatHet resultaat verschijnt meteen. Op dezelfde pagina vind je ook de uitwerking van de berekening en de uitleg van de formule
Kenmerken van DataChef
Eenvoudig en gratis
Onbeperkt gratis converteren
Geen voorkennis nodig – intuïtieve en eenvoudige bediening
Geen voorkennis nodig – intuïtieve en eenvoudige bediening
Geen registratie nodig
Direct te gebruiken
Zonder persoonlijke gegevens op te geven
Zonder persoonlijke gegevens op te geven
Veilig en betrouwbaar
Sterk versleutelde verbinding (SSL)
Bestand wordt automatisch verwijderd zodra je op "Downloaden" klikt
Bestand wordt automatisch verwijderd zodra je op "Downloaden" klikt
Snel
Snelle laadtijden en snelle conversie
Zonder watermerk
Geen watermerk
Geen bronvermelding vereist
Geen bronvermelding vereist
Commercieel gebruik toegestaan
Gratis voor commercieel gebruik
Geen toestemming vooraf nodig
Geen toestemming vooraf nodig
Gerelateerde functies
Oppervlakte van een rechthoek berekenen (lengte × breedte)
Berekent de oppervlakte van een vierkant of rechthoek (lengte × breedte), de oppervlakte van het grondvlak van een piramide
