Kies wat je wilt berekenen en vul de kansen in. De formule hieronder is gekoppeld aan de invoervelden, dus je kunt ook rekenen door de getallen in de formule zelf aan te passen.
Je kunt een kans invoeren als “0,3”, “30%” of “3/10”.
Resultaat en grafiek
Vul links de kansen in en klik op “Berekenen”. Het resultaat en een figuur verschijnen hier.
Inhoudsopgave
-
Wat je op deze pagina kunt doen
-
Waarvoor is deze berekening handig?
-
Zo werkt het
-
Formules en figuren
-
Symbolen en begrippen
-
Handig om vooraf te weten
-
Berekenen met Excel
-
Berekenen met Google Spreadsheets
-
Berekenen met Python
-
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
-
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
-
Kenmerken van DataChef
-
Gerelateerde functies
-
Alle rekenmachines van NumberChef
Wat je op deze pagina kunt doen
- Vul \(P(A)\) en \(P(A \cap B)\) in en je krijgt meteen de voorwaardelijke kans \(P(B \mid A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}\)
- In de modus stelling van Bayes begin je met de kans op een oorzaak, \(P(A)\), en de kans op een uitkomst B met en zonder die oorzaak, \(P(B \mid A)\) en \(P(B \mid A')\). Hieruit rekent hij terug naar “de kans dat de oorzaak A was, gegeven dat B gebeurde”, \(P(A \mid B)\)
- Je kunt volgen hoe \(P(B)\) wordt opgebouwd met de wet van de totale kans, in stapsgewijze formules met jouw getallen en in een boomdiagram of oppervlaktemodel
- Antwoorden worden getoond als breuk in de eenvoudigste vorm (de exacte waarde), zoals \(\dfrac{10}{109}\), en als decimaal getal en percentage
- Je kunt een kans invoeren als 0,3, 30% of 3/10. Een eenvoudige uitleg van de formules en kant-en-klare formules voor Excel, Google Spreadsheets en Python zijn inbegrepen
Voorwaardelijke kans werkt ook als de twee gebeurtenissen niet onafhankelijk zijn. Het is zelfs precies het hulpmiddel dat je nodig hebt als de ene uitkomst de kans op de andere verandert.
Waarvoor is deze berekening handig?
Een testuitslag goed lezen (positief betekent niet bijna zeker)
“Positief op een test met 90% nauwkeurigheid” klinkt als 90% kans op de aandoening. Maar neem je bijvoorbeeld aan dat 1% van alle mensen de aandoening heeft, dan is de kans dat je na een positieve uitslag de aandoening echt hebt (de positief voorspellende waarde) maar ongeveer 9%. De weinige echt-positieven verdwijnen tussen de fout-positieve uitslagen die voortkomen uit de grote groep mensen die de aandoening niet hebben.
Dit is het beroemdste voorbeeld van de stelling van Bayes en in de geneeskunde is de basisregel om een testuitslag samen met de a-priorikans te lezen. (Echte kansen verschillen per test en per situatie, dus deze getallen zijn alleen een rekenvoorbeeld.)
Spamfilters (bayesiaanse filters)
De klassieke basis van spamdetectie in mailprogramma’s is een bayesiaans filter. Uit “de kans dat dit woord in spam voorkomt” en “de kans dat het in gewone e-mail voorkomt” rekent het met de stelling van Bayes terug naar “de kans dat een e-mail met dit woord spam is”.
Van “uitkomst naar oorzaak” schatten op basis van statistieken over “oorzaak (spam) naar uitkomst (het woord komt voor)” is een schoolvoorbeeld van de stelling van Bayes.
Kwaliteitscontrole in de industrie (van welke lijn kwam het defect?)
Een fabriek heeft machine X, die 60% van de producten maakt (2% defect), en machine Y, die 40% maakt (5% defect). De kans dat een defect product dat bij de inspectie wordt gevonden van machine X kwam, is volgens de stelling van Bayes \(\dfrac{0{,}6 \times 0{,}02}{0{,}6 \times 0{,}02 + 0{,}4 \times 0{,}05} = \dfrac{3}{8}\) (37,5%).
Beslissen “welke lijn eerst gecontroleerd moet worden als er een defect opduikt” kan dan op cijfers gebaseerd zijn in plaats van op onderbuikgevoel.
Kansen na een trekking bij loterijen en kaartspellen (productregel)
Trek je 2 loten zonder terugleggen uit 10 loten met 3 prijzen, dan is de kans dat beide een prijs zijn \(\dfrac{3}{10} \times \dfrac{2}{9} = \dfrac{1}{15}\). De eerste uitkomst verandert de kans op de tweede (ze zijn niet onafhankelijk), dus dit is een zaak voor voorwaardelijke kans en de productregel.
Bij poker, blackjack of andere kaartspellen de kansen voor de rest van het spel uitrekenen uit “de kaarten die al open liggen” is precies dezelfde berekening.
Risicobeoordeling bij verzekeringen en kredietverlening (risico opsplitsen naar voorwaarde)
Bij het vaststellen van de premie voor een autoverzekering kijken verzekeraars niet naar “de kans op een ongeval” als één getal voor iedereen. Ze schatten die in als voorwaardelijke kans voor elke voorwaarde, zoals leeftijd, aantal schadevrije jaren en woonplaats, en verwerken dat in verschillende premies.
Het idee van voorwaardelijke kans, dat “de kans verandert zodra je de voorwaarde kent”, ligt onder financiële systemen zoals verzekeringen, kredietverlening en kredietbeoordeling.
Formules en figuren
Voorwaardelijke kans
Oppervlaktemodel
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(P(B \mid A)\)
\(=\)
\(P(A \cap B)\)
\(\div\)
\(P(A)\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
③
\(P(B \mid A)\): kans op B gegeven A
\(=\)
①
\(P(A \cap B)\): kans dat A en B allebei gebeuren
\(\div\)
②
\(P(A)\): kans op A
De formule in woorden
①
Neem
\(P(A \cap B)\): kans dat A en B allebei gebeuren
②
deel dat door
\(P(A)\): kans op A
③
en je krijgt
\(P(B \mid A)\): kans op B gegeven A
Een eenvoudig voorbeeld
Je gooit één keer met een dobbelsteen. Weet je dat het aantal ogen even is (kans \(\dfrac{1}{2}\)), dan is de kans dat het 4 of meer is (de even aantallen ogen van 4 of meer zijn 4 en 6, met kans \(\dfrac{1}{3}\))
\(P(B \mid A)\): 4 of meer, gegeven even
\(=\)
even en 4 of meer \(\dfrac{1}{3}\)
\(\div\)
even \(\dfrac{1}{2}\)
\(\dfrac{1}{3} \div \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3} \times 2 = \dfrac{2}{3}\)
Het belangrijkste idee
Een gewone kans is “het aandeel van het geheel (kans 1) dat B inneemt”. Bij voorwaardelijke kans verandert, zodra je weet dat A gebeurde, de wereld waar je naar kijkt: van het geheel naar alleen A. Je vervangt de noemer 1 dus door \(P(A)\). Voorwaardelijke kans is “het aandeel van A dat B inneemt”.
Een veelgemaakte fout is om haar te verwarren met de kans dat beide gebeuren, \(P(A \cap B)\) (de gezamenlijke kans). In het voorbeeld met de dobbelsteen is de kans op “even en 4 of meer” ten opzichte van het geheel \(\dfrac{1}{3}\), terwijl de voorwaardelijke kans ten opzichte van alleen de even aantallen \(\dfrac{2}{3}\) is. De formules lijken op elkaar, maar het zijn verschillende kansen omdat ze een ander geheel als noemer gebruiken.
De verticale streep in \(P(B \mid A)\) lees je als “gegeven”, dus je leest “de kans op B gegeven A”. De gebeurtenis rechts van de streep is de voorwaarde waarvan je al weet dat die gebeurde. Wissel de twee kanten niet om, want \(P(B \mid A)\) en \(P(A \mid B)\) zijn meestal verschillende getallen.
Productregel (kans dat beide gebeuren)
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(P(A \cap B)\)
\(=\)
\(P(A)\)
\(\times\)
\(P(B \mid A)\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
③
\(P(A \cap B)\): kans dat A en B allebei gebeuren
\(=\)
①
\(P(A)\): kans op A
\(\times\)
②
\(P(B \mid A)\): kans op B gegeven A
De formule in woorden
①
Neem
\(P(A)\): kans op A
②
vermenigvuldig dat met
\(P(B \mid A)\): kans op B gegeven A
③
en je krijgt
\(P(A \cap B)\): kans dat A en B allebei gebeuren
Een eenvoudig voorbeeld
In een doos zitten 10 loten, waarvan er 3 een prijs hebben. Je trekt 2 loten na elkaar zonder het eerste terug te leggen. Het eerste lot heeft een prijs met kans \(\dfrac{3}{10}\). Is dat zo, dan hebben van de overige 9 loten er nog 2 een prijs, dus het tweede lot heeft ook een prijs met kans \(\dfrac{2}{9}\). De kans dat beide loten een prijs hebben is
\(P(A \cap B)\): beide een prijs
\(=\)
eerste een prijs \(\dfrac{3}{10}\)
\(\times\)
tweede een prijs, gegeven dat het eerste een prijs was \(\dfrac{2}{9}\)
\(\dfrac{3}{10} \times \dfrac{2}{9} = \dfrac{6}{90} = \dfrac{1}{15}\)
Het belangrijkste idee
Dit is gewoon de formule van voorwaardelijke kans met beide kanten vermenigvuldigd met de noemer \(P(A)\), dus het zegt hetzelfde in een andere vorm. Zie het als het vermenigvuldigen van kansen in de volgorde van de tijd: “eerst gebeurt A en dan gebeurt, gegeven dat, ook B”.
Zijn A en B onafhankelijk (de ene uitkomst beïnvloedt de andere niet), dan is \(P(B \mid A) = P(B)\) en wordt deze formule weer de bekende \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B)\). Met andere woorden, “vermenigvuldigen bij onafhankelijke gebeurtenissen” is een speciaal geval van de productregel.
Wet van de totale kans (tel de routes naar B op)
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(P(B)\)
\(=\)
\(P(A \cap B)\)
\(+\)
\(P(A' \cap B)\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
③
\(P(B)\): kans op B
\(=\)
①
\(P(A \cap B)\): via A bij B
\(+\)
②
\(P(A' \cap B)\): via niet A bij B
De formule in woorden
①
Neem
\(P(A \cap B)\): via A bij B
②
tel daar
\(P(A' \cap B)\): via niet A bij B
bij op
③
en je krijgt
\(P(B)\): kans op B
Een eenvoudig voorbeeld
Stel dat iedereen een bepaalde test doet. Neem aan dat 1% van de mensen de aandoening heeft (en in 90% van de gevallen positief test) en 99% niet (en in 9% van de gevallen ten onrechte positief test). Met de productregel is \(P(A \cap B) = 0{,}01 \times 0{,}9 = 0{,}009\) en \(P(A' \cap B) = 0{,}99 \times 0{,}09 = 0{,}0891\), dus de kans op een positieve test is
\(P(B)\): positieve test
\(=\)
heeft het en positief (0,009)
\(+\)
heeft het niet maar positief (0,0891)
\(0{,}009 + 0{,}0891 = 0{,}0981\ \ (9{,}81\%)\)
Het belangrijkste idee
Er zijn maar twee routes naar B: via A of via niet A (het complement \(A'\)). Deze twee routes kunnen niet tegelijk plaatsvinden (ze zijn onverenigbaar). Door de kans op elke route gewoon op te tellen, krijg je dus \(P(B)\).
De kans op elke route volgt uit de productregel: \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B \mid A)\) en \(P(A' \cap B) = P(A') \times P(B \mid A')\). Alles bij elkaar geschreven is \(P(B) = P(A)\,P(B \mid A) + P(A')\,P(B \mid A')\). In een boomdiagram betekent dit “tel alle takken op die in B eindigen”.
Stelling van Bayes (van een uitkomst terugrekenen naar de oorzaak)
Boomdiagram
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(P(A \mid B)\)
\(=\)
\(P(A \cap B)\)
\(\div\)
\(P(B)\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
③
\(P(A \mid B)\): kans dat de oorzaak A is, gegeven B
\(=\)
①
\(P(A \cap B)\): via A bij B
\(\div\)
②
\(P(B)\): kans op B
De formule in woorden
①
Neem
\(P(A \cap B)\): via A bij B
②
deel dat door
\(P(B)\): kans op B (uit de wet van de totale kans)
③
en je krijgt
\(P(A \mid B)\): kans dat de oorzaak A is, gegeven B
Een eenvoudig voorbeeld
Dit gaat verder met het voorbeeld bij de wet van de totale kans hierboven. Als de test positief is (B), is de kans dat de persoon de aandoening echt heeft (A)
\(P(A \mid B)\): heeft het echt, gegeven positief
\(=\)
heeft het en positief (0,009)
\(\div\)
positieve test (0,0981)
\(\dfrac{0{,}009}{0{,}0981} = \dfrac{90}{981} = \dfrac{10}{109} \approx 0{,}092\ \ (9{,}2\%)\)
Het belangrijkste idee
De vorm is gewoon de formule van voorwaardelijke kans met de voorwaarde verwisseld van A naar B. Maar je gebruikt hem in de tegenovergestelde richting. Wat je weet is de kans van oorzaak naar uitkomst (\(P(B \mid A)\): 90% positief als de persoon de aandoening heeft). Wat je wilt weten is de kans van uitkomst naar oorzaak (\(P(A \mid B)\): de kans dat de persoon de aandoening echt heeft, gegeven een positieve test). De stelling van Bayes doet die omkering voor je.
Meestal wordt hij geschreven met de noemer \(P(B)\) uitgewerkt met de wet van de totale kans, \(P(A \mid B) = \dfrac{P(A)\,P(B \mid A)}{P(A)\,P(B \mid A) + P(A')\,P(B \mid A')}\), maar de inhoud is dezelfde.
Het antwoord in het voorbeeld, “maar ongeveer 9% na een positieve uitslag bij een test met 90% nauwkeurigheid”, is verrassend klein. Dat komt doordat maar 1% van de mensen de aandoening heeft, zodat de weinige echt-positieven verdwijnen tussen de vele fout-positieve uitslagen. De kans voordat je de uitkomst ziet, \(P(A)\), heet de a-priorikans en de kans nadat je de uitkomst hebt gezien, \(P(A \mid B)\), heet de a-posteriorikans.
De voorwaardelijke kans \(P(B \mid A)\) is “het aandeel van B binnen A”, gevonden door de noemer 1 (het geheel) te vervangen door \(P(A)\) (de gegeven gebeurtenis). De stelling van Bayes bouwt hierop voort en rekent terug van de kans van “oorzaak naar uitkomst” naar de kans van “uitkomst naar oorzaak”. De noemer \(P(B)\) wordt opgebouwd met de wet van de totale kans (de routes optellen).
Symbolen en begrippen
Symbolen
| \(P(A)\) | P van A | De kans dat gebeurtenis A plaatsvindt. De P komt van het Engelse woord “probability” (kans). |
| \(P(B \mid A)\) | P van B gegeven A | De kans dat B gebeurt, gegeven dat bekend is dat A gebeurde (de voorwaardelijke kans). In sommige boeken schrijft men ook \(P_{A}(B)\), met de voorwaarde als kleine index. |
| \(\mid\) | gegeven | De verticale streep in \(P(\ \ )\). De gebeurtenis rechts ervan is de voorwaarde (wat je al weet dat gebeurde) en je leest hem als “gegeven”. \(P(B \mid A)\) en \(P(A \mid B)\) betekenen verschillende dingen. |
| \(A'\) | A accent (complement) | De gebeurtenis “A gebeurt niet”, het complement van A. Ook geschreven als \(A^c\) of \(\overline{A}\). Je berekent het met \(P(A') = 1 - P(A)\). |
| \(\cap\) | doorsnede | Het symbool voor “en”. \(A \cap B\) is de gebeurtenis “A en B gebeuren allebei”. In een venndiagram is het het deel waar de twee cirkels elkaar overlappen. |
| \(P(A \cap B)\) | P van A en B | De kans dat zowel A als B gebeurt (de gezamenlijke kans). Het is de teller van de voorwaardelijke kans. Hij kan nooit groter zijn dan \(P(A)\), want “beide gebeuren” is een deel van A. |
Begrippen
| gebeurtenis | Iets wat wel of niet gebeurt, zoals “een even aantal ogen gooien” of “positief testen”. In de kansrekening noem je zulke uitkomsten gebeurtenissen en geef je ze namen als A en B. |
| voorwaardelijke kans | De kans dat een gebeurtenis B plaatsvindt, onder de voorwaarde dat bekend is dat een andere gebeurtenis A plaatsvond. Je berekent haar als \(P(B \mid A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}\). Het is “het aandeel van B in een wereld die van het geheel is gekrompen tot alleen A”. |
| productregel | De formule \(P(A \cap B) = P(A) \times P(B \mid A)\). Het is de formule van de voorwaardelijke kans met de noemer weggewerkt en vindt de kans op “eerst A en dan ook B” door in volgorde te vermenigvuldigen. |
| wet van de totale kans | Een regel die de kans op B vindt door die te splitsen in “de route via A” en “de route via niet A” en deze op te tellen. De formule is \(P(B) = P(A)\,P(B \mid A) + P(A')\,P(B \mid A')\). Hij wordt gebruikt om de noemer van de stelling van Bayes op te bouwen. |
| stelling van Bayes | Een regel die van de kans van “oorzaak naar uitkomst” terugrekent naar de kans van “uitkomst naar oorzaak”. De formule is \(P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)}\). Hij is genoemd naar Thomas Bayes, een Engelse predikant uit de 18e eeuw, en vormt de basis van moderne technologie zoals spamfilters. |
| a-priorikans | De kans op oorzaak A, \(P(A)\), ingeschat voordat je de uitkomst (de gegevens) ziet. In het voorbeeld met de test is het “hoeveel mensen de aandoening in de eerste plaats hebben”. |
| a-posteriorikans | De kans op oorzaak A nadat die is bijgewerkt door de uitkomst B te zien, \(P(A \mid B)\). De stelling van Bayes is te beschrijven als een regel die “de a-priorikans met wat je hebt waargenomen bijwerkt tot de a-posteriorikans”. |
| complement | De tegenovergestelde gebeurtenis, namelijk dat de gebeurtenis niet gebeurt. Het symbool is \(A'\) en de kans is \(1 - P(A)\). In de wet van de totale kans neemt het “de route die niet via A loopt” voor zijn rekening. |
| onverenigbaar | Twee gebeurtenissen die niet tegelijk kunnen plaatsvinden. “Via A bij B uitkomen” en “via niet A bij B uitkomen” zijn onverenigbaar, dus in de wet van de totale kans mag je ze gewoon optellen. |
| onafhankelijk | Als de ene uitkomst niets verandert aan de kans op de andere. In termen van voorwaardelijke kans zijn A en B onafhankelijk als \(P(B \mid A) = P(B)\) (weten dat A gebeurde verandert de kans op B niet). |
| fout-positief | Een testuitslag die “positief” zegt terwijl de persoon de aandoening niet echt heeft. Ook als het percentage fout-positieve uitslagen klein is, kan het aantal fout-positieve uitslagen groter zijn dan het aantal echt-positieve als de meeste mensen de aandoening niet hebben. |
| boomdiagram | Een diagram dat de mogelijke gevallen uitlegt als de takken van een boom. Je schrijft op elke tak een kans en door langs een pad te vermenigvuldigen krijg je de kans op die route. Het is het beste diagram om voorwaardelijke kans en de stelling van Bayes met het oog te volgen. |
Handig om vooraf te weten
Dit helpt je om de berekening op deze pagina met echt begrip te gebruiken en niet alleen op de knop te drukken.
Kom je er niet uit, dan kom je het snelst verder door de onderwerpen in deze lijst nog eens door te nemen.
| Basisbegrippen kans (klas 1-2, 12-14 jaar) |
|
| Procenten en kommagetallen (groep 7, 10-11 jaar) |
|
| Breuken vermenigvuldigen en delen (groep 8, 11-12 jaar) |
|
| Mogelijkheden tellen en boomdiagrammen (klas 2-3, 13-15 jaar) |
|
| Verzamelingen en venndiagrammen (bovenbouw havo/vwo, vanaf 15 jaar) |
|
Berekenen met Excel
Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Excel. Het werkt direct.
Tabel om de voorwaardelijke kans P(B|A) te berekenen
| Kans op A, P(A) | 0,5 |
| A en B allebei, P(A∩B) | 0,2 |
| Voorwaardelijke kans P(B|A) | =B2/B1 |
Tabel om de kans te berekenen dat beide gebeuren, P(A∩B) (productregel)
| Kans op A, P(A) | 0,5 |
| B gegeven A, P(B|A) | 0,4 |
| A en B allebei, P(A∩B) | =B1*B2 |
Tabel om de kans op B, P(B), te berekenen (wet van de totale kans)
| Kans op oorzaak A, P(A) | 0,01 |
| B gegeven A, P(B|A) | 0,9 |
| B gegeven niet A, P(B|A') | 0,09 |
| Kans op B, P(B) | =B1*B2+(1-B1)*B3 |
Tabel om de kans op de oorzaak, P(A|B), te berekenen (stelling van Bayes)
| Kans op oorzaak A, P(A) | 0,01 |
| B gegeven A, P(B|A) | 0,9 |
| B gegeven niet A, P(B|A') | 0,09 |
| A en B allebei, P(A∩B) | =B1*B2 |
| Kans op B, P(B) | =B4+(1-B1)*B3 |
| Oorzaak is A, gegeven B, P(A|B) | =B4/B5 |
Na het plakken staan de namen in kolom A en de getallen in kolom B. De bovenste rijen zijn je invoer en de formules in de onderste rijen rekenen daarmee.
In een formule betekenen “B1” en “B2” “gebruik het getal in die cel”, is “*” vermenigvuldigen en is “/” delen.
De eerste tabel geeft 0,2 ÷ 0,5 = 0,4 en de tweede geeft 0,5 × 0,4 = 0,2.
De derde tabel geeft 0,01 × 0,9 + 0,99 × 0,09 = 0,0981, de kans op een positieve test opgeteld per route.
In de vierde tabel is B4 gelijk aan 0,009 en B5 gelijk aan 0,0981 en de laatste cel, B6, is 0,009 ÷ 0,0981 ≈ 0,0917 (ongeveer 9,2%).
In een formule betekenen “B1” en “B2” “gebruik het getal in die cel”, is “*” vermenigvuldigen en is “/” delen.
De eerste tabel geeft 0,2 ÷ 0,5 = 0,4 en de tweede geeft 0,5 × 0,4 = 0,2.
De derde tabel geeft 0,01 × 0,9 + 0,99 × 0,09 = 0,0981, de kans op een positieve test opgeteld per route.
In de vierde tabel is B4 gelijk aan 0,009 en B5 gelijk aan 0,0981 en de laatste cel, B6, is 0,009 ÷ 0,0981 ≈ 0,0917 (ongeveer 9,2%).
Berekenen met Google Spreadsheets
Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Google Spreadsheets. Het werkt direct.
Tabel om de voorwaardelijke kans P(B|A) te berekenen
| Kans op A, P(A) | 0,5 |
| A en B allebei, P(A∩B) | 0,2 |
| Voorwaardelijke kans P(B|A) | =B2/B1 |
Tabel om de kans te berekenen dat beide gebeuren, P(A∩B) (productregel)
| Kans op A, P(A) | 0,5 |
| B gegeven A, P(B|A) | 0,4 |
| A en B allebei, P(A∩B) | =B1*B2 |
Tabel om de kans op B, P(B), te berekenen (wet van de totale kans)
| Kans op oorzaak A, P(A) | 0,01 |
| B gegeven A, P(B|A) | 0,9 |
| B gegeven niet A, P(B|A') | 0,09 |
| Kans op B, P(B) | =B1*B2+(1-B1)*B3 |
Tabel om de kans op de oorzaak, P(A|B), te berekenen (stelling van Bayes)
| Kans op oorzaak A, P(A) | 0,01 |
| B gegeven A, P(B|A) | 0,9 |
| B gegeven niet A, P(B|A') | 0,09 |
| A en B allebei, P(A∩B) | =B1*B2 |
| Kans op B, P(B) | =B4+(1-B1)*B3 |
| Oorzaak is A, gegeven B, P(A|B) | =B4/B5 |
Dezelfde formules als in Excel werken ook hier. Kopieer de hele tabel en plak die in cel A1. De bovenste rijen zijn je invoer en de onderste rijen zijn de berekende resultaten.
Vervang de getallen gewoon door je eigen kansen.
Vervang de getallen gewoon door je eigen kansen.
Berekenen met Python
from fractions import Fraction
# ===== Voorwaardelijke kans P(B|A) = P(A∩B) ÷ P(A) =====
p_a = Fraction(1, 2) # P(A): kans op de gegeven gebeurtenis A
p_a_and_b = Fraction(1, 3) # P(A∩B): kans dat beide gebeuren
p_b_given_a = p_a_and_b / p_a
print(f"Voorwaardelijke kans P(B|A): {p_b_given_a} = {float(p_b_given_a):.4f}")
# ===== Stelling van Bayes (de noemer wordt opgebouwd met de wet van de totale kans) =====
prior = Fraction(1, 100) # P(A): kans op oorzaak A (a-priorikans)
p_b_given_a2 = Fraction(90, 100) # P(B|A): kans op B gegeven A
p_b_given_not_a = Fraction(9, 100) # P(B|A'): kans op B gegeven niet A
p_joint = prior * p_b_given_a2 # P(A∩B)
p_b = p_joint + (1 - prior) * p_b_given_not_a # P(B) (wet van de totale kans)
posterior = p_joint / p_b # P(A|B) (a-posteriorikans)
print(f"Kans op B, P(B): {p_b} = {float(p_b):.4f}")
print(f"Kans dat de oorzaak A is, P(A|B): {posterior} = {float(posterior):.4f}")
Met de module fractions uit de standaardbibliotheek reken je met exacte breuken en zonder afrondingsfouten van decimale getallen. Als je het uitvoert, verschijnt de voorwaardelijke kans als “2/3” en toont het voorbeeld met de stelling van Bayes P(B) = 981/10000 (0,0981) en P(A|B) = 10/109 (ongeveer 0,0917). Pas de waarden van de kansen aan en voer het uit (0,5 kun je als breuk schrijven, zoals Fraction(5, 10)).
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
Voorwaardelijke kans
P(B|A) = P(A∩B) / P(A)
P(B \mid A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>B</mi><mo>∣</mo><mi>A</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>∩</mo><mi>B</mi><mo>)</mo></mrow>
<mrow><mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
P(B | A) = P(A nn B) / P(A)
pAandB/pA
pBgivenA := pAandB/pA;
p_b_given_a = p_a_and_b/p_a;
P(B|A) = P(A∩B)/P(A)
Productregel (kans dat beide gebeuren)
P(A∩B) = P(A) × P(B|A)
P(A \cap B) = P(A) \times P(B \mid A)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>∩</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo>
<mo>×</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>B</mi><mo>∣</mo><mi>A</mi><mo>)</mo>
</mrow>
</math>
P(A nn B) = P(A) xx P(B | A)
pA*pBgivenA
pAandB := pA*pBgivenA;
p_a_and_b = p_a*p_b_given_a;
P(A∩B) = P(A) × P(B|A)
Wet van de totale kans (tel de routes naar B op)
P(B) = P(A) × P(B|A) + P(A′) × P(B|A′)
P(B) = P(A)\,P(B \mid A) + P(A')\,P(B \mid A')
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>)</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>B</mi><mo>∣</mo><mi>A</mi><mo>)</mo>
<mo>+</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo>
<msup><mi>A</mi><mo>′</mo></msup>
<mo>)</mo>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>B</mi><mo>∣</mo>
<msup><mi>A</mi><mo>′</mo></msup>
<mo>)</mo>
</mrow>
</math>
P(B) = P(A) xx P(B | A) + P(A') xx P(B | A')
pA*pBgivenA + (1 - pA)*pBgivenNotA
pB := pA*pBgivenA + (1 - pA)*pBgivenNotA;
p_b = p_a*p_b_given_a + (1 - p_a)*p_b_given_not_a;
P(B) = P(A)P(B|A) + P(A′)P(B|A′)
Stelling van Bayes (van een uitkomst terugrekenen naar de oorzaak)
P(A|B) = P(A∩B) / P(B)
P(A \mid B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{P(A)\,P(B \mid A)}{P(A)\,P(B \mid A) + P(A')\,P(B \mid A')}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>∣</mo><mi>B</mi><mo>)</mo>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>P</mi><mo>(</mo><mi>A</mi><mo>∩</mo><mi>B</mi><mo>)</mo></mrow>
<mrow><mi>P</mi><mo>(</mo><mi>B</mi><mo>)</mo></mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
P(A | B) = P(A nn B) / P(B)
pA*pBgivenA/(pA*pBgivenA + (1 - pA)*pBgivenNotA)
pAgivenB := pAandB/pB;
p_a_given_b = p_a_and_b/p_b;
P(A|B) = P(A∩B)/P(B)
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
Je bent een assistent voor kansrekening (voorwaardelijke kans en de stelling van Bayes). Voer de volgende berekening uit door daadwerkelijk Python-code te draaien en baseer je antwoord alleen op de getallen uit het resultaat van de uitvoering (antwoord niet uit je hoofd of op basis van een gok). De kans op oorzaak A (de a-priorikans) is 1%. De kans op uitkomst B als A gebeurt, P(B|A), is 90%. De kans op B als A niet gebeurt, P(B|A'), is 9%. Bereken elk van de volgende kansen: 1. De kans dat zowel A als B gebeurt, P(A∩B) 2. De kans op B, P(B) (met de wet van de totale kans, en toon ook de verdeling per route) 3. De kans dat de oorzaak A is, gegeven dat B gebeurde, P(A|B) (stelling van Bayes, toon het zowel als breuk in de eenvoudigste vorm als als decimaal getal) Gebruik in Python de module fractions uit de standaardbibliotheek om exact te rekenen en toon de formules die je hebt gebruikt en de getallen uit het resultaat van de uitvoering in een tabel.
Zo werkt het
-
1Vul je getallen inTyp de getallen waarmee je wilt rekenen in de invoervelden
-
2BerekenKlik op de knop “Berekenen”
-
3Bekijk het resultaatHet resultaat verschijnt meteen. Op dezelfde pagina vind je ook de uitwerking van de berekening en de uitleg van de formule
Kenmerken van DataChef
Eenvoudig en gratis
Onbeperkt gratis converteren
Geen voorkennis nodig – intuïtieve en eenvoudige bediening
Geen voorkennis nodig – intuïtieve en eenvoudige bediening
Geen registratie nodig
Direct te gebruiken
Zonder persoonlijke gegevens op te geven
Zonder persoonlijke gegevens op te geven
Veilig en betrouwbaar
Sterk versleutelde verbinding (SSL)
Bestand wordt automatisch verwijderd zodra je op "Downloaden" klikt
Bestand wordt automatisch verwijderd zodra je op "Downloaden" klikt
Snel
Snelle laadtijden en snelle conversie
Zonder watermerk
Geen watermerk
Geen bronvermelding vereist
Geen bronvermelding vereist
Commercieel gebruik toegestaan
Gratis voor commercieel gebruik
Geen toestemming vooraf nodig
Geen toestemming vooraf nodig
Gerelateerde functies
Kans op twee gebeurtenissen (en, of, geen van beide)
Berekent uit twee kansen de kans dat beide gebeuren, dat minstens één gebeurt en meer
Kans bij herhaling (n keer achter elkaar, minstens één keer)
Berekent de kans dat iets n keer achter elkaar gebeurt, of minstens één keer in n pogingen
