Verwachtingswaarde berekenen (gemiddelde, variantie, standaardafwijking)

Vul volgens je tabel met de kansverdeling elke mogelijke waarde x en zijn kans p in, rij voor rij. Het lichtgrijze voorbeeld is de prijs van één kraslot (€ 0 met 70%, € 1 met 20%, € 5 met 9% en € 100 met 1%).

Aantal rijen (paren van waarde en kans)

Waarde x₁

Kans p₁

Waarde x₂

Kans p₂

Waarde x₃

Kans p₃

Waarde x₄

Kans p₄

Waarde x₅

Kans p₅

Waarde x₆

Kans p₆

Waarde x₇

Kans p₇

Waarde x₈

Kans p₈

Waarde x₉

Kans p₉

Waarde x₁₀

Kans p₁₀

Vul alleen getallen in. Een kans kun je invoeren als 0,2, 20% of 1/5 en de kansen in alle rijen moeten samen 1 zijn. Waarden mogen ook negatief zijn (een verlies). Laat bij rijen die je niet gebruikt zowel “waarde” als “kans” leeg.

Resultaat en grafiek

Vul links paren van waarden en kansen in en klik op “Berekenen”. Het resultaat en een grafiek verschijnen hier.

Inhoudsopgave

[ SLUITEN ]

Wat je op deze pagina kunt doen
Waarvoor is deze berekening handig?
Zo werkt het
Formules en grafiek
Symbolen en begrippen
- Symbolen
- Begrippen
Handig om vooraf te weten
Berekenen met Excel
Berekenen met Google Spreadsheets
Berekenen met Python
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
Kenmerken van DataChef
Gerelateerde functies
Alle rekenmachines van NumberChef

Wat je op deze pagina kunt doen

Vul een tabel met de kansverdeling in (paren van een mogelijke waarde \(x\) en zijn kans \(p\), 2 tot 10 rijen) en je krijgt meteen de verwachtingswaarde \(E(X)\), de variantie \(\mathrm{Var}(X)\) en de standaardafwijking \(\sigma(X)\)
Antwoorden worden getoond als breuk in de eenvoudigste vorm (de exacte waarde), zoals \(\dfrac{7}{2}\), en als decimaal getal. Je ziet ook de stappen, met jouw getallen ingevuld in \(E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots\)
Het controleert automatisch of de kansen samen precies 1 zijn. Zo niet, dan zegt het wat het huidige totaal is
Je kunt een kans invoeren als 0,2, 20% of 1/5. Waarden mogen ook negatief zijn (een verlies)
Het resultaat bevat een staafdiagram van de kansverdeling, met de verwachtingswaarde \(E(X)\) aangegeven met een verticale stippellijn

Deze pagina behandelt stochasten met een eindig aantal mogelijke waarden (discrete stochasten). Stochasten die continue waarden aannemen, zoals lichaamslengte, worden niet ondersteund.

Waarvoor is deze berekening handig?

Een getal plakken op “wat je per lot terugkrijgt” bij loterijen en lootboxen

De verwachtingswaarde, “prijs × kans om die te winnen” opgeteld over alle prijzen, is precies de gemiddelde opbrengst per lot. Bij een Nederlandse loterij als de Staatsloterij gaat minstens 60% van de inleg naar geldprijzen (Nederlandse Loterij, 2026), dus de verwachtingswaarde van een lot is lager dan de prijs ervan.
Je kunt dezelfde berekening maken voor lootboxen in videogames. Met de gepubliceerde winkansen (kansen) is het de basis om in te schatten “ongeveer hoeveel het kost om het voorwerp te krijgen dat je wilt”.

De premie van een verzekering vaststellen (de basis van de prijszetting door verzekeraars)

Premies voor een levens- of autoverzekering beginnen bij het verwachte uitgekeerde bedrag: “elke schade-uitkering × de kans op dat ongeval of die ziekte”, opgeteld. Daar komen bedrijfskosten en andere bedragen bovenop. Er is een heel beroep, de actuaris, dat zich op dit soort berekeningen richt.
Vanuit de klant gezien is een verzekering een deal waarbij je gemiddeld (qua verwachtingswaarde) meer betaalt dan je terugkrijgt. Wat je koopt is gemoedsrust tegen een zeldzaam maar groot verlies.

Het rendement en het risico van beleggingen met dezelfde maatstaf vergelijken

Bij beleggen is het gebruikelijk om de verwachtingswaarde van het rendement te zien als “de winst waarop je kunt rekenen” en de standaardafwijking als “het risico (de grootte van de schommelingen)”. Hebben twee beleggingen hetzelfde verwachte rendement, dan beweegt die met de kleinere standaardafwijking rustiger op en neer.
Het idee op deze pagina, kijken naar “hoe hoog de verwachtingswaarde is” en “hoe groot de spreiding is” als twee aparte getallen, werkt rechtstreeks door in de echte financiële wereld.

Spelbalans (beloningen en schade ontwerpen)

Ontwerpers van bordspellen en videogames berekenen verwachtingswaarden, zoals “de som van twee dobbelstenen”, “de schade per aanval” en “de waarde van een voorwerp uit een schatkist”, om kracht en beloningen in balans te brengen.
“100 schade met 50% kans” en “altijd 50 schade” hebben bijvoorbeeld allebei een verwachtingswaarde van 50, maar hun variantie is verschillend, dus de twee zetten voelen anders aan. Ontwerpers stellen zowel de verwachtingswaarde als de spreiding af om de ervaring te creëren die ze willen.

Formules en grafiek

Verwachtingswaarde (gemiddelde van een stochast)

Grafiek

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(E(X)\) \(=\) \(x_1\) \(\times\) \(p_1\) \(+\) \(\cdots\) \(+\) \(x_n\) \(\times\) \(p_n\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

③ \(E(X)\): verwachtingswaarde \(=\) ① \(x_1\): eerste waarde \(\times\) ② \(p_1\): bijbehorende kans \(+\) \(\cdots\) \(+\) \(x_n\): laatste waarde \(\times\) \(p_n\): bijbehorende kans

De formule in woorden

① Neem alle \(x_1,\ x_2,\ \dots,\ x_n\): mogelijke waarden

② vermenigvuldig elk daarvan met de \(p_1,\ p_2,\ \dots,\ p_n\): kansen op die waarden en tel alles op

③ en je krijgt \(E(X)\): verwachtingswaarde

Een eenvoudig voorbeeld

De verwachtingswaarde van het aantal ogen \(X\) dat je krijgt als je één keer met een dobbelsteen gooit (elk aantal ogen heeft kans \(\dfrac{1}{6}\)) is

\(E(X)\): verwacht aantal ogen \(=\) ogen 1 \(\times\) kans \(\frac{1}{6}\) \(+\) \(\cdots\) \(+\) ogen 6 \(\times\) kans \(\frac{1}{6}\)

\(E(X) = 1 \times \dfrac{1}{6} + 2 \times \dfrac{1}{6} + 3 \times \dfrac{1}{6} + 4 \times \dfrac{1}{6} + 5 \times \dfrac{1}{6} + 6 \times \dfrac{1}{6}\)

\(E(X) = \dfrac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = \dfrac{21}{6} = \dfrac{7}{2} = 3{,}5\)

Het belangrijkste idee

De verwachtingswaarde vertelt je “gemiddeld, hoeveel je krijgt per keer”. Het is een gemiddelde gewogen met kansen (de som van elke waarde × hoe waarschijnlijk die is). Gooi je duizenden of tienduizenden keren met een dobbelsteen en neem je het gemiddelde van de aantallen ogen, dan komt dat gemiddelde steeds dichter bij deze 3,5 (de wet van de grote aantallen). Je kunt nooit echt 3,5 gooien. Het gaat erom dat je de verwachtingswaarde niet ziet als “een voorspelling van de volgende uitkomst” maar als “het gemiddelde per keer als je vaak herhaalt”. Zoals de grafiek hierboven laat zien, is de verwachtingswaarde het evenwichtspunt als je de kansverdeling ziet als gewichten langs een lijn.

Variantie (hoe ver de waarden uit elkaar liggen)

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(\mathrm{Var}(X)\) \(=\) \(E(X^{2})\) \(-\) \([E(X)]^{2}\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

③ \(\mathrm{Var}(X)\): variantie \(=\) ① \(E(X^2)\): gemiddelde van de kwadraten \(-\) ② \([E(X)]^2\): kwadraat van de verwachtingswaarde

De formule in woorden

① Neem het \(E(X^2)\): eerst kwadrateren, dan het gemiddelde

② trek daar het \([E(X)]^2\): eerst het gemiddelde, dan kwadrateren van af

③ en je krijgt \(\mathrm{Var}(X)\): variantie

Een eenvoudig voorbeeld

De variantie van het aantal ogen \(X\) bij een dobbelsteen (verwachtingswaarde \(E(X) = \dfrac{7}{2}\)) is

\(\mathrm{Var}(X)\): variantie van het aantal ogen \(=\) \(E(X^2)\): gemiddelde van de gekwadrateerde aantallen ogen \(-\) kwadraat van de verwachtingswaarde \(\left(\frac{7}{2}\right)^2\)

\(E(X^{2}) = 1^{2} \times \dfrac{1}{6} + 2^{2} \times \dfrac{1}{6} + 3^{2} \times \dfrac{1}{6} + 4^{2} \times \dfrac{1}{6} + 5^{2} \times \dfrac{1}{6} + 6^{2} \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{91}{6}\)

\(\mathrm{Var}(X) = \dfrac{91}{6} - \left(\dfrac{7}{2}\right)^{2} = \dfrac{182}{12} - \dfrac{147}{12} = \dfrac{35}{12}\)

Het belangrijkste idee

De variantie vertelt hoe ver de waarden rond de verwachtingswaarde uit elkaar liggen. De oorspronkelijke definitie kwadrateert elke afstand tot de verwachtingswaarde \(\mu = E(X)\) (de afwijking) en neemt daarvan het gemiddelde: \(\mathrm{Var}(X) = (x_1 - \mu)^2 p_1 + (x_2 - \mu)^2 p_2 + \cdots + (x_n - \mu)^2 p_n\). De betekenis, “het gemiddelde van de gekwadrateerde afwijkingen”, lees je rechtstreeks uit deze formule. De definitie vraagt echter voor elke rij een aftrekking van \(\mu\), en dat is veel werk. Herschrijven geeft de eenvoudiger vorm hierboven, \(\mathrm{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2\) (“het gemiddelde van de kwadraten min het kwadraat van het gemiddelde”), vaak de verkorte formule genoemd. Leerboeken gebruiken die voor de meeste echte berekeningen en deze rekenmachine toont de stappen ook met deze formule. Ook bij dezelfde verwachtingswaarde betekent een grotere variantie een verdeling met grotere schommelingen tussen winst en verlies. Een “lot dat altijd € 100 uitkeert” en een “lot dat met gelijke kans € 0 of € 200 uitkeert” hebben bijvoorbeeld allebei een verwachtingswaarde van € 100, maar het tweede heeft een grotere variantie.

Standaardafwijking

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

\(\sigma(X)\) \(=\) \(\sqrt{\mathrm{Var}(X)}\)

② \(\sigma(X)\): standaardafwijking \(=\) ① positieve wortel van de variantie \(\mathrm{Var}(X)\)

De formule in woorden

① Neem de positieve wortel van de \(\mathrm{Var}(X)\): variantie

② en je krijgt \(\sigma(X)\): standaardafwijking

Een eenvoudig voorbeeld

De standaardafwijking van het aantal ogen \(X\) bij een dobbelsteen (variantie \(\mathrm{Var}(X) = \dfrac{35}{12}\)) is

\(\sigma(X)\): standaardafwijking van het aantal ogen \(=\) positieve wortel van de variantie \(\frac{35}{12}\)

\(\sigma(X) = \sqrt{\dfrac{35}{12}} \approx 1{,}71\)

Het belangrijkste idee

De variantie is het gemiddelde van “gekwadrateerde afwijkingen”, dus ook de eenheden zijn gekwadrateerd (is de prijs in euro, dan is de variantie in euro × euro). Daardoor is het moeilijk om een gevoel te krijgen voor de grootte van de spreiding, dus neem je de wortel om terug te keren naar de oorspronkelijke eenheden. Dat is de standaardafwijking. Kijk je er samen met de verwachtingswaarde naar, zoals bij “een kraslot met een verwachtingswaarde van € 1,65 en een standaardafwijking van ongeveer € 9,99”, dan kun je in dezelfde eenheden vergelijken “hoe groot de schommelingen rond het gemiddelde zijn”.

De verwachtingswaarde \(E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n\) is een gemiddelde gewogen met kansen: tel “elke waarde × zijn kans” op. De spreiding meet je met de variantie \(\mathrm{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2\) en de wortel daarvan, de standaardafwijking \(\sigma(X)\).

Symbolen en begrippen

Symbolen

\(X\)	hoofdletter X	Een stochast: een variabele waarvan de waarde wordt bepaald door de uitkomst van een kansexperiment, zoals het aantal ogen bij een worp met een dobbelsteen. Omdat het een “bakje voor een uitkomst” is waarvan de inhoud nog niet vaststaat, schrijf je hem met een hoofdletter om hem te onderscheiden van gewone variabelen.
\(x_1,\ x_2,\ \dots,\ x_n\)	x één, x twee, ..., x n	Elk van de mogelijke waarden van de stochast \(X\). Het kleine getal rechtsonder (de index) geeft alleen aan de hoeveelste waarde in de lijst het is en heeft niets met de waarde zelf te maken.
\(p_1,\ p_2,\ \dots,\ p_n\)	p één, p twee, ..., p n	De kans op elke waarde. De \(p\) komt van het Engelse woord “probability” (kans). Samen zijn ze altijd 1.
\(n\)	n	Het aantal mogelijke waarden (het aantal rijen in de tabel met de kansverdeling). De letter \(n\) wordt vaak gebruikt voor een aantal.
\(E(X)\)	E van X	De verwachtingswaarde van de stochast \(X\). De \(E\) is de eerste letter van “expectation” (verwachting). Het staat voor één getal, “de verwachtingswaarde van \(X\)”, en is dus niet \(E\) keer \(X\).
\(\mu\)	mu	De Griekse letter die vaak wordt gebruikt voor de verwachtingswaarde (het gemiddelde). Leerboeken stellen \(\mu = E(X)\) om de definitie van de variantie korter op te schrijven.
\(\mathrm{Var}(X)\)	variantie van X	De variantie van de stochast \(X\). Het is het gemiddelde van de gekwadrateerde afstanden tot de verwachtingswaarde (de afwijkingen) en laat zien hoe ver de waarden uit elkaar liggen. In sommige boeken staat ook \(V(X)\) of \(\sigma^2\).
\(\sigma(X)\)	sigma van X	De standaardafwijking van de stochast \(X\). De \(\sigma\) is de Griekse kleine letter sigma, de Griekse “s” van “standaardafwijking”. Het is de positieve wortel van de variantie. Ook geschreven als \(\sigma\) of SD(X).
\(X^2\)	X kwadraat	Een nieuwe stochast die je krijgt door de waarde van \(X\) te kwadrateren. \(E(X^2)\) betekent “kwadrateer eerst elke mogelijke waarde en neem dan het met kansen gewogen gemiddelde”.
\(\sqrt{\phantom{0}}\)	wortel (wortelteken)	Het symbool voor het getal (0 of meer) dat in het kwadraat het getal eronder geeft, de positieve wortel. Bijvoorbeeld \(\sqrt{9} = 3\). De standaardafwijking vind je door de variantie onder dit symbool te zetten.

Begrippen

stochast	Een variabele waarvan de waarde wordt bepaald door de uitkomst van een kansexperiment (een experiment of waarneming waarvan de uitkomst van het toeval afhangt), zoals het aantal ogen bij een dobbelsteen of de prijs van een kraslot. Je schrijft hem meestal met een hoofdletter \(X\).
kansverdeling	De lijst die bij elke mogelijke waarde van een stochast de bijbehorende kans zet. Als tabel opgeschreven heet het een tabel met de kansverdeling en de invoervelden op deze pagina nemen die tabel precies zo over.
kansexperiment	Een experiment of waarneming die je onder dezelfde omstandigheden kunt herhalen en waarvan de uitkomst van het toeval afhangt, zoals een dobbelsteen gooien of een lot trekken.
verwachtingswaarde	Het gemiddelde van een stochast. Het is elke waarde maal zijn kans, alles opgeteld, en het komt dicht bij “het gemiddelde per keer” als je het kansexperiment vaak herhaalt. Het symbool is \(E(X)\) of \(\mu\).
gewogen gemiddelde	Een gemiddelde waarbij elke waarde eerst met een “gewicht” wordt vermenigvuldigd voordat je optelt, in plaats van gewoon op te tellen en te delen door het aantal. De verwachtingswaarde is een gewogen gemiddelde met de kansen als gewichten.
variantie	Een maat voor hoe ver de waarden uit elkaar liggen. Je kwadrateert de afstanden tot de verwachtingswaarde (de afwijkingen) en neemt het gemiddelde, gewogen met de kansen. Het symbool is \(\mathrm{Var}(X)\).
standaardafwijking	De positieve wortel van de variantie. Anders dan de variantie heeft hij dezelfde eenheid als de oorspronkelijke waarden, dus je vergelijkt makkelijker hoe ver de waarden uit elkaar liggen. Het symbool is \(\sigma(X)\).
afwijking	Hoe ver een waarde van de verwachtingswaarde af ligt, \(x - \mu\). Afwijkingen zijn een mengsel van positieve en negatieve getallen en hun gewone gemiddelde is altijd 0, dus de variantie kwadrateert ze voordat het gemiddelde wordt genomen.
wet van de grote aantallen	De regel dat het gemiddelde van de werkelijke uitkomsten steeds dichter bij de verwachtingswaarde komt naarmate je een kansexperiment vaker herhaalt. Het is de basis om de verwachtingswaarde te lezen als “het gemiddelde per keer bij veel herhalingen”.
discrete stochast	Een stochast waarvan de mogelijke waarden losse punten zijn (een eindig aantal waarden of hele getallen), zoals het aantal ogen bij een dobbelsteen (1 tot 6). Deze pagina behandelt dit type. Een stochast die continue waarden aanneemt, zoals lichaamslengte, heet een continue stochast en daarvan vind je de verwachtingswaarde met een integraal.

Handig om vooraf te weten

Dit helpt je om de berekening op deze pagina met echt begrip te gebruiken en niet alleen op de knop te drukken.
Kom je er niet uit, dan kom je het snelst verder door de onderwerpen in deze lijst nog eens door te nemen.

Basisbegrippen kans (klas 1-2, 12-14 jaar)	Weten dat een kans een getal van 0 tot 1 is dat laat zien hoe waarschijnlijk iets is (kans \(\dfrac{1}{6}\) = gebeurt ongeveer 1 keer op de 6) Kansen kunnen vinden door de mogelijke uitkomsten op te sommen, bij dobbelstenen, munten en loten Weten dat de kansen van alle mogelijke uitkomsten samen altijd 1 zijn
Rekenen met breuken en kommagetallen (groep 6-8, 9-12 jaar)	Breuken kunnen vermenigvuldigen en optellen (met een gelijke noemer), bijvoorbeeld \(1 \times \dfrac{1}{6} + 2 \times \dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\) Kunnen wisselen tussen breuken, kommagetallen en procenten (\(\dfrac{1}{5} = 0{,}2 = 20\%\))
Het gemiddelde (groep 7 en klas 1, 10-13 jaar)	Weten dat gemiddelde = totaal ÷ aantal Het verschil kunnen voorstellen tussen een gewoon gemiddelde, zoals het gemiddelde cijfer van een klas, en een gewogen gemiddelde waarbij waarschijnlijkere waarden zwaarder meetellen
Kwadraten en wortels (klas 2-3, 13-15 jaar)	Weten wat kwadrateren (een getal met zichzelf vermenigvuldigen) en het omgekeerde, de wortel \(\sqrt{\phantom{0}}\), betekenen (bijvoorbeeld \(\sqrt{9} = 3\)) Weten dat het kwadraat van een negatief getal positief is (\((-2)^{2} = 4\))
Gegevens beschrijven (statistiek, klas 3-4, 14-16 jaar)	Het gemiddelde, de variantie en de standaardafwijking van een gegevensverzameling hebben berekend (deze pagina is de “kansverdeling-versie” daarvan, die je in de bovenbouw van havo en vwo en later in het hoger onderwijs tegenkomt) Weten dat de variantie en de standaardafwijking meten hoe ver de waarden uit elkaar liggen

Berekenen met Excel

Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Excel. Het werkt direct.

Tabel om de verwachtingswaarde E(X) te berekenen (voorbeeld met een kraslot)

Waarde x₁ (niet-winnend lot, € 0)	0
Kans p₁	0,7
Waarde x₂ (prijs € 1)	1
Kans p₂	0,2
Waarde x₃ (prijs € 5)	5
Kans p₃	0,09
Waarde x₄ (prijs € 100)	100
Kans p₄	0,01
Som van de kansen (controleer of het 1 is)	=B2+B4+B6+B8
Verwachtingswaarde E(X)	=B1B2+B3B4+B5B6+B7B8

Tabel om de variantie Var(X) te berekenen (voorbeeld met een kraslot)

Waarde x₁	0
Kans p₁	0,7
Waarde x₂	1
Kans p₂	0,2
Waarde x₃	5
Kans p₃	0,09
Waarde x₄	100
Kans p₄	0,01
Verwachtingswaarde E(X)	=B1B2+B3B4+B5B6+B7B8
Gemiddelde van de kwadraten E(X²)	=B1^2B2+B3^2B4+B5^2B6+B7^2B8
Variantie Var(X) = E(X²) − [E(X)]²	=B10-B9^2

Tabel om de standaardafwijking σ(X) te berekenen

Variantie Var(X)	99,7275
Standaardafwijking σ(X) = √Var(X)	=WORTEL(B1)

Na het plakken zijn de bovenste rijen (waarden en kansen) je invoer en worden de onderste rijen automatisch berekend. “*” is vermenigvuldigen, “^2” betekent kwadraat en WORTEL is de functie voor de vierkantswortel.
De eerste tabel is het voorbeeld met een kraslot (€ 0 met 70%, € 1 met 20%, € 5 met 9% en € 100 met 1%). De som van de kansen is 1 en de verwachtingswaarde is 1,65 (euro).
De tweede tabel is de variantie van hetzelfde kraslot: het gemiddelde van de kwadraten, 102,45, min het kwadraat van de verwachtingswaarde, 2,7225, is 99,7275.
De derde tabel berekent uit die variantie de standaardafwijking, ongeveer 9,99 (euro). Wil je rijen toevoegen, voeg dan meer paren van waarde en kans toe en breid het deel “B1*B2+…” van de formules op dezelfde manier uit.

Berekenen met Google Spreadsheets

Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Google Spreadsheets. Het werkt direct.

Tabel om de verwachtingswaarde E(X) te berekenen (voorbeeld met een kraslot)

Waarde x₁ (niet-winnend lot, € 0)	0
Kans p₁	0,7
Waarde x₂ (prijs € 1)	1
Kans p₂	0,2
Waarde x₃ (prijs € 5)	5
Kans p₃	0,09
Waarde x₄ (prijs € 100)	100
Kans p₄	0,01
Som van de kansen (controleer of het 1 is)	=B2+B4+B6+B8
Verwachtingswaarde E(X)	=B1B2+B3B4+B5B6+B7B8

Tabel om de variantie Var(X) te berekenen (voorbeeld met een kraslot)

Waarde x₁	0
Kans p₁	0,7
Waarde x₂	1
Kans p₂	0,2
Waarde x₃	5
Kans p₃	0,09
Waarde x₄	100
Kans p₄	0,01
Verwachtingswaarde E(X)	=B1B2+B3B4+B5B6+B7B8
Gemiddelde van de kwadraten E(X²)	=B1^2B2+B3^2B4+B5^2B6+B7^2B8
Variantie Var(X) = E(X²) − [E(X)]²	=B10-B9^2

Tabel om de standaardafwijking σ(X) te berekenen

Variantie Var(X)	99,7275
Standaardafwijking σ(X) = √Var(X)	=WORTEL(B1)

Dezelfde formules als in Excel werken ook hier. Kopieer de hele tabel, plak die in cel A1 en vervang de waarden en kansen door je eigen getallen.

Berekenen met Python

from fractions import Fraction

# Tabel met de kansverdeling (paren van waarde en kans). Voorbeeld met een kraslot: de prijs en de kans om die te winnen
# Een kans als breuk kun je schrijven als Fraction(1, 6)
values = [Fraction(0), Fraction(1), Fraction(5), Fraction(100)]
probabilities = [Fraction("0.7"), Fraction("0.2"), Fraction("0.09"), Fraction("0.01")]

# Controleer of de kansen samen 1 zijn
total = sum(probabilities)
if total != 1:
    raise ValueError(f"De kansen zijn samen niet 1 (totaal: {total})")

# Verwachtingswaarde E(X) = Σ x_i p_i
mean = sum(x * p for x, p in zip(values, probabilities))
# Gemiddelde van de kwadraten E(X²) en variantie Var(X) = E(X²) − [E(X)]²
mean_of_squares = sum(x * x * p for x, p in zip(values, probabilities))
variance = mean_of_squares - mean * mean
# Standaardafwijking σ(X) = √Var(X)
std_dev = float(variance) ** 0.5

print(f"Verwachtingswaarde E(X): {mean} = {float(mean)}")
print(f"Variantie Var(X): {variance} = {float(variance)}")
print(f"Standaardafwijking σ(X): {std_dev}")

Met de module fractions uit de standaardbibliotheek reken je met exacte breuken en zonder afrondingsfouten van decimale getallen. Dit voorbeeld is het kraslot (€ 0 met 70%, € 1 met 20%, € 5 met 9% en € 100 met 1%). Als je het uitvoert, toont het de verwachtingswaarde 33/20 = 1,65, de variantie 39891/400 = 99,7275 en de standaardafwijking van ongeveer 9,9864. Pas de waarden en kansen aan en voer het uit.

De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)

Verwachtingswaarde (gemiddelde van een stochast)

E(X) = x₁p₁ + x₂p₂ + … + xₙpₙ

E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + \cdots + x_n p_n

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>E</mi><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>)</mo>
    <mo>=</mo>
    <msub><mi>x</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>p</mi><mn>1</mn></msub>
    <mo>+</mo>
    <msub><mi>x</mi><mn>2</mn></msub><msub><mi>p</mi><mn>2</mn></msub>
    <mo>+</mo><mo>&#x22EF;</mo><mo>+</mo>
    <msub><mi>x</mi><mi>n</mi></msub><msub><mi>p</mi><mi>n</mi></msub>
  </mrow>
</math>

E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + cdots + x_n p_n

Total[x*p]

EX := add(x[i]*p[i], i = 1..n);

EX = sum(x .* p);

E(X) = x_1 p_1 + x_2 p_2 + … + x_n p_n

Variantie (hoe ver de waarden uit elkaar liggen)

Var(X) = E(X²) − [E(X)]²

\mathrm{Var}(X) = E(X^{2}) - [E(X)]^{2}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>Var</mi><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>)</mo>
    <mo>=</mo>
    <mi>E</mi><mo>(</mo><msup><mi>X</mi><mn>2</mn></msup><mo>)</mo>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <msup><mrow><mo>[</mo><mi>E</mi><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>)</mo><mo>]</mo></mrow><mn>2</mn></msup>
  </mrow>
</math>

Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2

Total[x^2*p] - Total[x*p]^2

VX := add(x[i]^2*p[i], i = 1..n) - EX^2;

VX = sum(x.^2 .* p) - EX^2;

Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2

Standaardafwijking

σ(X) = √Var(X)

\sigma(X) = \sqrt{\mathrm{Var}(X)}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>&#x3C3;</mi><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>)</mo>
    <mo>=</mo>
    <msqrt><mi>Var</mi><mo>(</mo><mi>X</mi><mo>)</mo></msqrt>
  </mrow>
</math>

sigma(X) = sqrt(Var(X))

Sqrt[Total[x^2*p] - Total[x*p]^2]

sigmaX := sqrt(VX);

sigmaX = sqrt(VX);

σ(X) = √(Var(X))

Zo laat je ChatGPT de berekening doen

Je bent een rekenassistent voor wiskunde (kansrekening en statistiek). Voer de volgende berekening uit door daadwerkelijk Python-code te draaien en baseer je antwoord alleen op de getallen uit het resultaat van de uitvoering (antwoord niet uit je hoofd of op basis van een gok).

De kansverdeling van een stochast X is gegeven in deze tabel.
Waarde x: 0, 1, 5, 100
Kans p: 0,7; 0,2; 0,09; 0,01

Geef elk van de volgende:
1. Een controle dat de kansen samen 1 zijn
2. De verwachtingswaarde E(X) (als breuk in de eenvoudigste vorm of als geheel getal, en ook als decimaal getal)
3. De variantie Var(X) (gebruik de formule E(X²) − [E(X)]² en toon ook de waarde van E(X²))
4. De standaardafwijking σ(X) (als decimaal getal)

Gebruik in Python de module fractions uit de standaardbibliotheek om exact te rekenen en toon de formules die je hebt gebruikt en de getallen uit het resultaat van de uitvoering.

Zo werkt het

1

Vul je getallen in

Typ de getallen waarmee je wilt rekenen in de invoervelden
2

Bereken

Klik op de knop “Berekenen”
3

Bekijk het resultaat

Het resultaat verschijnt meteen. Op dezelfde pagina vind je ook de uitwerking van de berekening en de uitleg van de formule