Kans bij herhaling (n keer achter elkaar, minstens één keer)

Vul de kans voor één keer en het aantal herhalingen in. Er wordt tegelijk gerekend voor gebeurtenissen A en B en ook de kansen op hun combinaties worden getoond.

Kans op A per keer

Aantal keren voor A

Kans op B per keer

Aantal keren voor B

Vul kansen in als getallen van 0 tot 1 (25% is bijvoorbeeld 0,25) en het aantal herhalingen als gehele getallen van 1 tot 1.000. Wil je maar één gebeurtenis onderzoeken, vul dan toch tijdelijke waarden in voor gebeurtenis B (bijvoorbeeld 0,5 en 1).

Resultaat

Vul links de kansen en het aantal keren in en klik op “Berekenen”. Het resultaat verschijnt hier.

Inhoudsopgave

[ SLUITEN ]

Wat je op deze pagina kunt doen
Waarvoor is deze berekening handig?
Zo werkt het
Formule
Symbolen en begrippen
- Symbolen
- Begrippen
Handig om vooraf te weten
Berekenen met Excel
Berekenen met Google Spreadsheets
Berekenen met Python
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
Kenmerken van DataChef
Gerelateerde functies
Alle rekenmachines van NumberChef

Wat je op deze pagina kunt doen

Vul de kans voor één keer en het aantal keren dat je het kansexperiment herhaalt in en je ziet meteen de kans dat het \(n\) keer achter elkaar gebeurt
Ook de kans dat het minstens één keer gebeurt en de kans dat het nooit gebeurt rekent hij in één keer uit
Hij rekent met twee gebeurtenissen, A en B, tegelijk, dus je kunt ook combinaties vinden zoals “A gebeurt minstens één keer en B gebeurt nooit”
Een eenvoudige uitleg van de formules en kant-en-klare formules voor Excel, Google Spreadsheets en Python vind je ook op deze pagina

Dit werkt alleen als de kans elke keer hetzelfde is en de uitkomsten elkaar niet beïnvloeden (ze zijn onafhankelijk). Dobbelstenen, munten en lootboxen met gepubliceerde winkansen zijn prima. Het werkt niet als de kans van keer tot keer verandert, zoals bij “lootjes trekken zonder ze terug te leggen”.

Waarvoor is deze berekening handig?

De winkans bij lootboxen en prijstrekkingen in games inschatten

“Als ik een lootbox met 1% winkans 100 keer open, krijg ik het voorwerp minstens één keer.” In werkelijkheid is de kans op minstens één keer \(1 - 0{,}99^{100} \approx 0{,}634\) (63,4%), dus ongeveer 1 op de 3 spelers heeft na 100 keer nog niets.
Als je de formule voor “minstens één keer” kent, kun je je uitgaven en het aantal keren plannen met cijfers in plaats van onderbuikgevoel.

Niet in paniek raken door een “fout-positieve” uitslag bij een test (gezondheid)

Een test kan “positief” uitvallen terwijl je de ziekte niet hebt (een fout-positieve uitslag) en dat gebeurt bij elke test in een paar procent van de gevallen. Is dat 5% per test, dan is de kans op minstens één fout-positieve uitslag bij 10 keer testen \(1 - 0{,}95^{10} \approx 0{,}4\) (40%).
Weten dat een afwijkende uitslag niet hetzelfde is als de ziekte hebben, en dat bijna iedereen er één kan krijgen als een test vaak genoeg wordt herhaald, helpt je rustig te blijven als je wordt gevraagd terug te komen voor vervolgonderzoek. Bespreek een uitslag altijd met je huisarts of specialist. Het is een van de nuttigste manieren waarop deze formule een grote zorg met cijfers helpt ordenen.

Wat “eens in de 100 jaar” echt betekent (hoogwater en wateroverlast)

Een “eens in de 100 jaar”-hoogwater (of -bui) is een gebeurtenis met 1% kans in een willekeurig jaar. In het waterbeheer heet dat een herhalingstijd van 100 jaar. Over een hypotheek van 30 jaar is de kans op minstens één zo’n gebeurtenis \(1 - 0{,}99^{30} \approx 0{,}26\) (26%), meer dan 1 op de 4. (Echte beoordelingen van overstromingsrisico gebruiken uitgebreidere modellen, maar het idee is hetzelfde.)
Begrijp je deze formule, dan zie je dat “het is dit jaar niet gebeurd” je niet veilig maakt en dat de kans steeds verder oploopt naarmate de periode langer wordt. Dat helpt bij beslissingen, zoals maatregelen tegen wateroverlast bij je huis of het aanleggen van een noodpakket.

Kwaliteitscontrole (de kans dat elk onderdeel goed is)

In een product met 10 onderdelen met elk 0,5% uitval is de kans dat er geen enkel onderdeel defect is \((1 - 0{,}005)^{10} \approx 0{,}951\) (95,1%).
Hoe meer onderdelen, hoe kleiner de kans dat “elk onderdeel goed is”. Fabrikanten gebruiken deze formule om het slagingspercentage van het hele product in te schatten en terug te rekenen naar het toegestane uitvalpercentage per onderdeel.

Hoe vaak meedoen aan een prijsvraag of loterij voor een reële kans

Doe je 7 keer mee aan een trekking met 10% winkans, dan is de kans op minstens één keer winnen \(1 - 0{,}9^{7} \approx 0{,}52\) (52%), net boven de helft.
Als je kunt berekenen “hoeveel keer meedoen geeft me ongeveer 50% kans”, kun je makkelijker beslissen waar je je tijd en moeite in steekt.

Formule

Kans dat het \(n\) keer achter elkaar gebeurt

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

\(P\) \(=\) \(p\) \(n\)

③ \(P\): kans op \(n\) keer achter elkaar \(=\) ① \(p\): kans bij één keer ② \(n\): aantal herhalingen

De formule in woorden

① Neem \(p\): kans bij één keer

② vermenigvuldig dat met zichzelf, zo vaak als \(n\): aantal herhalingen

③ en je krijgt \(P\): kans op \(n\) keer achter elkaar

Een eenvoudig voorbeeld

De kans om met een munt (kans 0,5 op kop) 3 keer achter elkaar kop te gooien is

\(P\): 3 keer achter elkaar \(=\) één keer (0,5) herhalingen (3)

\(0{,}5 \times 0{,}5 \times 0{,}5 = 0{,}125\ \ (12{,}5\%)\)

Het belangrijkste idee

Deze formule werkt alleen als de kans elke keer hetzelfde is en niet afhangt van eerdere uitkomsten (de kansexperimenten zijn onafhankelijk). Dobbelstenen, munten en lootboxen met gepubliceerde winkansen zijn prima. Het werkt niet als de kans van keer tot keer verandert, zoals bij “lootjes trekken zonder ze terug te leggen”.

Kans dat het in \(n\) keer nooit gebeurt

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(P\) \(=\) \((1-p)\) \(n\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

③ \(P\): kans dat het nooit gebeurt \(=\) ① \((1-p)\): kans dat het bij één keer niet gebeurt ② \(n\): aantal herhalingen

De formule in woorden

① Neem \((1-p)\): kans dat het bij één keer niet gebeurt

② vermenigvuldig dat met zichzelf, zo vaak als \(n\): aantal herhalingen

③ en je krijgt \(P\): kans dat het nooit gebeurt

Een eenvoudig voorbeeld

Open je 4 keer een lootbox met 0,25 kans op een zeldzaam voorwerp, dan is de kans dat je alle 4 keer niets krijgt

\(P\): 4 keer niets \(=\) één keer niets (0,75) herhalingen (4)

\(0{,}75 \times 0{,}75 \times 0{,}75 \times 0{,}75 \approx 0{,}316\ \ (31{,}6\%)\)

Het belangrijkste idee

De kans dat het bij één keer niet gebeurt volgt uit het complement: 1 − (de kans dat het bij één keer wel gebeurt). Is de kans op een zeldzaam voorwerp 0,25, dan is de kans op niets \(1 - 0{,}25 = 0{,}75\).

Kans dat het in \(n\) keer minstens één keer gebeurt

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(P\) \(=\) \(1\) \(-\) \((1-p)\) \(n\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

④ \(P\): kans op minstens één keer \(=\) ③ \(1\): totale kans \(-\) ① \((1-p)\): kans dat het bij één keer niet gebeurt ② \(n\): aantal herhalingen

De formule in woorden

① Neem \((1-p)\): kans dat het bij één keer niet gebeurt

② vermenigvuldig dat met zichzelf, zo vaak als \(n\): aantal herhalingen om de kans te vinden dat het nooit gebeurt

③ trek dat af van \(1\): totale kans

④ en je krijgt \(P\): kans op minstens één keer

Een eenvoudig voorbeeld

Open je 4 keer een lootbox met 0,25 kans op een zeldzaam voorwerp, dan is de kans op minstens één zeldzaam voorwerp

\(P\): minstens één zeldzaam voorwerp \(=\) \(1\): totale kans \(-\) één keer niets (0,75) herhalingen (4)

\(0{,}75 \times 0{,}75 \times 0{,}75 \times 0{,}75 \approx 0{,}316\)

\(1 - 0{,}316 = 0{,}684\ \ (68{,}4\%)\)

Het belangrijkste idee

Als je “minstens één keer” rechtstreeks probeert te tellen, moet je “precies één keer”, “precies twee keer” enzovoort optellen en dat is veel werk. De tegenovergestelde kant (het complement), “nooit”, kost maar één formule. Die bereken je dus en trek je af van de totale kans 1. Dat is het sleutelidee van de formule. Meer herhalingen brengen de kans bovendien alleen maar dichter bij 1 (100%), maar ze bereikt nooit 100%. “Open je 100 keer een lootbox met 1% kans, dan is de kans op minstens één zeldzaam voorwerp maar ongeveer 63%.”

Bij herhaalde kansexperimenten is de basisregel: vermenigvuldig de kans voor één keer met zichzelf, zo vaak als je herhaalt. Voor “minstens één keer” is de truc om het complement, “gebeurt nooit”, te berekenen en van het totaal 1 af te trekken.

Symbolen en begrippen

Symbolen

\(p\)	p	De kans dat de gebeurtenis bij één keer plaatsvindt. (Voorbeeld: een lootbox met 0,25 kans op een zeldzaam voorwerp)
\(n\)	n	Het aantal herhalingen. (Voorbeeld: bij 4 keer openen is \(n = 4\))
\(p^n\)	p tot de macht n	\(n\) factoren \(p\) met elkaar vermenigvuldigd. De kleine \(n\) rechtsboven is de exponent en betekent “\(n\) keer vermenigvuldigen”. (Voorbeeld: \(0{,}5^3 = 0{,}5 \times 0{,}5 \times 0{,}5 = 0{,}125\))
\(1-p\)	1 min p	De kans dat de gebeurtenis bij één keer niet plaatsvindt (de kans op het complement).
\(P\)	hoofdletter P	De kans die je wilt vinden. Op deze pagina staat die voor dingen als de kans op \(n\) keer achter elkaar of de kans op minstens één keer.

Begrippen

gebeurtenis	Iets wat wel of niet gebeurt, zoals “een 6 gooien” of “een prijs winnen bij een loterij”. In de kansrekening noem je zulke uitkomsten gebeurtenissen.
kansexperiment	Eén keer uitvoeren van een handeling waarvan de uitkomst van het toeval afhangt, zoals één worp met een dobbelsteen of het trekken van één lootje. De formules op deze pagina gaan over hetzelfde kansexperiment dat \(n\) keer wordt herhaald.
onafhankelijk	Als een eerdere uitkomst niets verandert aan de kans op de volgende. Bij dobbelstenen en munten is de kans bij elke worp hetzelfde, hoe vaak je ook gooit, dus de worpen zijn onafhankelijk.
herhaald kansexperiment	Hetzelfde kansexperiment onder dezelfde omstandigheden vele keren uitvoeren. In de statistiek heten onafhankelijke herhalingen met twee uitkomsten (wel of niet gebeuren) bernoulli-experimenten en ze vormen de basis van de binomiale verdeling.
complement	De tegenovergestelde gebeurtenis, namelijk dat de gebeurtenis niet gebeurt. Het complement van “gebeurt minstens één keer” is “gebeurt nooit” en deze omzetting is de sleutel tot de derde formule op deze pagina.
macht (exponent)	Hetzelfde getal meerdere keren met zichzelf vermenigvuldigen. In \(0{,}5^3\) geeft het kleine getal rechtsboven (de exponent) aan hoe vaak je vermenigvuldigt.

Handig om vooraf te weten

Dit helpt je om de berekening op deze pagina met echt begrip te gebruiken en niet alleen op de knop te drukken.

Basisbegrippen kans (klas 1-2, 12-14 jaar)	Weten dat een kans een getal van 0 tot 1 is en dat de kans dat iets gebeurt en de kans dat het niet gebeurt samen 1 zijn Weten dat de kans op onafhankelijke gebeurtenissen die na elkaar plaatsvinden wordt gevonden door te vermenigvuldigen
Machten (klas 1-2, 12-14 jaar)	Weten dat “tot de \(n\)-de macht” betekent dat je hetzelfde getal \(n\) keer met zichzelf vermenigvuldigt, zoals in \(0{,}5^3 = 0{,}5 \times 0{,}5 \times 0{,}5\)
Het complement (klas 2-4, 13-16 jaar)	Kunnen inzien dat het tegenovergestelde van “gebeurt minstens één keer” is “gebeurt nooit” Weten dat je, als een kans moeilijk rechtstreeks te tellen is, de tegenovergestelde kant kunt berekenen en van 1 kunt aftrekken
Kommagetallen vermenigvuldigen (groep 7-8, 10-12 jaar)	Kommagetallen kunnen vermenigvuldigen, zoals in \(0{,}75 \times 0{,}75\) Een gevoel hebben voor hoe het antwoord steeds kleiner wordt als je telkens met een getal kleiner dan 1 vermenigvuldigt

Berekenen met Excel

Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Excel. Het werkt direct.

Tabel om de kans op n keer achter elkaar te berekenen

Kans bij één keer p	0,25
Aantal keren n	4
Kans op n keer achter elkaar	=B1^B2

Tabel om de kans te berekenen dat het in n keer nooit gebeurt

Kans bij één keer p	0,25
Aantal keren n	4
Kans dat het nooit gebeurt	=(1-B1)^B2

Tabel om de kans op minstens één keer te berekenen

Kans bij één keer p	0,25
Aantal keren n	4
Kans op minstens één keer	=1-(1-B1)^B2

Na het plakken zijn B1 en B2 je invoer en wordt B3 automatisch berekend.
“^” is het symbool voor een macht (hoe vaak je vermenigvuldigt). “=B1^B2” betekent “vermenigvuldig de waarde in B1 met zichzelf, B2 keer”.
In de derde tabel staat in B3 bijvoorbeeld ongeveer 0,684 (ongeveer 68%). Vervang B1 en B2 door je eigen getallen.

Berekenen met Google Spreadsheets

Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Google Spreadsheets. Het werkt direct.

Tabel om de kans op n keer achter elkaar te berekenen

Kans bij één keer p	0,25
Aantal keren n	4
Kans op n keer achter elkaar	=B1^B2

Tabel om de kans te berekenen dat het in n keer nooit gebeurt

Kans bij één keer p	0,25
Aantal keren n	4
Kans dat het nooit gebeurt	=(1-B1)^B2

Tabel om de kans op minstens één keer te berekenen

Kans bij één keer p	0,25
Aantal keren n	4
Kans op minstens één keer	=1-(1-B1)^B2

Dezelfde formules als in Excel werken ook hier. Kopieer de hele tabel, plak die in cel A1 en vervang B1 en B2 door je eigen getallen.

Berekenen met Python

probability_per_trial = 0.25  # kans bij één keer
number_of_trials = 4          # aantal herhalingen

p_every_time = probability_per_trial ** number_of_trials        # kans op n keer achter elkaar
p_never = (1 - probability_per_trial) ** number_of_trials       # kans dat het nooit gebeurt
p_at_least_once = 1 - p_never                                   # kans op minstens één keer

print(f"Kans op {number_of_trials} keer achter elkaar: {p_every_time}")
print(f"Kans dat het nooit gebeurt: {p_never}")
print(f"Kans op minstens één keer: {p_at_least_once}")

Werkt met alleen de standaardbibliotheek. “**” is het symbool voor een macht (tot de macht n). Pas bovenaan de kans en het aantal herhalingen aan en voer het uit.

De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)

Kans dat het \(n\) keer achter elkaar gebeurt

P = pⁿ

P = p^{n}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>P</mi>
    <mo>=</mo>
    <msup><mi>p</mi><mi>n</mi></msup>
  </mrow>
</math>

P = p^n

p^n

P := p^n;

P = p^n;

P = p^n

Kans dat het in \(n\) keer nooit gebeurt

P = (1 − p)ⁿ

P = (1-p)^{n}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>P</mi>
    <mo>=</mo>
    <msup>
      <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>&#x2212;</mo><mi>p</mi><mo>)</mo></mrow>
      <mi>n</mi>
    </msup>
  </mrow>
</math>

P = (1 - p)^n

(1 - p)^n

P := (1 - p)^n;

P = (1 - p)^n;

P = (1 - p)^n

Kans dat het in \(n\) keer minstens één keer gebeurt

P = 1 − (1 − p)ⁿ

P = 1 - (1-p)^{n}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>P</mi>
    <mo>=</mo>
    <mn>1</mn>
    <mo>&#x2212;</mo>
    <msup>
      <mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>&#x2212;</mo><mi>p</mi><mo>)</mo></mrow>
      <mi>n</mi>
    </msup>
  </mrow>
</math>

P = 1 - (1 - p)^n

1 - (1 - p)^n

P := 1 - (1 - p)^n;

P = 1 - (1 - p)^n;

P = 1 - (1 - p)^n

Zo laat je ChatGPT de berekening doen

Je bent een assistent voor kansberekening. Voer de volgende berekening uit door daadwerkelijk Python-code te draaien en baseer je antwoord alleen op de getallen uit het resultaat van de uitvoering (antwoord niet uit je hoofd of op basis van een gok).

Ik open 4 keer een lootbox. Elke keer is de kans op een zeldzaam voorwerp 0,25. De uitkomsten zijn onafhankelijk.
Bereken elk van de volgende kansen:
1. De kans om alle 4 keer een zeldzaam voorwerp te krijgen
2. De kans om alle 4 keer niets te krijgen
3. De kans om minstens één zeldzaam voorwerp te krijgen

Toon de formules die je hebt gebruikt en de getallen uit het resultaat van de uitvoering.

Zo werkt het

1

Vul je getallen in

Typ de getallen waarmee je wilt rekenen in de invoervelden
2

Bereken

Klik op de knop “Berekenen”
3

Bekijk het resultaat

Het resultaat verschijnt meteen. Op dezelfde pagina vind je ook de uitwerking van de berekening en de uitleg van de formule