Vul de straal van de bol in. Je ziet de inhoud (4/3 × π × straal³) en de omrekening naar L en m³.
Vul voor de straal alleen een getal van 0 of meer in, zonder eenheid (bij een straal van 12 cm vul je “12” in). Ken je alleen de diameter, vul dan de diameter gedeeld door 2 (de straal) in.
Resultaat en figuur
Vul links de straal van de bol in en klik op “Berekenen”. Het resultaat verschijnt dan hier.
Inhoudsopgave
-
Wat je op deze pagina kunt doen
-
Waarvoor is deze berekening handig?
-
Zo werkt het
-
Formules en figuren
-
Symbolen en begrippen
-
Handig om vooraf te weten
-
Berekenen met Excel
-
Berekenen met Google Spreadsheets
-
Berekenen met Python
-
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
-
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
-
Kenmerken van DataChef
-
Gerelateerde functies
-
Alle rekenmachines van NumberChef
Wat je op deze pagina kunt doen
- Vul alleen de straal van de bol in en je ziet meteen de inhoud (\(V = \dfrac{4}{3} \times \pi \times\) de straal tot de derde macht)
- De bol wordt ook als 3D-figuur getoond (je kunt hem draaien door te slepen)
- De inhoud wordt ook omgerekend (liters en m³ als je in cm hebt ingevuld)
- Ook als je alleen de diameter kent, wordt uitgelegd hoe je rekent (straal = diameter ÷ 2, \(V = \pi d^3 \div 6\))
- Een heldere uitleg van de formules en formules om te kopiëren voor Excel, Google Spreadsheets en Python vind je ook op deze pagina
Vul de straal in één eenheid in (bij cm dus in cm). De inhoud komt dan in de derde macht van die eenheid (cm³ als je cm invult, m³ als je m invult). De inhoud van andere ruimtelijke figuren, zoals een cilinder of een kegel, vind je op hun eigen pagina’s.
Waarvoor is deze berekening handig?
De grootte van ballen vergelijken met de inhoud (sport)
Een voetbal (maat 5) heeft een diameter van ongeveer 22 cm. Met een straal van 11 cm is de inhoud \(\dfrac{4}{3}\pi \times 11^3 \approx 5.575\,\mathrm{cm^3}\) (ongeveer 5,6 L). Een tennisbal (diameter ongeveer 6,7 cm, straal 3,35 cm) heeft een inhoud van ongeveer 157 cm³. Qua inhoud past een tennisbal dus ruim 35 keer in een voetbal.
Wordt de diameter 3 keer zo groot, dan wordt de inhoud \(3^3 = 27\) keer zo groot. Dit gevoel voor “de derde macht werkt door” is de basis voor elke schatting van grootte, niet alleen bij ballen.
De hoeveelheid ijs of eten per portie schatten (koken en voeding)
Een bolletjesschep voor ijs met een diameter van 5 cm geeft een bolletje met een straal van 2,5 cm: ongeveer \(65\,\mathrm{cm^3}\) (ongeveer 65 mL). Horeca-ondernemers gebruiken zulke berekeningen om de portiegrootte en de kosten te beheersen.
Je kunt hetzelfde gebruiken voor gehaktballetjes, bitterballen en meloenballetjes: alles wat je rond vormt.
De inhoud van een bolvormige tank berekenen (industrie en infrastructuur)
Een bolvormige gastank (gasbol) heeft die vorm omdat een bol bij dezelfde hoeveelheid materiaal de grootste inhoud omsluit. Bij een diameter van 20 m is de inhoud \(\dfrac{4}{3}\pi \times 10^3 \approx 4.189\,\mathrm{m^3}\) (ongeveer 4,19 miljoen liter).
Bij het ontwerp en bij het opgeven van de capaciteit is de formule op deze pagina precies het uitgangspunt.
De inhoud van een tumor schatten uit een scan (geneeskunde)
Bij CT- of echo-onderzoek wordt een bijna bolvormige knobbel of cyste gemeten als “diameter ... cm”, en de inhoud wordt soms bij benadering met de formule voor een bol geschat. Bij een diameter van 2 cm is dat ongeveer \(4{,}2\,\mathrm{cm^3}\) en bij 4 cm ongeveer \(33{,}5\,\mathrm{cm^3}\): bij een dubbele diameter wordt de inhoud 8 keer zo groot.
Een echte afwijking is nooit een perfecte bol. Het is dus alleen een grove schatting, bijvoorbeeld als houvast om te volgen of iets groter wordt.
De inhoud van hemellichamen zoals de aarde en de maan berekenen (sterrenkunde)
De aarde is bijna een bol (precies gezegd een iets afgeplatte omwentelingsellipsoïde). Met een straal van ongeveer 6.371 km is de inhoud \(\dfrac{4}{3}\pi \times 6371^3 \approx 1{,}083 \times 10^{12}\,\mathrm{km^3}\), ongeveer 1,083 biljoen km³ (een biljoen is 10¹²).
De maan heeft een straal van ongeveer 1.737 km en een inhoud van ongeveer \(\dfrac{1}{50}\) van de aarde. De vergelijkingen van de grootte van hemellichamen in schoolboeken en in inleidingen over sterrenkunde worden met deze formule gemaakt.
Formules en figuren
Inhoud van een bol (met de straal)
Figuur
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(V\)
\(=\)
\(\dfrac{4}{3}\)
\(\times\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(r\)
\(3\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
⑤
\(V\): inhoud van de bol
\(=\)
④
\(\dfrac{4}{3}\): constante
\(\times\)
③
\(\pi\): pi
\(\times\)
①
\(r\): straal
②
derde macht (het getal drie keer met zichzelf vermenigvuldigd)
De formule in woorden
①
Neem de
\(r\): straal
②
verhef die
tot de derde macht (het getal drie keer met zichzelf vermenigvuldigd)
③
vermenigvuldig met
\(\pi\): pi
④
en nog eens met
\(\dfrac{4}{3}\): constante
⑤
en je krijgt de
\(V\): inhoud van de bol
Een eenvoudig voorbeeld
De inhoud van een bol met een straal van 3 cm is
\(V\): inhoud van de bol
\(=\)
\(\dfrac{4}{3}\): constante
\(\times\)
\(\pi\): pi
\(\times\)
straal (3 cm)
derde macht
\(\dfrac{4}{3} \times \pi \times 3^{3} = \dfrac{4}{3} \times \pi \times 27 = 36\pi\)
\(36\pi \approx 36 \times 3{,}14 = 113{,}04 \approx 113\,\mathrm{cm^3}\)
Het belangrijkste idee
Waarom rekenen we met \(\dfrac{4}{3}\pi\)? Dat is te verklaren met een ontdekking van de oude Griekse wiskundige Archimedes. De cilinder waar de bol precies in past (straal van het grondvlak \(r\), hoogte \(2r\)) heeft een inhoud van \(\pi r^2 \times 2r = 2\pi r^3\). De inhoud van de bol is precies \(\dfrac{2}{3}\) daarvan. Dus \(2\pi r^3 \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{4}{3}\pi r^3\).
De meest gemaakte fout is de straal “tot de derde macht” verwarren met “maal 3”: \(r^3\) is \(r \times r \times r\), niet \(3r\). Let daar goed op.
Inhoud van een bol (met de diameter)
Figuur
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(V\)
\(=\)
\(\pi\)
\(\times\)
\(d\)
\(3\)
\(\div\)
\(6\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
⑤
\(V\): inhoud van de bol
\(=\)
①
\(\pi\): pi
\(\times\)
②
\(d\): diameter
③
derde macht (het getal drie keer met zichzelf vermenigvuldigd)
\(\div\)
④
\(6\): constante
De formule in woorden
①
Neem
\(\pi\): pi
②
en de
\(d\): diameter
③
vermenigvuldig pi met de diameter
tot de derde macht (het getal drie keer met zichzelf vermenigvuldigd)
④
deel dat door
\(6\): constante
⑤
en je krijgt de
\(V\): inhoud van de bol
Een eenvoudig voorbeeld
De inhoud van een bal met een diameter van 6 cm (straal 3 cm) is
\(V\): inhoud van de bol
\(=\)
\(\pi\): pi
\(\times\)
diameter (6 cm)
derde macht
\(\div\)
\(6\): constante
\(\pi \times 6^{3} \div 6 = \pi \times 216 \div 6 = 36\pi\)
\(36\pi \approx 113\,\mathrm{cm^3}\)
Het belangrijkste idee
Deze formule volgt uit formule 1 door “straal = de helft van de diameter (\(r = d \div 2\))” in te vullen en te vereenvoudigen (\(\dfrac{4}{3}\pi \times \dfrac{d^3}{8} = \dfrac{\pi d^3}{6}\)). Handig bij voorwerpen zoals een bal, waarvan je de diameter wel kunt meten maar de straal niet direct.
Het voorbeeld met een diameter van 6 cm geeft hetzelfde antwoord (\(36\pi\)) als het voorbeeld met een straal van 3 cm bij formule 1. Daaraan zie je dat beide formules dezelfde bol beschrijven. Op school leer je meestal formule 1 (met de straal), dus onthoud die eerst.
De inhoud van een bol bereken je door “de straal tot de derde macht te verheffen en te vermenigvuldigen met π en met 4/3”. Ken je alleen de diameter, deel die dan eerst door 2 om de straal te krijgen. Het antwoord staat in de derde macht van de eenheid die je invulde (bij cm dus cm³). Deel je het aantal cm³ door 1.000, dan krijg je liters (L).
Symbolen en begrippen
Symbolen
| \(V\) | vee | Een veelgebruikt symbool voor inhoud, van het Engelse “volume”. Op deze pagina staat het voor de inhoud van de bol. |
| \(r\) | er | De straal van de bol, van “radius”. Het is de afstand van het middelpunt van de bol tot het oppervlak. |
| \(d\) | dee | De diameter van de bol, van “diameter”. Het is de lengte van een lijn door het middelpunt, op de breedste plek, en dus twee keer de straal (\(d = 2r\)). |
| \(\pi\) | pi | pi: de constante die aangeeft hoeveel keer de diameter van een cirkel in de omtrek past. Het is ongeveer 3,14159… en het gaat eindeloos door. Op school reken je vaak met 3,14. |
| \(r^3\) | r tot de derde macht | Het getal \(r\) drie keer met zichzelf vermenigvuldigd (\(r \times r \times r\)). De kleine 3 rechtsboven is een exponent die aangeeft hoe vaak je het getal als factor gebruikt. (Voorbeeld: \(3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27\)) |
| \(\mathrm{cm^3}\) | kubieke centimeter | Een eenheid van inhoud. Een kubus met ribben van 1 cm heeft een inhoud van 1 cm³. Spreek het uit als “kubieke centimeter” en verwar het niet met cm² (vierkante centimeter) voor oppervlakte. |
| \(\mathrm{L}\) | liter | Een eenheid die je vaak voor de hoeveelheid water en andere vloeistoffen gebruikt (de inhoud). Er geldt \(1\,\mathrm{L} = 1.000\,\mathrm{cm^3}\) (een pak melk van 1 liter is precies 1 L). |
| \(\mathrm{m^3}\) | kubieke meter | Een eenheid van inhoud. Een kubus met ribben van 1 m heeft een inhoud van 1 m³. Er geldt \(1\,\mathrm{m^3} = 1.000.000\,\mathrm{cm^3} = 1.000\,\mathrm{L}\). |
Begrippen
| bol | Een perfect ronde ruimtelijke figuur: alle punten die dezelfde afstand tot het middelpunt hebben. Een bal, een knikker en een zeepbel zien er van alle kanten rond uit. |
| straal | De afstand van het middelpunt van een bol (of cirkel) tot het oppervlak. Dit is de waarde die je in deze rekenmachine invult. Het is de helft van de diameter. |
| diameter | De lengte van een lijn door het middelpunt van een bol (of cirkel) van het ene punt van het oppervlak naar het andere. Het is twee keer de straal. Een bal wordt vaak met zijn diameter aangeduid. |
| inhoud | De grootte (het volume) van een ruimtelijke figuur, uitgedrukt in een getal: hoeveel kubusjes van 1 cm bij 1 cm bij 1 cm (1 cm³) erin passen. |
| pi | Het getal dat aangeeft hoeveel keer de diameter van een cirkel in de omtrek past (ongeveer 3,14). Het symbool is \(\pi\). Je vindt het niet alleen bij cirkels, maar ook in de formules voor de inhoud en de oppervlakte van een bol. |
| macht | Hetzelfde getal meerdere keren met zichzelf vermenigvuldigen. Het kleine getal rechtsboven (de exponent), zoals bij \(3^3\), geeft aan hoe vaak je vermenigvuldigt. In de formule voor de inhoud komt de derde macht voor, omdat een ruimtelijke figuur zich in drie richtingen uitstrekt: lengte, breedte en hoogte. |
Handig om vooraf te weten
Dit zijn de dingen die handig zijn om vooraf te weten, zodat je de berekening op deze pagina met begrip gebruikt en niet alleen op de knop drukt.
| Cirkel en pi (klas 1, 12-13 jaar) |
|
| Inhoud: betekenis en eenheden (groep 6-7, 9-11 jaar) |
|
| Een breuk met een geheel getal vermenigvuldigen (groep 6-7, 9-11 jaar) |
|
| Machten en exponenten (klas 1, 12-13 jaar) |
|
| Eigenschappen van een bol en de formule voor de inhoud (klas 2-3, 13-15 jaar) |
|
Berekenen met Excel
Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Excel. Het werkt direct.
Tabel voor de inhoud van een bol met de straal
| Straal van de bol r (cm) | 5 |
| Inhoud van de bol (cm³) | =4/3*PI()*B1^3 |
Tabel voor de inhoud van een bol met de diameter
| Diameter van de bol d (cm) | 10 |
| Inhoud van de bol (cm³) | =PI()*B1^3/6 |
Tabel voor het omrekenen van cm³ naar L (liter)
| Inhoud in cm³ | 523,6 |
| Inhoud in L | =B1/1000 |
Na het plakken staan de namen in kolom A en de getallen in kolom B. De bovenste rijen zijn je invoer; de formule in de laatste rij rekent daar automatisch mee.
“PI()” is de Excel-functie die pi (3,14159…) teruggeeft, “*” is vermenigvuldigen, “/” is delen en “^” is het teken voor een macht (hoe vaak je vermenigvuldigt). “=4/3*PI()*B1^3” betekent “4/3 × π × B1 tot de derde macht”.
In de eerste tabel staat bijvoorbeeld in B2 ongeveer 523,6 (cm³, want bij een straal van 5 cm vul je cm in). De tweede tabel geeft hetzelfde 523,6 omdat het dezelfde bol is (diameter 10 cm) en de derde tabel geeft in B2 de waarde 0,5236 (ongeveer 0,52 L). Vervang de invoergetallen door je eigen waarden en je kunt de tabellen meteen gebruiken.
“PI()” is de Excel-functie die pi (3,14159…) teruggeeft, “*” is vermenigvuldigen, “/” is delen en “^” is het teken voor een macht (hoe vaak je vermenigvuldigt). “=4/3*PI()*B1^3” betekent “4/3 × π × B1 tot de derde macht”.
In de eerste tabel staat bijvoorbeeld in B2 ongeveer 523,6 (cm³, want bij een straal van 5 cm vul je cm in). De tweede tabel geeft hetzelfde 523,6 omdat het dezelfde bol is (diameter 10 cm) en de derde tabel geeft in B2 de waarde 0,5236 (ongeveer 0,52 L). Vervang de invoergetallen door je eigen waarden en je kunt de tabellen meteen gebruiken.
Berekenen met Google Spreadsheets
Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Google Spreadsheets. Het werkt direct.
Tabel voor de inhoud van een bol met de straal
| Straal van de bol r (cm) | 5 |
| Inhoud van de bol (cm³) | =4/3*PI()*B1^3 |
Tabel voor de inhoud van een bol met de diameter
| Diameter van de bol d (cm) | 10 |
| Inhoud van de bol (cm³) | =PI()*B1^3/6 |
Tabel voor het omrekenen van cm³ naar L (liter)
| Inhoud in cm³ | 523,6 |
| Inhoud in L | =B1/1000 |
Dezelfde formules als in Excel (ook de functie PI()) werken hier gewoon. Kopieer de hele tabel, plak die in cel A1 en vervang de invoergetallen door je eigen waarden.
Berekenen met Python
import math
radius = 5 # straal van de bol (in dit voorbeeld in cm)
volume = 4 / 3 * math.pi * radius ** 3 # inhoud van de bol (derde macht van de ingevulde eenheid, in dit voorbeeld cm3)
volume_liter = volume / 1000 # inhoud omgerekend naar liter (als je in cm hebt ingevuld)
print(f"Inhoud van de bol: {volume} cm3")
print(f"Omgerekend naar liter: {volume_liter} L")
Werkt met alleen de standaardbibliotheek. “math.pi” is pi, “**” is het teken voor een macht (hier de derde macht), “*” is vermenigvuldigen en “/” is delen. Pas bovenaan de waarde van de straal aan en voer het uit (dit voorbeeld rekent in cm).
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
Inhoud van een bol (met de straal)
V = (4/3)πr³
V = \dfrac{4}{3}\pi r^{3}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>V</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac><mn>4</mn><mn>3</mn></mfrac>
<mi>π</mi>
<msup><mi>r</mi><mn>3</mn></msup>
</mrow>
</math>
V = 4/3 pi r^3
(4/3)*Pi*r^3
V := (4/3)*Pi*r^3;
V = (4/3)*pi*r^3;
V = (4/3)πr^3
Inhoud van een bol (met de diameter)
V = πd³/6
V = \dfrac{\pi d^{3}}{6}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>V</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><mi>π</mi><msup><mi>d</mi><mn>3</mn></msup></mrow>
<mn>6</mn>
</mfrac>
</mrow>
</math>
V = (pi d^3)/6
Pi*d^3/6
V := Pi*d^3/6;
V = pi*d^3/6;
V = πd^3/6
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
Je bent een assistent voor rekenen en wiskunde. Voer de volgende berekening uit door echt Python-code te draaien en baseer je antwoord alleen op de getallen uit het resultaat van de uitvoering (niet uit je hoofd rekenen en niet gokken). Een bol heeft een straal van 5 cm. Bereken de volgende waarden: 1. De inhoud van deze bol in cm³ (V = 4/3 × π × r³) 2. Die inhoud omgerekend naar liter (L) Geef de formules die je hebt gebruikt en de getallen uit het resultaat van de uitvoering weer.
Zo werkt het
-
1Vul je getallen inTyp de getallen waarmee je wilt rekenen in de invoervelden
-
2BerekenKlik op de knop “Berekenen”
-
3Bekijk het resultaatHet resultaat verschijnt meteen. Op dezelfde pagina vind je ook de uitwerking van de berekening en de uitleg van de formule
Kenmerken van DataChef
Eenvoudig en gratis
Onbeperkt gratis converteren
Geen voorkennis nodig – intuïtieve en eenvoudige bediening
Geen voorkennis nodig – intuïtieve en eenvoudige bediening
Geen registratie nodig
Direct te gebruiken
Zonder persoonlijke gegevens op te geven
Zonder persoonlijke gegevens op te geven
Veilig en betrouwbaar
Sterk versleutelde verbinding (SSL)
Bestand wordt automatisch verwijderd zodra je op "Downloaden" klikt
Bestand wordt automatisch verwijderd zodra je op "Downloaden" klikt
Snel
Snelle laadtijden en snelle conversie
Zonder watermerk
Geen watermerk
Geen bronvermelding vereist
Geen bronvermelding vereist
Commercieel gebruik toegestaan
Gratis voor commercieel gebruik
Geen toestemming vooraf nodig
Geen toestemming vooraf nodig
Gerelateerde functies
Cirkel berekenen (straal, diameter, omtrek en oppervlakte)
Berekent straal, diameter, omtrek en oppervlakte van de cirkel, de doorsnede van een bol, in één keer
Machten berekenen (a tot de macht n, exponent en grondtal)
Berekent machten (a tot de macht n), zoals de “straal tot de derde macht” in de formule voor de inhoud van een bol
