Complex getal omzetten naar poolvorm (modulus, argument en kwadrantcorrectie met stappen en complexe vlak)

Kies de richting van de omzetting en vul de getallen in. Bij cartesisch naar pool vul je het reële deel a en het imaginaire deel b in. Bij pool naar cartesisch vul je de absolute waarde r en het argument θ in (en kies je de eenheid).

Omzetting

Reëel deel a

Imaginair deel b

Absolute waarde r

Argument θ

Eenheid van het argument

Decimale getallen, negatieve getallen en breuken zoals 3/4 mogen. Een leeg reëel of imaginair deel telt als 0.

Resultaat en figuur

Vul links de getallen in en klik op “Berekenen”. Het resultaat en een grafiek in het complexe vlak verschijnen hier.

Inhoudsopgave

[ SLUITEN ]

Wat je op deze pagina kunt doen
Waarvoor is deze berekening handig?
Zo werkt het
Formules en figuren
Symbolen en begrippen
- Symbolen
- Begrippen
Handig om vooraf te weten
Berekenen met Excel
Berekenen met Google Spreadsheets
Berekenen met Python
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
Kenmerken van DataChef
Gerelateerde functies
Alle rekenmachines van NumberChef

Wat je op deze pagina kunt doen

Zet een complex getal \(z = a + bi\) (cartesische vorm) meteen om naar poolvorm \(r(\cos\theta + i\sin\theta)\), met de absolute waarde \(r\) en het argument \(\theta\). De absolute waarde staat als exacte waarde met vereenvoudigde wortel, zoals \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\), en bij bijzondere hoeken is het argument een exact deel van π
Het argument \(\theta\) staat vooral in het bereik \(0 \le \theta < 2\pi\), met ook de waarde in het bereik \(-\pi < \theta \le \pi\) (het hoofdargument), zodat je je antwoord kunt controleren welke afspraak je boek ook gebruikt
Ook de andere kant op werkt het (poolvorm naar cartesische vorm). Vul de absolute waarde \(r\) en het argument \(\theta\) in (in graden, als deel van π of als decimaal getal in radialen) en \(a + bi\) verschijnt als exacte waarde, zoals \(1 + \sqrt{3}i\)
In de stappen zie je één voor één hoe het argument volgt uit \(\tan\theta = \dfrac{b}{a}\) en het kwadrant waarin het punt ligt (de kwadrantcorrectie)
Je ziet het resultaat ook in het complexe vlak, zodat je in één oogopslag ziet waar de absolute waarde \(r\) (de afstand tot de oorsprong) en het argument \(\theta\) (de draaiingshoek vanaf de reële as) liggen

Deze pagina behandelt de poolvorm van complexe getallen. Het reële en het imaginaire deel mogen breuken of decimale getallen (rationale getallen) zijn; irrationale getallen zoals √3 kun je niet rechtstreeks invoeren. Het argument komt dus alleen als exact deel van π uit de berekening als het punt op een as ligt of de hoek een veelvoud van 45° is (bij hoeken op basis van 30° en 60° is tan θ een irrationaal getal zoals 1/√3, en dat kan niet uit rationale reële en imaginaire delen komen). In de andere richting, van poolvorm naar cartesische vorm, worden alle bijzondere hoeken die een veelvoud van 30° of 45° zijn exact berekend.

Waarvoor is deze berekening handig?

Wisselstroomberekeningen (elektrotechniek en elektronica)

De wisselstroom (AC) uit een stopcontact heeft een spanning en stroom die als golven op en neer gaan en twee gegevens bevatten: de grootte van de golf en de verschuiving in tijd (de fase). In de elektrotechniek zitten beide in één complex getal (absolute waarde = grootte van de golf, argument = fase), en de standaardmethode is om in poolvorm te vermenigvuldigen en te delen om de schakeling op te lossen. Ingenieurs noemen dit de fasornotatie.
Het ontwerp van het elektriciteitsnet van de centrale tot je huis, en van de schakeling in een telefoonlader, steunt op deze berekeningen met “absolute waarde en argument”. Het is het meest voorkomende dagelijkse gebruik van complexe getallen in de techniek.

Geluids- en radiogolven analyseren (fouriertransformatie en signaalverwerking)

Als een computer geluid of radiogolven verwerkt, splitst die ze met een berekening die fouriertransformatie heet op in “hoeveel van elke golftoon erin zit”. Het resultaat is een lijst complexe getallen: de absolute waarde van elk getal is de sterkte van die golf (de amplitude) en het argument is de verschuiving (de fase).
Veel technieken voor geluid en radiogolven, zoals equalizers in muziekapps, ruisonderdrukking in oordopjes en spraakherkenning, zijn gebouwd op dit idee om een complex getal te lezen via zijn absolute waarde en argument.

Vormen draaien (games en computergraphics)

De regel van de poolvorm “vermenigvuldig de absolute waarden, tel de argumenten op” is meetkundig gewoon “schalen en draaien”. Vermenigvuldigen met \(i\) (absolute waarde 1, argument 90°) draait een punt bijvoorbeeld precies 90° om de oorsprong. In 2D-games kan de wiskunde om een personage of kogel te draaien als vermenigvuldiging met complexe getallen worden geschreven.
Quaternionen, die worden gebruikt in 3D-graphics en robotbesturing, breiden dit idee van “draaien met complexe getallen” uit naar drie dimensies.

De “afstand en richting” van radar en sonar (luchtvaart en scheepvaart)

Radar op luchthavens en sonar op schepen bepalen de plaats van een doel met een paar: “hoe ver weg” en “in welke richting”. Dat is hetzelfde idee als de poolvorm (poolcoördinaten), die een punt beschrijft met \(r\) en \(\theta\). Dezelfde soort omzetting als op deze pagina maakt er de positie van op het scherm van (horizontale en verticale coördinaten).
Overal waar “afstand en richting” de natuurlijke manier is om een positie te beschrijven, komt deze omzetting van en naar cartesische coördinaten voor.

Formules en figuren

Poolvorm (een andere manier om een complex getal te schrijven)

Figuur

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(z\) \(=\) \(r\) \(\left(\cos\theta + i\sin\theta\right)\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

③ complex getal \(z\) \(=\) ① absolute waarde \(r\) (afstand tot de oorsprong) ② richting gegeven door het argument \(\theta\)

De formule in woorden

① Neem de absolute waarde \(r\) (de afstand van de oorsprong tot het punt)

② vermenigvuldig die met het richtingsdeel \(\cos\theta + i\sin\theta\) bij het argument \(\theta\)

③ en je krijgt het complex getal \(z\)

Een eenvoudig voorbeeld

Zo schrijf je \(z = 1 + \sqrt{3}i\) in poolvorm (de absolute waarde is \(r = 2\) en het argument is \(\theta = \dfrac{\pi}{3}\), oftewel 60°):

complex getal \(1 + \sqrt{3}i\) \(=\) absolute waarde \(2\) \(\cos\dfrac{\pi}{3} + i\sin\dfrac{\pi}{3}\)

\(r = \sqrt{1^{2} + \left(\sqrt{3}\right)^{2}} = \sqrt{4} = 2\)

\(1 + \sqrt{3}i = 2\left(\cos\dfrac{\pi}{3} + i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)\)

Het belangrijkste idee

Je kunt hetzelfde complexe getal op twee manieren schrijven. Lees je het als “het punt \(a\) naar rechts en \(b\) omhoog”, dan krijg je de cartesische vorm \(a + bi\). Lees je het als “het punt op afstand \(r\) van de oorsprong, in de richting met hoek \(\theta\) vanaf de reële as”, dan krijg je de poolvorm. Het is net als een route beschrijven: de cartesische vorm zegt “ga 1 naar het oosten en √3 naar het noorden”, de poolvorm zegt “draai 60° vanuit het oosten naar het noorden en ga 2 ver”. Optellen en aftrekken gaat makkelijker in de cartesische vorm, vermenigvuldigen, delen en machten makkelijker in de poolvorm (de formule voor vermenigvuldigen in poolvorm hieronder laat zien waarom).

Absolute waarde \(r\) (afstand tot de oorsprong)

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

\(r\) \(=\) \(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\)

② absolute waarde \(r\) \(=\) ① wortel uit de som van de kwadraten van het reële deel \(a\) en het imaginaire deel \(b\)

De formule in woorden

① De wortel uit het reële deel \(a\) in het kwadraat plus het imaginaire deel \(b\) in het kwadraat, \(\sqrt{a^2 + b^2}\)

② is de absolute waarde \(r\)

Een eenvoudig voorbeeld

De absolute waarde van \(z = 3 + 4i\) is

absolute waarde \(r\) \(=\) \(\sqrt{3^2 + 4^2}\)

\(r = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5\)

Het belangrijkste idee

Dit is gewoon de stelling van Pythagoras. In het complexe vlak ligt het punt \(z = a + bi\) \(a\) naar rechts en \(b\) omhoog. Verbind je de oorsprong, het punt \((a;\ 0)\) en \(z\), dan krijg je een rechthoekige driehoek, en de afstand van de oorsprong tot \(z\) (de schuine zijde) is \(\sqrt{a^2 + b^2}\). Volgens afspraak schrijf je een wortel in het antwoord in de eenvoudigste vorm, met de kwadraten buiten het wortelteken, zoals \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\) (deze rekenmachine toont het ook zo).

Argument \(\theta\) (bepaald met tan θ en het kwadrant)

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

\(\tan\theta\) \(=\) \(\dfrac{b}{a}\)

② tangens van het argument \(\theta\) \(=\) ① imaginair deel \(b\) gedeeld door reëel deel \(a\)

De formule in woorden

① De imaginair deel \(b\) gedeeld door het reële deel \(a\)

② is de tangens van het argument, \(\tan\theta\) (met deze formule alleen ligt \(\theta\) niet vast, dus je gebruikt het kwadrant van het punt \(z\) om er één te kiezen)

Een eenvoudig voorbeeld

Het argument van \(z = -1 + i\) (het reële deel is negatief en het imaginaire deel is positief, dus het punt ligt in kwadrant 2):

tangens \(\tan\theta\) \(=\) \(\dfrac{1}{-1} = -1\)

\(\tan\theta = \dfrac{1}{-1} = -1\)

\(\theta = \dfrac{3}{4}\pi \quad \left(a < 0,\ b > 0\right)\)

Het belangrijkste idee

In het bereik \(0 \le \theta < 2\pi\) zijn er twee hoeken met \(\tan\theta = -1\): \(\dfrac{3}{4}\pi\) (135°) en \(\dfrac{7}{4}\pi\) (315°). Welke goed is, hangt af van het kwadrant van het punt \(z\). Bij \(z = -1 + i\) is het reële deel negatief en het imaginaire deel positief, dat is kwadrant 2 (linksboven), dus kiezen we \(\theta = \dfrac{3}{4}\pi\). Dit is de kwadrantcorrectie. De toets \(\arctan\) (de inverse tangens) op een rekenmachine of in een spreadsheet geeft alleen hoeken tussen \(-\dfrac{\pi}{2}\) en \(\dfrac{\pi}{2}\), dus voor punten in de kwadranten 2 en 3 is dat antwoord niet zonder meer het argument. Je moet de scherpe hoek uit \(\arctan\) corrigeren, bijvoorbeeld door \(\pi\) erbij op te tellen, afhankelijk van het kwadrant (deze rekenmachine laat de correctie in de stappen zien).

Vermenigvuldigen in poolvorm (vermenigvuldig de absolute waarden, tel de argumenten op)

Wiskundige notatie (de gebruikelijke schrijfwijze)

\(z_{1} z_{2}\) \(=\) \(r_{1} r_{2}\) \(\left\{\cos\left(\theta_{1} + \theta_{2}\right) + i\sin\left(\theta_{1} + \theta_{2}\right)\right\}\)

In woorden (symbolen vervangen door woorden)

③ product van de twee complexe getallen \(=\) ① product van de absolute waarden ② richting gegeven door de som van de argumenten

De formule in woorden

① Neem het product van de absolute waarden, \(r_1 r_2\)

② vermenigvuldig dat met het richtingsdeel bij de som van de argumenten, \(\theta_1 + \theta_2\)

③ en je krijgt het product van de twee complexe getallen, \(z_1 z_2\) (vermenigvuldigen met \(z_2\) schaalt de lengte met \(r_2\) en draait de richting over \(\theta_2\))

Een eenvoudig voorbeeld

Het product van \(z_1 = 2\left(\cos\dfrac{\pi}{6} + i\sin\dfrac{\pi}{6}\right)\) en \(z_2 = 3\left(\cos\dfrac{\pi}{3} + i\sin\dfrac{\pi}{3}\right)\) is

product \(z_1 z_2\) \(=\) absolute waarden vermenigvuldigd, \(2 \times 3\) \(\cos\dfrac{\pi}{2} + i\sin\dfrac{\pi}{2}\)

\(z_1 z_2 = 2 \times 3\left\{\cos\left(\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{\pi}{3}\right) + i\sin\left(\dfrac{\pi}{6} + \dfrac{\pi}{3}\right)\right\}\)

\(z_1 z_2 = 6\left(\cos\dfrac{\pi}{2} + i\sin\dfrac{\pi}{2}\right) = 6i\)

Het belangrijkste idee

Dit is het grootste voordeel van de poolvorm. Vermenigvuldigen in de cartesische vorm vraagt de distributieve eigenschap om vier termen uit te werken, maar in de poolvorm “vermenigvuldig je gewoon de absolute waarden en tel je de argumenten op”. Meetkundig is vermenigvuldigen met \(z_2\) “draaien over \(\theta_2\) om de oorsprong en schalen met \(r_2\)”. Vermenigvuldigen met \(i\) (absolute waarde 1, argument 90°) draait een punt bijvoorbeeld precies 90° om de oorsprong. Pas je deze regel toe om hetzelfde getal \(n\) keer te vermenigvuldigen, dan krijg je de stelling van De Moivre, \(\left(\cos\theta + i\sin\theta\right)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta\), die leidt tot \(n\)-de machten en \(n\)-demachtswortels van complexe getallen.

Een complex getal \(z = a + bi\) kun je ook schrijven in poolvorm \(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\), met de absolute waarde \(r = \sqrt{a^2 + b^2}\) (de afstand tot de oorsprong) en het argument \(\theta\) (de hoek, tegen de klok in gemeten vanaf de positieve reële as). Het argument volgt uit \(\tan\theta = \dfrac{b}{a}\) en het kwadrant van het punt. In poolvorm wordt het vermenigvuldigen van complexe getallen een eenvoudige regel: vermenigvuldig de absolute waarden en tel de argumenten op.

Symbolen en begrippen

Symbolen

\(i\)	i	De imaginaire eenheid, het getal waarvan het kwadraat \(-1\) is (\(i^2 = -1\)). De letter komt van “imaginair”.
\(z\)	z	De letter die meestal voor een complex getal wordt gebruikt. Volgens de gewoonte gebruik je \(z\) en \(w\) voor complexe getallen, om ze te onderscheiden van de reële variabelen \(x\) en \(y\).
\(a,\ b\)	a, b	Het reële deel (\(a\)) en het imaginaire deel (\(b\)) van \(z = a + bi\). Beide zijn reële getallen. In het complexe vlak is \(a\) de positie naar rechts (langs de reële as) en \(b\) de positie omhoog (langs de imaginaire as).
\(r\)	r	De letter voor de absolute waarde (de afstand van de oorsprong tot het punt \(z\)). Die komt van “radius” (straal). In poolvorm is het een reëel getal dat 0 of groter is.
\(\|z\|\)	absolute waarde van z	Het symbool voor de absolute waarde (modulus) van \(z\). Je schrijft het met twee verticale strepen, net als bij een reëel getal, en \(\|a + bi\| = \sqrt{a^2 + b^2}\).
\(\theta\)	theta	De Griekse letter voor het argument. In de wiskunde is dat de gebruikelijke letter voor een hoek.
\(\arg z\)	arg z	Het symbool voor het argument van \(z\), van de eerste drie letters van “argument”. Je gebruikt het zo: \(\arg z = \theta\).
\(\cos\theta,\ \sin\theta\)	cosinus theta, sinus theta	Goniometrische functies. Op de cirkel met straal 1 (de eenheidscirkel) heeft het punt in de richting van hoek \(\theta\) de horizontale positie \(\cos\theta\) en de verticale positie \(\sin\theta\). In poolvorm zijn dit het deel dat de richting geeft.
\(\tan\theta\)	tangens theta	Een goniometrische functie, gedefinieerd door \(\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\). In het complexe vlak is \(\tan\theta = \dfrac{b}{a}\) (stijging gedeeld door verschuiving, de richtingscoëfficiënt), en dat is de sleutel om het argument te vinden.
\(\arctan\)	arctangens	De inverse van de tangens (ook geschreven als \(\tan^{-1}\)). Die geeft “de hoek \(\theta\) met \(\tan\theta = x\)”. De hoek die je terugkrijgt, ligt altijd tussen \(-\dfrac{\pi}{2}\) en \(\dfrac{\pi}{2}\), dus voor argumenten in de kwadranten 2 en 3 is de kwadrantcorrectie nodig.
\(\pi\)	pi	De verhouding van de omtrek van een cirkel tot zijn middellijn (ongeveer 3,14159). In radialen is een halve draaiing, \(180^{\circ}\), precies \(\pi\). De Griekse letter \(\pi\) komt naar verluidt van de eerste letter van het Griekse woord voor “omtrek”.

Begrippen

complex getal	Een getal van de vorm \(a + bi\), waarbij \(a\) en \(b\) reële getallen zijn. Het is een getalsysteem dat de reële en imaginaire getallen samenbrengt.
imaginaire eenheid	Het getal \(i\) waarvan het kwadraat \(-1\) is. Geen enkel reëel getal heeft een negatief kwadraat, dus het is als nieuw getal ingevoerd.
reëel deel	Het getal \(a\) in het complex getal \(z = a + bi\). In het complexe vlak is dat de horizontale coördinaat.
imaginair deel	Het getal \(b\) in het complex getal \(z = a + bi\). Het is het reële getal vóór \(i\), zonder de \(i\) zelf (het imaginaire deel van \(1 + 2i\) is \(2\), niet \(2i\)).
complexe vlak	Het vlak waarin \(a + bi\) wordt getoond als het punt \((a;\ b)\). De horizontale as is de reële as en de verticale as is de imaginaire as. Een tekening ervan heet ook wel een Argand-diagram.
cartesische vorm (standaardvorm)	Een complex getal schrijven als \(a + bi\) (de coördinaten \(a\) naar rechts en \(b\) omhoog). Optellen en aftrekken gaan het makkelijkst in deze vorm.
poolvorm (goniometrische vorm)	Een complex getal schrijven met zijn afstand \(r\) tot de oorsprong en zijn draaiingshoek \(\theta\) vanaf de reële as, als \(r(\cos\theta + i\sin\theta)\). Vermenigvuldigen, delen en machten gaan het makkelijkst in deze vorm.
absolute waarde (modulus)	De afstand van de oorsprong tot het punt \(z\), berekend als \(\|z\| = \sqrt{a^2 + b^2}\). Het breidt de absolute waarde van een reëel getal (de afstand tot 0 op de getallenlijn) uit naar het vlak.
argument	De hoek van de richting van de oorsprong naar het punt \(z\), tegen de klok in gemeten vanaf de positieve reële as. Het symbool is \(\arg z\). Een hele draaiing (\(2\pi\)) erbij optellen geeft dezelfde richting, dus volgens afspraak geef je het antwoord in een vast bereik zoals \(0 \le \theta < 2\pi\) of \(-\pi < \theta \le \pi\) (het hoofdargument).
kwadrant	Een van de vier gebieden waarin de twee assen het assenstelsel verdelen. Rechtsboven is kwadrant 1 (vaak geschreven als I) en tegen de klok in volgen kwadrant 2, 3 en 4. In welk kwadrant een punt ligt, is de sleutel om zijn argument vast te leggen.
radiaal (radialen)	Een hoek meten met de lengte van de boog die hij afsnijdt op een cirkel met straal 1. \(180^{\circ} = \pi\) radialen. In de wiskunde zijn radialen de standaardeenheid in plaats van graden.
bijzondere hoek (bijzondere hoeken)	\(30^{\circ}\), \(45^{\circ}\), \(60^{\circ}\) en verwante hoeken (deze plus veelvouden van \(90^{\circ}\)). Hun goniometrische waarden kun je exact schrijven, als \(\dfrac{1}{2}\), \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) en \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), en de meeste opgaven in boeken en toetsen gebruiken deze hoeken.
kwadrantcorrectie	Binnen één hele draaiing zijn er twee hoeken met \(\tan\theta = \dfrac{b}{a}\), dus kies je die bij het kwadrant van het punt (bijvoorbeeld door \(\pi\) op te tellen bij de scherpe hoek uit \(\arctan\)).
stelling van De Moivre	De stelling \(\left(\cos\theta + i\sin\theta\right)^n = \cos n\theta + i\sin n\theta\). Ze is het resultaat van \(n\) keer herhalen van “vermenigvuldigen telt de argumenten op”, en wordt gebruikt om \(n\)-de machten en \(n\)-demachtswortels van complexe getallen te vinden.

Handig om vooraf te weten

Dit helpt je om de berekening op deze pagina echt te begrijpen, en niet alleen op de knop te drukken.
Als je vastloopt, is het herhalen van deze onderwerpen de snelste weg vooruit.

Wortels (klas 2-3, 13-15 jaar)	Weten dat \(\sqrt{2}\) “het positieve getal is waarvan het kwadraat 2 is” Een wortel kunnen vereenvoudigen door kwadraten buiten het wortelteken te halen, zoals \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\)
De stelling van Pythagoras (klas 2, 13-14 jaar)	Weten dat de schuine zijde van een rechthoekige driehoek \(\sqrt{a^2 + b^2}\) is als de andere twee zijden \(a\) en \(b\) zijn Met de stelling van Pythagoras de afstand tussen twee punten in het assenstelsel kunnen berekenen
Complexe getallen	Weten dat de imaginaire eenheid \(i\) het getal is met \(i^2 = -1\) Het reële deel \(a\) en het imaginaire deel \(b\) kunnen aflezen uit \(a + bi\)
Goniometrie en de eenheidscirkel (klas 3-4, 14-16 jaar)	Weten dat \(\sin\), \(\cos\) en \(\tan\) de hoogte, de horizontale positie en de richtingscoëfficiënt zijn voor een punt op de eenheidscirkel De goniometrische waarden van \(30^{\circ}\), \(45^{\circ}\) en \(60^{\circ}\) kennen (\(\dfrac{1}{2}\), \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) en \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)) Goniometrische waarden van hoeken boven \(90^{\circ}\) kunnen bepalen met de eenheidscirkel (voorbeeld: \(\cos 135^{\circ} = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\))
Radialen (havo/vwo 4, 15-16 jaar)	Kunnen omrekenen tussen graden en radialen met \(180^{\circ} = \pi\) radialen (voorbeeld: \(60^{\circ} = \dfrac{\pi}{3}\))
Het complexe vlak	Een complex getal \(a + bi\) kunnen tekenen als het punt \((a;\ b)\) in het vlak Weten dat de horizontale as de reële as heet en de verticale as de imaginaire as

Berekenen met Excel

Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Excel. Het werkt direct.

Tabel voor cartesische vorm naar poolvorm

Reëel deel a	3
Imaginair deel b	4
Absolute waarde r	=WORTEL(B1^2+B2^2)
Argument θ (radialen, 0 ≤ θ < 2π)	=REST(BOOGTAN2(B1;B2);2*PI())
Argument θ (graden)	=GRADEN(REST(BOOGTAN2(B1;B2);2*PI()))

Tabel voor poolvorm naar cartesische vorm

Absolute waarde r	2
Argument θ (graden)	60
Reëel deel a = r cos θ	=B1*COS(RADIALEN(B2))
Imaginair deel b = r sin θ	=B1*SIN(RADIALEN(B2))

Na het plakken zijn de bovenste rijen je invoer en worden de onderste rijen automatisch berekend.
In de eerste tabel geeft BOOGTAN2(x-coördinaat; y-coördinaat) het argument terug waarbij de kwadrantcorrectie al is gedaan (groter dan −π en maximaal π). Met REST en 2π maak je er een argument van vanaf 0 tot (maar niet tot en met) 2π. Voor het voorbeeld z = 3 + 4i is r = 5 en θ ≈ 0,9273 (ongeveer 53,13 graden).
In de tweede tabel zet RADIALEN graden om naar radialen. Voor het voorbeeld r = 2 en θ = 60 graden is a = 1 en b ≈ 1,7320508 (= √3). Excel geeft decimale getallen; wil je exacte waarden zoals √2 of delen van π, gebruik dan de rekenmachine op deze pagina.

Berekenen met Google Spreadsheets

Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Google Spreadsheets. Het werkt direct.

Tabel voor cartesische vorm naar poolvorm

Reëel deel a	3
Imaginair deel b	4
Absolute waarde r	=WORTEL(B1^2+B2^2)
Argument θ (radialen, 0 ≤ θ < 2π)	=REST(BOOGTAN2(B1;B2);2*PI())
Argument θ (graden)	=GRADEN(REST(BOOGTAN2(B1;B2);2*PI()))

Tabel voor poolvorm naar cartesische vorm

Absolute waarde r	2
Argument θ (graden)	60
Reëel deel a = r cos θ	=B1*COS(RADIALEN(B2))
Imaginair deel b = r sin θ	=B1*SIN(RADIALEN(B2))

Dezelfde formules als in Excel werken ongewijzigd (ook BOOGTAN2 neemt zijn invoer in dezelfde volgorde, “x-coördinaat; y-coördinaat”). Kopieer de hele tabel, plak die in cel A1 en vervang de getallen door je eigen getallen.

Berekenen met Python

import math

# Cartesische vorm -> poolvorm
real_part = 3        # reëel deel a
imaginary_part = 4   # imaginair deel b
absolute_value = math.sqrt(real_part ** 2 + imaginary_part ** 2)
argument = math.atan2(imaginary_part, real_part)   # bevat de kwadrantcorrectie (-π < θ ≤ π)
if argument < 0:
    argument += 2 * math.pi                        # verplaats het naar het bereik 0 ≤ θ < 2π
print(f"Absolute waarde r = {absolute_value}")
print(f"Argument θ = {argument} rad ({math.degrees(argument)} graden)")

# Poolvorm -> cartesische vorm
r = 2
theta_degree = 60
theta = math.radians(theta_degree)
print(f"Reëel deel a = {r * math.cos(theta)}")
print(f"Imaginair deel b = {r * math.sin(theta)}")

math.atan2(y, x) geeft de hoek terug waarbij de kwadrantcorrectie al is gedaan, dus anders dan arctan geeft het ook voor punten in de kwadranten 2 en 3 de juiste richting. De eerste helft van dit voorbeeld zet z = 3 + 4i om en geeft als uitvoer r = 5,0 en θ ≈ 0,9272952180016122 rad (ongeveer 53,13 graden). De tweede helft zet r = 2 en θ = 60° terug om en geeft a ≈ 1,0000000000000002 en b ≈ 1,7320508075688772 (= √3). Python toont decimalen met een punt. De waarde van a is niet precies 1 door afrondingsfouten bij decimale getallen (drijvendekommagetallen); voor exacte waarden moet je met symbolen rekenen, zoals de rekenmachine op deze pagina. Met cmath.polar(complex(3, 4)) uit de standaardmodule cmath krijg je de absolute waarde en de hoek (−π < θ ≤ π) ook in één keer.

De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)

Poolvorm (een andere manier om een complex getal te schrijven)

z = r(cosθ + i sinθ)

z = r(\cos\theta + i\sin\theta)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>z</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>r</mi>
    <mo>(</mo>
    <mi>cos</mi><mi>&#x3B8;</mi>
    <mo>+</mo>
    <mi>i</mi><mi>sin</mi><mi>&#x3B8;</mi>
    <mo>)</mo>
  </mrow>
</math>

z = r(cos theta + i sin theta)

z == r (Cos[theta] + I Sin[theta])

z := r*(cos(theta) + I*sin(theta));

z = r*(cos(theta) + 1i*sin(theta));

z = r(cos θ + i sin θ)

Absolute waarde \(r\) (afstand tot de oorsprong)

r = |z| = √(a² + b²)

r = |z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>r</mi>
    <mo>=</mo>
    <mo>|</mo><mi>z</mi><mo>|</mo>
    <mo>=</mo>
    <msqrt>
      <mrow>
        <msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup>
        <mo>+</mo>
        <msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup>
      </mrow>
    </msqrt>
  </mrow>
</math>

r = |z| = sqrt(a^2 + b^2)

Abs[a + b I]

r := abs(a + b*I);

r = abs(a + b*1i);

r = √(a^2 + b^2)

Argument \(\theta\) (bepaald met tan θ en het kwadrant)

tanθ = b/a

\tan\theta = \dfrac{b}{a}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>tan</mi><mi>&#x3B8;</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac><mi>b</mi><mi>a</mi></mfrac>
  </mrow>
</math>

tan theta = b/a

theta = Arg[a + b I]

theta := argument(a + b*I);

theta = angle(a + b*1i);

tan θ = b/a

Vermenigvuldigen in poolvorm (vermenigvuldig de absolute waarden, tel de argumenten op)

z₁z₂ = r₁r₂{cos(θ₁+θ₂) + i sin(θ₁+θ₂)}

z_{1}z_{2} = r_{1}r_{2}\{\cos(\theta_{1}+\theta_{2}) + i\sin(\theta_{1}+\theta_{2})\}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>z</mi><mn>1</mn></msub>
    <msub><mi>z</mi><mn>2</mn></msub>
    <mo>=</mo>
    <msub><mi>r</mi><mn>1</mn></msub>
    <msub><mi>r</mi><mn>2</mn></msub>
    <mo>{</mo>
    <mi>cos</mi>
    <mo>(</mo>
    <msub><mi>&#x3B8;</mi><mn>1</mn></msub>
    <mo>+</mo>
    <msub><mi>&#x3B8;</mi><mn>2</mn></msub>
    <mo>)</mo>
    <mo>+</mo>
    <mi>i</mi>
    <mi>sin</mi>
    <mo>(</mo>
    <msub><mi>&#x3B8;</mi><mn>1</mn></msub>
    <mo>+</mo>
    <msub><mi>&#x3B8;</mi><mn>2</mn></msub>
    <mo>)</mo>
    <mo>}</mo>
  </mrow>
</math>

z_1 z_2 = r_1 r_2 (cos(theta_1 + theta_2) + i sin(theta_1 + theta_2))

r1 r2 (Cos[theta1 + theta2] + I Sin[theta1 + theta2])

z1z2 := r1*r2*(cos(theta1 + theta2) + I*sin(theta1 + theta2));

z12 = r1*r2*(cos(t1 + t2) + 1i*sin(t1 + t2));

z_1 z_2 = r_1 r_2 (cos(θ_1+θ_2) + i sin(θ_1+θ_2))

Zo laat je ChatGPT de berekening doen

Je bent een rekenassistent voor het complexe vlak. Voer de volgende berekening uit door daadwerkelijk Python-code uit te voeren en baseer je antwoord alleen op de getallen uit het resultaat van de uitvoering (geef dus geen antwoord uit je hoofd of op gevoel).

1. Zet het complexe getal z = 3 + 4i om naar poolvorm r(cos θ + i sin θ). Laat de absolute waarde r en het argument θ zien (in het bereik 0 ≤ θ < 2π, zowel in radialen als in graden).
2. Zet het complexe getal met absolute waarde r = 2 en argument θ = 60° om naar cartesische vorm a + bi. Laat a en b zien als decimale getallen, en als het kan ook als exacte waarden met wortels.

Gebruik in Python math.atan2 en math.sqrt, en laat de formules zien die je hebt gebruikt en de getallen uit het resultaat van de uitvoering.

Zo werkt het

1

Vul je getallen in

Typ de getallen waarmee je wilt rekenen in de invoervelden
2

Bereken

Klik op de knop “Berekenen”
3

Bekijk het resultaat

Het resultaat verschijnt meteen. Op dezelfde pagina vind je ook de uitwerking van de berekening en de uitleg van de formule