Kies “waarde uit een hoek” of “hoek uit een waarde” en vul je getallen in. Het resultaat komt met een figuur van de eenheidscirkel.
Vul de hoek in graden (°) in. Negatieve hoeken en hoeken boven 360° mogen. Voor de waarde van de goniometrische verhouding kun je decimale getallen of breuken zoals 1/2 gebruiken.
Resultaat en figuur
Vul links een hoek (of de waarde van een goniometrische verhouding) in en klik op “Berekenen”. Hier verschijnen het resultaat en een figuur van de eenheidscirkel.
Inhoudsopgave
-
Wat je op deze pagina kunt doen
-
Waarvoor is deze berekening handig?
-
Zo werkt het
-
Formules en figuren
-
Symbolen en begrippen
-
Handig om vooraf te weten
-
Berekenen met Excel
-
Berekenen met Google Spreadsheets
-
Berekenen met Python
-
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
-
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
-
Kenmerken van DataChef
-
Gerelateerde functies
-
Alle rekenmachines van NumberChef
Wat je op deze pagina kunt doen
- Vul een hoek \(\theta\) in graden in en je krijgt in één keer \(\sin\theta\), \(\cos\theta\) en \(\tan\theta\). Bij bijzondere hoeken zoals \(30^\circ\), \(45^\circ\), \(60^\circ\) en \(120^\circ\) zie je het antwoord zowel als exacte waarde, zoals \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\), als in decimalen
- Je kunt ook andersom de hoek vinden uit de waarde van een goniometrische verhouding, zoals bij “welke hoek geeft \(\sin\theta = 0{,}5\)?” (in het bereik \(0^\circ\) tot \(180^\circ\). Passen er twee hoeken, dan zie je beide)
- Negatieve hoeken en hoeken boven \(360^\circ\) werken ook. Hoeken geef je in graden, met de radialen ernaast
- Het resultaat komt met een figuur van de eenheidscirkel, zodat je in één oogopslag ziet welke lengtes in de cirkel \(\sin\theta\) en \(\cos\theta\) zijn
- Een heldere uitleg van de formules en formules om te kopiëren voor Excel, Google Spreadsheets en Python vind je ook op deze pagina
Is een waarde niet gedefinieerd, zoals bij \(\tan 90^\circ\), dan stopt de pagina niet met een foutmelding. Je ziet het resultaat met een uitleg waarom de waarde niet gedefinieerd is.
Waarvoor is deze berekening handig?
De steilheid van wegen en hellingbanen uitdrukken (weg- en toegankelijk bouwen)
Een verkeersbord dat een “stijging van 10%” aangeeft, betekent dat de weg 10 m stijgt over elke 100 m horizontaal. Dat is precies \(\tan\theta = 0{,}10\) (ongeveer \(5{,}7^\circ\)). Voor hellingbanen voor rolstoelen wordt vaak een helling van 1:12 genoemd, wat \(\tan\theta = \dfrac{1}{12}\) is (ongeveer \(4{,}8^\circ\)); de geldende eisen vind je in het Besluit bouwwerken leefomgeving en NEN 1814.
De waarde van de tangens is in de praktijk handiger dan de hoek, omdat ze direct uit de stijging en de horizontale afstand volgt. Daarom worden hellingen met deze goniometrische verhouding aangegeven.
De hoogte van een boom of gebouw op afstand meten (landmeten)
Kun je de top van iets hoogs niet met een meetlint bereiken, dan kun je de hoogte vinden uit de afstand en de hoek waaronder je omhoog kijkt (de hoogtehoek): hoogte = afstand × \(\tan\theta\). Sta je bijvoorbeeld 20 m van een boom en is de hoogtehoek \(30^\circ\), dan is het deel boven je ooghoogte \(20 \times \tan 30^\circ \approx 11{,}5\) m.
Triangulatie, die wordt gebruikt bij het landmeten en het maken van kaarten, berekent afstanden en plaatsen op dezelfde manier uit gemeten hoeken. Meetinstrumenten zoals een total station gebruiken ook goniometrische verhoudingen om gemeten hoeken en afstanden om te zetten in coördinaten.
De krachten op een helling ontbinden (natuurkunde en mechanica)
De zwaartekracht trekt een voorwerp op een helling recht omlaag. In de natuurkunde wordt deze kracht in twee delen ontbonden: het deel dat het voorwerp langs de helling naar beneden wil laten glijden (gewicht × \(\sin\theta\)) en het deel dat het tegen de helling aan drukt (gewicht × \(\cos\theta\)).
Op een helling van \(30^\circ\) is de kracht die het voorwerp naar beneden wil laten glijden \(\sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}\) van zijn gewicht, dus de helft. Hoe goed een handrem het op een helling houdt, of hoe snel je glijdt op een piste met een bepaalde steilheid: de natuurkunde van hellingen begint altijd bij deze ontbinding.
Een personage schuin laten bewegen in games en computergraphics (programmeren)
Als een game iets laat bewegen “met snelheid \(v\) in de richting van hoek \(\theta\)”, verplaatst de computer zijn plaats met \(v \times \cos\theta\) opzij en \(v \times \sin\theta\) omhoog of omlaag. De banen van kogels in een schietspel, de hoeken van een radardiagram, de wijzers van een klok op het scherm: elke taak die een hoek omzet in een plaats gebruikt sin en cos.
De definitie met de eenheidscirkel zelf (\(x = \cos\theta,\ y = \sin\theta\)) is het programma voor rotatie en cirkelbewegingen op het scherm.
De helling van een dak ontwerpen (bouw en timmerwerk)
In Nederland geef je de helling van een dak meestal in graden aan, bijvoorbeeld \(40^\circ\). Is de horizontale afstand van de muur tot de nok 4 m, dan is de hoogte van de nok \(4 \times \tan 40^\circ \approx 3{,}36\) m. De lengte van het dakvlak (de spant of het dakbeschot langs de helling) is de horizontale afstand \(\div \cos\theta\): \(4 \div \cos 40^\circ \approx 5{,}22\) m. Afwatering, het afglijden van sneeuw en de hoeveelheid materiaal worden uit deze waarden geschat.
Ook het uitzetten van daghoeken met een timmermanshaak gebruikt de zijdeverhoudingen van een rechthoekige driehoek, en dat is het idee van goniometrische verhoudingen zelf.
Formules en figuren
sin (sinus) = overstaande zijde ÷ schuine zijde
Figuur (een rechthoekige driehoek en zijn goniometrische verhoudingen)
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(\sin\theta\)
\(=\)
\(a\)
\(\div\)
\(c\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
③
\(\sin\theta\): sinus van hoek \(\theta\)
\(=\)
①
\(a\): overstaande zijde (tegenover \(\theta\))
\(\div\)
②
\(c\): schuine zijde
De formule in woorden
①
In een rechthoekige driehoek deel je de
\(a\): overstaande zijde (de zijde tegenover hoek \(\theta\))
②
door de
\(c\): schuine zijde (de langste zijde, tegenover de rechte hoek)
③
en je krijgt de
\(\sin\theta\): sinus van hoek \(\theta\)
Een eenvoudig voorbeeld
In een rechthoekige driehoek met zijdeverhouding \(3 : 4 : 5\) (overstaande 3, aanliggende 4, schuine zijde 5) is
\(\sin\theta\)
\(=\)
overstaande 3
\(\div\)
schuine zijde 5
\(\sin\theta = \dfrac{3}{5} = 0{,}6\)
Het belangrijkste idee
De sinus is een verhouding: als je de schuine zijde als 1 neemt, hoe hoog kom je dan? Is de hoek \(\theta\) eenmaal vastgelegd, dan heeft deze verhouding één waarde, hoe groot de driehoek ook is (driehoeken met dezelfde vorm zijn gelijkvormig). Daarom kun je haar gebruiken als functie van alleen de hoek.
Een bekende manier om de drie verhoudingen te onthouden is SOS CAS TOA: Sinus = Overstaande ÷ Schuine zijde, Cosinus = Aanliggende ÷ Schuine zijde, Tangens = Overstaande ÷ Aanliggende.
cos (cosinus) = aanliggende zijde ÷ schuine zijde
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(\cos\theta\)
\(=\)
\(b\)
\(\div\)
\(c\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
③
\(\cos\theta\): cosinus van hoek \(\theta\)
\(=\)
①
\(b\): aanliggende zijde (naast \(\theta\))
\(\div\)
②
\(c\): schuine zijde
De formule in woorden
①
In een rechthoekige driehoek deel je de
\(b\): aanliggende zijde (de zijde naast hoek \(\theta\) die de rechte hoek vormt)
②
door de
\(c\): schuine zijde
③
en je krijgt de
\(\cos\theta\): cosinus van hoek \(\theta\)
Een eenvoudig voorbeeld
In een rechthoekige driehoek met zijdeverhouding \(3 : 4 : 5\) (overstaande 3, aanliggende 4, schuine zijde 5) is
\(\cos\theta\)
\(=\)
aanliggende 4
\(\div\)
schuine zijde 5
\(\cos\theta = \dfrac{4}{5} = 0{,}8\)
Het belangrijkste idee
De cosinus is een verhouding: als je de schuine zijde als 1 neemt, hoe ver ga je dan opzij? In SOS CAS TOA is het het deel “CAS”.
De “co” in cosinus komt van de complementaire hoek (de hoek die samen met \(\theta\) \(90^\circ\) maakt): \(\cos\theta = \sin(90^\circ - \theta)\). De cosinus van een hoek is gelijk aan de sinus van zijn complement. Bijvoorbeeld \(\cos 60^\circ = \sin 30^\circ = \dfrac{1}{2}\).
tan (tangens) = overstaande zijde ÷ aanliggende zijde
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(\tan\theta\)
\(=\)
\(a\)
\(\div\)
\(b\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
③
\(\tan\theta\): tangens van hoek \(\theta\)
\(=\)
①
\(a\): overstaande zijde (tegenover \(\theta\))
\(\div\)
②
\(b\): aanliggende zijde (naast \(\theta\))
De formule in woorden
①
In een rechthoekige driehoek deel je de
\(a\): overstaande zijde (de zijde tegenover hoek \(\theta\))
②
door de
\(b\): aanliggende zijde (de zijde naast hoek \(\theta\))
③
en je krijgt de
\(\tan\theta\): tangens van hoek \(\theta\)
Een eenvoudig voorbeeld
In een rechthoekige driehoek met zijdeverhouding \(3 : 4 : 5\) (overstaande 3, aanliggende 4, schuine zijde 5) is
\(\tan\theta\)
\(=\)
overstaande 3
\(\div\)
aanliggende 4
\(\tan\theta = \dfrac{3}{4} = 0{,}75\)
Het belangrijkste idee
De tangens vertelt je hoe ver je omhoog gaat voor elke 1 die je opzij gaat. Met andere woorden: het is de richtingscoëfficiënt (de helling) van de heuvel zelf.
Uit de definities volgt \(\tan\theta = \dfrac{a}{b} = \dfrac{a \div c}{b \div c} = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\). De noemer is \(\cos\theta\), dus bij \(\theta = 90^\circ\), waar \(\cos\theta = 0\), is \(\tan 90^\circ\) niet gedefinieerd (je kunt niet door 0 delen).
Eenheidscirkel als definitie (voor hoeken van 90° of meer)
Figuur (de eenheidscirkel en goniometrische verhoudingen)
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(\cos\theta\)
\(=\)
\(x\)
\(\sin\theta\)
\(=\)
\(y\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
②
\(\cos\theta\): cosinus van hoek \(\theta\)
\(=\)
①
\(x\): \(x\)-coördinaat van punt \(P\)
④
\(\sin\theta\): sinus van hoek \(\theta\)
\(=\)
③
\(y\): \(y\)-coördinaat van punt \(P\)
De formule in woorden
①
Draai op de cirkel met straal \(1\) rond de oorsprong \(O\) (de eenheidscirkel) een halve lijn (het eindbeen) over hoek \(\theta\) vanaf de positieve \(x\)-as en noem het snijpunt met de cirkel \(P\). Dan is de
\(x\)-coördinaat van punt \(P\)
②
gelijk aan de
\(\cos\theta\): cosinus van hoek \(\theta\)
③
en de
\(y\)-coördinaat van punt \(P\)
④
gelijk aan de
\(\sin\theta\): sinus van hoek \(\theta\)
Een eenvoudig voorbeeld
Bij \(\theta = 120^\circ\) (een stompe hoek) is het punt op de eenheidscirkel \(P\left(-\dfrac{1}{2};\ \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\), dus
\(\cos 120^\circ\)
\(=\)
\(x\)-coördinaat \(-\dfrac{1}{2}\)
\(\sin 120^\circ\)
\(=\)
\(y\)-coördinaat \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
\(\cos 120^\circ = -\dfrac{1}{2}, \quad \sin 120^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \quad \tan 120^\circ = \dfrac{\sin 120^\circ}{\cos 120^\circ} = -\sqrt{3}\)
Het belangrijkste idee
De definitie met de rechthoekige driehoek werkt alleen voor hoeken groter dan \(0^\circ\) en kleiner dan \(90^\circ\). Met de eenheidscirkel breiden goniometrische verhoudingen zich uit tot \(0^\circ\), \(90^\circ\), stompe hoeken, \(180^\circ\) en door tot elke hoek tot \(360^\circ\) en verder. Deze rekenmachine gebruikt deze definitie.
Voorbij \(90^\circ\) gaat het punt \(P\) naar links van de \(y\)-as en wordt zijn \(x\)-coördinaat negatief, dus \(\cos\theta\) en \(\tan\theta\) zijn negatief (\(\sin\theta\) blijft van \(0^\circ\) tot \(180^\circ\) de hele tijd 0 of meer).
\(\tan\theta\) is de richtingscoëfficiënt van lijn \(OP\). Als je de hoek uit een waarde zoekt, past \(\sin\theta = 0{,}5\) bij twee hoeken, \(30^\circ\) en \(150^\circ\), terwijl \(\cos\theta\) en \(\tan\theta\) maar één antwoord geven. De figuur legt uit waarom: punten op dezelfde hoogte komen in spiegelbeeldparen voor, maar maar één punt heeft een bepaalde \(x\)-coördinaat en maar één eindbeen heeft een bepaalde richtingscoëfficiënt. (De uitzondering is als het eindbeen op de \(x\)-as ligt: \(\sin\theta = 0\) en \(\tan\theta = 0\) passen allebei bij \(0^\circ\) en \(180^\circ\).)
In een rechthoekige driehoek zijn de goniometrische verhoudingen \(\sin\theta = \dfrac{\text{overstaande}}{\text{schuine zijde}},\ \cos\theta = \dfrac{\text{aanliggende}}{\text{schuine zijde}},\ \tan\theta = \dfrac{\text{overstaande}}{\text{aanliggende}}\). Op de eenheidscirkel zijn ze de \(y\)-coördinaat van het punt \(P\), zijn \(x\)-coördinaat en de richtingscoëfficiënt van lijn \(OP\). Bij bijzondere hoeken zoals \(30^\circ\), \(45^\circ\) en \(60^\circ\) volgen de exacte waarden uit de zijdeverhoudingen van de bijzondere driehoeken (\(1 : \sqrt{3} : 2\) en \(1 : 1 : \sqrt{2}\)).
Symbolen en begrippen
Symbolen
| \(\theta\) | theta | Een Griekse letter die vaak voor hoeken wordt gebruikt (er is geen vaste verklaring waarom \(\theta\) wordt gebruikt). Naast \(\theta\) worden ook \(\alpha\) (alfa) en \(\beta\) (bèta) voor hoeken gebruikt. |
| \(\sin\theta\) | sinus theta | De sinus van hoek \(\theta\): “overstaande ÷ schuine zijde” in een rechthoekige driehoek en de \(y\)-coördinaat van het punt \(P\) op de eenheidscirkel. De naam komt naar verluidt van het Latijnse woord sinus (een baai of plooi). |
| \(\cos\theta\) | cosinus theta | De cosinus van hoek \(\theta\): “aanliggende ÷ schuine zijde” in een rechthoekige driehoek en de \(x\)-coördinaat van het punt \(P\) op de eenheidscirkel. De “co” staat voor “complementair”: het is de sinus van de complementaire hoek \(90^\circ - \theta\). |
| \(\tan\theta\) | tangens theta | De tangens van hoek \(\theta\): “overstaande ÷ aanliggende” in een rechthoekige driehoek, en dat is de richtingscoëfficiënt van een lijn. De naam komt van het Latijnse woord voor “aanraken”, omdat hij als lengte voorkomt op een raaklijn aan de eenheidscirkel. |
| \(a,\ b,\ c\) | a, b, c | Op deze pagina de drie zijden van de rechthoekige driehoek: \(a\) is de overstaande zijde (tegenover hoek \(\theta\)), \(b\) is de aanliggende zijde (naast hoek \(\theta\)) en \(c\) is de schuine zijde. |
| \(P(x;\ y)\) | P van x; y | Het punt waar het eindbeen de eenheidscirkel snijdt. \(P\) staat voor “punt”. Zijn \(x\)-coördinaat is \(\cos\theta\) en zijn \(y\)-coördinaat is \(\sin\theta\). |
| \(O\) | O | De oorsprong (het punt \((0; 0)\)), van de eerste letter van “oorsprong”. Het is het middelpunt van de eenheidscirkel en het punt waar het eindbeen omheen draait. |
| \(\sqrt{2},\ \sqrt{3}\) | wortel 2, wortel 3 | De positieve getallen waarvan het kwadraat 2 en 3 is (\(\sqrt{2} \approx 1{,}414,\ \sqrt{3} \approx 1{,}732\)). Ze komen voor in de zijdeverhoudingen van de bijzondere driehoeken, dus ze duiken vaak op in de exacte waarden van goniometrische verhoudingen van bijzondere hoeken. |
| \(^\circ\) (graden) | graden | De eenheid voor de grootte van een hoek in de gradenmaat. Een hele draai is \(360^\circ\). Het is de bekendste manier om hoeken uit te drukken, ook in het dagelijks leven. |
| \(\pi\) | pi | De verhouding van de omtrek van een cirkel tot zijn middellijn (\(\approx 3{,}14159\)). Je gebruikt het als hoeken in radialen worden gegeven: \(180^\circ = \pi\) radialen. De letter komt naar verluidt van de eerste letter van het Griekse woord voor “omtrek”. |
Begrippen
| goniometrische verhouding | De verhouding van twee zijden van een rechthoekige driehoek. De drie basisverhoudingen zijn sin, cos en tan. Is de hoek eenmaal vastgelegd, dan heeft elk ervan één waarde, hoe groot de driehoek ook is. Je noemt ze ook kort goniometrische verhoudingen. In Nederland leer je ze in de onderbouw van het voortgezet onderwijs en kom je ze later weer tegen in de bovenbouw. |
| sinus | De volledige naam van sin. Historisch gaat de naam terug op de helft van een koorde (een lijnstuk dat twee punten van een cirkel verbindt). |
| cosinus | De volledige naam van cos. Het is een afkorting van “sinus van het complement”: de sinus van de complementaire hoek (de hoek die samen met de hoek 90° maakt), \(\cos\theta = \sin(90^\circ - \theta)\). |
| tangens | De volledige naam van tan. De naam komt van de raaklijn aan een cirkel: \(\tan\theta\) kun je tekenen als een lengte op de lijn die de eenheidscirkel raakt in \((1; 0)\). |
| schuine zijde | De langste zijde van een rechthoekige driehoek, tegenover de rechte hoek. In de definities van sin en cos is het het getal waardoor je deelt (de noemer). |
| overstaande zijde | De zijde tegenover de hoek \(\theta\) waar je naar kijkt. Let op dat welke zijde de overstaande is verandert, afhankelijk van naar welke hoek je kijkt. |
| aanliggende zijde | De zijde naast de hoek \(\theta\) waar je naar kijkt (de rechthoekszijde die \(\theta\) raakt, niet de schuine zijde). Let op dat welke zijde de aanliggende is verandert, afhankelijk van naar welke hoek je kijkt. |
| eenheidscirkel | De cirkel met straal 1 rond de oorsprong. Met de straal op 1 zijn de coördinaten van een punt direct de waarden van sin en cos, zonder te delen door de schuine zijde. Het is het hulpmiddel dat goniometrische verhoudingen uitbreidt naar hoeken van 90° of meer. |
| eindbeen | De halve lijn vanuit de oorsprong die over hoek \(\theta\) is gedraaid vanaf de positieve \(x\)-as (de hoek ligt in standaardstand). Het laat de grootte van de hoek in de figuur zien. |
| stompe hoek | Een hoek groter dan 90° en kleiner dan 180°. Goniometrische verhoudingen van een stompe hoek kun je niet met een rechthoekige driehoek definiëren, dus gebruik je de eenheidscirkel. Bij stompe hoeken zijn cos en tan negatief. |
| rechthoekige driehoek | Een driehoek met één rechte hoek (90°). Hier zijn goniometrische verhoudingen voor het eerst gedefinieerd. De andere twee hoeken zijn samen 90°. |
| bijzondere driehoeken | De 45°-45°-90°-driehoek (zijdeverhouding \(1 : 1 : \sqrt{2}\)) en de 30°-60°-90°-driehoek (zijdeverhouding \(1 : \sqrt{3} : 2\)). De exacte waarden van de bijzondere hoeken volgen uit de zijdeverhoudingen van deze twee driehoeken. Het zijn ook de vormen van de twee klassieke tekendriehoeken (geodriehoeken). |
| de noemer wortelvrij maken | Een breuk herschrijven zodat er geen wortel in de noemer staat. Vermenigvuldig je teller en noemer van \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\) met \(\sqrt{2}\), dan krijg je \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\). Beide zijn dezelfde waarde. In schoolboeken wordt meestal de wortelvrije vorm \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) gegeven. |
| gradenmaat | Hoeken meten met een hele draai op 360°. Het is de hoofdeenheid voor invoer en uitvoer op deze pagina. Het getal 360 heeft veel delers (de helft, een derde, een kwart … ervan zijn allemaal hele getallen), en het wordt al sinds de oudheid gebruikt. |
| radialen (radiaal) | Een hoek meten met de lengte van de boog op een cirkel met straal 1. \(180^\circ = \pi\) radialen, en hoeken schrijf je als breuken van \(\pi\), zoals \(60^\circ = \dfrac{\pi}{3}\). Radialen gebruik je vanaf de bovenbouw en ze zijn de hoofdeenheid in de analyse, dus deze pagina toont ze ook. |
| inverse goniometrische functie | Een functie die van de waarde van een goniometrische verhouding teruggaat naar de hoek, zoals bij “welke θ geeft sin θ = 0,5?”. Voorbeelden zijn de inverse sinus (\(\sin^{-1}\), arcsin) en zijn verwanten. Rekenmachines en Excel hebben ze. De stand “hoek uit een waarde” op deze pagina is deze berekening. |
| bijzondere hoek | Een hoek zoals 30°, 45°, 60°, 90° of 120° waarvan de goniometrische verhoudingen als exacte waarden kunnen worden geschreven (met breuken en wortels). Dit zijn de hoeken van de bijzondere driehoeken en hoeken die ervan zijn afgeleid, zoals 180° − θ. |
Handig om vooraf te weten
Dit helpt je om de berekening op deze pagina te gebruiken met echt begrip, en niet alleen door op de knop te drukken.
Loop je vast, dan is het teruggaan naar deze onderwerpen de snelste weg vooruit.
| Verhoudingen (groep 7-8, 10-12 jaar) |
|
| Het assenstelsel (groep 7-8, 10-12 jaar) |
|
| Cirkels (groep 6-8 en klas 1, 9-13 jaar) |
|
| Gelijkvormigheid (klas 2-3, 13-15 jaar) |
|
| De stelling van Pythagoras (klas 2, 13-14 jaar) |
|
| Wortels (klas 2-3, 13-15 jaar) |
|
Berekenen met Excel
Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Excel. Het werkt direct.
Tabel om sin θ te vinden (overstaande ÷ schuine zijde)
| Overstaande a | 3 |
| Schuine zijde c | 5 |
| sin θ = a ÷ c | =B1/B2 |
Tabel om cos θ te vinden (aanliggende ÷ schuine zijde)
| Aanliggende b | 4 |
| Schuine zijde c | 5 |
| cos θ = b ÷ c | =B1/B2 |
Tabel om tan θ te vinden (overstaande ÷ aanliggende)
| Overstaande a | 3 |
| Aanliggende b | 4 |
| tan θ = a ÷ b | =B1/B2 |
Tabel om sin, cos en tan uit een hoek te vinden
| Hoek θ (graden) | 60 |
| sin θ | =SIN(RADIALEN(B1)) |
| cos θ | =COS(RADIALEN(B1)) |
| tan θ | =TAN(RADIALEN(B1)) |
Tabel om de hoek uit sin θ te vinden (0° tot 180°)
| Waarde van sin θ | 0,5 |
| Hoek 1 (graden) | =GRADEN(BOOGSIN(B1)) |
| Hoek 2 (graden) | =180-B2 |
De functies SIN, COS en TAN van Excel verwachten de hoek in radialen, dus om in graden te rekenen zet je eerst om met de functie RADIALEN. Andersom komen de antwoorden van BOOGSIN (de inverse sinus) en soortgelijke functies terug in radialen, dus zet ze om in graden met de functie GRADEN.
De eerste drie tabellen gebruiken een rechthoekige driehoek met zijdeverhouding 3 : 4 : 5. De antwoorden zijn 0,6, 0,8 en 0,75.
De vierde tabel gebruikt een hoek van 60°: sin θ = 0,8660…, cos θ = 0,5 en tan θ = 1,7320….
De vijfde tabel vindt de hoeken waarvoor sin θ = 0,5: hoek 1 is 30 en hoek 2 is 150 (tussen 0° en 180° hebben twee hoeken die elkaars spiegelbeeld zijn dezelfde sinus). Voor cos heb je maar één formule nodig, “=GRADEN(BOOGCOS(B1))”. Voor tan gebruik je “=GRADEN(BOOGTAN(B1))” en tel je 180 op als het antwoord negatief is.
De eerste drie tabellen gebruiken een rechthoekige driehoek met zijdeverhouding 3 : 4 : 5. De antwoorden zijn 0,6, 0,8 en 0,75.
De vierde tabel gebruikt een hoek van 60°: sin θ = 0,8660…, cos θ = 0,5 en tan θ = 1,7320….
De vijfde tabel vindt de hoeken waarvoor sin θ = 0,5: hoek 1 is 30 en hoek 2 is 150 (tussen 0° en 180° hebben twee hoeken die elkaars spiegelbeeld zijn dezelfde sinus). Voor cos heb je maar één formule nodig, “=GRADEN(BOOGCOS(B1))”. Voor tan gebruik je “=GRADEN(BOOGTAN(B1))” en tel je 180 op als het antwoord negatief is.
Berekenen met Google Spreadsheets
Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Google Spreadsheets. Het werkt direct.
Tabel om sin θ te vinden (overstaande ÷ schuine zijde)
| Overstaande a | 3 |
| Schuine zijde c | 5 |
| sin θ = a ÷ c | =B1/B2 |
Tabel om cos θ te vinden (aanliggende ÷ schuine zijde)
| Aanliggende b | 4 |
| Schuine zijde c | 5 |
| cos θ = b ÷ c | =B1/B2 |
Tabel om tan θ te vinden (overstaande ÷ aanliggende)
| Overstaande a | 3 |
| Aanliggende b | 4 |
| tan θ = a ÷ b | =B1/B2 |
Tabel om sin, cos en tan uit een hoek te vinden
| Hoek θ (graden) | 60 |
| sin θ | =SIN(RADIALEN(B1)) |
| cos θ | =COS(RADIALEN(B1)) |
| tan θ | =TAN(RADIALEN(B1)) |
Tabel om de hoek uit sin θ te vinden (0° tot 180°)
| Waarde van sin θ | 0,5 |
| Hoek 1 (graden) | =GRADEN(BOOGSIN(B1)) |
| Hoek 2 (graden) | =180-B2 |
Dezelfde formules als in Excel werken zoals ze zijn. Kopieer de hele tabel, plak die in cel A1 en vervang de hoek of de lengtes van de zijden door je eigen getallen.
Berekenen met Python
import math
# Bereken sin, cos en tan uit een hoek
# Find sin, cos and tan from an angle
angle_degree = 60
angle_radian = math.radians(angle_degree) # de goniometrische functies van de module math verwachten radialen
print(f"sin {angle_degree}° = {math.sin(angle_radian)}")
print(f"cos {angle_degree}° = {math.cos(angle_radian)}")
print(f"tan {angle_degree}° = {math.tan(angle_radian)}")
# Bereken de hoek uit de waarde van een goniometrische verhouding (0° tot 180°)
# Find the angle from the value of a trig ratio (0° to 180°)
sin_value = 0.5
angle_first = math.degrees(math.asin(sin_value)) # inverse sinus; het antwoord is in radialen, dus zet om in graden
angle_second = 180 - angle_first # sin(180° − θ) = sin θ geeft de andere hoek
print(f"Hoeken waarvoor sin θ = {sin_value}: {angle_first}° en {angle_second}°")
Werkt met alleen de module math uit de standaardbibliotheek. De goniometrische functies (sin, cos, tan) verwachten de hoek in radialen, dus het komt erop aan om graden eerst om te zetten in radialen met math.radians(). Als je dit voorbeeld uitvoert, krijg je sin 60° = 0,8660…, cos 60° = 0,5000… en tan 60° = 1,7320… en de hoeken 30° en 150° waarvoor sin θ = 0,5 (Python schrijft de decimale getallen met een punt in plaats van een komma). Voor een hoek uit een cos gebruik je math.acos() (één antwoord). Voor tan gebruik je math.atan() en tel je 180 op als het antwoord negatief is.
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
sin (sinus) = overstaande zijde ÷ schuine zijde
sin θ = a ÷ c
\sin\theta = \dfrac{a}{c}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>sin</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac><mi>a</mi><mi>c</mi></mfrac>
</mrow>
</math>
sin theta = a/c
Sin[30 Degree]
sin(30*Pi/180);
sind(30)
sin θ = a/c
cos (cosinus) = aanliggende zijde ÷ schuine zijde
cos θ = b ÷ c
\cos\theta = \dfrac{b}{c}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac><mi>b</mi><mi>c</mi></mfrac>
</mrow>
</math>
cos theta = b/c
Cos[30 Degree]
cos(30*Pi/180);
cosd(30)
cos θ = b/c
tan (tangens) = overstaande zijde ÷ aanliggende zijde
tan θ = a ÷ b
\tan\theta = \dfrac{a}{b}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>tan</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac><mi>a</mi><mi>b</mi></mfrac>
</mrow>
</math>
tan theta = a/b
Tan[30 Degree]
tan(30*Pi/180);
tand(30)
tan θ = a/b
Eenheidscirkel als definitie (voor hoeken van 90° of meer)
cos θ = x, sin θ = y (punt P(x; y) op de eenheidscirkel)
\cos\theta = x,\quad \sin\theta = y
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi><mo>=</mo><mi>x</mi>
<mo>,</mo>
<mi>sin</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi><mo>=</mo><mi>y</mi>
</mrow>
</math>
cos theta = x, sin theta = y
{Cos[120 Degree], Sin[120 Degree]}
evalf([cos(120*Pi/180), sin(120*Pi/180)]);
[cosd(120), sind(120)]
cos θ = x, sin θ = y
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
Je bent een rekenassistent voor goniometrische verhoudingen. Voer de volgende berekening uit door Python-code daadwerkelijk uit te voeren en baseer je antwoord alleen op de getallen uit het resultaat van de uitvoering (geen hoofdrekenen of gokken). 1. Bepaal sin 135°, cos 135° en tan 135°. Geef elk zowel als exacte waarde (met breuken en wortels) als in decimalen. 2. Bepaal voor 0° ≤ θ ≤ 180° elke hoek θ waarvoor sin θ = 0,5. Gebruik in Python de module math en zet graden om in radialen voordat je rekent. Laat de formules zien die je hebt gebruikt en de getallen uit het resultaat van de uitvoering.
Zo werkt het
-
1Vul je getallen inTyp de getallen waarmee je wilt rekenen in de invoervelden
-
2BerekenKlik op de knop “Berekenen”
-
3Bekijk het resultaatHet resultaat verschijnt meteen. Op dezelfde pagina vind je ook de uitwerking van de berekening en de uitleg van de formule
Kenmerken van DataChef
Eenvoudig en gratis
Onbeperkt gratis converteren
Geen voorkennis nodig – intuïtieve en eenvoudige bediening
Geen voorkennis nodig – intuïtieve en eenvoudige bediening
Geen registratie nodig
Direct te gebruiken
Zonder persoonlijke gegevens op te geven
Zonder persoonlijke gegevens op te geven
Veilig en betrouwbaar
Sterk versleutelde verbinding (SSL)
Bestand wordt automatisch verwijderd zodra je op "Downloaden" klikt
Bestand wordt automatisch verwijderd zodra je op "Downloaden" klikt
Snel
Snelle laadtijden en snelle conversie
Zonder watermerk
Geen watermerk
Geen bronvermelding vereist
Geen bronvermelding vereist
Commercieel gebruik toegestaan
Gratis voor commercieel gebruik
Geen toestemming vooraf nodig
Geen toestemming vooraf nodig
Gerelateerde functies
Rechthoekige driehoek berekenen (zijden, hoeken, oppervlakte en hoogte uit twee waarden)
Los een rechthoekige driehoek op uit twee bekende waarden en bereken de andere zijden, hoeken, oppervlakte en hoogte met de stelling van Pythagoras en goniometrische verhoudingen
Stelling van Pythagoras (schuine zijde en rechthoekszijden van een rechthoekige driehoek berekenen)
Bereken de derde zijde van een rechthoekige driehoek uit de andere twee met a² + b² = c², stap voor stap
Driehoek berekenen (zijden, hoeken, oppervlakte en meer)
Los elke driehoek op uit drie waarden met de cosinusregel en de sinusregel, inclusief de oppervlakte en de ingeschreven en omgeschreven cirkel
Sinus en cosinus samenvoegen (a sin θ + b cos θ als R sin(θ + α), met maximum en minimum)
Voeg a sin θ + b cos θ samen tot één sinusgolf R sin(θ + α), met de exacte amplitude R = √(a² + b²), α als breuk van π, en het maximum en minimum
Complex getal omzetten naar poolvorm (modulus, argument en kwadrantcorrectie met stappen en complexe vlak)
Zet a + bi om in de poolvorm r(cos θ + i sin θ), met de exacte modulus en het argument als breuk van π. Ook de omgekeerde omzetting van poolvorm naar rechthoekige vorm
Stelling van De Moivre (machten en n-demachtswortels van complexe getallen met stappen en een veelhoekgrafiek)
Bereken machten en n-de machtswortels van een complex getal met de stelling van De Moivre, met stappen, en teken de wortels als regelmatige veelhoek op een cirkel
