Kies vlak of ruimte en vul de componenten van de twee vectoren a en b en de coëfficiënten k en l in. De formule hieronder is gekoppeld aan de invoervelden, dus je kunt de componenten ook direct in de formule aanpassen.
Vul alleen getallen in. Decimale getallen, negatieve getallen en breuken zoals 3/4 mogen. Een lege component telt als 0 en een lege coëfficiënt k of l als 1.
Resultaat en figuur
Vul links de componenten van de vectoren in en klik op “Berekenen”. Hier verschijnen het resultaat en een figuur.
Inhoudsopgave
-
Wat je op deze pagina kunt doen
-
Waarvoor is deze berekening handig?
-
Zo werkt het
-
Formules en figuren
-
Lengte van een vector (uit de componenten)
-
Som en verschil van vectoren (component voor component optellen of aftrekken)
-
Vermenigvuldigen met een getal (scalaire vermenigvuldiging) van een vector
-
Inproduct (een berekening die van twee vectoren een getal maakt)
-
Hoek tussen twee vectoren
-
Voorwaarden voor loodrechte en evenwijdige vectoren
-
Eenheidsvector (alleen de richting overhouden)
-
-
Symbolen en begrippen
-
Handig om vooraf te weten
-
Berekenen met Excel
-
Berekenen met Google Spreadsheets
-
Berekenen met Python
-
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
-
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
-
Kenmerken van DataChef
-
Gerelateerde functies
-
Alle rekenmachines van NumberChef
Wat je op deze pagina kunt doen
- Vul alleen de componenten in van de vectoren \(\vec{a}\) en \(\vec{b}\) in het vlak of in de ruimte en je krijgt in één keer de som \(\vec{a}+\vec{b}\), het verschil \(\vec{a}-\vec{b}\) en de lineaire combinatie \(k\vec{a}+l\vec{b}\)
- De lengte \(|\vec{a}|\) zie je zowel als exacte waarde met vereenvoudigde wortel, zoals \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\), als in decimalen
- Je krijgt ook het inproduct \(\vec{a}\cdot\vec{b}\), de hoek tussen de vectoren \(\theta\) (in graden en radialen, met exacte waarden voor bijzondere hoeken zoals \(45^{\circ}\)), de eenheidsvectoren en een controle op loodrecht/evenwijdig
- De rekenmachine toont de vectoren als kolommen, zoals je ze met de hand zou schrijven, en je kunt de componenten er direct in aanpassen
- Componenten en coëfficiënten mogen decimale getallen, negatieve getallen of breuken zoals 3/4 zijn
- Een heldere uitleg van de formules en formules om te kopiëren voor Excel, Google Spreadsheets en Python vind je ook op deze pagina
Een vector met lengte 0 (de nulvector) heeft geen richting, dus er is geen hoek tussen die vector en een andere vector en ook geen eenheidsvector. Deze rekenmachine rekent niet als \(\vec{a}\) of \(\vec{b}\) de nulvector is.
Waarvoor is deze berekening handig?
Krachten samenstellen (natuurkunde, bouw en techniek)
Als er meerdere krachten op een voorwerp werken, is hun gezamenlijke effect de som van vectoren. De spankracht van een touw waaraan schuin wordt getrokken splitsen in een horizontale en een verticale component en die optellen is precies deze berekening.
Bij het ontwerpen van bruggen en gebouwen worden krachten zoals het eigen gewicht van de constructie, wind en aardbevingen als vectoren samengesteld om de richting en grootte van de kracht op elk onderdeel te vinden. Alleen de groottes optellen en de richtingen negeren zou tot een gevaarlijk ontwerp leiden, dus werken met vectoren is onmisbaar.
3D-games en computergraphics
In een game wordt de beweging van een personage berekend als “plaatsvector + snelheidsvector”, en de richting van de camera en van een kogel in de lucht zijn allemaal vectoren. Eenheidsvectoren worden elk beeld gebruikt als alleen een richting nodig is (bewegingsrichting, kijkrichting).
Het inproduct is ook de sleutel tot belichting. Hoe groter het inproduct van de richting waarin een vlak wijst (zijn normaalvector) en de richting van het licht, hoe directer het licht het raakt, en die waarde bepaalt de helderheid op het scherm. Is het inproduct 0 of kleiner, dan bereikt het licht het vlak niet.
De koers van een vliegtuig of schip (snelheden samenstellen)
De werkelijke baan van een vliegtuig is de som van zijn snelheidsvector in de richting waarin de neus wijst en de snelheidsvector van de wind. Om recht naar het oosten te vliegen met wind uit het noorden moet de neus deels tegen de wind in wijzen, en hoeveel je moet sturen vind je door vectoren af te trekken.
Op zee tellen schepen de vector van de stroming erbij op of trekken die ervan af om te bepalen welke kant ze op moeten sturen. Snelheid en tijd component voor component kunnen verwerken is een kracht van vectoren.
Meten hoe vergelijkbaar teksten of producten zijn (AI en aanbevelingen)
Zoekmachines en generatieve AI zetten teksten om in lange rijen getallen, dus vectoren. Of twee teksten op elkaar lijken, wordt beoordeeld aan de hoek tussen hun vectoren: hoe dichter \(\cos\theta\) bij 1 ligt, hoe meer ze op elkaar lijken (cosinusgelijkenis).
Ook de functies “klanten die dit bekeken, vonden ook dit leuk” van webwinkels zetten aankoopgeschiedenissen om in vectoren en zoeken mensen en producten met een kleine hoek ertussen. Hier telt de richting (het patroon van smaken) zwaarder dan de lengte (zoals hoeveel iemand in totaal uitgeeft), en daarom werkt meten met een hoek goed.
Apparaten die positie en kanteling meten (drones, navigatie en smartphones)
Drones en smartphones bepalen hoeveel ze gekanteld zijn aan de hoek tussen de zwaartekrachtvector, gemeten door de versnellingsmeter, en een vector van de referentierichting van het apparaat. Dat het scherm wisselt tussen staand en liggend is een gevolg van deze berekening.
Bij gps-navigatie en landmeten wordt het verschil tussen de coördinaten van twee punten als vector behandeld: zijn lengte is de afstand en zijn richting is de koers. In 3D voeg je alleen de component in de hoogte toe en dezelfde formules werken zoals ze zijn.
Formules en figuren
Lengte van een vector (uit de componenten)
Figuur
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(|\vec{a}|\)
\(=\)
\(\sqrt{a_1^{2}+a_2^{2}}\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
②
\(|\vec{a}|\): lengte van vector \(\vec{a}\) (lengte van de pijl)
\(=\)
①
wortel uit de som van de gekwadrateerde componenten, \(a_1^{2}+a_2^{2}\)
De formule in woorden
①
Als \(\vec{a}=(a_1;\ a_2)\) in componentvorm, neem dan de
wortel uit \(a_1^{2}+a_2^{2}\), dus de \(x\)-component in het kwadraat plus de \(y\)-component in het kwadraat
,
②
en je krijgt de
\(|\vec{a}|\): lengte van vector \(\vec{a}\) (lengte van de pijl)
Een eenvoudig voorbeeld
De lengte van \(\vec{a}=(4;\ 2)\) (de lengte van een pijl die 4 naar rechts en 2 omhoog gaat) is
lengte van \(\vec{a}=(4;\ 2)\)
\(=\)
wortel uit \(4^2+2^2=20\)
\(|\vec{a}| = \sqrt{4^{2}+2^{2}} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5} \approx 4{,}4721\)
Het belangrijkste idee
Deze formule is de stelling van Pythagoras zelf. De componenten \(a_1\) en \(a_2\) splitsen de pijl in “hoe ver naar rechts” en “hoe ver omhoog”, dus de pijl is de schuine zijde van een rechthoekige driehoek met \(a_1\) en \(a_2\) als rechthoekszijden. Daarom is zijn lengte \(\sqrt{a_1^{2}+a_2^{2}}\).
Voor een 3D-vector \(\vec{a}=(a_1;\ a_2;\ a_3)\) tel je ook het kwadraat van de component in de hoogte erbij: \(|\vec{a}|=\sqrt{a_1^{2}+a_2^{2}+a_3^{2}}\). Er komt alleen één term bij; de stappen zijn hetzelfde.
Schrijf de wortel in het antwoord altijd in de eenvoudigste vorm (bijvoorbeeld \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\)). Deze rekenmachine toont zowel de vereenvoudigde exacte waarde als een decimaal getal.
Som en verschil van vectoren (component voor component optellen of aftrekken)
Figuur
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(\vec{a}+\vec{b}\)
\(=\)
\((a_1+b_1;\ a_2+b_2)\)
\(\vec{a}-\vec{b}\)
\(=\)
\((a_1-b_1;\ a_2-b_2)\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
②
som van \(\vec{a}\) en \(\vec{b}\)
\(=\)
①
vector die je krijgt door de \(x\)-componenten en de \(y\)-componenten op te tellen
④
verschil van \(\vec{a}\) en \(\vec{b}\)
\(=\)
③
vector die je krijgt door de \(x\)-componenten en de \(y\)-componenten af te trekken
De formule in woorden
①
De
vector die je krijgt door de \(x\)-componenten en de \(y\)-componenten op te tellen, \((a_1+b_1;\ a_2+b_2)\)
is de
②
som van \(\vec{a}\) en \(\vec{b}\), \(\vec{a}+\vec{b}\)
, en de
③
vector die je krijgt door de \(x\)-componenten en de \(y\)-componenten af te trekken, \((a_1-b_1;\ a_2-b_2)\)
is het
④
verschil van \(\vec{a}\) en \(\vec{b}\), \(\vec{a}-\vec{b}\)
Een eenvoudig voorbeeld
Als \(\vec{a}=(4;\ 2)\) en \(\vec{b}=(-1;\ 2)\)
\(\vec{a}+\vec{b}\)
\(=\)
\((4+(-1);\ 2+2)\)
\(\vec{a}+\vec{b} = (4+(-1);\ 2+2) = (3;\ 4)\)
\(\vec{a}-\vec{b} = (4-(-1);\ 2-2) = (5;\ 0)\)
Het belangrijkste idee
In de figuur is de som \(\vec{a}+\vec{b}\) de pijl die je krijgt als je het beginpunt van \(\vec{b}\) op het eindpunt van \(\vec{a}\) zet, van het allereerste beginpunt naar het allerlaatste eindpunt. Het is de diagonaal van het parallellogram met \(\vec{a}\) en \(\vec{b}\) als zijden. Daarom heet dit de parallellogramregel.
Het verschil \(\vec{a}-\vec{b}\) is \(\vec{a}+(-\vec{b})\): draai \(\vec{b}\) om en tel dan op. In de figuur is het de pijl van het eindpunt van \(\vec{b}\) naar het eindpunt van \(\vec{a}\). De richting is makkelijk te verwarren, dus onthoud: “van het eindpunt van de vector die je aftrekt (\(\vec{b}\)) naar het eindpunt van de vector waar je van aftrekt (\(\vec{a}\))”. Onthoud dat de pijl naar \(\vec{a}\) wijst, dan teken je hem niet achterstevoren.
In 3D komt er alleen één term bij die de \(z\)-componenten optelt of aftrekt; de stappen zijn hetzelfde.
Vermenigvuldigen met een getal (scalaire vermenigvuldiging) van een vector
Figuur
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
\(k\vec{a}\)
\(=\)
\((ka_1;\ ka_2)\)
②
\(k\) keer \(\vec{a}\)
\(=\)
①
vector waarvan elke component met \(k\) is vermenigvuldigd
De formule in woorden
①
De
vector waarvan elke component met \(k\) is vermenigvuldigd, \((ka_1;\ ka_2)\)
is
②
\(k\) keer de vector \(\vec{a}\), \(k\vec{a}\)
Een eenvoudig voorbeeld
Als je \(\vec{a}=(4;\ 2)\) verdubbelt (een pijl in dezelfde richting, twee keer zo lang), krijg je
\(2\vec{a}\)
\(=\)
\((2 \times 4;\ 2 \times 2)\)
\(2\vec{a} = (2 \times 4;\ 2 \times 2) = (8;\ 4)\)
\(|2\vec{a}| = \sqrt{8^{2}+4^{2}} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} = 2 \times 2\sqrt{5} = 2|\vec{a}|\)
Het belangrijkste idee
Vermenigvuldigen met een getal rekt de pijl uit of laat hem krimpen. Is \(k>0\), dan blijft de richting gelijk en wordt de lengte \(k\) keer zo groot. Is \(k<0\), dan draait de richting om en wordt de lengte \(|k|\) keer zo groot (\(k=-1\) geeft de tegengestelde vector \(-\vec{a}\)). De lengte is \(|k\vec{a}|=|k|\,|\vec{a}|\).
Deze rekenmachine werkt met de vorm \(k\vec{a}+l\vec{b}\). Met \(k=1,\ l=1\) krijg je de som en met \(k=1,\ l=-1\) het verschil, dus alleen door de coëfficiënten te veranderen kun je ook uitdrukkingen zoals \(2\vec{a}-3\vec{b}\) uitrekenen.
Met \(k=0\) krijg je de nulvector \(\vec{0}\), waarvan alle componenten 0 zijn. De nulvector heeft lengte 0 en geen richting.
Inproduct (een berekening die van twee vectoren een getal maakt)
Figuur
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(\vec{a}\cdot\vec{b}\)
\(=\)
\(|\vec{a}|\)
\(\times\)
\(|\vec{b}|\)
\(\times\)
\(\cos\theta\)
\(\vec{a}\cdot\vec{b}\)
\(=\)
\(a_1b_1+a_2b_2\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
④
inproduct van \(\vec{a}\) en \(\vec{b}\)
\(=\)
①
lengte van \(\vec{a}\)
\(\times\)
②
lengte van \(\vec{b}\)
\(\times\)
③
\(\cos\theta\): cosinus van de hoek \(\theta\)
⑥
inproduct van \(\vec{a}\) en \(\vec{b}\)
\(=\)
⑤
product van de \(x\)-componenten plus product van de \(y\)-componenten
De formule in woorden
①
Vermenigvuldig de
lengte van \(\vec{a}\), \(|\vec{a}|\)
, de
②
lengte van \(\vec{b}\), \(|\vec{b}|\)
en de
③
\(\cos\theta\): cosinus van de hoek \(\theta\)
met elkaar en je krijgt het
④
inproduct \(\vec{a}\cdot\vec{b}\)
. Met componenten geeft het
⑤
product van de \(x\)-componenten plus product van de \(y\)-componenten, \(a_1b_1+a_2b_2\)
dezelfde waarde, dus daarmee vind je ook het
⑥
inproduct \(\vec{a}\cdot\vec{b}\)
Een eenvoudig voorbeeld
Het inproduct van \(\vec{a}=(4;\ 2)\) en \(\vec{b}=(-1;\ 2)\) is
inproduct \(\vec{a}\cdot\vec{b}\)
\(=\)
\(4 \times (-1) + 2 \times 2\)
\(\vec{a}\cdot\vec{b} = 4 \times (-1) + 2 \times 2 = -4 + 4 = 0\)
Het belangrijkste idee
Het antwoord van een inproduct is geen vector maar gewoon een getal (een scalair). De naam klinkt als vermenigvuldigen, maar zie het als een bijzondere berekening die van twee pijlen één getal maakt. Schrijf het altijd met een punt op halve hoogte; \(\vec{a}\times\vec{b}\) is een andere berekening (het kruisproduct).
In de figuur is het “de lengte van de schaduw van \(\vec{b}\) die recht omlaag valt op de richting van \(\vec{a}\) (de projectie), \(|\vec{b}|\cos\theta\), maal \(|\vec{a}|\)”. Hoe meer de twee richtingen samenvallen, hoe groter dus het inproduct. Bij een rechte hoek heeft de schaduw lengte 0, dus is het inproduct 0. Wijzen de richtingen bijna tegen elkaar in, dan wijst de schaduw de andere kant op, dus is het inproduct negatief.
Gebruik de definitie (lengtes en hoek) als je de hoek kent en de formule met componenten als je de coördinaten kent. In 3D komt er een term \(a_3b_3\) bij: \(\vec{a}\cdot\vec{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3\).
Hoek tussen twee vectoren
Figuur
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(\cos\theta\)
\(=\)
\(\dfrac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|\,|\vec{b}|}\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
②
\(\cos\theta\): cosinus van de hoek \(\theta\)
\(=\)
①
\(\dfrac{\text{inproduct }\vec{a}\cdot\vec{b}}{\text{product van de lengtes }|\vec{a}|\,|\vec{b}|}\)
De formule in woorden
①
Bereken
\(\dfrac{\text{inproduct }\vec{a}\cdot\vec{b}}{\text{product van de lengtes }|\vec{a}|\,|\vec{b}|}\)
en je krijgt de
②
\(\cos\theta\): cosinus van de hoek \(\theta\)
, en daaruit de hoek \(\theta\)
Een eenvoudig voorbeeld
De hoek tussen \(\vec{a}=(1;\ 1)\) en \(\vec{b}=(2;\ 0)\) (het inproduct is \(1 \times 2 + 1 \times 0 = 2\) en de lengtes zijn \(|\vec{a}|=\sqrt{2}\) en \(|\vec{b}|=2\)) is
\(\cos\theta\)
\(=\)
\(\dfrac{2}{\sqrt{2} \times 2}\)
\(\cos\theta = \dfrac{2}{\sqrt{2} \times 2} = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\theta = 45^{\circ} = \dfrac{\pi}{4}\)
Het belangrijkste idee
Dit is gewoon de definitie van het inproduct, \(\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\), opgelost naar \(\cos\theta\). Let op: wat je eerst krijgt is de waarde van \(\cos\theta\), niet de hoek zelf.
Om uit \(\cos\theta\) de hoek te halen, vergelijk je met de waarden van bijzondere hoeken: \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) is \(45^{\circ}\), \(\dfrac{1}{2}\) is \(60^{\circ}\) en \(0\) is \(90^{\circ}\). Voor andere waarden gebruik je de inverse cosinus \(\cos^{-1}\) (arccos); deze rekenmachine toont het resultaat als decimaal getal. Afgesproken is dat de hoek tussen twee vectoren wordt gegeven tussen \(0^{\circ} \le \theta \le 180^{\circ}\).
Het teken van \(\cos\theta\) alleen zegt je al welke soort hoek het is: positief is scherp, 0 is recht en negatief is stomp. Blijft er een wortel in de noemer staan, maak de noemer dan wortelvrij, zoals in \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).
Voorwaarden voor loodrechte en evenwijdige vectoren
Figuur
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(\vec{a}\perp\vec{b}\)
\(\iff\)
\(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)
\(\vec{a}\parallel\vec{b}\)
\(\iff\)
\(\vec{b}=k\vec{a}\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
①
\(\vec{a}\) en \(\vec{b}\) staan loodrecht op elkaar
\(\iff\)
②
het inproduct is 0
③
\(\vec{a}\) en \(\vec{b}\) zijn evenwijdig
\(\iff\)
④
de ene is een veelvoud van de andere
De formule in woorden
①
Als geen van beide \(\vec{a}\) en \(\vec{b}\) de nulvector is, dan geldt:
\(\vec{a}\) en \(\vec{b}\) staan onder een rechte hoek op elkaar
precies dan als
②
het inproduct 0 is, \(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)
, en
③
\(\vec{a}\) en \(\vec{b}\) zijn evenwijdig
precies dan als
④
\(\vec{b}=k\vec{a}\) voor een reëel getal \(k\)
Een eenvoudig voorbeeld
Als \(\vec{a}=(4;\ 2)\) en \(\vec{b}=(-1;\ 2)\), is het inproduct \(4 \times (-1) + 2 \times 2 = 0\), dus
\(\vec{a}\) en \(\vec{b}\) staan loodrecht op elkaar
\(\iff\)
het inproduct is \(0\)
\(\vec{a}\cdot\vec{b} = 4 \times (-1) + 2 \times 2 = 0 \quad \Rightarrow \quad \vec{a}\perp\vec{b}\)
\(\vec{c} = (8;\ 4) = 2\vec{a} \quad \Rightarrow \quad \vec{c}\parallel\vec{a}\)
Het belangrijkste idee
Om te controleren of vectoren loodrecht op elkaar staan, heb je de hoek niet nodig; kijk alleen of het inproduct 0 is. Omdat \(\cos 90^{\circ}=0\), wordt de hele definitie \(|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\) gelijk aan 0. Het is een standaardmiddel om in meetkundige bewijzen aan te tonen dat een hoek recht is.
In het vlak is de voorwaarde voor evenwijdig, \(\vec{b}=k\vec{a}\), in componenten \(a_1b_2-a_2b_1=0\). Dat is handig, omdat je het kunt controleren zonder \(k\) te zoeken (het zegt hetzelfde als dat de verhoudingen van de componenten gelijk zijn, \(a_1:a_2=b_1:b_2\)).
Beide voorwaarden gaan ervan uit dat geen van beide \(\vec{a}\) en \(\vec{b}\) de nulvector is. De nulvector heeft met elke vector inproduct 0, maar omdat hij geen richting heeft, noemen we hem niet loodrecht en vragen we niet of hij evenwijdig is. Daarom formuleren studieboeken de voorwaarden met “als \(\vec{a} \neq \vec{0},\ \vec{b} \neq \vec{0}\)”.
Eenheidsvector (alleen de richting overhouden)
Figuur
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(\dfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|}\)
\(=\)
\(\left(\dfrac{a_1}{|\vec{a}|};\ \dfrac{a_2}{|\vec{a}|}\right)\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
②
vector met dezelfde richting als \(\vec{a}\) en lengte 1
\(=\)
①
\(\dfrac{\text{oorspronkelijke componenten }(a_1;\ a_2)}{\text{lengte van de vector }|\vec{a}|}\)
De formule in woorden
①
Deel elke component door de lengte, zoals in
\(\dfrac{\text{oorspronkelijke componenten }(a_1;\ a_2)}{\text{lengte van de vector }|\vec{a}|}\)
, en je krijgt de
②
vector met dezelfde richting als \(\vec{a}\) en lengte 1 (de eenheidsvector)
Een eenvoudig voorbeeld
De eenheidsvector in de richting van \(\vec{a}=(4;\ 2)\) (met lengte \(|\vec{a}|=2\sqrt{5}\)) is
eenheidsvector in de richting van \(\vec{a}=(4;\ 2)\)
\(=\)
\(\dfrac{(4;\ 2)}{2\sqrt{5}}\)
\(\dfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = \left(\dfrac{4}{2\sqrt{5}};\ \dfrac{2}{2\sqrt{5}}\right) = \left(\dfrac{2\sqrt{5}}{5};\ \dfrac{\sqrt{5}}{5}\right)\)
\(\sqrt{\left(\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\right)^{2}+\left(\dfrac{\sqrt{5}}{5}\right)^{2}} = \sqrt{\dfrac{20}{25}+\dfrac{5}{25}} = \sqrt{\dfrac{25}{25}} = 1\)
Het belangrijkste idee
Een eenheidsvector is een vector die de informatie over de lengte weglaat en alleen de richting houdt. Delen door de lengte geeft altijd lengte 1, want \(\left|\dfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|}\right| = \dfrac{|\vec{a}|}{|\vec{a}|} = 1\), dus je hoeft de lengte na het delen niet opnieuw te controleren.
Met alleen de richting kun je “het punt 5 eenheden verderop in de richting van \(\vec{a}\)” schrijven als “5 × de eenheidsvector”. Het is een hulpmiddel voor situaties waarin de lengte niet telt en alleen de richting, zoals de bewegingsrichting, de kijkrichting of de richting waarin een vlak wijst (de normaal).
Als je de componenten door de lengte deelt, komt er een wortel in de noemer, dus maak het antwoord wortelvrij, zoals in \(\dfrac{4}{2\sqrt{5}}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\). Bij elke richting hoort een vector met lengte 1, dus zeg “in de richting van \(\vec{a}\)” om hem te onderscheiden van de eenheidsvector in de tegengestelde richting, \(-\dfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|}\). In 3D komt er alleen één term bij die de \(z\)-component door dezelfde lengte deelt; de stappen zijn hetzelfde.
Een vector is een grootheid met richting en lengte. Schrijf je hem in componentvorm, \(\vec{a}=(a_1;\ a_2)\), dan wordt rekenen veel makkelijker. Som, verschil en vermenigvuldigen met een getal doe je component voor component, de lengte is \(|\vec{a}|=\sqrt{a_1^{2}+a_2^{2}}\) (de stelling van Pythagoras) en het inproduct is de som van de producten van de componenten, \(a_1b_1+a_2b_2\). Deel je het inproduct door het product van de lengtes, dan krijg je \(\cos\theta\), en dat vertelt je de hoek tussen de twee vectoren. Is het inproduct 0, dan staan de vectoren loodrecht op elkaar; is de ene een veelvoud van de andere, dan zijn ze evenwijdig.
Symbolen en begrippen
Symbolen
| \(\vec{a}\) | vector a | Het symbool voor een vector. De pijl boven de letter laat zien dat het een grootheid met richting is. Sommige boeken gebruiken in plaats daarvan vetgedrukte letters, zoals \(\boldsymbol{a}\); het is dezelfde vector. Het gerichte lijnstuk van punt A naar punt B schrijf je als \(\overrightarrow{\mathrm{AB}}\) (de vector van A naar B). |
| \(a_1,\ a_2,\ a_3\) | a één, a twee, a drie | De componenten van vector \(\vec{a}\). Het kleine getal rechtsonder (de index) zegt welke component het is: \(a_1\) is de stap in de \(x\)-richting, \(a_2\) in de \(y\)-richting en \(a_3\) in de \(z\)-richting. Sommige boeken gebruiken \(x\) en \(y\) als indices, zoals in \(\vec{a}=(a_x;\ a_y)\). |
| \(|\vec{a}|\) | lengte van vector a | De lengte van vector \(\vec{a}\) (de lengte van de pijl). Het gebruikt dezelfde verticale streepjes als de absolute waarde van een reëel getal, met hetzelfde idee: laat de richting weg en kijk alleen naar de grootte. De waarde is altijd 0 of meer. |
| \(\vec{a}\cdot\vec{b}\) | a inproduct b | Het inproduct. Je schrijft het gewoonlijk met een punt op halve hoogte en het antwoord is een getal, geen vector. Het heet ook wel scalair product of, in het Engels, dot product, naar dit symbool. |
| \(\theta\) | theta | De hoek tussen twee vectoren. Voor hoeken gebruik je gewoonlijk Griekse letters, en \(\theta\) is de meest gebruikte. De hoek tussen vectoren is de opening tussen de vectoren als ze in hetzelfde punt beginnen, genomen tussen \(0^{\circ}\) en \(180^{\circ}\). |
| \(\cos\theta\) | cosinus theta | De cosinus van de hoek \(\theta\). In een rechthoekige driehoek is het de aanliggende zijde gedeeld door de schuine zijde, en de waarde ligt tussen \(-1\) en \(1\). Het is de belangrijkste schakel tussen het inproduct en de hoek. |
| \(\cos^{-1}\) | inverse cosinus (arccosinus) | De inverse cosinus. Een functie die uit de waarde van \(\cos\theta\) de hoek \(\theta\) geeft, ook geschreven als \(\arccos\). De \(-1\) rechtsboven staat voor “de omgekeerde bewerking”, niet voor \(\cos\) tot de macht \(-1\). Op een rekenmachine is het de toets die klein boven cos staat (vaak bereikbaar met 2nd of SHIFT). |
| \(k,\ l\) | k, l | Reële getallen (scalairen) die zeggen hoeveel keer je een vector vermenigvuldigt. De letter \(k\) wordt vaak voor constanten gebruikt. In deze rekenmachine vul je ze in als de coëfficiënten van \(k\vec{a}+l\vec{b}\). |
| \(\vec{0}\) | nulvector | De vector waarvan alle componenten 0 zijn (de nulvector). Het is een bijzondere vector met lengte 0 en zonder richting, dus er is geen hoek of eenheidsvector voor. |
| \(\perp\) | staat loodrecht op | Het symbool voor “staat loodrecht op”. \(\vec{a}\perp\vec{b}\) lees je als “\(\vec{a}\) staat loodrecht op \(\vec{b}\)”. Het symbool is een tekening van een rechte hoek. |
| \(\parallel\) | is evenwijdig aan | Het symbool voor “is evenwijdig aan”. \(\vec{a}\parallel\vec{b}\) lees je als “\(\vec{a}\) is evenwijdig aan \(\vec{b}\)”. Het symbool zijn twee evenwijdige lijnen naast elkaar. |
| \(\iff\) | dan en slechts dan als | Een symbool dat zegt dat de linkerkant en de rechterkant gelijkwaardig zijn. Het zegt “de rechterkant geldt als de linkerkant geldt, en alleen dan”, en je schrijft het als een dubbele pijl. |
| \(\sqrt{\ }\) | wortel | Het symbool voor de vierkantswortel. \(\sqrt{20}\) is “het positieve getal dat 20 oplevert als je het kwadrateert”. De lengte van een vector schrijf je met dit symbool op en antwoorden geef je in de eenvoudigste wortelvorm, door kwadraten buiten de wortel te halen, zoals in \(\sqrt{20}=2\sqrt{5}\). |
Begrippen
| vector | Een grootheid met zowel een richting als een grootte (lengte). Het beschrijft zaken als snelheid, kracht en verplaatsing, waarbij de grootte alleen niet genoeg is en je ook de richting nodig hebt. Je tekent het als een pijl, en als je de pijl verschuift zonder te draaien (zelfde richting en lengte), krijg je dezelfde vector. |
| scalair | Gewoon een getal zonder richting (zoals een lengte, gewicht of temperatuur). Het woord gebruik je om het te onderscheiden van een vector. Het antwoord van een inproduct is een scalair. |
| gericht lijnstuk | Een lijnstuk met een richting: de pijl zelf, met een vast beginpunt en eindpunt. Een vector krijg je door alleen de richting en lengte te houden, wat de plaats ook is. |
| componentvorm | Een vector opschrijven als een rijtje getallen dat zegt “hoeveel in de \(x\)-richting, hoeveel in de \(y\)-richting”. Naast in een rij, zoals \(\vec{a}=(4;\ 2)\), kun je hem ook als kolomvector opschrijven; beide zijn gelijkwaardig. In componentvorm zijn sommen en inproducten gewoon getalberekeningen. |
| lengte | De lengte van de pijl van de vector. Ze heet ook norm, en je vindt haar uit de componenten met \(\sqrt{a_1^{2}+a_2^{2}}\). |
| eenheidsvector | Een vector met lengte 1. Als je \(\dfrac{\vec{a}}{|\vec{a}|}\) uitrekent, krijg je een vector in dezelfde richting als \(\vec{a}\) waarvan de lengte op 1 is gezet. Je gebruikt hem als je alleen een richting wilt aangeven. |
| nulvector | De vector \(\vec{0}\) waarvan alle componenten 0 zijn. Zijn lengte is 0 en hij heeft geen richting. Hij komt voor als het verschil van een vector en zichzelf, zoals in \(\vec{a}-\vec{a}=\vec{0}\). |
| tegengestelde vector | De vector \(-\vec{a}\) met dezelfde lengte en precies de tegengestelde richting. Het is het veelvoud met \(k=-1\), en je gebruikt hem bij het verschil \(\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+(-\vec{b})\). |
| scalaire vermenigvuldiging | Een vector vermenigvuldigd met een getal \(k\). De lengte wordt \(k\) keer zo groot in dezelfde richting, en is \(k\) negatief, dan keert de richting om. |
| parallellogramregel | De regel dat de som van twee vectoren de diagonaal is van het parallellogram met die twee vectoren als zijden. Je gebruikt hem direct om krachten in een tekening samen te stellen. |
| inproduct | Een berekening die van twee vectoren één getal maakt. Het is gedefinieerd als \(|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta\) en met componenten reken je \(a_1b_1+a_2b_2\). Het laat als getal zien hoe goed de twee richtingen samenvallen. |
| hoek tussen twee vectoren | De hoek \(\theta\) die ontstaat als twee vectoren in hetzelfde punt beginnen. Je neemt hem tussen \(0^{\circ}\) en \(180^{\circ}\). |
| projectie | De schaduw van de ene vector op de richting van een andere, als er recht van boven licht op schijnt (de loodrechte projectie). De lengte van de projectie van \(\vec{b}\) op de richting van \(\vec{a}\) is \(|\vec{b}|\cos\theta\) (de scalaire projectie), en het inproduct kun je lezen als deze schaduwlengte maal \(|\vec{a}|\). |
| loodrecht | Twee vectoren die elkaar onder een rechte hoek ontmoeten (ook wel orthogonaal genoemd). Voor twee vectoren die niet de nulvector zijn, is het hetzelfde als dat het inproduct 0 is. |
| evenwijdig | Twee vectoren die in dezelfde of in precies tegengestelde richting wijzen. Het is hetzelfde als dat de ene een veelvoud van de andere is, en in het vlak kun je het alleen uit de componenten controleren met \(a_1b_2-a_2b_1=0\). |
| plaatsvector | Een vector die in de oorsprong begint en de plaats van een punt aangeeft. De plaatsvector van punt A is \(\overrightarrow{\mathrm{OA}}\), en de coördinaten van het punt zijn zijn componenten. Het is het beginpunt om figuren met vectoren te onderzoeken. |
Handig om vooraf te weten
Dit helpt je om de berekening op deze pagina te gebruiken met echt begrip, en niet alleen door op de knop te drukken.
Loop je vast, dan is het herhalen van deze onderwerpen de snelste weg vooruit.
| Het coördinatenstelsel en 3D-coördinaten (klas 1 tot en met de bovenbouw, 12-18 jaar) |
|
| Rekenen met negatieve getallen (klas 1, 12-13 jaar) |
|
| Wortels (klas 2-3, 13-15 jaar) |
|
| De stelling van Pythagoras (klas 2, 13-14 jaar) |
|
| Goniometrie, de cosinus (klas 3-4, 14-16 jaar) |
|
| Vergelijkingen en breuken (klas 1-3, 12-15 jaar) |
|
Berekenen met Excel
Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Excel. Het werkt direct.
Tabel om de lengte van een vector te vinden
| x-component a1 | 4 |
| y-component a2 | 2 |
| z-component a3 (0 bij 2D) | 4 |
| Lengte |a| | =WORTEL(B1^2+B2^2+B3^2) |
Tabel om de som en het verschil van vectoren te vinden
| a, x-component a1 | 4 |
| a, y-component a2 | 2 |
| a, z-component a3 | 4 |
| b, x-component b1 | -1 |
| b, y-component b2 | 2 |
| b, z-component b3 | 2 |
| Som, x-component | =B1+B4 |
| Som, y-component | =B2+B5 |
| Som, z-component | =B3+B6 |
| Verschil, x-component | =B1-B4 |
| Verschil, y-component | =B2-B5 |
| Verschil, z-component | =B3-B6 |
Tabel om een veelvoud van een vector te vinden (scalaire vermenigvuldiging)
| Scalair k | 2 |
| x-component a1 | 4 |
| y-component a2 | 2 |
| z-component a3 | 4 |
| k keer, x-component | =B1*B2 |
| k keer, y-component | =B1*B3 |
| k keer, z-component | =B1*B4 |
Tabel om het inproduct te vinden
| a, x-component a1 | 4 |
| a, y-component a2 | 2 |
| a, z-component a3 | 4 |
| b, x-component b1 | -1 |
| b, y-component b2 | 2 |
| b, z-component b3 | 2 |
| Inproduct a·b | =B1*B4+B2*B5+B3*B6 |
Tabel om de hoek tussen twee vectoren te vinden
| Inproduct a·b | 8 |
| Lengte |a| | 6 |
| Lengte |b| | 3 |
| cosθ | =B1/(B2*B3) |
| Hoek θ (graden) | =GRADEN(BOOGCOS(B4)) |
| Hoek θ (radialen) | =BOOGCOS(B4) |
Tabel om de voorwaarden voor loodrecht en evenwijdig te controleren (2D)
| a, x-component a1 | 4 |
| a, y-component a2 | 2 |
| b, x-component b1 | -1 |
| b, y-component b2 | 2 |
| Inproduct a·b | =B1*B3+B2*B4 |
| Loodrecht? | =ALS(B5=0;"Loodrecht";"Niet loodrecht") |
| a1b2 − a2b1 | =B1*B4-B2*B3 |
| Evenwijdig? | =ALS(B7=0;"Evenwijdig";"Niet evenwijdig") |
Tabel om de eenheidsvector te vinden
| x-component a1 | 4 |
| y-component a2 | 2 |
| z-component a3 (0 bij 2D) | 4 |
| Lengte |a| | =WORTEL(B1^2+B2^2+B3^2) |
| Eenheidsvector, x-component | =B1/B4 |
| Eenheidsvector, y-component | =B2/B4 |
| Eenheidsvector, z-component | =B3/B4 |
| Controle - lengte van de eenheidsvector | =WORTEL(B5^2+B6^2+B7^2) |
Na het plakken zijn de bovenste rijen (componenten en coëfficiënten) de invoer en laten de onderste rijen de berekende resultaten zien.
“^” is een macht, WORTEL is de vierkantswortel, BOOGCOS is de inverse cosinus (een functie die uit een cosinuswaarde de hoek vindt) en GRADEN zet radialen om in graden.
Tabel 1 tot en met 4 gebruiken de 3D-vectoren a = (4; 2; 4) en b = (−1; 2; 2). De lengte |a| is 6, de som is (3; 4; 6), het verschil is (5; 0; 2), 2a is (8; 4; 8) en het inproduct is 8. Voor 2D-vectoren zet je de cellen van de z-component op 0.
Tabel 5 vindt de hoek uit dat inproduct van 8 en de lengtes 6 en 3. cosθ is 0,4444… en de hoek is ongeveer 63,61 graden (ongeveer 1,1102 radialen).
Tabel 6 gebruikt de 2D-vectoren a = (4; 2) en b = (−1; 2). Het inproduct is 0, dus je ziet “Loodrecht”, en a1b2 − a2b1 is 10, niet 0, dus je ziet “Niet evenwijdig”.
Tabel 7 vindt de eenheidsvector voor dezelfde a = (4; 2; 4) als in tabel 1. Elke component wordt gedeeld door de lengte 6, wat (0,6667; 0,3333; 0,6667) geeft, en de onderste rij bevestigt dat de lengte ervan precies 1 is.
“^” is een macht, WORTEL is de vierkantswortel, BOOGCOS is de inverse cosinus (een functie die uit een cosinuswaarde de hoek vindt) en GRADEN zet radialen om in graden.
Tabel 1 tot en met 4 gebruiken de 3D-vectoren a = (4; 2; 4) en b = (−1; 2; 2). De lengte |a| is 6, de som is (3; 4; 6), het verschil is (5; 0; 2), 2a is (8; 4; 8) en het inproduct is 8. Voor 2D-vectoren zet je de cellen van de z-component op 0.
Tabel 5 vindt de hoek uit dat inproduct van 8 en de lengtes 6 en 3. cosθ is 0,4444… en de hoek is ongeveer 63,61 graden (ongeveer 1,1102 radialen).
Tabel 6 gebruikt de 2D-vectoren a = (4; 2) en b = (−1; 2). Het inproduct is 0, dus je ziet “Loodrecht”, en a1b2 − a2b1 is 10, niet 0, dus je ziet “Niet evenwijdig”.
Tabel 7 vindt de eenheidsvector voor dezelfde a = (4; 2; 4) als in tabel 1. Elke component wordt gedeeld door de lengte 6, wat (0,6667; 0,3333; 0,6667) geeft, en de onderste rij bevestigt dat de lengte ervan precies 1 is.
Berekenen met Google Spreadsheets
Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Google Spreadsheets. Het werkt direct.
Tabel om de lengte van een vector te vinden
| x-component a1 | 4 |
| y-component a2 | 2 |
| z-component a3 (0 bij 2D) | 4 |
| Lengte |a| | =WORTEL(B1^2+B2^2+B3^2) |
Tabel om de som en het verschil van vectoren te vinden
| a, x-component a1 | 4 |
| a, y-component a2 | 2 |
| a, z-component a3 | 4 |
| b, x-component b1 | -1 |
| b, y-component b2 | 2 |
| b, z-component b3 | 2 |
| Som, x-component | =B1+B4 |
| Som, y-component | =B2+B5 |
| Som, z-component | =B3+B6 |
| Verschil, x-component | =B1-B4 |
| Verschil, y-component | =B2-B5 |
| Verschil, z-component | =B3-B6 |
Tabel om een veelvoud van een vector te vinden (scalaire vermenigvuldiging)
| Scalair k | 2 |
| x-component a1 | 4 |
| y-component a2 | 2 |
| z-component a3 | 4 |
| k keer, x-component | =B1*B2 |
| k keer, y-component | =B1*B3 |
| k keer, z-component | =B1*B4 |
Tabel om het inproduct te vinden
| a, x-component a1 | 4 |
| a, y-component a2 | 2 |
| a, z-component a3 | 4 |
| b, x-component b1 | -1 |
| b, y-component b2 | 2 |
| b, z-component b3 | 2 |
| Inproduct a·b | =B1*B4+B2*B5+B3*B6 |
Tabel om de hoek tussen twee vectoren te vinden
| Inproduct a·b | 8 |
| Lengte |a| | 6 |
| Lengte |b| | 3 |
| cosθ | =B1/(B2*B3) |
| Hoek θ (graden) | =GRADEN(BOOGCOS(B4)) |
| Hoek θ (radialen) | =BOOGCOS(B4) |
Tabel om de voorwaarden voor loodrecht en evenwijdig te controleren (2D)
| a, x-component a1 | 4 |
| a, y-component a2 | 2 |
| b, x-component b1 | -1 |
| b, y-component b2 | 2 |
| Inproduct a·b | =B1*B3+B2*B4 |
| Loodrecht? | =ALS(B5=0;"Loodrecht";"Niet loodrecht") |
| a1b2 − a2b1 | =B1*B4-B2*B3 |
| Evenwijdig? | =ALS(B7=0;"Evenwijdig";"Niet evenwijdig") |
Tabel om de eenheidsvector te vinden
| x-component a1 | 4 |
| y-component a2 | 2 |
| z-component a3 (0 bij 2D) | 4 |
| Lengte |a| | =WORTEL(B1^2+B2^2+B3^2) |
| Eenheidsvector, x-component | =B1/B4 |
| Eenheidsvector, y-component | =B2/B4 |
| Eenheidsvector, z-component | =B3/B4 |
| Controle - lengte van de eenheidsvector | =WORTEL(B5^2+B6^2+B7^2) |
Dezelfde formules als in Excel werken zoals ze zijn (met de Nederlandse functienamen WORTEL, BOOGCOS, GRADEN en ALS). Kopieer de hele tabel, plak die in cel A1 en vervang de componenten door je eigen getallen.
Google Spreadsheets heeft ook een functie SOMPRODUCT. Geef die de twee bereiken met componenten, zoals in “=SOMPRODUCT(B1:B3;B4:B6)”, en ze vindt het inproduct in één formule.
Google Spreadsheets heeft ook een functie SOMPRODUCT. Geef die de twee bereiken met componenten, zoals in “=SOMPRODUCT(B1:B3;B4:B6)”, en ze vindt het inproduct in één formule.
Berekenen met Python
import math
from fractions import Fraction
# Componenten van de vectoren (een breuk zoals 3/4 schrijf je als Fraction(3, 4); gebruik bij 2D twee getallen)
# Vector components (a fraction such as 3/4 can be written Fraction(3, 4); for 2D, use two items)
a = [Fraction(4), Fraction(2), Fraction(4)]
b = [Fraction(-1), Fraction(2), Fraction(2)]
k, l = Fraction(2), Fraction(3)
# Som, verschil en lineaire combinatie (component voor component)
# Sum, difference and linear combination (component by component)
vector_sum = [x + y for x, y in zip(a, b)]
vector_diff = [x - y for x, y in zip(a, b)]
combination = [k * x + l * y for x, y in zip(a, b)]
# Inproduct, lengtes en hoek
# Dot product, magnitudes and angle
dot = sum(x * y for x, y in zip(a, b))
size_a = math.sqrt(sum(x * x for x in a))
size_b = math.sqrt(sum(x * x for x in b))
cos_theta = dot / (size_a * size_b)
theta_degrees = math.degrees(math.acos(cos_theta))
print(f"Som: {vector_sum}")
print(f"Verschil: {vector_diff}")
print(f"ka + lb: {combination}")
print(f"Inproduct: {dot}")
print(f"Lengte |a|: {size_a}, |b|: {size_b}")
print(f"cos(theta): {float(cos_theta)}, hoek: {theta_degrees} graden")
# Eenheidsvector en controle op loodrecht
# Unit vector and perpendicular check
unit_a = [float(x) / size_a for x in a]
print(f"Eenheidsvector in de richting van a: {unit_a}")
print("Loodrecht" if dot == 0 else "Niet loodrecht")
Het gebruikt alleen de standaardbibliotheek. Als je de componenten als Fraction (breuken) bewaart, zijn de som, het verschil en het inproduct exact, zonder afrondingsfout. De lengtes en de hoek bevatten wortels, dus die worden met de module math als decimale getallen berekend. Dit voorbeeld gebruikt a = (4; 2; 4) en b = (−1; 2; 2) en toont het inproduct 8, de lengtes 6 en 3 en een hoek van ongeveer 63,61 graden (Python schrijft daarbij een punt in plaats van een komma). Pas de componenten aan en voer de code uit.
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
Lengte van een vector (uit de componenten)
|a| = √(a₁² + a₂²)
\left|\vec{a}\right| = \sqrt{a_1^{2} + a_2^{2}}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mrow><mo>|</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>|</mo></mrow>
<mo>=</mo>
<msqrt>
<mrow>
<msup><msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub><mn>2</mn></msup>
<mo>+</mo>
<msup><msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub><mn>2</mn></msup>
</mrow>
</msqrt>
</mrow>
</math>
abs(vec a) = sqrt(a_1^2 + a_2^2)
Norm[{a1, a2}]
LinearAlgebra:-Norm(Vector([a1, a2]), 2);
norm([a1 a2])
|a| = √(a_1^2 + a_2^2)
Som en verschil van vectoren (component voor component optellen of aftrekken)
a + b = (a₁ + b₁, a₂ + b₂)
\vec{a} + \vec{b} = (a_1 + b_1,\ a_2 + b_2)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover>
<mo>+</mo>
<mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover>
<mo>=</mo>
<mo>(</mo>
<msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub><mo>+</mo><msub><mi>b</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>,</mo>
<msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub><mo>+</mo><msub><mi>b</mi><mn>2</mn></msub>
<mo>)</mo>
</mrow>
</math>
vec a + vec b = (a_1 + b_1, a_2 + b_2)
{a1, a2} + {b1, b2}
Vector([a1, a2]) + Vector([b1, b2]);
[a1 a2] + [b1 b2]
a + b = (a_1 + b_1, a_2 + b_2)
Vermenigvuldigen met een getal (scalaire vermenigvuldiging) van een vector
ka = (ka₁, ka₂)
k\vec{a} = (k a_1,\ k a_2)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>k</mi><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover>
<mo>=</mo>
<mo>(</mo>
<mi>k</mi><msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>,</mo>
<mi>k</mi><msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub>
<mo>)</mo>
</mrow>
</math>
k vec a = (k a_1, k a_2)
k {a1, a2}
k * Vector([a1, a2]);
k * [a1 a2]
ka = (k a_1, k a_2)
Inproduct (een berekening die van twee vectoren een getal maakt)
a ⋅ b = |a||b|cosθ = a₁b₁ + a₂b₂
\vec{a}\cdot\vec{b} = \left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|\cos\theta = a_1 b_1 + a_2 b_2
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover>
<mo>⋅</mo>
<mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover>
<mo>=</mo>
<msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>b</mi><mn>1</mn></msub>
<mo>+</mo>
<msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub><msub><mi>b</mi><mn>2</mn></msub>
</mrow>
</math>
vec a * vec b = abs(vec a) abs(vec b) cos theta = a_1 b_1 + a_2 b_2
Dot[{a1, a2}, {b1, b2}]
DotProduct(Vector([a1, a2]), Vector([b1, b2]));
dot([a1 a2], [b1 b2])
a ⋅ b = |a||b| cos θ = a_1 b_1 + a_2 b_2
Hoek tussen twee vectoren
cos θ = (a ⋅ b) ÷ (|a||b|)
\cos\theta = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>cos</mi><mi>θ</mi>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow>
<mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover>
<mo>⋅</mo>
<mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover>
</mrow>
<mrow>
<mo>|</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>|</mo>
<mo>|</mo><mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover><mo>|</mo>
</mrow>
</mfrac>
</mrow>
</math>
cos theta = (vec a * vec b) / (abs(vec a) abs(vec b))
ArcCos[Dot[a, b]/(Norm[a] Norm[b])]
VectorAngle(Vector([a1, a2]), Vector([b1, b2]));
acos(dot(a, b) / (norm(a) * norm(b)))
cos θ = (a ⋅ b)/(|a||b|)
Voorwaarden voor loodrechte en evenwijdige vectoren
a⊥b ⟺ a ⋅ b = 0, a∥b ⟺ b = ka
\vec{a}\perp\vec{b} \iff \vec{a}\cdot\vec{b}=0,\qquad \vec{a}\parallel\vec{b} \iff \vec{b}=k\vec{a}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover>
<mo>⊥</mo>
<mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover>
<mo>⟺</mo>
<mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover>
<mo>⋅</mo>
<mover><mi>b</mi><mo>→</mo></mover>
<mo>=</mo>
<mn>0</mn>
</mrow>
</math>
vec a _|_ vec b <=> vec a * vec b = 0
Dot[a, b] == 0
evalb(DotProduct(a, b) = 0);
dot(a, b) == 0
a ⊥ b ⟺ a ⋅ b = 0
Eenheidsvector (alleen de richting overhouden)
a ÷ |a| = (a₁ ÷ |a|, a₂ ÷ |a|)
\frac{\vec{a}}{\left|\vec{a}\right|} = \left(\frac{a_1}{\left|\vec{a}\right|},\ \frac{a_2}{\left|\vec{a}\right|}\right)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mfrac>
<mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover>
<mrow><mo>|</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>|</mo></mrow>
</mfrac>
<mo>=</mo>
<mo>(</mo>
<mfrac>
<msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub>
<mrow><mo>|</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>|</mo></mrow>
</mfrac>
<mo>,</mo>
<mfrac>
<msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub>
<mrow><mo>|</mo><mover><mi>a</mi><mo>→</mo></mover><mo>|</mo></mrow>
</mfrac>
<mo>)</mo>
</mrow>
</math>
vec a / abs(vec a) = (a_1/abs(vec a), a_2/abs(vec a))
Normalize[{a1, a2}]
LinearAlgebra:-Normalize(Vector([a1, a2]), 2);
[a1 a2] / norm([a1 a2])
a/|a| = (a_1/|a|, a_2/|a|)
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
Je bent een assistent voor wiskundige berekeningen (vectoren). Voer de volgende berekeningen uit door Python-code daadwerkelijk uit te voeren en baseer je antwoord alleen op de getallen uit de uitvoer (geen hoofdrekenen of gokken). Bepaal voor de 3D-vectoren a = (4; 2; 4) en b = (−1; 2; 2) elk van de volgende zaken. 1. De componenten van de som a + b, het verschil a − b en 2a + 3b 2. De lengtes |a| en |b| (zowel als exacte waarden met vereenvoudigde wortels als in decimalen) 3. Het inproduct a·b 4. De hoek θ tussen de vectoren (in zowel graden als radialen, met de exacte waarde als het een bijzondere hoek is) 5. De eenheidsvector in de richting van a 6. Of a en b loodrecht of evenwijdig zijn, en waarom Gebruik in Python de modules fractions en math (en sympy als dat nodig is) en laat de formules zien die je hebt gebruikt en de getallen uit de uitvoer.
Zo werkt het
-
1Vul je getallen inTyp de getallen waarmee je wilt rekenen in de invoervelden
-
2BerekenKlik op de knop “Berekenen”
-
3Bekijk het resultaatHet resultaat verschijnt meteen. Op dezelfde pagina vind je ook de uitwerking van de berekening en de uitleg van de formule
Kenmerken van DataChef
Eenvoudig en gratis
Onbeperkt gratis converteren
Geen voorkennis nodig – intuïtieve en eenvoudige bediening
Geen voorkennis nodig – intuïtieve en eenvoudige bediening
Geen registratie nodig
Direct te gebruiken
Zonder persoonlijke gegevens op te geven
Zonder persoonlijke gegevens op te geven
Veilig en betrouwbaar
Sterk versleutelde verbinding (SSL)
Bestand wordt automatisch verwijderd zodra je op "Downloaden" klikt
Bestand wordt automatisch verwijderd zodra je op "Downloaden" klikt
Snel
Snelle laadtijden en snelle conversie
Zonder watermerk
Geen watermerk
Geen bronvermelding vereist
Geen bronvermelding vereist
Commercieel gebruik toegestaan
Gratis voor commercieel gebruik
Geen toestemming vooraf nodig
Geen toestemming vooraf nodig
Gerelateerde functies
Kruisproduct berekenen (componenten, oppervlakte van een parallellogram, normaalvector)
Bereken het kruisproduct a×b van twee vectoren in de ruimte (een vector die loodrecht staat op beide) en de oppervlakte van het parallellogram dat ze vormen
Stelling van Pythagoras (schuine zijde en rechthoekszijden van een rechthoekige driehoek berekenen)
De stelling van Pythagoras is de reden achter de lengte van een vector. Bereken de zijden van een rechthoekige driehoek
