Vul de coëfficiënten a en b in van de uitdrukking a sin θ + b cos θ. De formule hieronder is gekoppeld aan de invoervelden, dus je kunt de coëfficiënten ook rechtstreeks in de formule aanpassen.
Decimalen, negatieve getallen, breuken zoals 3/4 en waarden met een wortel, zoals √3, √3/2 of 2√3, zijn allemaal goed (in de formule hieronder krijg je √ door sqrt te typen). Een lege coëfficiënt telt als 1 (sin θ betekent 1 sin θ).
Resultaat en grafiek
Vul links de coëfficiënten van sin θ en cos θ in en klik op “Berekenen”. Het resultaat en een grafiek verschijnen hier.
Inhoudsopgave
-
Wat je op deze pagina kunt doen
-
Waarvoor is deze berekening handig?
-
Zo werkt het
-
Formules en grafieken
-
Symbolen en begrippen
-
Handig om vooraf te weten
-
Berekenen met Excel
-
Berekenen met Google Spreadsheets
-
Berekenen met Python
-
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
-
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
-
Kenmerken van DataChef
-
Gerelateerde functies
-
Alle rekenmachines van NumberChef
Wat je op deze pagina kunt doen
- Schrijft een uitdrukking van de vorm \(a\sin\theta + b\cos\theta\) als één sinusoïde \(R\sin(\theta + \alpha)\) (samenvoegen van sinus en cosinus)
- De amplitude \(R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\) staat er zowel als vereenvoudigde exacte waarde, zoals \(\sqrt{2}\), als in decimalen. De hoek \(\alpha\) staat als exacte breuk van π als het een bijzondere hoek is, zoals \(\dfrac{\pi}{4}\). Anders staat hij als de exacte waarden van \(\cos\alpha\) en \(\sin\alpha\), met benaderingen in radialen en graden
- De cosinusvorm \(R\cos(\theta - \beta)\) staat er ook bij (wanneer je welke vorm gebruikt, lees je in de uitleg hieronder)
- Berekent ook het maximum \(R\) en het minimum \(-R\) van de samengevoegde uitdrukking en de waarden van \(\theta\) waarbij die optreden (een klassieke examenvraag)
- Als coëfficiënten kun je hele getallen, decimalen, breuken of waarden met een wortel invoeren, zoals √3 of √3/2. Een grafiek toont de twee oorspronkelijke golven, de samengevoegde golf en de amplitude
Dit werkt voor \(\sin\theta\) en \(\cos\theta\) van dezelfde hoek \(\theta\), allebei tot de eerste macht (\(a\sin\theta + b\cos\theta\)). Termen met verschillende hoeken, zoals \(\sin 2\theta\) en \(\cos\theta\), of kwadraten zoals \(\sin^{2}\theta\), kun je op deze manier niet samenvoegen.
Waarvoor is deze berekening handig?
Spanning en stroom in wisselstroomkringen tot één golf samenvoegen (elektriciteit)
De wisselstroom uit een Nederlands stopcontact (230 V, 50 Hz) is een spanning die als sinusoïde 50 keer per seconde heen en weer gaat. In berekeningen aan schakelingen verschuiven spoelen en condensatoren de golven en de som ervan krijgt de vorm \(a\sin\theta + b\cos\theta\). Door samen te voegen zie je welke ene golf je echt hebt: de amplitude (de piekspanning) en hoever de fase is verschoven.
Deze berekening hoort bij opleidingen elektrotechniek (mbo en hbo) en bij het vak natuurkunde in havo en vwo.
Geluiden van dezelfde toonhoogte optellen (geluid en akoestiek)
Geluid is een golf van trillende lucht. Als twee geluiden van dezelfde toonhoogte (dezelfde frequentie) over elkaar heen liggen, worden de vergelijkingen van hun golven samen één golf. Hoe groter de samengevoegde amplitude \(R\), hoe harder het geluid. Lopen de golven gelijk (in fase), dan versterken ze elkaar. Staan ze tegenover elkaar, dan heffen ze elkaar op.
Een koptelefoon met ruisonderdrukking vermindert lawaai door een golf af te spelen die tegengesteld is aan het lawaai. Dat berust op dit idee van golven optellen.
Trillingen van gebouwen en machines analyseren (aardbevingen en trillingsleer)
Bij het analyseren van aardbevingen of trillingen van machines splitsen ingenieurs de beweging vaak in een sinusdeel en een cosinusdeel, rekenen ze beide door en voegen ze die aan het eind samen om de werkelijke grootte van de trilling (de amplitude) te vinden. Kun je de beweging behandelen als een eenvoudige trilling met één periode, dan schat je de grootste uitwijking als de samengevoegde amplitude \(R\).
Echte aardbevingsgolven zijn een ingewikkeld mengsel van veel perioden, maar de basis van hun analyse is dit optellen van sinusoïden.
Waarom de ontvangst van je mobiele telefoon per plek verschilt (communicatie)
Een smartphone ontvangt de radiogolf die rechtstreeks van de zendmast komt, gemengd met golven die door gebouwen en andere voorwerpen zijn teruggekaatst. Golven met dezelfde frequentie worden samen één golf en versterken of verzwakken elkaar al naargelang het verschil in afgelegde weg (dit heet fading).
Als je maar een stukje opschuift, kan het aantal balkjes veranderen, omdat deze samengevoegde amplitude per plek anders is.
Formules en grafieken
Samenvoegen van sinus en cosinus (schrijven als sinus)
Grafiek
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(a\sin\theta\)
\(+\)
\(b\cos\theta\)
\(=\)
\(R\sin(\theta + \alpha)\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
①
\(a\sin\theta\): de \(\sin\theta\)-term met coëfficiënt \(a\)
\(+\)
②
\(b\cos\theta\): de \(\cos\theta\)-term met coëfficiënt \(b\)
\(=\)
③
\(R\sin(\theta + \alpha)\): één sinusoïde met amplitude \(R\) en hoek \(\alpha\)
De formule in woorden
①
De som van de
\(\sin\theta\)-term met coëfficiënt \(a\)
②
en de
\(\cos\theta\)-term met coëfficiënt \(b\)
③
kun je schrijven als
één sinusoïde met amplitude \(R\) en hoek \(\alpha\)
Een eenvoudig voorbeeld
\(\sin\theta + \cos\theta\) (\(a = 1,\ b = 1\)) samenvoegen:
\(\sin\theta\)-term (coëfficiënt 1)
\(+\)
\(\cos\theta\)-term (coëfficiënt 1)
\(=\)
sinusoïde met amplitude \(\sqrt{2}\) en hoek \(\dfrac{\pi}{4}\)
\(R = \sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2}\)
\(\cos\alpha = \dfrac{1}{\sqrt{2}},\ \ \sin\alpha = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \ \Rightarrow\ \alpha = \dfrac{\pi}{4}\)
\(\sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2}\,\sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{4}\right)\)
Het belangrijkste idee
Als sin en cos in één uitdrukking door elkaar staan, zie je niet zomaar wanneer de uitdrukking het grootst is of welke waarden ze kan aannemen. Bij het samenvoegen (ook wel “herleiden tot één sinus” genoemd) schrijf je de twee golven als één sinusoïde met amplitude \(R\), verschoven over de hoek \(\alpha\). Zo zie je wat de uitdrukking werkelijk is.
Het werkt dankzij de somformule \(\sin(\theta + \alpha) = \sin\theta\cos\alpha + \cos\theta\sin\alpha\), van rechts naar links gebruikt. Als je \(a\) in \(a\sin\theta + b\cos\theta\) ziet als \(R\cos\alpha\) en \(b\) als \(R\sin\alpha\), vouwt de hele uitdrukking zich op tot \(R\sin(\theta + \alpha)\).
Je kunt het ook als cosinus schrijven, \(R\cos(\theta - \beta)\). Allebei is juist. Wiskundemethodes gebruiken vaak de sinusvorm, terwijl natuurkunde en elektrotechniek vaak de cosinusvorm gebruiken. Staat er in een opgave “schrijf in de vorm \(R\sin(\theta + \alpha)\)” of “schrijf in de vorm \(R\cos(\theta - \beta)\)”, gebruik dan die vorm.
Zo vind je de amplitude \(R\) en de hoek \(\alpha\)
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(R\)
\(=\)
\(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\)
\(\cos\alpha\)
\(=\)
\(\dfrac{a}{R}\)
\(\sin\alpha\)
\(=\)
\(\dfrac{b}{R}\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
②
\(R\): amplitude (de hoogte van de samengevoegde golf)
\(=\)
①
\(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\): wortel uit de som van de kwadraten van \(a\) en \(b\)
\(\cos\alpha\): cosinus van de hoek \(\alpha\)
\(=\)
③
\(\dfrac{a}{R}\): coëfficiënt \(a\) van \(\sin\theta\) gedeeld door de amplitude \(R\)
\(\sin\alpha\): sinus van de hoek \(\alpha\)
\(=\)
④
\(\dfrac{b}{R}\): coëfficiënt \(b\) van \(\cos\theta\) gedeeld door de amplitude \(R\)
De formule in woorden
①
Kwadrateer de coëfficiënten \(a\) en \(b\), tel ze op en neem de wortel. Dit getal
\(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\)
②
is de
amplitude \(R\)
③
Kies dan de hoek \(\alpha\) zo dat de
coëfficiënt \(a\) gedeeld door de amplitude \(R\)
zijn cosinus is
④
en de
coëfficiënt \(b\) gedeeld door de amplitude \(R\)
zijn sinus is
Een eenvoudig voorbeeld
Voor \(\sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta\) (\(a = \sqrt{3},\ b = 1\)):
amplitude \(R = 2\)
\(=\)
wortel uit de som van de kwadraten van \(\sqrt{3}\) en \(1\), \(\sqrt{4}\)
\(R = \sqrt{\left(\sqrt{3}\right)^{2} + 1^{2}} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2\)
\(\cos\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2},\ \ \sin\alpha = \dfrac{1}{2} \ \Rightarrow\ \alpha = \dfrac{\pi}{6}\)
\(\sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta = 2\sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{6}\right)\)
Het belangrijkste idee
De amplitude \(R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\) is de afstand van de oorsprong tot het punt \((a;\ b)\) in het assenstelsel, en dat is precies de stelling van Pythagoras. Als je het punt \((a;\ b)\) tekent, is \(\alpha\) de hoek tussen de \(x\)-as en de pijl van de oorsprong naar \((a;\ b)\). Weet je het niet zeker, teken dan het punt \((a;\ b)\) en lees de afstand en de hoek af.
Het is belangrijk om zowel \(\cos\alpha\) als \(\sin\alpha\) te controleren. Eén van de twee alleen legt de hoek niet vast (bijvoorbeeld: \(\cos\alpha = \dfrac{1}{2}\) alleen laat twee mogelijkheden over, \(\alpha = \dfrac{\pi}{3}\) en \(-\dfrac{\pi}{3}\)).
\(\alpha\) is alleen een bijzondere hoek zoals \(\dfrac{\pi}{6}\) of \(\dfrac{\pi}{4}\) als het paar coëfficiënten een bijzondere vorm heeft, zoals \((1;\ 1)\) of \((\sqrt{3};\ 1)\). Is het geen bijzondere hoek, schrijf het dan op als voorwaarde, zoals “de hoek \(\alpha\) met \(\cos\alpha = \dfrac{3}{5},\ \sin\alpha = \dfrac{4}{5}\)” (deze rekenmachine toont het ook zo).
Maximum en minimum van de samengevoegde uitdrukking
Grafiek
Wiskundige notatie
(de gebruikelijke schrijfwijze)
\(-R\)
\(\le\)
\(a\sin\theta + b\cos\theta\)
\(\le\)
\(R\)
In woorden
(symbolen vervangen door woorden)
②
\(-R\): minimum
\(\le\)
①
\(a\sin\theta + b\cos\theta\): de uitdrukking (\(= R\sin(\theta + \alpha)\))
\(\le\)
③
\(R\): maximum
De formule in woorden
①
De waarde van de
uitdrukking \(a\sin\theta + b\cos\theta\)
②
ligt tussen het
minimum \(-R\)
③
en het
maximum \(R\)
(als \(\theta\) alle reële waarden aanneemt)
Een eenvoudig voorbeeld
Voor \(3\sin\theta + 4\cos\theta\) (\(R = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5\)):
minimum \(-5\)
\(\le\)
\(3\sin\theta + 4\cos\theta\)
\(\le\)
maximum \(5\)
\(R = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5\)
\(-5 \le 3\sin\theta + 4\cos\theta \le 5\)
Het belangrijkste idee
Na het samenvoegen is \(a\sin\theta + b\cos\theta = R\sin(\theta + \alpha)\). Een sinus ligt altijd tussen \(-1\) en \(1\), dus de hele uitdrukking kan alleen waarden van \(-R\) tot \(R\) aannemen. De klassieke vraag “bepaal het maximum en het minimum van een uitdrukking met sin en cos” los je op deze manier in één regel op, zodra je kunt samenvoegen.
Het maximum treedt op als \(\sin(\theta + \alpha) = 1\), dus als \(\theta + \alpha = \dfrac{\pi}{2} + 2n\pi\) (\(n\) is een geheel getal), zodat \(\theta = \dfrac{\pi}{2} - \alpha + 2n\pi\). Het minimum treedt op waar de sinus \(-1\) is, bij \(\theta = -\dfrac{\pi}{2} - \alpha + 2n\pi\).
Is \(\theta\) beperkt (bijvoorbeeld \(0 \le \theta < 2\pi\)), bepaal dan eerst het bereik van \(\theta + \alpha\) en zoek daarbinnen de hoeken waarvoor de sinus het grootst en het kleinst is. Let op: het maximum of minimum kan ook aan een uiteinde van het interval optreden.
Bij het samenvoegen schrijf je \(a\sin\theta + b\cos\theta\) als één sinusoïde \(R\sin(\theta + \alpha)\) met amplitude \(R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\) en hoek \(\alpha\) (\(\cos\alpha = \dfrac{a}{R},\ \sin\alpha = \dfrac{b}{R}\)). Na het samenvoegen lees je meteen het maximum \(R\) en het minimum \(-R\) af.
Symbolen en begrippen
Symbolen
| \(a,\ b\) | a, b | De coëfficiënten van de uitdrukking. \(a\) is het getal voor \(\sin\theta\) en \(b\) is het getal voor \(\cos\theta\). Volgens de gewoonte gebruik je letters van het begin van het alfabet, \(a,\ b,\ c\), voor vaste getallen. |
| \(\theta\) | theta | Een Griekse letter die vaak voor hoeken wordt gebruikt. Het is niet het Griekse woord voor “hoek”; het is gewoon gebruikelijk geworden om hem voor hoeken te gebruiken. Op deze pagina is het de hoek die in de uitdrukking varieert. |
| \(R\) | R | De amplitude (hoogte) van de samengevoegde sinusoïde. De letter komt volgens de overlevering van “radius” (straal). Hij is gelijk aan \(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\), de afstand van de oorsprong tot het punt \((a;\ b)\), en is de grootste waarde (het maximum) van de uitdrukking. |
| \(\alpha\) | alfa | De hoek van de verschuiving in de sinusvorm. Het is de eerste letter van het Griekse alfabet; het is gebruikelijk om extra hoeken met Griekse letters te benoemen. Hij is gelijk aan de hoek tussen de \(x\)-as en de pijl van de oorsprong naar het punt \((a;\ b)\). |
| \(\beta\) | bèta | De hoek van de verschuiving in de cosinusvorm, de tweede letter van het Griekse alfabet. Er geldt \(\beta = \dfrac{\pi}{2} - \alpha\) (hoeken die \(2\pi\), een hele draai, verschillen liggen op dezelfde plek, dus je mag \(2\pi\) optellen of aftrekken om \(-\pi < \beta \le \pi\) te houden). |
| \(\sin\) | sinus | Een van de goniometrische functies, de afkorting van sinus. Op de eenheidscirkel is \(\sin\theta\) de \(y\)-coördinaat van het punt bij hoek \(\theta\). |
| \(\cos\) | cosinus | Een van de goniometrische functies, de afkorting van cosinus. Op de eenheidscirkel is \(\cos\theta\) de \(x\)-coördinaat van het punt bij hoek \(\theta\). |
| \(\pi\) | pi | Pi (ongeveer 3,14). In radialen is \(\pi\) precies 180°, dus \(\dfrac{\pi}{4}\) is 45° en \(\dfrac{\pi}{6}\) is 30°. |
| \(2n\pi\) | twee n pi | Een manier om “een geheel veelvoud van \(2\pi\) (een hele draai)” te schrijven. \(n\) staat voor een geheel getal. Na elke hele draai (\(2\pi\)) is een hoek weer op dezelfde plek, dus er zijn oneindig veel waarden van \(\theta\) met het maximum of minimum, met een onderlinge afstand van \(2\pi\). |
| \(\sqrt{\phantom{2}}\) | wortel | Het teken voor de vierkantswortel. \(\sqrt{2}\) is het positieve getal waarvan het kwadraat 2 is. Het komt voor in de amplitude \(R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\). |
| \(\le\) | kleiner dan of gelijk aan | Het ongelijkheidsteken voor “kleiner dan of gelijk aan”. \(-R \le f(\theta) \le R\) betekent dat \(f(\theta)\) minstens \(-R\) en hoogstens \(R\) is. |
Begrippen
| samenvoegen | Een uitdrukking van de vorm \(a\sin\theta + b\cos\theta\) opnieuw schrijven als één sinusoïde \(R\sin(\theta + \alpha)\). Het werkt door de somformule achterstevoren te gebruiken. In opgaven staat het vaak als “herleid tot de vorm \(R\sin(\theta + \alpha)\)” of “schrijf als één sinus”, meestal zonder aparte naam. |
| sinusoïde | Een golf die steeds vloeiend op en neer gaat, zoals de grafiek van \(y = \sin\theta\). Je noemt hem ook wel sinusgolf of sinuskromme. Veel golven om ons heen, zoals geluid, licht en wisselstroom, hebben deze vorm. |
| amplitude | De “hoogte” van een golf: de afstand van het midden van de golf (op deze pagina 0) tot het hoogste punt. De amplitude van \(y = R\sin(\theta + \alpha)\) is \(R\) en de golf beweegt tussen \(-R\) en \(R\). |
| periode | De lengte die een golf nodig heeft om één volledige golfbeweging te maken en weer opnieuw te beginnen. De periode van \(\sin\theta\) is \(2\pi\) (360°) en samenvoegen verandert die periode niet. |
| faseverschuiving | Hoever een golf zijwaarts is verschoven. \(R\sin(\theta + \alpha)\) is de golf \(R\sin\theta\), over \(\alpha\) naar links verschoven, en die verschuiving heet de faseverschuiving. |
| somformule | Een formule zoals \(\sin(\theta + \alpha) = \sin\theta\cos\alpha + \cos\theta\sin\alpha\) die een goniometrische functie van een som van twee hoeken schrijft met goniometrische functies van elke hoek. Het samenvoegen gebruikt haar achterstevoren, van rechts naar links. |
| bijzondere hoek | Een hoek zoals \(30°\) (\(\dfrac{\pi}{6}\)), \(45°\) (\(\dfrac{\pi}{4}\)) of \(60°\) (\(\dfrac{\pi}{3}\)) waarvan de waarden van de goniometrische functies eenvoudige exacte waarden zijn, zoals \(\dfrac{1}{2}\) of \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\). Opgaven over dit onderwerp zijn bijna altijd zo gemaakt dat \(\alpha\) een bijzondere hoek is. |
| radiaal | De eenheid die een hoek meet met de lengte van de boog op een cirkel met straal 1. \(180° = \pi\) radialen, dus \(45°\) is \(\dfrac{\pi}{4}\). Bij goniometrische functies in de bovenbouw zijn radialen de standaard in plaats van graden. |
| eenheidscirkel | De cirkel met straal 1 om de oorsprong. Het punt erop bij hoek \(\theta\) heeft coördinaten \((\cos\theta;\ \sin\theta)\), waardoor het een hulpmiddel is om de waarden van goniometrische functies te zien. |
| maximum | De grootste waarde die een functie kan aannemen. Bij \(R\sin(\theta + \alpha)\) komt de sinus niet hoger dan \(1\), dus het maximum \(R\) zie je meteen. |
| minimum | De kleinste waarde die een functie kan aannemen. Bij \(R\sin(\theta + \alpha)\) komt de sinus niet lager dan \(-1\), dus het minimum \(-R\) zie je meteen. |
| kwadrant | Een van de vier gebieden waarin de \(x\)-as en de \(y\)-as het assenstelsel verdelen. Rechtsboven is het eerste kwadrant en het tweede, derde en vierde kwadrant volgen tegen de klok in. In welk kwadrant de hoek (het punt op de eenheidscirkel) ligt, bepaalt de tekens van \(\cos\) en \(\sin\). |
Handig om vooraf te weten
Dit helpt je om de berekening op deze pagina te gebruiken met begrip van wat je doet, en niet alleen door op de knop te drukken.
Kom je er niet uit, dan kom je het snelst verder door deze onderwerpen te herhalen.
| Rekenen met wortels (klas 3, 14-15 jaar) |
|
| De stelling van Pythagoras (klas 2, 13-14 jaar) |
|
| Goniometrie in rechthoekige driehoeken (klas 3, 14-15 jaar) |
|
| De eenheidscirkel en radialen (havo 4 en vwo 4, 15-16 jaar) |
|
| Grafieken van goniometrische functies (havo 4 en vwo 4, 15-16 jaar) |
|
| Somformules (vwo 5, 16-17 jaar) |
|
Berekenen met Excel
Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Excel. Het werkt direct.
Tabel voor het berekenen van de amplitude R en de hoek α
| Coëfficiënt a van sin θ | 1 |
| Coëfficiënt b van cos θ | 1 |
| Amplitude R | =WORTEL(B1^2+B2^2) |
| Hoek α (radialen) | =BOOGTAN2(B1;B2) |
| Hoek α (graden) | =GRADEN(B4) |
Tabel voor de cosinusvorm (hoek β)
| Coëfficiënt a van sin θ | 1 |
| Coëfficiënt b van cos θ | 1 |
| Amplitude R | =WORTEL(B1^2+B2^2) |
| Hoek β (radialen) | =BOOGTAN2(B2;B1) |
| Hoek β (graden) | =GRADEN(B4) |
Tabel voor het berekenen van het maximum, het minimum en de θ van het maximum
| Coëfficiënt a van sin θ | 3 |
| Coëfficiënt b van cos θ | 4 |
| Amplitude R | =WORTEL(B1^2+B2^2) |
| Maximum | =B3 |
| Minimum | =-B3 |
| θ van het maximum (radialen) | =PI()/2-BOOGTAN2(B1;B2) |
Na het plakken zijn de bovenste rijen (de coëfficiënten) je invoer en worden de rijen eronder automatisch berekend.
“^” is het teken voor een macht, WORTEL is de vierkantswortel en BOOGTAN2(x; y) geeft de hoek in de richting van het punt (x, y). α is de richting van het punt (a, b), dus het is =BOOGTAN2(B1;B2), terwijl β de richting is van het punt (b, a), dus =BOOGTAN2(B2;B1). Let op de verwisselde volgorde van de argumenten.
De eerste tabel is voor sin θ + cos θ: R is 1,41421… (= √2) en α is 0,78539… (= π/4) = 45°.
De derde tabel is voor 3 sin θ + 4 cos θ: het maximum is 5, het minimum is −5 en het maximum treedt op bij θ = 0,64350… (radialen).
“^” is het teken voor een macht, WORTEL is de vierkantswortel en BOOGTAN2(x; y) geeft de hoek in de richting van het punt (x, y). α is de richting van het punt (a, b), dus het is =BOOGTAN2(B1;B2), terwijl β de richting is van het punt (b, a), dus =BOOGTAN2(B2;B1). Let op de verwisselde volgorde van de argumenten.
De eerste tabel is voor sin θ + cos θ: R is 1,41421… (= √2) en α is 0,78539… (= π/4) = 45°.
De derde tabel is voor 3 sin θ + 4 cos θ: het maximum is 5, het minimum is −5 en het maximum treedt op bij θ = 0,64350… (radialen).
Berekenen met Google Spreadsheets
Kopieer de hele tabel hieronder en plak die in cel A1 van Google Spreadsheets. Het werkt direct.
Tabel voor het berekenen van de amplitude R en de hoek α
| Coëfficiënt a van sin θ | 1 |
| Coëfficiënt b van cos θ | 1 |
| Amplitude R | =WORTEL(B1^2+B2^2) |
| Hoek α (radialen) | =BOOGTAN2(B1;B2) |
| Hoek α (graden) | =GRADEN(B4) |
Tabel voor de cosinusvorm (hoek β)
| Coëfficiënt a van sin θ | 1 |
| Coëfficiënt b van cos θ | 1 |
| Amplitude R | =WORTEL(B1^2+B2^2) |
| Hoek β (radialen) | =BOOGTAN2(B2;B1) |
| Hoek β (graden) | =GRADEN(B4) |
Tabel voor het berekenen van het maximum, het minimum en de θ van het maximum
| Coëfficiënt a van sin θ | 3 |
| Coëfficiënt b van cos θ | 4 |
| Amplitude R | =WORTEL(B1^2+B2^2) |
| Maximum | =B3 |
| Minimum | =-B3 |
| θ van het maximum (radialen) | =PI()/2-BOOGTAN2(B1;B2) |
Dezelfde formules als in Excel werken ook hier. Kopieer de hele tabel, plak die in cel A1 en vervang de coëfficiënten door je eigen getallen.
Berekenen met Python
import math
sin_coefficient = 1 # a (coëfficiënt van sin θ)
cos_coefficient = 1 # b (coëfficiënt van cos θ)
# Amplitude R = √(a² + b²) (hypot geeft de wortel uit de som van de kwadraten)
amplitude = math.hypot(sin_coefficient, cos_coefficient)
# Hoek α (de richting van het punt (a, b), in radialen)
alpha = math.atan2(cos_coefficient, sin_coefficient)
print(f"Amplitude R = {amplitude}")
print(f"Hoek α = {alpha} radialen = {math.degrees(alpha)} graden")
print(f"Maximum = {amplitude}, minimum = {-amplitude}")
print(f"θ van het maximum = {math.pi / 2 - alpha} radialen (+ 2nπ)")
Werkt met alleen de module math uit de standaardbibliotheek. Dit voorbeeld voegt sin θ + cos θ samen. Het drukt de amplitude af (ongeveer 1,414, dus √2) en de hoek (ongeveer 0,785 radialen, dus π/4 = 45 graden). Python schrijft de decimalen in de uitvoer met een punt. Exacte waarden zoals √2 zelf kan het niet geven, dus gebruik de rekenmachine op deze pagina als je de exacte vorm nodig hebt. Pas de coëfficiënten aan en voer het opnieuw uit.
De formule in LaTeX en andere wiskundenotaties (om te kopiëren)
Samenvoegen van sinus en cosinus (schrijven als sinus)
a·sinθ + b·cosθ = R·sin(θ + α)
a\sin\theta + b\cos\theta = R\sin(\theta + \alpha)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>a</mi><mo>⁢</mo><mi>sin</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi>
<mo>+</mo>
<mi>b</mi><mo>⁢</mo><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi>
<mo>=</mo>
<mi>R</mi><mo>⁢</mo><mi>sin</mi><mo>⁡</mo>
<mo>(</mo><mi>θ</mi><mo>+</mo><mi>α</mi><mo>)</mo>
</mrow>
</math>
a sin(theta) + b cos(theta) = R sin(theta + alpha)
a Sin[t] + b Cos[t] == Sqrt[a^2 + b^2] Sin[t + ArcTan[a, b]]
a*sin(theta) + b*cos(theta) = sqrt(a^2 + b^2)*sin(theta + arctan(b, a));
R = sqrt(a^2 + b^2); alpha = atan2(b, a); f = R*sin(theta + alpha);
a sin(θ) + b cos(θ) = R sin(θ + α)
Zo vind je de amplitude \(R\) en de hoek \(\alpha\)
R = √(a² + b²), cosα = a/R, sinα = b/R
R = \sqrt{a^{2} + b^{2}},\quad \cos\alpha = \frac{a}{R},\quad \sin\alpha = \frac{b}{R}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>R</mi><mo>=</mo>
<msqrt><mrow><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup></mrow></msqrt>
<mo>,</mo>
<mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>α</mi><mo>=</mo>
<mfrac><mi>a</mi><mi>R</mi></mfrac>
<mo>,</mo>
<mi>sin</mi><mo>⁡</mo><mi>α</mi><mo>=</mo>
<mfrac><mi>b</mi><mi>R</mi></mfrac>
</mrow>
</math>
R = sqrt(a^2 + b^2), cos(alpha) = a/R, sin(alpha) = b/R
R = Sqrt[a^2 + b^2]; alpha = ArcTan[a, b]
R := sqrt(a^2 + b^2); alpha := arctan(b, a);
R = sqrt(a^2 + b^2); alpha = atan2(b, a);
R = √(a^2 + b^2), cos(α) = a/R, sin(α) = b/R
Maximum en minimum van de samengevoegde uitdrukking
−R ≤ a·sinθ + b·cosθ ≤ R
-R \le a\sin\theta + b\cos\theta \le R
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mo>−</mo><mi>R</mi>
<mo>≤</mo>
<mi>a</mi><mo>⁢</mo><mi>sin</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi>
<mo>+</mo>
<mi>b</mi><mo>⁢</mo><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi>
<mo>≤</mo>
<mi>R</mi>
</mrow>
</math>
-R <= a sin(theta) + b cos(theta) <= R
MaxValue[a Sin[t] + b Cos[t], t]
maximize(a*sin(theta) + b*cos(theta), theta = 0 .. 2*Pi);
[tmin, fneg] = fminbnd(@(t) -(a*sin(t) + b*cos(t)), 0, 2*pi); fmax = -fneg;
−R ≤ a sin(θ) + b cos(θ) ≤ R
Zo laat je ChatGPT de berekening doen
Je bent een rekenassistent voor wiskunde (goniometrische functies). Voer de volgende berekening uit door echt Python-code uit te voeren en baseer je antwoord alleen op de getallen uit het resultaat van de uitvoering (geen hoofdrekenen of gokken). Schrijf 3 sin θ + 4 cos θ in de vorm R sin(θ + α). Geef elk van de volgende onderdelen: 1. De amplitude R (ook als exacte waarde met een wortel, als dat kan) 2. De waarden van cos α en sin α (als breuken) en benaderingen van α (in radialen en in graden) 3. Het maximum en het minimum van deze uitdrukking, en de θ waarbij hij het grootst is (in radialen) Gebruik in Python math.hypot en math.atan2. Laat de formules zien die je hebt gebruikt en de getallen uit het resultaat van de uitvoering.
Zo werkt het
-
1Vul je getallen inTyp de getallen waarmee je wilt rekenen in de invoervelden
-
2BerekenKlik op de knop “Berekenen”
-
3Bekijk het resultaatHet resultaat verschijnt meteen. Op dezelfde pagina vind je ook de uitwerking van de berekening en de uitleg van de formule
Kenmerken van DataChef
Eenvoudig en gratis
Onbeperkt gratis converteren
Geen voorkennis nodig – intuïtieve en eenvoudige bediening
Geen voorkennis nodig – intuïtieve en eenvoudige bediening
Geen registratie nodig
Direct te gebruiken
Zonder persoonlijke gegevens op te geven
Zonder persoonlijke gegevens op te geven
Veilig en betrouwbaar
Sterk versleutelde verbinding (SSL)
Bestand wordt automatisch verwijderd zodra je op "Downloaden" klikt
Bestand wordt automatisch verwijderd zodra je op "Downloaden" klikt
Snel
Snelle laadtijden en snelle conversie
Zonder watermerk
Geen watermerk
Geen bronvermelding vereist
Geen bronvermelding vereist
Commercieel gebruik toegestaan
Gratis voor commercieel gebruik
Geen toestemming vooraf nodig
Geen toestemming vooraf nodig
Gerelateerde functies
Sinus, cosinus en tangens berekenen (goniometrische verhoudingen en hoeken met eenheidscirkel)
Berekent sin, cos en tan van een hoek θ als exacte waarde en als decimaal, en ook de hoek bij een gegeven waarde. Met graden en radialen naast elkaar
Graden naar radialen omrekenen (exact in π, met eenheidscirkel)
Rekent graden om naar radialen en andersom, met exacte waarden in π zoals 30° = π/6 en met decimalen
