請輸入要疊合的式子 a sinθ + b cosθ 的係數 a、b。下方的數學式和輸入欄連動，直接改寫其中的係數也能計算。
請用半形輸入數值。除了小數、負數和 3/4 這樣的分數，也能用 √3、√3/2、2√3 這樣含根號的值（在下方的數學式中輸入 sqrt 就會變成 √）。係數空白時當成 1（sinθ 就是 1sinθ 的意思）。
計算結果與圖表
在左邊的輸入欄填入 sinθ、cosθ 的係數，按下「計算」，結果和圖形就會顯示在這裡。
這個頁面可以做什麼
- 能把 \(a\sin\theta + b\cos\theta\) 形式的式子，疊合成一個正弦波 \(R\sin(\theta + \alpha)\)（三角函數的疊合）
- 振幅 \(R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\) 同時以 \(\sqrt{2}\) 這樣化簡後的精確值和小數表示。角 \(\alpha\) 若是 \(\dfrac{\pi}{4}\) 這樣的特殊角，就以 π 的分數精確值表示；不是的話，就以 \(\cos\alpha\)、\(\sin\alpha\) 的精確值表示，並附上弧度和度的近似值
- 也一併顯示疊合成 cos 的形式 \(R\cos(\theta - \beta)\)（和 sin 疊合的使用時機整理在解說中）
- 同時求出疊合後的最大值 \(R\)、最小值 \(-R\)，以及此時的 \(\theta\)（學測、分科測驗常考）
- 係數除了整數、小數、分數，也能輸入 √3 或 √3/2 這樣含根號的值。可以用圖形確認原本的兩個波、疊合後的波和振幅
適用對象是同一個角 \(\theta\) 的 \(\sin\theta\) 與 \(\cos\theta\) 的一次式（\(a\sin\theta + b\cos\theta\)）。像 \(\sin 2\theta\) 和 \(\cos\theta\) 這種角不同的項，或 \(\sin^{2}\theta\) 這種平方項，都不能用這個方法疊合。
這個計算有什麼用？
把交流電的電壓、電流波合而為一（電學）
台灣家中插座的交流電，電壓以正弦波的形狀每秒振動 60 次。在電路計算中，線圈和電容會讓波錯開，它們的和會以 \(a\sin\theta + b\cos\theta\) 的形式出現。把它疊合，就能讀出「最後是振幅（最大電壓）多大、相位錯開多少的一個波」。
這種疊合的計算，是電機系課程和電機相關證照、國家考試的基本題型。
相同音高的聲音疊加（聲音、聲學）
聲音是空氣振動的波。兩個相同音高（相同頻率）的聲音重疊時，波的式子相加，也就是疊合成一個波。疊合後的振幅 \(R\) 越大，聲音越大；波的步調（相位）一致時互相加強，相反時互相抵消。
降噪耳機發出和噪音相反的波來降低音量，也是根據這種「波的疊加」的概念。
分析建築物和機械的搖晃（地震、振動工程）
分析地震或機械振動時，常會把搖晃拆成 sin 分量和 cos 分量分別計算，最後疊合求出「實際的搖晃幅度（振幅）」。可以當成同一週期的單純振動時，搖晃的最大幅度就能估算為疊合的振幅 \(R\)。
實際的地震波是許多不同週期的波混合而成的複雜波形，而分析它的基礎，就是這種正弦波的疊合。
手機訊號強度隨地點改變的原因（通訊）
手機收到的電波，是從基地台直接傳來的波，和經建築物等反射後傳來的波疊加在一起。相同頻率的波疊加後會合成一個波，依路徑長短的差異而互相加強或減弱（稱為衰落）。
只是稍微移動位置，訊號格數就可能改變，原因就是這個疊合後的振幅隨地點而不同。
公式與圖形
三角函數的疊合（疊合成 sin）
圖形
數學寫法
（一般的數學式）
\(a\sin\theta\)
\(+\)
\(b\cos\theta\)
\(=\)
\(R\sin(\theta + \alpha)\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
①
\(a\sin\theta\)：係數為 \(a\) 的 \(\sin\theta\) 項
\(+\)
②
\(b\cos\theta\)：係數為 \(b\) 的 \(\cos\theta\) 項
\(=\)
③
\(R\sin(\theta + \alpha)\)：振幅為 \(R\)、角為 \(\alpha\) 的一個正弦波
用文字讀公式
①
係數為 \(a\) 的 \(\sin\theta\) 項
加上
②
係數為 \(b\) 的 \(\cos\theta\) 項
，可以寫成
③
振幅為 \(R\)、角為 \(\alpha\) 的一個正弦波
簡單範例
把 \(\sin\theta + \cos\theta\)（\(a = 1,\ b = 1\)）疊合：
\(\sin\theta\) 項（係數 1）
\(+\)
\(\cos\theta\) 項（係數 1）
\(=\)
振幅為 \(\sqrt{2}\)、角為 \(\dfrac{\pi}{4}\) 的正弦波
\(R = \sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2}\)
\(\cos\alpha = \dfrac{1}{\sqrt{2}},\ \ \sin\alpha = \dfrac{1}{\sqrt{2}} \ \Rightarrow\ \alpha = \dfrac{\pi}{4}\)
\(\sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2}\,\sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{4}\right)\)
思考重點
sin 和 cos 混在的式子，直接看無法看出「什麼時候最大」「值的範圍是多少」。三角函數的疊合把兩個波改寫成一個振幅為 \(R\)、平移了角 \(\alpha\) 的正弦波，讓式子的真面目一目了然。
之所以能合併，是因為把和角公式 \(\sin(\theta + \alpha) = \sin\theta\cos\alpha + \cos\theta\sin\alpha\) 由右往左反過來用。把 \(a\sin\theta + b\cos\theta\) 的 \(a\) 看成 \(R\cos\alpha\)、\(b\) 看成 \(R\sin\alpha\)，整個式子就會收成 \(R\sin(\theta + \alpha)\)。
也可以疊合成 cos 的形式 \(R\cos(\theta - \beta)\)，兩種都正確。台灣的課本以疊合成 sin 為主，物理和電機則常用 cos 的形式。題目指定「化成 \(R\sin(\theta + \alpha)\) 的形式」或「\(R\cos(\theta - \beta)\) 的形式」時，就照指定的形式寫。
振幅 \(R\) 與角 \(\alpha\) 的求法
數學寫法
（一般的數學式）
\(R\)
\(=\)
\(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\)
\(\cos\alpha\)
\(=\)
\(\dfrac{a}{R}\)
\(\sin\alpha\)
\(=\)
\(\dfrac{b}{R}\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
②
\(R\)：振幅（疊合後的波的高度）
\(=\)
①
\(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\)：係數 \(a\)、\(b\) 的平方和的平方根
\(\cos\alpha\)：角 \(\alpha\) 的餘弦
\(=\)
③
\(\dfrac{a}{R}\)：\(\sin\theta\) 的係數 \(a\) 除以振幅 \(R\) 的值
\(\sin\alpha\)：角 \(\alpha\) 的正弦
\(=\)
④
\(\dfrac{b}{R}\)：\(\cos\theta\) 的係數 \(b\) 除以振幅 \(R\) 的值
用文字讀公式
①
把係數 \(a\) 和 \(b\) 各自平方後相加，再開平方根，得到的
\(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\)
②
就是
振幅 \(R\)
③
接著選擇角 \(\alpha\)，使
係數 \(a\) 除以振幅 \(R\) 的值
是它的餘弦，
④
係數 \(b\) 除以振幅 \(R\) 的值
是它的正弦
簡單範例
以 \(\sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta\)（\(a = \sqrt{3},\ b = 1\)）為例：
振幅 \(R = 2\)
\(=\)
\(\sqrt{3}\) 與 \(1\) 的平方和的平方根 \(\sqrt{4}\)
\(R = \sqrt{\left(\sqrt{3}\right)^{2} + 1^{2}} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2\)
\(\cos\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2},\ \ \sin\alpha = \dfrac{1}{2} \ \Rightarrow\ \alpha = \dfrac{\pi}{6}\)
\(\sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta = 2\sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{6}\right)\)
思考重點
振幅 \(R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\) 是坐標平面上點 \((a,\ b)\) 到原點的距離，也就是畢氏定理本身。把點 \((a,\ b)\) 畫出來，\(\alpha\) 就是從原點指向 \((a,\ b)\) 的箭頭與 \(x\) 軸的夾角（點在哪個象限，\(\alpha\) 就在哪個象限）。不確定時，畫出點 \((a,\ b)\)，讀出距離和角度就好。
重點是 \(\cos\alpha\) 和 \(\sin\alpha\) 兩個都要確認。只看其中一個無法確定角度（例如只有 \(\cos\alpha = \dfrac{1}{2}\)，會有 \(\alpha = \dfrac{\pi}{3}\) 和 \(-\dfrac{\pi}{3}\) 兩種可能）。
只有係數的組合是 \((1,\ 1)\)、\((\sqrt{3},\ 1)\) 這種特別的形式時，\(\alpha\) 才會是 \(\dfrac{\pi}{6}\)、\(\dfrac{\pi}{4}\) 這樣的特殊角。不是特殊角時，就寫成條件，例如「滿足 \(\cos\alpha = \dfrac{3}{5},\ \sin\alpha = \dfrac{4}{5}\) 的角 \(\alpha\)」（本計算機也是這樣顯示）。
疊合後式子的最大值與最小值
圖形
數學寫法
（一般的數學式）
\(-R\)
\(\le\)
\(a\sin\theta + b\cos\theta\)
\(\le\)
\(R\)
文字寫法
（把符號換成文字的公式）
②
\(-R\)：最小值
\(\le\)
①
\(a\sin\theta + b\cos\theta\)：要疊合的式子（\(= R\sin(\theta + \alpha)\)）
\(\le\)
③
\(R\)：最大值
用文字讀公式
①
要疊合的式子 \(a\sin\theta + b\cos\theta\)
的值，
②
在
最小值 \(-R\)
和
③
最大值 \(R\)
之間變動（\(\theta\) 取所有實數時）
簡單範例
以 \(3\sin\theta + 4\cos\theta\)（\(R = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5\)）為例：
最小值 \(-5\)
\(\le\)
\(3\sin\theta + 4\cos\theta\)
\(\le\)
最大值 \(5\)
\(R = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5\)
\(-5 \le 3\sin\theta + 4\cos\theta \le 5\)
思考重點
疊合後 \(a\sin\theta + b\cos\theta = R\sin(\theta + \alpha)\)。正弦的值一定在 \(-1\) 和 \(1\) 之間，所以整個式子只能取 \(-R\) 到 \(R\) 的值。「求 sin 與 cos 混合式子的最大值與最小值」這種學測、分科測驗的常考題，只要會疊合，一行就能解決。
最大值發生在 \(\sin(\theta + \alpha) = 1\)，也就是 \(\theta + \alpha = \dfrac{\pi}{2} + 2n\pi\)（\(n\) 為整數）時，所以 \(\theta = \dfrac{\pi}{2} - \alpha + 2n\pi\)。最小值發生在正弦為 \(-1\) 時，\(\theta = -\dfrac{\pi}{2} - \alpha + 2n\pi\)。
如果 \(\theta\) 有範圍限制（例如 \(0 \le \theta < 2\pi\)），先求出 \(\theta + \alpha\) 的範圍，再在這個範圍內找正弦最大和最小的角。注意，最大值或最小值也可能出現在範圍的端點。
三角函數的疊合，是把 \(a\sin\theta + b\cos\theta\) 合併成振幅 \(R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\)、角 \(\alpha\)（\(\cos\alpha = \dfrac{a}{R},\ \sin\alpha = \dfrac{b}{R}\)）的一個正弦波 \(R\sin(\theta + \alpha)\)。疊合之後，馬上就能讀出最大值 \(R\) 和最小值 \(-R\)。
符號與用語解說
符號
| \(a,\ b\) | a, b | 要疊合的式子的係數。\(a\) 是 \(\sin\theta\) 前面的數，\(b\) 是 \(\cos\theta\) 前面的數。習慣上用字母開頭的 \(a,\ b,\ c\) 表示固定的數。 |
| \(\theta\) | theta | 常用來表示角度的希臘字母。它不是希臘文「角」的意思，只是習慣上用來表示角。本頁中表示式子裡「會變動的角」。 |
| \(R\) | R | 疊合後正弦波的振幅（波的高度）。這個字母據說取自 radius（半徑）的字首。它等於原點到點 \((a,\ b)\) 的距離 \(\sqrt{a^{2} + b^{2}}\)，也是式子的最大值。 |
| \(\alpha\) | alpha | 疊合成 sin 時平移的角。是希臘字母的第一個字母，依照用希臘字母命名其他角的習慣。它等於從原點指向點 \((a,\ b)\) 的箭頭與 \(x\) 軸的夾角。 |
| \(\beta\) | beta | 疊合成 cos 時平移的角，是希臘字母的第二個字母。有 \(\beta = \dfrac{\pi}{2} - \alpha\) 的關係（相差 \(2\pi\)，也就是一整圈的角位置相同，所以會加減 \(2\pi\)，讓它落在 \(-\pi < \beta \le \pi\) 的範圍內）。 |
| \(\sin\) | sine（正弦） | 三角函數之一（正弦），是 sine 的縮寫。在單位圓上，角 \(\theta\) 位置的點的 \(y\) 坐標就是 \(\sin\theta\)。 |
| \(\cos\) | cosine（餘弦） | 三角函數之一（餘弦），是 cosine 的縮寫。在單位圓上，角 \(\theta\) 位置的點的 \(x\) 坐標就是 \(\cos\theta\)。 |
| \(\pi\) | pi | 圓周率（約 3.14）。用弧度表示時，\(\pi\) 剛好是 180°，所以 \(\dfrac{\pi}{4}\) 是 45°，\(\dfrac{\pi}{6}\) 是 30°。 |
| \(2n\pi\) | 2n pi | 表示「\(2\pi\)（一整圈）的整數倍」的寫法。\(n\) 是整數（取自 number）。角每轉一整圈（\(2\pi\)）就回到相同位置，所以使式子最大或最小的 \(\theta\) 有無限多個，每隔 \(2\pi\) 出現一次。 |
| \(\sqrt{\phantom{2}}\) | 根號 | 平方根的符號（根號）。\(\sqrt{2}\) 是「平方後等於 2 的正數」。在計算振幅 \(R = \sqrt{a^{2} + b^{2}}\) 時會用到。 |
| \(\le\) | 小於或等於 | 表示「小於或等於」的不等號。\(-R \le f(\theta) \le R\) 的意思是「\(f(\theta)\) 大於或等於 \(-R\)，且小於或等於 \(R\)」。 |
用語
| 三角函數的疊合 | 把 \(a\sin\theta + b\cos\theta\) 形式的式子，重新合併成一個正弦波 \(R\sin(\theta + \alpha)\) 的操作，也稱為正弦疊合。只要把和角公式反過來用就能做到。在高中數學學到。 |
| 正弦波 | 像 \(y = \sin\theta\) 的圖形那樣，平滑地反覆上下起伏的波形，也稱為正弦曲線。聲音、光、交流電等，身邊許多波都是這個形狀。 |
| 振幅 | 波的「高度」，也就是從波的中心（本頁是 0）到最高點的距離。\(y = R\sin(\theta + \alpha)\) 的振幅是 \(R\)，波在 \(-R\) 和 \(R\) 之間擺動。 |
| 週期 | 波畫完一次完整的形狀、回到原點所需的長度。\(\sin\theta\) 的週期是 \(2\pi\)（360°），疊合後週期也不會改變。 |
| 相位 | 表示波「錯開多少」的用語。\(R\sin(\theta + \alpha)\) 是把 \(R\sin\theta\) 的波向左平移 \(\alpha\) 的波，這個 \(\alpha\) 稱為相位差（相位的偏移）。 |
| 和角公式 | 像 \(\sin(\theta + \alpha) = \sin\theta\cos\alpha + \cos\theta\sin\alpha\) 這樣，把兩角和的三角函數，用各角的三角函數表示的公式。三角函數的疊合就是把它由右往左反過來用。 |
| 特殊角 | 像 \(30°\)（\(\dfrac{\pi}{6}\)）、\(45°\)（\(\dfrac{\pi}{4}\)）、\(60°\)（\(\dfrac{\pi}{3}\)）這樣，三角函數值可以寫成 \(\dfrac{1}{2}\)、\(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) 等簡單精確值的角。課本和考試的疊合題，幾乎都設計成 \(\alpha\) 為特殊角。 |
| 弧度 （弧度量） |
用半徑 1 的圓上的「弧長」來量角的單位。\(180° = \pi\)（弧度），所以 \(45°\) 相當於 \(\dfrac{\pi}{4}\)。高中的三角函數以弧度為標準，而不是度。 |
| 單位圓 | 以原點為圓心、半徑 1 的圓。圓周上角 \(\theta\) 位置的點，坐標是 \((\cos\theta,\ \sin\theta)\)，是觀察三角函數值的工具。 |
| 最大值 | 函數能取到的最大的值。疊合後的 \(R\sin(\theta + \alpha)\) 中，正弦的值最大只到 \(1\)，所以馬上知道最大值是 \(R\)。 |
| 最小值 | 函數能取到的最小的值。疊合後的 \(R\sin(\theta + \alpha)\) 中，正弦的值最小只到 \(-1\)，所以馬上知道最小值是 \(-R\)。 |
| 象限 | 坐標平面被 \(x\) 軸和 \(y\) 軸分成的四個區域。右上是第一象限，接著依逆時針方向是第二、第三、第四象限。角（單位圓上的點）在哪個象限，決定 \(\cos\) 和 \(\sin\) 的正負號。 |
建議先了解的基礎知識
為了能「理解意義」地使用本頁的計算，這裡整理了建議事先了解的基礎知識。
遇到卡關時，回頭複習這些內容是最快的方法。
| 平方根的計算（國中二年級，13～14 歲） |
|
| 畢氏定理（國中二年級，13～14 歲） |
|
| 三角比（高中，15～18 歲） |
|
| 三角函數與單位圓、弧度（高中，15～18 歲） |
|
| 三角函數的圖形（高中，15～18 歲） |
|
| 和角公式（高中，15～18 歲） |
|
用 Excel 計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Excel 的 A1 儲存格就能直接使用。
求「振幅 R 與角 α」的表格
| sinθ 的係數 a | 1 |
| cosθ 的係數 b | 1 |
| 振幅 R | =SQRT(B1^2+B2^2) |
| 角 α（弧度） | =ATAN2(B1,B2) |
| 角 α（度） | =DEGREES(B4) |
求「疊合成 cos（角 β）」的表格
| sinθ 的係數 a | 1 |
| cosθ 的係數 b | 1 |
| 振幅 R | =SQRT(B1^2+B2^2) |
| 角 β（弧度） | =ATAN2(B2,B1) |
| 角 β（度） | =DEGREES(B4) |
求「最大值、最小值與最大時的 θ」的表格
| sinθ 的係數 a | 3 |
| cosθ 的係數 b | 4 |
| 振幅 R | =SQRT(B1^2+B2^2) |
| 最大值 | =B3 |
| 最小值 | =-B3 |
| 最大時的 θ（弧度） | =PI()/2-ATAN2(B1,B2) |
貼上後，上面幾列（係數）是輸入欄，下面幾列是自動計算的結果。
「^」是乘冪，SQRT 是平方根，ATAN2(x, y) 傳回指向點 (x, y) 方向的角。α 是點 (a, b) 的方向，所以是 =ATAN2(B1,B2)；β 是點 (b, a) 的方向，所以是 =ATAN2(B2,B1)。請注意引數的順序相反。
第一個表格是 sinθ + cosθ：R 是 1.41421…（= √2），α 是 0.78539…（= π/4）= 45°。
第三個表格是 3sinθ + 4cosθ：最大值是 5，最小值是 −5，最大時的 θ = 0.64350…（弧度）。
「^」是乘冪，SQRT 是平方根，ATAN2(x, y) 傳回指向點 (x, y) 方向的角。α 是點 (a, b) 的方向，所以是 =ATAN2(B1,B2)；β 是點 (b, a) 的方向，所以是 =ATAN2(B2,B1)。請注意引數的順序相反。
第一個表格是 sinθ + cosθ：R 是 1.41421…（= √2），α 是 0.78539…（= π/4）= 45°。
第三個表格是 3sinθ + 4cosθ：最大值是 5，最小值是 −5，最大時的 θ = 0.64350…（弧度）。
用 Google 試算表計算的方法
把下方表格整個複製，貼到 Google 試算表的 A1 儲存格就能直接使用。
求「振幅 R 與角 α」的表格
| sinθ 的係數 a | 1 |
| cosθ 的係數 b | 1 |
| 振幅 R | =SQRT(B1^2+B2^2) |
| 角 α（弧度） | =ATAN2(B1,B2) |
| 角 α（度） | =DEGREES(B4) |
求「疊合成 cos（角 β）」的表格
| sinθ 的係數 a | 1 |
| cosθ 的係數 b | 1 |
| 振幅 R | =SQRT(B1^2+B2^2) |
| 角 β（弧度） | =ATAN2(B2,B1) |
| 角 β（度） | =DEGREES(B4) |
求「最大值、最小值與最大時的 θ」的表格
| sinθ 的係數 a | 3 |
| cosθ 的係數 b | 4 |
| 振幅 R | =SQRT(B1^2+B2^2) |
| 最大值 | =B3 |
| 最小值 | =-B3 |
| 最大時的 θ（弧度） | =PI()/2-ATAN2(B1,B2) |
可以直接使用和 Excel 相同的公式。請把整個表格複製貼到 A1 儲存格，再把係數改成您自己的數值。
用 Python 計算的方法
import math
sin_coefficient = 1 # a（sinθ 的係數）
cos_coefficient = 1 # b（cosθ 的係數）
# 振幅 R = √(a² + b²)（hypot 傳回平方和的平方根）
amplitude = math.hypot(sin_coefficient, cos_coefficient)
# 角 α（點 (a, b) 的方向，單位是弧度）
alpha = math.atan2(cos_coefficient, sin_coefficient)
print(f"振幅 R = {amplitude}")
print(f"角 α = {alpha} 弧度 = {math.degrees(alpha)} 度")
print(f"最大值 = {amplitude}，最小值 = {-amplitude}")
print(f"最大時的 θ = {math.pi / 2 - alpha} 弧度（+ 2nπ）")
只用標準函式庫的 math 模組就能計算。這個例子是把 sinθ + cosθ 疊合。執行後會印出振幅 1.4142…（= √2）和角 0.7853…弧度（= π/4 = 45 度）。它無法直接算出 √2 這樣的精確值，需要精確形式時請使用本頁的計算機。改變係數再執行看看。
用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）
三角函數的疊合（疊合成 sin）
a·sinθ + b·cosθ = R·sin(θ + α)
a\sin\theta + b\cos\theta = R\sin(\theta + \alpha)
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>a</mi><mo>⁢</mo><mi>sin</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi>
<mo>+</mo>
<mi>b</mi><mo>⁢</mo><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi>
<mo>=</mo>
<mi>R</mi><mo>⁢</mo><mi>sin</mi><mo>⁡</mo>
<mo>(</mo><mi>θ</mi><mo>+</mo><mi>α</mi><mo>)</mo>
</mrow>
</math>
a sin(theta) + b cos(theta) = R sin(theta + alpha)
a Sin[t] + b Cos[t] == Sqrt[a^2 + b^2] Sin[t + ArcTan[a, b]]
a*sin(theta) + b*cos(theta) = sqrt(a^2 + b^2)*sin(theta + arctan(b, a));
R = sqrt(a^2 + b^2); alpha = atan2(b, a); f = R*sin(theta + alpha);
a sin(θ) + b cos(θ) = R sin(θ + α)
振幅 \(R\) 與角 \(\alpha\) 的求法
R = √(a² + b²), cosα = a/R, sinα = b/R
R = \sqrt{a^{2} + b^{2}},\quad \cos\alpha = \frac{a}{R},\quad \sin\alpha = \frac{b}{R}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>R</mi><mo>=</mo>
<msqrt><mrow><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msup><mi>b</mi><mn>2</mn></msup></mrow></msqrt>
<mo>,</mo>
<mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>α</mi><mo>=</mo>
<mfrac><mi>a</mi><mi>R</mi></mfrac>
<mo>,</mo>
<mi>sin</mi><mo>⁡</mo><mi>α</mi><mo>=</mo>
<mfrac><mi>b</mi><mi>R</mi></mfrac>
</mrow>
</math>
R = sqrt(a^2 + b^2), cos(alpha) = a/R, sin(alpha) = b/R
R = Sqrt[a^2 + b^2]; alpha = ArcTan[a, b]
R := sqrt(a^2 + b^2); alpha := arctan(b, a);
R = sqrt(a^2 + b^2); alpha = atan2(b, a);
R = √(a^2 + b^2), cos(α) = a/R, sin(α) = b/R
疊合後式子的最大值與最小值
−R ≤ a·sinθ + b·cosθ ≤ R
-R \le a\sin\theta + b\cos\theta \le R
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mo>−</mo><mi>R</mi>
<mo>≤</mo>
<mi>a</mi><mo>⁢</mo><mi>sin</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi>
<mo>+</mo>
<mi>b</mi><mo>⁢</mo><mi>cos</mi><mo>⁡</mo><mi>θ</mi>
<mo>≤</mo>
<mi>R</mi>
</mrow>
</math>
-R <= a sin(theta) + b cos(theta) <= R
MaxValue[a Sin[t] + b Cos[t], t]
maximize(a*sin(theta) + b*cos(theta), theta = 0 .. 2*Pi);
[tmin, fneg] = fminbnd(@(t) -(a*sin(t) + b*cos(t)), 0, 2*pi); fmax = -fneg;
−R ≤ a sin(θ) + b cos(θ) ≤ R
請 ChatGPT 幫忙計算的方法
你是數學（三角函數）的計算助理。請實際執行 Python 程式碼來進行以下計算，並且只根據執行結果的數值作答（不要用心算或猜測作答）。 把 3 sinθ + 4 cosθ 化成 R sin(θ + α) 的形式。 請分別列出以下各項： 1. 振幅 R（如果能寫成含根號的精確值，也一併列出） 2. cos α 和 sin α 的值（以分數表示），以及 α 的近似值（弧度和度都要） 3. 這個式子的最大值與最小值，以及最大時的 θ（弧度） 在 Python 中請使用 math.hypot 和 math.atan2。請列出使用的公式和執行結果的數值。
使用方法
-
1輸入數值在輸入欄中輸入要計算的數值
-
2計算按下「計算」按鈕
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3查看結果計算結果會立即顯示。計算的思路和公式的解說，也都能在同一個頁面查看
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