遞迴關係式計算機（求一般項，附特徵方程式計算過程）

請輸入首項 a₁，以及遞迴關係式 a(n+1) = p·a(n) + q 的係數 p 和常數 q。下方的數學式和輸入欄連動，直接改寫式子裡的數字也能計算。

首項 a₁

係數 p（乘上 aₙ 的數）

常數 q（加上的數）

要求值的項編號 n

數值請用半形輸入。可以使用小數、負數和 1/2 這樣的分數。「要求值的項編號 n」留白時，視為 10。

計算結果與圖表

在左側輸入欄輸入首項和係數，按下「計算」，結果和圖表就會顯示在這裡。

這個頁面可以做什麼
這個計算有什麼用？
使用方法
公式與圖表
符號與用語解說
- 符號
- 用語
建議先了解的基礎知識
用 Excel 計算的方法
用 Google 試算表計算的方法
用 Python 計算的方法
用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）
請 ChatGPT 幫忙計算的方法
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這個頁面可以做什麼

馬上求出一階遞迴關係式 $a_{n+1} = p a_n + q$（首項 $a_1$）的一般項，並附上用特徵方程式化成等比數列的計算過程
答案是像 $\dfrac{381}{64}$ 這樣已約分的分數（精確值）。$p = 1$（等差數列型）、$q = 0$（等比數列型）的情形也會自動分開處理
也會顯示指定編號 $n$ 的值（第 $n$ 項），以及第 1～10 項的數列表和圖表。數列收斂時，還能知道它逐漸接近的值（極限值＝特徵根）
首項和係數除了小數、負數，也可以輸入像 1/2 這樣的分數
計算機會顯示和手寫一樣的遞迴關係式，也可以直接改寫式子裡的數字來計算
這個頁面還整理了公式的淺顯解說，以及可直接複製到 Excel、Google 試算表、Python 使用的公式

本頁處理的是一階遞迴關係式 $a_{n+1} = p a_n + q$（$p$、$q$ 為常數）。不支援像 $a_{n+1} = a_n + n$ 這樣含有 $n$ 的形式，也不支援出現 $a_{n+2}$ 的相鄰三項遞迴關係式。

這個計算有什麼用？

追蹤貸款餘額每個月怎麼減少（理財、人生規劃）

每個月計息、每個月固定還款的貸款，餘額正好依照「下個月的餘額 =（1 + 月利率）× 這個月的餘額 − 每月還款額」這個一階遞迴關係式變化。
例如房貸月利率 0.2%（年利率約 2.4%）、每月還款 NT$30,000，特徵根就是 30,000 ÷ 0.002 = NT$1,500 萬。這是利息和還款剛好抵消、餘額不再變動的貸款金額；只要餘額低於它，每還一次款，餘額就一定會減少（這個平衡的觀念是還款規劃的基礎）。

估算每天吃的藥在體內最後穩定在多少（醫療、藥學）

藥物會隨著時間以固定的比例被身體分解、排出。在「一天後體內還剩 50%，每天服用 200 mg」的模型中，體內的藥量依照遞迴關係式 $a_{n+1} = 0.5a_n + 200$ 變化，並收斂到特徵根 200 ÷ (1 − 0.5) = 400 mg。
這個式子說明，即使每天持續服用，藥量也不會無限累積，而是會穩定在一定的量。實際的用藥設計，會用更精密的藥物動力學模型來決定劑量和服藥間隔。

訂閱制服務的會員數會在哪裡停止成長（商業）

對於「每個月有 90% 的會員續訂，並有 1,000 人新加入」的服務，會員數依照遞迴關係式 $a_{n+1} = 0.9a_n + 1000$ 變化，並收斂到特徵根 1000 ÷ (1 − 0.9) = 10,000 人。
也就是說，只要新加入人數和流失率不變，會員數大約會在 1 萬人停止成長。這是估算成長上限、以及降低流失率能讓上限提高多少的基本商業規劃模型（假設續訂率和新加入人數固定的粗略估算）。

開冷氣後房間溫度的變化（生活、物理）

在炎熱的房間開冷氣，室溫和設定溫度的差，每分鐘會以固定的比例縮小。例如「每分鐘，室溫和設定溫度 26℃ 的差縮小 10%」，室溫就依照遞迴關係式 $a_{n+1} = 0.9a_n + 2.6$ 變化，並收斂到特徵根 2.6 ÷ 0.1 = 26℃，也就是設定溫度。
「一開始降得快，越接近設定溫度越慢」，正是這個遞迴關係式收斂的樣子（在物理上，這是牛頓冷卻定律以每分鐘為單位的版本）。

把定期定額存款的餘額成長寫成式子（理財、資產累積）

「每月底加上利息，每個月再存入固定金額」的存款，餘額也依照同樣的遞迴關係式：「下個月的餘額 =（1 + 月利率）× 這個月的餘額 + 存入金額」。不過這時乘上的數大於 1，所以不會收斂，餘額會一直增加（發散的例子）。
求出一般項，就能一次算出「n 個月後的餘額」。這和金融上使用的年金終值公式相同，「能存到多少錢」的試算，就是用這個遞迴關係式的一般項算出來的。

公式與圖表

一階遞迴關係式

圖表

數學寫法（一般的數學式）

$a_{n+1}$ $=$ $p$ $\times$ $a_n$ $+$ $q$

文字寫法（把符號換成文字的公式）

④ $a_{n+1}$：下一項 $=$ ② $p$：乘上的數 $\times$ ① $a_n$：目前這一項 $+$ ③ $q$：加上的數

用文字讀公式

① 把 $a_n$：目前這一項乘上

② $p$：乘上的數，再加上

③ $q$：加上的數，

④ 就得到 $a_{n+1}$：下一項

簡單範例

首項 $a_1 = 1$、遞迴關係式 $a_{n+1} = 2a_n + 3$（把目前這一項乘 2 再加 3）的數列，開頭是

下一項 $=$ 2 $\times$ 目前這一項 $+$ 3

$a_2 = 2 \times 1 + 3 = 5$

$a_3 = 2 \times 5 + 3 = 13$

$a_4 = 2 \times 13 + 3 = 29$

思考重點

遞迴關係式是「由目前這一項做出下一項的規則」。只要有首項 $a_1$ 和規則，$a_2$、$a_3$、…整個數列就會依序決定。不過，用這種方法求第 100 項，必須計算 99 次。所以我們想要「代入 $n$ 就能直接算出第 $n$ 項的式子」，也就是一般項。求出它的工具，就是接下來說明的特徵方程式。

特徵方程式與特徵根

數學寫法（一般的數學式）

$c$ $=$ $q$ $\div$ $1 - p$

文字寫法（把符號換成文字的公式）

③ $c$：特徵根 $=$ ① $q$：加上的數 $\div$ ② $1 - p$：1 減去乘上的數 $p$

用文字讀公式

① 把遞迴關係式中的 $a_{n+1}$ 和 $a_n$ 都換成 $x$，解方程式 $x = px + q$（特徵方程式），也就是把 $q$：加上的數除以

② $1 - p$：1 減去乘上的數 $p$ ，

③ 就得到 $c$：特徵根

簡單範例

遞迴關係式 $a_{n+1} = 2a_n + 3$ 的特徵方程式是 $x = 2x + 3$。解這個方程式

$c$：特徵根 $=$ 加上的數 3 $\div$ $1 - 2$

$x = 2x + 3$

$x - 2x = 3$

$-x = 3$

$x = -3$

$c = \dfrac{3}{1-2} = -3$

思考重點

特徵方程式 $x = px + q$ 的解 $c$ 是一個特別的值：「如果某一項變成這個值，下一項也會是完全相同的值」（因為 $c = pc + q$，到達 $c$ 之後，數列就一直停在 $c$）。因此，特徵根也稱為數列的「不動點」。可以用移項來解，也可以直接套用公式 $c = \dfrac{q}{1-p}$。因為分母是 $1 - p$，只有 $p = 1$ 時無法使用特徵方程式（這時是等差數列，請看下方另一張公式卡）。

用特徵根變形（做出等比數列）

數學寫法（一般的數學式）

$a_{n+1} - c$ $=$ $p$ $\times$ $(a_n - c)$

文字寫法（把符號換成文字的公式）

③ $a_{n+1} - c$：下一項與特徵根的差 $=$ ② $p$：乘上的數 $\times$ ① $a_n - c$：目前這一項與特徵根的差

用文字讀公式

① 把 $a_n - c$：目前這一項與特徵根的差乘上

② $p$：乘上的數，

③ 就得到 $a_{n+1} - c$：下一項與特徵根的差（只看差的話，就是公比 $p$ 的等比數列）

簡單範例

把遞迴關係式 $a_{n+1} = 2a_n + 3$（特徵根 $c = -3$）變形，得到

下一項 $+\,3$ $=$ 2 $\times$ 目前這一項 $+\,3$

$a_{n+1} + 3 = 2\left(a_n + 3\right)$

$a_1 + 3 = 4,\quad a_2 + 3 = 8,\quad a_3 + 3 = 16$

思考重點

把遞迴關係式 $a_{n+1} = p a_n + q$ 和特徵方程式 $c = pc + q$ 兩邊分別相減（左邊減左邊、右邊減右邊），加上的數 $q$ 會消掉，只剩下 $a_{n+1} - c = p(a_n - c)$。也就是說，「每一項減去特徵根 $c$ 的差所成的數列 $\{a_n - c\}$」，是每次只乘上 $p$ 的等比數列。這個變形的目的，是把混有加法、不好處理的遞迴關係式，變成熟悉的等比數列。例子中 $c = -3$，所以差是 $a_n - (-3) = a_n + 3$，依序為 $4,\ 8,\ 16,\ \dots$，果然每次變成 2 倍。

一般項（特徵方程式型）

圖表

數學寫法（一般的數學式）

$a_n$ $=$ $(a_1 - c)$ $\times$ $p^{n-1}$ $+$ $c$

文字寫法（把符號換成文字的公式）

④ $a_n$：第 $n$ 項（一般項） $=$ ① $a_1 - c$：首項與特徵根的差 $\times$ ② $p^{n-1}$：乘上的數 $p$ 連乘 $n-1$ 次 $+$ ③ $c$：特徵根

用文字讀公式

① 把 $a_1 - c$：首項與特徵根的差乘上

② $p^{n-1}$：乘上的數 $p$ 連乘 $n-1$ 次，再加回

③ $c$：特徵根，

④ 就得到 $a_n$：第 $n$ 項（一般項）

簡單範例

首項 $a_1 = 1$、遞迴關係式 $a_{n+1} = 2a_n + 3$（特徵根 $c = -3$）的一般項是

第 $n$ 項 $=$ 差 $1 - (-3) = 4$ $\times$ $2^{n-1}$ $+$ 特徵根 $-3$

$a_n = \left(1 - (-3)\right) \times 2^{n-1} + (-3) = 4 \cdot 2^{n-1} - 3$

$a_1 = 4 \times 1 - 3 = 1,\quad a_2 = 4 \times 2 - 3 = 5,\quad a_3 = 4 \times 4 - 3 = 13$

思考重點

變形得到的等比數列 $\{a_n - c\}$，首項是 $a_1 - c$、公比是 $p$，所以依等比數列的一般項公式，$a_n - c = (a_1 - c)p^{n-1}$。最後把減掉的 $c$ 加回來（移項），就得到這個一般項。當 $|p| < 1$（$p$ 在 $-1$ 和 $1$ 之間）時，$n$ 越大，$p^{n-1}$ 越接近 0，所以 $a_n$ 會越來越接近特徵根 $c$（收斂）。數列收斂時，這個計算機會把 $c$ 顯示為極限值。

$p = 1$ 的情形（等差數列型）

數學寫法（一般的數學式）

$a_n$ $=$ $a_1$ $+$ $(n-1)q$

文字寫法（把符號換成文字的公式）

③ $a_n$：第 $n$ 項（一般項） $=$ ① $a_1$：首項 $+$ ② $(n-1)q$：公差 $q$ 加 $n-1$ 次

用文字讀公式

① $p = 1$ 時，遞迴關係式是 $a_{n+1} = a_n + q$（每次只加上 $q$），所以把 $a_1$：首項加上

② $(n-1)q$：公差 $q$ 加 $n-1$ 次，

③ 就得到 $a_n$：第 $n$ 項（一般項）

簡單範例

首項 $a_1 = 5$、遞迴關係式 $a_{n+1} = a_n + 3$（公差 3 的等差數列）的一般項和第 4 項是

第 $n$ 項 $=$ 首項 5 $+$ $3$ 加 $n-1$ 次

$a_n = 5 + (n-1) \times 3 = 3n + 2$

$a_4 = 3 \times 4 + 2 = 14$

思考重點

$p = 1$ 時，特徵方程式的分母 $1 - p$ 會變成 0，所以無法使用特徵根。不過，這時遞迴關係式只是每次加上同一個數 $q$，數列就是公差 $q$ 的等差數列。從第 1 項到第 $n$ 項，加上 $q$ 的次數和項與項之間的間隔數相同，是 $n-1$ 次（第 1 項到第 4 項是 3 次；算成 $n$ 次是常見的錯誤）。

$q = 0$ 的情形（等比數列型）

數學寫法（一般的數學式）

$a_n$ $=$ $a_1$ $\times$ $p^{n-1}$

文字寫法（把符號換成文字的公式）

③ $a_n$：第 $n$ 項（一般項） $=$ ① $a_1$：首項 $\times$ ② $p^{n-1}$：公比 $p$ 連乘 $n-1$ 次

用文字讀公式

① $q = 0$ 時，遞迴關係式是 $a_{n+1} = p a_n$（每次只乘上 $p$），所以把 $a_1$：首項乘上

② $p^{n-1}$：公比 $p$ 連乘 $n-1$ 次，

③ 就得到 $a_n$：第 $n$ 項（一般項）

簡單範例

首項 $a_1 = 3$、遞迴關係式 $a_{n+1} = 2a_n$（公比 2 的等比數列）的一般項和第 4 項是

第 $n$ 項 $=$ 首項 3 $\times$ $2^{n-1}$

$a_n = 3 \times 2^{n-1}$

$a_4 = 3 \times 2^{3} = 3 \times 8 = 24$

思考重點

$q = 0$ 時，遞迴關係式只是「每次乘上同一個數 $p$」，數列就是公比 $p$ 的等比數列。和等差數列型的理由相同，乘的次數是 $n-1$ 次。其實在一般項（特徵方程式型）的式子中令 $q = 0$，特徵根就是 $c = 0$，得到 $a_n = (a_1 - 0)p^{n-1} + 0 = a_1 p^{n-1}$。也就是說，這個式子是特徵方程式型的特殊情形。

一階遞迴關係式 $a_{n+1} = p a_n + q$，可以用特徵方程式 $x = px + q$ 的解（特徵根 $c = \dfrac{q}{1-p}$）變形成 $a_{n+1} - c = p(a_n - c)$。這樣差的數列 $\{a_n - c\}$ 就是公比 $p$ 的等比數列，因而求出一般項 $a_n = (a_1 - c)p^{n-1} + c$。$p = 1$ 時是等差數列型，$q = 0$ 時是等比數列型。

符號與用語解說

符號

$a_n$	a 下標 n	數列從前面數來的第 $n$ 項。數列常用文字 $a$ 表示（據說因為它是字母表的第一個字母）。右下角的小下標 $n$ 表示「第幾個」。
$a_{n+1}$	a 下標 n 加 1	第 $n$ 項的下一項，也就是第 $n+1$ 項。在遞迴關係式中扮演「目前這一項 $a_n$ 的下一項」的角色。
$a_1$	a 下標 1	數列的第一項（首項）。遞迴關係式是「由目前這一項做出下一項的規則」，所以起點首項沒有決定，數列就無法決定。
$n$	n	項的編號（從前面數來第幾個）。習慣上用 number（數）的第一個字母 $n$，取 1, 2, 3,…這些自然數的值。
$p$	p	乘上目前這一項 $a_n$ 的常數，相當於等比數列的公比。這個值在 $-1$ 和 $1$ 之間時，數列會收斂到特徵根。
$q$	q	乘完之後加上的常數，相當於等差數列的公差。習慣上用 $p$ 的下一個字母 $q$。
$c$	c	特徵方程式 $x = px + q$ 的解（特徵根）。$c$ 是 constant（常數）的第一個字母。這是「某一項變成這個值後，下一項也保持相同的值」的特別值，也是收斂數列的去處。
$\{a_n\}$	數列 a 下標 n	表示由各項 $a_n$ 排成的整個數列的寫法。大括號表示「把 $a_1, a_2, a_3, \dots$ 全部合起來看」。
$p^{n-1}$	p 的 n 減 1 次方	$p$ 連乘 $n-1$ 次（次方）。右上角的小數字（指數）表示乘的次數。從首項到第 $n$ 項乘上公比的次數是 $n-1$ 次，所以一般項會出現這個形式。
$\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n$	當 n 趨近無限大時 a 下標 n 的極限	$n$ 無限變大時，$a_n$ 所接近的值（極限值）。$\lim$ 是 limit（極限）的前三個字母。數列收斂時，這個計算機會顯示極限值。

用語

數列	把數依順序排列而成的一列數。其中每一個數稱為項，並像 $a_1, a_2, a_3, \dots$ 這樣加上編號表示。
項	數列中的每一個數。從前面數來第 $n$ 個項，稱為第 $n$ 項。
首項	數列的第一項 $a_1$，是用遞迴關係式決定數列時的起點。
遞迴關係式（遞迴式）	把「由目前這一項做出下一項的規則」寫成式子。例如 $a_{n+1} = 2a_n + 3$ 就是「下一項等於目前這一項乘 2 再加 3」的規則。和首項一起，就能決定整個數列。
一階遞迴關係式	只用相鄰兩項（$a_n$ 和 $a_{n+1}$）寫成的遞迴關係式。本頁處理的 $a_{n+1} = p a_n + q$ 是代表性的形式。出現 $a_n,\ a_{n+1},\ a_{n+2}$ 三項的，稱為二階（相鄰三項）遞迴關係式，解法不同。
一般項	把第 $n$ 項直接寫成 $n$ 的式子。例如求出 $a_n = 4 \cdot 2^{n-1} - 3$ 之後，即使是第 100 項，只要代入 $n = 100$ 就能一次算出。
等差數列	相鄰兩項的差永遠相同的數列（每次加上同一個數）。$5, 8, 11, 14, \dots$ 是公差 3 的等差數列，相當於遞迴關係式 $p = 1$ 的情形。
公差	等差數列每次加上的固定的數。在本頁的遞迴關係式中，$p = 1$ 時的 $q$ 扮演公差的角色。
等比數列	相鄰兩項的比永遠相同的數列（每次乘上同一個數）。$3, 6, 12, 24, \dots$ 是公比 2 的等比數列，相當於遞迴關係式 $q = 0$ 的情形。
公比	等比數列每次乘上的固定的數。在本頁的遞迴關係式中，$p$ 扮演公比的角色。
特徵方程式	把遞迴關係式中的 $a_{n+1}$ 和 $a_n$ 換成同一個文字 $x$ 所得到的方程式 $x = px + q$。用它的解（特徵根），就能把遞迴關係式變形成等比數列的形式。
特徵根	特徵方程式的解 $c = \dfrac{q}{1-p}$。這是「某一項變成這個值後，下一項也保持相同的值」的數列不動的點，數列收斂時也是它的去處（極限值）。
不動點	套用規則後也不會改變的值。在遞迴關係式中，特徵根 $c$ 就是不動點，滿足 $c = pc + q$。大學以後的數學，會用這個觀點分析遞迴關係式和函數的反覆運算。
收斂	$n$ 越來越大時，項的值無限接近某個固定的值。這個遞迴關係式在 $\|p\| < 1$（$p$ 在 $-1$ 和 $1$ 之間）時，會收斂到特徵根 $c$。
極限值	收斂的數列所接近的值，寫成 $\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n$。在高三的選修數學甲才會正式學到，不過想成「越來越接近的目的地」就足夠了。
發散	不收斂。包括項的值無限變大（或無限變小），以及在兩個值之間來回、無法停在一個值的情形。這個遞迴關係式在 $\|p\| > 1$ 時，除非剛好從特徵根開始，否則會發散。

建議先了解的基礎知識

為了能「理解意義」地使用本頁的計算，這裡整理了建議先了解的基礎知識。
遇到困難時，回頭複習這張表的內容是最快的方法。

什麼是數列（國中八年級，13～14 歲）	知道數列是把數依順序排列，$a_n$ 表示「從前面數來第 $n$ 個數（第 $n$ 項）」看得懂下標裡的式子（例如 $a_{n+1}$ 是「第 $n$ 項的下一項」）
等差數列與等比數列（國中八年級～高一，13～16 歲）	會使用等差數列（每次加上同一個數）的一般項 $a_n = a_1 + (n-1)d$ 會使用等比數列（每次乘上同一個數）的一般項 $a_n = a_1 r^{n-1}$ 知道加或乘的次數是 $n-1$ 次而不是 $n$ 次的理由（項與項之間的間隔數）
一元一次方程式與移項（國中七年級，12～13 歲）	會用移項解 $x = 2x + 3$ 這樣的方程式知道等式兩邊可以減去相同的東西（把特徵方程式兩邊分別相減時會用到）
次方與指數（國中七年級～高一，12～16 歲）	知道右上角的小數字（指數）表示乘的次數，例如 $2^{3} = 2 \times 2 \times 2 = 8$ 知道 $2^{0} = 1$ 等指數的基本規則
分數的計算（國小五年級～國中七年級，10～13 歲）	會做分數的乘法、除法和約分答案保持分數也不排斥（看到 $\dfrac{381}{64}$ 這樣的答案不會困惑）

用 Excel 計算的方法

把下方表格整個複製，貼到 Excel 的 A1 儲存格就能直接使用。

用「一般項（特徵方程式型）」求第 n 項的表格

首項 a1	1
係數 p	2
常數 q	3
要求的項編號 n	10
特徵根 c = q/(1−p)	=B3/(1-B2)
首項與特徵根的差 a1−c	=B1-B5
第 n 項 (a1−c)×p^(n−1)+c	=B6*B2^(B4-1)+B5

依「遞迴關係式」一步一步計算的表格（第 1～10 項）

係數 p	2
常數 q	3
第 1 項 a1	1
第 2 項	=B1*B3+B2
第 3 項	=B1*B4+B2
第 4 項	=B1*B5+B2
第 5 項	=B1*B6+B2
第 6 項	=B1*B7+B2
第 7 項	=B1*B8+B2
第 8 項	=B1*B9+B2
第 9 項	=B1*B10+B2
第 10 項	=B1*B11+B2

求「p = 1 的情形（等差數列型）」第 n 項的表格

首項 a1	5
公差 q	3
要求的項編號 n	4
第 n 項 a1+(n−1)q	=B1+(B3-1)*B2

求「q = 0 的情形（等比數列型）」第 n 項的表格

首項 a1	3
公比 p	2
要求的項編號 n	4
第 n 項 a1×p^(n−1)	=B1*B2^(B3-1)

貼上後，上面幾列（首項和係數）是輸入欄，下面幾列會顯示自動計算的結果。「^」是次方，「*」是乘法。
第一個表格用一般項，求首項 1、遞迴關係式 a(n+1) = 2a(n) + 3 的數列的第 10 項。特徵根 c 是 −3，答案是 2045。p = 1 時無法使用這個表格的公式（1−p 會變成 0，等於除以 0），這時請用第三個表格。
第二個表格完全照遞迴關係式一步一步計算同一個數列，可以確認第 10 項是 2045，和第一個表格相同。
第三個表格是等差數列型的例子（首項 5、公差 3、第 4 項＝14），第四個表格是等比數列型的例子（首項 3、公比 2、第 4 項＝24）。

用 Google 試算表計算的方法

把下方表格整個複製，貼到 Google 試算表的 A1 儲存格就能直接使用。

用「一般項（特徵方程式型）」求第 n 項的表格

首項 a1	1
係數 p	2
常數 q	3
要求的項編號 n	10
特徵根 c = q/(1−p)	=B3/(1-B2)
首項與特徵根的差 a1−c	=B1-B5
第 n 項 (a1−c)×p^(n−1)+c	=B6*B2^(B4-1)+B5

依「遞迴關係式」一步一步計算的表格（第 1～10 項）

係數 p	2
常數 q	3
第 1 項 a1	1
第 2 項	=B1*B3+B2
第 3 項	=B1*B4+B2
第 4 項	=B1*B5+B2
第 5 項	=B1*B6+B2
第 6 項	=B1*B7+B2
第 7 項	=B1*B8+B2
第 8 項	=B1*B9+B2
第 9 項	=B1*B10+B2
第 10 項	=B1*B11+B2

求「p = 1 的情形（等差數列型）」第 n 項的表格

首項 a1	5
公差 q	3
要求的項編號 n	4
第 n 項 a1+(n−1)q	=B1+(B3-1)*B2

求「q = 0 的情形（等比數列型）」第 n 項的表格

首項 a1	3
公比 p	2
要求的項編號 n	4
第 n 項 a1×p^(n−1)	=B1*B2^(B3-1)

和 Excel 相同的公式可以直接使用。請把表格整個複製，貼到 A1 儲存格，再把首項和係數改成您自己的數值。

用 Python 計算的方法

from fractions import Fraction

first_term = Fraction(1)    # 首項 a1（也可以用分數，例如 Fraction(1, 2)）
coefficient = Fraction(2)   # 係數 p（乘上 a_n 的數）
constant = Fraction(3)      # 常數 q（加上的數）
term_number = 10            # 要求的項編號 n

# 依遞迴關係式依序計算第 1～10 項
terms = [first_term]
for _ in range(9):
    terms.append(coefficient * terms[-1] + constant)
print("第 1～10 項：", ", ".join(str(t) for t in terms))

# 第 n 項（套用遞迴關係式 n-1 次）
nth_term = first_term
for _ in range(term_number - 1):
    nth_term = coefficient * nth_term + constant
print(f"第 {term_number} 項：{nth_term}（小數：{float(nth_term)}）")

# p 不是 1 時，也可以用特徵根 c = q/(1-p) 求一般項
if coefficient != 1:
    fixed_point = constant / (1 - coefficient)
    start_diff = first_term - fixed_point
    print(f"特徵根 c：{fixed_point}")
    print(f"一般項：a_n = ({start_diff})*({coefficient})^(n-1) + ({fixed_point})")

使用標準函式庫的 fractions 模組，就能直接用精確的分數計算，沒有小數的捨入誤差。這個例子是首項 1、遞迴關係式 a(n+1) = 2a(n) + 3 的數列。執行後會顯示第 1～10 項（1, 5, 13,…, 2045）、第 10 項＝2045、特徵根 −3，以及一般項 a_n = (4)*(2)^(n-1) + (-3)（整理後為 4×2^(n−1) − 3）。請修改首項和係數後執行。

用 LaTeX 等數學式語言的寫法（可直接複製）

一階遞迴關係式

aₙ₊₁ = p·aₙ + q

a_{n+1} = p a_n + q

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>a</mi><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub>
    <mo>=</mo>
    <mi>p</mi>
    <msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub>
    <mo>+</mo>
    <mi>q</mi>
  </mrow>
</math>

a_(n+1) = p a_n + q

RSolve[{a[n + 1] == p a[n] + q, a[1] == a1}, a[n], n]

rsolve({a(n+1) = p*a(n) + q, a(1) = a1}, a(n));

a(n+1) = p*a(n) + q

a_(n+1) = p a_n + q

特徵方程式與特徵根

c = q/(1 − p)

c = \dfrac{q}{1-p}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <mi>c</mi>
    <mo>=</mo>
    <mfrac>
      <mi>q</mi>
      <mrow><mn>1</mn><mo>&#x2212;</mo><mi>p</mi></mrow>
    </mfrac>
  </mrow>
</math>

c = q/(1-p)

c = q/(1 - p)

c := q/(1 - p);

c = q/(1 - p);

c = q/(1 − p)

用特徵根變形（做出等比數列）

aₙ₊₁ − c = p(aₙ − c)

a_{n+1} - c = p(a_n - c)

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>a</mi><mrow><mi>n</mi><mo>+</mo><mn>1</mn></mrow></msub>
    <mo>&#x2212;</mo><mi>c</mi>
    <mo>=</mo>
    <mi>p</mi>
    <mo>(</mo>
    <msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub>
    <mo>&#x2212;</mo><mi>c</mi>
    <mo>)</mo>
  </mrow>
</math>

a_(n+1) - c = p(a_n - c)

a[n + 1] - c == p (a[n] - c)

a(n+1) - c = p*(a(n) - c);

a(n+1) - c = p*(a(n) - c)

a_(n+1) − c = p(a_n − c)

一般項（特徵方程式型）

aₙ = (a₁ − c)·pⁿ⁻¹ + c

a_n = (a_1 - c)p^{n-1} + c

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub>
    <mo>=</mo>
    <mo>(</mo>
    <msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub>
    <mo>&#x2212;</mo><mi>c</mi>
    <mo>)</mo>
    <msup><mi>p</mi><mrow><mi>n</mi><mo>&#x2212;</mo><mn>1</mn></mrow></msup>
    <mo>+</mo>
    <mi>c</mi>
  </mrow>
</math>

a_n = (a_1 - c)p^(n-1) + c

a[n_] := (a1 - c) p^(n - 1) + c

a := n -> (a1 - c)*p^(n-1) + c;

a_n = (a1 - c)*p^(n-1) + c;

a_n = (a_1 − c)p^(n−1) + c

$p = 1$ 的情形（等差數列型）

aₙ = a₁ + (n − 1)q

a_n = a_1 + (n-1)q

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub>
    <mo>=</mo>
    <msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub>
    <mo>+</mo>
    <mo>(</mo><mi>n</mi><mo>&#x2212;</mo><mn>1</mn><mo>)</mo>
    <mi>q</mi>
  </mrow>
</math>

a_n = a_1 + (n-1)q

a[n_] := a1 + (n - 1) q

a := n -> a1 + (n-1)*q;

a_n = a1 + (n-1)*q;

a_n = a_1 + (n − 1)q

$q = 0$ 的情形（等比數列型）

aₙ = a₁·pⁿ⁻¹

a_n = a_1 p^{n-1}

<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
  <mrow>
    <msub><mi>a</mi><mi>n</mi></msub>
    <mo>=</mo>
    <msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub>
    <msup><mi>p</mi><mrow><mi>n</mi><mo>&#x2212;</mo><mn>1</mn></mrow></msup>
  </mrow>
</math>

a_n = a_1 p^(n-1)

a[n_] := a1 p^(n - 1)

a := n -> a1*p^(n-1);

a_n = a1*p^(n-1);

a_n = a_1 p^(n−1)

請 ChatGPT 幫忙計算的方法

你是數學（數列、遞迴關係式）的計算助理。請務必實際執行 Python 程式碼來進行下列計算，並只以執行結果的數值作為回答的依據（請不要用心算或猜測回答）。

針對首項 a_1 = 1、遞迴關係式 a_(n+1) = 2·a_n + 3 所定義的數列，請分別列出下列各項。
1. 特徵方程式 x = 2x + 3 的解（特徵根 c）
2. 一般項 a_n（附上用 c 變形成等比數列的計算過程）
3. 第 1～10 項的值，以及第 10 項的值
4. 這個數列是否收斂？（若收斂，也請求出極限值）

在 Python 中請使用標準函式庫的 fractions 模組精確計算，並列出計算時使用的公式，以及執行結果的數值。

使用方法

1

輸入數值

在輸入欄中輸入要計算的數值
2

計算

按下「計算」按鈕
3

查看結果

計算結果會立即顯示。計算的思路和公式的解說，也都能在同一個頁面查看

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\(a_n\)	a 下標 n	數列從前面數來的第 \(n\) 項。數列常用文字 \(a\) 表示（據說因為它是字母表的第一個字母）。右下角的小下標 \(n\) 表示「第幾個」。
\(a_{n+1}\)	a 下標 n 加 1	第 \(n\) 項的下一項，也就是第 \(n+1\) 項。在遞迴關係式中扮演「目前這一項 \(a_n\) 的下一項」的角色。
\(a_1\)	a 下標 1	數列的第一項（首項）。遞迴關係式是「由目前這一項做出下一項的規則」，所以起點首項沒有決定，數列就無法決定。
\(n\)	n	項的編號（從前面數來第幾個）。習慣上用 number（數）的第一個字母 \(n\)，取 1, 2, 3,…這些自然數的值。
\(p\)	p	乘上目前這一項 \(a_n\) 的常數，相當於等比數列的公比。這個值在 \(-1\) 和 \(1\) 之間時，數列會收斂到特徵根。
\(q\)	q	乘完之後加上的常數，相當於等差數列的公差。習慣上用 \(p\) 的下一個字母 \(q\)。
\(c\)	c	特徵方程式 \(x = px + q\) 的解（特徵根）。\(c\) 是 constant（常數）的第一個字母。這是「某一項變成這個值後，下一項也保持相同的值」的特別值，也是收斂數列的去處。
\(\{a_n\}\)	數列 a 下標 n	表示由各項 \(a_n\) 排成的整個數列的寫法。大括號表示「把 \(a_1, a_2, a_3, \dots\) 全部合起來看」。
\(p^{n-1}\)	p 的 n 減 1 次方	\(p\) 連乘 \(n-1\) 次（次方）。右上角的小數字（指數）表示乘的次數。從首項到第 \(n\) 項乘上公比的次數是 \(n-1\) 次，所以一般項會出現這個形式。
\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n\)	當 n 趨近無限大時 a 下標 n 的極限	\(n\) 無限變大時，\(a_n\) 所接近的值（極限值）。\(\lim\) 是 limit（極限）的前三個字母。數列收斂時，這個計算機會顯示極限值。

數列	把數依順序排列而成的一列數。其中每一個數稱為項，並像 \(a_1, a_2, a_3, \dots\) 這樣加上編號表示。
項	數列中的每一個數。從前面數來第 \(n\) 個項，稱為第 \(n\) 項。
首項	數列的第一項 \(a_1\)，是用遞迴關係式決定數列時的起點。
遞迴關係式（遞迴式）	把「由目前這一項做出下一項的規則」寫成式子。例如 \(a_{n+1} = 2a_n + 3\) 就是「下一項等於目前這一項乘 2 再加 3」的規則。和首項一起，就能決定整個數列。
一階遞迴關係式	只用相鄰兩項（\(a_n\) 和 \(a_{n+1}\)）寫成的遞迴關係式。本頁處理的 \(a_{n+1} = p a_n + q\) 是代表性的形式。出現 \(a_n,\ a_{n+1},\ a_{n+2}\) 三項的，稱為二階（相鄰三項）遞迴關係式，解法不同。
一般項	把第 \(n\) 項直接寫成 \(n\) 的式子。例如求出 \(a_n = 4 \cdot 2^{n-1} - 3\) 之後，即使是第 100 項，只要代入 \(n = 100\) 就能一次算出。
等差數列	相鄰兩項的差永遠相同的數列（每次加上同一個數）。\(5, 8, 11, 14, \dots\) 是公差 3 的等差數列，相當於遞迴關係式 \(p = 1\) 的情形。
公差	等差數列每次加上的固定的數。在本頁的遞迴關係式中，\(p = 1\) 時的 \(q\) 扮演公差的角色。
等比數列	相鄰兩項的比永遠相同的數列（每次乘上同一個數）。\(3, 6, 12, 24, \dots\) 是公比 2 的等比數列，相當於遞迴關係式 \(q = 0\) 的情形。
公比	等比數列每次乘上的固定的數。在本頁的遞迴關係式中，\(p\) 扮演公比的角色。
特徵方程式	把遞迴關係式中的 \(a_{n+1}\) 和 \(a_n\) 換成同一個文字 \(x\) 所得到的方程式 \(x = px + q\)。用它的解（特徵根），就能把遞迴關係式變形成等比數列的形式。
特徵根	特徵方程式的解 \(c = \dfrac{q}{1-p}\)。這是「某一項變成這個值後，下一項也保持相同的值」的數列不動的點，數列收斂時也是它的去處（極限值）。
不動點	套用規則後也不會改變的值。在遞迴關係式中，特徵根 \(c\) 就是不動點，滿足 \(c = pc + q\)。大學以後的數學，會用這個觀點分析遞迴關係式和函數的反覆運算。
收斂	\(n\) 越來越大時，項的值無限接近某個固定的值。這個遞迴關係式在 \(\|p\| < 1\)（\(p\) 在 \(-1\) 和 \(1\) 之間）時，會收斂到特徵根 \(c\)。
極限值	收斂的數列所接近的值，寫成 \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n\)。在高三的選修數學甲才會正式學到，不過想成「越來越接近的目的地」就足夠了。
發散	不收斂。包括項的值無限變大（或無限變小），以及在兩個值之間來回、無法停在一個值的情形。這個遞迴關係式在 \(\|p\| > 1\) 時，除非剛好從特徵根開始，否則會發散。

什麼是數列（國中八年級，13～14 歲）	知道數列是把數依順序排列，\(a_n\) 表示「從前面數來第 \(n\) 個數（第 \(n\) 項）」看得懂下標裡的式子（例如 \(a_{n+1}\) 是「第 \(n\) 項的下一項」）
等差數列與等比數列（國中八年級～高一，13～16 歲）	會使用等差數列（每次加上同一個數）的一般項 \(a_n = a_1 + (n-1)d\) 會使用等比數列（每次乘上同一個數）的一般項 \(a_n = a_1 r^{n-1}\) 知道加或乘的次數是 \(n-1\) 次而不是 \(n\) 次的理由（項與項之間的間隔數）
一元一次方程式與移項（國中七年級，12～13 歲）	會用移項解 \(x = 2x + 3\) 這樣的方程式知道等式兩邊可以減去相同的東西（把特徵方程式兩邊分別相減時會用到）
次方與指數（國中七年級～高一，12～16 歲）	知道右上角的小數字（指數）表示乘的次數，例如 \(2^{3} = 2 \times 2 \times 2 = 8\) 知道 \(2^{0} = 1\) 等指數的基本規則
分數的計算（國小五年級～國中七年級，10～13 歲）	會做分數的乘法、除法和約分答案保持分數也不排斥（看到 \(\dfrac{381}{64}\) 這樣的答案不會困惑）

遞迴關係式計算機（求一般項，附特徵方程式計算過程）

目錄

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這個計算有什麼用？

公式與圖表

符號與用語解說

符號

用語

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等差數列計算機（第 n 項、首項到第 n 項的和）

由首項、公差和項數算出第 n 項與前 n 項和（每次加上同一個數的數列，相當於本遞迴關係式 p = 1 的情形）

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